Probabilidad Condicionada

Capítulo 64

PROBABILIDAD COMPUESTA.PROBABILIDADCONDICIONADA.PROBABILIDAD TOTAL.TEOREMA DE BAYES

1.- INTRODUCCÓN2.- PROBABILIDAD CONDICIONADA3.- INDEPENDENCIA ALEATORIA O ESTOCÁSTICA4.- PROBABILIDAD COMPUESTA5.- TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES6.- EJEMPLOS

64.1 INTRODUCCIÓN

En el cálculo de probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad varíaen función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Eneste sentido la probabilidad condicionada nos da las herramientas necesarias para calcularuna determinada probabilidad teniendo en cuenta dichas informaciones adicionales.

Pero conocer cierta información adicional, por ejemplo saber que ha ocurrido un su-ceso, no siempre modi…ca la probabilidad de otro suceso. Los sucesos en los que sabiendoque uno se ha veri…cado, no se modi…ca la probabilidad del otro, decimos que son indepen-dientes, en cambio, si se modi…ca la probabilidad del otro, decimos que son dependientesentre sí.

El concepto de dependencia e independencia de sucesos fue presentado y aplicado alCálculo de Probabilidades por De Moivre en 1711, y posteriormente extendido por Tho-mas Bayes (1702-1761), quien además expresó la probabilidad condicionada en función

2 PROBABILIDAD CONDICIONADA

de la probabilidad de la intersección.Dos años después de la muerte de Bayes se publicó un trabajo en el que, por vez

primera, se calculaba la probabilidad de las causas a partir de los efectos que se hanobservado. A pesar de que fue Laplace quien mejoró y desarrolló la mayor parte dedichas probabilidades, el cálculo de éstas recibe el nombre de teorema de Bayes.

En los problemas relacionados con la probabilidad, y es especial con la probabilidadcondicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, resulta inte-resante y recomendable organizar la información y los datos del problema en tablas decontingencia o en diagramas de árbol. Además, es muy útil desde el punto de vistametodológico.

64.2 PROBABILIDAD CONDICIONADA

Mediante un espacio probabilístico damos una formulación matemática al fenómeno alea-torio que estemos observando. Parece por tanto razonable que si observamos algo queaporte información a nuestro fenómeno aleatorio, ésta deba alterar el espacio probabilís-tico de partida.

Por ejemplo, la extracción de una bola de una urna con tres bolas blancas y dos negras,puede formalizarse con un espacio probabilístico en el que los sucesos elementales sean lascinco bolas y donde la probabilidad sea uniforme sobre estos cinco sucesos elementales,es decir, igual a 1

5.

Si extraemos una bola de la urna, es decir, si observamos el suceso A bola negra,y no la devolvemos a la urna, es razonable que el espacio probabilístico cambie en elsentido no sólo de que ahora ya habrá únicamente cuatro sucesos elementales, sino queademás la función de probabilidad deberá cambiar en orden a recoger la información quela observación del suceso A nos proporcionó.

Es decir, en el nuevo espacio probabilístico deberá hablarse de probabilidad condi-cionada al suceso A, de forma que se recojan hechos tan evidentes como que ahora laprobabilidad (condicionada) de obtener negra se habrá reducido y habrá aumentado lade blanca.

De…nición 64.2.1 Sea (E;A; P ) un espacio de probabilidad y A ½ E un suceso conP (A) > 0: Para cualquier otro suceso B se de…ne la probabilidad de B condicionada aA como:

P (BÁA) =P (A \ B)P (A)

Ejemplos 64.2.2 Consideramos una urna que contiene 3 bolas rojas (R), 2 bolas ver-des (V ) y 1 bola negra (N). Se extraen dos bolas, sin reemplazamiento. ¿Cuál es laprobabilidad de que la segunda sea roja si la primera era verde?

Como es usual llamaremos R al suceso “salir roja”, V al suceso “salir verde” y N al

Cipri Temas de Matemáticas 3

suceso “salir negra”. La probabilidad que nos piden es:

P (RÁV ) =3

5=P (R \ V )P (V )

=

6

302

6

ya que hay 30 casos posibles (6 favorables a RR; 6 a V R; 6 a RV , 2 a V V , 3 a RN; 3 aNR, 2 a NV y 2 a V N).

