probabilidad 1

Matemticas Discretas (Combinatoria y Probabilidad)Complemento

J. D. Vlez

Universidad Nacional

Mayo, 2014

(Institute) Matemticas Discretas (Combinatoria y Probabilidad) Mayo, 2014 1 / 39

Limitaciones para comprender el azar

Los humanos poseemos una concepcin intuitiva del azar, de loprobabilstico, y lo manejamos por sentido comn en forma de frecuenciaso porcentajes. Para muchos efectos, esta concepcin intuitiva del azarfunciona relativamente bien. Pero, en general, el manejo del azar ensituaciones medianamente complejas es difcil y con frecuencia vieneacompaado de falsas intuiciones que dan origen a todo tipo desupersticiones. Se ha encontrado que la intuicin desnuda es malaconsejera en los asuntos aleatorios.Por ejempo, a pesar de que la razn nos indica que dos boletas de la loteratienen exactamente las mismas probabilidades de ganar, cedemos a losplpitos y nos ponemos en la tarea de escoger nmeros acordes con ellos.Las prdidas y ganancias se atribuyen a acuerdos y desacuerdos secretoscon fuerzas sobrenaturales que estn ms all de nuestra comprensin, oinventamos el milagro para explicar coincidencias improbables.



creemos que en una serie de siete lanzamientos de una moneda, las caras ylos sellos se deben alternar con frecuencia, de lo cual deducimos que lasecuencia CSCSCS es ms probable que la SSSSCCC . En este casoparticular, la persona considera que la primera secuencia se acerca ms aese ideal. Sin embargo, las probabilidades de ocurrencia son iguales, eiguales tambin a la de la secuencia CCCCCCC . De aqu que muchaspersonas crean que el billete de la lotera que lleve el nmero 0000 tienemenos probabilidades de ganar que, digamos, el 2375. Una falsa ilusin.


Limitaciones para comprender el azar (problema de las trespuertas)

A cada concursante se le presentan tres puertas cerradas, detrs de una delas cuales se esconde un premio. La persona debe elegir una de laspuertas. Despus, el animador del programa, conocedor de la puerta"premiada", abre una de las dos no elegidas (para burla, ponen all unchivo). En ese momento se le ofrece al concursante la posibilidad de, obien permanecer el a su eleccin original, o elegir la otra puerta. Cul delas dos alternativas es mejor para el concursante?

Cambia ?(Institute) Matemticas Discretas (Combinatoria y Probabilidad) Mayo, 2014 4 / 39


El problema dio lugar a una historia larga de chismes. Todo comenz en1990, en Estados Unidos, y la autora fue Marilyn von Savant, encargadade una columna periodstica denominada Ask Marilyn, en la revistaParade. Segn los records Guinness, dicha seora posee el ms alto IQregistrado, 228. No es muy querida por los matemticos, en especial porsu libro The worlds most famous math problems, en el cual cuestionaatrevidamente la prueba de Wiles sobre el ltimo teorema de Fermat y,adems, le pone peros a la teora de la relatividad (prueba de que el IQ noes una buena medida de la inteligencia).

Von Savant(Institute) Matemticas Discretas (Combinatoria y Probabilidad) Mayo, 2014 5 / 39


En su columna, Von Savant recomend (correctamente) a suscorresponsales que cambiaran de puerta pues ello les dara unaprobabilidad de acertar igual a dos tercios. Ah se arm Troya. Le cayeronnumerosos lectores que estaban en desacuerdo, incluyendo algunosprofesores de matemticas, sealando que al cambiar de puertas laprobabilidad de xito era igual a un medio. Despus de regaarla, undoctor de la Universidad de Florida agreg que con cambio o sin l lasprobabilidades seguan siendo cincuenta-cincuenta.



Paul Erdos

Con posterioridad, un matemtico amigo le mostr el problema al notablematemtico Paul Erds, quien tambin lo evalu incorrectamente. Suamigo trat de convencerlo con una solucin, pero en vano (este puede serun chisme, pues el problema es demasiado elemental para una mente comola de Erds).



