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표지 연습문제
PRNG(Pseudorandom Number Generator) : 진정한의미의 random number
는 — 물론 정의하기 나름이겠지만 — 존재할 수 없다. 따라서 인위적으로 만든
‘random’ number를 pseudorandom number라고부른다.
표지 연습문제 : 표지 그림은 PRNG의 하나인 LCG(Linear Congruence Gen-
erator)를이용하여만들어졌다. 즉, x1 = 1015568748에서시작하여
xn+1 ≡ axn + b (mod N)
을 이용해(보기12.1.6의 표기법 참조), x2, x3, . . .을 구한 후 모두 10-digit 자연
수의 ‘형태’로 나타낸 것이다. 따라서, 모든 row에는 각각 5개의 10-digit ‘형
태’의 수가 있다. 예를 들어, x2 = 1586005467이고, x21 = 0927463856이다(따
라서 x21은실제는 9자리수). 이때, 자연수 a, b와 N을구하라.
Hint : (가) 답은유일하지않을수도있다. 유일할수도있고 · · · · · · .(나) ‘모범답안’을 위해서는, 사실은, x1, . . . , x5 다섯 개의 정보만 있으면 충분
하다. (물론 x1, . . . , x5로부터추정한 a, b와 N이 x145까지생성하는것을확인
해야 한다.) 이런 문제를 푸는 방법을 흔히 “GCD attack”이라고 부른다. (보통
Excel은큰수를다루지못하므로, Mathematica를이용할것을추천한다.)
첨부 : cover data.xlsx (알수없는이유로 xlsx file은 “열기”가잘되지않는다.
이 file을 “저장”하기바란다.)
1
§ 1.2 : 행 간소 사다리 꼴
우리는 “행 간소 사다리 꼴”과 “row-reduced echelon form”이라는 용어를
사용하고 있다.1 그런데, 특히 영문 표현은 “reduced row echelon form” 또는
hyphen을 사용한 “reduced row-echelon form”이라는 용어가 더 많이 사용되는
듯하다. (가끔 “row canonical form”이라는 용어도 사용되지만, 독자들에게 권
하고싶지않다.)
원래 “row echelon form”의 non-zero row의 첫 번째 non-zero component를
1로 “reduce”한것을 “reduced row echelon form”이라고부르는것같다.
저자는 elementary row operation을 사용해 “reduce”했음을 강조하는 의미
에서 “row-reduced”라는 표현을 사용하였다. 따라서, 저자는 오히려 우리말 표
현 “행 간소 사다리 꼴”을 영어로 번역했다고 할 수 있다.2 만약 “reduced row
echelon form”을직역한다면 “간소행사다리꼴”이되기때문이다.3
1 [I, 초판]에서는별생각없이 “사다리꼴”을 “사다리꼴”로쓰는오류를범했었다.2저자는 “행간소사다리꼴”이라는용어를이일해선생님의선형대수학책에서배웠다.3실제로 “기약행사다리꼴”이라는용어도사용되는것같다.
2
보조정리 3.5.3의 귀납법 증명
다음은 [ I, 초판 ]에실렸던 [보조정리 3.5.3의귀납법증명 ]이다 :
보조정리 3.5.3. Vector space V 가 finite -basis B = {v1, . . . , vm}을 갖는다고하자. 이때, 만약 C= {w1, . . . , wn}⊆ V 이고 m<n이면, C는 일차종속이다.
증명 : 물론 우리는 C = {w1, . . . , wn+1}인 경우만 생각하면 충분하다(왜 그
런가 ?). 간편한 표기법을 위하여 여기에서는 n = 3인 경우만 증명하기로 한다.
(증명의 본질은 n = 3인 경우에 모두 포함되어 있다.) 이제 {w1, w2, w3, w4}가일차독립이라고가정해보자. 그러면 {v1, v2, v3}가기저이므로,
w1 = a1v1 + a2v2 + a3v3
인 a1, a2, a3 ∈ F 가존재한다. 이때 ai 중적어도하나는 0이아니므로(왜그런
가 ?), 우리는 (after renumbering) a1 ̸= 0이라고가정할수있다. 그러면,
v1 =1
a1w1 +
−a2a1
v2 +−a3a1
v3
가되고, 따라서
V = ⟨v1, v2, v3⟩ = ⟨w1, v2, v3⟩
임을알수있다. 다음에는,
w2 = b1w1 + b2v2 + b3v3
인 b1, b2, b3 ∈ F 가 존재하고, b2 = 0 = b3일 수는 없으므로(왜 그런가 ?), b2 ̸= 0
이라고가정할수있다. 따라서, v2를 {w1, w2, v3}의일차결합으로쓸수있고,
V = ⟨w1, v2, v3⟩ = ⟨w1, w2, v3⟩
가 된다. 이제 같은 작업을 w3에 대해 반복하면(독자들은 이 부분을 임의의
n의경우에귀납법으로증명해보기바란다. [4, “Old Version”, p. 51] 참조),
V = ⟨v1, v2, v3⟩ = ⟨w1, w2, w3⟩
가 된다. 그러므로, w4는 {w1, w2, w3}의 일차결합으로 쓸 수 있다. 그러나 이
는 우리가 증명을 시작할 때 {w1, w2, w3, w4}가 일차독립이라고 한 가정에 모순이다. �
3
위 [보조정리 3.5.3의 귀납법 증명 ]은 얼핏 그 증명법을 외워야 할 것으로 생
각하기쉽다. 그러나위증명법은사실우리가중학교에서배운것이다. 즉,
wj = a1jv1 + · · ·+ anjvn, (j = 1, . . . , n+ 1)
에서 vi들을차례로소거하여 wj들만의식을만든것이다.
다시 말하면, 보조정리 3.5.3의 증명은 본질적으로 따름정리 1.2.6의 두 번째
증명과유사하다.
4
정리 3.5.10의 증명에의 추가 Comment
다음 comment는 [ I, 초판 ]에 포함되어 있었는데, 어찌어찌하여 [ I, 개정판 ]
에는빠졌다.
정리 3.5.10의 증명에의 추가 comment : 독자들은 정리 3.5.10의 증명에서 [S
의 linearly independent subset 중에서 원소수가 maximum인 집합 ]이라는 기
발한 idea에 기가 죽을지도 모른다. 그러나 사실 이 idea는 Zorn’s Lemma의
idea이다. 훗날 Zorn’s Lemma를배우게되면, 이증명법은우리의 ‘본능’이된
다.
5
§ 3.8 : 행 간소 사다리 꼴의 유일성 증명 : “THE Proof”version
190225마침내 행 간소 사다리 꼴의 유일성에 관한 “THE Proof”가 발견되었다.4 다
음쪽에
http://www.cs.uleth.ca/˜holzmann/notes/reduceduniq.pdf
를추가한다.5 이 pdf file에는 2002년 10월 15일에작성되었다는기록이있다.
[ I, § 3.8]의 귀납법 증명이나 이 문서의 뒤에 등장하는 두 개의 증명(§ 5.4 : 행간소 사다리 꼴의 유일성, 추가 증명(1)–(2))에게는 이제 Holzmann의 “THE
Proof”가 얼마나 아름답고 명쾌한지를 극적으로 보여주는 쑥스러운 역할만이 남
게되었다. Holzmann의증명에열렬한박수를보낸다 !
그리고, Holzmann의 증명에서 우리는 [ I, 16쪽 ]의 ‘철학자의 시도’가 드디어
— 결국 — 그 위용을 뽐내고 있음을 발견할 수 있다. 따라서 Holzmann의 증명
은당연히 [ I, § 1.2]에등장할수있게되었다.
참고 1 : 노파심에서다음 쪽의 증명에관한 보충설명을 하나 추가한다. R,S가
다음 쪽 Holzmann의 증명에서와 같을 때, R,S에는 zero-column이 없다고 가
정할수있다. 왜냐하면, zero-column은 elementary row operation으로부터아
무런영향을받지않기때문이다.
참고 2 : Holzmann의 증명 마지막 단락에 있는 ‘augmented matrix’의 뜻은 자
명하다. 즉연립방정식 (∗∗) AX =B의 ‘augmented matrix’는(m×(n+1)
)-행
렬 (A,B)이다. ([I, 13쪽 ] 참조.)
4이값진정보를찾아내알려준홍진교수에게감사.5 Since I do not know the mail address of Prof. Holzmann, I am not able to obtain approval
for reproducing the document here. I believe, however, Prof. Holzmann would be happy to
find “THE Proof” here.
6
Uniqueness of Reduced Row Echelon Form
Many introductory linear algebra books either fail to mention this result, omit itsproof, or present a proof which is unnecessarily complicated or uses arguments beyond thecontext in which the result occurs. Here’s a proof which, hopefully, suffers from none ofthese deficiencies.
Theorem: The reduced (row echelon) form of a matrix is unique.Proof (W.H. Holzmann): If a matrix reduces to two reduced matrices R and S, then
we need to show R = S. Suppose R 6= S to the contrary. Then select the first (leftmost)column at which R and S differ and also select all leading 1 columns to the left of thiscolumn, giving rise to two matrices R′ and S′. For example, if
R =
1 2 0 3 50 0 1 4 60 0 0 0 0
and S =
1 2 0 7 90 0 1 8 90 0 0 0 0
,
then
R′ =
1 0 30 1 40 0 0
and S′ =
1 0 70 1 80 0 0
.
In general,
R′ =[
In r′
O 0
]or
In 0
O
10...
,
and
S′ =[
In s′
O 0
]or
In 0
O
10...
.
It follows that R′ and S′ are (row) equivalent since deletion of columns does not affect rowequivalence, and that they are reduced but not equal.
Now interpret these matrices as augmented matrices. The system for R′ has a uniquesolution r′ or is inconsistent, respectively. Similarly, the system for S′ has a unique solutions′ or is inconsistent, respectively. Since the systems are equivalent, r′ = s′ or both systemsare inconsistent. Either way R′ = S′, a contradiction.
§ 3.8 : 연습문제 추가
보조정리 3.8.3 다음에연습문제 추가.
연습문제 : 다음두집합
[rank가 r인 (m×n)-행간소사다리꼴전체집합 ]
과그리고
[M1,n(F )의 r-dimensional subspace 전체집합 ]
사이에 one-to-one correspondence가존재함을보여라.
8
§ 4.2 : 연습문제 추가
연습문제 4.2.21에 (다)항과 (라)항추가.
연습문제 4.2.21. (다) L(Mm,n(F ),Mm,n(F ))의 모든 원소를 λA의 형태로 나
타낼수있는가 ?
(라) λA가 isomorphism이기 위한 필요충분조건은 A가 가역행렬인 것임을 보
여라.
9
기본정리의 증명에 관해
다음은 [ I, 초판 ]의 기본정리(정리 5.3.3) 아래 註에 있었던 내용이다. 이 註
는 어찌어찌하다가 개정판에는 실리지 않았다. 이 註가 “큰 도움(위안?)이 되
었다”거나 “교재에서 가장(?) 기억에 남는 표현이었다”는 몇몇 독자의 mail을
받았던기억이나이곳에다시올린다.
[ I, 초판 ] 정리 5.3.3 아래 註 : 기본정리(정리 5.2.2와정리 5.3.3)의증명은 ‘기
계’가 하는 증명이다. 그렇지만, 지금 단계에서 기본정리의 증명을 이해할 수 없
거나, 혼자 힘으로 기본정리를 증명할 수 없다고 해서 실망할 필요는 없다. 이
증명은 ‘달리기 훈련’을 하다 보면 — 즉, ‘mathematical maturity’가 쌓이게 되
면 — 어느 날 자신도 모르는 사이에 저절로 혼자 힘으로 할 수 있게 되는 그런
종류의 증명이다. 그러므로, 먼저 기본정리의 내용과 그 결과들(§ 5.4의 내용)을
이해하고, 표기법에 익숙해질필요가있다.
10
§ 5.4 : Rank Theorem의 ‘Elementary’ Proof
[ I ]의 중심 ‘story’ 중 하나는 F의 선택과 무관하고 행 간소 사다리 꼴을 이용
하지않는 Rank Theorem의증명이다. (명제13.8.12 참조.)
저자는 다음 증명을 정경훈 교수로부터 배웠다. 이 증명은 F 의 선택과 무관
하고 행 간소 사다리 꼴을 이용하지 않는 ‘elementary’ proof이다. 저자는 이 증
명을보고정말깜짝놀랐다.
