Prise en compte des contraintes de communication Un focus

Thematique generale Systemes a information limitee Systemes quantifies Prospectives

Prise en compte des contraintes decommunication

Un focus sur les systemes quantifies

Sophie Tarbouriech (LAAS-CNRS, Toulouse)

Travaux communs avec F. Ferrante et F. Gouaisbaut (LAAS)

et plus largementNationalLAAS-CNRS, GIPSA-lab, LAGEP,CRAN, LSS, ONERA

InternationalBresil, Chili, Hollande, Italie,Sweden, UK, USA

5 octobre 2015

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Plan de la presentation

1 Thematique generale

2 Systemes a information limitee

3 Systemes quantifies

4 Prospectives

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Thematique generale : etude des systemes dynamiques soumis a descontraintes :

liees a la nature du systeme : positivite, . . .

liees a la capacite des actionneurs/capteurs utilises : saturation,hysteresis, zone-morte, discontinuites, . . .

1.3 The closed-loop system 11

v(i)

sat(v(i))

−umin(i)

umax(i)

Fig. 1.1 The saturation function

ACTUATOR

PLANT

CONTROLLERv(t)

y(t)u(t)

w(t)

z(t)

Fig. 1.2 The closed-loop system

whereK ∈ℜm×n is a constant matrix.The effective control law applied to system (1.1) under Assumption 1.2 is:

u(t) = sat(Kx(t)) (1.6)

with each component,i = 1, ...,m, defined as follows

sat(K(i)x(t)) =

umax(i) if K(i)x(t)> umax(i)

K(i)x(t) if −umin(i) ≤ K(i)x(t)≤ umax(i)

−umin(i) if K(i)x(t)<−umin(i)

(1.7)

Input position

Output position

Dead−zone

liees aux contraintes de communication ou a des informationslimitees : quantificateur, codage, . . .

q(x)

x

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Contraintes de communication

L’etude des systemes dynamiques soumis a des contraintes decommunication ou encore a des informations limitees est un sujet ala frontiere entre theorie de la commande et theorie del’information/communication numerique.

Nous allons aborder cette problematique d’un point de vue de latheorie de la commande

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Motivations

Emergence de reseaux en tout genre (reseaux de capteurs,systemes controles en reseau, reseaux de communications,reseaux sociaux, reseaux de distribution d’energie intelligents,systemes biologiques, etc) qui sont batis sur des liens decommunications,

Le developpement d’une methodologie de travail a l’interfacede l’automatique et des communications n’est plus un luxemais une necessite.

Objectif/focus : donner des bases sur le probleme de laquantification d’une source d’information (en vue de satransmission) et de ses liens avec les problemes de commande.

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Quantification

B Quantification en espace : conversion du signal (a valeurreelle) en un signal constant par morceaux prenant des valeursdans un ensemble fini.

B Quantification en temps : conversion du signal (a valeur reelle)en un signal constant par morceaux prenant des valeursdependant des instants d’echantillonnages.

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Quelques references

Elia and Mitter, 2001, etudient la facon de construire lesemetteurs et receveurs dans un contexte de controle.

Nous ne voulons pas aborder ces systemes sous l’angle quantited’information finie (liee au debit)(Tatikonda and Mitter, 2004) ou sous l’angle de la naturestochastique du lien (Matveev and Savkin, 2009)

B Nous voulons considerer les emeteurs/receveurs dans un senslarge.

Voir aussi les travaux plus recents qui readaptent les schemas decommandes avancees(Liberzon, 2003), (Bullo and Liberzon, 2006),(Fu and Xie, 2005), (Gao and Chen, 2008),(Kameneva and Nesic, 2008),(Cepeda and Astolfi, 2008), (Vu and Liberzon, 2008), (Corra-dini and Orlando, 2008).

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Les problemes de commande classiques se basent sur un echanged’information parfait et peuvent se decrire comme suit

Plant

Controller

Sensors

Actuators

Objectif

Synthetiser une loi de commande continue telle que le systemeboucle x = f (x(t), u(t)) est stabilise et satisfait un certain niveaude performance.