Para facilitar la comprensin de la solucin del problema, resultaconveniente cambiarlo por uno equivalente, descrito de la manerasiguiente: imaginemos ahora que en lugar de un concursante hay dos, unoque siempre se mantiene el a su eleccin, y otro que siempre cambia depuerta En estas condiciones es lgico que el primer concursante ganarsiempre que el premio est en la puerta escogida, y solo en este caso. Estoes, ganar un tercio de los juegos y perder dos tercios de ellos.El segundo ganar todas las veces en que el premio no est detrs de lapuerta escogida. Por tanto, el segundo concursante gana dos tercios de losjuegos. En suma, el segundo gana cada vez que el primero pierde, esto es,dos tercios de las veces.Luego, la mejor estrategia es la del segundo jugador: cambiar siempre laeleccin.


Anlisis del Baloto

Cun probable es ganarse el premio mayor del baloto?

Cada billete consiste de seis nmeros, del 01 al 45. Quien acierte los seisnmeros, en cualquier orden, es el ganador.


Baloto

La probabilidad de acertar el nmero ganador es P = 1/N, donde N = alnmero total de billetes. Recordemos que el nmero binomial

(mn ) =m!

n!(m n)!proporciona el nmero de conjuntos de n elementos (sin repeticiones) quese pueden formar con m elementos.Por ejemplo, en un conjunto de 4 personas, cuntas parejas se puedenformar?Si S = f1, 2, 3, 4g, (conjunto de personas), el nmero total desubconjuntos de dos elementos est dado por(52) = 4!/2!2! = 24/(2 2) = 6.

Subconjuntos de S dos elementos

= f1, 2g, f1, 3g, f1, 4g, f2, 3g, f2, 4g, f3, 4g


Baloto

En el caso del baloto, hay tantos billetes como subconjuntos de seiselementos hay de S = f01, 02, . . . , 45g. Es decir, hay un nmero debilletes igual a

(456 ) = 45!/(39! 6!) = 8145060.

(456 ) =11962222086548019456196316149565771506438373376000000000020397882081197443358640281739902897356800000000 720

La probabilidad de ganarse el baloto es P = 1/8145060.


Baloto

Si se elaboran 8, 145, 065 cajitas angostas, de un centmetro de espesor, yse paran en la india como se hace a veces con las chas del domin, y sien una de ellas hay un cheque por el valor del premio mayor del baloto. Laprobabilidad de ganarlo es la de escoger la cajita afortunada en una la de8, 145, 065 centmetros, esto es, de 81.45 km.


Juegos de dados

Al lanzar dos dados, cul es la suma ms probable?El espacio muestral, o conjunto de todos los posibles resultados delexperimiento, consiste de todas las parejas

T = f(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), . . . , (6, 6)g.El nmero de elementos de T , que denotaremos por jT j es igual a6 6 = 36 (pricipio de conteo del "rbol")


Juegos de dados

Calculemos la probabilidad de obtener, por ejemplo, suma 4. El conjuntode casos favorables sera

F = f(1, 3), (2, 2), (3, 1)g.Luego la probabilidad de obtener suma 4 al lanzar un par de dados es

P =jF jjT j = 3/36.

De igual manera, aquellos lanzamientos que nos dan una suma total iguala 7 seran

F = f(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)g,de donde se sigue que la probabilidad de obtener suma 6 esP = 6/36 = 1/6. No es difcil ver que cualquier otra posible suma esmenos probable. De aqu que muchos juegos de tablero (parqus, porejemplo) marquen cada siete casillas de manera destacada.