Hay que observar que al calcular P (BÁA) realmente estamos calculando la P (B)con respecto al espacio muestral re6ducido A en vez del espacio muestral E:

Construyamos la ¾¡ álgebra cuyo conjunto fundamental es A, esto es, teniendo encuenta que A es el conjunto de resultados posibles.

Proposición 64.2.3 AA = fA \B : B 2 Ag ½ A es una ¾¡ álgebra

Demostración:(i) ; 2 AA, A 2 AA

(ii)Veamos que si C 2 AA entonces C 2 AA

Como C 2 AA entonces C = A \ B y por tanto C = A \B, luego C 2 AA

(iii) Sea fCkg1k=1 ½ AA. Tenemos que demostrar que1Sk=1

Ck 2 AA

Como cada Ck 2 AA se tiene que Ck = A \Bk y por tanto

1[

k=1

Ck =1[

k=1

(A \ Bk) = A \Ã 1[

k=1

Bk

!

luego como Bk 2 A )1Sk=1

Bk 2 A )µA \

µ 1Sk=1

Bk

¶¶=

1Sk=1

Ck 2 AA: C.Q.D.¤

Veamos ahora que la probabilidad condicionada es una auténtica probabilidad.

Proposición 64.2.4 La función de conjunto

PA : AA ! [0; 1]

C = A \B ¡! PA (C) =P (C)

P (A)=P (A \ B)P (A)

es una medida de probabilidad.

Demostración:(1) 8C 2 AA ¿ PA (C) ¸ 0 ?

4 PROBABILIDAD CONDICIONADA

Como A \ B ½ A tenemos que 0 · P (A \B) · P (A), luego dividiendo esta des-igualdad por P (A) resulta:

0 · P (A \B)P (A)

· P (A)

P (A)= 1

es decir, 0 · PA (C) · 1(2) ¿ PA (A) = 1 ?

PA (A) =P (A \A)P (A)

= 1

(3) ¿ PA

µ 1Sk=1

Ck

¶=

1Pk=1

PA (Ck) 8Ck \ Cj = ; con k 6= j ?

Tomamos1Sk=1

Ck = A \µ 1Sk=1

Bk

¶. Entonces:

PA

µ 1Sk=1

Ck

¶= P

µ 1Sk=1

CkÁA¶=

P

µA \

µ 1Sk=1

Bk

¶¶

P (A)=

=

P

µ 1Sk=1

(A \Bk)¶

P (A)=

1Pk=1

P (A \Bk)

P (A)=

=1Pk=1

P (A \ Bk)P (A)

=1Pk=1

PA (A \Bk) =1Pk=1

PA (Ck) C:Q:D:¤

Corolario 64.2.5 (A;AA; PA) es un espacio de probabilidad.

Propiedades de la probabilidad condicionada:

Proposición 64.2.6 La probabilidad condicionada cumple las siguientes propiedades:(1) Si B µ C, entonces P (BÁA) · P (CÁA)

(2) Si B ½ A, entonces P (BÁA) =P (B)

P (A)(3) Si A ½ B, entonces P (BÁA) = 1(4) Si A \ B = ;, entonces P (BÁA) = 0

Demostración:(1) Si B µ C, entonces C = B [

¡C \B

¢, y por tanto

P (CÁA) = P (BÁA) + P¡C \BÁA

¢

de donde se deduce queP (BÁA) · P (CÁA)


ya que P¡C \BÁA

¢¸ 0:

(2)

P (BÁA) =P (A \B)P (A)

=P (B)

P (A)

(3)


=P (A)

P (A)= 1

(4) Si A \ B = ;, entonces P (BÁA) = 0, y por tanto


=P (;)P (A)

=0

P (A)= 0 C.Q.D.¤

64.3 INDEPENDENCIA ALEATORIADe…nición 64.3.1 Sean A;B 2 A dos sucesos de probabilidades no nulas. Se dice queel suceso B es independiente del suceso A (independiente estocásticamente) sii

P (BÁA) = P (B)

Ejemplos 64.3.2 Una moneda se lanza dos veces consecutivas. Si se ha obtenido carala primera vez, ¿cuál es la proabilidad de obtener cara la segunda vez?

