Probabilidad y estadstica_ISC.doc

7/25/2019 Probabilidad y estadstica_ISC.doc

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Probabilidad y estadsticaUnidad Temas Subtemas

1 Estadstica descriptiva. 1.1 Conceptos bsicos de estadstica.1.1.1 Definicin de estadstica.1.1. !nferencia estadstica.1.1." Teora de decisin.1.1.# Poblacin.1.1.$ %uestra aleatoria.1.1.& Parmetros aleatorios.1.1.7 Enfoque clsico.1.1.' Enfo(ue )ayesiano.

1. Descripcin de datos.1..1 Datos a*rupados y no

a*rupados.1.. +recuencia de clase.1.." +recuencia relativa.1..# Punto medio.1..$ ,mites.1..& -isto*rama.1.2.7 Histograma de frecuencia

relativa.1." %edidas de tendencia central.

1.".1 %edia aritmtica/ *eomtrica yponderada.

1.". %ediana.1."." %oda.

1.# %edidas de dispersin.1.#.1 0ariana.1.#. Desviacin estndar.1.#." Desviacin media.1.#.# Desviacin mediana.1.#.$ 2an*o.

1.$ Parmetros para datos a*rupados.1.$.1 ,a media.1.$. ,a desviacin tpica.

1.& Distribucin de frecuencias.1.6.1 Distribuciones numricas.1.6.2 Distribuciones categricas.

1.&." Distribuciones acumuladas.1.&.# Distribuciones porcentuales.1.&.$ Distribuciones porcentuales

acumuladas.

1.7 Tcnicas de agruacin de datos.1.7.1 !"mites de clase.


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1.7.2 #ango de clase.1.7.$ %ronteras de clase.1.7.& 'arca de clase.1.3.$ !ntervalo de clase.1.3.& Dia*rama de tallos y 4o5as.

1.3.3 Dia*rama de Pareto.1.3.' Dia*rama de puntos.1.' -isto*rama.

1.'.1 Dia*rama de barras.1.'. Pol*ono de frecuencias.1.'." 65ivas.1.'.# 7rficas circulares.

1.8 Distribuciones muestrales.

Probabilidad. .1 Teora elemental de probabilidad..1.1 Concepto clsico y como

frecuencia relativa.2.1.2 (nterretacin sub)etiva de larobabilidad.

. Probabilidad de eventos...1 Definicin de espacio muestral.2.2.2 Discreto * continuo..." Definicin de evento...# Simbolo*a/ uniones e

intersecciones...$ Dia*ramas de 0enn.

." Tcnicas de conteo..".1 Dia*rama de rbol..". 9otacin factorial.."." Permutacin..".# Combinaciones..".$ Teorema del )inomio.

2.&+robabilidad con tcnicas de conteo.2.&.1 ,licacin del conceto clsico

de robabilidad..#. E5ercicios de permutacin..#." E5ercicios de combinaciones..#.# :;iomas..#.$ Teoremas.

.$Probabilidad condicional..$.1 Dependiente..$. !ndependiente.

2.6 !e* multilicativa..&.1 Clculo de probabilidad de

eventos.


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2.6.2 -on)untos..&." Problemas de eventos

independientes..&.# Eventos dependientes..&.$ Dia*ramas de rbol.

.3 Eventos !ndependientes.2.7.1 ,licacin de teoremas..3. 2e*la de )ayes..3." Conocer teoremas y realiar

e5ercicios..3.# 2esolver problemas (ue

apli(uen el teorema.

" +unciones ydistribuciones

muestrales.

".1 +uncin de probabilidad.".1.1 0ariables aleatorias discretas.

".1. 0ariables aleatorias continuas.". Distribucin binomial.$.2.1 -oncetos de ensa*os reetidos.".. Conceptos de ensayos de

)ernoulli.$.2.$ "mbolos de reresentacin

"." Distribucin 4iper*eomtrica.".".1 %uestra con reemplao.$.$.2 %uestra sin reemplao.

".# Distribucin de Poisson.$./ Esperana matemtica.

$./.1 'edida de una variable aleatoria.".$. 0alor esperado.

$.6 +roiedades de la curva 0inomial.$.6.1 +roiedades geomtricas.$.6.2 +armetros.

".3 Distribucin normal.$.7.1 Distribucin de la robabilidad

continua.$.7.2 Ecuacin de la normal.$.7.$ rficas.$.7.& Tablas.$.7./ ,licaciones

".' :pro;imacin de la binomial a lanormal.

$. 3tras distribuciones muestrales.".8.1 Distribucin T


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$..& -+4..

# Estadstica aplicada. #.1 !nferencia estadstica.#.1.1 Concepto.#.1. Estimacin.

#.1." Prueba de 4iptesis.#.1.# %todo clsico de estimacin>puntual?.

&.1./ Estimador (nsesgado.&.1.6 5ariana de un estimador

untual.#. !ntervalos de confiana.

#..1 Estimacin por intervalo.&.2.2 !"mites de confiana.#.." !ntervalo de confiana para

medida con variana conocida.

#..# !ntervalo de confiana paramedida con varianadesconocida.

#..$ !ntervalo de confiana paraproporciones.

#." Pruebas de 4iptesis.#.".1 Prueba de 4iptesis para la

media poblacional.#.". Prueba de 4iptesis para

diferencias de medias.#."." Prueba de 4iptesis para

proporciones.

$ 2e*resin ycorrelacin.

$.1!ntroduccin./.1.1 rficas de los datos.$.1. 0ariables de re*resin

independientes.$.1." 2e*resin lineal simple./.1.& -oeficientes de regresin./.1./ !"neas de regresin a)ustada.

/.2Diagrama de disersin./.2.1 Tabla de datos./.2.2 -onstruccin de diagramas.

$."Estimacin mediante la lnea dere*resin./.$.1 Ecuacin de la recta como a)uste

de datos.$.". %odelos.

$.#%todos de mnimos cuadrados.$.#.1 Ecuaciones normales.


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/.&.2 Estimacin de los coeficientes deregresin.

/./Error estndar de estimacin.$.&Coeficientes de determinacin y

correlacin.

/.6.1 -oeficiente de determinacin dela muestra.$.&. Coeficiente de correlacin de la

muestra./.6.$ Error estndar del coeficiente de

regresin./.7+roblemas rcticos de a)uste de curvas.

Unidad 1. Estadstica descriptiva.

1.1Conceptos bsicos de estadstica.

1.1.1 Definicin de estadstica.Definicin de estadstica.El trmino estadstica tiene su raz en la palabra Estado. Surge cuando se hace necesario para sus intereses cuantificarconceptos. En la mayora de los casos esta cuantificacin se har en funcin de unos fines econmicos o militares. El estadoquiere conocer censo de personas, de infraestructura, de recursos en general, para poder obtener conclusiones de estainformacin.

Actualmente la estadstica es una ciencia. o es ya una cuestin reser!ada al estado. "odramosdecir que se encuentra en la totalidad del resto de ciencias. #a razn es clara$ por una parte la estadsticaproporciona tcnicas precisas para obtener informacin, %recogida y descripcin de datos& y por otra parte

proporciona mtodos para el anlisis de esta informacin .

'e ah el nombre de ES(A')S(*+A 'ES+*"(*-A, ya que el obeti!o ser, a partir de una muestrade datos %recogida seg/n una tcnica concreta&, la descripcin de las caractersticas ms importantes,entendiendo como caractersticas, aquellas cantidades que nos proporcionen informacin sobre el tema deinters del cual hacemos el estudio.

Si bien no hay una definicin de estadstica e0acta, se puede decir que la 1estadstica es el estudio de losmtodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferenciascientficas partiendo de tales datos1.

Esta definicin cubre gran parte de la acti!idad del cientfico. Es importante obser!ar que el obeto del querealiza el anlisis estadstico son los datos y las obser!aciones cientficas por s mismos, mas que elmaterial qumico que inter!iene en el estudio.

"or lo tanto no es posible trazar lmites rgidos entre la qumica, la estadstica y la matemtica.

#a estadstica se puede di!idir en 2 categoras, la 1estadstica descripti!a1 y la 1inferencia estadstica1.


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#a estadstica descripti!a implica la abstraccin de !arias propiedades de conuntos de obser!aciones,mediante el empleo de mtodos grficos, tabulares numricos. Entre estas propiedades, estn lafrecuencia con que se dan !arios !alores en la obser!acin, la nocin de un !alor tpico o usual, la cantidadde !ariabilidad en un conunto de datos obser!ados y la medida de relaciones entre 2 mas !ariables.

El campo de la estadstica descripti!a no tiene que !er con las implicaciones o conclusiones que se puedandeducir de conuntos de datos. #a estadstica descripti!a sir!e como mtodo para organizar datos y ponerde manifiesto sus caractersticas esenciales con el propsito de llegar a conclusiones.

!aestadstica descriptivaes una ciencia que analia series de datos or e)emlo8 edad de unaoblacin8 altura de los estudiantes de una escuela8 temeratura en los meses de verano8 etc9 * trata dee:traer conclusiones sobre el comortamiento de estas variables.

!as variables ueden ser de dos tios;

0ariables cualitativas o atributos; no se ueden medir numricamente or e)emlo; nacionalidad8 color

de la iel8 se:o9.

0ariables cuantitativas; tienen valor numrico edad8 recio de un roducto8 ingresos anuales9.

!as variablestambin se ueden clasificar en;

0ariables unidimensionales@slo recogen informacin sobre una caracter"stica or e)emlo; edad delos alunmos de una clase9.

0ariables bidimensionales@recogen informacin sobre dos caracter"sticas de la oblacin or e)emlo;edad * altura de los alumnos de una clase9.

0ariables pluridimensionales@recogen informacin sobre tres o ms caracter"sticas or e)emlo; edad8altura * eso de los alumnos de una clase9.

+or su arte8 las variables cuantitativasse ueden clasificar en discretas * continuas;

Discretas@slo ueden tomar valores enteros 18 28 mero de ?ermanosuede ser 18 28 $....8etc8 ero8 or e)emlo8 nunca odr ser $8&/9.

Continuas; ueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. +or e)emlo8 la velocidad de unve?"culo uede ser


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%uestra@subcon)unto que seleccionamos de la oblacin. ,s"8 si se estudia el recio de la vivienda deuna ciudad8 lo normal ser no recoger informacin sobre todas las viviendas de la ciudad ser"a una labormu* comle)a98 sino que se suele seleccionar un subgruo muestra9 que se entienda que essuficientemente reresentativo.

1.1. !nferencia estadstica.#a inferencia estadstica se basa en las conclusiones a la que se llega por la ciencia e0perimentalbasndose en informacin incompleta. "or eemplo, 3endel al estudiar la manera como diferan entre s lasplantas de guisantes en altura, color de las semillas, color de las !ainas y color de las flores, tu!o quehacer sus conclusiones necesariamente basndose en un grupo de plantas relati!amente poco numerosocomparado con toda la poblacin de plantas de guisantes de un tipo particular.

