Text of PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA INFORMÁTICA
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PR-REITORIA DE GRADUAO - BACHARELADO EM CINCIA E TECNOLOGIA INFORMTICA
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MTODOS NUMRICOS DE DETERMINAO DE RAZES: BISSEO, SECANTE E NEWTON- RAPHSON Professor.: Aquiles Burlamaqui
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C ONTEDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivao Idia Central dos Mtodos Fase I Fase II Mtodo da Bisseo Mtodo de Newton-Raphson Mtodo da Secante Comparao dos mtodos Prtica Pesquisa
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M ETODOLOGIA Aulas Terico-Prticas: Em todas as aulas havero uma discusso inicial, onde sero construdos os conceitos assim como as atividades prticas que serviro como parmetros para avaliao. Avaliao: A avaliao ser feita em cima das prtica vistas em sala de aula assim como provas escritas e participao, de maneira a avaliar o aluno continuamente. Eu escutei e esqueci. Eu vi e lembrei. Eu fiz e Entendi. Confucius
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C ONTEXTO DA AULA NA DISCIPLINA Esta aula de est inserida no contexto da disciplina de Clculo Numrico cujos objetivos so: Apresentar o clculo do ponto de vista computacional. Desenvolver as tcnicas destinadas a compensar as restries das representaes numricas. Pr-requisitos: Clculo I Introduo Programao
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B IBLIOGRAFIA Rugiero, Mrcia A. G. & Lopes, Vera L.R. Clculo Numrico: Aspectos Tericos e Computacionais. 2 ed. Makron Books, 1996. Sperandio, Dcio et al. Clculo Numrico: Caractersticas Matemticas e Computacionais. Prentice-Hall, 2003. Franco, Neide M.B.. Clculo Numrico. Prentice- Hall, 2006.
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MOTIVAO A busca por zeros de funes: - em diversas reas da cincia, surgem modelos matemticos definidos por uma equao do tipo f(x) = 0 Algumas funes podem ter suas razes calculadas analiticamente, porm outras so de difcil soluo ou de soluo desconhecida (polinmios de ordem maior que 3, por exemplo), sendo necessrio a soluo por mtodos numricos Desejamos portanto encontrar um valor para x tal que f( ) = 0 Iremos discutir mtodos numricos de implementao computacionalmente vivel para encontrar um valor para dentro de um intervalo com uma preciso razovel
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I DIA CENTRAL DOS MTODOS Fase I Localizar ou isolar uma regio que contenha a raiz e definir um valor aproximado inicial Fase II Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximao inicial obtida na fase I at se obter uma aproximao para a raiz real dentro de uma preciso prefixada
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F ASE I Nesta fase fazemos uma anlise terica e grfica da funo f(x) O sucesso da fase II depende da preciso desta anlise Usamos o Teorema de Cauchy: seja f(x) uma funo contnua no intervalo [a, b] se f(a)f(b) < 0 ento existe pelo menos um ponto x = entre a e b que zero de f(x) a prova deste teorema pode ser encontrada em [Guidorizzi, 2001]
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F ASE I : ANLISE GRFICA Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]
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F ASE I : ANLISE GRFICA Figuras extradas de [Ruggiero, 1996] se f(a)f(b) > 0 ento podemos ter vrias situaes no intervalo [a, b]. Estas situaes e a anlise grfica so discutidas com mais detalhes em [Guidorizzi, 2001] e [Leithold, 1994]
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F ASE I : ANLISE GRFICA Vimos portanto, que a anlise grfica do funo f(x) fundamental para se obter boas aproximaes para a raiz suficiente o uso de um dos processos a seguir: i ) Esboar o grfico de f(x) e localizar a regio onde a curva intercepta o eixo das abcissas; ii ) A partir da equao f(x) = 0 obter a equao equivalente g(x) = h(x) e esboar seus grficos. Os pontos de cruzamento das curvas so os zeros procurados, pois f( )=0 g( ) = h( ) iii ) Usar softwares para traar grficos
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F ASE I : EXEMPLO COM PROCESSO I Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]
