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Probabilidad
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Estudio de los conceptos de probabilidad Introducción La estadística puede ser descriptiva o inferencial; la descriptiva termina donde empieza la inferencial.
El estudio de la probabilidad es la introducción a la estadística inferencial, ya que es la primera vez en la
cual se pueden hacer suposiciones de lo que puede suceder de acuerdo al comportamiento descriptivo.
Las probabilidades no son verdad absoluta, solo es un estimado o suposición de lo que puede suceder en el
futuro si las condiciones actuales de la población se mantiene.
Ejemplo: El departamento de control de calidad de Funimak debe asegurar a la gerencia que el cable de ¼” que se
fabrica tiene una fuerza de tensión aceptable. Es obvio que no todo el cable que se fabrica es probado en cuanto a la
fuerza de tensión, ya que la prueba requiere que el cable se tense hasta que se rompa. A partir de los resultados de la
prueba, todo el cable que se fabrica se califica de aceptable o inaceptable.
Ejemplo: En Canal 5 se está transmitiendo la serie CSI y se tiene que hacer la revisión si la serie tiene la suficiente audiencia como para seguirla comprando. No se le va a preguntar a todos los televidentes de Honduras si ven la serie o no. Se levanta una muestra y dependiendo de las respuestas, la empresa decide si la compra o no.
La inferencia estadística está relacionada con las conclusiones relacionadas con una población sobre la base
de una muestra tomada.
La teoría de la probabilidad también se le conoce como la ciencia de la incertidumbre; pero permite, a
quien toma decisiones asumir riesgos, reduciendo al mínimo el peligro que exista.
Los conceptos relacionados a la teoría de la probabilidad son:
‐ Experimento
‐ Evento
‐ Probabilidad subjetiva
‐ Regla de la adición
‐ Regla de la multiplicación
PROBABILIDAD Valor entre 0 y 1, inclusive, que describe la probabilidad relativa (oportunidad o casualidad) de que ocurra
un evento.
Experimento Proceso que induce a que ocurra uno y sólo una de las varias observaciones.
Resultado Un resultado particular de un experimento.
Evento Conjunto de uno o más resultados de un experimento
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EXPERIMENTO EVENTO
Lanzar una moneda ‐ Cara ‐ Escudo
Matricular una asignatura ‐ Aprobar ‐ No aprobar
Votar por un candidato ‐ Ganará ‐ No ganará
Lanzar un dado al aire ‐ 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 ‐ 6
Ganar en la lotería ‐ 00 ‐ 01 … ‐ 99
Enfoques para asignar probabilidades Las probabilidades pueden ser:
‐ Objetivas
‐ Subjetivas
La probabilidad objetiva se subdivide en:
a) Clásica
b) Empírica
Probabilidad Clásica Parte del supuesto de que los resultados de un
experimento son igualmente posibles. De acuerdo
con el punto de vista clásico, la probabilidad de un
evento que se está llevando a cabo se calcula
dividiendo el número de resultados favorables entre
el número de posibles resultados.
ú
Ejemplo: Consideremos un experimento de lanzar un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae en número par”?.
Hay 3 resultados; puede ser que caiga, 2, 4 o 6; es decir, hay 3 eventos que pueden satisfacer mi pregunta.
ú 36
0.5
Probabilidad
Objetiva
Clásica
Se basa en resultados igualmente probables
Empírica
Se sustenta en las frecuencias relativas
Subjetiva
Parte de información disponible
3
Mutuamente excluyente El hecho de que un evento se presente, significa que ninguno de los demás eventos puede ocurrir al mismo
tiempo.
Los eventos mutuamente excluyentes, cuando son sumados todos, el resultado debe ser 1.
Ejemplo: La variable género o sexo tiene únicamente 2 resultados y el criterio aceptado es que el sexo será “masculino” o “femenino”, tiene que ocurrir uno de los 2. En teoría no puede ser una combinación de ambos.
Colectivamente exhaustivo Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se lleva a cabo un experimento.
Ejemplo: El experimento de la lotería es colectivamente exhaustivo, porque cada domingo debe caer al menos un número.
Probabilidad empírica La probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción de los eventos similares que sucedieron
en el pasado.