Historia de la Teora de Probabilidades

El juego de azar (del rabe al-zahr, que signica jugar a los dados) es casitan antiguo como el hombre. Existen pruebas de que en el siglo XVI antesde nuestra era, los egipcios jugaban con regularidad a los dados. Pareceque el juego de dados se convirti en una actividad febril entre losromanos, pero desacreditada pblicamente, hasta el punto que el trminoaleator (jugador) se utilizaba con desprecio. No obstante la malareputacin de los juegos de azar, cuenta Plutarco que Julio Csar yAntonio jugaban al dado con gran pasin, y que Augusto, Nern, Claudioy Calgula tambin lo hacan con frecuencia


Pascal Fermat y el Caballero de Mer

En su larga carrera de jugador, Antoine Gombaund, Caballero De Mer,haba tratado de conciliar los resultados experimentales del juego de dadoscon el anlisis matemtico y descubri que resultaba ventajoso apostar asacar al menos un seis en cuatro tiradas de un dado a sacar al menos undoble seis en veinticuatro lanzamientos de dos dados. Esto no debera seras pensaba-, pues la relacin entre el nmero de lanzamientos y el totalde posibilidades era la misma en ambos casos: 4/6 y 24/36,respectivamente.


Problema del Caballero de Mer

De Mer, desconcertado, acudi a Blas Pascal. Pascal calculcorrectamente la probabilidad de obtener al menos un seis en cuatrolanzamientos de un dado y obtuvo como resultado 1 (5/6)4 = 0, 5177.Para el doble seis la solucin, correcta, fue 1 (35/36)24 = 0, 4114.Ambos resultados tericos concordaron exactamente con los que De Merhaba observado.

Figure: Pascal


Solucin al problema del Caballero de Mer

Espacio muestral (todos los posibles resultados) en el primer experimento:(cuatro tiradas de un dado)

T = f(1, 4, 6, 5), (6, 3, 2, 1), . . . , (4, 5, 2, 1), . . .gCasos favorables

F = f(6, 1, 5, 6), (3, 6, 2, 1), . . . , (6, 6, 6, 5), . . .gProbabilidad P de sacar al menos un seis en cuatro tiradas (jC j denota elnmero de elementos del conjunto C ).

P =jF jjT j

Si NF es el conjunto de casos no favorables, es ms fcil calcular jNF j quejF j. El conjunto NF consiste de todas las 4-tuplas que no contienenningn seis: NF = f(2, 3, 1, 4), . . . , (5, 5, 3, 1), . . .g.



Un principio elemental de conteo nos dice que el nmero de 4tuplastotales es 6 6 6 6 = 64. Y el nmero de 4-tuplas no favorables,jNF j, es igual a 54.

Principio de conteo(Institute) Matemticas Discretas (Combinatoria y Probabilidad) Mayo, 2014 19 / 39


Luego, jF j = jT j jNF j, y la probabilidad buscada es

P =jT j jNF j

jT j = 1jNF jjT j

= 1 54

64= 1 (5

6)4 = 0, 5177

(La probabilidad de un evento es igual a uno menos la probabilidad delevento contrario)



Calculemos la probabilidad de sacar un doble seis en cuatro lanzamientos.

T = f[(2, 1), (4, 6), (5, 5), (4, 3)], . . . , [(6, 6), (3, 3), (4, 2), (4, 5)]gEl nmero de casos totales es jT j = 364, pues en cada lanzamiento hay 36resultados posibles. Por el principo de conteo "del rbol", los 4lanzamentos del par de dados pueden ocurrir de 364 maneras posibles.Como en el caso anterior, computemos el nmero de casos no favorables(es ms fcil). En cada lanzamiento hay 36 posibles resultados. Slo unode ellos es no favorable. Luego en cada lanzamiento hay 35 casos nofavorables. De nuevo, por el principio del rbol, del nmero total deresultados de 4 lanzamientos consecutivos, hay 35 35 35 35 casos enlos que nunca se obtiene un doble seis jNF j = 354. La probabilidadbuscada es

P = 1 (35/36)4 = 0, 4114.


