Probabilidad Conjunta

ProbabilidadVariables Aleatorias

Distribuciones de Probabilidad Conjunta

Asignatura: Estadıstica y Probabilidades

David Elal-Olivero

Universidad de AtacamaFacultad de Ingenierıa

Departamento de Matematica

Segundo Semestre Ano 2012

David Elal-Olivero Estadıstica y Probabilidades, 2o Semestre 2012



1 Probabilidad

2 Variables Aleatorias

3 Distribuciones de Probabilidad Conjunta





Definicion de Distribucion de Probabilidad Conjunta Bivariada Discreta

La funcion f (x , y) es una distribucion de probabilidad conjuntabivariada discreta, si:

1

f (x , y) ≥ 0 para todo (x , y).

2 ∑x

∑y

f (x , y) = 1.





Definicion de Distribucion de Probabilidad Conjunta Bivariada Discreta

La funcion f (x , y) es una distribucion de probabilidad conjuntabivariada discreta, si:

1


2 ∑x

∑y

f (x , y) = 1.





Ejemplo de Distribucion de Probabilidad Conjunta Bivariada Discreta

Sea f (x , y) la funcion definida por:

f (x , y) =

(3x

)(2y

)(3

2− x − y

)(

82

)con x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2: 0 ≤ x + y ≤ 2entonces f (x , y) es una funcion de probabilidad conjunta bivariadadiscreta.





Ejemplo de Distribucion de Probabilidad Conjunta Bivariada Discreta

Sea f (x , y) la funcion definida por:

f (x , y) =

(3x

)(2y

)(3

2− x − y

)(

82

)con x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2: 0 ≤ x + y ≤ 2entonces f (x , y) es una funcion de probabilidad conjunta bivariadadiscreta.





Ejemplo de Distribucion de Probabilidad Conjunta

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna





Ejemplo de Distribucion de Probabilidad Conjunta

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna





Definicion de (X,Y) ∼ f(x,y)

Sean X e Y variables aleatoria y sea f(x,y) una funcion de distribucion deprobabilidad conjunta bivariada discreta. Decimos que el par (X ,Y ) sedistribuye segun f (x , y) y lo denotamos por:

(X ,Y ) ∼ f (x , y)

si estan relacionados por:

P(X = x ,Y = y) = f (x , y)

Para cualquier region A del plano xy ,

P[(X ,Y ) ∈ A] =∑

(x,y) ∈

∑A

f (x , y)






Sean X e Y variables aleatoria y sea f(x,y) una funcion de distribucion deprobabilidad conjunta bivariada discreta. Decimos que el par (X ,Y ) sedistribuye segun f (x , y) y lo denotamos por:

(X ,Y ) ∼ f (x , y)


P(X = x ,Y = y) = f (x , y)

Para cualquier region A del plano xy ,

P[(X ,Y ) ∈ A] =∑

(x,y) ∈

∑A

f (x , y)





Ejercicio

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), donde:

f (x , y) =x + y

30, para x = 0, 1, 2, 3 e y = 0, 1, 2

encuentre

1 Verifique que f (x , y) es una funcion de distribucion de probabilidadconjunta discreta

2 P((X ,Y ) ∈ A) donde A = {(x , y)/x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0}3 P(X ≤ 2,Y = 1)

4 P(X > 2,Y ≤ 1)

5 P(X > Y )

6 P(X + Y = 4)





Ejercicio


f (x , y) =x + y

30, para x = 0, 1, 2, 3 e y = 0, 1, 2

encuentre

1 Verifique que f (x , y) es una funcion de distribucion de probabilidadconjunta discreta

2 P((X ,Y ) ∈ A) donde A = {(x , y)/x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0}3 P(X ≤ 2,Y = 1)

4 P(X > 2,Y ≤ 1)

5 P(X > Y )

6 P(X + Y = 4)





Definicion de funcion de Densidad Conjunta Bivariada

La funcion f (x , y) es una funcion de densidad conjunta bivariada, si:

1


2 ∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x , y)dxdy = 1.





