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PROBABILIDAD

Experimentos aleatorios:

Experimentos aleatorios o de azar son aquellos cuyos resultados no se pueden predecir antes de su

realización. Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las mismas

condiciones. Por ejemplo, tirar al aire un dado numerado.

Espacio muestral:

Se llama espacio muestral y se designa por la letra E al conjunto de todos los posibles resultados de un

experimento aleatorio, es importante definir el experimento, no es lo mismo el experimento sacar una

carta y mirar el palo (4 posibles resultados), que mirar el número (10 posibles en la baraja española).

Ejemplo: E = {1,2,3,4,5,6}.

Suceso:

Se llama suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral E. Si el espacio muestral tiene n

elementos, se pueden formar exactamente 2n sucesos. Hay dos sucesos particulares, el suceso

imposible (∅) y el suceso seguro E.

Los sucesos formados sólo por un elemento (hay n) se llaman sucesos individuales o elementales.

P.E. si lanzamos un dado y miramos el número que sale hay 6 sucesos elementales, hay 26 = 64 posibles

sucesos, de los cuales alguno es:

A ={1,2} B ={2,3,5} C ={1,3,5,6}

Si tiro el dado y sale un 1 se cumple el suceso A y C en este caso, pero si sale 6 sólo se cumple el suceso

C.

Cualquier suceso que sea igual al espacio muestral E, se llama suceso seguro. (Es aquel que siempre se

verifica).

Cualquier suceso que sea igual al conjunto se llama suceso imposible y, por tanto, será un suceso que

no se produce nunca.

OPERACIONES CON SUCESOS

Sean los sucesos A y B; se dice que el suceso A está contenido en el suceso B, A B, si siempre que se

verifica A, también se verifica B.

Dados dos sucesos A y B, se llama suceso unión, y se designa por A U B, al suceso que se produce si se

verifica A ó B. Ejemplo: A: “salir par” y B:“salir mayor que 4”. Entonces, A = {2,4,6}, B = {5,6} y

AUB={2,4,5,6}.

A

B

2

4

65

31

E


Dados dos sucesos A y B, se llama suceso intersección, y se escribe por A B al suceso que se realiza

si se verifica A y B. Ejemplo: A:”salir par” y B: “salir mayor que 4”. Entonces, A = {2,4,6}, B = {5,6} y

AB = {6}.

A

B

2

4

65

31

E

Dado un suceso A, se llama suceso contrario o complementario del suceso A, y se designa por A ó cA ,

al suceso que se verifica siempre que no se produce A. Ejemplo: A: “salir par”. Entonces A = {2,4,6} y

A = {1,3,5}. Observación: el suceso seguro E y el suceso imposible son contrarios.

Dos sucesos son incompatibles si no se pueden verificar a la vez, es decir, A B = . Ejemplo: A: “salir

par”; B:”salir primo mayor que dos”. Entonces A = {2,4,6}, B = {3,5} y A B = . Por tanto, A y B son

incompatibles.

Diferencia de sucesos: Dados dos sucesos A y B, el suceso A menos B es el suceso que se verifica

cuando se realiza A y no se realiza B. Lo representaremos por A\B. Se verifica que A\B=A B .

Ejemplo: A: “salir par” y B: “salir mayor que 4”. Entonces: A = {2,4,6}, B = {5,6} y A\B = {2,4}.


Propiedades de las operaciones con sucesos:

Cualesquiera tres sucesos A, B, C, verifican las siguientes propiedades:

Unión Intersección Unión e intersección

Asociativa (AUB)UC=AU(BUC) (AB)C=A(BC) Simplificativas:

AU(BA)=A

A(BUA)=A

Conmutativa AUB=BUA AB=BA

Idempotente AUA=A AA=A

De complementación AUAC=E AAC= Distributivas:

AU(BC)=(AUB)(AUC)

A(BUC)=(AB)U (AC)

Elemento neutro AU=A AE=A

Elemento absorvente A=

Leyes de Morgan BUAAUB BUABA

Ley de los grandes números:

Consideremos una experiencia aleatoria que pueda ser repetida un elevado número de veces en

condiciones uniformes. Empíricamente, se comprueba que la frecuencia relativa fr(A) de un suceso se

estabiliza para valores crecientes de n (porque al ser el denominador cada vez más grande, le afectan

menos las fluctuaciones del numerador).

Por regularidades estadísticas de los fenómenos aleatorios entenderemos, pues, la estabilización de las

frecuencias relativas de los sucesos ligados a ellos, al repetirse dichos fenómenos un elevado número de

veces.