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La presence d’elements de calcul et/ou de communication dans laboucle de commande ajoute de nouvelles contraintes :

Plant

Controller

Sensors

Actuators

: Digital channels

Nouveaux objectifs

Revisiter les problemes de commande en tenant compte descontraintes induites par ces elements digitaux ou decommunication dans la boucle

Dans la litterature cette classe de systemes est souvent appeleeNetworked Control Systems et Cyber-Physical Systems.

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Objectifs :

Modeliser les elements d’information.

Analyser les effets des contraintes d’information sur lesperformances.

Proposer des strategies de commande et d’estimation lorsqueles donnees pour la commande sont transmises via un canalde communication peu fiable ou contraint.

Developper conjointement des schemas de commande et decommunication : co-design.

⇒ Controle avec information limitee.

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Quelques elements

1) Non linearites : Quantification, Codage & Saturation:

Fonction consideree.

x(t) = q(x(t))q(x)

x

L’information reelle est tronquee

Exemple : approximation numerique

x = π ⇒ x = 3.1411 / 45


Quelques elements

2) Echantillonnage (sampling) du flux d’information :

x(t) = x(tk)tk : instants d’echantillonnageL’information reelle est gardee enmemoire

x(t)

t

Echantillonnage dep. du temps (T (t))

Echantillonnage dep. de l’etat (T (x))Exemple : (tk = 2πk)

x(t) = cos(t) ⇒ x(t) = 1

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Quelques elements

3) Retard de communication :

x(t) = x(t − δ)

L’information n’est pastransmiseinstantanement.

x(t)

t

h

L’information reelle n’est pas disponible avant δ secondes.Exemple: (δ = π/2)

x(t) = cos(t) ⇒ x(t) (= cos(t − π/2)) = sin(t).

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Quelques elements

4) Information partielle :

x(t) =

γ1 0 . . . 00 γ2 . . . 0...

. . .. . .

...0 0 . . . γn

x(t), γi = 0, 1.

Exemple : retour de sortie ou systemes multi-agents.Cas multi-agents : un agent a uniquement une vision partielle deses voisins⇒ Algorithme de consensus

1 2

3 4 5

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Quelques applications

Videos a la demandeCollaboration LAAS-CNRS - L2S [Dal Col et al., CDC’14 ].

Objectifs de commande :

∗ Equite parmi les terminauxquant a la qualite de la video.∗ Robustesse par rapport auxcaracteristiques de la video.

Principales caracteristiques

∗ Distribution parallele de videoavec band-limited channel∗ Systemes multi-agents

Strategie de commande:

∗ Vitesse d’encodage de la video.∗ Vitesse de transmission.

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Quelques applications

Controle de la profondeur d’anesthesieCollaboration LAAS-CNRS - CHU de Toulouse [PhD S. Zabi].

Chapitre 4

Observation a l’hopital

4.1 Deroulement d’une operation

Le propofol etant de la categorie des anesthesiques, il va agir sur l’etat de consciencedu patient. L’anesthesiste commence donc generalement par induire l’anesthesie par unbolus de ce produit ou d’un assimile. Il teste ensuite les effets du produit sur le patientapres quelques minutes en touchant les cils... pour voir s’il reagit encore. Il faut attendreun temps que le produit ait theoriquement le temps d’atteindre le site effet.

Une fois le patient suffisament endormi, l’intubation est realisee. Apres hydratationde l’oeil, la camera est posee et le logiciel VideoAnalgesyGraph est parametre. Une valeurde reference de surface de la pupille est definie au repos, c’est a dire sans injection demorphinique. Elle sert de valeur de reference pour les mesures de variation qui vont etrefaites tout au long de l’operation.

Fig. 4.1 – Camera pour VAG et dispositif pour BIS

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Principalescaracteristiques

∗ Variabilite despatients∗ quantification∗ Echantillonnage∗ saturation∗ positivite...