íú
ú
Se basa en la ley de los grandes números. La clave para determinar probabilidades de forma empírica
consiste en que una mayor cantidad de observaciones proporcionarán un cálculo más preciso de la
probabilidad.
Es la misma fórmula, lo que cambia es la interpretación; en la clásica es para eventos que están ocurriendo
y la empírica cuando se asocian a hechos ocurridos en el pasado.
Ley de los grandes números En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de un evento se aproximará a su probabilidad
real.
Ejemplo: El 1 de febrero del 2003, el transbordador espacial Columbia explotó. Este fue el segundo desastre en 113 misiones espaciales de la NASA. Con base en esta información ¿Cuál es la probabilidad de que una futura misión concluya con éxito?
ú ú
111113
0.98
Por experiencia, la probabilidad de que una futura misión del transbordador espacial concluya con éxito de 0.98 (la probabilidad 0, no es posible y la probabilidad 1 siempre es posible).
Probabilidad subjetiva Si se cuenta con poca o ningún experiencia o información con la cual sustentar la probabilidad, es posible
aproximarla en forma subjetiva. Es decir, un individuo evalúa las opiniones e información disponibles y
enseguida calcula o asignar la probabilidad.
4
Concepto subjetivo de probabilidad Posibilidad de un evento en particular que asigna un individuo a partir de cualquier información que
encuentre disponible.
Ejemplo:
1. Calcular la posibilidad de que la Selección de Honduras participe en el próximo mundial.
2. Calcular la posibilidad de que Usted se case el próximo año.
3. Calcular la posibilidad de que el déficit presupuestario de Estados Unidos se reduzca a la mitad en
los siguientes 10 años.
4. Calcular la posibilidad de que la cuenta del milenio se active en 2014.
Reglas para calcular probabilidades Es común que las probabilidades se midan en combinación de más de 1 evento; para lo cual se necesita
conocer la fórmula para estos casos:
‐ Reglas de la adición
‐ Reglas de la multiplicación
Regla especial de la adición Es especial cuando los eventos son mutuamente excluyentes.
Ejemplo: Una máquina automática Shaw llena bolsas de plástico con una combinación de frijoles, brócoli y otras verduras. La mayoría de las bolsas contienen el peso correcto; aunque, como consecuencia de la variación del tamaño del frijol y otras verduras, un paquete podría pesar más o menos de lo estipulado. Una revisión de 4,000 paquetes que se llenaron el mes pasado arrojó los siguientes resultados:
PESO EVENTO NÚMERO DE PAQUETES
PROBABILIDAD DE OCURRENCIA
Bolsas con menos peso A 100 0.025 Bolsas con peso correcto B 3600 0.900 Bolsas con más peso C 300 0.075
¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en particular pese menos o pese más?
0.025 0.075 0.10
La muestra analizada tiene eventos mutuamente excluyentes y también es colectivamente exhaustiva.
Regla del complemento La regla del complemento es todo lo que se encuentra en el resultado de un evento dado.
Ejemplo:
1. El complemento del evento masculino Femenino 2. El complemento del evento Lloverá No lloverá 3. El complemento del evento No aprobar Aprobar 4. El complemento del evento par Impar
5
5. El complemento del evento 1 en un dato 2, 3, 4, 5, 6 6. El complemento de Bolsas con menos peso Peso correcto, mayor peso
Regla general de la adición Los resultados de un experimento pueden ser que no sean mutuamente excluyentes; es decir, que algunos
resultados sean compartidos por ambos eventos. En este caso se requiere hacer un paso adicional.
Ejemplo: Estamos haciendo un estudio sobre turistas que hayan visitado Copán Ruinas o Islas de la Bahía. Puede ser que algunos solo hayan visitado Islas de la Bahía, otros solo Copán Ruinas; pero, algunos pueden haber visitado ambos sitios turísticos.
En este caso la regla especial de la adición no funciona porque si tenemos 20 turistas de los cuales 5
visitaron ambos sitios, 8 solo estuvieron en Islas de la Bahía y 7 solo han estado en Copán Ruinas; el
resultado no nos da las cuentas. Hace falta que exista alguna fórmula en la que se represente a los que
fueron a ambos sitios.
Probabilidad conjunta Es la probabilidad cuando dos eventos ocurren de manera simultánea.