관찰 : A ∈ Mm,n(F )이고, B ∈ Mr,n(F )라고 하자. 만약{[A]1, . . . , [A]m
}⊆
⟨[B]1, . . . , [B]r⟩이면, A=CB인 C ∈Mm,r(F )가존재한다.
증명 : [A]i =∑r
j=1 cij [B]j일 때(단, cij ∈ F ),6 C = (cij)로 놓으면 된다. 확
인해보라. �
다음 증명은 그 motivation을 잘 모르겠다 · · · · · · . (이 증명은 A = CB일 때
LA =LC ◦LB를생각하므로, 보기 5.4.12 다음에위치하면적당할것이다.)
Rank Theorem의 증명(정경훈) : 행렬 A ∈ Mm,n(F )의 row rank가 r일
때,7{[A]i1 , . . . , [A]ir
}을 A의 row space의 basis라고 하자. 또 B ∈ Mr,n(F )
를 그의 j -th row가 [A]ij인 행렬로 정의하자(단, j = 1, . . . , r). 그러먼 위 관찰
에 의해, A = CB인 C ∈ Mm,r(F )가 존재할 것이다. 이때 C는 (m× r)-행렬이므로, C의 column rank는 r보다 클 수 없다. 한편 LA = LC ◦ LB이므로,
imLA ≤ imLC이다. 따라서
[column rank of A ]≤ [column rank of C ]≤ r= [row rank of A ]
가된다. 즉, 임의의 A∈Mm,n(F )에대해,
[column rank of A ]≤ [row rank of A ]
가성립한다는뜻이다. 이제 A 대신 At를생각하면,
[row rank of A ]≤ [column rank of A ]
도얻는다. �6Column이아닌 row를다루고있으므로, i, j의역할이보통때와는다르다.7만약 A=0이면, 아무것도증명할것이없으므로, A ̸=0이라고가정한다.
11
§ 5.4 : 행 간소 사다리 꼴의 유일성, 추가 증명(1)
다음증명은 Friedberg-Insel-Spence(Linear Algebra, 4th ed., Pearson, 2002)
에서 발췌하였다. 우리에게는 이 증명은 보기 5.4.17 다음에 위치할 것이다. 실
제로이증명은보기 5.4.17에몇줄만더하면된다.
보기 5.4.17. (imLA의 basis 찾기) A ∈ Mm,n(F )일 때 imLA의 기저를 찾
는 체계적인 방법을 알아보자. 이를 위해 A로부터 만들어진 행 간소 사다리 꼴
R을 생각한다. 따라서 EA = R인 가역행렬(elementary matrix들의 곱) E ∈Mm,m(F )가 존재한다. 다음, rk(R) = r이라고 놓고, [최초의 1]이 나타나는
R의 column들을{[R]k1 , . . . , [R]kr
}이라고 표기하면, {f1, . . . , fr}이 imLR의
basis가 되는 것은 당연하다(단, {f1, . . . , fm}은 Fm의 표준기저). 이제 위 보
기 5.4.16을 조금 modify하면, isomorphism L−1E 는 imLR의 기저를 imLA의
기저로옮긴다. 그런데,
L−1E fi = L−1
E (LReki) = LAeki = [A]ki , (i = 1, . . . , r)
이므로,{[A]k1 , . . . , [A]kr
}이 imLA의 basis가된다.
참고 : 보기 5.4.17에는 [R]ki = fi라는 사실이 — 너무 당연하여 — 분명히 기록
되어있지않다.
행 간소 사다리 꼴의 유일성 증명 : 보기 5.4.17의표기법을계속사용하자. 이
제{[A]k1 , . . . , [A]kr
}이 imLA의 basis이고, imLA는 [A의 column space]와
같으므로,
[A]j = d1j [A]k1 + · · ·+ drj [A]
kr , (j = 1, . . . , n)
인 dij ∈ F 가 (유일하게) 존재할것이다. 또, EA=R이므로, LE [A]j = [R]j인
것은당연하다. 따라서, [R]ki = fi이므로,
[R]j = LE [A]j = d1j [R]
k1 + · · ·+ drj [R]kr = d1j f1+ · · ·+ drj fr, (j = 1, . . . , n)
이된다. 이를달리표현하면, 행렬 A가(즉, A의 column들이) R을(즉, R의
column들을) 완전히 결정한다는 뜻이다. 그러므로 A로부터 만들어진 행 간소
사다리꼴 R은유일하다. �
12
§ 5.4 : 행 간소 사다리 꼴의 유일성, 추가 증명(2)
다음 증명은 [ I, 초판, § 5.6]에 실렸던 내용이다. 저자는 이 증명을이일해 선
생님 [3]께배웠다.
연습문제 : 아래정리A의증명에는 Rank Theorem이필요한가 ?
이제 V = Fn, W = Fm이라고 하고, 제1장의 row-reduced echelon form을
다시 생각해 보자. 우리는 행렬 A ∈ Mm,n(F )에 elementary row operation을
시행하는 것은 그에 대응하는 elementary matrix를 A의 왼쪽에 곱하는 것과 같
다는것을알고있다(관찰 1.3.1 참조).
그런데, elementary matrix들은가역이므로, A에 elementary row operation
을 유한 번 시행하는 것은 결국 A의 왼쪽에 가역행렬 U를 곱하는 것과 같다.
이제가역행렬 U를 [transition matrix [I]FC for some basis C of Fm ]으로인식
하자(단, F는 Fm의표준기저). 즉,
U = [I]FC
라고하면, 기본정리에의해,
UA = [I]FC · [LA]EF = [LA]
EC
로쓸수있다.
이제, 우리의새로운언어로제 1장의정리1.2.3을번역하면다음과같다.
정리A. (정리1.2.3의 再해석) A ∈Mm,n(F )이면, [LA]EC가 row-reduced eche-
lon form인 Fm의 기저 C가 존재한다. 이때, A의 row-reduced echelon form은
유일하게 결정된다.
증명은다음쪽으로미루고, 우선 :
주의B. 위 정리는 A의 row-reduced echelon form이 유일하다는 뜻이지, Fm
의기저 C가유일하다는뜻은아니다.
13
정리A의 증명 : [존재성 ] 우선, dim imLA = r이라고표기하자. 또,
V0 = 0, Vk = ⟨e1, . . . , ek⟩ ≤Fn, (k = 1, . . . , n)
이라고표기하자. 그러면,
LA(V1)≤LA(V2)≤ · · · ≤LA(Vn) = imLA ≤Fm
인것은당연하다. 또,
dimLA(Vk)≤ dimLA(Vk−1)+1, (k = 1, . . . , n)
인 것도 분명하고, 이때, dimLA(Vk) = dimLA(Vk−1) + 1일 필요충분조건은
LA(ek) /∈ LA(Vk−1)인 것이다. 그런데, dim imLA = r이므로, dimLA(Vk) ̸=dimLA(Vk−1)인 ‘dimension jump’가일어나는횟수는정확히 r -번일것이다.
이 dimension jump가일어나는경우를
LA(eki) /∈ LA(Vki−1), (i = 1, . . . , r)
이라고놓자 (물론, k1 < k2 < · · · < kr). 그리고, 이제
LA(eki) = Yi ∈ Fm, (i = 1, . . . , r)
이라고표기하자. 그러면,
Yi /∈ LA(Vki−1) = ⟨Y1, . . . , Yi−1⟩ , (i = 1, . . . , r)
(단, Y0 = 0)이므로, {Y1, . . . , Yr}은 Fm의 일차독립인 부분집합이다. 다음에
는 {Y1, . . . , Yr}을 Fm의기저 C= {Y1, . . . , Ym}으로확장하자(Basis Extension
Theorem). 이제 우리는 [LA]EC가 다음과 같은 모습 — 즉, row-reduced echelon
form의모습 — 인것을확인할수있다 :
k1 k2 k3
↓ ↓ ↓
[LA]EC =
0 1 ∗ 0 ∗ 0 ∗ · · ·0 0 0 1 ∗ 0 ∗ · · ·0 0 0 0 0 1 ∗ · · ·0 0 0 0 0 0 0 · · ·...
......
......
......
. . .
0 0 0 0 0 0 0 · · ·
.
14
(위 행렬에서, 굵은 0이나 ∗는 여러 column을 계속할 수도 있다(없을 수도
있고)는 뜻이고, ∗는 무언가(zero이건 non-zero이건) 있다는 뜻이다. 맨 윗줄
의 k1, k2, k3는물론 column의번호를의미한다.) 따라서, row-reduced echelon
form의 existence가 (한번더) 증명되었다.
[유일성 ] 그런데, 위의 존재성 증명을 다시 잘 살펴보면, 행렬 A가 주어지
면, dimension jump가 일어나는 위치 k1, . . . , kr이 유일하게 결정되고, 따라서
{Y1, . . . , Yr}도 유일하게 결정되는 것을 알 수 있다. 이제 {Y1, . . . , Yr}을 Fm
의 기저 C = {Y1, . . . , Ym}으로 확장하는 방법은 유일하지 않지만, 이 기저의
{Yr+1, . . . , Ym} 부분은 row-reduced echelon form에 아무런 영향도 주지 못한
다. 왜냐하면, {Y1, . . . , Yr}이 imLA의 기저이므로, A의 row-reduced echelon
form의 아랫쪽 (n − r)-개의 행은 zero이기 때문이다. 마침내, row-reduced
echelon form의 uniqueness가증명되었다. �
15
§ 5.4 : 연습문제 추가
다음은명제 3.3.12의일반화이다.
연습문제 5.4.24 a. {v1, . . . , vn}이벡터공간 V의 basis일때, wj =∑n
i=1 aijvi
라고하자(단, 1≤ j≤ r≤ n). 이때 A= (aij)∈Mn,r(F )로놓고, 다음조건
(1) {w1, . . . , wr}은일차독립.
(2) {[A]1, . . . , [A]r}은일차독립. (즉, A는 full rank를갖는다.)
은동치임을보여라.
위연습문제는
(가) 명제 3.3.12의증명(i)과그역증명을흉내낼수도있고,
(나) 보기 5.4.20을흉내낼수도있다. (이때아마관찰 5.4.24가필요할것이다.)
독자들은두가지방법모두연습해보기바란다.
그러고보니, 더일반적인 statement도가능하다.
연습문제 5.4.24 b. {v1, . . . , vn}이벡터공간 V의 basis일때, wj =∑n
i=1 aijvi
라고하자(단, 1≤ j≤ r≤ n). 이때 A= (aij)∈Mn,r(F )로놓으면,
dim ⟨w1, . . . , wr⟩ = rk(A)
임을보여라.
16
§ 5.5 : Change of Basis
§ 5.5의 제목은 “Change of Bases”이다. 본문 중에도 “기저 변환(change of
bases)의정보”라는문구가있다.
그런데 · · · · · · , 아마도 “Change of Basis”가맞는표현인것같다. (기저가하
나뿐이면바꿀수가없는데 · · · · · · .)
17
§ 5.5–5.6 : Conjugacy Problem
§ 5.6은— § 5.5와비교해볼때—약간의차이가있다. 즉, § 5.6에는 § 5.5의‘닮은’ 함수(정의 5.5.9(가)항과 연습문제 5.5.11)에 대응하는 similar function에
관한이야기가생략되어있다.
Similar function에 관한 내용은 — 뭐 매우 어렵다고 할 수는 없겠지만 — 무
언가 (선형대수와는 별로 관련이 없는) 새로운 발상이 필요하다고 판단되어 (고
의로) 생략하였고, 이제이곳에방학숙제로올린다. 먼저정의부터분명히하자.
정의 : f, g : S→ S가 (단순히) 함수일때, 다음 commutative diagram
S Sg//
S
S
φ
��
S Sf // S
S
φ
��//
≀≀
��
//
≀≀
��
�
을 갖는 bijection φ : S → S가 존재하면, f ∼ g로 표기하고, f, g는 similar
function이라고 부르자. 이때 ∼은 물론 equivalence relation이다(확인해 보
라).
방학숙제 : Similar function들의 equivalence class를 (모두) 묘사하라.