La idea de regularidad sugiere que si repitiésemos la experiencia un número infinito de veces, las

frecuencias relativas alcanzarían un determinado valor teórico. Esto permite asignar a cada suceso

ligado a un experimento un nº entre 0 y 1 tal que la frecuencia relativa de A, en una larga serie de

repeticiones del experimento, se aproxime a dicho número p, que se designa como probabilidad de A.

Esto se llama ley de los grandes números.

Es decir: si realizamos N veces un experimento aleatorio y el suceso A ocurre nA veces, se define:

An : Frecuencia absoluta del suceso A.

N

nA : Frecuencia relativa del suceso A.

Definimos la probabilidad de que A ocurra como el límite de su frecuencia relativa cuando N tiende a

infinito: N

nAP A

N lim)(

DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD

Llamamos función de probabilidad a toda aplicación P definida entre el espacio de sucesos y el conjunto

de los números reales, tal que a todo suceso A, le asocia un número real P(A), al que llamamos

probabilidad del suceso A, cumpliendo, por definición, las siguientes propiedades (axiomas):

1. 0 P(A) 1, para todo suceso A.

2. La probabilidad del suceso seguro es uno: P(E) = 1. (Probabilidad total).

3. Si A y B son sucesos incompatibles (AB = ): P(AUB) = P(A) + P(B).


Estas tres propiedades indican que disponemos de una cantidad total de probabilidad igual a 1 que

tenemos que repartir aditivamente entre los distintos sucesos.

Propiedades de la probabilidad:

1º. )(1)( APAP

2º. P() = 0

3º. Si A y B son dos sucesos tales que AB entonces:

P(A) P(B) y P(B-A) = P(B) - P(A)

4º. Si A y B son sucesos compatibles (AB), entonces:

P (A U B) = P (A) + P (B) – P (AB)

(A U B = sacar A ó sacar B).

5º. Si A y B son sucesos incompatibles (AB), entonces:

P (AUB) = P (A) + P (B)

6º. Si el espacio muestral es finito y un suceso A se compone de n sucesos elementales se cumple:

A = {x1, x2, ... , xn} → P (A) = P (x1) + P (x2) + … + P (xn)

7º. P (AC ∪ BC) = 1 - P (A ∩ B) y P (AC ∩ BC) = 1 - P (A ∪ B)

(Se deducen de las leyes de Morgan.)

8º. Sea A y B dos sucesos cualesquiera P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ BC) ya que

B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ BC) con (A ∩ B) y (A ∩ BC) incompatibles.

NOTA: Es útil recordar esta regla P (al menos una ….) + P (ninguna…) = 1

Ejemplo 1: Si se lanza una moneda tres veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras?

Probabilidad de Laplace:

Si tenemos un espacio muestral E formado por sucesos elementales (casos) equiprobables (tienen la

misma probabilidad) y llamamos casos favorables de un suceso A al número de sus sucesos elementales,

es decir, al número de casos en que es un éxito y casos posibles al número total de casos posibles, se

define la probabilidad de Laplace de la siguiente forma: “La probabilidad P(A) de un suceso A, es el

cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles”:

posiblescasosdenúmero

AafavorablescasosdenúmeroAP )(


No siempre se puede utilizar la ley anterior, por ejemplo en instrumentos irregulares (dado trucado,

chincheta etc...) o cuando los sucesos no son equiprobables (tirar dos dados y sumar sus caras, sacar

una baraja y mirar cuando es figura etc.…).

Ejemplo 2: Por ejemplo: Sea el suceso A: “sacar múltiplo de tres”, en el lanzamiento de un dado de seis

caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad del suceso A?

Casos posibles: E={1,2,3,4,5,6}.

Casos favorables: A={3,6}.

6

2)( AP

Ejemplo 3: En una baraja de 40 cartas, halla:

a) P[as] b) P[oros]

a) 1,040

4)(

cartasdetotalnúmero

asesdenúmeroasP ;

b) 25,040

10)(

cartasdetotalnúmero

orosdenúmeroorosP

Ejemplo 4: En una baraja hemos suprimido varias cartas. Entre las que quedan se dan las siguientes

probabilidades de ser extraídas: P[Rey] = 0,15; P[bastos] = 0,3; P[carta que no sea rey ni bastos] = 0,6.

a) ¿Está entre ellas el rey de bastos?

b) ¿Cuántas cartas hay?