Objectifs de commande :

∗ Controle de l’administration de la droguepour a la fois l’inconscience et l’analgesie∗ Combiner BIS avec la dilatation pupillaire

Bolus alloc functionPositivity

Constraint continuous patient model

Pharmaco−kinetics

pro

pofo

l an

d r

emif

enta

nil

discrete/continuous

controllerStimulation quantizer

Pupillarydilatation

flow

rate

s

y1(t)

y2(k)

acquisitionconverterBIS EEG

(freq, conc, duration)

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Nous allons nous focaliser sur un des cas de contraintes decommunication :

Systeme lineaire soumis a un quantificateur en entree et/ousur l’etat

Definissons la notion de quantification

Definition

Un quantificateur q est une fonction qui convertit un signal de Rn

en un signal qui appartient a un ensemble discret.

q :

{Rn 7→ F

x(t)→ q(x(t))avec F un ensemble fini.

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La repartition peut etre uniforme (quantifieurs uniformes)q(x)

x

ou non uniformes (quantifieurs logarithmiques ...)q(x)

x

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Quantification

C’est un processus

irreversible,

source de perte d’information,

tres utilise en traitement du signal audio, video : c’est une etapecritique pour les algorithmes de compression (image et video),

impact significatif sur la distorsion du signal reconstruit (videoou image)impact signification sur la vitesse de codage (bit rate)

etudie depuis peu par la communaute de la commande

Interet pour la commande : quelle est l’information utile pour la

commande ?

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Rapide historique

Kalman et al, (56), Delchamps (90) etudient l’apparition de cycleslimites /trajectoires chaotiques lorsque un quantifieur est ajoutedans la boucle de commande.

Elia-Mitter (01), Brockett-Liberzon (00-03) etudient la stabilisationdes systemes lineaires puis non lineaires soumis a des entrees/sortiesquantifiees.

Mitter,Tatikonda (01-04) etudient le lien entre la theorie del’information et theorie de la commande. Quelle est la quantited’information minimale a transmettre pour stabiliser un systemedynamique?

Liberzon (07-09), commande hybride des systemes quantifies,Fridman et al (09) quantification et retards, Astolfi (09),Tarbouriech(12), Ferrante (14,15) quantification et saturation ...

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Exemples

Mono-cycle avec actionneur quantifie (image empruntee a B.Picasso) :

x = vcos(θ)y = vsin(θ)

θ = ωavec u =

[v (vitesse lineaire)ω (vitesse angulaire)

]

u ∈{[

00

];±[

10

];±[

01

];±[

11

];±[

1−1

]}

Why Quantized Control Systems

The actuator is inherently quantized (e.g., a stepper motor)

Moteur pas a pas

u ∈ {−1; 0; 1}

Why Quantized Control Systems

The actuator is inherently quantized (e.g., a stepper motor) 21 / 45


Description du systeme (1)

On considere un systeme a temps continu avec entree quantifieedecrit par : {

x = Ax + Buu = q(uc)

(1)

q est une fonction qui transforme l’espace Euclidien Rn dans unensemble fini (denombrable) Q ⊂ Rm. Plus precisement onconsidere un quantificateur uniforme :

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Description du systeme (2)

Pas d’hypothese de stabilite pour la matrice A.

La paire (A,B) est supposee controlable.

On suppose que le systeme est controle via un retour d’etat :uc = Kx .

Le systeme boucle etudie est donc :

x = Ax + Bq(Kx) (2)

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Ingredients cles

Pour etudier le systeme, nous devons considerer deux points :

l’existence de solutions,

le type de stabilite attaignable.

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Existence de solutions (1)

La presence du quantificateur (et sa definition) implique la presenced’une discontinuite.

B le quantificateur est une fonction qui transforme l’espaceEuclidien en un ensemble denombrable.

B Par consequent le systeme boucle (2) est decrit par uneequation a membre droit discontinu.

B Aucune garantie quant a l’existence de solutions classiquespour le systeme en boucle fermee, i.e., des fonctionsdifferentiables partout qui satisfont la dynamique du systemeen boucle fermee a chaque point dans leur domaine (Filippov,1988).

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Notion de solutions plus generales a considerer. Solutions du typeCaratheodory (Ceragioli et al., 2011, Cortes, 2008) et Krasovskii(Krasovskii, 1963, Cortes, 2008).