Ejemplo: En el ejemplo que tenemos inconcluso se va a definir lo siguiente:
‐ A = Evento de los turistas que visitaron Copán Ruinas
‐ B = Evento de los turistas que visitaron las Islas de la Bahía
‐ A y B = Evento de los turistas que visitaron ambos sitios
La regla general de la adición se calcula sumando los que visitaron Copan Ruinas con los que visitaron Islas
de la Bahía; los que visitaron ambos sitios están repetidos en ambos, se resta esa cantidad.
Si preguntamos cuántos turistas han estado en Copán Ruinas = 13
Si preguntamos cuántos turistas han estado en Islas de la Bahía= 12
Si preguntamos cuántos turistas han estado en ambos sitios = 5
Fórmula de la regla general de la adición
Ejemplo: Un estudiante matricula dos cursos, historia y matemática. La probabilidad de que el estudiante
pase el curso de historia es de 0.60 y la probabilidad de que pase el curso de matemáticas es de 0.70; la
probabilidad de pasar ambos es de 0.50. ¿Cuál es la probabilidad de que pase por lo menos uno?
0.60 0.70 0.50 0.80
Reglas de la multiplicación Previo a revisar las reglas de la multiplicación, se va a revisar el concepto de eventos independientes.
Independencia Si un evento ocurre, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de que otro evento acontezca.
6
Ejemplo: En un hospital se está atendiendo 1 parto y el resultado del evento fue “niña”, en el siguiente
parto puede ser cualquier de los dos; es decir, nada predice que el parto de la siguiente embarazada esté
influenciado por este resultado. Por lo que se concluye que ambos eventos son independientes.
Regla especial de la multiplicación Para aplicar la regla especial de la multiplicación se requiere que ambos eventos sean independientes. La
operación que se realiza con la multiplicación de las probabilidades, da como resultado una probabilidad
conjunta. La fórmula es la siguiente:
∗
Ejemplo: En una encuesta llevada a cabo por la American Automobile Association (AAA) reveló que el año
pasado, el 60% de sus miembros hicieron reservaciones en líneas aéreas. Dos de ellos fueron seleccionados
al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieran reservaciones el año pasado?
La probabilidad de que el primero (A) haya hecho una reservación es de 60%/100 = 0.6 y la probabilidad de
que el segundo (B) haya hecho una reservación es de 60%/100 = 0.6.
∗ 0.6 ∗ 0.6 0.36
Eventos dependientes Si dos eventos no son independientes; se dice que son dependientes. Puede ocurrir que al querer obtener
un resultado para una probabilidad conjunta, los eventos dependan uno del otro.
Ejemplo: Supongamos que en el refrigerador hay 10 latas de refresco de Cola, 7 de los cuales son normales
y 3 son de dieta. La probabilidad de seleccionar una lata de refresco normal es 7/10 y la probabilidad de
seleccionar un refresco de dieta es 3/10. Cuando se lo termina de tomar y desea otro refresco de Cola,
resulta que ya solo quedan 9 latas. Si se quiere calcular la probabilidad de que la siguiente lata de refresco
sea de dieta va a depender de cuál lata tomó la lata el primero, por lo tanto la probabilidad se puede
enunciar de la siguiente manera:
Si la primera bebida fue de dieta, entonces solo quedan 2 de dieta P(A) = 2/9
Si la primer bebida fue normal, entonces todavía quedan 3 de dieta P(A) = 3/9
Se puede concluir que la probabilidad es condicional, ya que depende del resultado del primer evento.
Probabilidad condicional Es la probabilidad de que un evento ocurra, dado que el otro ya ocurrió.
/
Regla general de la multiplicación Para calcular una probabilidad conjunta, se multiplica la probabilidad del primer evento por la probabilidad
del segundo evento, dependiendo del resultado que se obtuvo en el primer evento.
∗ /
7
Ejemplo: Un futbolista tiene 12 camisas en su closet. Suponer que 9 son blancas y las demás son azules.
Como se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega futbol 2 veces seguidas y no las
lava. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos camisas elegidas sean blancas?
