INSTITUTO TECNOLÓGICO DE PIEDRAS NEGRAS

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

REPORTE DE EXPOSICIÓN UNIDAD 3

Equipo 2:

Yajaira Yackelin Villa Medina (12430127) – 3.1 Definición de Variable Aleatoria Discreta

Zacnité Yamilet Hinojosa Navarro (12430135), Ada Eisenia Martínez García (12430019) - 3.2 Función de probabilidad y de distribución, valor esperado, varianza y desviación

estándar

Sarahí Esqueda García - 3.3 Distribución Binomial

Wilfredo Torres Rubio – 3.4 Distribución Híper geométrica

José Luis Vázquez - 3.4.1. Aproximación de la hipergeométrica por la binomial.

Ayde Berenice Lira – 3.5 Distribución geométrica

Arturo Mesta Chong - 3.6 Distribución multinomial

Adan Vela Ayala (12430083)– 3.7 Distribución de Poisson

Uriel Ernesto López Guerrero (12430005) – 3.8 Aproximación de la binomial por la de Poisson

Priscila Guerrero – 3.9 Distribución binomial negativa

Marco Antonio Escalante Rodríguez (12430082) – Distribución uniforme discreta

INGENIERÍA INDUSTRIAL

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 3

Definición de variable aleatoria discreta

Primero hay que conocer que es Variable….Se les llama así a los sucesos que pueden tomar valores diferentes.

¿Aleatorio? ….Significa al azar, o sin un orden definido.

Variable Aleatoria

Si los valores numéricos que toma una variable provienen de un determinado valor no se puede predecir con precisión, esa variable recibe el nombre de variable aleatoria (v. a.).

Variable Aleatoria Discreta

Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas...

Podemos decir que las discretas surgen generalmente al contar, mientras que las continuas aparecen cuando se mide.

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

3.2 Función de probabilidad y de distribución, valor esperado, varianza y desviación estándar

Una vez tenemos un suceso, nos preocupa saber si hay muchas o pocas posibilidades de que al realizar la experiencia se haya verificado.

Por lo tanto, sería interesante el tener alguna función que midiera el grado de confianza a depositar en que se verifique el suceso.

A esta función la denominaremos función de probabilidad.

La función de probabilidad será, pues, una aplicación entre el conjunto de resultados y el conjunto de números reales, que asignará a cada suceso la probabilidad de que se verifique.

La notación: P(A) significará: probabilidad de que se verifique el suceso A.

Lo que se hace para decir qué es y qué no es una función de probabilidad es construir una serie de propiedades (axiomas) que se exigirán a una función para poder ser catalogada como función de probabilidad.

Función de distibución

La función de densidad de una variable aleatoria X permite trasladar la medida de probabilidad o "suerte" de realización de los sucesos de una experiencia aleatoria a la característica numérica que define la variable aleatoria.

Para definir F , la función distribución de probabilidad de X , distinguiremos el caso discreto, donde los posibles valores de X forman un conjunto discreto (finito o numerable), del continuo, donde el recorrido de la variable aleatoria es un intervalo de la recta real :

o Si X es discreta su función de distribución se define por

o En el caso de que X sea continua se tiene

Valor esperado

El valor esperado o esperanza es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria.

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está definido por:

E(X) = å xi f(xi)

Lo anterior significa, que para calcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.

Ejemplo

Un casino le permite a un jugador que lance un dado legal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad k de pesos cada vez que juegue. Calcular cuánto debe valer k para que el jugador ni gane ni pierda.

Solución.

Sea X la variable aleatoria que representa el resultado al lanzar un dado. Su distribución de probabilidad es la siguiente:

En este caso el valor esperado debe ser igual al valor k, con lo que se espera que el jugador ni gane ni pierda. Aplicando la fórmula del valor esperado tenemos:

å xi f(xi) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) +5(1/6) + 6(1/6) = 3.5

El jugador debe pagar 3.5 pesos cada vez que participa en un juego.

Si la cuota k fuera de 4 pesos por juego, la ganancia neta esperada del casino es de 0.50 pesos por juego, ya que k - = 4.00 - 3.50 = 0.50 pesos. Como lo que recibe el jugador en un solo juego no puede ser igual a 3.5 pesos (debe ser un número entero entre 1 y 6), entonces la E(X) no necesariamente coincide con el resultado de un solo juego.

El significado de E(X) = 3.5 pesos, es que si el juego se realiza un gran número de veces, el

cociente debe ser aproximadamente igual a 3.5 pesos.

Varianza

La desviación estándar (σ) mide cuánto se separan los datos.