Al hacer un enunciado, como por eemplo, sobre el color de las flores, las conclusiones de 3endeldependan de la muestra particular de plantas disponibles para este estudio.

En la terminologa estadstica, el procedimiento inducti!o implica el hacer inferencias acerca de una

poblacin adecuada uni!erso a la luz de lo a!eriguado en un subconunto aparte o muestra.#a inferencia estadstica se refiere a los procedimientos mediante los cuales se pueden hacer talesgeneralizaciones inducciones.

Es importante por todo lo dicho anteriormente, que el proceso de la inferencia cientfica, implica el gradomas ele!ado de cooperacin entre la estadstica y el estudio e0perimental.

#a *nferencia Estadstica es la parte de la estadstica matemtica que se encarga del estudio de losmtodos para la obtencin del modelo de probabilidad %forma funcional y parmetros que determinan lafuncin de distribucin& que sigue una !ariable aleatoria de una determinada poblacin, a tra!s de unamuestra %parte de la poblacin& obtenida de la misma.

#os dos problemas fundamentales que estudia la inferencia estadstica son el 1"roblema de la estimacin1y el 1"roblema del contraste de hiptesis1

+uando se conoce la forma funcional de la funcin de distribucin que sigue la !ariable aleatoria obeto deestudio y slo tenemos que estimar los parametros que la determinan, estamos en un problema deinferencia estadstica paramtrica 4 por el contrario cuando no se conoce la forma funcional de ladistribucin que sigue la !ariable aleatoria obeto de estudio, estamos ante un problema de inferenciaestadstica no paramtrica.

En lo que sigue nos !amos a limitar a problemas de inferencia estadstica paramtrica, donde la !ariablealeatoria obeto de estudio sigue una distribucin normal, y slo tendremos que tratar de estimar los

parmetros que la determinan, la media y la des!iacin tpica.

Esta situacin se presenta con frecuencia debido a que es posible a menudo conocer la forma funcional dela distribucin de probabilidad, por consideraciones tericas, quedando /nicamente indeterminados losparmetros que determinan la funcin de distribucin.


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+omo las poblaciones en las que se pretende estudiar una determinada !ariable aleatoria, son grandes, esmuy caro o imposible, estudiar a todos sus indi!iduos4 lo que se hace, es estudiar una muestra % una parte&de la poblacin

En todos estos problemas que estudia la inferencia estadstica uega un papel fundamental la 1(eora de la

"robabilidad1 %distintas formas funcionales de las distribuciones de probabilidad& y la 1(eora de 3uestras1%procedimientos para tomar muestras de manera apropiada&.

1.1." Teora de decisin.TEORA DE DECISIN

Estudio formal sobre la toma de decisiones. Los estudios de casos reales,

que se sirven de la inspeccin y los experimentos, se denominan teora

descriptiva de decisin; los estudios de la toma de decisiones racionales,que utilizan la lgica y la estadstica, se llaman teora preceptiva de

decisin. Estos estudios se hacen ms complicados cuando hay ms de un

individuo, cuando los resultados de diversas opciones no se conocen con

exactitud y cuando las probabilidades de los distintos resultados son

desconocidas. La teora de decisin comparte caractersticas con la teora

de !uegos, aunque en la teora de decisin el "adversario# es la realidad en

vez de otro !ugador o !ugadores.

$l hacer un anlisis sobre esta teora, y mirndola desde el punto de vista

de un sistema, se puede decir que al tomar una decisin sobre un problema

en particular, se debe tener en cuenta los puntos de dificultad que lo

componen, para as empezar a estudiarlos uno a uno hasta obtener una

solucin que sea acorde a lo que se esta esperando obtener de este, y sino,

buscar otras soluciones que se acomoden a lo deseado.

La teora de decisin, no solamente se puede ver desde el punto de vista

de un sistema, sino en general, porque esta se utiliza a menudo para tomardecisiones de la vida cotidiana, ya que muchas personas piensan que la vida

es como una de las teoras; La teora del !uego, que para poder empezarlo

y entenderlo hay que saber !ugarlo y para eso se deben conocer las reglas

de este, para que no sur!an equivocaciones al empezar la partida.


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%e puede decir que la &eora de decisin es una de las ramas que sirve

para que al dar un paso, no se vaya a dar en falso, porque si se conoce de

esta no hay el porque de [email protected];ApublicadasA#8#1$1$".4tml

Teora de Decisin trata de decisiones contra la naturaleza. Esto se refiere a una situacin dondeel resultado(ganancia, prdida) de unadecisin depende de la accin de otro jugador (la naturaleza). Por ejemplo, si la decisin es dellevar o no paraguas, la ganancia (llueve o no llueve) depende de la accin ue toma lanaturaleza. Es importante darse cuenta ue en este modelo la ganancia (prdida)concerne solo altomador de la decisin. Esta condicin distingue la teora de decisin de la teora de juegos. Enla teora de juegos am!os jugadores est"n interesados en el resultado.

#a informacin fundamental para los pro!lemas en teora de decisin se encuentra representadaen una matriz de ganancias (costos)

#os valores son las ganancias (o prdidas) para cada posi!le com!inacin de decisin conestado de la naturaleza. El proceso de decisin es el siguinte$

El tomador de decisiones selecciona una de las posi!les decisiones .

Digamos Despus de tomar la decisin, ocurre un estado de la naturaleza. Digamos el estado j. #a ganancia reci!ida por el tomador de decisiones es .

El pro!lema del tomador de decisiones es determinar ue decisin tomar%. #a decisin depender"del comportamiento del tomador de decisiones con respecto a la naturaleza, es decir al estado de

la naturaleza ue sucede. &i creemos ue ocurrir" el estado de la naturaleza j seleccionaremosnaturalmente la decisin ue est" asociada al ma'or valor de en la columna j de la matrizde ganancias.Diferentes suposiciones acerca del comportamiento de la naturaleza conducir"n a diferentesformas de seleccionar la mejor decisin.

&i supieramos cual estado de la naturaleza ocurrir", simplemente seleccionaramos la decisinue nos lleva a o!tener una ma'or
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ganancia para ese conocido estado de la naturaleza. En la pr"ctica, pueden a!er infinitasposi!les decisiones. &i esas posi!les decisiones serepresentan mediante un vector d' la ganancia por la funcin con valores reales r(d), elpro!lema de decisin puede ser formulado como$

ma* r(d) sujeto a la facti!ilidad de lasrestricciones so!re d

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1.1.# Poblacin.

Poblaciones, muestras e inferencia

+omo se ha se5alado anteriormente, el obeti!o de la estadstica descripti!a, es la descripcin de los datosy no la inferencia partiendo de los datos.

6na poblacin de unidades es un grupo de entidades que tienen alguna caracterstica cuantificable encom/n.

#as unidades pueden ser personas, rboles, bacterias, compuestos qumicos, etc.. "ueden ser finitas oinfinitas en n/mero. #a caracterstica cuantificable puede ser una !ariable continua o discreta.

6na poblacin de obser!aciones es un grupo que consiste en los !alores numricos de una caracterstica

cuantificable determinada en cada elemento de una poblacin de unidades.

#a misma poblacin de unidades tendr en ocasiones mas de una poblacin de obser!aciones asociada.

6na muestra de unidades es un n/mero finito de unidades procedentes de una poblacin de unidades.

6na muestra de obser!aciones es un n/mero finito de obser!aciones procedentes de una poblacin deobser!aciones.

Es decir una muestra es una parte de una poblacin que aislamos para estudiarla.
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Este concepto es de importancia para el anlisis estadstico porque por lo general uno dispone de unamuestra de una poblacin para el estudio que intenta realizar. "or eemplo, si necesitramos hacer unpromedio de todas las alturas de los habitantes de un pas de 277.777.777 de habitantes %esta sera lapoblacin estadstica&, es lgico suponer lo engorroso que sera medir la altura de todos. Esto se realizamidiendo las alturas de una muestra de esta poblacin, por eemplo 87.777 habitantes. Este procedimientoes inducti!o ya que el in!estigador saca conclusiones acerca de la poblacin basndose en el anlisis deuna muestra de esa poblacin4 esto es hacer una inferencia acerca de una poblacin partiendo de unamuestra.

Se llama inferencia estadstica una conclusin que se refiere a una poblacin de obser!aciones, obtenidasobre la base de una muestra de obser!aciones.

6na caracterstica descripti!a global de una poblacin de obser!aciones se llama parmetro.

6na caracterstica descripti!a global de una muestra de obser!aciones se llama estadgrafo.

Poblacion:

En estadstica el concepto de poblacin !a ms all de lo que com/nmente se conoce como tal. Entrminos estadsticos, poblacin es un conunto finito o infinito de personas, animales o cosas quepresentan caractersticas comunes, sobre los cuales se quiere efectuar un estudio determinado. En otraspalabras, la poblacin se define como la totalidad de los !alores posibles %mediciones o conteos& de unacaracterstica particular de un grupo especificado de personas, animales o cosas que se desean estudiar

en un momento determinado. As, se puede hablar de la poblacin de habitantes de un pas, de lapoblacin de estudiantes uni!ersitarios de la zona sur del Estado Anzotegui, de la poblacin de casas dela 6rbanizacin #os os de la ciudad de El (igre, el rendimiento acadmico de los estudiantes del *6(9AA,el n/mero de carros marca +orola de la ciudad de El (igre, la estatura de un grupo alumnos del *6(9AA, latalla, etc.

1.1.$ %uestra aleatoria.


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6na muestra aleatoria es una muestra sacada de una poblacin de unidades, de manera que todoelemento de la poblacin tenga la misma probabilidad de seleccin y que las unidades diferentes seseleccionen independientemente.

6na muestra aleatoria de tama5o n de una poblacin : , es una sucesin de n !ariables aleatorias,

independientes, :8 , :2 ,..., :n , con idntica ley de probabilidad que : . 6na muestra de tama5o n estconstituida por n rplicas de :.

6na !ez que la muestra se haya realizado, es decir, se hayan e0trado los n indi!iduos de la poblacin y1medido1 la !ariable : en cada uno de ellos, se dispondrn de n datos u obser!aciones $ 08 , 02 ,..., 0n."ara que una !ariable aleatoria, definida a partir de una muestra aleatoria de tama5o n, tome !alores, esnecesario disponer de los n datos de la realizacin de tal muestra.

1.1.& Parmetros aleatorios.

#os "armetros$

Son cualquiera caracterstica que se pueda medir y cuya medicin se lle!e a cabo sobre todos loselementos que integran una poblacin determinada, los mismos suelen representarse con letras griegas. El!alor de un parmetro poblacional es un !alor fio en un momento dado. Eemplo$ #a media Aritmtica ; m%miu&, #a des!iacin (pica ; s, %Sigma& etctera.

6na parmetro es una medida usada para describir alguna caracterstica de una poblacin, tal como unamedia aritmtica, una mediana o una des!iacin estndar de una poblacin.