Definicion de funcion de Densidad Conjunta Bivariada

La funcion f (x , y) es una funcion de densidad conjunta bivariada, si:

1


2 ∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f (x , y)dxdy = 1.




Distribuciones de Probabilidad Conjunta Bivariada


Sean X e Y variables aleatoria y sea f(x,y) una funcion de densidadconjunta bivariada. Decimos que el par (X ,Y ) se distribuye segun f (x , y)y lo denotamos por:

(X ,Y ) ∼ f (x , y)


P[(X ,Y ) ∈ A] =

∫ ∫A

f (x , y)dxdy

para cualquier region A del plano xy .






Sean X e Y variables aleatoria y sea f(x,y) una funcion de densidadconjunta bivariada. Decimos que el par (X ,Y ) se distribuye segun f (x , y)y lo denotamos por:

(X ,Y ) ∼ f (x , y)


P[(X ,Y ) ∈ A] =

∫ ∫A

f (x , y)dxdy

para cualquier region A del plano xy .





Ejercicio


f (x , y) =

25 (2x + 3y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.0, cov

1 Verifique que f (x , y) es una funcion de densidad conjunta

2 Encuentre la P[(X ,Y ) ∈ A], donde

A = {(x , y)/ 0 < x < 1/2, 1/4 < y < 1/2}





Ejercicio


f (x , y) =

25 (2x + 3y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.0, cov

1 Verifique que f (x , y) es una funcion de densidad conjunta

2 Encuentre la P[(X ,Y ) ∈ A], donde

A = {(x , y)/ 0 < x < 1/2, 1/4 < y < 1/2}





Solucion

Verificaremos primeramente que f (x , y) es una funcion de densidadconjunta.Claramente f (x , y) ≥ 0, por otra parte:∫ ∞

−∞

∫ ∞−∞

f (x , y)dxdy =

∫ 1

0

∫ 1

0

2

5(2x + 3y) dxdy

=

∫ 1

0

(2x2

5+

6xy

5

) 1

0dy

=

∫ 1

0

(2

5+

6y

5

)dy

=

(2y

5+

3y2

5

) 1

0

= 1David Elal-Olivero Estadıstica y Probabilidades, 2o Semestre 2012




Solucion

Verificaremos primeramente que f (x , y) es una funcion de densidadconjunta.Claramente f (x , y) ≥ 0, por otra parte:∫ ∞

−∞

∫ ∞−∞

f (x , y)dxdy =

∫ 1

0

∫ 1

0

2

5(2x + 3y) dxdy

=

∫ 1

0

(2x2

5+

6xy

5

) 1

0dy

=

∫ 1

0

(2

5+

6y

5

)dy

=

(2y

5+

3y2

5

) 1

0

= 1David Elal-Olivero Estadıstica y Probabilidades, 2o Semestre 2012




Solucion

Encontraremos ahora P[(X ,Y ) ∈ A]

P[(X ,Y ) ∈ A] = P(0 < X < 1/2, 1/4 < Y < 1/2)

=

∫ 1/2

1/4

∫ 1/2

0

2

5(2x + 3y) dxdy

=

∫ 1/2

1/4

(2x2

5+

6xy

5

) x=1/2

x=0dy

=

∫ 1/2

1/4

(1

10+

3y

5

)dy

=

(y

10+

3y2

10

) x=1/2

x=1/4=

13

160





Solucion

Encontraremos ahora P[(X ,Y ) ∈ A]

P[(X ,Y ) ∈ A] = P(0 < X < 1/2, 1/4 < Y < 1/2)

=

∫ 1/2

1/4

∫ 1/2

0

2

5(2x + 3y) dxdy

=

∫ 1/2

1/4

(2x2

5+

6xy

5

) x=1/2

x=0dy

=

∫ 1/2

1/4

(1

10+

3y

5

)dy

=

(y

10+

3y2

10

) x=1/2

x=1/4=

13

160





Distribuciones Marginales

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), se definen las distribuciones marginales de X e Ycomo:

1 Caso Discreto

g(x) =∑

y

f (x , y) y h(y) =∑

x

f (x , y)

2 Caso Continuo

g(x) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dy y h(y) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dx