P (C2ÁC1) =P (C1 \ C2)P (C1)

=

1

41

2

=1

2= P (C2)

donde Ci es el suceso “obtener cara en el lanzamiento i (i = 1; 2)” y por tanto ambossucesos son independientes.

A continuación caracterizamos la independencia aleatoria de sucesos:

Teorema 64.3.3 Una condición necesaria y su…ciente para que B sea independiente deA es que P (A \ B) = P (A)P (B).

Demostración:))Como B es independiente de A se tiene que P (BÁA) = P (B) y por tanto:

P (BÁA) =P (A \ B)P (A)

= P (B) ) P (A \ B) = P (A)P (B)

() Como P (A \B) = P (A)P (B) resulta:

P (BÁA) =P (A \ B)P (A)

=P (A)P (B)

P (A)= P (B) C:Q:D:¤

6 INDEPENDENCIA ALEATORIA

Proposición 64.3.4 La independencia estocástica es una propiedad recíproca.

Demostración:Sean A y B dos sucesos de probabilidades no nulas y supongamos que B es indepen-

diente de A. EntoncesP (BÁA) = P (B)

Vamos a demostrar que A es independiente de B:Se tiene que:

P (AÁB) =P (A \B)P (B)

=P (A)P (B)

P (B)= P (A)

es decir, A es independiente de B: C.Q.D.¤

Como consecuencia de esta propiedad, si A es independiente de B se dirá que A y Bson (estocásticamente) independientes.

La idea de independencia es que ninguno de los dos sucesos interviene en la veri…cacióndel otro.

Corolario 64.3.5 Si los sucesos A y B tienen probabilidades no nulas, se tiene que: Ay B son independientes si, y sólo si, P (AÁB) = P (A) y P (BÁA) = P (B) :

Demostración:))

P (AÁB) =P (A \B)P (B)

=P (A)P (B)

P (B)= P (A)

Análogamente se demuestra la otra igualdad.() Si

P (AÁB) = P (A)se tiene que

P (AÁB) = P (A \B)P (B)

= P (A)

de donde se deduce que A y B son independientes. C.Q.D.¤Se da frecuentemente el caso de que se confunden sucesos incompatibles con sucesos

independientes. Observemos para evitar dicha confusión que los sucesos incompatiblesson los más dependientes (dos sucesos son dependientes si el resultado de uno in‡uyeen el otro) que existen, puesto que la ocurrencia de uno de ellos proporciona la máximainformación: el otro suceso no va a ocurrir.

De…nición 64.3.6 Dos sucesos A y B con probabilidades no nulas son dependientes siel resultado de uno in‡uye en el otro, es decir, si

P (AÁB) 6= P (A) y P (BÁA) 6= P (B)


Corolario 64.3.7 Si A y B son sucesos incompatibles con probabilidades no nulas, en-tonces son dependientes.

Demostración:Como A y B son incompatibles, entonces A \B = ;, por tanto

0 = P (;) = P (A \B) 6= P (A)P (B) > 0 C.Q.D. ¤

Enunciamos a continuación algunas propiedades relativas a la independencia estocás-tica de sucesos, pero antes necesitamos un resultado previo:

Lema 64.3.8 Sean A y B dos sucesos con probabilidades no nulas. Entonces:

P¡BÁA

¢= 1¡ P (BÁA)

Demostración:1 = P (AÁA) = P

¡B [BÁA

¢= PA

¡B [B

¢= PA (B) + PA

¡B

¢¡ PA

¡B \B

¢=

= PA (B) + PA¡B

¢= P (BÁA) + P

¡BÁA

¢

de dondeP

¡BÁA

¢= 1¡ P (BÁA)

como queríamos demostrar.¤Nota 64.3.9

P (BÁA) 6= P¡BÁA

¢

Para demostrar la a…rmación hecha en la nota anterior, vamos a demostrar el siguienteresultado.