+uando los dos nue!os trminos de arriba son usados, por eemplo, el proceso de estimacin en inferenciaestadstica puede ser descrito como le proceso de estimar un parmetro a partir del estadsticocorrespondiente, tal como usar una media muestral % un estadstico para estimar la media de la poblacin%un parmetro&.

#os smbolos usados para representar los estadsticos y los parmetros, en ste y los siguientes captulos,son resumidos en la tabla siguiente$

(abla 8Smbolos para estadsticos y parmetros correspondientes3edida Smbolo para el estadstico Smbolo para el parmetro%muestra& %"oblacin&3edia : ? de confianza para 5, sera cmodo decir ue a' un =>?de pro!a!ilidad de ue 5 est en el intervalo. &in em!argo, esto es incongruente con la idea deue 5 no es aleatorio. Dado ue 5 es fijo, solo e*isten dos opciones$ 5 est" dentro o est" fueradel intervalo. El 5nico elemento aleatorio en este modelo esy, por lo ue la interpretacincorrecta del intervalo consistira en decir ue, si se repite el procedimiento mucas veces,entonces a la larga, el =>? de los intervalos contendran a 5.

Toda inferencia !asada en la estadstica cl"sica es forzada a tener este tipo de interpretacinfrecuencial, aunue sin em!argo, nosotros solo contamos con un intervalo para interpretar.El marco terico en el cual se desarrolla la inferencia !a'esiana es idntico al de la teoracl"sica. &e tiene un par"metro po!lacional 5 so!re el cual se desea acer inferencias ' se tieneun modelo de pro!a!ilidadp(y6 5) el cual determina la pro!a!ilidad de los datos o!servados y!ajo diferentes valores de 5. #a diferencia fundamental entre la teora cl"sica ' la !a'esianaest" en ue 5 es tratado como una cantidad aleatoria. 7s, la inferencia !a'esiana se !asa enp( 5 6y) en vez dep(y 6 5), esto es, en la distri!ucin de pro!a!ilidades del par"metro dados losdatos.#a inferencia !a'esiana, se puede resumir como el proceso de ajustar un modelo depro!a!ilidad a un conjunto de datos ' resumir los resultados mediante una distri!ucin de

pro!a!ilidades para los par"metros del modelo ' para cantidades desconocidas peroo!serva!les tales como predicciones para nuevas o!servaciones. #a caracterstica esencial delos mtodos !a'esianos est" en su uso e*plcito de pro!a!ilidades para cuantificar laincertidum!re en inferencias !asadas en el an"lisis estadstico de los datos. Esto permite unmanejo muco m"s natural e intuitivo de la inferencia, salvando por ejemplo el pro!lema dela interpretacin frecuencial de los resultados. &in em!argo, para acer uso de un enfoue!a'esiano, es necesario especificar una distri!ucin de pro!a!ilidades a priorip( 5), la cualrepresenta el conocimiento ue se tiene so!re la distri!ucin de 5 previo a la o!tencin de losdatos.

Esta nocin de una distri!ucin a priori para el par"metro constitu'e el centro del

pensamiento !a'esiano ', dependiendo de si se es un defensor o un opositor a estametodologa, su principal ventaja so!re la teora cl"sica o su ma'or vulnera!ilidad.

Caractersticas de la Aproximacin BayesianaDe acuerdo con @ABagan (==1), se pueden identificar cuatro aspectos fundamentales uecaracterizan la apro*imacin !a'esiana a la inferencia estadstica$Cnformacin a Priori. Todos los pro!lemas son 5nicos ' tienen su propio conte*to. De talconte*to se deriva informacin a priori, ' es la formulacin ' uso de esta informacin a


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priori la ue diferencia la inferencia !a'esiana de la estadstica cl"sica.Pro!a!ilidad &u!jetiva. #a estadstica !a'esiana formaliza la nocin de ue todas laspro!a!ilidades son su!jetivas, dependiendo de las creencias individuales ' la informacindisponi!le. 7s, el an"lisis !a'esiano resulta personal, 5nico de acuerdo con las creenciasindividuales de cada uno.

7uto consistente. 7l tratar al par"metro 5 como aleatorio, la inferencia !a'esiana se !asacompletamente en la teora de la pro!a!ilidad. Esto tiene mucas ventajas ' significa uetoda inferencia puede ser tratada en trminos de declaraciones pro!a!ilsticas para 5.o adocer'-. De!ido a ue la inferencia cl"sica no puede acer declaracionespro!a!ilsticas acerca de 5, varios criterios son desarrollados para juzgar si un estimadorparticular es en alg5n sentido !ueno-. Esto a conducido a una proliferacin deprocedimientos, frecuentemente en conflicto unos con otros. #a inferencia !a'esiana dejade lado esta tendencia a inventar criterios ad oc para juzgar ' comparar estimadores al!asarse e*clusivamente en la distri!ucin posterior para e*presar en trminose*clusivamente pro!a!ilsticos toda inferencia referente al par"metro.

Objeciones a la Inferencia Bayesiana.#a principal o!jecin a la inferencia !a'esiana, es ue las conclusiones dependen de laseleccin especfica de la distri!ucin a priori. 7unue para otros esto es lo interesante de laapro*imacin !a'esiana, este es un de!ate a5n no cerrado. &in em!argo, antes de dejar estacaracterstica, se de!e seFalar ue inclusive en inferencia cl"sica, ' adem"s en investigacincientfica en general, estos conocimientos a priori son utilizados implcitamente. 7s porejemplo, el conocimiento a priori es utilizado para formular un modelo de verosimilitudapropiado. En prue!as de iptesis, las creencias a priori acerca de la plausi!ilidad de unaiptesis son frecuentemente utilizadas para ajustar el nivel de significancia de la prue!a. 7s,si se cree ue los datos pueden conducir al recazo de la iptesis, esto se puede ajustarescogiendo un nivel de significancia !astante alto. En este sentido entonces, la inferencia

!a'esiana formaliza la incorporacin de la informacin a priori, la cual es incorporadafrecuentemente de!ajo de la mesa- en el an"lisis cl"sico.

ttp$GGtarHi.lamolina.edu.peGIre'zaguirreGE+.tm

1.Descripcin de datos.1..1 Datos a*rupados y no a*rupados.

-lculo de la mediana a artir de datos no agruados;

+ara ?allar la mediana de un con)unto de datos8 rimero ?a* que organiarlos en orden descendente oascendente. i el con)unto de datos contiene un n>mero imar de elementos8 el de en medio en el arregloes la mediana. i ?a* un n>mero ar de observaciones8 la mediana es el romedio de los dos elementosde en medio.

'ediana F n G 19 B 2
http://tarwi.lamolina.edu.pe/~reyzaguirre/EB.htmhttp://tarwi.lamolina.edu.pe/~reyzaguirre/EB.htm


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-lculo de la mediana a artir de datos agruados;

1. Encontrar qu observacin de la distribucin est ms al centro 'ediana F n G 19 B 29.2. umar las frecuencias de cada clase ara encontrar la clase que contiene a ese elemento ms

central.$. Determinar el n>mero de elementos de la clase * la localiacin de la clase que contiene al

elemento mediano.&. Determinar el anc?o de cada aso ara asar de una observacin a otra en la clase mediana8dividiendo el intervalo de cada clase entre el n>mero de elementos contenido en la clase.

/. Determinar el n>mero de asos que ?a* desde el l"mite inferior de la clase mediana ?asta elelemento corresondiente a la mediana.

6. -alcular el valor estimado del elemento mediano multilicando el n>mero de asos que senecesitan ara llegar a la observacin mediana or el anc?o de cada aso. ,l roducto sumarleel valor del l"mite inferior de la clase mediana.

7. i e:iste un n>mero ar de observaciones en la distribucin8 tomar el romedio de los valoresobtenidos ara el elemento mediano calculados en el aso n>mero 6.

-lculo de la moda a artir de datos no agruados;

En ocasiones8 el aar ?ace que un solo elemento no reresentativo se reita lo suficiente ara ser el valorms frecuente del con)unto de datos. Es or esta ran que rara ve utiliamos la moda de un con)untode datos no agruados como medida de tendencia central.

+or esta ran8 siemre que utiliamos la moda como medida de tendencia central de un con)unto dedatos8 debemos calcular la moda de datos agruados buscar la clase modal9.

-lculo de la moda de datos agruados;

-uando los datos *a se encuentran agruados en una distribucin de frecuencias8 odemos oner que lamoda est localiada en la clase que contiene el ma*or n>mero de elementos8 es decir8 en la clase quetiene ma*or frecuencia. +ara determinar un solo valor ara la moda a artir de esta clase modal;

'o F !moG d1B d1G d29I J

!moF l"mite inferior de la clase modal.

d1F frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que se encuentra inmediatamente ordeba)o de ella.

d2F frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase que se encuentra inmediatamente orencima de ella.

J F anc?o del intervalo de la clase modal.

1.. +recuencia de clase.

'istribucin de frecuencia de clase o de datos Agrupados$

Es aquella distribucin en la que la disposicin tabular de los datos estadsticos se encuentran ordenadosen clases y con la frecuencia de cada clase4 es decir, los datos originales de !arios !alores adyacentes delconunto se combinan para formar un inter!alo de clase. o e0isten normas establecidas para determinar


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cundo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados4 sin embargo, se sugiere que cuandoel n/mero total de datos %& es igual o superior =7 y adems el rango o recorrido de la serie de datos esmayor de 27, entonces, se utilizar la distribucin de frecuencia para datos agrupados, tambin se utilizareste tipo de distribucin cuando se requiera elaborar grficos lineales como el histograma, el polgono defrecuencia o la oi!a.

#a razn fundamental para utilizar la distribucin de frecuencia de clases es proporcionar meorcomunicacin acerca del patrn establecido en los datos y facilitar la manipulacin de los mismos. #osdatos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la informacin obtenidade una in!estigacin sea maneable con mayor facilidad.

+omponentes de una distribucin de frecuencia de clase

8.> ango o Amplitud total %recorrido&.> Es el lmite dentro del cual estn comprendidos todos los !alores dela serie de datos, en otras palabras, es el n/mero de diferentes !alores que toma la !ariable en un estudioo in!estigacin dada. Es la diferencia entre el !alor m0imo de una !ariable y el !alor mnimo que sta

toma en una in!estigacin cualquiera. El rango es el tama5o del inter!alo en el cual se ubican todos los!alores que pueden tomar los diferentes datos de la serie de !alores, desde el menor de ellos hasta el !alormayor estando incluidos ambos e0tremos. El rango de una distribucin de frecuencia se designa con laletra .

2.> +lase o *nter!alo de clase.> Son di!isiones o categoras en las cuales se agrupan un conunto de datosordenados con caractersticas comunes. En otras palabras, son fraccionamientos del rango o recorrido dela serie de !alores para reunir los datos que presentan !alores comprendidos entre dos limites.

"ara organizar los !alores de la serie de datos hay que determinar un n/mero de clases que seacon!eniente. En otras palabras, que ese n/mero de inter!alos no origine un n/mero peque5o de clases nimuy grande. 6n n/mero de clases peque5o puede ocultar la naturaleza natural de los !alores y un n/meromuy alto puede pro!ocar demasiados detalles como para obser!ar alguna informacin de gran utilidad enla in!estigacin.

