Probabilidad y Estadísticaprobabilidadyestadisticaunsl.weebly.com/uploads/2/6/3/4/26340805/… · Agust´ın G. Bonifacio Probabilidad y Estad´ıstica. Experimentos Aleatorios Muestra

Experimentos AleatoriosMuestra y Población

Espacio Muestral

Probabilidad y Estad́ıstica

Agust́ın G. Bonifacio

UNSL

Experimentos Aleatorios, Espacios Muestrales

Agust́ın G. Bonifacio Probabilidad y Estad́ıstica


Espacio Muestral

Experimentos Aleatorios

Asumiremos como concepto básico la idea de experimento.Algunos ejemplos:

Un investigador médico suministra un medicamento a unpaciente y observa el resultado,

Se tira una moneda al aire y se observa el resultado al caer,

Se arroja una moneda al aire infinitas veces y se cuenta elnúmero de tiradas que se requirieron hasta que salió laprimera cara.

. . .

Asociada a la realización del experimento, cualquiera sea sunaturaleza (concreta o conceptual), tenemos un conjunto deresultados posibles.



Espacio Muestral

En nuestro primer ejemplo (observar el resultado de suministrar unmedicamento), el investigador podŕıa estar interesado en verificar sihay un aumento en el número de glóbulos rojos del paciente.Algunas descripciones del conjunto de resultados posibles son lassiguientes:

Ω1 = {NA,A}, donde A significa “aumento” y NA “noaumento”,

Ω2 = {0, 1}, donde 0 significa que no hubo aumento y 1 queśı lo hubo.

Ω3 = {0, 1, 2, . . . , 10000, . . . , 2000000}, si el investigadordecide contar el número de glóbulos rojos.

Ω4 = {0, 1, 2, . . . , n, . . .} = N, si el investigador decide contarel número de glóbulos rojos pero no conoce ‘a priori’ una cotasuperior para los mismos.



Espacio Muestral

A pesar de que se pueden considerar varios resultados posibles,cada vez que se realiza un experimento sólo se obtiene uno de ellos.Durante el curso, cuando hablemos de un experimento,asumiremos que el espacio de resultados posibles Ω ha sido fijado.

Definición

Un experimento E se dice aleatorio si Ω tiene más de un elemento.Si Ω tiene exactamente un elemento, el experimento E se dicedetermińıstico.



Espacio Muestral

Muestra y Población

Supongamos que tenemos un experimento E y que hemosdeterminado un Ω correspondiente.Si realizamos el experimento una vez, obtenemos un resultadoω1 ∈ Ω. Si lo realizamos una segunda vez, obtenemos un resultadoω2 ∈ Ω...

Definición

Una n-upla (ω1, ω2, . . . , ωn), con ωi ∈ Ω, de resultados posiblesrecibe el nombre de muestra de tamaño n.

Ejemplo

Consideremos el experimento E de suministrar un medicamentocon el espacio de resultados posibles Ω1 = {NA,A}. Una muestrade tamaño 5 asociada con E es una 5-upla (S1, . . . , S5) donde Si,i = 1, . . . , 5 será igual a NA ó A según corresponda.



Espacio Muestral

La descripción y obtención de muestras de un tamaño dadoasociadas con un experimento parece ser un problemarelativamente sencillo. Sin embargo, la descripción u obtención dela población asociada a un experimento son problemas que seresuelven en forma expĺıcita sólo en casos especiales.

Ejemplo

En una clase de 100 alumnos se elige uno al azar y se mide sualtura. Para este experimento, la población es una 100-upla(h1, h2, . . . , h100) en donde están representadas las alturas detodos los alumnos.

Observación

Hay una diferencia entre la idea de población y la de conjunto deresultados posibles: los valores en una población pueden repetirse,lo que hace posible estudiar la distribución de las alturas de losalumnos.