Hint : 지금 너무 많은 시간을 투자할 필요는 없다. 후에 symmetric group Sn
의 conjugacy class를 공부하게 되면, 먼저 f, g가 bijection인 경우부터 생각해
보라. (Conjugacy class는정의 11.8.9 참조. Symmetric group Sn의 conjugacy
class는, 예를들어, [N. Jacobson, Basic Algebra I, Second Edition, p. 74–75]
참조.8)
우리는 위 방학숙제와 similar matrix(또는 similar linear operator)를 분류
하는 문제 등을 흔히 similarity problem이라고 부른다. 한편 similarity prob-
lem과 연습문제 5.5.11 등을 통틀어 (넓은 의미의) conjugacy problem이라고
부르는것같다.9
8 σ∼ τ ∈Sn if and only if σ, τ have the same ‘cycle type’.9어떤 group의 conjugacy class를찾는것이좁은의미의 conjugacy problem.
18
§ 6.2 : 연습문제 추가
다음 결과는 제151쪽에 꼭 포함되었어야 하는데 · · · · · · , 어찌어찌하다가 누락되었다.10
연습문제 : 보기 6.2.24(가)항에서, [L]BB = (aij)로놓으면,
[L]Bσ
Bσ= (Iσ)
−1 ·[L]BB ·Iσ = (aσ(i),σ(j))
임을보여라. (즉, [L]Bσ
Bσ의 (i, j)-성분은 aσ(i),σ(j).)
아마, 연습문제 6.2.26을 풀면서, 스스로 위 결과를 증명한 독자들도 많았을
것이다.
다음연습문제는노파심에서추가하였다.
연습문제 : 다음 엉터리 주장은 무엇이 잘못되었는가 ? [엉터리 주장 ] : 연습
문제 6.2.18(나)항의 statement는 false이다. 즉, A ∈ Mn,n(F )이고 σ ∈ Sn
이면, AIσ는([A]σ(1), . . . , [A]σ(n)
)이 아니고
([A]σ
−1(1), . . . , [A]σ−1(n)
)이라고
하는 것이 맞다. 왜냐하면, 예를 들어, 만약 σ = τ1 ◦ τ2라면(단, τ1, τ2는
transposition), AIτ1 =([A]τ1(1), . . . , [A]τ1(n)
)이고, 따라서 AIσ = (AIτ1)Iτ2 =(
[A]τ2◦τ1(1), . . . , [A]τ2◦τ1(n))이기 때문이다(관찰 6.2.19(나)항 참조). 물론, 이때
τ2 ◦ τ1 = σ−1.
10저자가깜박했다 · · · · · · .
19
표기법 7.1.2.
표기법 7.1.2에서 T ∈ LM이라고 하면, “dimV = n”이라고 했으므로, V는
물론 f.d.v.s.이다. 게다가 A ∈ Mn,n(F )일 때, A = LA로 identify한다는 우
리의철학 — 즉, “선형대수학의기본정리” — 도물론 f.d.v.s.일때의이야기이
다. (“선형대수학의 기본정리”를 무한차원으로 확장하려면, (∞×∞)-matrix를
정의해야만할것이다.)
예를들어, 연습문제 8.2.5는만약 V와 W가무한차원이라면 true가아니다.
(즉, 연습문제 8.2.5에는 V가 f.d.v.s.라는 가정이 필수적이다.) 반례를 찾아보
라.
20
§ 7.4 : Caley-Hamilton Theorem의 막가파式 증명
Caley-Hamilton Theorem의막가파式증명은그오류에대해단한점의의혹
도 남겨서는 안 된다. 저자의 경험에 의하면, 한 교실에 한 명쯤은 끝까지 우기
는막가파가있다. (그한명이가끔은 lecturer일때도있다 · · · · · · .)
보기 : A= (aij)∈Mn,n(F )일때, ψA(t)∈F [t]를
ψA(t) = tr(tI−A) = tr
t−a11 −a12 −a13 · · · −a1n−a21 t−a22 −a23 · · · −a2n...
......
. . ....
−an1 −an2 −an3 · · · t−ann
로 정의하자.11 막가파들은 “ψA(A) = tr(AI − A) = tr(A−A) = tr(0)이므로
ψA(A) = 0”이라고억지를부릴것이다. 그러나,
ψA(t) = tr(tI−A) = (t−a11)+ · · · +(t−ann) = nt− tr(A)
임은명백하고, 따라서,
ψA(A) = nA− tr(A) ·I
가된다.
다른보기도얼마든지많이있다.
보기 : A= (aij)∈Mn,n(F )일때, πA(t)∈F [t]를
πA(t) =[(tI−A)의 (1, 2)-성분
]으로 정의하자. 막가파들은 이번에도 “πA(A)는 (AI − A)의 (1, 2)-성분, 즉
zero matrix의 (1, 2)-성분”이라고우길것이다. 그러나,
πA(t) = −a12, πA(A) = −a12I
임에는의심의여지가없다.
더 이상 장황한 설명은 필요하지 않을 것이다. 막가파들은 애당초 “ϕA(A),
ψA(A), πA(A) 등은 scalar”라고오해하고있으니말이다.
11ψA(t)는 similarity relation의 invariant이기도하다.
21
§ 7.4 : Adjoint Matrix를 이용한 Caley-Hamilton Theorem의 증명
다음은 [ I, 초판 ]에 실렸던 내용이다. 저자는 이 증명을 이일해 선생님 [3]께
배웠다. Caley-Hamilton Theorem은 행렬식에 관한 내용이므로, ‘행렬식의 완
결판’이라고할수있는 classical adjoint를이용하는증명이있는것은당연하다.
Adjoint matrix를 이용한 Caley-Hamilton Theorem의 증명 : 간편한 표기
법을위하여 T =A ∈Mn,n(F )라고하자. (그렇게가정해도좋은이유는무엇인
가 ?) 그리고, 행렬 (tI−A)의 adjoint matrix를 B(t)라고표기하자. (유식한척
하자면, (tI−A)와 B(t) 등을 F [t]-위의행렬로본다.12) 이제, adjoint matrix의
정의를 살펴보면, B(t)의 모든 좌표들이 (t에 관해) (n−1)-차 이하의 degree를
갖는다항식임을알수있다. 따라서,
B(t) = B0 + tB1 + · · ·+ tn−1Bn−1, (단, B0, B1, . . . , Bn−1 ∈Mn,n(F ))
로표현할수있을것이다. (Bi에는 t가나타나지않는다.) 그런데, adjoint ma-
trix에관한정리 6.7.2에의하면,
B(t)(tI−A) = det(tI−A) ·I = ϕA(t) ·I
이다. 그러므로,
ϕA(t) = tn + an−1tn−1 + · · ·+ a1t+ a0
로표기하고, 위식의양변을비교하면,
−B0A = a0I
B0 −B1A = a1I
...
Bn−2 −Bn−1A = an−1I
Bn−1 = I
를 얻는다. 이 식들의 양변에 각각 (위에서부터 차례대로) I,A,A2, . . . , An을
(오른쪽에) 곱해모두더하면, 0 = ϕA(A)를얻는다. �
12이 증명이 읽기에 벅차면, 내년으로 — matrix algebra Mn,n(F [t])가 익숙해진 후로 — 미루
어도좋다.
22
§ 7.5 : 연습문제 추가
다음은연습문제 7.5.12의결과이다.
연습문제 7.5.12 a. T ∈LM이다음조건
tr(T ) = n, Tm = I, (for some integer m≥ 1)
을만족시키면(물론 n= dimV ), T = I임을보여라.
Hint : T를 triangularize하면, T가 unipotent임을 보일 수 있다. (이때 아래
연습문제 7.5.12 b가필요할것이다.) 그리고연습문제 7.5.12를적용.
다음연습문제는정말초보적이지만, 아마도그리익숙하지는않을것이다.
연습문제 7.5.12 b. α1, . . . , αr ∈C가다음조건
|α1 + · · ·+ αr| = |α1|+ · · ·+ |αr|
을만족시키면,
αi = ciβ, (i = 1, . . . , r)
인 β ∈ C와 0≤ c1, . . . , cr ∈ R이존재함을 보여라. 물론이때 |β|= 1이라고해
도 OK.
Hint : r에관한귀납법.
참고사항두개.
참고 : (가) 연습문제 7.5.12 b는 이 document의 연습문제 10.2.8 a의 특수한 경
우이다.
(나) (“현대대수학 1”을 수강한 후에 읽어 보라.) 연습문제 7.5.12 a의 명제는
char(F ) > 0이면, true가아니다.
23
§ 7.6 : Direct Sum의 Associativity
§ 7.6의 direct sum에서 확인해 두어야 할 사항들이 있다. 이 내용은 출판물
에 포함시키기에는 좀 어색(지저분)하여 이곳에 올린다.13 (아래의 모든 벡터공
간은 V의부분공간이고, 예를들어, wi ∈Wi, u∈U .)
Commutativity : U⊕W =W⊕U .
뜻풀이 : 우리는 U ∩W = 0일 때, U +W = U⊕W의 표기법을 사용한다. 마
찬가지로 우리는 W ∩ U = 0일 때, W + U =W⊕U의 표기법을 사용한다. 즉,
U⊕W =W⊕U의뜻은 U∩W = 0=W∩ U이고, U+W =W+U라는것이다.
연습문제 : σ ∈ Sk일때, 다음등식
W1⊕ · · ·⊕Wk =Wσ(1)⊕ · · ·⊕Wσ(k)
의의미를설명하라.
Associativity : (W1⊕W2)⊕W3 =W1⊕W2⊕W3 =W1⊕(W2⊕W3).
뜻풀이 : 예를 들어, U = W1⊕W2로 놓으면, U의 모든 원소는 (w1 +w2)의
꼴로 유일하게 쓸 수 있다. 그리고 (W1⊕W2)⊕W3 = U⊕W3의 모든 원소는
(u+w3)의꼴로유일하게쓸수있으므로, 결국 (W1⊕W2)⊕W3의모든원소는
(w1+w2)+w3의꼴로유일하게쓸수있다. 한편, (W1+W2+W3)의모든원소
는 (w1+w2+w3)의 꼴로 유일하게 쓸 수 있다. 그 말이 그 말(종이가 아깝다).
따라서, (W1⊕W2)⊕W3 =W1⊕W2⊕W3. 오른쪽등식도마찬가지.
연습문제 : 만약 V =W1⊕ · · · ⊕Wk이고,
Wi = Ui1⊕Ui2⊕ · · · ⊕Uihi , (i = 1, . . . , k)
이면,
V = U11⊕ · · · ⊕U1h1⊕ · · · ⊕Uk1⊕ · · · ⊕Ukhk
로쓸수있음을설명하라.
13이 내용은 “현대대수학” 강좌에서 internal direct sum과 external direct sum은 본질적으로
같음을배우면더욱분명해진다. [II, 제 9장] 참조.
24
관찰 7.6.19의 ‘Elementary’ Proof
관찰 7.6.19. Fn의 모든 subspace는 solution space of (∗) AX = 0 for some
A∈Mm,n(F ). (물론이런 A와 m은유일하지않다.)
이 관찰의 증명은 direct sum과 natural projection을 이용하는 것이 우리의
‘취향’이다. 그렇지만, 물론, direct sum을모르고도이관찰을증명할수있다.
‘Elementary’ Proof : W ≤ Fn일때, W = kerLA인행렬 A ∈Mm,n(F )를찾
아야 한다. 우선 {X1, . . . , Xr}을 W의 basis라고 하고, 이를 extend하여 Fn
의 basis {X1, . . . , Xr, Y1, . . . , Ym}을찾는다. 다음 linear map L : Fn →Fm을
L(Xi) = 0, L(Yj) = fj , (1≤ i≤ r, 1≤ j≤m)
로 정의하자(단, {f1, . . . , fm}은 Fm의 표준기저). 그러면, 기본정리에 의해
L = LA인 A ∈ Mm,n(F )가 존재하고, 이때 kerL = kerLA = W인 것은 자명.
�
25
보기 8.1.3.
보기 8.1.3의설명에약간의 gap이있는것같다. 즉, α ∈C가 f(t) ∈R[t]의
root이면, α ∈ C도 f(t)의 root이지만, 아직 f(t)의 non-real root가 짝수 개
인 것을 알 수 없다. 왜냐하면, non-real root α와 α의 multiplicity가 다를 수
도있기때문이다(물론그런일은일어나지않지만).
이제이 gap을메워보자. 만약 f(t)가 non-real root α와 α를갖는다면,
f(t) = (t−α)(t−α)f1(t)
인 f1(t) ∈ C[t]가 존재할 것이다. 이때 f1(t) ∈ R[t]임을 보일 수 있다면, 이런
작업을계속하거나또는수학적귀납법으로증명을끝낼수있을것이다. 그러나
f1(t)∈R[t]임은자명하지않다. 뭐어렵지도않지만 · · · · · · .