(ama5o de los *nter!alos de +lase

#os inter!alos de clase pueden ser de tres tipos, seg/n el tama5o que estos presenten en una distribucinde frecuencia$ a& +lases de igual tama5o, b& clases desiguales

de tama5o y c& clases abiertas.

?.>Amplitud de +lase, #ongitud o Ancho de una +lase

#a amplitud o longitud de una clase es el n/mero de !alores o !ariables que concurren a una clasedeterminada. #a amplitud de clase se designa con las letras *c. E0isten di!ersos criterios para determinar laamplitud de clases, ante esa di!ersidad de criterios, se ha considerado que lo ms importante es dar unancho o longitud de clase a todos los inter!alos de tal manera que respondan a la naturaleza de los datos yal obeti!o que se persigue y esto se logra con la practica.


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@.>"unto medio o 3arca de clase

El centro de la clase, es el !olar de los datos que se ubica en la posicin central de la clase y representatodos los dems !alores de esa clase. Este !alor se utiliza para el calculo de la media aritmtica.

=.>recuencia de clase#a frecuencia de clase se le denomina frecuencia absoluta y se le designa con las letras fi. Es el n/merototal de !alores de las !ariables que se encuentran presente en una clase determinada, de una distribucinde frecuencia de clase.

B.> recuencia elati!a

#a frecuencia relati!a es aquella que resulta de di!idir cada uno de los fi de las clases de una distribucinde frecuencia de clase entre el n/mero total de datos%& de la serie de !alores. Estas frecuencias sedesignan con las letras fr4 si cada fr se multiplica por 877 se obtiene la frecuencia relati!a porcentual %fr C&.

D.>recuencias acumuladas

#as frecuencias acumuladas de una distribucin de frecuencias son aquellas que se obtienen de las sumassucesi!as de las fi que integran cada una de las clases de una distribucin de frecuencia de clase, esto selogra cuando la acumulacin de las frecuencias se realiza tomando en cuenta la primera clase hastaalcanzar la ultima. #as frecuencias acumuladas se designan con las letras fa. #as frecuencias acumuladaspueden ser menor que %fa que& y frecuencias acumuladas mayor que %faFque&.

G.> recuencia acumulada relati!a

#a frecuencia acumulada relati!a es aquella que resulta de di!idir cada una de las fa de las diferentesclases que integran una distribucin de frecuencia de clase entre el n/mero total de datos %& de la serie de!alores, estas frecuencias se designan con las letras far. Si las far se multiplican por 877 se obtienen lasfrecuencias acumuladas relati!as porcentuales y las mismas se designan as$ far C.

1.." +recuencia relativa.

Frecuencia relativa:

#a frecuencia absoluta, es una medida que est influida por el tama5o de la muestra, al aumentar eltama5o de la muestra aumentar tambin el tama5o de la frecuencia absoluta. Esto hace que no sea una

medida /til para poder comparar. "ara esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relati!a, quees el cociente entre la frecuencia absoluta y el tama5o de la muestra. #a denotaremos por fi

Donde NJ TamaFo de la muestra


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#a frecuencia relati!a de un inter!alo se obtiene di!idiendo la frecuencia dl inter!alo, entre el n/mero totalde datos.

+uando el resultado se multiplica por 877 obtenemos la H E+6E+*A E#A(*-A "I+E(6A#H.

+2ECUE9C!: 2E,:T!0: > 4 i?

,a frecuencia relativa es el cuociente entre la frecuencia absoluta > f i ? y elnmero total de datos > n ?.

En nuestro e5emplo/ n F $@

T:),:@

x i f i h i0 4 00!

" # 0"!

$ "$ 0$4

% "0 0$0

4 ! 0"&

' 4 00!

& $ 004

( " 00$

72:+!C6S@


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http$JJKKK.eneayudas.clJestentrada.htmLrelati!a

1..# Punto medio.

El unto medio de un intervalo se uede obtener de varias formas. +osiblemente la ms

fcil consiste en sumar los l"mites inferiores de dos intervalos consecutivos * dividir

entre dos. E)emlo;
http://www.eneayudas.cl/estentrada.htm#relativahttp://www.eneayudas.cl/estentrada.htm#relativa


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+untuaciones frecuencia

2@@=2 2

$@@=$ alcular l numero de clases, siempre que se conozca el intervalo de clase.

?> ' i

>omo se puede observar en el se"undo y tercer paso resultara muy difcil resolver estas ecuaciones por simplesmtodos matemticos ya que cada una de ellas presenta dos inc"nitas. >omo solucin a este problema sur"e laformula s )tur"ees que se e#presa as:

>i ' < .

+30.== lo" ?

onde < ' recorrido y ? ' numero total de valores.

En lo referente al punto medio de cada clase, este es usado para representar mediante un solo valor el recorrido decada clase y sirve adems para los 7nes de anlisis estadsticos de los datos. Es importante se@alar con relacin a laconstruccin de una distribucin de frecuencias que el lector o usuario tenia plena libertad en la pre8esco"encia delintervalo de clase, en funcin de la naturaleza de los datos y su conveniencia tcnica.

http$JJhtml.rincondel!ago.comJestadistica>en>la>toma>de>decisiones.html

1..$ ,mites.

,mite de una funcin en un punto. Propiedades.

7) #CKCTE E 8 P8T@.

7)!"mite finito$&e dice ue la funcin ' J f(*) tiene por lmite l cuando * tiende acia a, ' se representa por

(Es decir, ue si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio

, ue depende de , de modo ue para cualuier valor de * ue est en el entorno E(a, )e*ceptuando el propio a, se tiene ue su imagen f(a) est" en el entorno E(l, ).)

7;)!"mite infinito$ (7 partir de aora usaremos la notacin matem"tica para acer m"s corta la

definicin).
http://html.rincondelvago.com/estadistica-en-la-toma-de-decisiones.htmlhttp://html.rincondelvago.com/estadistica-en-la-toma-de-decisiones.html


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+) P2@PCED7DE& DE #@& #LKCTE&.

+) siempre ue no aparezca la indeterminacin .

+;) con .

+3) siempre ' cuando no aparezca la indeterminacin .

+1) siempre ' cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

+>) con , siempre ' cuando tengan sentido las potencias ue

aparecen.

+0) siempre ' cuando tengan sentido las potencias ue

aparecen ' no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

6) #CKCTE& #7TE27#E&.

6)!"mite por la iz#$ierda$

6;)!"mite por la derecha$

TE@2EK7$ E*iste el lmite si ' solo si e*isten los limites laterales (por la dereca ' por laizuierda) ' am!os coinciden. (Demostracin inmediata).

TE@2EK7$ &i e*iste el lmite, ste es 5nico. (Demostracin inmediata).

Todo lo dico anteriormente es tam!in v"lido si consideramos ue el lmite vale enlugar de l.

. ,mites en el infinito. :sntotas de una curva.

7) #CKCTE& E E# CMCCT@.

7)!"mite finito.


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7;)!"mite infinito.

Todo lo referente a las propiedades de los lmites vistas en la pregunta anterior es v"lido siescri!imos en lugar de a. Ba' casos ue parecen indeterminaciones ' no lo sonrealmente.

+) 7&LT@T7& DE 87 682N7.

+)As"ntotas verticales.

&e dice ue ' J f(*) tiene una asntota vertical en *Ja si o alguno (o am!os) de loslmites laterales vale . Es decir, puede a!er asntota vertical por la dereca, por la izuierdao por am!os lados. #a posicin de la curva respecto a la asntota depender" del signo de loslmites laterales. 6omo ejemplo, determinar la asntota vertical ' su posicin con respecto a lagr"fica de la funcin

+;)As"ntotas horizontales.

&e dice ue ' J f(*) tiene una asntota orizontal en 'J! si . #a asntota puede

aparecer cuando #a posicin de la gr"fica de la funcinrespecto a la asntota vertical se determina estudiando si el signo de f(*) O ! es positivo o negativocuando . 6omo ejemplo, determinar la asntota orizontal ' su posicin con respecto a lagr"fica de la funcin

+3)As"ntotas oblic$as.Dada la funcin ' J f(*), si se verifica ue


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a) b) c)

entonces se dice ue ' J m* es una asntota o!licua de dica funcin para . #a

asntota puede aparecer cuando Para estudiar la posicin dela gr"fica de la funcin con respecto a la asntota !asta estudiar el signo de f(*)O(m* ). 6omoejemplo, determinar la asntota o!licua ' su posicin con respecto a la gr"fica de la funcin

". Clculo de lmites.

7) CDETE2KC76CQEn la ma'ora de los casos !asta con efectuar las operaciones indicadas.Ejemplo.O

En otros casos, so!re todo en auellos en ue aparecen radicales, !asta con multiplicar ' dividirpor la e*presin radical conjugada.Ejemplo.O

+) CDETE2KC76CQ

En la ma'ora de los casos !asta con efectuar las operaciones indicadas.Ejemplo.O

6) CDETE2KC76CQ6uando solo aparecen funciones racionales, !asta con descomponer factorialmente el numerador' el denominador.

Ejemplo.O

En auellos casos en ue aparecen funciones irracionales (radicales), !asta con multiplicar 'dividir por la e*presin radical conjugada.Ejemplo.O


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D) CDETE2KC76CQ

En la ma'ora de los casos !asta con dividir el numerador ' denominador por la ma'or potenciade * del denominador.Ejemplos.O

E) CDETE2KC76C@E& O OPara determinar estos lmites tendremos en cuenta ue$

de donde resulta ue$

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, ue resolveremos por los mtodos anteriores o pormtodos ue aprenderemos en temas posteriores.

En el caso de la indeterminacin podemos aplicar con ma'or facilidad la siguiente igualdad$

7plicar la igualdad anterior a la resolucin del siguiente lmite$

M) #CKCTE& DE M86C@E& T2CR@@KST2C67&.

En algunos casos podemos utilizar un lmite mu' conocido, ue es$

7plica lo anterior para resolver los siguientes lmites$


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(Usa la frmula del sen(x/2))

En los casos anteriores puede ocurrir ue aplicando lo dico anteriormente no podamos resolverla indeterminacin. Estos casos, al igual ue en el apartado E), se resolver"n en los temas

siguientes aplicando la 2egla de #BUpital.

#. +uncin continua en un punto y en un intervalo.

Diremos ue la funcin ' J f(*) es continua en x = asi$

a. E*iste f(a), es decir, f(*) est" definida en *Ja.

!. E*iste el .

c. 7m!os valores coinciden, es decir .

&i tenemos en cuenta la definicin de lmite, podemos o!tener la siguiente definicin euivalente$

Diremos ue ' J f(*) es continua en el (a,b)si es continua en cada uno de los puntos delintervalo a!ierto (a,!).

Diremos ue ' J f(*) es continua por la derecha en x=asi .