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F ASE I : EXEMPLO COM PROCESSO II Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]
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FASE I : TABELA DE VARIAO DO SINAL Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]
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F ASE II: REFINAMENTO H vrios mtodos para refinamento da raiz Todos pertencem a classe dos mtodos iterativos onde um conjunto de instrues repetido formando cada passo ou ciclo Eles fornecem uma aproximao da raiz importante: Definir o critrio de parada Estudar a convergncia e sua eficincia
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C RITRIOS DE PARADA Existem vrios tipo de critrios de parada Analise do valor da funcao: Erro absoluto: Erro relativo: Limites do intervalo:
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F ASE II: PSEUDO - CDIGO Ler dados iniciais Realizar clculos e aproximao iniciais k = 1 Enquanto !criterioSatisfeito E k < limMax criterioSatisfeito = calcularNovaAproximacao() k = k + 1 Fim enquanto ExibirResultados() FASE 1 FASE 2
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FASE II: MTODO DA BISSEO Usando-se o teorema j apresentado se f(a)f(b) < 0 ento existe pelo menos um ponto x = entre a e b que zero de f(x) Divide-se ao meio o intervalo [a, b] sucessivamente at que (b-a) < Cada novo x k = (a k + b k )/2 ser o novo a k+1 ou b k+1 de modo a manter vlido o teorema acima
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FASE II: MTODO DA BISSEO
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Ex: Achar a raiz da equao no intervalo [2,3] com o erro absoluto
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FASE II: MTODO DA BISSEO Vantagens: Simples Converge sempre Desvantagens: convergencia lenta
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F ASE II: MTODO DE N EWTON - R APHSON Supondo uma aproximao x 0 para a raiz de f(x), no ponto (x 0, f(x 0 )) passa apenas uma nica reta tangente, que a derivada de f(x) em x 0. Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x 1,definindo por sua vez, o ponto (x 1, f(x 1 )) Por este novo ponto tambm passa uma nica reta tangente que corta o eixo x em x 2. Esta nova coordenada define outro ponto (x 2, f(x 2 )) que repete todo o processo x 0,x 1,... so aproximaes cada vez melhores para a raiz da funo, o X k+1 pode ser obtido a partir do X k atravs da funo:
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F ASE II: MTODO DE N EWTON - R APHSON
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FASE II: MTODO DE NEWTON- RAPHSON (FORMULAO E ANLISE GRFICA) Figuras extradas de [Ruggiero, 1996]
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Convergncia Caso se escolha x 0 de forma que x 1 saia do intervalo [a,b] o mtodo poder no convergir. Ex: Ache a raiz da equao para o erro relativo, ou seja: F ASE II: MTODO DE N EWTON - R APHSON
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Se Ento x 0 =0,5
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F ASE II: MTODO DE N EWTON - R APHSON Vantagens: Simples Rpida convergncia Desvantagens: Nem sempre converge Necessidade de se conhecer a derivada da funo Muito sensvel estimativa inicial Se a derivada for nula o mtodo falha
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F ASE II: MTODO DA S ECANTE Uma grande desvantagem do mtodo de Newton a necessidade de se obter f(x) e calcular seu valor numrico a cada iterao Uma forma de se contornar este problema substituir a derivada f(x) pelo quociente das diferenas f(x k ) ( f(x k ) - f(x k-1 ) ) / ( x k - x k-1 )
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F ASE II: MTODO DA S ECANTE
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Figuras extradas de [Ruggiero, 1996] F ASE II: MTODO DA S ECANTE
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Vantagens: Simples Rpida convergncia como o mtodo deNewton e no necessita do conhecimento da derivada da funo Desvantagens: Nem sempre converge Muito sensvel estimativa inicial Se a derivada for nula o mtodo falha
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C ONTEDO Metodologia Contexto Bibliografia Motivao Idia Central dos Mto