a) El suceso “ni rey ni bastos” es el suceso complementario de “rey o bastos”, pues

BRBR .

b) P[ni rey ni bastos] = 0,6 P[rey o bastos] = P[rey bastos] = 1 – 0,6 = 0,4

P[rey bastos] = P[rey] + P[bastos] – P[rey bastos]

Sustituyendo:

05,0][][3,015,04,0 bastosreyPbastosreyP

Por tanto, el rey de bastos está y su probabilidad es: 20

105,0

bastosdereyP

b) Como la probabilidad de extraer cada una de las cartas de una baraja es la misma, si en este

montón la probabilidad de sacar el rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Se llama probabilidad condicionada del suceso A, respecto al suceso B, y se simboliza por P(A/B), al

cociente:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

con P(B)0.

(Es la probabilidad de que se realice A sabiendo que se ha realizado B).

Se dice que A y B son independientes cuando P (A/B) = P (A), en este caso si aplicamos la definición:

P (A ∩ B) = P (A) · P (B)

Es importante no confundir sucesos incompatibles (no se pueden producir a la vez A ∩ B = ∅, por lo

tanto P (A ∩ B) = 0 y P (A ∪ B) = P (A) + P (B) ), con sucesos independientes P (A ∩ B) = P (A) · P (B).


Ejemplo 5: En el experimento aleatorio de lanzar tres monedas, si A={sacar dos caras}, su probabilidad

es 8

3)( AP , pues los casos favorables son tres: CCX, CXC, XCC, siendo los casos posibles 8: CCC, CCX,

CXC, XCC, XXC, XCX, CXX y XXX. Por tanto, ahora, la probabilidad del suceso A, sabiendo que ha

ocurrido B={hay, como mínimo una cruz} (que llamaremos suceso A condicionado con B y se escribe A/B),

sería:

)(

)(

8

78

3

7

3)/(

BP

BAPBAP

Estrategias para estudiar probabilidades

Un experimento aleatorio compuesto es el que está formado por varios experimentos simples o que se

puede descomponer en varios experimentos más simples.

Siempre que tengamos que resolver un problema de un experimento compuesto, lo descomponemos en

los experimentos simples correspondientes. En este tipo de problemas tenemos estrategias distintas:

Diagrama de árbol:

Un árbol de probabilidades es un diagrama en árbol, de forma que en cada rama escribimos su

probabilidad, que es la probabilidad de un experimento simple. Un camino es un conjunto de ramas que

nos lleva desde el principio hasta el final.

La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de sus ramas y la probabilidad

de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Ejemplo 6: Tenemos una urna A con 2 bolas rojas y tres verdes y otra urna B con 5 bolas rojas y 4

verdes. Elegimos una urna al azar y de ella extraemos una bola. Haz el árbol de probabilidades y calcula

la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

48,090

43

9

5

2

1

5

2

2

1)( rojaP

Diagrama cartesiano:

Un diagrama cartesiano es una tabla de doble entrada que nos da todas las posibilidades que se pueden

obtener al realizar un experimento compuesto por dos pruebas.

Ejemplo 7: Lanzamos dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6 y queremos saber la suma de puntos.

Representa el diagrama cartesiano y calcula la probabilidad de obtener suma 9.


1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 19 11

6 7 8 9 10 11 12

11,036

4)9( SumaP

Tabla de contingencia:

Llamamos variables cualitativas a aquellas cuyo resultado es un valor o categoría de entre un conjunto

finito de respuestas posibles. El sexo, el estado civil o el grupo sanguíneo son ejemplos de variables

cualitativas.

Cuando se analizan variables cualitativas es habitual representar en tablas las frecuencias de casos

observados para cada una de las diferentes categorías de las variables, las cuales se denominan tablas

de contingencia.

Se incluye una última fila y columna con los totales parciales.

Es, por tanto, una tabla que nos permite organizar los elementos de una población según dos

características. Se llama de contingencia porque en ella se presentan todas las posibilidades o

contingencias.

Ejemplo 8: En un centro de bachillerato de 800 alumnos, sabemos que hay 420 chicas de las que 310

practican deporte y que 105 chicos no practican deporte.

a) Haz la tabla de contingencia.

b) ¿Quiénes llevan una vida más sana, los chicos o las chicas?

Chicas Chicos Total

Practican deporte 310 275 585

No practican deporte 110 105 215

Total 420 380 800

P(que una chica practique deporte) = 420

310 = 0,74

P(que un chico practique deporte) = 380

275 = 0,72

Ejemplo 9: Se sigue la pista, durante un año, a 100000 motos de tres marcas distintas: SETA, FLOR y

AVE. Unas han tenido algún accidente serio (AC) y otras no (NO AC). Los resultados se reparten como

aparece en la tabla, que empezamos completando con las sumas parciales y con la suma total.