Diremos ue ' J f(*) es continua por la izquierda en x=asi .

Diremos ue ' J f(*) es continua en el [a,b]si$

a. ' J f(*) es continua en el intervalo a!ierto (a,!).!. ' J f(*) es continua por la dereca en *Ja.c. ' J f(*) es continua por la izuierda en *J!.

TE@2EK7$ &i ' J f(*) es continua en * J a e*iste el . (#a demostracin es inmediata)&in em!argo, el teorema recproco no es cierto en general. 6omo ejemplo compro!arlo para$

TE@2EK7 DE 6@&E2N76CQ DE# &CR@&ea 'Jf(*) una funcin continua en *Ja siendo f(a) distinto de : e*iste un entorno de *Ja enel ue los valores de f(*) tienen el mismo signo ue f(a).


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Demostracin$&upongamos ue f(a)V: (si fuese negativo, se razonara de modo similar).

Tomemos . Por la continuidad de 'Jf(*) en *Ja se tiene ue$

Es decir$

Por lo tanto$ f(*)V:. (6omo se uera demostrar)

TE@2EK7 DE 76@T76CQ DE #7 M86CQ&i ' J f(*) es continua en * J a ' J f(*) est" acotada en un cierto entorno de * J a.

Demostracin$

Tomemos . Por la continuidad de ' J f(*) en * J a se tiene ue$

de modo ue es un intervalo acotado, por lo tanto 'Jf(*) est" acotada en el

entorno de *Ja.

$. 6peraciones con funciones continuas.

&ean f(*) ' g(*) dos funciones continuas en *Ja, se tiene entonces ue$

a. es continua en *Ja.

!. es continua en *Ja.

c. es continua en *Ja si .

d. es continua en *Ja suponiendo ue f(a)V: (para ue tenga sentido la potencia).

TE@2EK7$ &i f(*) es continua en *Ja ' g(*) es continua en 'Jf(a) es continua en*Ja.

Demostracin$


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De lo dico anteriormente resulta ue$

&. Discontinuidades.

&e dice ue una funcin ' J f(*) es discontinua en x = asi no es continua en dico valor de *, esdecir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

TCP@& DE DC&6@TC8CD7DE&

7)Evitable$ 6uando e*iste el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dosrazones, son distintos los valores o no e*iste f(a).

+)De salto$ 6uando e*iste el lmite por la dereca ' por la izuierda (siendo am!os finitos) perono coinciden.

6)Asint%tica$ 6uando alguno de los lmites laterales (o am!os) no es finito. Puede ser asintticapor la dereca, por la izuierda o por am!os lados.

D)Esencial$ 6uando no e*iste alguno de los lmites laterales (o am!os). Puede serlo por ladereca, por la izuierda o por am!os lados.

&i ' J f(*) tiene una discontinuidad evita!le en * J a, llamaremos verdadero valor de la funcin

en x=aal . Dico valor es el ue convierte a la funcin en continua.

&i ' J f(*) tiene una discontinuidad de salto en *Ja, llamaremos salto de la funcin en x=aal

valor .

Estudiar, como aplicacin de lo anterior, la continuidad ' discontinuidades de las funcioneselementales vistas en el captulo anterior ' de las funciones definidas a trozos.

3. El Teorema del valor intermedio de )olano y el Teorema de e;istencia dee;tremos absolutos de Geierstrass.

TE@2EK7 DE +@#W7@&i ' J f(*) es una funcin continua en el 9a,!< siendo distintos los signos de dica funcin en los

e*tremos del intervalo, es decir, tal ue f(c)J:.

Demostracin$&upongamos ue f(a)X: ' f(!)V: (&e razona de forma an"loga si ocurre lo contrario).

&i el teorema est" demostrado. En caso contrario, la funcin tomar" en dico puntoun valor del mismo signo ue f(a) o ue f(!).


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&ea el nuevo intervalo donde a' cam!io de signo.

&i el teorema est" demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso anterior,

o!tenindose una sucesin de intervalos encajados tales ue cada uno esla mitad del anterior ' la funcin toma valores opuestos en los e*tremos de cada intervalo. Dica

sucesin define un n5mero real . Demostremos ue f(c)J:.

&upongamos ue por el TE@2EK7 DE 6@&E2N76CQ DE# &CR@, e*istir" unentorno de c donde se mantendr" el mismo signo ue en c. &in em!argo, por la construccin

anterior, dico entorno contendr" uno al menos de los , donde la funcin toma!a valoresopuestos. #legamos pues a una contradiccin f(c)J:.6onsecuencia$ &i ' J f(*) es continua en a,! ' es un valor comprendido entre los valores de f(a)

' f(!) (o al revs) (+asta aplicar el Teorema de +olzano a g(*)Jf(*)O.)

TE@2EK7 DE YECE2&T27&&$ &i ' J f(*) es continua en 9a,!< f(*) alcanza el m"*imo ' elmnimo a!soluto en dico intervalo 9a,!


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acotada en 9a,!< K no es el e*tremosuperior de f, en contra de lo supuesto. #uego necesariamente a de e*istir un

f(*) alcanza un m"*imo a!soluto en 9a,!


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Distribucin normal y distribucin de la muestra de la media de $ muestras de tamaIo nF / #/ '/1'/ "

!a segunda figura8 resenta la distribucin en el muestreo de la media basada en una oblacin quesigue una distribucin continua regular9. -omo se ilustra en el anel a9 de la la figura8 ara muestras detamaCo n F 18 cada valor en la oblacin tiene la misma robabilidad. Ko obstante cuando se seleccionanmuestras slo de dos8 ?a* un Hm;imoHo Hlimitacin centralH. +or ello8 en este caso se uedenobservar ms valores Ncercanos aN la media de l aoblacin8 que en los e:tremos. ,simismo8 conformeaumenta el tamaCo de la muestra8 la distribucin en el muestreo de la media se aro:ima con raide auna distribucin normal. En este caso8 uan ve que ?a* muestras de cuando menos oc?o observaciones8la media muestral sigue8 ms o menos8 una distribucin normal.


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Distribucin continua >rectan*ular? y distribucin de la media de $ muestras de tamaIo nF / #/'/ 1'/ "

!a tercera figura8 se relaciona con la distribucin en el muestreo de la media obtenida con la oblacin enforma de 4. En el anel a9 de la figura se uede observar que esta oblacin8 aunque es simtrica8 tienesu menor frecuencia en el centro * su ma*or frecuencia en los e:tremos inferior * suerior de ladistribucin. ,unque la oblacin tiene mu* ocos valores cerca del centro8 incluso cuando el tamaCo dela muestra sea slo de dos8 muc?as de las medias muestrales *a estn reunidas alrededor del centro delas distribuciones. 4n e:amen de los otros aneles revele que una ve que el tamaCo de la muestra llegaa oc?o8 la distribucin en el muestreo de la media tiene distribucin aro:imadamente normal.


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Distribucin en forma de U y distribucin de la muestra de la media de $ muestras de tamaIo nF/ #/ '/ 1'/ "

O or >ltimo la cuarta figura8 e)emlifica la distribucin en el muestreo de la media obtenida con unaoblacin con fuerte sesgamiento a la derec?a8 llamada la distribucin e:onencial. En la f igura searecia que conforme aumenta el tamaCo de la muestra8 la distribucin en el muestreo se vuelve menossesgada. -uando se toman muestras de tamaCo 168 la distribucin en el muestreo tiene un ligerosesgamiento8 mientrs que8 ara muestras de tamaCo $28 la distribucin en el muestreo de la mediaarece tener distribucin normal.


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Distribucin e;ponencial y distribucin de la muestra de la media de $ muestras de tamaIo nF/ #/ '/ 1'/ "

Entonces8 el Teorema del ,mite Centrales de imortancia crucial en el uso de la inferencia estad"sticaara llegar a conclusiones en cuanto a una oblacin. !e ermite al investigador ?acer inferencias encuanto a la media de la oblacin sin tener que conocer la forma esec"fica de la ditribucin de laoblacin. Esto significa que el estad"stico muestral calculado8 como la media muestral8 la desviacinestndar * la roorcin8 suministran la informacin necesaria ara estimar los valores reales en laoblacin.

1..& -isto*rama.e utilia en datos cuantitativos en distribuciones de frecuencia. on rectngulos verticales unidos entres"8 en donde sus lados son los l"mites reales inferior * suerior de clase * cu*a altura es igual alafrecuencia de clase.

-on la distribucin de frec. anterior se tiene;


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)I*+O,-AA

An histo"rama es un resumen "r7co de la variacin de un con*unto de datos. a naturaleza"r7ca del histo"rama nos permite ver pautas que son difciles de observar en una simpletabla numrica. Esta herramienta se utiliza especialmente en la >omprobacin de teoras y&ruebas de validez.

Cmo interpretar los histogramas:

)abemos que los valores varan en todo con*unto de datos. Esta variacin si"ue cierta pauta.El propsito del anlisis de un histo"rama es, por un lado, identi7car y clasi7car la pauta devariacin, y por otro desarrollar una e#plicacin razonable y relevante de la pauta. ae#plicacin debe basarse en los conocimientos "enerales y en la observacin de lassituaciones espec7cas y debe ser con7rmada mediante un anlisis adicional. as pautashabituales de variacin ms comunes son la distribucin en campana, con dos picos, plana,en peine, ses"ada, truncada, con un pico aislado, o con un pico en el e#tremo.

Construccin de un histograma:

PASO 1

eterminar el ran"o de los datos:

PASO !

Establecer la lon"itud de clase: es i"ual al ran"o entre el nFmero de clases.

PASO "

>onstruir los intervalos de clases: os intervalos resultan de dividir el ran"o de los datos enrelacin al resultado del &!)C = en intervalos i"uales.


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PASO #

Bra7car el histo"rama: se hace un "r7co de barras, las bases de las barras son losintervalos de clases y altura son la frecuencia de las clases. )i se unen los puntos medios dela base superior de los rectn"ulos se obtiene el pol"ono de frecuencias.

Ejemplo :

! una fabrica de envases de vidrio, un cliente le est e#i"iendo que la capacidad de ciertotipo de botella sea de+0 ml, con una tolerancia de ms menos + ml. a fbrica establece unpro"rama de me*ora de calidad para que las botellas que se fabriquen cumplan con losrequisitos del cliente.

Ejemplos de otros tipos de representaciones gr$%cas:

Gay histo"ramas donde se a"rupan los datos en clases, y se cuenta cuntas observaciones$frecuencia absoluta% hay en cada una de ellas. En al"unas variables $variables cualitativas%

las clases estn de7nidas de modo natural, p.e sexocon dos clases: mu*er, varn o gruposanguneocon cuatro: !, H, !H, C. En las variables cuantitativas, las clases hay que de7nirlase#plcitamente $intervalos de clase%.


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)e representan los intervade clase en el e*e de absc$e*e horizontal% y lasfrecuencias, absolutas orelativas, en el de ordena$e*e vertical%.

! veces es ms Ftilrepresentar las frecuenciasacumuladas.


