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Módulo Cuatro. Tema 7. Trabajo, potencia y energía

Educación Secundaria Para Adultos – Ámbito Científico y Tecnológico

Ámbito Científico y Tecnológico

Módulo Cuatro. Bloque 12

Tema 7

Trabajo, potencia y energía

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ÍNDICE

1. Introducción de los tipos de movimiento

1.1 Movimiento rectilíneo.

1.1.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme (m. r. u.):

1.1.2 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (m. r. u. v.):

2. Concepto de fuerza

2.1. Composición de fuerzas. (FR=R)

3. Dinámica

3.1. Leyes de la dinámica.

3.2 La Fuerza de rozamiento. (Fr, µ)

4. Trabajo

5. Potencia

6. Energía

6.1. Energía Potencial ( Ep )

6.2. Energía Cinética ( Ec )

6.3. Energía Mecánica ( Em )

7. Principio de la conservación de la energía

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1. Introducción a los tipos de movimientos

Para cIasificar Ios movimientos debemos conocer un concepto previo, el de trayectoria. La

trayectoria es Ia sucesión de puntos por donde pasa un móviI. Hay dos tipos de movimientos según

sea su trayectoria:

RectiIíneo: cuando su trayectoria es una recta.

CurviIíneo: cuando su trayectoria una curva.

En este curso vamos a estudiar eI movimiento rectilíneo.

1.1. Movimiento rectilíneo

EI movimiento rectiIíneo, al igual que el movimiento curvilíneo, se divide en dos tipos:

Uniforme: tiene veIocidad constante.

Uniformemente variado. tiene veIocidad variabIe.

Así mismo eI movimiento uniformemente variado puede ser:

AceIerado: Cuando la aceleración es positiva, a > 0.

DesaceIerado: Cuando la aceleración es negativa, a < 0

Cuando un coche comienza a circular, está acelerando, por lo que tiene un

movimiento acelerado. Cuando un coche frena, su velocidad es cada vez

menor, por lo que tiene un movimiento desacelerado.

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1.1.1 Movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.)

Es aquel cuya trayectoria es la línea recta y su velocidad permanece constante, no varía,

durante todo el recorrido. La única ecuación que existe para resolver todos los problemas de este

tipo de movimiento es:

𝒗 = 𝒆

𝒕

Siendo

v = velocidad, que se expresa en metros partido por segundo (m/s)

e = espacio, que se expresa en metros (m)

t = tiempo, que se expresa en segundos (s).

En esta ecuación debemos conocer dos de sus parámetros y despejar el tercero. De esta

forma podemos encontrar otras dos ecuaciones que se derivan de esta:

𝒆 = 𝒗 • 𝒕 𝒕 = 𝒆

𝒗

Es muy importante, a la hora de resolver un problema, que las tres magnitudes tengan las

unidades “coincidentes” entre ellas. Para ello, hay que asegurarse de que antes de aplicar las

fórmulas todas las magnitudes estén expresadas en las unidades anteriores. Por ello habrá que

hacer conversiones si procede, si por ejemplo, el tiempo está expresado en horas, la velocidad en

kilómetros hora, o el espacio en hectómetros.

EJEMPLO: Si un coche va a una velocidad de 25 m/s, calcular el espacio que recorrerá en

2 horas.

No se podría aplicar la fórmula con los valores numéricos sin más…

e = v * t e = 25 x 2 = 50

En tal caso, el problema está mal hecho, ya que tenemos dos unidades de tiempo que no

coinciden. Por eso, lo que hay que hacer es pasar los m / sg a Km / h ó las horas a segundos.

2 h. x 3.600 sg/h= 7.200 sg e = 25 x 7.200 = 180.000 m (es decir 180 km)

5



En este cuadro, te indicamos cómo convertir otras unidades comunes a las unidades del

sistema internacional.

MAGNITUD UNIDAD EN EL

SISTEMA

INTERNACIONAL

OTRAS UNIDADES Y CONVERSIÓN AL

SISTEMA INTERNACIONAL

Velocidad

v

m/s

km/h (Kilómetros por hora)

Para pasar km/h a m/s hay que dividir por 3,6

𝟏𝟓𝒌𝒎

𝒉=𝟏𝟓

𝟑,𝟔

𝒎

𝒔= 𝟒,𝟏𝟕

𝒎

𝒔

Espacio

e

m

km (kilómetros)

Para pasar a m hay que dividir entre 1000

𝟒𝟑 𝒌𝒎 = 𝟒𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒎 = 𝟒𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒎

Tiempo

t

s

Para pasar de minutos a segundos, hay que

multiplicar por 60

𝟑 𝒎𝒊𝒏 = 𝟑 ∙ 𝟔𝟎 𝒔 = 𝟏𝟖𝟎 𝒔

Para pasar de horas a segundos, hay que

multiplicar dos veces por 60 (es decir, por

3600)

𝟔 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 = 𝟔 ∙ 𝟑𝟔𝟎𝟎 𝒔 = 𝟐𝟏𝟔𝟎𝟎 𝒔

Si nos dan horas y minutos, multiplicamos

las horas por 3600 y los minutos por 60, y

sumamos los resultados.