Solutions du type Caratheodory. Soit un

intervalle I ⊂ R≥. Une fonction ϕ : I→ Rn

est une solution de Caratheodory pour

x = X (x) si elle est absolument continue

sur I, et ϕ = X (ϕ), pour presque tout t ∈ I.

Solutions du type Krasovskii.Soit un intervalle I ⊂ R≥. Une

fonction ϕ : I→ Rn est une solution

de Caratheodory pour x = X (x) si

elle est absolument continue sur I,et ϕ ∈ K[X ](ϕ), pour presque tout

t ∈ I.

K[X ](x) =⋂δ>0 coX (x + δB), B boule de rayon 1, est une fonction

multi-valuee

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Interet des solutions de Krasovskii :

B Quand elles existent, les solutions de Caratheodory sont dessolutions de Krasovskii

B Les solutions de Krasovskii fournissent des indications sur lecomportement du systeme considere

B L’utilisation des solutions de Krasovskii garantit que lesproprietes etablies pour le systeme en boucle fermee sontrobustes par rapport aux petites perturbations

L’outil de base pour s’interesser aux solutions de Krasovskii sont lesinclusions differentielles

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Exemple : x = q(−x) = −sign(x). q transforme R en {−1, 1}.Pas de solutions de Caratheodory mais existence de solutions deKrasovskii

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Etude de la stabilite

Probleme 1.

B Analyse de la stabilite du systeme (2).B On se base sur les solutions de KrasovskiiB Cela implique d’utiliser une description du systeme boucle via

les inclusions differentielles :

x ∈ K(x)

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Proprietes preliminaires

Le quantificateur q(Kx) est defini comme :

q(Kx) = ∆ sign(Kx)

⌊ |Kx |∆

⌋

ou ∆ est la borne sur l’erreur de quantification.

On a les proprietes suivantes :

B On peut verifier que chaque composante de Kx :

|q(Kix)− Kix | ≤ ∆, i = 1, . . . ,m

B q(0) = 0

Le systeme sans quantificateur est lineaire : x = (A + BK )x

B Si A + BK est Hurwitz alors x = 0 est un point d’equilibreglobalement asymptotiquement stable pour ce systeme

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Question preliminaire

x = 0 est-il un point d’equilibre globalement asymptotiquementstable pour le systeme boucle (2) ?

B La reponse est en generale negative.B Demander que l’origine soit asymptotiquement stable pour le

systeme quantifie est en general impossible a satisfaire.

Ceci nous amene a reposer plus precisement le probleme a traiter.

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Exemple 1

Considerons le systeme du ”balancing pointer” decrit par lesmatrices

A =

[0 11 0

];B =

[0−1

];K =

[13 7

]; ∆ = 2

B A + BK est Hurwitz avec les valeurs propres −3,−4B Presence de points d’equilibre parasites

−5 0 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x 1

x2

(a) Closed-loop trajectories

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

x 1

x2

(b) A close-up showing the trajectories converge towardthe two equilibria

Figure 1.5: Closed-loop trajectories

In Figure 1.6, some closed-loop trajectories are shown. Simulations show that the closed-loop systemtrajectories approach a limit cycle, implying that the origin is not globally asymptotically stable.

The above two examples show that, in general, the asymptotic stability properties of the quantizationfree closed-loop system are destroyed by quantization. This phenomenon is well established in the liter-ature; see, e.g., [55, 70, 15]. The reason behind this phenomenon directly follows from the definition ofthe uniform quantizer in (1.17). Indeed, due to the deadzone effect induced by the quantizer, there exists,for both systems (1.15) and (1.16), a region of the state space wherein the control system runs in openloop. This implies that if the origin of the open-loop plant is unstable, then the origin of the closed-loopsystem is unstable as well. For instance, consider system (1.16), and suppose that the open-loop plant inunstable. Let qu and qy defined as in (1.17), with respectively ∆u and ∆y. Pick xc = 0, and x0 such that|Cx0| ≺ ∆y. Now, let ϕ be a maximal solution to x = Ax, with ϕ(0) = x0. Due to linearity, there existsa strictly positive T , such that |Cϕ(t)| ≺ ∆y for each t ∈ [0, T ]. Thus, (ϕ(t), 0) is a solution to (1.16)on the interval [0, T ]. Since this construction can be repeated for any x0 such that |Cx0| ≺ ∆y, and theopen loop-plant is unstable by hypothesis, it can be shown that the origin is unstable for system (1.16).These arguments exploited the fact that sensor quantization induces a lack of the feedback action in apolyhedral region containing the origin. On the other hand, via similar arguments, it can be shown thatactuator quantization induces the same issue. Analogous considerations hold also for the simpler case ofthe static state feedback control system (1.15).