El evento A será la primera camisa que se ponga y el evento B la segunda camisa. La probabilidad del
evento A es 9/12, el segundo evento será 8/11. Por qué, la primera camisa se la puso y la dejó en el cesto
de la ropa sucia, ya solo quedan 11 camisas limpias; además, la que se puso era blanca, así que solo
quedan 8 camisas blancas limpias.
∗912
∗811
0.55
Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar 2 camisas blancas es de 0.55.
Tablas de contingencia Al aplicar una encuesta, a cada entrevistado se le hace una serie de preguntas para las cuales se obtienen
respuestas simples. Ya una vez la información tabulada, se pueden generar tablas de frecuencias que
contengan dos variables de manera combina, a esto se le llama “Tablas de Contingencia” o “Tablas de
variables cruzadas”.
Para construir la tabla, con estas 2 variables, se
genera una columna con las características de la
primera variable y se generan columnas adicionales
en las cuales de editan las características de la otra
variable.
Ejemplo: Se aplicó una encuesta a consumidores sobre el conocimiento de una nueva tienda en el centro
comercial Multiplaza, la muestra se aplicó a 20 visitantes y dos las preguntas que se les hicieron son:
a. ¿Visita este centro comercial seguido?
Respuestas: Con frecuencia, Ocasionalmente, Nunca
b. ¿La tienda “El Jaleo” está ubicada en un lugar conveniente?
Respuestas: Si, No
Al momento de hacer la tabulación la tabla de
contingencia que se generó fue la siguiente:
Calcular la probabilidad de que uno de los
entrevistados haya dicho que le parece un lugar muy
conveniente y que visita el centro comercial
ocasionalmente.
25195
0.128
Característica 1 Característica 2Característica 1Característica 2Característica 3
VARIABLE 2VARIABLE 1
Si NoCon frecuencia 60 20 80
Ocasionalmente 25 35 60
Nunca 5 50 55
Total 90 105 195
LUGAR CONVENIENTEVISITASTotal
8
Diagramas de Árbol Los diagramas de árbol son figuras que se distribuyen desde un árbol con sus
ramas, de acuerdo a la información proporcionada. Son útiles al organizar datos
que tienen varias etapas, en donde cada rama corresponde a una fase del
análisis.
El diagrama se genera dependiendo del número de variables que se estén
manejando en el estudio que se está realizando.
La construcción se puede basar en una tabla de contingencia; inicia en un punto con el nombre de la
variable (se puede omitir) y en la segunda etapa va el esquema de las característica y en el siguiente las
particulares.
Ejemplo: Se aplicó una encuesta en el centro comercial para conocer las preferencias de los visitantes en la
compra de zapatos, la encuesta de aplicó con dos marcas, obteniendo una muestra de 300 familias con los
siguientes resultados:
¿Cuál es la probabilidad de que una familia elegida al azar compre zapatos para niños, siendo que gusta de
comprar marca OshKosh?
ñ ñ 175300
∗90175
0.3
¿Cuál es la probabilidad de que una familia elegida al azar compre zapatos para niñas, siendo que gusta de
la compra la marca Stride Rite?
ñ ñ
125300
∗70125
0.23
Ejemplo: El 5% de la población de Umen, un país ficticio del tercer mundo, tiene una enfermedad propia del
país. La probabilidad de que habitante tenga la enfermedad es de 0.05; existe una técnica de diagnóstico,
que no es muy precisa. Se han hecho estudios de su efectividad y se ha descubierto la probabilidad de que
un habitante elegido al azar tenga la enfermedad después de haberse hecho el examen es de 0.9 y que la
probabilidad de que no la tenga, aunque se haya hecho la prueba es de 0.15. Graficar el diagrama de árbol:
9
Construir el resumen en una tabla:
Clases Probabilidad simple
La prueba diagnóstica de la enfermedad
Probabilidad condicional
Probabilidad Conjunta
Resultado
Padece la enfermedad 0.05 0.90 (0.05)(0.9) 0.0450
No padece la enfermedad 0.95 0.15 (0.95)(0.15) 0.1425
Teorema de Bayes El teorema de Bayes es una fórmula que fue desarrollada por el Reverendo Thomas Bayes, un ministro
presbiteriano inglés, que tenía mucho interés en saber, matemáticamente, si Dios existía, basándose en la
información veía en la Tierra. Más tarde, Pierre‐Simon Laplace perfeccionó el trabajo en un contexto más
terrenal y llamó a la fórmula “Teorema de Bayes”.