𝟏 𝒉 𝟓 𝒎𝒊𝒏 = 𝟏 ∙ 𝟑𝟔𝟎𝟎 + 𝟓 ∙ 𝟔𝟎 𝒔 = 𝟑𝟗𝟎𝟎 𝒔

EJERCICIOS: 1, 2, 3 y 4

6



1.1.2 Movimiento rectilíneo uniforme variado (m.r.u.v.)

Es aquel cuya trayectoria es la línea recta, y su velocidad no permanece constante, varía con

el tiempo. Para resolver los problemas de este tipo de movimiento se emplean dos ecuaciones:

𝒂 =𝒗𝒇− 𝒗𝟎

𝒕 y 𝒆 = 𝒗𝟎 ∙ 𝒕+

𝟏

𝟐 ∙ 𝒂 ∙ 𝒕𝟐

A partir de estas fórmulas, podemos despejar otras magnitudes…

𝑡 =𝑣𝑓− 𝑣0

𝑎 𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎 ∙ 𝑡 𝑣𝑜 = 𝑣𝑓 − 𝑎 ∙ 𝑡

Siendo

vo = velocidad inicial (m/s)

vf = velocidad final (m/s)

e = espacio (m)

t = tiempo (s)

a = aceleración, expresada en metros partido segundos al cuadrado (m/s2)

La aceleración es una magnitud que nos indica el ritmo o tasa de cambio de la velocidad por

unidad de tiempo.

EJEMPLO: Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s

una velocidad de 588 m/s. Calcular: a) Aceleración b) ¿Qué espacio recorrió en esos 30 s?.

Desarrollo

Datos:

v0 = 0 m/s

vf = 588 m/s

t = 30 s

Ecuaciones:

(1) vf = v0 + a • t

(2) x = v0 • t + a • t ² / 2

7



a) De la ecuación (1):

vf = v0 + a • t vf = a • t a = vf/t

a = (588 m/s)/(30 s)

a = 19,6 m/s ²

b) De la ecuación (2):

x = v0 • t + a • t ²/2 x = a • t ²/2 x = (19,6 m/s ²) • (30 s)² /2

x = 8820 m

EJERCICIOS: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12

2. Introducción a los tipos de movimientos

La fuerza puede definirse como toda acción o influencia capaz de modificar el estado de

movimiento o de reposo de un cuerpo. Es una magnitud vectorial capaz de deformar los cuerpos

(efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban

inmóviles (efecto dinámico).

Las fuerzas se representan mediante un vector. Para definir un vector, y por lo tanto una

fuerza, no sólo debemos conocer su valor, sino también otras características, que son :

Módulo: es el valor numérico de la fuerza, la cuantía de la fuerza. La unidad en que se miden

las fuerzas es el Newton (N). 1 N=1 Kg • m /s2 .

Dirección: es la recta que incluye a la fuerza.

Sentido: es la orientación que toma el vector (fuerza ) dentro de su dirección (todas las

direcciones tienen dos sentidos)

Punto de aplicación: es el punto donde se ejerce la fuerza.

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2.1. Composición de fuerzas

Componer varias fuerzas consiste en calcular una fuerza única (resultante) que haga el

mismo efecto que todas ellas juntas. Hay varios casos:

a) Fuerzas de la misma dirección y sentido

La resultante (también llamada fuerza resultante o fuerza

total) es otra fuerza de la misma dirección y sentido, y de módulo, la

suma de los módulos.

FR= R = F1 + F2

EJEMPLO

F1 = 3 N; F2 = 4 N

R= 3 + 4 = 7 N

b) Fuerzas de la misma dirección y sentido contrario

La resultante es otra fuerza de la misma dirección, sentido el

de la mayor , y de módulo , la diferencia de los módulos .

R = F1 - F2

EJEMPLO

F1 = 4 N; F2 = 3 N

R = 4 – 3 = 1 N

9



c) Fuerzas de distinta dirección y distinto sentido (Fuerzas concurrentes)

En este caso, para calcular gráficamente la resultante, se emplea la regla del paralelogramo,

que consiste en trazar líneas paralelas a las fuerzas hasta formar un paralelogramo. En el caso de

ser fuerzas perpendiculares (que forman un águlo de 90º), será un cuadrado o un rectángulo. En ese

caso la fuerza resultante será la diagonal del paralelogramo, coincidiendo su punto de aplicación con

el de las fuerzas ejercidas.

Para realizar el cálculo numérico del módulo de la fuerza, hay que emplear fórmulas

trigonométricas, o si las fuerzas son perpendiculares, se puede emplear el Teorema de Pitágoras.

𝑹𝟐 = 𝑭𝟏𝟐 + 𝑭𝟐

𝟐

EJEMPLO

F1 = 3 N, F2 = 4 N

𝑅2 = 32 + 42 ; 𝑅 = 9 + 16 = 25 = 5 𝑁

10



RECUERDA QUE…

La hipotenusa al cuadrado es igual a la

suma de los cuadrados de los catetos.

H2 = A2 + B2

3. Dinámica de fuerzas

Como ya hemos mencionado, una fuerza puede hacer que un objeto modifique su forma, su

velocidad, venza su inercia (inercia es la tendencia que tienen los cuerpos a conservar su estado de

movimiento) o se ponga en movimiento si estaba inmóvil. La dinámica es la parte de la Física

que estudia las causas que producen el movimiento o la deformación de los cuerpos, es decir, las

fuerzas.

3.1. Leyes de la dinámica

Isaac Newton (1.643-1.727), científico y matemático inglés, promulgó las denominadas “Leyes

de la Dinámica”, en las cuales expuso los principios sobre los que se basa el estudio de las fuerzas.

Primer principio (Principio de inercia)

Todo cuerpo permanece en estado reposo o

con movimiento uniforme, si sobre él no actúa ninguna

fuerza.