El problema de los cumpleaos

En una reunin se encuentran 23 personas elegidas al azar y a alguien se lepregunta por la probabilidad de que dos de ellas, al menos, celebren suscumpleaos en la misma fecha (mes y da). Es casi seguro que elinterrogado asignar una probabilidad bajsima a tal suceso. No es raroque dicha persona est dispuesta a apostar, dndole una buena gabela alcontrincante, a favor de la no coincidencia de cumpleaos entre ningunode los presentes. Y no parece que las cosas cambien sustancialmente si enlugar de 23 personas fuesen 30 o 40.Problema: en un grupo de n personas, cul es la probabilididad de quehaya al menos dos personas que cumplan aos el mismo da?


El problema de los cumpleaos (Solucin)

La tabla muestra el valor de la probabilidad de encontrar dos o mspersonas con la misma fecha de cumpleaos, como funcin del nmero deindividuos presentes. Cuando en el grupo hay 23 personas, la probabilidades de 0.51, ligeramente superior a 1/2. Esto signica que en esa situacines ms probable la coincidencia de al menos dos cumpleaos que locontrario. Con 30 personas la probabilidad es de 0.71. Con 40 laprobabilidad de coincidencias se eleva a 0.89, valor que nos autoriza a daruna ventaja en la apuesta de 1 a 8. Y cuando haya 70 personas, laprobabilidad es prcticamente igual a la unidad.



Resolvamos el problema contrario, es decir calculemos la probabilidad deque no haya dos personas que cumplan aos el mismo da. Si en el salnhay slo una persona no puede haber coincidencias de cumpleaos, por loque la probabilidad de que todos ellos sean distintos es 1. Si en estemomento llega otra persona, para que no haya coincidencias se requiereque la recin incorporada al grupo cumpla aos en cualquiera de los 364das disponibles, habida cuenta de que el cumpleaos de la primerapersona ya ocup un da de los 365. La probabilidad, entonces, de que nohaya coincidencias es 364/365. Al llegar la tercera persona, para que nohaya coincidencias se requiere que cumpla aos en cualquiera de los 363das que han quedado libres, as que la probabilidad de no coincidenciasentre las tres presentes ser (364/365) (363/365).



Al llegar una nueva persona, por las razones ya anotadas, la probabilidadde que las cuatro presentes tengan cumpleaos distintos es el producto(364/365) (363/365) (362/365). Al continuar de este modo,llegaremos al n a que la probabilidad Pn de que con n personas en elsaln, todos sus cumpleaos sean distintos, esta dada por la frmula:

Pn = (365/365) (364/365) (363/365) ... [(365 n+ 1)/365]Simplicando, la probabilidad entonces de que haya al menos dos que scumplan aos el mismo da es:

Pn = 1 365!365n (365 n)!


Milagros o coincidencias?

Supongamos que la parte ms importante de la vida de una personatranscurre entre los 15 y los 65 aos, esto es, un total de365 50 = 18250 das, y que durante ese lapso sufre un promedio de 2insomnios notables por ao, para un total de 100. Cul ser laprobabilidad de que le ocurra al menos una desgracia el mismo da dehaber padecido el insomnio? Por el trmino desgracia entenderemos lamuerte de un familiar, un secuestro, un accidente, el comienzo de unaenfermedad grave...Contrario a los dictados de nuestra intuicin, cun fcil es la ocurrenciade tales hechos?



Aceptemos que ocurren k hechos desgraciados en la vida de una persona.Denotemos por P(k) la probabilidad que deseamos estimar. Imaginemosque sobre una recta sealamos 18, 250 puntos equidistantes, uno por cadada de vida, y de esos puntos escogemos los 100 correspondientes a losinsomnios, al tiempo que los marcamos con color azul.Ahora imaginemos al Diablo escogiendo uno por uno los k das de lasdesgracias. Podemos suponer que cada vez hace girar una rueda de loteracon 18, 250 nmeros y que cada nmero que resulte ganador lo vasealando con un lpiz rojo sobre la recta anterior.