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Remarques (1)

La propriete de stabilite du systeme sans quantification est doncperdue lorsque l’on rajoute le quantificateur

B Ce phenomene est bien etabli dans la litterature (voir parexemple Ceragioli et al., 2011, D. Liberzon, 2003, S.Tarbouriech & F. Gouaisbaut, 2012).

B La raison de ce phenomene decoule directement de ladefinition du quantificateur uniforme

B La presence de la deadzone

q(Kx) = 0 pour |Kix | ≤ ∆, i = 1, . . .m

implique qu’il existe une region de l’espace d’etat|Kix | ≤ ∆, i = 1, . . .m ou le systeme boucle evolue avec ladynamique du systeme en boucle ouverte

Le systeme boucle peut donc presenter des comportementscomplexes autour de l’origine (point d’equilibre, cycle limite, ...) quis’averent non triviaux a etudier

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Remarques (2)

On peut cependant, sous reserve que certaines conditions soientsatisfaites (D. Liberzon, 2003, S. Tarbouriech & F. Gouaisbaut,2012), montrer que les trajectoires du systemes boucle sont borneeset convergent vers un ensemble compact et invariant A qui contientl’origine.

B Un tel ensemble contiendra les points d’equilibre parasites, lescycles limites, . . .

B Cet ensemble represente une approximation par l’exterieure ducomportement du systeme autour de l’origine.

L’ensemble A possede 2 proprietes importantes :

B Les trajectoires initialisees dans cet ensemble restentdefinitivement confinees dedans (invariance) ;

B Les trajectoires initialisees en dehors de cet ensembleconvergent vers lui (attractivite).

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Probleme d’analyse

Probleme 2. Supposons les matrices A, B, K donnees, telles queA + BK est Hurwitz, determiner un ensemble compact A ⊂ Rn

contenant l’origine et UGAS pour le systeme (2).

Uniformite : convergence independante de la condition initiale.

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Resultats d’analyse (1)

On definit la non linearite ψ(Kx) = q(Kx)− Kx

u

Ψ(u)

∆

−∆

∆ 2∆ 3∆ 4∆

−∆−2∆−3∆−4∆

Ce qui nous donne le systeme boucle

x = (A + BK )x + Bψ(Kx) (3)

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Theoreme 1. Supposons les matrices A, B, K donnees, telles queA + BK est Hurwitz, alors il existe un ensemble compact A ⊂ Rn

contenant l’origine et UGAS pour le systeme (3).

C’est un resultat general dont la preuve est tres technique (Thesede F. Ferrante) qui ne nous aide pas pour caracteriser l’ensemble A.

Utilisation des proprietes de ψ :

B Lemme 1. Soient S1 et S2 deux matrices diagonales definiespositives de Rm×m. Pour z ∈ Rm, v ∈ K[ψ](v), les deuxconditions suivantes sont satisfaites :

ψ(v)′S1ψ(v)− trace(S1)∆2 ≤ 0ψ(v)′S2(ψ(v) + z) ≤ 0

(4)

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Proposition 1. S’il existe P = P ′ > 0, S1 et S2 deux matricesdiagonales definies positives et un scalaire positif τ tels que

[(A + BK )′P + P(A + BK ) + τP PB − K ′S2

B ′P − S2K −S1 − 2S2

]< 0 (5)

trace(S1)∆2 − τ ≤ 0 (6)

alors A = {x ∈ Rn; x ′Px ≤ 1} est solution du Probleme 2.