EJERCICIOS: 13a

11



Segundo principio (Principio de acción de masas)

Para un mismo cuerpo, las aceleraciones producidas en dicho cuerpo, son directamente

proporcionales a las fuerzas aplicadas.

En concreto, la relación se establece mediante

la fórmula:

𝑭 = 𝒎 ∙ 𝒂

Y su fórmula análoga:

𝑷 = 𝒎 ∙ 𝒈

Siendo:

F = fuerza, expresada en Newtons (N)

m = masa, expresada en kilogramos (kg)

a = aceleración (m/s2)

P = Peso, expresado en Newtons (N). OJO: No confundir peso con masa.

g = aceleración de la gravedad, que es constante (9,81 m/s2)

El peso es la fuerza con que la gravedad de una masa atrae a otra masa. En nuestro caso la

tierra atrae a los objetos que están en sus cercanías y a esa fuerza la llamamos peso. La gravedad,

”g” es la aceleración que experimenta un objeto en las cercanías de un objeto astronómico. También

se denomina fuerza gravitatoria, fuerza de gravedad, interacción gravitatoria o gravitación.

Por efecto de la gravedad tenemos la sensación de peso. Si

estamos en un planeta y no estamos bajo el efecto de otras fuerzas

experimentaremos una aceleración dirigida aproximadamente hacia el

centro del planeta. En la superficie de la Tierra, la aceleración de la

gravedad es aproximadamente 9,81 m/s2. En la luna la gravedad es de

1,622 m/s2.

De esta forma, el peso de un objeto de 10 kg de masa en la

Tierra será…

Ptierra = m • 9,81 = 10 • 9,81 = 98,1 N,

mientras que el peso que tiene en la Luna será…

Pluna = m • 1,622 = 10 • 1,622 = 16,22 N

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En este cuadro, te indicamos cómo convertir las unidades de masa (debes expresarlas en

Kg)

MAGNITUD UNIDAD EN EL

SISTEMA

INTERNACIONAL

OTRAS UNIDADES Y CONVERSIÓN AL SISTEMA

INTERNACIONAL

Masa

M

kg

g (gramos)

Para pasar g a kg hay que dividir por 1000

𝟓 𝒈 =𝟓

𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 = 𝟎′𝟎𝟎𝟓 𝒌𝒈

t (toneladas)

Para pasar t a kg hay que multiplicar por 1000

𝟓 𝒕 = 𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒈

EJERCICIOS: 13b

Tercer principio (Principio de acción y reacción)

Si un cuerpo " A=muñeco " ejerce una fuerza de acción

sobre otro " B=pared ", éste ejerce sobre el primero otra

fuerza de reacción de la misma dirección y módulo, pero de

sentido contrario

EJERCICIOS: 13c

EJEMPLO . Calcula el valor de la aceleración del movimiento en cada uno de los

siguientes casos:

13



Teniendo en cuenta la segunda ley de Newton, sabemos que la resultante de las fuerzas (esto

es, la suma de fuerzas, que se puede representar como ΣF), que actúan sobre cada cuerpo es igual a

masa por aceleración: ΣF = m·a.

Aplicamos esto a cada uno de los cuerpos:

a) Tenemos dos fuerzas con la misma dirección y sentido, por tanto la resultante será la suma

de las dos:

F1 + F2 = m·a

6N + 12 N = 6,2kg·a

18 N = 6,2 kg · a

a=18N/6,2 kg =2,9 m/sg2

b) Tenemos dos fuerzas con la misma dirección y sentido y una de sentido contrario, por lo

que habrá que sumar las dos primeras y restar la tercera para hallar la resultante:

F1 + F2 – F3 = m·a

2,5 N + 15,8 N – 4,6 N = 8,5 kg·a

13,7 N = 8,5 kg · a

a= 13,7 /8,5 = 1,6 m/s2

3.2 La Fuerza de rozamiento. (Fr, µ)

La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando

hay dos cuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando

se estudia el movimiento de los cuerpos. Es la causante, por

ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre

una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una

superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelo rugoso).

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo

entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces

de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar

un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario

no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que

se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con la que

14



empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces

cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza

de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento

estática. La fuerza de rozamiento se calcula como:

Fr = µ·P

Fr = Fuerza de rozamiento

µ·= Coeficiente de rozamiento

P= peso= m*g

EJEMPLO 1. Calcular la aceleración del bloque cuando no hay fuerza de rozamiento

∑F = m • a

F1 + F2 - F3= m • a

10 + 8 - 7 = 20 • a ;

11 = 20 • a;

a = 11/20 = 0,55 m/s2

EJEMPLO 2. Calcular la aceleración del bloque cuando hay un coeficiente de rozamiento

µ=0,2

∑F = m • a

El rozamiento va siempre en sentido contrario

al presunto movimiento.

FR= P • µ= (20 • 9,8) • 0,2 = 39,20 N

∑F = F2 + F1 – F3 – FR = 10 + 8 - 7 – 39’20 =

- 28,2 N

Como ∑F = m • a, 𝒂 = 𝑭

𝒎= −

28,2

20= − 1′41

𝑚

𝑠2 resultando la aceleración negativa.

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La fuerza de rozamiento no puede mover un objeto, ni frenarlo si no ha empezado a moverse

todavía, por lo tanto el objeto no se mueve estando en equilibrio.