Espacio Muestral

Ejemplo

Volviendo al ejemplo de suministrar un remedio, la poblacióndependerá del grupo de pacientes que se desee estudiar. Si talgrupo consiste en todos los pacientes anémicos ingresados en undeterminado hospital en un cierto año, eventualmente podŕıa llegara describirse la población estad́ıstica. Pero generalmente el grupode pacientes al cual apunta la investigación es el total de laspersonas anémicas.

Como en general la obtención del total de la población asociada aun experimento no es posible, la alternativa que se abre es la deutilizar un modelo que represente la población estad́ısticadesconocida y emplear este modelo para sacar conclusiones.Una manera de construir modelos que garanticen, en ciertamedida, esta aproximación es utilizando la información contenidaen las muestras.(Ver Esquema Metodológico.)



Espacio Muestral

Un médico debe decidir entre administrar o no un nuevocompuesto de hierro a un paciente anémico. Sabe que dichocompuesto ha sido administrado a 30 pacientes anémicos y que en20 de ellos se observó un aumento significativo de los glóbulosrojos respecto del nivel que teńıan antes de iniciar el tratamiento.¿Qué decidiŕıa usted?

Como 23de los pacientes en el experimento mejoraron, entonces

hay una mayor chance de mejoŕıa que de no mejoŕıa. Decido enconsecuencia administrar la nueva droga.

La muestra (30 pacientes) permite obtener una medida de laposibilidad de que un suceso ocurra (la mejoŕıa del paciente). Enfunción de esta medida se toma la decisión.



Espacio Muestral

Cada vez que enfrentamos una decisión importante que involucrariesgos establecemos un sistema de estas medidas de posibilidadsobre el conjunto de alternativas disponibles y tomamos unadecisión de acuerdo con ese sistema.

Nuestro curso está destinado a proveer métodos para tomar buenasdecisiones (lo que no significa que siempre se puedem garantizarbuenos resultados).

La primera parte del curso está destinada a dar una formalizaciónde lo que hemos llamado medidas de posibilidad y a proveer formasde describirlas.



Espacio Muestral

Definición y EjemplosFamilia de Eventos Admisibles

Espacio Muestral

Definición

Dado un experimento E , el espacio de resultados posibles asociadose llamará espacio muestral y se denotará Ω.

Observación

Asumimos que los resultados son mutuamente excluyentes.

Dependiendo de lo que estoy interesado en estudiar será la eleccióndel espacio muestral.



Espacio Muestral


Ejemplo

El experimento consiste en tirar la bola de la ruleta.

Una posible descripción de los resultados puede ser:Ω1 = {0, 1, 2, . . . , 36},

Si estoy jugando a docenas, la siguiente descripción es másadecuada:Ω2 = {0, 1

o docena, 2o docena, 3o docena},

Si estoy jugando a color:Ω3 = {0, rojo, negro}

Si juego a pares e impares:Ω4 = {0, pares, impares}

Un experimento será (por ahora) un par (E ,Ω), donde lo querealmente importa es Ω.



Espacio Muestral


Definición

Sea (E ,Ω) un experimento. Los subconjuntos de Ω se denominaneventos. Los eventos con un único elemento se denominan eventossimples.

Definición

Sea (E ,Ω) un experimento. La familia de eventos se denota porP(Ω). El evento que no contiene ningún elemento se denominaevento imposible y se denota por ∅. El evento que contiene todoslos elementos de Ω se denomina evento cierto y se denota con Ω.

Ejemplo

Se tira una moneda. Los resultados posible son cara (C) y sello(S). Por lo tanto, Ω = {C,S} y P(Ω) = {∅, {C}, {S},Ω}.



Espacio Muestral


Ejemplo

Se tira un dado y se observa lo que sale en la cara superior.Entonces:Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Algunos eventos son:A = {1}, B = {1, 3, 5} y C = {4, 5, 6}.El evento A es simple. En general, la descripción de un evento noes única. Consideremos el siguiente evento:D = {ω ∈ Ω : ω es impar},entonces D = B.