Distribuciones Marginales

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), se definen las distribuciones marginales de X e Ycomo:

1 Caso Discreto

g(x) =∑

y

f (x , y) y h(y) =∑

x

f (x , y)

2 Caso Continuo

g(x) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dy y h(y) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dx





Ejemplo de Distribuciones Marginales Discretas

Recordemos la distribucion de probabilidad conjunta discreta vistaanteriormente:

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna






Recordemos la distribucion de probabilidad conjunta discreta vistaanteriormente:

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna






La distribucion marginal de X serıa:

g(0) =2∑

y=0

f (0, y) = f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2) =3

28+

3

14+

1

28=

5

14

g(1) =2∑

y=0

f (1, y) = f (1, 0) + f (1, 1) + f (1, 2) =9

28+

3

14+ 0 =

15

28

g(2) =2∑

y=0

f (2, y) = f (2, 0) + f (2, 1) + f (2, 2) =3

28+ 0 + 0 =

3

28






La distribucion marginal de X serıa:

g(0) =2∑

y=0

f (0, y) = f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2) =3

28+

3

14+

1

28=

5

14

g(1) =2∑

y=0

f (1, y) = f (1, 0) + f (1, 1) + f (1, 2) =9

28+

3

14+ 0 =

15

28

g(2) =2∑

y=0

f (2, y) = f (2, 0) + f (2, 1) + f (2, 2) =3

28+ 0 + 0 =

3

28






La distribucion marginal g(x) de la variable aleatoria X , la podemosresumir en la siguiente tabla:

x 0 1 2

g(x)=P(X=x) 514

1528

328






La distribucion marginal g(x) de la variable aleatoria X , la podemosresumir en la siguiente tabla:

x 0 1 2

g(x)=P(X=x) 514

1528

328






En forma analoga podemos obtener la distribucion marginal h(y) de lavariable aleatoria Y , la que podemos resumir en la siguiente tabla:

x 0 1 2

h(y)=P(Y=y) 1528

37

128






En forma analoga podemos obtener la distribucion marginal h(y) de lavariable aleatoria Y , la que podemos resumir en la siguiente tabla:

x 0 1 2

h(y)=P(Y=y) 1528

37

128





Ejemplo de Distribuciones Marginales Continuas

Recordemos la funcion de densidad conjunta f (x , y) dada anteriormente,y que corresponde a:

f (x , y) =

25 (2x + 3y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.0, cov

Dado que (X ,Y ) ∼ f (x , y). Nos proponemos encontrar las distrucionesmarginales tanto de X como de Y






Recordemos la funcion de densidad conjunta f (x , y) dada anteriormente,y que corresponde a:

f (x , y) =

25 (2x + 3y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.0, cov

Dado que (X ,Y ) ∼ f (x , y). Nos proponemos encontrar las distrucionesmarginales tanto de X como de Y






g(x) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dy

=

∫ 1

0

2

5(2x + 3y)dy

=

(4xy

5+

6y2

10

) y=1

y=0

=4x + 3

5

Ası

g(x) =

4x+3

5 , 0 ≤ x ≤ 1.0, cov






g(x) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dy

=

∫ 1

0

2

5(2x + 3y)dy

=

(4xy

5+

6y2

10

) y=1

y=0

=4x + 3

5

Ası

g(x) =

4x+3

5 , 0 ≤ x ≤ 1.0, cov






h(y) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dx

=

∫ 1

0

2

5(2x + 3y)dx

=

(2x2

5+

3xy

5

) y=1

y=0

=2(1 + 3y)

5

Ası

h(y) =

2(1+3y)

5 , 0 ≤ y ≤ 1.0, cov






h(y) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dx

=

∫ 1

0

2

5(2x + 3y)dx

=

(2x2

5+

3xy

5

) y=1

y=0

=2(1 + 3y)

5

Ası

h(y) =

2(1+3y)