명제 : f(t)∈R[t]가 non-real root α(와 α)를 가질 때,
g(t) = (t−α)(t−α) ∈ R[t]
로 놓자. 그러면, g(t) divides f(t) in R[t].
증명 : R[t]의 division algorithm을이용한다. 이제
f(t) = g(t)q(t)+ r(t), deg(r)≤ 1
인 q(t), r(t) ∈ R[t]가 존재할 것이다. 이 등식의 양변을 α에서 evaluate하면,
g(α) = 0이므로,
0 = f(α) = g(α)q(α)+ r(α) = r(α)
가 된다. 그러나 α /∈ R을 root으로 갖는 1-차 이하의 실계수 다항식은 zero뿐
이다. 즉, r(t) = 0. �
독자들은 위 명제의 증명과 정리 7.5.2의 증명 및 보기 7.5.5의 논의와 비교해
보기바란다.14
참고 : 위 명제의 증명은 내년에 “현대대수학”을 수강한 후에는 우리의 ‘사고방
식’이 된다. 즉, g(t) = (t− α)(t− α) = irr(α,R)이고, f(α) = 0이므로, g(t)
divides f(t) in R[t].
14이들은모두저자가 “학부대수학의반”이라고부르는 argument이다.
26
보조정리 8.3.4의 증명
내년에 [ II, 제5장 ]을 공부한 후, [Euclidean domain, PID 또는 UFD에서
는 irreducible이면 prime]이라는 명제를 알게 되면, 보조정리 8.3.4의 증명은
k= 2인경우만생각하면충분하다는것을보일수있다.
뿐만아니라, k= 2일때는보조정리 8.3.4의증명도 (훨씬) 더간단하다.
연습문제 : (가) 보조정리 8.3.4를 k= 2라고가정하고증명하라.
(나) ([II, 제5장 ]을 공부한 후) 보조정리 8.3.4는 k = 2일 때만 증명하면 충분
함을설명하라.
사족15 : 제8장여러곳에 (특히, 다항식의) 소인수분해와관련된지식이필요
하지만 — 3학년의 대수학 강좌를 기대하면서 — 선형대수학 강좌에서는 이 부
분을 적당히 넘어가는 것이 上策이다· · · · · · .16 Monic polynomial들만 생각하는
것이요령일수도있다· · · · · · .
15사족=畵蛇添足=쓸데없는군짓을하여도리어잘못되게함을이르는말.16중고등학생때는모든것을적당히넘어갔었다!
27
§ 8.6 : hi와 rij는 Similarity Relation의 Invariant
233쪽 마지막 단락에서 “자연수 hi와 rij가 similarity relation의 invariant
임은 당연하다”라고 한 것은, 물론, “같은 것은 같다”는 우리의 철학이다. 그렇
지만누가증명을 (종이를아끼지말고) 써보라고강요한다면 · · · · · · .
관찰 : hi와 rij는 similarity relation의 invariant이다.
증명 : T ∼ S ∈LM이라고하면, φ◦T = S ◦φ인 V의 automorphism φ가존
재한다. 이제 T에관한 cyclic decomposition이
V = U1⊕ · · · ⊕Uh
라고 하자. 이때 Uj는 T -cyclic이므로, Uj = F [t]wj인 wj ∈ V 가 존재할 것
이다. 그리고 T에 관한 wj의 minimal polynomial을 mTwj
(t) = pj(t)rj로 놓자
(단, pj(t)는 기약다항식). 우리는 S에 관한 cyclic decomposition도 같은 자연
수 h, rj를갖는것을보여야한다. 우선
V = φ(V ) = φ(U1)⊕ · · · ⊕φ(Uh)
임을설명하는것은진짜종이낭비이다. 이때
φ◦ f(T ) = f(S)◦φ, (f(t)∈F [t])
인 것도 자명하므로, φ(Uj) = φ(F [T ]wj
)= F [S ]φ(wj)가 된다.17 이는 φ(Uj)
가 S -cyclic이라는뜻이다. 마지막으로,
f(S)(φ(wj)
)= φ
(f(T )(wj)
), (f(t)∈F [t])
이므로, T에관한 wj의 annihilator ideal ITwj와 S에관한 φ(wj)의 annihilator
ideal ISφ(wj)
는같다. 따라서 mTwj
(t) = pj(t)rj =mS
φ(wj)(t). �
17F [T ]wj의표기법은별로좋은표기법은아니지만, 그의미는분명하다.
28
정의 8.6.3 : Partition Function
정의 8.6.3에서 저자가 partition function을 π(n)으로 표기한 것은 standard
notation이아니다.18 전통적으로 partition function은 p(n)으로표기한다. (한
편, x가 양의 실수일 때, 전통적으로 π(x)는 x보다 작거나 같은 (positive)
prime number의개수를의미한다.)
다만 “학부 대수학”에서는 prime number p, irreducible polynomial p(t) 등
에서 p가 너무 많이 사용되어 (임시방편으로) partition function을 π(n)으로
표기하였다.
18이를지적해준홍진교수에게감사.
29
따름정리 8.6.6과 Conjugate Partition
우리는 흔히 partition을 그림으로 나타낸다. 예를 들어 (12의) partition
(5, 3, 3, 1)은다음그림처럼 Young diagram 또는 Ferrers diagram
Young diagram
◦ ◦ ◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦◦ ◦ ◦◦
Ferrers diagram
으로 나타낸다. 우리는 Young diagram을 더 즐겨 사용하는데, 그 이유는
Young diagram의 ‘정사각형 box들’ 안에 무언가(대개 자연수)를 써넣을 수
있기때문이다.19
그런데, 위 그림들은 partition의 part들을 ‘가로줄’로 나타낸 것이다. 그러
나, 어떤이들은 — 취향에따라 — ‘세로줄’을선호할수도있을것이다. 즉, 아
래 [그림 3]은 [그림 1]을 ‘세로줄’로그린것이다. [그림 1]로부터 [그림 3]을얻
으려면, [그림 2]의 ‘diagonal bullet’ •들을 기준(대칭축)으로 뒤집으면(대칭이
동하면) 된다(행렬의 transpose처럼행과열을바꾸었다고생각할수도있다).
[그림 1]
• ◦ ◦ ◦ ◦◦ • ◦◦ ◦ •◦
[그림 2] [그림 3]
요즘 유행은 ‘가로줄’을 선호하는 듯하므로, 우리도 유행을 따르기로 하자.
그러면, 위 [그림 1]은 partition (5, 3, 3, 1)을 의미하고, [그림 3]은 partition
(4, 3, 3, 1, 1)을 의미한다. 이때 partition (4, 3, 3, 1, 1)을 partition (5, 3, 3, 1)의
conjugate partition이라고부른다.20
19Young diagram의 ‘정사각형 box들’ 안에 무언가를 써넣은 그림은 Young tableau라고 부른
다. Tableau의복수형은 tableaux.20물론 conjugate partition이 자기 자신인 self-conjugate partition들도 있다. 예를 들면,
(2, 2), (3, 2, 1) 등.
30
그런데, e의 partition (r1, . . . , rh)의 conjugate partition을 (s1, . . . , sf )라고
놓을 때, rj들로부터 sc들을 어떻게 묘사할 수 있을까? 답은 연습문제 8.6.5에
주어져있다.21 (물론 f = r1이고 h= s1인것은자명. 왜그런가 ?)
관찰 : sc = [rj ≥ c인 j의개수 ].
증명 : 매우 상식적(!)이다. (그림을 그려 보면 자명하다는 뜻. 더 이상의 설명
은피차시간낭비 · · · · · · .) �
한편, 두번뒤집으면원래상태로돌아오므로 — 즉, conjugate의 conjugate
는 자기 자신이므로 — 같은 방법으로 (s1, . . . , sf )로부터 (r1, . . . , rh)를 복구할
수있을것이다.
이제따름정리 8.6.6을다시읽어보기바란다.
21일부러연습문제8.6.5에서와같은표기법을사용하였다.
31
대각화 가능한 경우의 분해정리
T ∈LM이 “diagonalizable인경우에 T에관한 V의 primary decomposition
과, 특히, cyclic decomposition, 그리고 Jordan canonical form이 어떻게 되는
지” 수강생의 질문을 받았다. 이제 다시 살펴보니, 교재에서는 primary decom-
position에 관해서만 보기 8.3.1(가)항에서(Primary Decomposition Theorem을
소개하기전에)간단히언급했을뿐이다.
이질문에의답은두개의분해정리를이해하는좋은보기이므로, 교재에포함
되었어도 좋았을 것으로 생각되어 이곳에 — 종이를 아낌없이 사용하면서 — 친
절히 답하기로 한다. 답은 물론 “대각행렬은 아무리 분해해도 대각행렬”이라는
것이다. 이제 T ∈LM이 diagonalizable이라고하고, 구체적으로살펴보자.
우선, 따름정리 8.4.1(Primary Decomposition Theorem의따름정리)에의해
mT (t) = (t−λ1) · · · (t−λk)
가된다(물론 λi ∈F 이고, λi ̸= λk if i ̸= j). 즉, 표기법 8.3.2에서
pi(t) = t−λi, fi = 1, (i=1, . . . , k)
라는뜻이다. 따라서
ϕT (t) = (t−λ1)e1 · · · (t−λk)ek
로쓸수있다. 그리고, 물론
ker(T −λiI) = ETλi, (i= 1, . . . , k)
이므로, T가 diagonalizable이면 primary decomposition과 eigen-space
decomposition은 같다(보기8.3.1(가)항참조). 이때 T의행렬표현은
T ∼
λ1Ie1
· 0
·0 ·
λkIek
가된다(220쪽의 block diagonal matrix (⋆) 참조).
32
다시표기법 8.3.2에서와같이
Wi = ker(T −λiI) = ETλi, Ti = T |Wi , (i= 1, . . . , k)
로간단히표기하면, “T acts as a scalar on each Wi”. 즉,
Ti = λiIWi , dimWi = ei, (i= 1, . . . , k)
가된다. 또
ϕTi(t) = (t−λi)ei , mTi(t) = t−λi, (i= 1, . . . , k)
인 것도 당연하다. 이제 Cyclic Decomposition Theorem을 각각의 Ti에 적용할
차례이다. 먼저, 다음 참고사항은 거의 자명하다. (이 참고사항도 교재에서 한
번쯤언급했었다면좋았을것같다.)
참고 : U ≤Wi일 때, U가 T -cyclic이라는 말과 Ti-cyclic이라는 말은 같은 말
이다. 또 0 ̸= u ∈Wi이면, u는 T의 eigen-vector이고 Ti의 eigen-vector이기
도하다(eigen-value는물론 λi).
그런데, 만약 0 ̸= u ∈Wi이면, F [t]u = ⟨u⟩는 1-dimensional T -cyclic sub-
space인 것도 거의 자명하다(연습문제 8.5.13). 따라서 {ui1, . . . , uiei}를 Wi의
(임의의) basis라고할때, Uij = ⟨uij⟩로표기하면,
Wi = ⟨ui1⟩ ⊕ · · · ⊕ ⟨uiei⟩ = Ui1 ⊕ · · · ⊕ Uiei , (i= 1, . . . , k)
가 Wi의 cyclic decomposition이된다. 물론
dimUij = 1, ϕT |Uij(t) = mT |Uij
(t) = t−λi
이다. 즉 § 8.6의 표기법을 사용하면, 모든 i, j에 대해 rij = 1이 된다. 따라서
Ti에대응하는 ei의 partition은 (1, . . . , 1)이다(235쪽및정의 8.6.3 참조). 그리
고 t− λi ∈ F [t]의 companion matrix는 ♡ij = λi ∈ M1,1(F )이다(234쪽 block
diagonal matrix (♣i) 참조).
마지막으로 Jordan canonical form도생각해보자. 이제 236쪽과같이
Ni = Ti−λiI, (i=1, . . . , k)
로 놓으면, 물론 Ni = 0이다. 한편 0 ∈ LM의 cyclic decomposition은 자명하
다(왜 그런가 ?). 즉 Ti의 Jordan canonical form도 ♣i = λiIei . 이를 표기
법 8.7.4를이용해나타내면, ♣i = J(1,...,1)이된다.
33
연습문제 8.7.8 : 도움말
연습문제 8.7.8은 제법 분량이 많다.22 독자들의 시간 절약을 위해 몇 가지
tip을마련하였다.
연습문제 8.7.8을푸는방법은본질적으로두가지가있을것이다.