Espacio Muestral


Definición

Sea (E ,Ω) un experimento y A ∈ P(ω) un evento. Diremos que elevento A se realiza si el resultado del experimento pertenece a A.

Ejemplo

En el ejemplo anterior (se tira un dado), si sale el 5 entonces elevento B se ha realizado, pero también el C. En cambio A no seha realizado.

Daremos a continuación otros ejemplos de espacios muestrales yeventos.



Espacio Muestral


Ejemplo

Se tiran dos dados indistinguibles y se observa el resultado. Unespacio muestral adecuado puede ser el siguiente:

Ω = {(i, j) ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 : j ≥ i}.

¿Cómo se interpreta el evento A = {(5, 6)}?En este ejemplo Ω tiene 21 elementos.



Espacio Muestral


Ejemplo

Se tiran dos dados, uno blanco y uno negro y se observa elresultado. Ahora los dados son distinguibles. Un espacio muestraladecuado puede ser el siguiente:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 .

¿Cómo se interpreta el evento A = {(5, 6)}?El número de elementos de Ω es 36.El evento B = { la suma de las caras superiores es mayor que 10}se escribe por enumeración de la siguiente manera:

B = {(5, 6), (6, 6), (6, 5)}

Observación

La forma de describir los espacios muestrales es importante y debetenerse en cuenta.



Espacio Muestral


Dado un experimento (E ,Ω), nuestra intención es asignar medidasde posibilidad, que llamaremos probabilidades, a cada uno de loselementos de P(Ω). Sin embargo, cuando esta familia de conjuntos“es muy grande” no existe un sistema de tales medidas conpropiedades “razonables” y, por lo tanto, nos limitaremos aconsiderar una subfamilia de P(Ω).

Ejemplo

Se mide la altura de una persona. Un espacio muestral puede serΩ = R+.También podŕıamos elegir como espacio muestral aΩ1 = R. En este caso, sin embargo, debeŕıamos asignar un valor decero a la posibilidad de tener altura negativa.



Espacio Muestral


Definición

Sea (E ,Ω) un experimento. Una familia A ⊆ P(Ω) es una familiade eventos admisibles si satisface:

(i) Ω ∈ A,

(ii) Si A ∈ A, entonces Ac ∈ A,

(iii) Si A1, A2 ∈ A, entonces A1 ∪A2 ∈ A.

Observación

Se pueden definir más de una familia de eventos admisibles para unmismo experimento (E ,Ω). Por ejemplo, tanto A1 = {∅,Ω} comoA2 = P(Ω) son siempre admisibles.



Espacio Muestral


Teorema

Sea (E ,Ω) un experimento con una familia de eventos admisiblesA. Entonces:

(i) ∅ ∈ A,

(ii) Si A1, A2 ∈ A, entonces A1 ∩A2 ∈ A.

(iii) Si A1, . . . , An ∈ A entonces:a) A1 ∪ . . . ∪ An ∈ A, yb) A1 ∩ . . . ∩ An ∈ A.



Espacio Muestral


A veces, en lugar de trabajar con una familia de eventosadmisibles, se trabaja con la siguiente noción relacionada:

Definición

Sea (E ,Ω) un experimento. Una familia A ⊆ P(Ω) es unaσ-álgebra de eventos si satisface:

(i) Ω ∈ A,

(ii) Si A ∈ A, entonces Ac ∈ A,

(iii)’ Si A1, A2, . . . , An, . . . ∈ A, entonces ∪∞

i=1Ai ∈ A.



Espacio Muestral


Ejercicio

Sea (E ,Ω) un experimento con una σ-álgebra de eventos A.

(i) Si A1, . . . , An ∈ A, entonces:a) ∪n

i=1Ai ∈ A,

b) ∩ni=1

Ai ∈ A.

(ii) Si A1, . . . , An, . . . ∈ A, entonces ∩∞

i=1Ai ∈ A.


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