Entonces, ∑F= 0, cambiaríamos esta expresión por la de arriba ∑F= mxa

Y realmente el bloque ejerce una fuerza de reacción de

F = F2 + F1 - F3 –Fr=0 Fr=10+8-7=11 N

EJERCICIOS: 14, 20 y 21

4. Trabajo

En el lenguaje cotidiano, la palabra “trabajo” se

asocia a todo aquello que suponga un esfuerzo físico o

mental, y que por tanto produce cansancio.

En física se produce trabajo sólo si existe una

fuerza que al actuar sobre un cuerpo da lugar a su

desplazamiento.

Entonces, se llama trabajo al resultado o efecto

producido de aplicar una fuerza para hacer que algo se

desplace en la dirección de esa fuerza.

Cuando al ejercer una fuerza sobre un cuerpo, ésta produce un desplazamiento sobre

el cuerpo, decimos que dicha fuerza ha realizado un trabajo. Si no se produce desplazamiento, no hay

trabajo. Por ejemplo, alguien que está empujando un cuerpo pesado, si no lo mueve, no está

realizando trabajo. Realiza un gran esfuerzo, pero trabajo no.

El trabajo se representa por la letra "W". Obtenemos así una nueva ecuación física:

W = F • e

La unidad de trabajo en el Sistema Internacional es el Julio.

[ W ] = N • m = Julio ( J )

Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo y ésta no tiene la misma dirección que la del

movimiento, dicha fuerza hay que descomponerla. A esta fuerza se le llama fuerza aplicada y a

la que proviene de la descomposición, que tiene la misma dirección que la del movimiento, fuerza

eficaz.

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Así, por ejemplo, en la siguiente imagen, podemos calcular el trabajo realizado por F1 y F2

en un tiempo concreto como se detalla:

W1 = F1 • e1 ; W2 = F2 * e2

Siendo e1 = e2, ya que el bloque realiza el mismo recorrido con ambas fuerzas aplicadas. El trabajo

total se podría calcular de dos formas:

Sumando los trabajos individuales de cada fuerza

WT = W1 + W2

Calculando el trabajo de la fuerza resultante

WT = ∑F • e

Los trabajos que provienen de fuerzas que van a favor del

movimiento son positivos; y los que provienen de fuerzas que van en contra

del movimiento son negativos. Para ello, cuando se calcule el trabajo de una

fuerza cuyo sentido es opuesto al movimiento (como por ejemplo, la fuerza

de rozamiento), hay que poner su módulo con signo negativo, expresando

por tanto la fuerza con un valor negativo en Newtons.

EJEMPLO 1. Dado el siguiente sistema de fuerzas. Calcular:

a) La Fuerza resultante o total y la aceleración imprimida al sistema.

b) El espacio recorrido en 5 segundos.

c) El trabajo realizado por cada fuerza

d) El trabajo total

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a) La Fuerza resultante o total y la aceleración imprimida al sistema

Ft = F2 + F1 - F3 = 10 + 6 - 7 = 2 • a ; Ft = 9 N; 9 N = 2 • a; a = 9/2 = 4,5 m/s2

b) El espacio recorrido en 5 segundos

e = vo • t + 1/2 • a • t2

; e = 0 • t + 1/2 • 4,5 • 52

; e = 56,25 m.

c) El trabajo realizado por cada fuerza

W1 = F

1 • e = 6 • 56,25 = 337,5 J.

W2 = F2 • e = 10 • 56,25 = 562,5 J.

W3 = - F3 • e = -7 • 56,25 = - 393,75 J.

d) El trabajo total

Para calcular el trabajo total (Wt) basta con sumar todos los trabajos:

Wt = W1 + W2 + W3 = 337,5 + 562,5 – 393,75 = 506,25 J.

O también:

Wt = Ft * e = 9 • 56,25 = 506,25 J.

La fuerza de rozamiento, también realiza trabajo.

EJEMPLO 2. Sobre un cuerpo de 2 Kg., inicialmente en reposo, actúan las fuerzas que se

detallan en la imagen. Calcula el trabajo que ejerce la fuerza en 3 segundos y el espacio

recorrido en ese tiempo.

El trabajo que realiza cada fuerza en 3 segundos es

F = m • a; F1 - Fr = m • a 16 - 4 = 2 • a; a = 6 m / s2

El espacio recorrido en esos 3 sg. es:

e = 1 / 2 • 6 • 32

= 27 m

W1 = F1 • e = 16 • 27 = 432 J

Wr = -Fr • e = - 4 • 27 = - 108 J

18



EJEMPLO 3. Un coche que va a 36 km / h por una carretera horizontal se deja en punto

muerto. Si su masa es de 600 kg. y el coeficiente de rozamiento (μ) es 0´5, calcular:

a) La Fuerza de rozamiento.

b) La deceleración sufrida por el coche hasta pararse.

c) El tiempo que tardará en pararse.

d) El espacio recorrido en dicho tiempo.

e) El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento hasta que se para el coche.

a) F = m • a; - Fr = m • a (Tomando gravedad (g) = 10 m/s2

)

Fr = μ • m • g = 0´5 • 600 • 10 = 3.000 N

b) - Fr = m • a; a = - Fr / m; a = - 3.000 / 600; a = - 5 m/s2

c) El tiempo que tarda en pararse será: 36 km / h = 10 m/ seg .

vf = vo + a • t; 0 = 10 - 5 • t ; t = 2 sg

d) El espacio recorrido en ese tiempo será:

e = 10 • 2 - 1/2 • 5 • 22

; e = 20 - 10 = 10m

e) Wr = - Fr • e = - 3.000 • 10 = - 30.000 J.

