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Probabilidade I
Departamento de Estatıstica
Universidade Federal da Paraıba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 1 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
Para apresentar os conceitos basicos de probabilidade, usaremosalgumas ideias da teoria de conjuntos.
Um conjunto e uma colecao de objetos, representados por letrasmaiusculas A, B, etc.
Existem tres maneiras de descrever que objetos estao contidosno conjunto A:
1 Fazer uma lista dos elementos de A: A = 1,2,3,4.2 Descrever o conjunto A por meio de palavras: A e formado pelas
notas dos alunos aprovados em Probabailidade I.
3 A = x |0 ≤ x ≤ 1; A e o conjunto de todos os numeros reais entre0 e 1.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 3 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
Algumas Notacoes Importantes:
A notacao ω ∈ A significa que ω e um elemento de A.
A notacao ω /∈ A significa que ω nao pertence a A.
Para representar um conjunto, tambem usaremos anotacaoω : p(ω), onde p(ω) e uma proposicao concernete a ω,e o conjunto consiste de todos os elementos para os quais p(ω) everdadeira.
Exemplo: ω : ω = 2k ; k = 1,2, . . . e o conjunto de todos osinteiros positivos pares.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 4 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
Definicao 1.3: Sejam A e B dois conjuntos. Diremos que A e umsubconjunto de B, denotado por A ⊂ B, se cada elemento de A etambem um elemento de B (w ∈ A→ w ∈ B).
Definicao 1.4: (Igualdade entre conjuntos) A e B sao iguais se, esomente se, A ⊂ B e B ⊂ A. (w ∈ A←→ w ∈ B).
Como consequencia dessas definicoes, temos os seguintesresultados:
1 Para qualquer conjunto A, ∅ ⊂ A e A ⊂ A.
2 Se A nao e um subconjunto de B, entao existe pelo menos umw ∈ A tal que w /∈ B.
3 Se A nao e igual a B, entao existe pelo menos um w ∈ A tal quew /∈ B ou um w ∈ B tal que w /∈ A .
4 Se A ⊂ B e B ⊂ C, entao A ⊂ C.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 5 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
1.1 Algumas operacoes entre conjuntos
1 UNIAO: A ∪ B = w ∈ Ω : w ∈ A ou w ∈ B (ou ambos)A ∪ B sera formado por todos os elementos que estejam em A, ouem B, ou em ambos (adicao).
2 INTERSECAO: A ∩ B = w ∈ Ω : w ∈ A e w ∈ BA ∩ B sera formado por todos os elementos que estejam em A eem B (multiplicacao).
3 COMPLEMENTAR: Ac = w ∈ Ω : w /∈ AAc sera formado por todos os elementos de Ω que nao estejamem A.
4 DIFERENCA: A− B = w ∈ Ω : w ∈ A e w /∈ BA− B sera formado por todos os elementos de A, exceto os quetambem estejam em B (A− B = A ∩ Bc).
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 6 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
1 DIFERENCA SIMETRICA:A∆B = w ∈ Ω : w ∈ A e w /∈ B ou w /∈ A e w ∈ BA∆B sera formado por todos os elementos de A ∪ B, exceto osque estejam em A ∩ B (A∆B = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B)).
Observacao 1.8: As operacoes de uniao e intersecao podem serestendidas a mais de dois eventos.
A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An oun⋃
i=1
Ai
A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An oun⋂
i=1
Ai
IMPORTANTE: Uma representacao grafica utilizada para uma melhorvisualizacao das operacoes entre eventos e o diagrama de Venn.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 7 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosDefinicao 1.5: (Eventos disjuntos) Dois eventos sao disjuntos oumutuamente exclusivos se e somente se A ∩ B = ∅.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 13 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosPARTICAO:Diremos que A1, . . . ,An formam uma particao de Ω se sao disjuntos ese sua uniao e Ω.
n⋃i=1
Ai = Ω, com Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j .
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 15 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosDefinicao 1.6: (Espaco produto) Sejam Ω1 e Ω2 dois espacosamostrais. O espaco produto Ω = Ω1 × Ω2 e dado por:
Ω1 × Ω2 = (w1,w2) : w1 ∈ Ω1 e w2 ∈ Ω2
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
ExeperimentoExeperimento:: Dois dados são jogados e as faces são
observadas.