La probabilidad de que al sujeto no le ocurra ninguna desgracia en un dade insomnio es la misma de que ningn punto de la recta quede marcadocon azul y rojo. Esta probabilidad se calcula as: la primera marca roja lapodemos hacer en cualquiera de los (18250 100) lugares no marcadoscon azul, es decir, con una probabilidad de (18, 250 100)/18, 250 =18, 150/18, 250. Para la segunda marca roja la situacin es idntica, yaque no se descarta la posibilidad de que la segunda desgracia ocurra elmismo da de la primera. Y lo mismo podemos decir de las restantes,luego la probabilidad de que las k desgracias no ocurran en ninguno de los100 das de insomnio es el producto de la fraccin anterior multiplicadapor s misma, k veces: (18150/18250)k . La probabilidad del sucesocontrario, esto es, de que ocurra al menos una coincidencia, ser entonces1 menos la probabilidad de que no ocurra, lo que nos dar

P(k) = 1 (18150/18250)k



Para que se vea lo probable que resulta tener coincidencias como ladescrita atrs, la siguiente tabla nos muestra los valores de la funcinP(k) para varios valores de k (nmero de desgracias).

Por ejemplo, si una desgracia se dene como la muerte de un familiarcercano o un accidente, de tal manera que sea razonable esperar que a unapersona le ocurran en promedio 10 desgracias en su vida (k = 10),entonces podemos esperar, de acuerdo con la tabla anterior, que de cada100 personas, a 5 les sucede una coincidencia de este tipo. Y de ocurrir 20desgracias, la probabilidad de coincidir con algn insomnio es de 0.1; esdecir, que de cada 10 personas, a una se le presentara la coincidencia.



La gente acostumbra llamar milagro a todo suceso que, segn susconocimientos, viole las leyes naturales y, por tanto, que se trate de unhecho imposible o muy improbable. Pero es bien sabido lo limitados quesomos los humanos para comprender los fenmenos que implicanprobabilidades, y ms si no se tiene formacin matemtica. Lascoincidencias, en particular, han llevado a muchos a pensar que han sidobeneciarios de un suceso milagroso.



La remisin espontnea de enfermedades con apariencia de incurablesconstituye uno de los fenmenos ms interesantes y asombrosos de toda lamedicina, y un motivo adicional para creer en prodigios. Pero lo mssorprendente de todo es que ocurre con una frecuencia nada despreciable.El Institute of Noetic Sciences, organizacin norteamericana sin nimo delucro, ha presentado para la investigacin mdica una coleccin de 1, 385remisiones espontneas, entre las cuales son muy comunes los casos detumores cancerosos en estado avanzado que, de manera espontnea, handesaparecido por completo.



El mdico y ensayista norteamericano Lewis Thomas fue en una pocapresidente del Memorial Sloan-Kettering Cancer Center de Nueva York,prestigioso instituto dedicado exclusivamente al estudio e investigacin delcncer. As comenta las experiencias ms espectaculares que le toc vivir:"De vez en cuando los pacientes se presentan con un cncer en estadoavanzado, casi irreversible. Se los examina por medio de una operacinquirrgica y el cirujano observa metstasis en el hgado y en la cavidadperitoneal. El enfermo regresa a su casa para morir, pero vuelve apresentarse pasados diez aos, sin rastros de su antigua enfermedad.Existen varios cientos de casos de ese tipo y nadie pone en tela de juicio laautenticidad de las observaciones". Ante una situacin de estas, y si elenfermo o sus parientes ms cercanos han elevado oraciones al cielo, comoes la costumbre ante los casos perdidos, es lgico que se le atribuya aDios, no al propio organismo. Y que la coincidencia se convierta en hechomilagroso.



Veamos los milagros con la lupa matemtica. Se trata de calcular qu tanprobable resulta ser que a una persona le sean escuchadas sus oraciones.Para comenzar, partamos la vida en semanas, de tal modo que a unapersona que viva 50 aos de vida adulta le corresponden 52 50 = 2600semanas. Supongamos que de las semanas en que ora, en exactamente rde ellas pide a Dios que le conceda determinado hecho improbable. Podraser, demos por caso, que rezara todas las semanas de su vida y slo enpromedio una vez por ao pidiera a Dios que le concediera algo pocousual, como ganarse la lotera, aliviarse de una enfermedad penosa o salirde algn embrollo serio.