[방법 1 ] : 답의후보의개수를줄여가는 ‘ad hoc(주먹구구)’ method.
[방법 2 ] : 연습문제 8.6.5와따름정리 8.6.6을이용하는 ‘theoretical’ method.
표기법 8.7.4의 J(r1,...,rh)를 계속 사용하고, 간단히 J = J(r1,...,rh)로 표기하
자. 우리는 deg(mJ) = r1임을잘알고있다. 또
A= λI+N c 또는 A= λI+N c+N6
로 놓자. 우리는 N7= 0인 것과, a ≥ 1일 때, Na이 어떤 모양인지 알고 있으
므로(연습문제 8.7.6 참조), deg(mA)와 rk(A−λI)a를구할수있다. 물론같은
방법으로 rk(J−λI)a을구할수있고, 따라서 dim ker(J−λI)a도구할수있다.
[방법 1 ] : (i) 예를 들어, c = 2라고 하자. 그러면 deg(mA) = 4이므로, A의
Jordan canonical form J에 대응하는 partition의 첫 part는 4로 시작해야 한
다. 즉, J의 후보는 J(4,3), J(4,2,1), J(4,1,1,1)뿐이다. 그런데 rk(A− λI) = 5이
고, J의세후보중 rk(J−λI) = 5인것은 J(4,3)뿐이다.
(ii) 예를 들어, c = 3이라고 하자. 그러면 deg(mA) = 3이고 rk(A− λI) = 4
이므로, 이경우에는아직도 J(3,3,1), J(3,2,2)의두후보가남는다. 그래서연습문
제 8.7.7에서처럼 rk(A−λI)2 = 1인것도조사해야한다.23 답은 J(3,3,1).
[방법 2 ] : 연습문제 8.6.5와 따름정리 8.6.6을 적용하려면, dim ker(A− λI)a을
구해야 한다(단, a ≥ 1). 다시 예를 들어, c = 2라고 하자. 그러면, 연습문
제 8.6.5의 표기법을 사용할 때, s1 = 2, s2 = 2, s3 = 2, s4 = 1이 된다.24 따
라서 (s1, . . . , sf ) = (2, 2, 2, 1). 이제 Young diagram을 그려 보면, (2, 2, 2, 1)의
conjugate partition은 (4, 3)임을알수있다.25 답은 J(4,3).
22이제생각해보니, c=6인경우도추가할수있겠다.23 [방법1]을사용하면, rk(A−λI)2을조사해야하는경우는 c=3일때뿐이다.24이경우 rk(A−λI)3 =1까지구해야한다.25Conjugate partition은이문서의앞부분참조.
34
§ 8.7 : 점화식(보기 7.2.21 계속)
Jordan canonical form J의 ‘착한’점하나는—물론 diagonal matrix만은못
하지만 — Jm을쉽게계산할수있다는것이다. 연습문제 8.7.6 참조.
보기 7.2.21의 linear recurrence sequence
xn+2 = axn+ bxn+1, (n ≥ 1)
에서 행렬 A =
(0 1
a b
)∈ M2,2(F )의 characteristic polynomial ϕA(t)가 重根
λ∈F 를갖는경우를생각하자. 즉,
ϕA(t) = t2− bt−a = (t−λ)2, b2+4a = 0, 2λ = b
라고가정하자. 그러면, A는대각화할수없으므로(왜그런가 ?),
U−1AU =
(λ 1
0 λ
), An = U
(λn nλn−1
0 λn
)U−1
인 U ∈M2,2(F )가존재할것이다.
연습문제 : 위에서 U ∈M2,2(F )를구하고,
xn+2 = −nλn+1x1+(n+1)λnx2, (n ≥ 1)
임을보여라.
35
정리 9.2.11(가)항 : 증명 추가
정리 9.2.11. (가) L(0) = 0인 Rn의 rigid motion L은 linear map.
이 정리는 “宇宙의 神秘를 푸는 첫 열쇠”이니, 당연히 다양한 설명과 증명이
가능하다. [ I, 개정판 ]에는두가지증명이있다.
첫 번째 증명 : 이 증명을 저자는 [M. Artin, Algebra]에서 배웠다. 이 증명은
기본정리와연습문제 9.2.7이우리에게중요한 motivation임이잘 드러나도록고
안된 — 다분히 교육적인 — 증명이라고 할 수 있다(연습문제 9.2.13 참조). 어
쨌든, 첫 번째 증명에는 Dimension Theorem과 기본정리뿐만 아니라, 연습문
제 9.2.7이결정적인역할을하고있다.
두 번째 증명 : 이 증명은 정경훈 교수가 제안한 것이다. 이 증명을 위해서는 관
찰 9.2.8의 (다)항과 (라)항의 준비만으로 충분하다. 이 두 번째 증명은 첫 번째
증명보다 간단해 보이지만, 다시 들여다보아도 아무런 motivation도 발견할 수
가없다. 그런의미에서이두번째증명은매우 難解한증명이라고생각된다.
이제 세 번째 증명을 소개한다. 이 증명은 이호주 박사가 제안한 것이다. 이
증명은 그 성격으로 보아, 사실은, 1 12 -번째 증명이라고 부르고 싶다. 이 증명을
위해서는관찰 9.3.4의조건(5)를먼저증명해야한다.26
세 번째 증명 : B={L(e1), . . . , L(en)
}은 Rn의 orthonormal basis이므로(관
찰 9.2.8(라)항), linear operator M : Rn →Rn을
M(ei) = L(ei), (i=1, . . . , n)
으로 정의하자(Linear Extension Theorem). 이제 L =M임을 보이면 된다. 그
런데 관찰 9.3.4의 조건(5)에 의하면, M도 rigid motion이다(물론 M(0) = 0).
따라서, X ∈Rn이면, 관찰 9.2.8(다)항에의해,⟨L(X), L(ei)
⟩= ⟨X, ei⟩ =
⟨M(X),M(ei)
⟩=⟨M(X), L(ei)
⟩, (i= 1, . . . , n)
이된다. 즉, L(X)−M(X)∈B⊥ = 0,이므로, L=M . �26물론, 정리 9.2.11을모르더라도, 관찰 9.3.4를증명할수있다.
36
다음 네 번째 증명은 [Friedberg-Insel-Spence, Linear Algebra]을 조금 달리
표현한 것이다. 이 증명은 매우 난해한 두 번째 증명보다 더 난해하다. 끝까지
계산으로확인하기전에는그진위조차자신할수없을지경이다 · · · · · · .27
네 번째 증명 : 이 증명을 위해서는 사실 관찰 9.2.8의 (다)항의 준비만으로 충
분하다. 이제, X,Y ∈Rn이면,⟨L(X+Y )−L(X)−L(Y ), L(X+Y )−L(X)−L(Y )
⟩=⟨L(X+Y ), L(X+Y )
⟩−⟨L(X+Y ), L(X)
⟩−⟨L(X+Y ), L(Y )
⟩−⟨L(X), L(X+Y )
⟩+⟨L(X), L(X)
⟩+⟨L(X), L(Y )
⟩−⟨L(Y ), L(X+Y )
⟩+⟨L(Y ), L(X)
⟩+⟨L(Y ), L(Y )
⟩= ⟨X+Y, X+Y ⟩ − ⟨X+Y, X⟩ − ⟨X+Y, Y ⟩
− ⟨X, X+Y ⟩+ ⟨X, X⟩+ ⟨X, Y ⟩ − ⟨Y, X+Y ⟩+ ⟨Y, X⟩+ ⟨Y, Y ⟩
=0
이므로, L(X+Y )−L(X)−L(Y ) = 0. 그리고, X ∈Rn, c∈R이면,⟨L(cX)− cL(X), L(cX)− cL(X)
⟩=⟨L(cX), L(cX)
⟩−⟨L(cX), cL(X)
⟩−⟨cL(X), L(cX)
⟩+⟨cL(X), cL(X)
⟩= ⟨cX, cX⟩ − c ⟨cX, X⟩ − c ⟨X, cX⟩+ c2 ⟨X, X⟩
=0
이므로, L(cX)− cL(X) = 0. 증명끝 ! �
앞 네 개의 증명은 모두 rigid motion의 연속성을 비롯한 어떤 ‘geometric in-
tuition’도 필요로 하지 않는다. 이제 마지막으로 그래도 geometric proof라
고 부를 만한 증명을 하나 소개한다. 먼저 준비가 필요하다. 다음 연습문제는
geometrically obvious ! (그림을그려보라.)
연습문제 : 벡터의 ‘내분점/외분점’은 길이(또는 거리)에 의해 결정된다. 즉,
X,Y ∈Rn, t∈R일때, 다음조건
(1) Z = tX+(1− t)Y(2) ∥Z−X∥= |1− t| · ∥X−Y ∥ and ∥Z−Y ∥= |t| · ∥X−Y ∥
은동치임을보여라.
27이네번째증명은 [I, 초판]에도실려있었다.
37
다섯 번째 증명 : (i) X,Y ∈Rn이고 0≤ t≤ 1일때, Z = tX+(1−t)Y 로놓으면, 앞연습문제에의해
∥Z−X∥ = |1− t| · ∥X−Y ∥, ∥Z−Y ∥ = |t| · ∥X−Y ∥
이다. 이제 L은 rigid motion이므로,
∥L(Z)−L(X)∥ = ∥Z−X∥ = |1− t| · ∥X−Y ∥ = (1− t)∥L(X)−L(Y )∥
이고, 마찬가지로
∥L(Z)−L(Y )∥ = |t| · ∥L(X)−L(Y )∥
가된다. 다시앞연습문제에의하면, 이는
L(tX+(1− t)Y
)= L(Z) = tL(X)+(1− t)L(Y )
라는 뜻이다. 즉, rigid motion은 길이(거리)를 보존하므로, 벡터의 ‘내분점/외
분점’도 ‘보존’한다고말할수있다.
(ii) 이제 X ∈Rn, c∈R이면, L(0) = 0이므로, 앞 (i)항에의해,
L(cX) = L(cX+(1− c)0
)= cL(X)+(1− c)L(0) = cL(X)
가된다.
(iii) 또, X,Y ∈Rn이면, 앞 (i)항과 (ii)항에의해,
L(X+Y ) = L(12 (2X)+ 1
2 (2Y ))= 1
2L(2X)+ 12L(2X) = L(X)+L(Y )
임을알수있다. �
다음은 — 제10장을공부한후 — 독자들에게맡긴다.
연습문제 : 앞 세 번째, 네 번째 및 다섯 번째 증명은 inner product space(over
R)에서도 유효한가 ? (필요하다면, standard basis 대신 orthonormal basis를
생각. 정리10.5.7 참조.)
38
§10.2 : 연습문제 추가
다음은 관찰10.2.8(Cauchy-Schwarz Inequality와 Triangle Inequality)의 결
과이다.
연습문제 10.2.8 a. Inner product space V의 vector v1, . . . , vr이다음조건
|v1 + · · ·+ vr| = |v1|+ · · ·+ |vr|
을만족시키면,
vi = ciw, (i = 1, . . . , r)
인 w ∈ V 와 0≤ c1, . . . , cr ∈R이존재함을보여라. 물론이때 |w|= 1이라고해
도 OK.
Hint : r에관한귀납법.
39
§10.5 : Inner Product Space Isomorphism의 정의
다음내용은수업중한수강생의질문에답하면서알게된것이다.
연습문제 : V,W가 inner product space일 때, 함수 φ : V →W가다음조건⟨φ(u), φ(v)
⟩= ⟨v, w⟩ , (u, v ∈ V )
을 만족시키면,28 φ를 inner product preserving function이라고 부르자. 다음을
보여라.
(가) v ∈ V 이면, ∥φ(v)∥= ∥v∥.(나) v ∈ V 일때, φ(v) = 0 if and only if v= 0. (특별히, φ(0) = 0.)
(다) u, v ∈ V 이면, φ(u)⊥φ(v) if and only if u⊥ v.29
(라) φ는 orthonormal basis를 orthonormal basis로보낸다.
저자는 이제 ‘가장 난해한 증명’이었던 정리 9.2.11(가)항의 네 번째 증명의 본
질을이해하게되었다 !
명제 : Inner product preserving function은 linear map.