5 , 0 ≤ y ≤ 1.0, cov





Definicion de Distribuciones Condicionales

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), se define la distribucion condicional de X dadoY = y , como:

f (x/y) =f (x , y)

h(y)h(y) la marginal de Y h(y) > 0

Similarmente, la distribucion condicional de Y dado X = x , se definecomo:

f (y/x) =f (x , y)

g(x)g(x) la marginal de X g(x) > 0





Definicion de Distribuciones Condicionales

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), se define la distribucion condicional de X dadoY = y , como:

f (x/y) =f (x , y)

h(y)h(y) la marginal de Y h(y) > 0

Similarmente, la distribucion condicional de Y dado X = x , se definecomo:

f (y/x) =f (x , y)

g(x)g(x) la marginal de X g(x) > 0






Considerando la tabla, encuentre la distribucion condicional de X dadoY = 1 y utilıcela para calcular P(X = 0/Y = 1)

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna






Considerando la tabla, encuentre la distribucion condicional de X dadoY = 1 y utilıcela para calcular P(X = 0/Y = 1)

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna





Desarrollo del ejemplo

Se pide encontar f (x/1), lo que se logra mediante la relacion:

f (x/1) =f (x , 1)

h(1)

donde h(1) es la marginal de Y evaluada en x = 1, es decir:

h(1) =2∑

x=0

f (x , 1) = f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2) =3

14+

3

14+ 0 =

3

7

de esta manera

f (x/1) =7

3f (x , 1), para x = 0, 1, 2






Se pide encontar f (x/1), lo que se logra mediante la relacion:

f (x/1) =f (x , 1)

h(1)

donde h(1) es la marginal de Y evaluada en x = 1, es decir:

h(1) =2∑

x=0

f (x , 1) = f (0, 0) + f (0, 1) + f (0, 2) =3

14+

3

14+ 0 =

3

7

de esta manera

f (x/1) =7

3f (x , 1), para x = 0, 1, 2






por lo tanto:

f (0/1) =7

3f (0, 1) =

(7

3

)(3

14

)=

1

2

f (0/1) =7

3f (0, 1) =

(7

3

)(3

14

)=

1

2

f (0/1) =7

3f (0, 1) =

(7

3

)0 = 0

densidad condicional que podemos resumir en la siguiente tabla:

x 0 1 2

f(x/1)=P(X=x/Y=1) 12

12 0






por lo tanto:

f (0/1) =7

3f (0, 1) =

(7

3

)(3

14

)=

1

2

f (0/1) =7

3f (0, 1) =

(7

3

)(3

14

)=

1

2

f (0/1) =7

3f (0, 1) =

(7

3

)0 = 0

densidad condicional que podemos resumir en la siguiente tabla:

x 0 1 2

f(x/1)=P(X=x/Y=1) 12

12 0






Finalmente

P(X = 0/Y = 1) = f (0, 1) =1

2






Finalmente

P(X = 0/Y = 1) = f (0, 1) =1

2






Suponga que la fraccion X de atletas hombres y la fraccion Y de atletasmujeres que terminan la carrera del maraton puede describirse porfuncion de densidad conjunta:

f (x , y) =

8xy , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

0, cov

1 Encuentre la densidad marginal g(x) de X , la densidad marginalh(y) de Y y la densidad condicional f (y/x)

2 Determine la probabilidad de que menos de 1/8 de las mujeres quese inscribieron para una maraton en particular la finalicen, si se sabeque exactamente 1/2 de los atletas hombres la terminaron.






Suponga que la fraccion X de atletas hombres y la fraccion Y de atletasmujeres que terminan la carrera del maraton puede describirse porfuncion de densidad conjunta:

f (x , y) =

8xy , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

0, cov

1 Encuentre la densidad marginal g(x) de X , la densidad marginalh(y) de Y y la densidad condicional f (y/x)

2 Determine la probabilidad de que menos de 1/8 de las mujeres quese inscribieron para una maraton en particular la finalicen, si se sabeque exactamente 1/2 de los atletas hombres la terminaron.