SETA FLOR AVE

AC 400 200 400 1000

NO AC 49600 19800 29600 99000

50000 20000 30000 100000

Si entre las mil motos que han tenido un accidente AC, elegimos una al azar, es fácil hallar las

probabilidades condicionadas:

P (SETA/AC) = 1000

400 = 0,4

(Sabiendo que ha tenido un accidente, ¿cuál es la probabilidad de que sea SETA?)

Análogamente:

P(FLOR/AC) = 1000

200 = 0,2; P(AVE/AC) =

1000

400 = 0,4

También se puede calcular la probabilidad de que una moto de cierta marca tenga un accidente:

P(AC/SETA) = 50000

400 = 0,008; P(AC/FLOR) =

20000

200 = 0,010; P(AC/AVE) =

30000

400 = 0,0133

Estos resultados hacen ver que la marca más segura es SETA y la menos, AVE. Comparando estas

probabilidades condicionadas con la probabilidad total, P(AC) = 100000

1000 = 0,01, vemos que los sucesos

FLOR y AC son independientes, mientras que SETA y AVE no son independientes con AC.

Experimentos compuestos

Hay experiencias en las que fácilmente se pueden distinguir varias etapas. Se llaman pruebas

compuestas y su estudio se simplifica mucho calculando las probabilidades de sus componentes.

Dos pruebas son independientes cuando el resultado de una no influye en la otra. En caso contrario se

llaman dependientes.

Ejemplo: Lanzamos una moneda y un dado. Es evidente que son independientes.

Ejemplo: Sacamos dos cartas de la baraja. El resultado de la primera si influye en la segunda (por

ejemplo, si en la primera sacamos AS, es menos probable que lo saquemos en la segunda). Son

dependientes.

Experimentos independientes:

Sean A y B dos sucesos; se dice que B es independiente de A si se verifica:

P(B) = P(B/A), supuesto P(A) 0

En consecuencia, si dos sucesos son independientes se verifica:

)()·()( BPAPBAP

Ejemplo 10: De una baraja española de 40 cartas sacamos, primero una, la devolvemos y luego sacamos

otra. Sean los sucesos A: “sacar oros” y B: “sacar copas”. ¿Cómo son los sucesos A y B, dependientes o

independientes? ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero oros y después copas?


Los sucesos A y B son independientes ya que, al haber devolución en la segunda extracción, tenemos las

mismas cartas que en la primera extracción.

0625,040

10

40

10)()·()( BPAPBAP

Experimentos dependientes: (Probabilidad compuesta o teorema del producto)

Dos experimentos son dependientes cuando el resultado del primero influye en las probabilidades de los

sucesos del segundo. Las probabilidades de sucesos compuestos se obtienen así:

12121 /·ª2ª1 SSPSPenySenSP , es decir:

P[S1 en 1ª] · P[S2 en 2ª sabiendo que ocurrió S1 en 1ª]

Si se encadenan más de dos experimentos dependientes, las probabilidades de los sucesos compuestos

se obtienen análogamente. Por ejemplo, para tres pruebas:

21312121 /·/·ª3ª2ª1 ySSSPSSPSPenySenySenSP

Esta fórmula se puede generalizar para n3 y se llama ley de probabilidad compuesta.

Es el estudio de la probabilidad de un camino de un árbol, que, como ya sabemos calcular, es el producto

de las ramas que componen el camino.

Ejemplo 11: En un baile en el que el 30 % de las chicas rubias tienen ojos negros, ¿cuál es la

probabilidad de sacar a bailar, al azar, a una rubia de ojos negros, si el 40 % de las chicas del baile son

rubias?

R=”rubia”; N=”ojos negros”.

5

2

100

40)( RP ;

10

3

100

30)/( RNP

25

3

10

3

5

2)/()·()( RNPRPNRP

Ejemplo 12: Tenemos un cofre y sabemos que tiene 25 monedas de oro y 75 de plata. ¿Cuál es la

probabilidad de sacar del cofre tres monedas de oro sin devolución?

Sean los sucesos A: “sacar moneda de oro la primera”, B: “sacar moneda de oro la segunda” y C: “sacar

moneda de oro la tercera”.