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C representarsimultneamente loshisto"ramas de una variaben dos situaciones distinta

Ctra forma muy frecuente,de representar dos

histo"ramas de la mismavariable en dos situacionesdistintas.


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Ctra forma

En las variables cuantitativaso en las cualitativas

ordinales se puedenrepresentarpolgonosdefrecuencia en lu"ar dehisto"ramas, cuando serepresenta la frecuenciaacumulativa, se denominaojiva.

Un histograma es un diagrama de barras que se utiliza pararepresentar una distribucin de frecuencias agrupadas de datoscuantitativos.


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Un histograma debe tener:

o 8n ttulo para identificar la po!lacin de donde salen los datos.o El eje orizontal en donde se colocan los valores de las clases.o El eje vertical en donde se representa el n5mero de datos en cada una de las clases.

Tam!in se puede utilizar la frecuencia relativa para acer el istograma.

1..3 -isto*rama de frecuencia relativa.

1." %edidas de tendencia central.Al describir grupos de obser!aciones, con frecuencia se desea describir el grupo con un solo n/mero. "aratal fin, desde luego, no se usar el !alor mas ele!ado ni el !alor mas peque5o como /nico representante,

ya que solo representan los e0tremos. mas bien que !alores tpicos. Entonces sera mas adecuado buscarun !alor central.

#as medidas que describen un !alor tpico en un grupo de obser!aciones suelen llamarse medidas detendencia central..Es importante tener en cuenta que estas medidas se aplican a grupos mas bien que aindi!iduos. un promedio es una caracterstica de grupo, no indi!idual.

edidas de +endencia Central

edia aritm/tica &uma de los valores de una serie de medidas respecto del n5mero devalores e*istentes. &u c"lculo euivale a *iGn, siendo nel tamaFo dela muestra ' xicada uno de los valores.

ediana Nalor ue ueda en el centro tras la divisin de una serie de valoresordenados en dos partes iguales, una superior ' una inferior. Paradeterminarla de!e seguirse los siguientes pasos$Oordenar los datos de menor a ma'orOsi el n5mero de datos es impar corresponde al ue ueda en el centroOsi el n5mero de datos es par corresponde al valor medio de los dosdatos centrales

oda Nalor ue se presenta con m"s frecuencia en una serie de mediciones.

1.".1 %edia aritmtica/ *eomtrica y ponderada.

Media aritmtica


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#a medida de tendencia central ms ob!ia que se puede elegir, es el simple promedio de las obser!acionesdel grupo, es decir el !alor obtenido sumando las obser!aciones y di!idiendo esta suma por el n/mero deobser!aciones que hay en el grupo.

En realidad hay muchas clases de promedios y sta se la llama media aritmtica para denotar la suma deun grupo de obser!aciones di!idida por su n/mero.

MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

edia aritm/tica

#lamando *l, ..., *a los datos distintos de un car"cter en estudio, o las marcas de clase de los intervalos en los ue sean agrupado dicos datos, ' ni,..., na las correspondientes frecuencias a!solutas de dicos valores o marcas declase, llamaremos media aritm&ticade la distri!ucin de frecuencias a

en donde n es la frecuencia total.

Ejemplo 1:

#a media aritmtica de las veinticinco familias encuestadas ser"$

es decir, las familias encuestadas tienen un n5mero medio de ijos de 0Z.

Ejemplo 2:

&e midieron los niveles de colinesterasa en un recuento de eritrocitos en [mu\mol'min'mlde 31agricultores e*puestos a insecticidas agrcolas, o!tenindose los siguientes datos$

Cndividuo ivel Cndividuo ivel Cndividuo ivel


43/340

:,0 3 ;,; ;> ,Z

; ;,> 1 :,Z ;0 ;,/

3 , > 0,> ;/ ,1

1 =,; 0 >,: ;Z =,3> ,> / :,3 ;= Z,0

0 =,= Z ;,1 3: Z,>

/ ,= = =, 3 :,

Z ,0 ;: /,Z 3; ;,1

= 1,= ; ,3 33 ,

: ;,> ;; ;,3 31 :,;

;,> ;3 =,/

; ;,3 ;1 ;,:

#a distri!ucin de frecuencias las marcas de clase ser"$

Cntervalo i />O= =O:> :>O; ;O3> 3>O> >O0>

Karca de 6lase )i Z;> =/> ;> ;/> 1;> >/>

Mrecuencia ni 3 Z : : ; %niJ;>

la cual proporciona una media aritmtica de

1IA A-I++ICA.

Es la medida de tendencia central m"s utilizada en estadstica ' es la ue se conoce como elpromedio de las o!servaciones, sin em!argo, de!ido a la confusin ue a' con el trminopromedio.


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#a media es el valor correspondiente a una lnea imaginaria ue compensa los valores ue see*ceden de la media ' los ue uedan por de!ajo de sta\ de esta manera, la media es ma'or ueel valor m"s peueFo, ' menor ue el valor m"s grande.

6uando se dispone de datos no agrupados, la media se puede calcular con precisin al sumar

todos los valores o!servados ' dividir el total entre el n5mero de o!servaciones. &i las utilidadesanuales de cinco empresas (en millones de dlares) fueron ;, ;, 1, / ' >, la media aritmticasera igual a$

2 + 2 + 4 + 7 + 15 30

-------------------- = ---- = 6

5 5

Este n5mero (0) sera la media po!lacional si el sistema de inters contuviera slo cincoempresas, por ejemplo, un sistema de inters son todos los fa!ricantes de aviones en los Estados8nidos o todos los fa!ricantes de cerveza en Detroit. &era una media muestral si se refiere slo acinco empresas de entre un grupo de inters muco ma'or, como cinco entre docenas de

fa!ricantes de aviones en el mundo o cinco entre cientos de cerveceras en los Estados 8nidos. Elprocedimiento anterior se resume como$

2ara 3na poblacin

2ara 3na m3estra

en donde es la suma de todos los valores de la po!lacin (o muestra) o!servados, es eln5mero de o!servaciones en la po!lacin ' n es el de o!servaciones en la muestra.

2ropiedades de la media aritm/tica

. #a suma de las desviaciones o diferencias de cada valor respecto a la media es igual acero.

;. #a suma de los cuadrados de las desviaciones de cada valor respecto a la media es unvalor mnimo.

3. #a media puede utilizarse para determinar el valor total de la po!lacin. (5mero de

elementos) ] (Kedia) J Total de la po!lacin1. #a media se afecta sustancialmente acia arri!a o acia a!ajo con la presencia de valores

e*tremos (mu' grandes o mu' peueFos) respecto a la media.

526OKediante el uso de la ta!la 3., calcule la media aritmtica de las utilidades ganadaspor las :: multinacionales m"s grandes con oficinas en los Estados 8nidos.

Ta!la 3.


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*O67CION J (/Z 00; G ::) J /Z;.0; millones de dlares

#a solucin se puede encontrar por c"lculo manual o, muco m"s r"pidamente, por computadoradespus de ue los datos de la ta!la 3.; se le a'an introducido.

Media geomtrica#a media geomtrica de un conunto de obser!aciones es la raz n sima de su producto. El clculo de la

media geomtrica e0ige que todas las obser!aciones sean positi!as.

1IA ,O+-ICA.

Esta es una medida ue puede aplicarse al crecimiento e*ponencial o inters compuesto, pueso!tiene la raz ensima de un grupo de n datos multiplicados entre s, por ejemplo, la raz c5!icadel producto de 3 datos, o la raz octava del producto de Z datos. El resultado o!tenido, al

elevarse a la potencia ensima, produce el producto de todos los datos multiplicados entre s.2ara 3na poblacin

2ara 3na m3estra

Caractersticas de la media 8eom/trica

. El c"lculo de la media geomtrica est" !asado en todos los elementos de un conjuntos dedatos. El valor de cada elemento de dico conjunto afecta as el valor de la mediageomtrica.

;. &i uno de los valores es cero, el valor de R es cero.3. &i uno de los valores es negativo ' el n5mero de datos es par, el valor de R es imaginario

' no tiene interpretacin.


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&i uno de los valores es negativo ' el n5mero de datos es impar, aunue R e*iste, su valorno es representativo.

1. #a media geomtrica es afectada por valores e*tremos en una menor cantidad ue lo es lamedia aritmtica. Por ejemplo, la media geomtrica de los valores , 1 ' 0 es 1, mientras

ue la media aritmtica de los mismos valores es /. El valor / es m"s cercano al valor alto0 ue el valor 1 lo es de 0. El valor de R es siempre menor ue el valor de la media delos mismos datos, e*cepto cuando todos los valores en una serie son iguales, tales como lamedia geomtrica ' la media aritmtica para los valores 1, 1 ' 1 ue son am!as 1.

>. #a media geomtrica da igual ponderacin a las tasas de cam!io iguales. En otraspala!ras, al promediar tasas de cam!io geomtricamente, la tasa ue muestra el do!le desu !ase es compensada por la otra ue muestra la mitad de su !ase\ la tasa ue muestra unuinto de su !ase\ ' as sucesivamente. #as tasas de cam!io son ordinariamentee*presadas en porcentajes. Puesto ue la !ase de cada proporcin e*presada en porcientoes siempre igual a ::?, el promedio de dos proporciones las cuales se compensande!er" ser ::? tam!in.

0. #a media geomtrica de las proporciones de los valores individuales con respecto a cadavalor precedente en una secuencia de valores es la 5nica medida de tendencia centralapropiada para las proporciones. #a media aritmtica de las proporciones no dar" unresultado consistente.

526O#as ventas mensuales de una tienda por departamentos ' las proporciones de lasventas mensuales a la ventas en cada mes previo de Enero a Ka'o, est"n dadas en la ta!lasiguiente$

Ta!la 3.3

6alcule la media geomtrica as como la media aritmtica de las tasas ' comp"relas.

*O67CION#a media geomtrica de las tasas es .;: ;:? ' la media aritmtica es .3:> 3:.>?.

6omparacin de las ventas calculadas mediante la media aritmtica ' la media geomtrica$

Ta!la 3.1


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Media armnicaEs el in!erso de la media aritmtica de los in!ersos de las obser!aciones.

1IA A-ONICA.

#a media armnica (B) de n o!servaciones ^, ^;, ... , ^n es el inverso (multiplicativo) de lamedia aritmtica de los inversos de las o!servaciones.

2ara la poblacin

2ara la m3estra

6aractersticas de la media armnica$

. #a media armnica como la media aritmtica ' la geomtrica, se calcula usando todos loselementos en un conjunto de valores. El valor de cada elemento en todos los datos afecta,por lo tanto, el valor de la media armnica. &in em!argo, la media armnica es aun menosafectada por valores e*tremos ue la media geomtrica. #a magnitud relativa de las tresdiferentes medias para los mismos datos puede ser e*presada como sigue$


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;. #a media armnica no es tan frecuentemente usada como una medida de tendencia centralde un conjunto de datos como es la media aritmtica. &in em!argo, es 5til en caosespeciales para promediar velocidades. #a razn de cam!io usualmente indica la relacinentre dos tipos diferentes de unidades de medida ue pueden ser e*presadasrecprocamente. Por ejemplo si una persona camin : millas en ; oras, la razn de su

velocidad de caminar puede ser e*presada$3 10 m!llas4 ------------ = 5 m!llas/"ora

5 2 "oras

6 rec!#rocamen$e%

7 2 "oras

& ----------- = 1/5 "oras/m!lla

' 10 m!llas

:. #a media armnica de!er" usarse cuando un valor constante, el cual tiene la mismaunidad ue el numerador ( millas) de cada razn dada, es igualmente aplica!le a cadaelemento en los datos.