g(x) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dy

=

∫ x

0

8xydy

= 4xy2y=x

y=0

= 4x3

luego

g(x) =

4x3, 0 ≤ x ≤ 1.0, cov






g(x) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dy

=

∫ x

0

8xydy

= 4xy2y=x

y=0

= 4x3

luego

g(x) =

4x3, 0 ≤ x ≤ 1.0, cov






h(y) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dx

=

∫ 1

y

8xydy

= 4x2yy=x

y=0

= 4y(1− y2)

luego

h(y) =

4y(1− y2

), 0 ≤ y ≤ 1.0, cov






h(y) =

∫ ∞−∞

f (x , y)dx

=

∫ 1

y

8xydy

= 4x2yy=x

y=0

= 4y(1− y2)

luego

h(y) =

4y(1− y2

), 0 ≤ y ≤ 1.0, cov






Ahora

f (y/x) =f (x , y)

g(x)=

8xy

4x3=

2y

x2

luego

f (y/x) =

2yx2 , 0 ≤ y ≤ x.0, cov






Ahora

f (y/x) =f (x , y)

g(x)=

8xy

4x3=

2y

x2

luego

f (y/x) =

2yx2 , 0 ≤ y ≤ x.0, cov






Calcularemos ahora el valor de P(Y < 1/8 / X = 1/2)

P(Y < 1/8 / X = 1/2) =

∫ 1/8

0

8ydy

= 4y21/8

0

=1

16






Calcularemos ahora el valor de P(Y < 1/8 / X = 1/2)

P(Y < 1/8 / X = 1/2) =

∫ 1/8

0

8ydy

= 4y21/8

0

=1

16





Ejercicio

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), donde f (x , y) esta definida por:

f (x , y) =

x(1+3y2)

4 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 1.0, cov.

1 Encuentre la densidad marginal g(x) de X , la densidad marginalh(y) de Y y la densidad condicional f (x/y)

2 Evalue P(1/4 < X < 1/2 / Y = 1/3)





Ejercicio

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), donde f (x , y) esta definida por:

f (x , y) =

x(1+3y2)

4 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 1.0, cov.

1 Encuentre la densidad marginal g(x) de X , la densidad marginalh(y) de Y y la densidad condicional f (x/y)

2 Evalue P(1/4 < X < 1/2 / Y = 1/3)





Solucion

g(x) =

x2 , 0 ≤ x ≤ 2.0, cov.

h(y) =

1+3y2

2 , 0 ≤ y ≤ 1.0, cov.

f (x/y) =

x2 , 0 ≤ x ≤ 2.0, cov.

P(1/4 < X < 1/2 / Y = 1/3) =3

64





Solucion

g(x) =

x2 , 0 ≤ x ≤ 2.0, cov.

h(y) =

1+3y2

2 , 0 ≤ y ≤ 1.0, cov.

f (x/y) =

x2 , 0 ≤ x ≤ 2.0, cov.

P(1/4 < X < 1/2 / Y = 1/3) =3

64





Independencia Estadıstica

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y) con funciones marginales g(x) y h(y)respectivamente. Se dice que las variables aleatorias X e Y sonestadısticamente independientes, si y solo si:

f (x , y) = g(x)h(y)

Esta definicion es valida tanto para el caso en que el par (X ,Y ) esdiscreto o continuo.





Independencia Estadıstica

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y) con funciones marginales g(x) y h(y)respectivamente. Se dice que las variables aleatorias X e Y sonestadısticamente independientes, si y solo si:

f (x , y) = g(x)h(y)

Esta definicion es valida tanto para el caso en que el par (X ,Y ) esdiscreto o continuo.





Ejemplo de Independencia Estadıstica, caso continuo

Recordemos el ultimo ejemplo, donde:

f (x , y) =

x(1+3y2)

4 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 1.0, cov.

g(x) =

x2 , 0 ≤ x ≤ 2.0, cov.

h(y) =

1+3y2

2 , 0 ≤ y ≤ 1.0, cov.

Claramente f (x , y) = g(x)h(y), con 0 ≤ x ≤ 2; y 0 ≤ y ≤ 1, en tal casoX e Y son estadısticamente independientes





Ejemplo de Independencia Estadıstica, caso continuo

Recordemos el ultimo ejemplo, donde:

f (x , y) =

x(1+3y2)

4 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 1.0, cov.

g(x) =

x2 , 0 ≤ x ≤ 2.0, cov.

h(y) =

1+3y2

2 , 0 ≤ y ≤ 1.0, cov.