증명 : (i) 이문서의 [정리 9.2.11(가)항 : 증명추가 ]의네번째증명을다시쓰
면된다(complex conjugation을몇개추가하고). 즉, 이네번째증명에는오직
inner product preserving condition(즉, 관찰 9.2.8(다)항)만있으면된다.30
(ii) 위 연습문제의 (라)항을 이용하면, 정리 9.2.11(가)항의 두 번째 증명도 유효
하다. 확인해보기바란다. �
따라서, 만약 (V,W가 f.d.v.s.이고) dimV = dimW이면, inner product
preserving function은항상 vector space isomorphism이다(비둘기집원리). 즉,
이경우에는 inner product space isomorphism과 inner product preserving func-
tion은같다.
연습문제 : φ : V →W가 inner product preserving function이면,
∥φ(u)−φ(v)∥ = ∥v−w∥, (u, v ∈ V )
임을보여라.
28이조건만으로는 φ가 (아직) 연속함수인것도알수없다.29사실 φ는사잇각을보존함을알수있다.30이증명에는앞연습문제도 — φ(0)= 0도 — 필요하지않다.
40
F =R일 때, §10.7과 미적분학
F =R일 때, Least Squares Approximation(LSA)과 Minimal Solution Prob-
lem(MSP)은 최솟값 문제이므로, 당연히 미적분학 — gradient와 Lagrange
multiplier — 을이용해설명할수도있다. (응용분야 — 예를들어, 통계학, 경
제학, 공학등 — 에서는대개 (제법수준높은책에서도) 미적분학을선호한다.)
주의 : Rn의 모든 벡터는 column vector이다. 따라서 gradient vector도 물론
column vector.
아마 다음 명제가 익숙한 독자들은 별로 많지 않을 것으로 짐작한다. 그러나
응용분야에서는 routine · · · · · · . 증명은생략한다.
명제 (Lagrange multipliers with multiple constraints) : f, g1, . . . , gk : Rn →R
이 미분가능한 n-변수 함수들일 때,
S = {X ∈Rn | gi(X) = 0 for all i= 1, . . . k}
로 표기하자. 만약 f가 S -위에서 maximum 또는 minimum f(X0)를 갖는다면
(물론 X0 ∈ S),31 다음등식
grad f(X0)− λ1 · grad g1(X0)− · · · − λk · grad gk(X0) = 0
을 만족시키는 λ1, . . . , λk ∈R이 존재한다.32
이제 LSA 문제를 설명해 보자. (명제10.7.3과 명제10.7.4의 표기법을 계속
사용한다.) n-변수함수 f : Rn →R을
f(X) = ∥AX−B∥2 = ⟨AX−B,AX−B⟩ , (X ∈Rn)
으로정의하면, 아래연습문제에의해
grad f(X) = 2At ·(AX−B), (X ∈Rn)
이된다. 이때 f가 f(X0)에서최솟값을가지려면,
0 = grad f(X0) = 2At ·(AX0−B)
이어야한다. 즉, At ·AX0 =At ·B. 단, 최솟값의존재는명제10.7.3처럼 — 혹
은그림으로 — 설명해야한다(AX0는 B에서 imA에내린수선의발).
31이때 maximum 또는 minimum의존재여부는따로설명해야한다.32엄밀하게하자면, grad gi(X0) ̸=0인 i가적어도하나는있어야한다.
41
연습문제 : 위 LSA 문제에서
grad f(X) = 2At ·(AX−B), (X ∈Rn)
임을보여라.
특히통계학에서는 LSA problem에서
g(X) = x1+ · · · +xn, (X ∈Rn)
으로 정의하고, g(X0) = 0이라는 constraint를 추가할 때가 있다. 이는 X0의
좌표들의평균을 0으로 ‘normalize’하자는것이다. 만약 g(X0) = 0일때 f(X0)
가최솟값이라면, Lagrange 승수법을이용해다음연립방정식
0 = grad f(X0)−λ grad g(X0) = 2At ·(AX0−B)−λ(1, . . . , 1)t
을 풀면 된다. 물론 W = {X ∈ Rn |x1+ · · · + xn = 0}으로 표기하면, AX0는
B에서 im(LA|W
)= AW에 내린 수선의 발이다. 따라서, AW의 orthonormal
basis를구해관찰10.4.2를적용해도된다(연습문제10.4.3 참조).
다음은 MSP. (이번에는명제10.7.10의표기법을계속사용한다.) 이문제는
f(X) = ∥X∥2, grad f(X) = 2X (X ∈Rn)
일때, m-개의 n-변수 함수들
gi(X) =[(AX−B)의 i-좌표
]=(∑
j aijxj)− bi, (X ∈Rn, 1≤ i≤m)
을생각하면된다. 이때
grad gi(X) = ([A]i)t, (X ∈Rn)
임은쉽게확인할수있다. 이제만약 [ gi(X0) = 0 for all i ]일때 f(X0)가최솟
값이라면, Lagrange 승수법에의해
0 = grad f(X0)−∑
i λi grad gi(X0) = 2X0 −∑
i λi([A]i)t
인 λi가 존재할 것이다. (최솟값의 존재는 X0가 원점에서 (∗∗) AX = B의 해
집합에내린수선의발이라고설명한다.) 그런데,
2X0 =∑
i λi([A]i)t= At ·(λ1, . . . , λm)
t
이므로(확인해보라), X0 ∈ imAt.33
33이 증명은 grad gi(X0)이 모두 0이더라도 — 즉, A= 0이고 B = 0이더라도 — 성립한다. 이
때 X0 =0∈ imAt.
42
§12.2 : 연습문제 추가
다음 연습문제는 행여나 독자들을 헷갈리게 할까 염려되어 — 한참 망설이
다가 — 본문에서는 제외하였다. (지금 다시 보니, 뭐 그리 헷갈릴 것도 없
다 · · · · · · .)
먼저표기법11.3.9를다시분명히한다.
표기법 11.3.9. H,K ⊆G일때,
HK = {hk ∈G |h∈H, k ∈K}
로표기하면자연스럽다.
아래연습문제들은연습문제12.2.6 다음에위치하면적당할것같다.
연습문제 12.2.6a. 만약 N E G이면, x, y ∈ G일 때, 집합으로서 (xN)(yN)
과 (xy)N은 같음을 보여라. 따라서 quotient group G/N의 binary operation
을 x y= xy로정의하는것은더욱자연스럽다.
연습문제 12.2.6b. 다음조건
(1) N E G.
(2) (xN)(yN) = (xy)N as sets, for all x, y ∈G.
은동치임을보여라.
43
§13.4 : Lorentz Group
A. Einstein의 Special (Theory of) Relativity를 아는 체하고 싶지는 않다
(잘 모른다). 다만, 참지 못하고, Lorentz group과 관련된 몇 개의 comment를
간단히 소개한다.34 독자들은 우선 연습문제13.4.8에서 자연스러운 embedding
O(1, 1)→O(3, 1)은세개가있음에유의하기바란다.
아래 comment들을 읽기 전에 먼저 [FIS]=[Friedberg-Insel-Spence(Linear
Algebra, 4th ed., Pearson, 2002), § 6.9]의 “linear algebra viewpoint (of) the
essence of Einstein’s theory”를공부하기바란다. (Space-time R4의 “event”(의
정의)에관한질문은전문가에게 · · · · · · .)
참고 11.4.9a. [FIS, Theorem6.41의 Corollary]는 Bv ∈ O(3, 1)이라는 뜻이
다. 확인해보라.
참고 11.4.9b. [FIS, Theorem6.42]에등장하는 Special Relativity의 “essence”
Bv =
1√
1−v20 0 −v√
1−v2
0 1 0 0
0 0 1 0−v√1−v2
0 0 1√1−v2
∈ O(3, 1)
에대응하는 O(1, 1)의원소는(1√
1−v2
−v√1−v2
−v√1−v2
1√1−v2
)∈ SO◦(1, 1)
이다(자연스러운 embedding O(1, 1)→O(3, 1)을생각).
사족35 : 결국 Special Relativity는 O(3, 1)에관한공부이다. 그리고 “linear
algebra viewpoint”에서, 만약 O(4)가 아니라면, 그 다음엔 O(3, 1)을 생각하
는 것은 너무나 당연하다. 우리는 흔히 다음과 같이 말한다 : “Special Relativ-
ity는 꼭 A. Einstein이 아니었더라도 누군가 발견했을 것이다. 다만, General
(Theory of) Relativity는 · · · · · · .”34Special Relativity의역사— 특히 H. Lorentz’s 1904 model — 에관해서는 wikipedia 참조.35사족=畵蛇添足=쓸데없는군짓을하여도리어잘못되게함을이르는말.
44
관찰 13.6.2 : 증명 추가
V가 f.d.v.s.일 때, 함수 ψV : V → V ∗∗가 natural isomorphism임을 증명하
려면, 관찰13.6.2가필요하다.
관찰 13.6.2. v ∈ V 일 때, [f(v) = 0 for all f ∈ V ∗ ]이면, v= 0.
[ I ]의 증명과 별 차이는 없지만, 그래도 다음 증명을 선호하는 독자들도 있을
것이다.
증명 : 만약 v ̸= 0이라면, V의 basis {v = v1, v2, . . . vn}이 존재할 것이다(Basis Extension Theorem). 그런데,
v∗(v) = v∗1 (v1) = 1 ̸= 0
이므로, 가정에모순. �
45
정리 13.7.3(나)항의 Elementary Proof
우리가소위 ‘duality’라고부르는정리13.7.3(나)항의 elementary proof를소
개한다. (정리13.7.3(가)항의증명은항상 elementary.)
우리는 본문에서, (가)항의 증명의 ‘거울에 비친 image’를 보며, (나)항을
(본질적으로같은) 두가지방법으로요란스럽게증명했었다. 그렇지만, 물론 —
‘거울’이 필요 없는 — elementary proof도 가능하다. (독자들은 (거의) 1년 동
안의 경험으로, elementary proof가 불가능한 선형대수의 명제가 있다면 오히려
깜짝놀랄일임을느끼고있을것이다.)
정리 13.7.3. (나) V가 f.d.v.s.일때, Y ≤ V ∗이면, dimY perp = dimV− dimY .
Elementary Proof : B= {v1, . . . , vn}을 V의 basis라고하고, {f1, . . . , fr}은Y의 basis라고놓자. 그러면,
fi =∑
j aij v∗j , (1≤ i≤ r)
인 aij ∈ F가존재할것이다. 이제 A= (aij) ∈Mr,n(F )로표기하면, rk(A) = r
이된다.36 한편, v=∑
k bkvk ∈ V 이면,
fi(v) =(∑
j aij v∗j
)(∑k bkvk
)=∑
j aij bj = [A]i ·[v]B, (1≤ i≤ r)
이므로,
v ∈ Y perp ⇐⇒ fi(v) = 0 for all i⇐⇒ [A]i ·[v]B = 0 for all i⇐⇒ [v]B ∈ kerLA
임을알수있다. 따라서,
dimY perp = dim kerLA = dimV − rk(A) = dimV − r = dimV − dimY
이다(왜그런가 ?). �
36이 document의 연습문제 5.4.24b 참조. 지금은 그때와 i, j의 역할이 바뀌어 있다. Elemen-
tary proof는 (대개) 이렇게 ‘trick’을포함하고있다.
46
§ 13.8 : 관찰 추가
Dual map L∗의 행렬 표현은 L의 행렬 표현의 transpose에 대응된다(관
찰 13.6.8).37 특별히 :
관찰 13.6.8a. E ,F를 각각 Fn, Fm의 standard basis라고 하자. 이때, 만약
A∈Mm,n(F )이면,
[(LA)∗]F∗E∗ = ([LA]
EF )
t= At
가 성립한다.
그렇다면, linear map의 ‘대표선수’인 LA의 dual map (LA)∗는어떤 linear
map일까 ? (LA)∗와 LAt를 identify할수있을까 ?
이를 설명하기 위해서는 우선, (Fn)∗와 Fn을 naturally identify해야 한다.
그런데, A ∈ Mm,n(F )일 때, LA는 standard basis의 세계에 살고 있으므로,
물론 natural isomorphism φFn
‘보’ : Fn → (Fn)∗를 생각하는 것은 당연하다(단,
‘보’ = ‘보통내적’ =BIE). 이때, 관찰13.8.3에의해,
[φFn
‘보’]EE∗ = [BI
E ]E = I
이고, 이는
φFn
‘보’(ei) = e∗i , (i= 1, . . . , n)
라는뜻(연습문제13.8.9 참조). 즉, φFn
‘보’ : Fn → (Fn)∗는여러모로 ‘natural’.