Denotemos por q la probabilidad de que cualquiera de esos fenmenosraros ocurra por puro azar durante una semana. Ahora bien, si despus depedir con devocin algo muy especial, en el intervalo de una semana nosocurre un suceso que parece corresponder a lo pedido, interpretmoslocomo un milagro propiciado por la oracin; es decir, dmosle una semanade plazo para que la oracin sea correspondida. De acuerdo con esto, enun eje en el que representaremos las 2600 semanas de vida adultaresaltamos en azul las r semanas en las que se hizo el pedido milagroso.Ahora bien, la probabilidad de que en una semana particular no ocurra elmilagro esperado es (1 q), y de que en las r semanas resaltadas noocurra es (1 q)r . Luego la probabilidad, P(r), de que ocurra es elcomplemento a uno, es decir,

P(r) = 1 (1 q)r



Podemos ahora ensayar algunos valores de q y de r en la frmula anterior.Si, demos por caso, q es una millonsima (ganar la lotera, por ejemplo) ypedimos unas dos veces por ao al cielo tan extraordinario milagro(r = 100), entonces

P(100) = (100) = 1 (1 1/106)100 ' 0.00001,lo que signica que, de cada 100, 000 personas, en promedio a una se leconcede el milagro. En una ciudad medianamente grande un milln dehabitantes, por ejemplo, hechos de este orden de improbabilidad tienenque ocurrir con gran frecuencia. Y aunque se puede explicar por simpleazar, todos estamos inclinados a interpretarlo como hechos sobrenaturales,como una merecida concesin divina.


Supersquicos en la ruleta

Preguntmonos: cul sera la ganancia esperada de una persona quedebido a supuestos poderes de adivinacin fuese capaz de predecir (ademsde lo que obtenga por puro azar) el 5% de las veces que jugase a la ruleta?Si, por ejemplo, la persona apostase a la ruleta 5 rondas seguidas de 38juegos cada una, cul sera su ganancia esperada? Pues bien, en caso deque las ganancias fuesen muy altas y dado que todos los casinos gozan demuy buena salud econmica, se concluye que no hay sujetos de esa clase.



Es bien sabido que las ruletas empleadas en Amrica tienen 38 nmeros,que van del 1 al 36, ms el cero y el doble cero (las de Europa no tienendoble cero), y que cada vez que un jugador acierta recibe 36 veces loapostado. Suponga, adems que el jugador participa en 5 rondas de 38juegos cada una.



Para simplicar el anlisis, supngase que se apuesta cada vez una cha yque se juegan rondas completas de 38 juegos, uno por cada nmero de laruleta; es decir, se invierten 38 chas por ronda. En cada una de estasrondas se acierta, en promedio, 1.9 veces (5% de 38), ms un aciertoadicional por simple adivinacin aleatoria (se juega 38 veces, y laprobabilidad de acertar por azar es 1/38), da un total de 2.9 aciertos porronda. En consecuencia, las chas recibidas por los aciertos sumarn2.9 36 = 104.4, que al restarle las 38 invertidas proporciona unaganancia neta de 66.4 chas por ronda.



Supngase ahora que se alcanzan a jugar cinco rondas completas cada vezque se visita el casino, lo que nos proporcionar un benecio neto de 332chas (66, 4 5 = 332). Y si cada vez se apuestan chas de 100 dlares,se obtendr una ganancia de 33200 dlares por noche, suma nadadespreciable.


Limitaciones para comprender el azarAnlisis del BalotoJuegos de dadosAlgo de historia de la Teora de ProbabilidadesPascal Fermat y el Caballero de MerProblema del Caballero de Mer

El Problema de los cumpleaosMilagros o coincidencias?Supersquicos en la ruleta

Documents

probabilidad 1