Claramente f (x , y) = g(x)h(y), con 0 ≤ x ≤ 2; y 0 ≤ y ≤ 1, en tal casoX e Y son estadısticamente independientes





Ejemplo de Independencia Estadıstica, caso discreto

Recordemos las marginales de la f (x , y) dada en la tabla:

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna






Recordemos las marginales de la f (x , y) dada en la tabla:

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna






x 0 1 2

g(x)=P(X=x) 514

1528

328

x 0 1 2

h(y)=P(Y=y) 1528

37

128

Observe por ejemplo que f (1, 0) = 9/28, g(1) = 15/28 yh(0) = 15/28, por lo tanto

f (1, 0) 6= g(1)h(0)

basta con este contraejemplo para inferir que X e Y no sonestadısticamente independientes.






x 0 1 2

g(x)=P(X=x) 514

1528

328

x 0 1 2

h(y)=P(Y=y) 1528

37

128

Observe por ejemplo que f (1, 0) = 9/28, g(1) = 15/28 yh(0) = 15/28, por lo tanto

f (1, 0) 6= g(1)h(0)

basta con este contraejemplo para inferir que X e Y no sonestadısticamente independientes.





Valor Esparado de la variable aleatoria g(X ,Y )

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y) La media o valor esperado de la variable aleatoriag(X ,Y ), es:

1

µg(X ,Y ) = E [g(X ,Y )] =∑

x

∑y

g(x , y)f (x , y)

si X e Y son discretas

2

µg(X ,Y ) = E [g(X ,Y )] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

g(x , y)f (x , y)dxdy

si X e Y son continuas





Valor Esparado de la variable aleatoria g(X ,Y )

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y) La media o valor esperado de la variable aleatoriag(X ,Y ), es:

1

µg(X ,Y ) = E [g(X ,Y )] =∑

x

∑y

g(x , y)f (x , y)

si X e Y son discretas

2

µg(X ,Y ) = E [g(X ,Y )] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞


si X e Y son continuas





Ejemplo de Valor Esparado de la variable aleatoria g(X ,Y ), caso discreto

Consideremos la funcion f (x , y) de la tabla anterior y la funciong(X ,Y ) = XY , entonces

E [XY ] = E [g(X ,Y )]=

∑x

∑y g(x , y)f (x , y)

=∑2

x=0

∑2y=0 xyf (x , y)

= (0)(0)f (1, 0) + (0)(1)f (0, 1) + (0)(2)f (0, 2)+ (1)(0)f (1, 0) + (1)(1)f (1, 1) + (1)(2)f (1, 2)+ (2)(0)f (2, 0) + (2)(1)f (2, 1) + (2)(2)f (2, 2)= f (1, 1)= 3

14





Ejemplo de Valor Esparado de la variable aleatoria g(X ,Y ), caso discreto

Consideremos la funcion f (x , y) de la tabla anterior y la funciong(X ,Y ) = XY , entonces

E [XY ] = E [g(X ,Y )]=

∑x

∑y g(x , y)f (x , y)

=∑2

x=0

∑2y=0 xyf (x , y)

= (0)(0)f (1, 0) + (0)(1)f (0, 1) + (0)(2)f (0, 2)+ (1)(0)f (1, 0) + (1)(1)f (1, 1) + (1)(2)f (1, 2)+ (2)(0)f (2, 0) + (2)(1)f (2, 1) + (2)(2)f (2, 2)= f (1, 1)= 3

14





Ejemplo de Valor Esparado de la variable aleatoria g(X ,Y ), casocontinuo

Encuentre E[

XY

], para la funcion de densidad:

f (x , y) =

x(1+3y2)

4 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 1.0, cov.






Encuentre E[

XY

], para la funcion de densidad:

f (x , y) =

x(1+3y2)

4 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 < y < 1.0, cov.