Sea B un evento simple y A1 y A2 eventos sucesivos que son mutuamente excluyentes y colectivamente
exhaustivos, el teorema de Bayes calcula la probabilidad de que se dé el evento A1, dado que el evento B ya
ocurrió:
Ejemplo: Si P(A1)= 0.05, P(B/A1)=0.80, P(A2)=0.95 y P(B/A2)= 0.50, encuentre P(A1/B).
P(A y B)
P(A1)=0.05
P(B/A1)=0.80 (0.05)(0.80)=0.04
.
P(A2)=0.95
P(B/A2)=0.50 (0.95)(0.50)=0.475
10
0.05 0.800.05 0.80 0.95 0.50
0.040.04 0.475
0.040.515
0.078
Los trabajadores despedidos que se volvieron empresarios porque no encontraron empleo en otra empresa
se conocen como “empresarios por necesidad”. El Wall Street journal reporta que estos empresarios tienen
menos posibilidad de crecimiento en los grandes negocios que los “empresarios por elección”. Este artículo
establece que el 89% de los empresarios en USA lo son por elección y que el 11% son empresarios por
necesidad. Solo el 2% de los empresarios por necesidad esperan que su nuevo negocio dé empleo a 20 o
más personas dentro de los siguientes cinco años, mientras que el 14% de los empresarios por elección
esperan emplear por lo menos a 20 personas dentro de los siguientes cinco años.
Si se selecciona al azar a un empresario y éste espera que su nuevo negocio emplee a 20 o más personas
dentro de los siguientes 5 años. ¿Cuál es la probabilidad de que esté individuo sea un empresario por
elección?
Encontrar P(empresario por elección / espera que su nuevo negocio emplee 20 o más personas)
A1 : Empresarios por elección P(A1) = 89%
A2 : Empresarios por necesidad P(A2) = 11%
B : Esperanza de crecer B1 : Espera crecer
B2 : No espera crecer
P(Empresario por elección/Espera crecer) = P(A1/B)
EventoSimple
P(Ai)
Condiconal
P(B/Ai)
Conjunta
P(Ai)P(B/Ai)
A1 0.05 0.8 0.04 0.04
A2 0.95 0.5 0.475 0.515
0.515
= 0.07767
.
Por elección
0.89
Espera crecer
0.14(0.89)(0.14)=0.1245
No espera crecer
Por necesidad
0.11
Espera crecer
0.02(0.11)(0.02)=0.0022
No espera crecer
EventoProbabilidad
simple
Procabilidad
condicional
probabilidad
conjunta
Empresario por elección (A1) 0.89 0.14 0.1246
Empresario por necesidad (A2) 0.11 0.02 0.0022
0.1268
11
0.89 0.140.89 0.14 0.11 0.02
0.1246
0.12680.9826
Ejemplo: Un fabricante de reproductores de DVD compra un microchip en particular denominado LS‐24 a
tres proveedores Hall Electronic, Schuller Sales y Crawford Components. 30% de los chips LS‐24 se la
compran a Hall Electronics; 20% a Schuller Sales y el restante 50% a Crawford Components. El fabricante
cuenta con amplios historiales sobre los 3 proveedores y sabe que 3% de los chips LS‐24 de Hall Electronics
tiene defectos, 5% de los chips de Schuller Sales tiene defectos y 4% de los chips que se compran en
Crawford Components tiene defectos.
Cuando los chips LS‐24 le llegan al fabricante, se les coloca directamente en un depósito y no se
inspeccionan ni se identifican con el nombre del proveedor. Un trabajador selecciona un chip para
instalarlo en un reproductor de DVD y lo encuentra defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado Schuller Sales?