EJERCICIOS: 15, 16, 17, 22, 26 y 31

5. Potencia

Imagínate que dos personas suben tres cajas de 10 Kg. cada una, a una mesa de 1 m.

de alta. Una de ellas lo hace subiendo las tres cajas a la vez, y la otra, de una en una. ¿Cuál de

las dos realiza más trabajo?

Persona ( 1 ) : Wt = m • g • e = 30 • 10 • 1 = 300 J

Persona ( 2 ) : Wcaja = m • g • e = 10 • 10 • 1 = 100 J por

cada caja

Wt = 3 Wcaja = 3 • 100 = 300 J

Observa que, para levantar un objeto, la fuerza que se realiza es el peso de ese objeto.

19



Como vemos, el trabajo realizado por cada persona es el mismo. Lo que pasa es que la

persona que subió las tres cajas a la vez, ha empleado menos tiempo que la que las subió de una en

una, es decir, es más potente.

Hablamos así de una nueva magnitud física, llamada Potencia. La potencia nos indica la

rapidez con que se realiza un trabajo; es el trabajo que se realiza por unidad de tiempo. Se

representa por le letra " P". Su fórmula es:

𝑷 =𝑾

𝒕

La unidad de potencia en el sistema internacional es el Vatio (w). Otra unidad de potencia muy

utilizada en la vida cotidiana es el caballo de vapor ( CV ) :

1 CV = 735 w.

La potencia se puede calcular de manera individual para el trabajo de cada fuerza del sistema,

o de forma total a partir del trabajo total del sistema. La suma de las potencias de cada una de las

fuerzas también sirve para calcular la potencia total.

Pt = P1 + P2 + P3 + …

EJEMPLO 1. Dos grúas suben un cuerpo de 100 Kg. a una altura de 20 m. La primera tarda

40 sg. y la segunda 50 sg. Calcular la potencia que desarrolla cada grúa.

𝑷 =𝑾

𝒕= 𝑭 ∙ 𝒆

𝒕=𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒆

𝒕

P1 = (100 • 10 • 20) / 40 = 500 w.

P2 = (100 • 10 • 20) / 50 = 400 w.

EJEMPLO 2. Sobre un cuerpo de 2Kg, inicialmente en reposo, actúan las fuerzas de la

imagen. Sabiendo que la fuerza de rozamiento vale 4 N, calcula la aceleración, el espacio

recorriedo en 10 segundos, el trabajo realizado por cada fuerza y la potencia que desarrolla

cada fuerza en 10 segundos.

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a) Aceleración resultante.

F = m • a; F1 + F2 - F3 - Fr = m • a; 14 + 6 - 8 - 4 = 2 • a ; a = 4 m/sg2

b) El espacio recorrido en esos 10 seg.

e = 1 / 2 • 4 • 102

= 200 m.

c) El trabajo realizado por cada fuerza.

W1 = F1 • e = 14 • 200 = 2.800 J;

W2 = F2 • e = 6 • 200 = 1.200 J

W3 = - F3 • e = - 8 • 200 = - 1.600 J

Wr = - Fr • e = - 4 • 200 = - 800 J

Wt = W1 + W2 + W3 + Wr = 2.800 + 1.200 – 1.600 – 800 = 1.600 J

O también: Wt = F • e = 8 • 200 = 1.600 J

d) La potencia que desarrolla cada fuerza en 10 seg.

P = W / t

P1 = 2.800 / 10 = 280 w.

P2 = 1.200 / 10 = 120 w.

P3 = - 1.600 / 10 = - 160 w.

P4 = - 800 / 10 = - 80 w.

Pt = P1 + P2 + P3 + Pr = 280 + 120 – 160 – 80 = 160 w.

O también: Pt = Wt / t = 1.600 / 10 = 160 w.

EJERCICIOS: 19, 23, 33, 34 y 35

6. Energía

La energía es la capacidad que tienen los cuerpos de producir trabajo. Por lo tanto, las

unidades de energía son las mismas que las de trabajo. Así, la unidad de energía en el sistema

internacional es el Julio. Hay muchos tipos de energías como por ejemplo: solar, eléctrica,

luminosa, eólica, térmica, nuclear, etc. Nosotros vamos a estudiar tres tipos de energías que son, la

energía potencial, la energía cinética y la energía mecánica. Pero veamos antes las unidades de la

energía más habituales.

21



En el Sistema Internacional (S.I.) la energía se mide en julios (J). 1 J es, aproximadamente, la

energía que hay que emplear para elevar 1 metro un cuerpo de 100 gramos. No obstante, hay otras

unidades de energía, como son:

Caloría (cal): Cantidad de energía necesaria para aumentar 1 ºC la temperatura de 1 g de

agua. 1 cal = 4,18 J.

Kilovatio-hora (kWh): Es la energía desarrollada por la potencia de 1000 vatios durante 1

hora. 1 kWh = 3.600.000 J.

Kilojulio y kilocaloria (kJ y kcal): Son, respectivamente, 1000 J y 1000 cal. Se usan con

frecuencia debido a los valores tan pequeños de J y cal.

EJERCICIOS: 38 y 39

6.1. Energía Potencial ( Ep )

Es la que posee un cuerpo por el hecho

de ocupar un lugar en el espacio, es decir , por

tener una cierta altura .

Ep = m • g • h

EJEMPLO 1. Calcula la energía potencial

que tiene un cuerpo de 8 Kg. que se

encuentra a 50 m. de altura.

Ep = 8 • 10 • 50 = 4.000 J.

EJEMPLO 2. Un cuerpo que se encuentra a

20 m. de altura tiene una Ep de 1000 J. Calcular

cual es su masa.