관찰 13.6.8b. A= (aij)∈Mm,n(F )일 때, 다음 사각형
(Fm)∗ (Fn)∗(LA)∗
//
Fm
(Fm)∗
φFm
‘보’
��
Fm FnLAt // Fn
(Fn)∗
φFn
‘보’
��(Fm)∗ (Fn)∗//
Fm
(Fm)∗
≀≀
��
Fm Fn// Fn
(Fn)∗
≀≀
��
�
은 commutative diagram이다. 즉, (LA)∗ =LAt .
증명 : 독자들에게맡긴다. 이결과는, 선형사상들의행렬표현을생각하면, 위
관찰 13.6.8a와동치이다. �37이추가사항에는 natural isomorphism φV
B가등장하므로, §13.8에위치해야한다.
47
앞의 논의에서 우리는 모든 걸 오른손잡이(left notation)의 세계에서 설명했
다. 그런데 · · · · · · , 오른손잡이의 ‘거울에 비친 image’는 왼손잡이(right nota-
tion)가 아닐까 · · · · · · ? 38 한편, 왼손잡이에게 vector는 row vector를 의미하
고, 왼손잡이세계에서 linear map의 ‘대표선수’는 RA이다.
정의 : A∈Mm,n(F )일 때, linear map RA : M1,m(F )→M1,n(F )를
RA(Yt) = Y t ·A, (Y ∈Fm)
으로정의한다.
우리는 항상 Fn, Fm의 standard basis를 각각 E ,F로 표기해 왔다. 물론
F =F 1의 standard basis는 {1}.
관찰 13.6.8c. A= (aij)∈Mm,n(F )일 때, 다음 사각형
M1,m(F ) M1,n(F )RA
//
(Fm)∗
M1,m(F )
ΨF{1}
��
(Fm)∗ (Fn)∗(LA)∗ // (Fn)∗
M1,n(F )
ΨE{1}
��M1,m(F ) M1,n(F )//
(Fm)∗
M1,m(F )
≀≀
��
(Fm)∗ (Fn)∗// (Fn)∗
M1,n(F )
≀≀
��
�
은 commutative diagram이다. 즉, (LA)∗ =RA.
증명 : 독자들에게맡긴다. 아래연습문제참조. �
위에서, Ψ E{1}, Ψ
F{1}는물론기본정리(정리 5.2.3)에서정의한 isomorphism들
이다.
연습문제 : 위관찰에서, 예를들어, isomorphism Ψ E{1} : (Fn)∗→M1,n(F )는
Ψ E{1}(e
∗i ) = (ei)
t, (1≤ i≤ n)
으로정의되어있음을보여라.
독자들은 위 관찰 13.6.8b와 관찰 13.6.8c의 identification 중 어느 것이 더
멋있어 보이는가 ? (기본정리의 ΨBC는 basis B,C의 선택에 depend하므로
natural isomorphism은아니다. 하기야뭐, 시비를걸자면, φVB도 bilinear form
B의선택에 depend한다.)
38우리가 ‘거울’을정의한적이없으므로, 이 comment에목숨을걸필요는없다.
48
앞 논의의 뿌리에는 다음 (거의 자명한) 관찰이 자리 잡고 있다. (이 관찰은
LA를 정의하면서 소개할 수도 있었겠지만, 독자들이 사각형에 익숙해지기를 기
다려이제야밝힌다.)
다음관찰에서 isomorphism t와 t′은각각
t(A) = At, (A∈Mm,n(F ))
t′(A,X) = (Xt, At), (A∈Mm,n(F ), X ∈Fn)
으로정의되어있고, 함수 λ와 ρ는각각
λ(A,X) = LA(X) = AX, (A∈Mm,n(F ), X ∈Fn)
ρ(Y t, B) = RB(Yt) = Y t ·B, (B ∈Mn,m(F ), Y ∈Fm)
으로정의되어있다.
관찰 : (오른손잡이 선형대수와 왼손잡이 선형대수) A = (aij) ∈ Mm,n(F )일
때, 다음 사각형
M1,n(F ) M1,m(F )RAt
//
Fn
M1,n(F )
t
��
Fn FmLA // Fm
M1,m(F )
t
��M1,n(F ) M1,m(F )//
Fn
M1,n(F )
≀≀
��
Fn Fm// Fm
M1,m(F )
≀≀
��
�
은 commutative diagram이다. 이를 달리 표현하면, 다음 commutative diagram
M1,n(F )×Mn,m(F ) M1,m(F )ρ//
Mm,n(F )×Fn
M1,n(F )×Mn,m(F )
t′
��
Mm,n(F )×Fn Fmλ // Fm
M1,m(F )
t
��M1,n(F )×Mn,m(F ) M1,m(F )//
Mm,n(F )×Fn
M1,n(F )×Mn,m(F )
≀≀
��
Mm,n(F )×Fn Fm// Fm
M1,m(F )
≀≀
��
�
을 얻는다.
증명 : 거의자명. �
위 두 사각형에서, 2층에는 오른손잡이들이 살고 있고, 1층에는 왼손잡이들
이 살고 있다. 위 관찰은 — 3층에서 내려다보면 — 선형대수는 본질적으로 하
나뿐이라는말을현학적으로(사각형으로) 표현한것이다.39
39다시 읽어 보니 싱겁기 짝이 없다. 간을 좀 하자면· · · · · · , [II, § 2.3]을 공부한 독자들은 F가
skew-field이면어떻게될지생각해보라.
49
§13.8 : 연습문제 추가
V가 f.d.v.s.일 때, L(V, V )∗를 묘사하는 방법은 물론 수없이 많을 것이다.
그중하나를소개한다. (이내용은연습문제13.8.7 다음에위치하면적당할듯.)
독자들은 B = {v1, . . . , vn}이 V의 basis일 때, Mn,n(F )의 standard basis
{eij}에대응하는 L(V, V )의 standard basis {Eij}는
Eij(vk) = δjkvi, (1≤ i, j, k≤ n)
으로정의되어있음을기억할것이다. 이때물론
[Eij ]BB = eij , (1≤ i, j≤ n)
이다(관찰 5.1.9 및 보기 5.4.1 참조). 다음 연습문제는 § 5.1에서도 가능했을 것이다.
연습문제 : 고정된 L∈L(V, V )에대해, 함수 hL : L(V, V )→F 를
hL(M) = tr(M ◦L), (M ∈L(V, V ))
로정의하자. 다음을보여라.
(가) L∈L(V, V )이면, hL ∈L(V, V )∗.(나) hL = 0이면, L= 0.
(다) E∗ij = hEji .
(라) 결론은 L(V, V )∗ ={hL∣∣ L∈L(V, V )
}.
이제이를 §13.8의언어로번역해보자. 즉, L=L(V, V )의 symmetric bilin-
ear form B : L×L→F를
B(M,L) = tr(M ◦L), (L,M ∈L)
로정의하고, natural isomorphism φLB : L→L∗를생각하자는뜻이다. 이때
φLB(L)(M) = B(M,L) = tr(M ◦L) = hL(M), (L,M ∈L)
임은 물론이다.40 (위 연습문제(나)항에 의해, B는 non-degenerate.) 따라서,
위연습문제(라)항은 φLB가 surjection이라는뜻이다.
40원래는 φL로 표기해야 하지만(표기법13.8.5 참조), font의 크기(높이) 문제로 인하여 hL로 표
기했다.
50
독자들 중에는 연습문제10.1.14의 (positive definite) ‘trace form’을 기억하고
있는이들도있을것이다. 그러나, L(V, V )의경우에는연습문제10.1.14를흉내
내는 건 좀 골치 아프다 · · · · · · (왜 그럴까 ?). 물론 Mn,n(F )의 경우에는 연습문
제10.1.14를흉내낼수있다.
이제 M=Mn,n(F )의 bilinear form C : M×M→F를
C(A,A′) = tr(At ·A′), (A,A′ ∈M)
로 정의하고, φMC : M→M∗를 생각하자. (연습문제10.1.14와 비교해 보라. 지
금은 positive definiteness를 포기하고, 임의의 field F에 적용할 수 있는 정의
를택하였다.)
연습문제 : 다음을보여라.
(가) C는 non-degenerate symmetric bilinear form.
(나) 따라서 φMC 는 isomorphism.
(다) e∗ij =φMC (eij).
독자들은앞쪽의연습문제(다)항과지금의연습문제(다)항을비교해보기바
란다.
51
§13.8 : Rank Theorem 총정리
이 내용을 [ I, 개정판 ]에 포함시키고 싶은 마음이 굴뚝같았지만, 좀 유치해 보
여 · · · · · · . 그래도미련이남아이곳에올린다.
[ I ]의가장중요한 story(즉, climax)는, 물론, dual map을이용한 transpose
map/adjoint map의 정의이다. 그리고, field F의 선택과 무관하고 행 간소 사
다리 꼴을 이용하지 않는 Rank Theorem의 ‘고상한’ 증명도 중요 story 중 하나
이다. 이제 Rank Theorem의증명을정리해보자.
(가) § 4.5와 § 5.4 : Dimension Theorem과행간소사다리꼴을이용.
(나) §10.3 : Dimension Theorem과 inner product space의 Perp Theorem을
이용. 이때 Perp Theorem은 Gram-Schmidt Orthogonalization의 결과이므로,
F = R 또는 F = C. (단, F = C인 경우는 지나치게 ‘폭력적’이어서 사실상 논
외.)
(다) §13.8 : Dimension Theorem과 Fn의 ‘보통 내적’에 관한 Perp Theorem
을이용. 이때 Perp Theorem의증명은 duality와 “⊥ = perp”를이용하므로, F
의선택과는무관.
이 document의 [§ 5.4 : Rank Theorem의 ‘Elememtary’ Proof (정경훈 교수
의 증명)]은 우리의 ‘고상한’ story의 ‘훼방꾼’이라고 할 수 있다. 그러나, 어차
피 정경훈 교수의 증명은 기억이 잘 나지 않고 · · · · · · , 몇 년 후에도 기억할 수 있는 Rank Theorem의증명은 “⊥ = perp”뿐이다 ! ㅋㄷㅋㄷ.
52
제13–14장 : 참고 추가
다음참고사항은노파심에서추가하였다.
(Fn, ⟨ , ⟩
)이 inner product space이고, A ∈Mn,n(F )일때, 참고서적들에는
⟨AX,Y ⟩ 또는 ⟨AX,X⟩의 표현이 자주 등장한다(단, X,Y ∈ Fn). 이는 물론 관
찰10.7.1과관련된내용일수도있고, 또 :
참고 : (가) Rn-공간에 dot product가 주어져 있고, A가 symmetric matrix일
때, ⟨AX,Y ⟩를우리의언어로번역하면
⟨AX,Y ⟩ = BAE (X,Y ), (X,Y ∈Rn)
이다.
(나) Cn-공간에 Hermitian dot product가 주어져 있고, A가 self-adjoint ma-
trix이면
⟨AX,Y ⟩ = HAE (X,Y ), (X,Y ∈Cn)
가된다.
(다) 즉, ⟨AX,Y ⟩의표현은 symmetric bilinear form이나 Hermitian form이라
는용어를정의하지않고도이를나타낼수있는 elementary language.
53
명제 13.9.3 및 명제 14.3.11 그리고 관찰 10.7.1
다음참고사항은독자들도눈치채고있겠지만, 노파심에서추가하였다.
명제13.9.3과명제14.3.11을흉내내어, 관찰10.7.1을다시 state하면다음과
같다.
관찰 10.7.1′. (가) F =R일 때, A∈Mm,n(R)이면, At는 다음 등식
⟨AX,Y ⟩ =⟨X,At ·Y
⟩, (X ∈Rn, Y ∈Rm)
을 만족시키는 유일한 Mn,m(R)의 행렬이다(단, ⟨ , ⟩는 Rn과 Rm의 dot prod-
uct).
(나) F =C일 때, A∈Mm,n(C)이면, A∗는 다음 등식
⟨AX,Y ⟩ =⟨X,A∗·Y
⟩, (X ∈Cn, Y ∈Cm)
을 만족시키는 유일한 Mn,m(C)의 행렬(단, ⟨ , ⟩는 Cn과 Cm의 Hermitian dot
product).
다시 말해, 명제13.9.3과 명제14.3.11을 각각 transpose map과 adjoint map
의 정의로 간주할 수 있듯이,41 우리는 위 관찰10.7.1′의 (가)항과 (나)항을 각
각 transpose matrix와 adjoint matrix의 정의로 볼 수 있다. 즉, 위 관찰은
transpose matrix와 adjoint matrix를 characterize하고있다.