ó
A1 = Comprado a Hall Electronics P(A1) = 0.30
A2 = Comprado a Schuller Sales P(A2) = 0.20
A3 = Comprado a Crawford Components P(A3) = 0.50
B1 = Salió defectuoso
B2 = No salió defectuoso
Las probabilidades condicionales son:
P(Salió defectuoso/Comprado en Hall Electronic) = P(B/A1) = 0.03
P(Salió defectuoso/Comprado en Schuller Sales) = P(B/A2) = 0.05
P(Salió defectuoso/Comprado en Crawford Components) = P(B/A3) = 0.04
Diagrama de árbol
P
Hall
0.30
Defectuoso
0.03(0.30)(0.03)=0.009
No defectuoso
Schuller
0.20
Defectuoso
0.05(0.20)(0.05)=0.01
No defectuoso
Crawford
0.50
Defectuoso
0.04(0.50)(0.04)=0.02
No defectuoso
12
Tabla de contingencia
Teorema de Bayes:
0.20 0.050.30 0.03 0.20 0.05 0.50 0.04
0.0100.009 0.010 0.020
0.010.039
0.2564
Ejemplo: Suponga que el 5% de la población de Umen, un país ficticio del tercer mundo, tiene una
enfermedad propia del país. Sea A1 el evento “padece la enfermedad” y A2 el evento “no padece la
enfermedad”.
En Umen existe una técnica para detectar la enfermedad; pero, no es muy precisa. Suponer que B es el
evento donde el paciente “la prueba revela la presencia de la enfermedad”. Suponga que la evidencia
histórica muestra si una persona padece realmente la enfermedad, la probabilidad de que la prueba revele
la presencia de ésta es de 0.90. y la probabilidad de que no la padezca es de 0.15. Al elegir una persona de
Umen y aplicarle la prueba ¿Cuál es la probabilidad de que la persona en realidad padezca la enfermedad?.
A1 = padece la enfermedad = “está enfermo”
A2 = no padece la enfermedad = “no está enfermo”
B = La prueba revela la presencia de la enfermedad = “Prueba positiva”
P(A1) = 0.05 padece la enfermedad
P(A2) = 1‐0.05 = 0.95 no padece la enfermedad
P(B/A1) = 0.90 la prueba revela la presencia de la enfermedad siendo que sí la padece
P(B/A2) = 0.15 la prueba revela la presencia de la enfermedad; pero, no la padece
P(A1/B) = ¿? La probabilidad de que tenga la enfermedad, siendo que el diagnóstico es
positivo.
EventoProbabilidad
simple
Procabilidad
condicional
probabilidad
conjunta
Hall Electronic (A1) 0.3 0.03 0.009
Schuller Sales (A2) 0.2 0.05 0.01
Crawford Componts (A3) 0.5 0.04 0.02
0.039
13
Diagrama de árbol
Tabla de contingencia
Teorema de Bayes
0.05 0.900.05 0.90 0.95 0.15
0.04500.1875
0.24
La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad, tomando en cuenta que la prueba resultó
positiva es 0.24.
EJEMPLOS ADICIONALES
1. El editor de una empresa editorial de libros de texto está tratando de decidir si publicar un libro de
texto propuesto de estadística en los negocios. Información sobre los libros de texto previamente
publicados indica que el 10% tiene un enorme éxito, el 20% tiene éxito moderado, el 40% ni gana ni
pierde y el 30% fracasa. Sin embargo, antes de tomar la decisión de publicar, el libro se revisa; en el
pasado, el 99% de los libros exitosos recibieron revisión favorable, el 70% de los de éxito moderado
recibieron revisiones favorables, el 40% de los que ni ganaron ni perdieron, recibieron revisión
favorable y el 20% de los que fracasaron también recibieron revisión favorable. Si el texto propuesto,
tiene una revisión favorable ¿Cómo debe revisar el editor las probabilidades de los diferentes
resultados para tomar en cuesta esta información? ¿Qué proporción de libros reciben revisiones
favorables?