La fórmula es fácil: es la raíz cuadrada de la varianza. Así que, "¿qué es la varianza?"

La varianza se define así:

Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.

En otras palabras, sigue estos pasos:

1. Calcula la media (el promedio de los números)2. Ahora, por cada número resta la media y eleva el resultado al cuadrado (la diferencia elevada al cuadrado). 3. Ahora calcula la media de esas diferencias al cuadrado.

La desviación sólo significa qué tan lejos de lo normal

*Nota: ¿por qué al cuadrado?

Todos los números sean positivos (para evitar que los números negativos reduzcan la varianza)

Pero elevarlas al cuadrado hace que la respuesta sea muy grande, así que lo deshacemos (con la raíz cuadrada) y así la desviación estándar es mucho más útil.

Ejemplo

Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.

Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.

Respuesta:

así que la altura media es 394 mm.

Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:

Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:

Así que la varianza es 21,704.

Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:

Desviación estándar: σ = √21,704 = 147

y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media:

Así que usando la desviación estándar tenemos una manera "estándar" de saber qué es normal, o extra grande o extra pequeño.

Desviación estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación estándar se representa por σ.

3.3 Distribución Binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrenciap y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

X - B( n, p)

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Las características de esta distribución son:a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

d) El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejemplos:

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modernizarse por esta distribución:

Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X~ B(10, 1/6)

Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)

Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad p de moverse de aquí para allá y 1-q de moverse de allá para acá

Experimento binomial: Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan comop y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en losn experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

Características analíticas:

Su función de probabilidad es:

F(x) = ( n ) p con exponente x ( 1-p) con exponente n-x

donde X = ( 0,1,2……….n)

Siendo ( n ) = ___n!___

x x! ( n-x)!

las combinaciones de N en X ( N elementos tomados de X en X).

Ejemplo:

Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

Ejemplo

Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que aparezcan 2 águilas.

Solución:

Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, águila o sello, cutas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o repeticiones del experimento son constantes, n = 3.

Para dar solución a este problema, lo primero que hay que hacer es un diagrama de árbol, en donde representaremos los tres lanzamientos, de ahí se obtendrá el espacio muestral y posteriormente la probabilidad pedida, usando la fórmula correspondiente.

Distribución Híper geométrica

En teoría de la probabilidad la distribución híper geométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. La distribución híper geométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución híper geométrica mide la probabilidad

de obtener x ( ) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

Propiedades

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución híper geométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

donde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, a es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación (a/x) hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar X elementos de un total a.

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejercicio de ejemplo:

En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.

¿Qué probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de 12 flores, se incluyan 3 clases de rosas?

Es una distribución híper geométrica, con los siguientes parámetros:

N=tamaño de población =20

n=tamaño de muestra = 12

A=éxitos en la población= rosas = 8

k=éxitos en la muestra= rosas = 3

Sustituimos los valores en la fórmula general:

Realizando cálculos, obtenemos:

3.2.3. APROXIMACIÓN DE LA HIPERGEOMÉTRICA POR LA BINOMIAL.

Distribución hipergeométrica

Por claridad, consideremos el siguiente ejemplo: Tenemos una baraja de cartas españolas (N=40 naipes), de las cuales nos vamos a interesar en el palo de oros (D=10 naipes de un mismo tipo). Supongamos que de esa baraja extraemos n=8 cartas de una vez (sin reemplazamiento) y se nos plantea el problema de calcular la probabilidad de que hayan k=2 oros (exactamente) en esa extracción. La respuesta a este problema es

En lugar de usar como dato D es posible que tengamos la proporción existente, p, entre el número total de oros y el número de cartas de la baraja

de modo que podemos decir que

Este ejemplo sirve para representar el tipo de fenómenos que siguen una ley de distribución hipergeométrica. Diremos en general que una v.a. X sigue una distribución hipergeométrica de parámetros, N, n y p, lo que representamos del modo, si su función de probabilidad es

Observación

Cuando el tamaño de la población (N) es muy grande, la ley hipergeométrica tiende a aproximarse a la binomial:

El valor esperado de la hipergeométrica es el mismo que el de la binomial,

sin embargo su varianza

no es exactamente la de la binomial, pues está corregida por un factor,

, que tiende a 1 cuando. A este factor se le denomina factor de corrección para población finita.

Distribución geométrica

Está relacionada con una secuencia de ensayos de Bernoulli, excepto que el número de ensayos no es fijo.

En consecuencia, la distribución geométrica hereda las características de la distribución Binomial, a excepción del concepto del cual se quiere calcular la probabilidad.

En este caso la variable aleatoria de interés, denotada mediante X, se define como el número de ensayos requeridos para lograr el primer éxito.