참고 : “현대대수학”을수강한독자들을위한참고사항.
(가) F가임의의 field일 때,42 ⟨ , ⟩를 Fn과 Fm의 ‘보통내적’이라고하면, 위
(가)항은 transpose matrix를정의하고있다.
(나) F가 involution을 갖는 field일 때,43 ⟨ , ⟩를 Fn과 Fm의 Hermitian dot
product라고하면, 위 (나)항은 adjoint matrix를정의하고있다.
41실제로 대부분의 “학부 2학년 선형대수학” 교재에서 transpose operator와 adjoint operator
를그렇게정의한다.42물론임의의 field는 C를포함한다.43예를들어, [II, 보기16.4.22 및연습문제16.4.23] 참조.
54
[ I, 초판, § 15.4] : 왜 Non-degenerate인 경우만 ?
(이내용은 [ I, 초판, § 15.4]에실렸었다. [ I, 개정판머리말 ] 참조. 혹관심이
있는 독자를 위해 이곳에 올린다.) 이 節에서는 왜 우리가 symmetric bilinear
form과 Hermitian form이 non-degenerate인 경우만 다루면 충분한지에 대하
여설명한다. 이 節의내용은쬐끔 수준이높다.44
우리는 임의의 Hermitian form에 관한 정보는 non-degenerate Hermitian
form으로부터 얻을 수 있음을 설명하고자 한다. (그리고, 이 節의 내용에서
complex conjugation을 지워 버리면, symmetric bilinear form과 orthogonal
group의경우에관한설명이된다.45)
(V,H)를유한차원 Hermitian space라고하자. 그리고, C= {v1, . . . , vm}을V ⊥의 basis라고놓고, 이를 V의 basis B= {v1, . . . , vn}으로확장하자. 이제,
D = {vm+1, . . . , vn}이라고 놓고, W를 D가 generate하는 V의 subspace라
고 하면, V = V ⊥⊕W 가 된다. (이때, 이런 W ≤ V 는 유일하지 않다.) 이제,
기저 B에 관한 H의 행렬은 [H]B =
(0 0
0 [H|W×W ]D
)의 형태가 된다 (단,
H|W×W : W ×W → C는 H의 restriction). 그런데, 만약 w ∈ W ∩W⊥이
면, w ∈ V ⊥이므로(왜 그런가 ?), w = 0이어야한다. 따라서, H|W×W는 W의
non-degenerate Hermitian form. 그러므로, W의 unitary geometry만 이해
하면, V 전체의 unitary geometry를이해할수있다고말할수있을것이다.
그런데, 이때, U(V,H)를 U(W,H|W×W )로부터어떻게복구할수있을까 ?
관찰 15.4.1. L ∈ U(V,H)이면, V ⊥는 V 의 L-invariant subspace이다. 다시
말해, L(V ⊥) = V ⊥이고, 따라서 L|V ⊥ ∈GL(V ⊥)이다.
증명 : v ∈ V ⊥일때, Lv ∈ V ⊥인것을보이면충분하다. 즉, [H(Lv, u) = 0 for
all u∈ V ]인것을보여야한다. 이제, V의임의의원소 u는 Lu′의꼴이므로,
H(Lv, u) = H(Lv, Lu′) = H(v, u′) = 0
이다. �44아마도, 이 節의내용을강의시간에다룰수있을만큼진도표가여유있지는않을것이다.45사실은, 저자가 이미 이 節에서 complex conjugation을 모두 지워 버렸다. 이 節에 나타나는
‘막대기’들은 모두 quotient space를 위한 ‘magic bar’들뿐이다. 따라서, 이 節에서 H는 B로, U
는 O로, 그리고 C는 F로읽어도된다.
55
그러므로, 보기 8.2.6에서와같이, L ∈ U(V,H)이면,
[L]BB =
([L|V ⊥ ]CC ∗
0 ?
)
의 꼴이 된다. 이때, [∗ ] 부분은 어쩔 수 없다손 치더라도, [? ] 부분은 어떻게
unitary operator로인식될수있을까 ? (항상, W는 L-invariant subspace가아
닐 수 있다는 것이 문제이다.) 이 경우에, 간략한 표기법을 위하여 (임시방편으
로) [∗ ] = [L]DC 로표기하면그럴듯할것이다.
지금, 이 場面에서 ‘quotient space’라는 단어가 떠오른 독자들은 칭찬 받을
만하다. 바로 이런 경우를 위해서 우리는 quotient space의 개념을 준비한 것이
다(§ 12.5의 ‘사고방식’참조).
이제, 제12장에서맛을들인 bar notation을사용하여, V = V/V ⊥로표기하
면, B = {vm+1, . . . , vn }는 V 의 basis가 된다(연습문제12.3.6 참조). 그리고,
우리는 V 에도 Hermitian space의 구조를 주려고 한다. 물론, 가장 자연스러운
방법은 H : V ×V →C를
H (v, w) = H(v, w), (v, w ∈ V )
로 정의하는 것이다. 이때에도 H의 “well-definedness”라는 단어가 떠오른
독자들은칭찬받아마땅하다.
관찰 15.4.2. H는 well-defined된 V 의 Hermitian form이다.
증명 : Well-definedness만보이면, 나머지는우리의 ‘magic bar’가스스로알아
서 처리해 준다. (아직 믿음이 부족하다면, 확인해 볼 수밖에 없다.) H의 well-
definedness를위해서는다음질문 :
v = v ′, w = w′이면, H (v, w) = H (v ′, w′)인가 ?
또는,
v − v ′, w − w′ ∈ V ⊥이면, H(v, w) = H(v ′, w′)인가 ?
에답하여야한다. 이제, v − v ′ = x∈ V ⊥, w − w′ = y ∈ V ⊥로놓으면,
H(v, w) = H(x+ v ′, y + w′) = H(v ′, w′)
이므로증명끝. �
56
다음 ‘story’는독자들도예상하고있었을것이다.
관찰 15.4.3. H는 non-degenerate이고, [H ]B
= [H|W×W ]D이다.
증명 : 우선 [H ]B
= [H|W×W ]D인 것은 당연하고(확인해 보라), H|W×W는
non-degenerate이므로 증명 끝. (다음과 같이 직접 증명하는 것이 사실은 더 쉽
다. 즉, [H (v, w) = 0 for all v ∈ V ]이면, [H(v, w) = 0 for all v ∈ V ]이고, 따
라서 w ∈ V ⊥.) �
이제, 다시 L∈U(V,H)라고하자. 이때, 함수 L : V → V 를
L (v) = L(v), (v ∈ V )
로정의하면, V ⊥는 V의 L-invariant subspace이므로, 관찰12.5.1에의해 L는
well-defined linear operator가된다.
연습문제 15.4.4. L∈U(V,H)이면, L∈U(V ,H )임을보여라.
다음 명제는 우리가 이 節에서 quotient space를 도입할 때부터 기대하고 있
었던것이다. 그리고, 이 節의결론이기도하다.
명제 15.4.5. 함수 Λ : U(V,H) −→ GL(V ⊥)×Mm,n−m(C)×U(V ,H )를
Λ(L) =(L|V ⊥ , [L]DC , L), (L∈U(V,H)
)로 정의하면,46 Λ는 bijection이다.
증명 : 독자들의 ‘maturity’를 한번 test해 보기로 하자. 저자에게는 아래 여백
이부족하다. ㅎㅎ. �
46 [∗] = [L]DC는앞 page에서소개한임시표기법.
57
명제 15.3.2 (나)항 : 미적분학(Lagrange multiplier)을 이용한 증명
다음은 미적분학(Lagrange multiplier)을 이용한 명제15.3.2(나)항의 증명이
다. (응용분야 — 예를들어, 통계학, 경제학, 공학등 — 에서는대개 (제법수
준높은책에서도) 미적분학을선호한다.)
명제 15.3.2(나)′. A∈Mn,n(R)이 symmetric일 때, n-변수함수 f : Rn →R을
f(X) = Xt ·AX, (X ∈Rn)
으로 정의하자. 만약 n-변수 함수 f가 unit sphere S ={X ∈Rn
∣∣ ∥X∥= 1}위
에서 maximum f(X1)을 갖는다면(물론 X1 ∈ S),47 X1은 A의 eigen-vector.
증명 : n-변수함수 g : Rn →R을
g(X) = ∥X∥2, (X ∈Rn)
으로정의하면, 아래연습문제에의해
grad f(X) = 2AX, grad g(X) = 2X, (X ∈Rn)
이된다. 이때 X1 ∈ S이면, grad g(X1) ̸= 0이므로, Lagrange 승수법에의해
2AX1 = grad f(X1) = λ grad g(X1) = 2λX1, (X ∈Rn)
인 λ∈R이존재할것이다. �
연습문제 : 위명제15.3.2(나)′의증명에서
grad f(X) = 2AX, (X ∈Rn)
임을보여라. (이때 A가 symmetric matrix라는가정이필요하다.)
연습문제 : 위명제15.3.2(나)′과그증명에서 A의 eigen-vector X1에대응하는
eigen-value λ1은 A의 (real) eigen-value 중가장큰것(중하나)임을보여라.
47Unit sphere S는 compact set(closed and bounded set in Rn)이므로, 연속함수 f는 항상
S-위에서최댓값을갖는다.
58
§15.3 : 주의 추가
다음 주의사항은 § 7.2(184쪽)에서 잠깐 언급했지만, §15.3에서도 다시 강조해야할것이다.
주의 : Complex symmetric matrix는 대각화가 불가능할 수도 있다. F = C일
때, real symmetric matrix에대응하는개념은 self-adjoint matrix이다.
연습문제 : 연습문제 7.2.11(나)항을 다시 풀어 보라. 즉,
(2 i
i 4
)는 대각화가
불가능함을 보여라. (이 행렬은 symmetric이지만, not self-adjoint이고 not
normal.)
또 독자들은 혹 real symmetric matrix의 Spectral Theorem을 real normal
matrix의 경우로 generalize할 수 있지 않을까 기대할 수도 있겠지만 · · · · · · , 책에없는명제는 (대개) true가아니다.
연습문제 : (가) 행렬
(1 1
−1 1
)은 R-위에서 대각화가 불가능함을 보여라. (이
행렬은 not symmetric이지만, normal이다. 일반적으로, real skew-symmetric
matrix는당연히 normal.48)
(나) 행렬
1 1 0
0 1 1
1 0 1
은 R-위에서 대각화가 불가능함을 보여라. (이 행렬은
not symmetric이고 not skew-symmetric이지만, normal이다. 확인해보라.)
48Not symmetric인 real normal (2×2)-matrix는 skew-symmetric matrix뿐이다. 이 증명은
독자들에게맡긴다.
59
§15.3 : 연습문제 추가
다음은연습문제15.3.11을보충한것이다.
연습문제15.3.11. F = R이고, B가유한차원 quadratic space (V,B)의기저
라고하자.
(가) 다음조건
(1) B는 positive definite(즉, v ̸= 0이면, B(v, v) > 0).
(2) J = [B]B의 eigen-value는모두 positive real number.
은 동치임을 증명하라. 우리는 이런 J를 positive definite (symmetric) matrix
라고부른다.
(나) 다음조건
(1) B는 positive semi-definite(즉, B(v, v)≥ 0 for all v ∈ V ).
(2) J = [B]B의 eigen-value는모두 non-negative real number.
은 동치임을 증명하라. 우리는 이런 J를 positive semi-definite (symmetric)
matrix라고부른다.
(다) J가 positive semi-definite이면, K2 = J인 positive semi-definite matrix
K ∈Mn,n(R)이존재함을보여라.
독자들은연습문제15.3.12에서도 positive semi-definite Hermitian form과
positive semi-definite (self-adjoint) matrix를정의할수있을것이다.
(1) J는 positive semi-definite (self-adjoint) matrix.
(2) J =A∗·A인 A∈Mn,n(C) 존재.
은동치임을보여라.
연습문제15.3.12b. A ∈Mn,n(C)일때, 만약 (A∗·A−AA∗)가 positive semi-
definite (self-adjoint) matrix이면, A는 normal matrix임을보여라.
연습문제15.3.12c. J,K ∈ Mn,n(C)가 positive semi-definite (self-adjoint)
matrix일때, 만약 J 2 =K2이면, J =K임을보여라.49
49Hint: λ≥ 0일때, EJλ ≤EJ2
λ2이므로, 결국 EJλ =EJ2
λ2 .
60