A1 : Texto con enorme éxito P(A1) = 0.10
A2 : Texto con éxito moderado P(A2) = 0.20
A3 : Texto con venta normal P(A3) = 0.40
A4 : Texto fracaso P(A4) = 0.30
B : Tipo de dictamen
p
Está enfermo
0.05
Prueba positiva
0.90(0.05)(0.90)=0.45
Prueba negativa
No está enfermo
0.95
Prueba positiva
0.15 (0.95)(0.15)=0.1425
Prueba negativa
Evento ProbabilidadProbabilidad
condicional
Probabilidad
conjunta
Probabilidad
resultado
Padece la enfermedad ( A1) 0.05 0.9 0.045 0.24
No padece la enfermedad (A2) 0.95 0.15 0.1425 0.76
1.00 0.1875 1.00
14
B1 = Dictamen favorable
B2 = Dictamen desfavorable
P(Dictamen favorable/Éxito enorme) P(B/A1) = 0.99
P(Dictamen favorable/Éxito moderado) P(B/A2) = 0.70
P(Dictamen favorable/Éxito normal) P(B/A3) = 0.40
P(Dictamen favorable/Fracaso) P(B/A4) = 0.20
Si tiene un dictamen favorable:
¿Cuál es la probabilidad de que sea un enorme éxito? P(A1/B)
¿Cuál es la probabilidad de que sea un éxito moderado? P(A2/B)
¿Cuál es la probabilidad de que sea una venta normal? P(A3/B)
¿Cuál es la probabilidad de que sea un fracaso? P(A4/B)
2. Un servicio municipal de títulos tiene 3 categorías de clasificación (A B y C). Suponga que el año pasado,
de los títulos municipales distribuidos a lo largo de Estados Unidos, el 70% entraron en la categoría A, el
20% en la categoría B y el 10% en la C. De los títulos municipales clasificados como A, el 50% se
distribuyó en las ciudades, 40% en suburbios y 10% en áreas rurales. De los títulos municipales
clasificados como B, el 60% se distribuyó en ciudades; 5% en los suburbios y el 5% en áreas rurales. De
los títulos municipales clasificados como C, el 90% se distribuyó en ciudades, 5% en suburbios y 5% en
áreas rurales.
Si un nuevo título municipal va a distribuirse en una ciudad. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una
clasificación A? ¿Qué proporción de títulos municipales se distribuye en suburbios?
A1 : Categoría A P(A1) = 0.70
A2 : Categoría B P(A2) = 0.20
A3 : Categoría C P(A3) = 0.10
B : Tipo de distribución
B1 = Distribuido en ciudades
B2 = Distribuido en suburbios
B3 = Distribuido en áreas rurales
Títulos clasificados como A 50% distribuido en ciudades P(B1/A1) = 0.50
Títulos clasificados como A 40% distribuido en suburbios P(B2/A1) = 0.40
Títulos clasificados como A 10% distribuido en áreas rurales P(B3/A1) = 0.10
Títulos clasificados como B 60% distribuido en ciudades P(B1/A2) = 0.50
Títulos clasificados como B 20% distribuido en suburbios P(B2/A2) = 0.20
Títulos clasificados como B 20% distribuido en áreas rurales P(B3/A2) = 0.20
Títulos clasificados como C 90% distribuido en ciudades P(B1/A3) = 0.50
Títulos clasificados como C 05% distribuido en suburbios P(B2/A3) = 0.05
Títulos clasificados como C 05% distribuido en áreas rurales P(B3/A3) = 0.05
Un nuevo título municipal se distribuirá. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una clasificación A?
15
Principios de Conteo Cuando se trata de contar un evento, el principio es básico, se asigna un número entero para dar la
respuesta.
Ejemplo: si un individuo tiene un dado, al contar los lados el resultado es 6. Si lo lanza al aire, solamente le caerá “uno de los lados”. ¿Cuántos 4’s caerán al lanzar el dado al aire?
Respuesta: 1
Fórmula de Multiplicación La fórmula de la multiplicación se aplica cuando se tiene más de un evento y se busca establecer cierto tipo
de ordenamiento en los resultados.
Puede ser que los eventos sean similares o diferentes, se puede tener desde 2 monedas y un grupo de
objetos. En ambos casos, se establece cuáles son las formas en las que se pueden ordenar.
Ejemplo: Si mi hermano tira dos monedas de 20 centavos al aire, los resultados van a ser 2, los eventos
resultantes son cuatro:
1. Dos caras
2. Una cara, un escudo
3. Un escudo, una cara
4. Dos escudos
Si no se quiere
Para saber el número de eventos que se obtiene, aparte de contarlos se puede multiplicar el número de
eventos de cada moneda y se tiene el resultado.