Ep = m • g • h

1000 = m • 10 • 20

1000 = m • 200

m = 1000/200 = 5 kg.

22



6.2. Energía Cinética ( Ec )

Es la que posee un cuerpo por el hecho

de tener una velocidad

Ec = 1 / 2 • m • v2

EJEMPLO 1. Calcula la energía cinética que tiene un coche de 600 kg, a una velocidad

de 20 m/s .

Ec = 1/2 • 600 • 202

= 120. 000 J.

EJEMPLO 2. Un cuerpo de 10 Kg. tiene una Ec de 4.500 J. Calcula su velocidad.

Ec = 1 / 2 • m • v2

------- 4.500 = 1/2 • 10 • v2

V2

= 900; v = 30 m/s

6.3. Energía Mecánica ( Em )

La energía mecánica que posee un cuerpo es igual a la suma de su Ep y Ec.

Em = Ep + Ec

EJEMPLO 1. Un avión de 14.000 kg vuela a 200 m. de altura a una velocidad de 400

m/sg. Calcular su energía mecánica.

Ep = 14.000 • 10 • 200 = 28.000.000 = 28 • 106

J

Ec = 1/2 • 14.000 • 4002

= 1.120.000.000 = 1.120 • 106

J

Em = Ep + Ec = 28 • 106

+ 1.120 • 106

= 1.148 • 106

J

23



7. Principio de conservación de la energía

Según este principio, la energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma. Como vemos

en la vida ordinaria, hay muchos casos donde se verifica dicho principio. Por ejemplo, la

energía eléctrica se transforma en energía luminosa, o en energía calorífica. La altura alcanzada por el

patinador se ve transformada en velocidad por ese mismo principio.

En el caso de las energías estudiadas antes, si tenemos un cuerpo que se mueve y lo hace

variando su altura, se cumple que la Energía Mecánica vale siempre lo mismo, pero irán variando las

energías cinéticas y potencial. Esto es porque según ascienda o descienda, la energía cinética se va

transformando en potencial y viceversa, pero siempre su suma será la misma.

Para demostrar este principio vamos a considerar el siguiente caso: Se lanza desde el suelo,

y verticalmente hacia arriba, un cuerpo de 2Kg. con una velocidad de 40 m/ seg. Vamos a ir viendo

cómo se demuestra que se cumple el principio de la conservación de la energía, calculando las

energías en varios puntos del mismo…

a) En el momento de lanzar el cuerpo

Como h = 0 Ep = 0

Ec = 1/2 • 2 • 402 = 1.600 J

Em = Ep + Ec = 0 + 1.600 = 1.600 J

Esta Em es la que se conserva constante durante todo el

recorrido del cuerpo.

A medida que el cuerpo va subiendo su Ec va disminuyendo,

mientras que la Ep va aumentando. La misma cantidad que disminuye la Ec, aumenta la Ep. Esto es

debido a que la Ec se está transformando en Ep, pero siempre la Em vale lo mismo (permanece

constante). Cuando el cuerpo alcanza su altura máxima , la V = 0; Ec = 0, y la Ep = Em , es decir

24



toda la Ec del principio se transformado en Ep .

Cuando el cuerpo está bajando, su altura va disminuyendo, con lo que su Ep va disminuyendo.

En cambio, su velocidad va aumentando con lo que su Ec va también aumentando. Esto significa que

la Ep se está transformando en Ec, lo mismo que se pierde en Ep, se gana en Ec. Cuando llega al

suelo no hay altura, con lo que la Ep=0 y la Ec=Em.

Siguiendo con el problema, vamos a calcular la Ep, Ec y Em al cabo de 1 sg. 2 sg. y en su

altura máxima, para demostrar el Principio de Conservación.

b) Al cabo de 1 segundo

v = vo + at = 40 - 10 • 1 = 30 m / seg

Ec = 1/2 • 2 • 302 = 900 J.

e = vo t + 1/2 • a • t2 = 40 • 1 + 1/2 ( -10) 12 = 35m.

Ep = 2 • 10 • 35 = 700 J.

Em = 900 + 700 = 1.600 J.

c) Al cabo de 2 segundos

V = 40 - 10 • 2 = 20 m / seg

Ec = 1/2 • 2 • 202 = 400 J.

e = 40 • 2 - 1/2 (-10) 22 = 60 m.

Ep = 2 • 10 • 60 = 1.200 J.

Em = 400 + 1.200 = 1.600 J.

d) En su altura máxima

V = 0 Ec = 0 J.

t = ( Vf - Vo ) / a = ( 0 - 40 ) / -10 = 4 sg.

e = 40 • 4 - 1/2 (-10) 42 = 80 m

Ep = 2 • 10 • 80 = 1.600 J.

Em = 0 + 1.600 = 1.600 J.

Haciendo un resumen de los valores obtenidos, vemos, que la Em siempre permanece

constante; se cumple el principio.

MOMENTO Ec Ep Em

Lanzamiento 1.600 J. 0 J 1.600 J.

Al cabo de 1 segundo 900 J. 700 J. 1.600 J.

Al cabo de 2 segundos 400 J. 1.200 J. 1.600 J.

Altura máxima 0 J 1.600 J. 1.600 J.

25



Aquí tienes un ejemplo gráfico del principio de conservación de la energía aplicado a una

montaña rusa.