Proposición 64.3.10 Sean A y B dos sucesos con probabilidades no nulas. Entonces:

P (BÁA) = P¡BÁA

¢, A yB son independientes

Demostración:

P (BÁA) = P¡BÁA

¢, P (A \B)

P (A)=P

¡A \ B

¢

P¡A

¢ ,

, P¡A

¢P (A \ B) = P

¡A \B

¢P (A) ,

, (1¡ P (A))P (A \B) = P¡A \B

¢P (A) , P (A \B) ¡ P (A)P (A \B)¡

¡P¡A \B

¢P (A) = 0,

(¤)

, P (A \B)¡ P (A)P (A \B)¡ P (B)P (A)¡ P (A \B)P (A) = 0,

, P (A \B) = P (A)P (B) , A y B son independientes

8 INDEPENDENCIA ALEATORIA

donde en (¤) hemos tenido en cuenta que A \B = B ¡ (A \B) y que

P¡A \B

¢= P (B ¡ (A \B)) = P (B)¡ P (A \B)

ya que A \ B ½ B: C.Q.D.¤

Proposición 64.3.11 Si A;B 2 A son independientes, entonces también lo son:(1) A y B(2) A y B(3) A y B

Demostración:(1) Sabemos que P (A \B) = P (A)P (B) ya que A y B son independientes, y

tenemos que demostrar que P¡A \B

¢= P (A)P

¡B

¢. Se tiene que:

P¡A \ B

¢= P (A)P

¡BÁA

¢= P (A) [1¡ P (BÁA)] =

= P (A) [1¡ P (B)] = P (A)P¡B

¢

es decir, A y B son independientes.(2) Se tiene que:

P¡A \ B

¢= P (B)P

¡AÁB

¢= P (B) [1¡ P (AÁB)] =

= P (B) [1¡ P (A)] = P (B)P¡A

¢= P

¡A

¢P (B)

es decir, A y B son independientes.(3) Se tiene que:

P¡A \B

¢= P

¡A

¢P

¡BÁA

¢= P

¡A

¢ £1¡ P

¡BÁA

¢¤=

= P¡A

¢[1¡ P (B)] = P

¡A

¢P

¡B

¢

es decir, A y B son independientes. C.Q.D.¤

De…nición 64.3.12 Se dice que los sucesos A1; ::; An 2 A son totalmente independientesó mútuamente independientes sii veri…can:(²) P (Ai \Aj) = P (Ai)P (Aj) 8i 6= j(²) P (Ai \Aj \Ak) = P (Ai)P (Aj)P (Ak) 8i 6= j 6= k...

(²) Pµ

nTi=1

Ai

¶=

nQi=1

P (Ai)


64.4 PROBABILIDAD COMPUESTASea (E1;A1; P1) el espacio de probabilidad que de…ne un experimento aleatorio, y conside-remos un segundo espacio de probabilidad (E2;A2; P2) que de…ne un segundo experimentoaleatorio. Denotamos los sucesos de primer experimento por Ai y los del segundo por Bj:Llamaremos experimento aleatorio compuesto de los dos dados al que tiene por espaciode probabilidad (E1 £ E2;A1 £ A2; P ), donde la probabilidad se de…ne como sigue:

P (Ai; Bj) =

½P1 (Ai)P2 (Bj) si Ai y Bj son independientesP1 (Ai)P2 (BjÁAi) si son dependientes

De forma análoga se puede extender a un número …nito de experimentos aleatorios.

Teorema 64.4.1 (Fórmula de la probabilidad compuesta): Sea (E;A; P ) un espa-cio de probabilidad, y consideremos n-sucesos ordenados A1; :::; An. Entonces:

P

Ãn\

k=1

Ak

!= P (A1)P (A2ÁA1)P (A3ÁA1 \A2) :::P (AnÁA1 \ ::: \ An¡1)

Demostración:Lo demostraremos por inducción sobre n :n = 2 :

PA1 (A2) =P (A1 \A2)P (A1)

= P (A2ÁA1) ) P (A1 \A2) = P (A1)P (A2ÁA1)

n = 3 :

P (A1 \A2 \ A3) = P (A1)P (A2 \ A3ÁA1) = P (A1)P (A1 \A2 \A3)

P (A1)=

= P (A1)P (A1 \A2)P (A3ÁA1 \A2)

P (A1)= P (A1)P (A2ÁA1)P (A3ÁA1 \A2)

Hipótesis de inducción: lo suponemos cierto para n¡ 1, es decir:

P

Ãn¡1\

k=1

Ak

!= P (A1)P (A2ÁA1)P (A3ÁA1 \ A2) :::P (An¡1ÁA1 \ ::: \An¡2)

Vamos a demostrarlo para n :

P (A1 \ ::: \An¡1 \An) = P ((A1 \ ::: \An¡1) \An) =

= P (A1 \ ::: \An¡1)PÃAnÁ

n¡1Tj=1

Aj

!=H.I.