526O&i un automvil recorre las primeras : millas a 3: mp ' las segundas a 0: mp, aprimera vista pareciera ue la velocidad promedio de 3: ' 0: es de 1> mp. Pero este tipo demedia se suele definir en Msica como la distancia total recorrida divida entre el tiempo totalempleado en recorrerla, ' como la distancia total es de ;: millas ' el tiempo total es G3 G0 deora, se tiene ue la velocidad media es$

vel J ;: G ( G3 G0 ) J 1: mp

Es interesante o!servar ue esta media se puede calcular como una media armnica de 3: ' 0:,es to es$

B J ; G ( G 3: G 0: ) J 1: mp.

Media ponderadaEn ciertas circunstancias no todas las obser!aciones tienen igual peso. En general si se tienenobser!aciones con sus respecti!os pesos es$

1IA 2ON1-A1A.


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#a media o promedio simple es la medida de tendencia central m"s utilizada\ sin em!argo,cuando algunos de los valores por promediar son m"s importantes ue otros, por ejemplo, alevaluar a un empleado, su calificacin en conocimientos, puntualidad, presentacin ' otrosconceptos tiene una importancia relativa diferente en funcin a uin, ace la evolucin.

Tal vez no sea lo mismo un empleado con : en conocimientos, : en puntualidad ' / enpresentacin (promedio J =), ue otro con : en conocimientos, / en puntualidad ' : enpresentacin (promedio J =).

6uando los valores por promediar tienen diferentes grados de importancia entre s, de!e utilizarseel promedio ponderado, el cual aplica un factor de ponderacin (o importancia relativa) a cadauno de los valores ue se van a promediar.

2ara 3na poblacin

2ara 3na m3estra

donde es la suma de todos los pesos (H) multiplicada por los valores o!servados (^), en

tanto ue es igual a (el n5mero de o!servaciones de la po!lacin) o n (e n5mero deo!servaciones de la muestra).

526OEn una empresa dada, el sueldo por ora es de > dlares para :: tra!ajadores, de :

dlares para >: tra!ajadores ' de > dlares para diez tra!ajadores. _6u"l es el sueldo promedio%

*O67CION

J ((::]>) (>:]:) (:]>)) G (:: >: :) J /.=

El resultado dista muco del sueldo por ora promedio no ponderado de : dlares.

1.". %ediana.

Itra medida de tendencia central que se utiliza con mucha frecuencia es la mediana, que es el !alorsituado en medio en un conunto de obser!aciones ordenadas por magnitud.

La mediana

#a mediana %3d& es una medida de posicin que di!ide a la serie de !alores en dos partes iguales, uncincuenta por ciento que es mayor o igual a esta y otro cincuenta por ciento que es menor o igual que ella.Es por lo tanto, un parmetro que esta en el medio del ordenamiento o arreglo de los datos organizados,


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entonces, la mediana di!ide la distribucin en una forma tal que a cada lado de la misma queda un n/meroigual de datos.

"ara encontrar la mediana en una serie de datos no agrupados, lo primero que se hace es ordenar losdatos en una forma creciente o decreciente y luego se ubica la posicin que esta ocupa en esa serie de

datos4 para ello hay que determinar si la serie de datos es par o impar, luego el n/mero que se obtieneindica el lugar o posicin que ocupa la mediana en la serie de !alores, luego la mediana ser el n/meroque ocupe el lugar de lo posicin encontrada.

ediana

#a mediana es otra medida de posicin, la cual se define como auel valor de la varia!le tal ue,supuestos ordenados los valores de sta en orden creciente, la mitad son menores o iguales ' laotra mitad ma'ores o iguales

7s, si en la siguiente distri!ucin de frecuencias,

)i ni *i

: 3 3

; >

; ; /

/

ordenamos los valores en orden creciente,

: : : ; ;

el ser" el valor ue cumple la definicin de mediana.

#gicamente, en cuanto el valor de la frecuencia total sea ligeramente ma'or, este procedimientoresulta invia!le. Por esta razn, daremos a continuacin una frmula ue permita calcularla. oo!stante, ser" necesario distinguir los casos en los ue los datos vengan agrupados de auellos enlos ue vengan sin agrupar.

1atos sin a8r3par

#as gr"ficas siguientes, correspondientes a un diagrama de frecuencias a!solutas acumuladas,recogen las dos situaciones ue se pueden presentar$


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&i la situacin es como la de la figura de la dereca, es decir, si

&i la situacin ue se presenta es como la de la figura de la izuierda, entonces la mediana ueda

indeterminada, aunue en este caso se toma como mediana la media aritmtica de los dos valoresentre los ue se produce la indeterminacin\ as pues, si

jOJ nG; X j

entonces la mediana es

Ejemplo 1:

#a distri!ucin de frecuencias acumuladas del ejemplo del n+mero de hijosera

N9 de hijos:xi; : ; 3 1

= ;3 ;>

' como es nG;J;> ' en consecuencia

X ;> X =

la mediana ser" KeJ ;.

1atos A8r3pados

#as gr"ficas siguientes, correspondientes apol"gonos de frec$encias absol$tas ac$m$ladas, nosplantea de nuevo dos situaciones diferentes a considerar$


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El m"s sencillo, el de la dereca, en el ue e*iste una frecuencia a!soluta acumulada jtal uenG; J j, la mediana es KeJ *j.

&i la situacin es como la ue se representa en la figura de la izuierda, en la ue

jOlX nG; X j

entonces, la mediana, est" en el intervalo 9*jO, *j), es decir entre *jO' *j, tom"ndose en ese caso,por razonamientos de proporcionalidad, como mediana el valor

siendo cjla amplitud del intervalo 9*jO, *j).

Ejemplo:

#a distri!ucin de frecuencias del ejemplo de los niveles de colinesterasaes$

Cntervalo i />O= =O:> :>O; ;O3> 3>O> >O0>

Mrecuencia ni 3 Z : : ;

Mrecuencia 7cumulada *i 3 ; 3 3; 31

7l ser nG; J / ' estar

X / X ;

la mediana estar" en el intervalo 9:> , ;), ' aplicando la frmula anterior, ser"


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1IANA.

Es valor del elemento de la posicin central de los datos individuales, ordenados de ma'or amenor (o viceversa), ' es el punto ue marca la mitad de valores ma'ores ue l, es decir, est" ala mitad, con el >:? de valores a su dereca ' el >:? de valores a su izuierda.

Es la medida de tendencia central m"s utilizada en estadstica ' es la ue se conoce como elpromedio de las o!servaciones, sin em!argo, de!ido a la confusin ue a' con el trminopromedio.

Para calcular la mediana$

@rdene los datos, de ma'or a menor o viceversa. 6alcule la posicin de la mediana$

n + 1 + 1 !s!c!n de la med!ana = ------- = ------- 2 2

Determine el elemento de la posicin central, ue es finalmente la mediana. (&i el n5merode datos es par, de!er" o!tener el promedio del valor de los dos elementos centrales.)

Caractersticas b=sicas de la mediana

. El valor de la mediana se afecta por el n5mero de datos, no por la magnitud de ning5nvalor e*tremo.

;. Es igualmente pro!a!le ue cualuier o!servacin escogida al azar sea ma'or o menorue la mediana.

3. &e puede determinar, incluso en distri!uciones con intervalos a!iertos.1. #a suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a la mediana es un valor mnimo.

En los casos en ue los datos contengan valores e*tremos, ' considerando la cuarta propiedad dela media, es mejor utilizar la mediana en lugar de la media como medida de tendencia central.

526O8se los datos de la ta!la 3.; para calcular la utilidad mediana o!tenida por las cienmultinacionales m"s grandes de los Estados 8nidos.

Ta!la 3.;


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*O67CIONEl arreglo ordenado tiene un par de o!servaciones. En consecuencia, a' dosvalores centrales de >3; ' >3> millones de dlares. #a mediana es la media aritmtica, es decir,

(>3; millones >3> millones) G ; J >33.3 millones de dlares

ue es un n5mero mu' distinto de la media aritmtica de todas las cifras

1."." %oda.Itra medida de tendencia central es la moda. #a moda es el !alor que ocurre con mas frecuencia en unconunto de obser!aciones.

La moda

#a moda es la medida de posicin que indica la magnitud del !alor que se presenta con ms frecuencia enuna serie de datos4 es pues, el !alor de la !ariable que ms se repite en un conunto de datos. 'e lasmedias de posicin la moda es la que se determina con mayor facilidad, ya que se puede obtener por unasimple obser!acin de los datos en estudio, puesto que la moda es el dato que se obser!a con mayorfrecuencia. #a moda se designa con las letras 3o.

oda#a modase define como auel valor de la varia!le al ue corresponde m"*ima frecuencia(a!soluta o relativa). Para calcularla, tam!in ser" necesario distinguir si los datos est"n o noagrupados.

Datos sin agrupar$

Para datos sin agrupar, la determinacin del valor o valores ('a ue puede a!er m"s de uno)modales es mu' sencilla. +asta o!servar a ue valor le corresponde una ma'or ni. Ese ser" lamoda.

7s en el ejemplo del n5mero de ijos, la simple inspeccin de la ta!la siguiente proporcionacomo valor para la moda el KdJ ;.

N9 de hijos:xi; : ; 3 1

N9 de familias:ni; > 0 ! 1 ; %niJ;>

Datos agrupados$


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&i los datos se presentan agrupados en intervalos es necesario, a su vez, distinguir si stos tieneno no igual amplitud.

&i tienen amplitud constante c, una vez identificado el intervalo modal 9*jO, *j), es decir elintervalo al ue corresponde ma'or frecuencia a!soluta njJ ma*`nl, ..., n, la moda se define,

tam!in por razones geomtricas, como

Ejemplo:

Este ejemplo presenta un caso de distri!ucin !imodal, 'a ue tanto el intervalo 9:> O ;) comoel 9; O 3>) tienen frecuencia a!soluta m"*ima. De!eramos aplicar, por tanto, para cada uno delos dos intervalos la frmula anterior, determinando as las dos modas de la distri!ucin. oo!stante, este ejemplo presenta adem"s la peculiaridad adicional de ser am!os intervalos modalescontiguos. En esta situacin se considera la distri!ucin unimodal, eligiendo como moda ele*tremo com5n, KdJ ;.