014,098

23

99

24

100

25)/()·/()·()( BACPABPAPCBAP

Probabilidad total:

Si A1, A2, …, An son sucesos incompatibles del experimento E tales que EAn

i

i

1

, entonces, la

probabilidad de cualquier suceso S, se calcula mediante la expresión:

P(S) = P(A1) · P(S/A1) + P(A2) · P(S/A2) + … + P(An) · P(S/An)

P(S) se llama probabilidad total.

La demostración es sencilla teniendo en cuenta que:

S = (S ∩ A1) ∪ (S ∩ A2) ∪ ... ∪ (S ∩ An ) Siendo todos incompatibles, por lo tanto:

P (S) = P (S ∩ A1 ) + P (S ∩ A2 ) +......+ P (S ∩An ) =

= P (A1) · P (S / A1) + P (A2) · P (S / A2) +......+ P (An) · P (S / An )

Ejemplo 13: Probamos tres vacunas A1, A2, A3 en 100 personas: la vacuna A1, en 30; la A2, en 20; y la

A3, en 50. Pasado el tiempo adecuado, observamos que del grupo A1, 23 no han contraído la enfermedad;

del A2, 17, y del A3, 39. ¿Qué probabilidad tenemos de que elegida una persona al azar esté sana?

S=”personas sanas”.

P(S) = P(A1) · P(S/A1) + P(A2) · P(S/A2) + P(A3) · P(S/A3) = 79,050

39

100

50

20

17

100

20

30

23

100

30

Teorema de Bayes:

Si A1, A2, …, An son sucesos incompatibles del experimento E tales que EAn

i

i

1

, y S un suceso

cualquiera, al que se puede llegar pasando por los sucesos A1, A2, …, An,,, ¿cuál es la probabilidad de que

haya sido pasando por Ai (probabilidad de que se verifique Ai condicionado a S)?

))·P(S/AP(A ))·P(S/AP(A))·P(S/AP(A

)P(S/A)P(A/S)P(A

nn2211

iii


P(S)

S)P(A/S)P(A i

i

Las probabilidades )P(Ai se llaman a priori porque son conocidas.

Las probabilidades )P(B/Ai se llaman verosimilitudes, por ser creíbles, ya que no ofrecen ninguna

duda.

Las probabilidades /B)P(Ai se llaman a posteriori porque son las que tenemos que calcular.

Ejemplo 14: Probamos tres vacunas A1, A2, A3 en 100 personas: la vacuna A1, en 30; la A2, en 20; y la

A3, en 50. Pasado el tiempo adecuado, observamos que del grupo A1, 23 no han contraído la enfermedad;

del A2, 17, y del A3, 39.

Si elegimos una persona al azar y está sana, ¿qué probabilidad tenemos de que proceda del grupo A3?

49,0))·P(S/AP(A))·P(S/AP(A))·P(S/AP(A

)P(S/A)P(A/S)P(A

332211

33

3

Ejemplo 15: Tres máquinas M1, M2, M3 producen el 45 %, el 30 % y el 25 %, respectivamente, del total

de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas

son del 3 %, 4 % y 5 %.

A) Seleccionamos una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

B) Tomamos, al azar, una pieza, y resulta ser defectuosa, calcula la probabilidad de que haya

sido producida por la máquina M2.

Solución:

D = la pieza es defectuosa

N = la pieza no es defectuosa

A)

0,0380,25·0,050,30·0,040,45·0,03 ))·P(D/MP(M))·P(D/MP(M))·P(D/MP(MP(D) 332211


B) Utilizando el teorema de Bayes:

))·P(D/MP(M))·P(D/MP(M))·P(D/MP(M

)P(D/M)P(M/D)P(M

332211

222

316,0380

120

·0,0525,0·0,0430,00,45·0,03

04,00,30

C) 355,0380

135

·0,0525,0·0,0430,00,45·0,03

03,00,45)/( 1

DMP

329,0380

125

·0,0525,0·0,0430,00,45·0,03

05,00,25)/( 3

DMP

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es M1.

Ejemplo 16: Tenemos tres urnas: U1 con 3 bolas rojas y 5 negras, U2 con 2 bolas rojas y 1 negra; y U3

con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja,

¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna U1?

Solución:

R = sacar bola roja

N = sacar bola negra

Utilizando el teorema de Bayes:

))·P(R/UP(U))·P(R/UP(U))·P(R/UP(U

)P(R/U)P(U/R)P(U

332211

111

260,0

173

45

·(2/5))3/1(·(2/3))3/1()(1/3)·(3/8

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