Espaço Amostral (Ω):
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 16 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
Definicao 1.7: (Produto entre eventos) Sejam A ⊂ Ω1 e B ⊂ Ω2. Oevento produto (produto cartesiano), denotado por A× B e dado por
A× B = (w1,w2) ∈ Ω : w1 ∈ A e w2 ∈ B
Exemplo: No lancamento de um dado, considere os eventos: A:observar numero par e B: Observar numero menor que 3. EncontreA× B.
Observacao 1.9: Em geral, A× B 6= B × A.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 17 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos1.2 Algumas propriedades das operacoes entre conjuntos
Algumas importantes propriedades satisfeitas pelos conjuntos,relativas as operacoes definidas anteriormente sao apresentadas aseguir.
Sejam A, B e C subconjuntos de Ω, entao:
Leis da Identidade:
A ∪ = A A ∪ Ω = Ω
A ∩∅ = ∅ A ∩ Ω = A
Leis do Complemento:
A ∪ Ac = Ω A ∩ Ac = ∅
(Ac)c = A ∅c = Ω
Ωc = ∅Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 18 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
1.2 Algumas propriedades das operacoes entre conjuntos
Leis Comutativas:
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
A∆B = B∆A A− B 6= B − A
Leis Associativas:
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A∆(B∆C) = (A∆B)∆C A− (B − C) 6= (A− B)− C
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 19 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
Leis Distributivas:
A∪ (B ∩C) = (A∪B)∩ (A∪C) A∩ (B ∪C) = (A∩B)∪ (A∩C)
A∩ (B−C) = (A∩B)− (A∩C) A− (B∪C) 6= (A−B)∪ (A−C)
A− (B ∩C) 6= (A−B)∩ (A−C) A∩ (B∆C) = (A∩B)∆(A∩C)
A ∪ (B − C) = (A ∪ B)− (C − A) 6= (A ∪ B)− (A ∪ C)
A ∪ (B∆C) 6= (A ∪ B)∆(A ∪ C)
Outras propriedades
1 A ⊂ (A ∪ B) e B ⊂ (A ∪ B)
2 (A ∩ B) ⊂ A e (A ∩ B) ⊂ B3 A ⊂ B ←→ A ∪ B = B4 A ⊂ C e B ⊂ C ←→ (A ∪ B) ⊂ C
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 20 / 25
Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos(I)(⋃n
i=1 Ai)c
=⋂n
i=1 Aci
(I)(⋂n
i=1 Ai)c
=⋃n
i=1 Aci
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 21 / 25
Exercıcios1. Uma urna contem duas bolas brancas e tres bolas vermelha. Oexperimento e realizado em duas etapas. Retira-se uma bola aoacaso da urna. Se for branca, lanca-se uma moeda; se for vermelha,ela e devolvida a urna e retira-se outra bola. Anota-se o resultadoobtido. Obtenha o espaco amostral desse experimento.
2. Dois dados sao lancados. Sejam os eventos: A=o primeiro numeroe maior que o segundo, B=o primeiro numero e igual ao dobro dosegundo e C=a soma dos dois numeros e maior ou igual a 8.Descreva os eventos: A, B, C, Ac ∪ B, B ∩ Cc , (Ac)c ∩ C e(A ∩ (B ∪ C))c .
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 22 / 25
Exercıcios3. Considere os veıculos que trafegam pela BR-230 na altura daUFPB, no ponto em que podem continuar na BR-230(S), seguir emdirecao a UFPB(R) ou seguir em direcao ao centro (L). Observe adirecao de cada um de 3 veıculos sucessivamente:
1 Relacione todos os resultados do evento A em que todos osveıculos seguem na mesma direcao.
2 Relacione todos os resultados do evento B em que todos osveıculos seguem diferentes direcoes.
3 Relacione todos os resultados do evento C em que exatamentedois dos tres veıculos seguem para a UFPB.
4 Relacione todos os resultados do evento D em que exatamentedois veıculos seguem na mesma direcao.
5 Relacione os resultados em Dc , C ∪ D e C ∩ D.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 23 / 25
Exercıcios4. Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaco amostral, traduzapara a linguagem da Teoria dos Conjuntos, as seguintes situacoes:
(a) Pelo menos um dos eventos ocorra.
(b) O evento A ocorre mas B nao.
(c) Nenhum deles ocorre.
(d) Exatamente um dos eventos ocorre.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 2 08/11 24 / 25