Es obvio que para obtener el primer éxito se debe realizar el experimento cuando menos una vez, por lo que los valores que puede tomar la variable aleatoria X son 1, 2, 3, ... , n, esto es, no puede tomar el valor cero.

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que:

Una variable aleatoria X se distribuye de acuerdo con un modelo probabilístico geométrico, si su función de probabilidades es:

Ejemplo

Se lanza un dado hasta que aparece el número 6.

¿Cuál es la probabilidad de que el número de lanzamientos sean 3?

Solución

En este problema el éxito es la aparición del número 6 y la probabilidad de que salga el número 6 al lanzar un dado es 1/6, por lo que p = 1/6 y q = 5/6. Como nos interesa calcular la probabilidad de que el 6 aparezca en el tercer lanzamiento, entonces:

P(X = 3) = ( )3-1 ( ) = ( )2 ( ) = 0.1157

3.6 DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

En teoría de probabilidad, la distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial.

La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades.

P1=i >0 para I entre 1 y K y à

Entonces sea la variable aleatoria xi, que indica el numero de veces que se ha dado el resultado (i) sobre los (n) sucesos. El vector x= (x1,…,xk) sigue una distribucion multinomial con parametros n y p donde p=(p1,…,pk) .

Función de probabilidadLa función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue:

Ejercicio

1.-De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros.

Solución:

a)

n = 8

x1 = 5 rojos; p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50

x2 = 2 negros; p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25

x3 = 1 blanco; p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25

P(x1=5. x2=2, x3=1, n=8)=8!/5!2!1!(0.50)**5(0.25)**2(0.25)=0.082031

b)

n=8

x1 = 3 rojos; p1 = 0.50

x2 = 2 negros; p2 = 0.25

x3 = 3 blancos; p3 = 0.25

P(x1=3, x2=2, x3=3, n=8)8!/3!2!3! (0.50)**3(0.25)**2(0.25)**3= 0.068359

3.7 “DISTRIBUCION DE POISSON”

Es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838

Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

PROCESOS DE POISSON

La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio.

Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:

El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.

☺ El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.

☺ El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.

☺ El número de servidores web accedidos por minuto.

☺ El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.

☺ El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

DONDE :

Ejemplos:

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado

Solución:

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.

l = 6 cheques sin fondo por día

e = 2.718

b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.

l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos

Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

APROXIMACIÓN DE LA BINOMILAL POR LA DE POISSON

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.

Fue descubierta por Simeón-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

Donde:

λ =µ= np = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos

n = número de repeticiones del experimento

p = probabilidad de éxito = p(éxito)

Una regla general aceptable es emplear esta aproximación si n≥20 y p≤0.05: sí n≥100, la aproximación es generalmente excelente siempre y cuando np≤10.

Ejemplos:

En este caso se determinarán probabilidades de experimentos Binomiales, pero que dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson, estas características son, n ¥® ( n es muy grande) y p®0 (p es muy pequeña), por lo que:

1. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.

Solución:

a) n = 100

p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito)

q = 0.95 = q(encuadernación no defectuosa) = q(fracaso)

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

P(X=2,n=100,p=o.o5)=100c2(0.05)98=(4950)(0.05)2(0.95)98=0.0812

b) n = 100 encuadernaciones

p = 0.05

λ = np = (100)(0.05)= 5

x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades Binomiales.

3.9 Distribución Binomial Negativa

En estadística la distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad discreta que incluye a ladistribución de Pascal.

Si “X” es igual al Numero de fracasos antes de obtener “K” éxitos, entonces la variable aleatoria “X” tiene por función de densidad:

P(X=x) = función de densidad de la variable aleatoria binomial negativa.

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracaso

K = cantidad de éxitos

x = cantidad de fracasos

La probabilidad que un alumno que no entienda binomial negativa repruebe el examen es de 75% si se pide seleccionar 5 alumnos reprobados al azar ¿calcular la probabilidad de haber tomado 3 alumnos aprobados antes de los 5 reprobados

p = 0.75

q = 0.25

K = 5

x = 3

3.10 Distribución uniforme discreta

Es una distribución muy sencilla que asigna probabilidades iguales a un conjunto finito de puntos del espacio. Modeliza fenómenos en los que tenemos un conjunto de n¨ sucesos posibles, cada uno de los cuales con la misma probabilidad de ocurrir. Si aleatorizamos de forma que cada uno de éstos sucesos se corresponda con un número natural del 1 al n obtendremos una distribución uniforme. Tendremos un único parámetro ; n

Diremos , por tanto que

x = u (n)