Fórmula de la multiplicación:
Si hay m formas de contar un evento y n formas de contar otro evento, se dice que hay mxn formas de contar los eventos en forma conjunta
Ejemplo: Usted está jugando con 2 dados, si los lanza al aire, ¿Cuántos eventos le podrían resultar?:
Dado 1 = 6 lados
Dado 2 = 6 lados 6 6 36
Ejemplo: Un adolecente está jugando con 3 monedas, cuántos eventos se pueden formar si se lanzan al
aire las 3 monedas al mismo tiempo.
Cara Escudo
Cara x x
Escudo x x
Moneda 1Moneda 2
1 2 3 4 5 6
1 x x x x x x
2 x x x x x x
3 x x x x x x
4 x x x x x x
5 x x x x x x
6 x x x x x x
Dado 2
Dado 1
16
Moneda 1 = 2 lados
Moneda 2 = 2 lados
Moneda 3 = 2 lados 2 2 2 8
Ejemplo: Un distribuidor de automóviles quiere anunciar que por $29,999 puede comprar un convertible,
un sedán de 2 puertas o un modelo de cuatro puertas y elegir
entre rines de rayos y planos. ¿Cuántas disposiciones de
modelos y rines puede ofrecer el distribuidor?
Modelo de carro = 3 eventos
Tipos de rines = 2 eventos 3 2 6
Fórmula de Permutaciones Se aplica para determinar el número posible de disposiciones cuando solo hay una variable y sus
características se organizan en diferente orden.
Ejemplo: Tiene en su mano 3 monedas de Honduras (L.0.05, L.0.10 y L.0.50 respectivamente) y las
colocará una a una en la mesa. Estas monedas las puede colocar de diferente manera:
Cómo estar seguro que estas son todas las formas posibles que tiene de colocar las monedas.
Fórmula de las permutaciones A los estilos de colocar los elementos de un conjunto de datos se le llama “Permutación”; por lo tanto
cabría preguntarse ¿cuántas permutaciones puede hacer con 3 monedas?
Sea N el total de objetos de un conjunto dado y sea R el total de objetos seleccionados,
!!
Ejemplo: Tiene en su mano 3 monedas de Honduras (L.0.05, L.0.10 y L.0.50 respectivamente) y las
colocará una a una en la mesa. ¿Cuántas permutaciones se pueden tener?
3!3 3 !
60 !
61
6
Rayos Planos
Convertible x x
Sedán de 2 puertas x x
Sedán de 4 puertas x x
Modelo de carroTipo de rines
17
Ejemplo: Funymaq cuenta con 8 tornos, aunque solo hay 3 espacios disponibles en el área de producción
para las máquinas. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 8 máquinas en los 3 espacios disponibles?
Tornos = 8
Espacios disponibles = 3
!
!
!
!336
R// Hay 336 maneras de organizar los 8 tornos en los tres espacios disponibles.
Fórmula de combinaciones Si el orden de los objetos no es importante, el número de formas de colocarlos objetos se reduce; a esta
aplicación se le conoce como combinaciones.
La forma de combinar n objetos de r formas se denota así:
!! !
Ejemplo: Funymaq cuenta con 8 tornos, aunque solo hay 3 espacios disponibles en el área de producción
para las máquinas. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 8 máquinas en los 3 espacios disponibles?
Tornos = 8
Espacios disponibles = 3
!
! !
!
!56
R// Son 56 combinaciones que se pueden hacer con los 8 tornos en los 3 espacios disponibles.
Ejemplo: El departamento de Marketing va a designar códigos de colores para las 42 líneas de discos
compactos que se empezarán a fabricar en el verano. Tres colores se van a utilizar en cada CD; ahora bien,
una combinación de 3 colore3!s para un CD no se puede reordenar para identificar un CD diferente. Esto
significa que si se utilizaron el verde, amarillo y violeta para identificar una línea, entonces el amarillo,
verde y violeta (o cualquier otra combinación de estos 3 colores) no se puede emplear para identificar otra
línea. ¿Serían adecuados 7 colores tomados de 3 en 3 para codificar las 42 líneas?
Total de colores a utilizar = 7
Combinaciones a realizar = 3
7!3! 7 3 !
7!3! 4!
7 6 5 4!4! 3 2
7 6 56
35
Si se designan 7 colores diferentes, solo se podrán hacer 35 combinaciones; por lo que, harán falta 6
combinaciones más para no repetir combinaciones en una de las líneas.