26



EJEMPLO. Se lanza desde el suelo, verticalmente hacia arriba , un cuerpo de 4 Kg. con

una velocidad de 60 m / sg .Calcular la Ec y la Ep en los siguientes casos : a ) En el momento

de lanzarlo, b ) Cuando su velocidad es de 20 m / sg . , c ) cuando está a 120 m. de altura , d ) en

su altura máxima .

a) h = 0 -------- Ep = 0

Ec = 1 / 2 * 4 * 602 = 7.200 J.

Em = Ep + Ec = 7.200 J.

b) v = 20 m / sg ---------- Ec = 1 / 2 * 4 * 202 = 800 J.

Ep = Em - Ec = 7.200 - 800 = 6.400 J.

c) h = 120 m. ------------- Ep = 4 * 10 * 120 = 4.800 J.

Ec = Em - Ep = 7.200 - 4.800 = 2.400 J.

d) v = 0 ------------------ Ec = 0 J.

Ep = Em = 7.200 J.

EJERCICIOS: 18, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 32, 36 y 37

27



EJERCICIOS

1. Expresar en m / s las siguientes velocidades:

a) 100 km / h.

b) 120 Km / h.

c) 36 Km / h.

2. Fíjate en la tabla y responde a las siguientes cuestiones:

Espacio (m )

30 60 90 120 150 180

Tiempo ( s )

5 10 15 20 25 30

a) ¿Cuántos metros recorre en 10 segundos? ¿Y en 30 segundos?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer 210 metros?

3. Un automóvil se desplaza a la velocidad de 3 m / s. ¿Cuántos metros recorrerá al

cabo de 50 minutos?

4. Un tren marcha durante 12 horas sin alterar su velocidad y recorre 936 Km. ¿Cuál ha sido

su velocidad? Expresa el resultado en m/sg.

5. Un vehículo que circula a 36 km/h tarda 10 segundos en quedarse parado. ¿Cuál ha sido su

aceleración de frenado?:

a) 1 m/s2

b) 3,6 m/s2

c) -3,6 m/s2

d) -1m/s2

6. Un coche circula a una velocidad de 72 km/h y apretando el acelerador logra que a los 20 s

el indicador de velocidad marque 144 km/h. ¿Qué espacio ha recorrido en ese tiempo?:

a) 500 m

b) 600 m

c) 144 m

d) 2000 m

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7. Un móvil parte del reposo y con una aceleración de 0,12 m/s2 recorre 294 m. ¿Cuánto

tiempo tarda en hacer ese recorrido?:

a) 20 s

b) 70 s

c) 40 s

d) 24,5 s

8. Un móvil que lleva una velocidad de 5 m/s acelera 6 m/s2. Su velocidad a los 4 segundos

será:

a) 30 m/s

b) 11 m/s

c) 29 m/s

d) 19 m/s

9. Desde lo alto de un edificio cae un ladrillo de 1 kg de masa hasta el suelo, y tarda 2,5 s en

ese recorrido. Si cayera una baldosa de 2 kg desde la misma altura, su velocidad al llegar a

suelo sería:

a) El doble que la del ladrillo, es decir, 49 m/s.

b) La misma que la del ladrillo, es decir, 24,5 m/s.

c) La mitad que la del ladrillo, es decir, 49 m/s.

d) La misma que la del ladrillo, es decir, 12,25 m/s.

Entonces velocidad con la que cae un objeto al suelo, ¿De qué depende? Escribe la expresión

que has utilizado para contestar estas preguntas.

10. Observamos que una pelota, que se encuentra en lo alto de un tejado, tarda en caer al

suelo 3 segundos. ¿ Desde que altura cayó?:

11. Si prescindimos del rozamiento con el aire, indica cuál de las siguientes afirmaciones es

verdadera. La velocidad que adquiere un cuerpo que cae:

a) Depende de su peso.

b) Depende de su tamaño.

c) Depende de la altura de donde cae.

d) Depende de su masa.

29



12. Partiendo del reposo, un coche de fórmula 1 puede alcanzar una velocidad de 180 km/h en

10 s. ¿Qué espacio recorre en ese tiempo?:

a) 180 m

b) 250 m

c) 300 m

d) 2 km

13. Explica la relación de los 3 principios de la dinámica en los dos ejemplos vistos en el

apartado 3 del libro.

a) PRIMER PRINCIPIO.

Si partiendo del reposo, sobre el bloque de la izquierda al cabo de 5 segundos dejase

de ejercerse ninguna fuerza. ¿Qué ocurriría? ¿Cuál sería la velocidad del bloque?

¿Cuándo se pararía?

b) SEGUNDO PRINCIPIO.

Si en el bloque de la izquierda cambiamos la fuerza F1 por una de fuerza de 16 N, ¿Qué

ocurriría? ¿Cómo varía su aceleración con cada una de las fuerzas de 8 N y 16 N?

c) TERCER PRINCIPIO.

En el bloque de la derecha, si el coeficiente de rozamiento fuese de 0,5 que fuerza de

reacción ejerce la fuerza de rozamiento sobre el sumatorio de las otras tres. ¿Se mueve

el bloque de la derecha?

14. Dos fuerzas de 300 N y 500 N, respectivamente forman un ángulo recto. ¿Cuánto vale la

resultante? Haz el dibujo

15. Calcular el trabajo necesario si al levantar un objeto a 10 m de altura aplico 80 N.

16. Calcular la altura a la que se ha levantado un peso de 150N para que el trabajo

realizado sea de 25 J.

17. ¿Qué trabajo realiza un cuerpo de masa 500 g, al caer desde 2 m de altura, (dato g = 9.8

m/s2

)

30



18. ¿Qué clase de energía tiene un jarrón sobre un pedestal?