&i los intervalos tuvieran distinta amplitud cj, primeros de!emos normalizar las frecuenciasa!solutas nj, determinando los cocientes

' luego aplicar la regla definida para el caso de intervalos de amplitud constante a los lj. Es decir,primero calcular el ljJ ma*`l,...., l para determinar el intervalo modal 9*jO, *j) ' luego aplicarla frmula

siendo cjla amplitud del intervalo modal 9*jO, *j).

Ejemplo:

#as frecuencias normalizadascorrespondientes al ejemplo de intervalos con distinta amplitudser"n,

Ci ni li

:O;: Z :1


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;:O3: = :=

3:O1: ; ;

1:O1> : ;

1>O>: = Z>:O0: :

0:OZ: Z :1

Z:O:: 1 :;

con lo ue el intervalo modal es el 91: O 1>) ' la moda

7 diferencia de lo ue ocurre con la media o con la mediana, s es posi!le determinar la moda enel caso de datos cualitativos. 7s, en el ejemplo del tratamiento de radiaci%n seg$ido de cir$g"apuede afirmarse ue la causa modal por la ue no fue completado el tratamiento es KdJreusaron ciruga.

O1A.

#a moda es el valor m"s frecuente de un conjunto de datos en ocasiones se presentan dos o m"svalores ue se repiten con ma'or frecuencia. En este caso, a los datos se les conoce como!imodales o multimodales, respectivamente.

#a moda es la 5nica medida de tendencia central ue se puede aplicar a datos del tipo cualitativo,por ejemplo$ analizar el color de ojos (caf, negro, azul) de una po!lacin. Es mu' f"cil dedeterminar, !asta con o!servar detenidamente al conjunto de datos ' ver cu"l es el ue m"s serepite\ sin em!argo, no es mu' 5til por ue puede ocurrir ue una distri!ucin tenga dos o m"svalores ue se repitan con la misma frecuencia, en tal caso se tienen dos o mas modas. Tam!inpuede ocurrir ue no e*ista ning5n valor ue se repita ' entonces no a!r" moda. Por otra partepuede ser un valor e*tremo el de ma'or frecuencia ' difcilmente podra ser considerado unamedida de tendencia central.

En la pr"ctica, la moda raras veces se usa para descri!ir datos no agrupados, es muco m"s

frecuente su designacin para datos agrupados.

1.# %edidas de dispersin.

!a disersin uede medirse en trminos de la diferencia entre dos valores seleccionados del con)unto dedatos. !as medidas de distancia son; el alcance8 el alcance interfractil * el alcance intercuartil.


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:lcance.

Es la diferencia entre el ms alto * el ms equeCo de los valores observados.

,lcance F valor de la observacin ms alta P valor de la observacin ms equeCa

El alcance es fcil de entender * de encontrar8 ero su utilidad como medida de disersin es limitada.lo toma en cuenta los valores ms alto * ms ba)o de una distribucin * no considera ninguna otraobservacin del con)unto de datos. (gnora la naturalea de la variacin entre todas las demsobservaciones8 * se ve mu* influido or los valores e:tremos.

!as distribuciones de e:tremo abierto no tienen alcance8 ues no e:iste un valor ms alto o ms ba)o enla clase de e:tremo abierto.

:lcance interfractil.

En una distribucin de frecuencias8 una fraccin o roorcin dada de los datos cae en un fractil o ordeba)o de ste. !a mediana8 or e)emlo8 es el fractil @8/8 uesto que la mitad de los datos es menor oigual a este valor. !os fractiles son arecidos a los orcenta)es. En una distribucin cualquiera8 el 2/Q delos datos est en el fractil @82/ o or deba)o de ste igualmente8 2/Q de los datos cae en el vigsimoquinto ercentil o or deba)o de ste. El alcance interfractil es una medida de la disersin entre dosfractiles de una distribucin de frecuencias8 es decir8 la diferencia entre los valores de los dos fractiles.

!os fractiles tienen nombres eseciales8 deendiendo del n>mero de artes iguales en que se dividen losdatos. !os fractiles que los dividen en 1@ artes iguales se conocen como deciles. !os cuartiles dividenlos datos en cuatro artes iguales. !os ercentiles dividen el con)unto de datos en 1@@ artes iguales.

:lcance intercuartil.

El alcance intercuartil mide aro:imadamente qu tan le)os de la mediana tenemos que ir en cualquierade las dos direcciones antes de que odamos recorrer una mitad de los valores del con)unto de datos.

+ara calcular este alcance8 dividimos nuestros datos en cuatro artes8 cada una de las cuales contiene2/Q de los elementos de la distribucin. !os cuartiles son8 entonces8 los valores ms alto * ms ba)o deestas cuatro artes8 * el alcance intercuartil es la diferencia entre los valores del rimer cuartil * el tercercuartil.

SUGEE!"#$

El unto fractil es siemre el unto en el o deba)o del cual cae la roorcin establecida de valores.

edidas de 1ispersin

Amplit3d Diferencia entre los valores ma'or ' menor de un conjunto de datoso!tenidos en una medicin.

Coeficiente de>ariacin

Euivale a la desviacin tpica e*presada en porcentaje respecto de lamedia aritmtica. Es la desviacin tpica partido por la mediaaritmtica.

1es>iacin estandar Kedida de la dispersin de una distri!ucin de frecuencias respectode su media. Euivale a la raiz cuadrada de la varianza. &e e*presa


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como si corresponde a la po!lacin total o como ssi correspondea una muestra de la po!lacin

-an8o Kedida euivalente a la amplitud

?alor @ Kedida del n5mero de desviaciones estandar ue un valor se alejade la media

WJ (*iO ^) G s o WJ (*iO ) G

?ariana Kedida de la variacin de una serie de o!servaciones respecto de lamedia. Euivale a la dispersin respecto de la media en una serie dedatos continuos. &u c"lculo corresponde a$ (*iO );Gn sicorresponde a la po!lacin total o (*iO ^);G(nO) si corresponde auna muestra de esa po!lacin, siendo ola media, nel tamaFo dela po!lacin o de la muestra ' xicada uno de los valores.

1.#.1 0ariana.E0iste otro mecanismo para solucionar el efecto de cancelacin para entre diferencias positi!as ynegati!as. Si ele!amos al cuadrado cada diferencia antes de sumar, desaparece la cancelacin$

Esta frmula tiene una des!entaa, y es que sus unidades no son las mismas que las de las obser!aciones,ya que son unidades cuadradas.

Esta dificultad se soluciona, tomando la raz cuadrada de la ecuacin anterior$

VarianaEs otra de las !ariaciones absolutas y la misma se define como el cuadrado de la des!iacin tpica4 !ienee0presada con las mismas letras de la des!iacin tpica pero ele!adas al cuadrado, as S2 y s2. #asformulas para calcular la !arianza son las mismas utilizadas por la des!iacin tpica, e0ceptuando lasrespecti!as races, las cuales desaparecen al estar ele!ados el primer miembro al cuadrado.

?ariana

Denotando por),-...-)/los datos o las marcas de clase, llamaremos varianza a

siendo ala media de la distri!ucin.


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7s en el ejemplo del n+mero de hijosla varianza es

s;J 1;1 O (0Z);J 1/0.

' en ejemplo de los niveles de colinesterasa

s;J 33=/ O (1;0);J 31;.

7l valor

se le denomina c$asivarzanza.

[email protected] medida de dispersin muco m"s com5n, ue se calcula al promediar los cuadrados de lasdesviaciones individuales a partir de la media, es la media de desviaciones cuadr"ticas o lavarianza.

#a varianza es una medida de dispersin promedia de un conjunto de datos. Para una po!lacinse constru'e al tomar la diferencia entre cada valor o!servado ' la media po!lacional, elevando alcuadrado cada una de estas desviaciones ' luego allando la media aritmtica de los valorescuadrados. Para una muestra, una e*presin casi an"loga se constru'e con la a'uda de su media.

2ara 3na poblacin

2ara 3na m3estra

526O6alcule la varianza para una po!lacin de J > valores$ ;, ;, 1, / ' >.

*O67CIONNease la ta!la 3.> ue muestra la forma en ue la varianza se calcula para datos

po!lacionales, procedimiento por dem"s tedioso cuando el numero de o!servaciones es grande.#os programas modernos para computadora efect5an con suma rapidez este tipo de operacin.

Ta!la 3.>


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2-OB6A* 2-AC+ICO*

Por desgracia a' dos pro!lemas pr"cticos relacionados con el uso de concepto de varianza.Primero la varianza tiende a ser un n5mero grande en comparacin con las o!servaciones cu'adispersin a'a de descri!irse. 6uando las o!servaciones originales son iguales a unos pocosmiles de millones, su varianza puede ser igual a mucos cientos de miles de millones. Ensegundo trmino, ' m"s grave es ue la varianza , siendo un n5mero elevado al cuadrado no see*presa en las mismas unidades ue los valores o!servados en s.

Pero tam!in a' !uenas noticias$ am!as dificultades conceptuales se pueden vencer de un sologolpe al tra!ajar con la raz cuadrada de la varianza, concepto el cual vemos en seguida.

1.#. Desviacin estndar.5,#(,KR,O DE5(,-(SK ETKD,#

!a variana se aseme)a a la desviacin media absoluta en que se basa en la diferenciaentre cada valor del con)unto de datos * la media del gruo. +ero se distingue de ella enun mu* imortante asecto; cada diferencia se eleva al cuadrado antes de sumarse. Enel caso de una oblacin8 la variana se reresenta con 5U9 o8 ms ?abitualmente8 conla letra griega min>scula o2Nsigma cuadradaN9. !a frmula es

, diferencia de lo que ocurre con las dems estad"sticas muestrales *a e:uestas8 lavariana de una muestra no equivale e:actamente8 en trminos de clculo8 a lavariana de una oblacin. El denominador de la frmula de la variana muestral es untanto distinto. En esencia8 en esta frmula se inclu*e un factor de correccin8 a fin de


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que la variana muestral sea un estimador insesgado de la variana de la oblacin. !avariana muestral es reresentada or s2 su frmula es

En general8 es dif"cil interretar el significado del valor de una variana8 orque lasunidades en las que se le e:resa son valores elevados al cuadrado. Debido en arte aesta ran8 es ms frecuente el uso de la ra" cuadrada de la variana8 reresentadaor la letra griega a o or s en el caso de una muestra9 * llamada desviacin estndar.!as frmulas son;

Desviacin estndar de la oblacin;

Desviacin estndar de la muestra;

!a desviacin estndar es articularmente >til en con)uncin con la as" llamadadistribucin normal.

EVE'+!3 En relacin con los datos de ventas de equio de aire acondicionado dadosen el e)emlo anterior8 la media aritmtica es 1@./ unidades vase seccin 2.29.-onsiderando estos datos de ventas mensuales como la oblacin estad"stica de

inters8 la desviacin estndar se determina como sigue8 de acuerdo con los clculosde la tabla $.2;

Tabla $.2 Ho)a de traba)o ara el clculo de la desviacin estndar de l

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Probabilidad y estadstica_ISC.doc