Sea g(X ,Y ) = XY

E

[X

Y

]= E [g(X ,Y )]

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞


=

∫ 1

0

∫ 2

0

y(1 + 3y2)

4dxdy

=

∫ 1

0

1 + 3y3

2dy

=5

8David Elal-Olivero Estadıstica y Probabilidades, 2o Semestre 2012





Sea g(X ,Y ) = XY

E

[X

Y

]= E [g(X ,Y )]

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞


=

∫ 1

0

∫ 2

0

y(1 + 3y2)

4dxdy

=

∫ 1

0

1 + 3y3

2dy

=5

8David Elal-Olivero Estadıstica y Probabilidades, 2o Semestre 2012




Covarianza

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y). Se define la covarianza de la variable aleatoria Xe Y , y se denota por Cov(X ,Y ), como:

1

Cov(X ,Y ) = E [(X−µX )(Y−µY )] =∑

x

∑y

(x−µX )(y−µY )f (x , y)

si X e Y son discretas con µX = E [X ] y µY = E [Y ]





Covarianza


1

Cov(X ,Y ) = E [(X−µX )(Y−µY )] =∑

x

∑y

(x−µX )(y−µY )f (x , y)






Covarianza


1

Cov(X ,Y ) = E [(X−µX )(Y−µY )] =∑

x

∑y

(x−µX )(y−µY )f (x , y)


2

Cov(X ,Y ) = E [(X − µX )(Y − µY )]

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

(x − µX )(y − µY )f (x , y)dxdy

si X e Y son continuas con µX = E [X ] y µY = E [Y ]





Covarianza


1

Cov(X ,Y ) = E [(X−µX )(Y−µY )] =∑

x

∑y

(x−µX )(y−µY )f (x , y)


2

Cov(X ,Y ) = E [(X − µX )(Y − µY )]

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

(x − µX )(y − µY )f (x , y)dxdy

si X e Y son continuas con µX = E [X ] y µY = E [Y ]





Demostracion de la propiedad, caso continuo

Cov(X,Y) = E [(X − µX )(Y − µY )]=

∫∞−∞

∫∞−∞(x − µX )(y − µY )f (x , y)dxdy

=∫∞−∞

∫∞−∞(xy − xµY − yµX + µXµY )f (x , y)dxdy

=∫∞−∞

∫∞−∞ xyf (x , y)dxdy - µY

∫∞−∞

∫∞−∞ xf (x , y)dxdy

- µX

∫∞−∞

∫∞−∞ yf (x , y)dxdy + µXµY

∫∞−∞

∫∞−∞ f (x , y)dxdy

= E [XY ] - µY E [X ] - µXE [Y ] + µXµY

= E [XY ]−E[X] E[Y]La demostracion del caso discreto, es casi lo mismo, cambiando integralpor sumatorias





Demostracion de la propiedad, caso continuo

Cov(X,Y) = E [(X − µX )(Y − µY )]=

∫∞−∞

∫∞−∞(x − µX )(y − µY )f (x , y)dxdy

=∫∞−∞

∫∞−∞(xy − xµY − yµX + µXµY )f (x , y)dxdy

=∫∞−∞

∫∞−∞ xyf (x , y)dxdy - µY

∫∞−∞

∫∞−∞ xf (x , y)dxdy

- µX

∫∞−∞

∫∞−∞ yf (x , y)dxdy + µXµY

∫∞−∞

∫∞−∞ f (x , y)dxdy

= E [XY ] - µY E [X ] - µXE [Y ] + µXµY

= E [XY ]−E[X] E[Y]La demostracion del caso discreto, es casi lo mismo, cambiando integralpor sumatorias





Aplicacion de la propiedad, caso discreto

Recordemos la tabla de la distribucion conjunta f (x , y):

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna






Recordemos la tabla de la distribucion conjunta f (x , y):

Totalesx por

f(x,y) 0 1 2 filas

0 328

928

328

1528

y 1 314

314

37

2 128

128

Totales por 514

1528

328 1

columna






En tal caso tenemos que:

E [XY ] =3

14calculado anteriormente

por otra parte:

µX = E [X ] =2∑

x=0

2∑y=0

xf (x , y)