19. Un escalador con una masa de 50kg invierte 40s en escalar una pared de 10m de

altura. Calcula:

a. La fuerza

b. El trabajo realizado en la escalada.

c. La potencia real del escalador.

20. Sobre el bloque de la figura se ejercen las fuerzas que se indican en el gráfico. El

bloque se mueve soportando, además, una fuerza de rozamiento de 30 N. Dibujar la fuerza de

rozamiento y calcular la aceleración del bloque. La masa del bloque es de 40 kg.

21. El cuerpo de la figura pasa de una velocidad de 12 m/s a otra de 18 m/s en un tiempo de

8 segundos. Hallar la fuerza de rozamiento.

22. Sobre el cuerpo de la figura en reposo, actúan las siguientes fuerzas:

Calcular el trabajo total realizado por todas las fuerzas en 5 segundos.

23. Sobre el cuerpo de la figura en reposo, actúan las siguientes fuerzas.

.

Suponemos el coeficiente de rozamiento (µ) vale 0’5, Calcular:

a) la fuerza resultante

b) la aceleración que genera

c) el espacio recorrido en 4 segundos

d) el trabajo desarrollado en dicho tiempo

e) la potencia realizada en 4 segundos.

31



24. Calcular la energía potencial de un hombre de 90 Kg. al subirse a un andamio de 20m de

altura. (dato g =9.8 m/s2

)

25. Un camión de 20 toneladas viaja a 108 km /h. Calcula su energía cinética.

26. Un coche de masa 2 t que viajaba a 36 km/h, acelera a 72 km / h en 5 segundos.

Calcular el trabajo realizado por el motor. 1 tonelada = 1000 kg,

27. ¿Qué clase de energía tiene una golondrina en vuelo?

28. Dos automóviles se desplazan a la misma velocidad. La masa del primer automóvil es el

triple de la del otro y su energía cinética es de 9000J. ¿Cuál es la energía cinética del segundo

automóvil?

29. Se lanza un cuerpo de masa 5 kg hacia arriba con una velocidad de 50 m/s. Calcula:

a) La energía mecánica

b) La energía cinética a 10 m de altura

c) Altura máxima que alcanza

30. Si se eleva un objeto de 1kg, con una velocidad de 8m/s, calcular la energía mecánica

en los siguientes casos:

a. En el momento del lanzamiento.

b. Al segundo de lanzarlo.

c. En el punto más alto de su trayectoria.

d. Al caer al suelo.

31. Un ama de casa levanta su bolsa de medio kilo de peso hasta una superficie de una

mesa de 70 cm de altura.

a. ¿Cuál es el peso del cuerpo y qué fuerza tendrá que hacer para levantarlo?

b. ¿Cuál será el trabajo realizado?

32



32. Hallar la energía cinética de los siguientes cuerpos:

a) Un camión de 20t que circula a 90 km/h.

1) 6.250.000J 2) 546.000J 3) 124530000J

b) Una pelota de tenis de 200 gr. que se mueve a 150 km/h

1) 234’5J 2) 453J 3) 173’6J

33. Compara la potencia de un albañil y de un montacargas, si para elevar una masa de

100kg de peso hasta un segundo piso a 10m de altura tardan 500s y 50s, respectivamente.

a. 4 veces mayor que la del albañil

b. 12veces mayor que la del albañil

c. 10 veces mayor que la del albañil

34. Un helicóptero de masa 8 toneladas asciende en dos minutos a una altura de 600 m.

Calcula la potencia desarrollada por su motor. (Datos: 1 tonelada = 1000 kg, g=9´8m/ s2

)

35. Una fuerza de 65 N realiza un desplazamiento de 5’75m durante 12 sg. Calcula la

potencia consumida.

1) 45’780w 2) 12’675w 3) 31’145w

36. Se deja caer un cuerpo de masa 5 kg desde una altura de 70m.

Hallar:

a) La energía mecánica

b) La velocidad de impacto contra el suelo

c) La energía cinética a 20m. de altura

d) La energía potencial cuando el cuerpo alcanza la velocidad de 10

m/s

33



37. Un saltador de pértiga de 65 kg alcanza una velocidad máxima de 8 m/s. Si la pértiga

permite transformar toda la energía cinética en potencial:

a) ¿Hasta qué altura podrá elevarse?

b) ¿Cuál es la energía en el momento de caer a la colchoneta?

c) ¿Cuál es su velocidad en ese momento?

38. Realiza los siguientes cambios de unidades:

a) 34’6 J → cal

b) 3456’17 cal → J

c) 23’098 kW·h → J

d) 5’9876 Kcal = J

e) 4567 kW·h → Kcal

f) 12 KJ → Kcal

g) 2’3·1012 J. → Kcal

34



39. Una factura eléctrica mide la cantidad de energía gastada en kw·h. Supón que una

factura indica que has gastado 730 kW·h:

a. ¿Cuántos julios has consumido?, ¿qué unidad te parece más acertada de las dos para

las facturas?

b. Si el kw·h cuesta 8’6726 céntimos de euro, ¿cuántos euros te piden por energía

consumida?

40. En los envases de los alimentos está indicado el valor energético, por ejemplo el

contenido energético de los actimel es 83 kcal. Las necesidades energéticas de una

persona adulta dependen de su actividad pero podría decirse que la media es 10465000

J, ¿cuánto actimel habría que tomar para cubrir esas necesidades energéticas?,

¿estaría bien alimentado quien se alimentara así?

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