Preuve. Montrer que V (x) ≤ −βx ′x , β > 0, ∀x ∈ Rn\int(A), enutilisant les conditions du Lemme 1.

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On peut montrer qu’il existe toujours une solution (P,S1,S2, τ) auxconditions (5)-(6).

La seule non linearite est le produit τP. On peut faire une grille surτ .

Objectif implicite. Il s’agit de minimiser l’ensemble A.

B Different criteres peuvent etre choisis comme par exemple

minimise trace(P−1)

B Puisque P est une variable de decision on peut ajouter lacontrainte [

N II P

]> 0 (7)

et minimiser trace(N).

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Simulation.

Une fois que l’on a des conditions pour verifier la stabilite dusysteme, une question naturelle peut-etre posee : commentsimule-ton le systeme (3) en tenant compte du type de solutionretenu ?

B Comment integrer numeriquement les solutions du systemex = Ax + Bq(Kx) ?

B On utilise la notion de solutions d’Euler qui sont des solutionsde Krasovskii (Bressan, 1998) et la notion d’approximationpolygonale : xk+1 = xk + (tk+1 − tk)X (tk), k = 0, . . . ,N − 1(tN = T = temps de simulation)

B L’idee est d’approcher le mieux possible les solutions deKrasovskii numeriquement.

B Attention avec les solutions d’Euler, on peut ne pas voir toutesles solutions.

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Simulation (2).

Exemple : x = q(−x) = −sign(x). q transforme R en {−1, 1}.B La solution de Krasovskii est 0B On a l’approximation suivante N = 10 (bleu), N = 100

(rouge), N = 1000 (vert)

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Exemple 2 (1).

Le systeme considere est decrit par

A =

−0.5 1.5 44.3 6 53.2 6.8 7.2

;B =

−0.7 −1.3

0 −4.30.8 −1.5

;K =

[−0.7 1.9 −274.3 4.1 4.3

]

∆ = 0.5

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

x 1

x 2

x3

Figure 2.5: Some closed-loop solutions. The solutions are obtained by integrating the closed-loop modelvia an Euler method with time step 10−4.

By defining κ(x) = Kx, the determination of x needs to be carried out by searching for a point x ∈ R3,such that

0 ∈ {Ax+BK[q ◦κ](x)}.

On the other hand, for every x ∈ R3, thanks to [57, Theorem 2], since rankK = 2, one has

K[q ◦κ](x) = K[q](Kx).

Moreover, due to the decentralized structure of the function u 7→ q(u), from Proposition 1.3 it follows

K[q ◦κ](x) =2×i=1

K[q](K(i)x).

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Exemple 2 (2).

L’origine est un point instable

Les trajectoires convergent vers 2 points d’equilibre quiappartiennent aux surfaces

Kx =

[∆−∆

]et Kx =

[−∆∆

]

Ces points d’equilibre sont des equilibres de Krasovskii. Le calcul dece type de points peut s’averer tres complexe :

Ax + B

[δ1

δ2

]∆ = 0 et Kx =

[∆−∆

]

pour (δ1, δ2) ∈ [0, 1]× [−1, 0]

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Conclusion.

Les conditions LMIs obtenues sont les memes que l’on considere dessolution de type Caratheodory ou de Krasovskii.

Considerer les solutions de Krasovskii et le cadre mathematiqueassocie permet de calculer les points d’equilibre

Un autre point clef dans l’utilisation de solutions de Krasovskiireside dans la simulation.

B Integration numerique via Euler ((xk+1 − xk)/τ)B Euler correspond a Krasovskii pour τ → 0

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Etendre la classe des quantificateurs (precision finie de typelogarithmique par exemple)

B suppression du chattering par exemple en ajoutant unphenomene d’hysteresis

B quantificateur dynamique

Classe de systemes non-lineaires (par exemple polynomiaux)

B Generaliser le type de fonction de Lyapunov

Co-design : synthetiser le quantificateur (en fonction des proprietessouhaitees)

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