= P (A1)P (A2ÁA1)P (A3ÁA1 \A2) :::P (AnÁA1 \ ::: \An¡1) C:Q:D:¤como queríamos demostrar.¤

10 TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES

Ejemplos 64.4.2 Consideramos una urna que contiene 3 bolas rojas (R), 2 bolas verdes(V ) y 1 bola negra (N). Se extraen tres bolas, sin reemplazamiento, y nos preguntamospor la probabilidad de que la primera sea roja, la segunda sea verde y la tercera sea negra(utilizaremos los sucesos nombrados en el ejemplo anterior). Esta probabilidad viene dadapor:

P (R \ V \N) = P (R)P (VÁR)P (NÁR \ V ) = 3

6¢ 25

¢ 14=1

20

64.5 TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTALY DE BAYES

De…nimos ahora el concepto de partición del espacio muestral, necesario para poderenunciar el teorema de la probabilidad total y como consecuencia el teorema de BAYES.

De…nición 64.5.1 Sea (E;A; P ) un espacio de probabilidad. Se llama partición de E acualquier familia fAng1n=1 ½ A que veri…que:(i) An \ Am = ; 8n 6= m(ii)

1Sn=1

An = E

Teorema 64.5.2 (Teorema de la probabilidad total): Sea fAngn2N ½ A una parti-ción de E y supongamos que P (An) > 0 8n 2 N. Entonces, 8B 2 A se tiene:

P (B) =1X

n=1

P (An)P (BÁAn)

Demostración:

Sea B = B \ E = B \µ 1Sn=1

An

¶=

1Sn=1

(An \B). Entonces:

P (B) = P

Ã 1[

n=1

(An \ B)!=

1X

n=1

P (An \B) =(¤)

1X

n=1

P (An)P (BÁAn)

donde en (¤) hemos usado la fórmula de la probabilidad compuesta. C.Q.D.¤

Corolario 64.5.3 (Teorema de BAYES o de la probabilidad inversa, 1764): SeafAngn2N ½ A una partición de E con P (An) > 0 8n 2 N. Entonces, 8B 2 A se tiene:

P (AnÁB) =P (An)P (BÁAn)1Pn=1

P (An)P (BÁAn)


Demostración:

P (AnÁB) =P (An \B)P (B)

=(¤)

P (An)P (BÁAn)1Pn=1

P (An)P (BÁAn)

donde en (¤) hemos usado el teorema de la probabilidad total. C.Q.D.¤

Las probabilidades P (An) que aparecen el teorema de BAYES se llaman probabilida-des a priori, las probabilidades P (BÁAn) se llaman verosimilitudes y las probabilidadesP (AnÁB) se llaman probabilidades a posteriori.

Así, el teorema de BAYES consiste en calcular las probabilidades a posteriori, cono-cidas las probabilidades a priori.

Acerca de la interpretación del teorema de BAYES, si los An son considerados comohipótesis sobre alguna cuestión en estudio y tenemos una cierta información, subjetivao no, acerca de dichas hipótesis An, re‡ejada ésta por las P (An) > 0, supongamos seproduce un suceso B asociado a un experimento aleatorio (usualmente provocado por elexperimentador para obtener más información), el teorema de BAYES nos proporciona elmedio para obtener la alteración, provocada porB, en nuestras hipótesisAn, dándonos lasprobabilidades a posteriori P (AnÁB). Usualmente se continuará el proceso provocandootro suceso C (es decir, obteniendo otro nuevo resultado de nuestro experimento aleatorioconsiderado) y utilizando ahora las P (AnÁB) antes calculadas, como probabilidades apriori.

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Probabilidad Condicionada