=2∑

x=0

xg(x)

= (0)

(5

14

)+ (1)

(15

28

)+ (2)

(3

28

)=

3

4






En tal caso tenemos que:

E [XY ] =3

14calculado anteriormente

por otra parte:

µX = E [X ] =2∑

x=0

2∑y=0

xf (x , y)

=2∑

x=0

xg(x)

= (0)

(5

14

)+ (1)

(15

28

)+ (2)

(3

28

)=

3

4






y

µY = E [Y ] =2∑

x=0

2∑y=0

yf (x , y)

=2∑

y=0

yh(y)

= (0)

(15

28

)+ (1)

(3

7

)+ (2)

(1

28

)=

1

2






y

µY = E [Y ] =2∑

x=0

2∑y=0

yf (x , y)

=2∑

y=0

yh(y)

= (0)

(15

28

)+ (1)

(3

7

)+ (2)

(1

28

)=

1

2






por lo tanto:

Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ]

=3

14−(

3

4

)(1

2

)= − 9

56






por lo tanto:

Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ]

=3

14−(

3

4

)(1

2

)= − 9

56





Aplicacion de la propiedad, caso continuo

Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), donde X representa la fraccion de corredoreshombres e Y la fraccion de corredores mujeres que finalizan las carrerasde maraton, donde f (x , y) esta dada por:

f (x , y) =

8xy , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

0, cov.

Encuentre Cov(X ,Y )






Sea (X ,Y ) ∼ f (x , y), donde X representa la fraccion de corredoreshombres e Y la fraccion de corredores mujeres que finalizan las carrerasde maraton, donde f (x , y) esta dada por:

f (x , y) =

8xy , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

0, cov.

Encuentre Cov(X ,Y )






Este ejercicio fue analizado anteriormente donde se encontro que lasdistribuciones marginales de X e Y eran, respectivamente:

g(x) =

4x3, 0 ≤ x ≤ 1

0, cov

h(y) =

4y(1− y2

), 0 ≤ y ≤ 1

0, cov






Este ejercicio fue analizado anteriormente donde se encontro que lasdistribuciones marginales de X e Y eran, respectivamente:

g(x) =

4x3, 0 ≤ x ≤ 1

0, cov

h(y) =

4y(1− y2

), 0 ≤ y ≤ 1

0, cov






de esta manera:

µX = E [X ] =

∫ 1

0

xg(x)dx =

∫ 1

0

4x4dx

=

(4

5x5

) x=1

x=0

=4

5






de esta manera:

µX = E [X ] =

∫ 1

0

xg(x)dx =

∫ 1

0

4x4dx

=

(4

5x5

) x=1

x=0

=4

5






por otra parte:

µY = E [Y ] =

∫ 1

0

yh(y)dx =

∫ 1

0

4y2(1− y2)dy

=

(4

3y3 − 4

5y5

) x=1

x=0

=8

15






por otra parte:

µY = E [Y ] =

∫ 1

0

yh(y)dx =

∫ 1

0

4y2(1− y2)dy

=

(4

3y3 − 4

5y5

) x=1

x=0

=8

15






y:

E [XY ] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

xyf (x , y)dxdy =

∫ 1

0

∫ 1

y

8x2y2dxdy

=

∫ 1

0

(8

3x3y2

) x=1

x=ydy

=

∫ 1

0

(8

3y2 − 8

3y5

)dy

=

(8

9y3 − 4

9y6

) y=1

y=0

=4

9






y:

E [XY ] =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

xyf (x , y)dxdy =

∫ 1

0

∫ 1

y

8x2y2dxdy

=

∫ 1

0

(8

3x3y2

) x=1

x=ydy

=

∫ 1

0

(8

3y2 − 8

3y5

)dy

=

(8

9y3 − 4

9y6

) y=1

y=0

=4

9






luego:

Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ]

=

(4

9

)−(

4

5

)(8

15

)=

4

225






luego:

Cov(X ,Y ) = E [XY ]− E [X ]E [Y ]

=

(4

9

)−(

4

5

)(8

15

)=

4

225





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Probabilidad Conjunta