Probabilidades: Variables aleatorias continuas Probabilidades: Variables aleatorias continuas. Estad£­stica

  • View
    6

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Probabilidades: Variables aleatorias continuas Probabilidades: Variables aleatorias continuas....

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Probabilidades: Variables aleatorias continuas

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Variable aleatoria continua

    • Una v. a. es continua si puede tomar cualquier valor numérico en un intervalo o conjuntos de intervalos de la recta numérica. Ejemplos: peso, altura, distancia, temperatura, etc.

    • Recordemos que, si es una v.a. discreta, podemos calcular la probabilidad de que la v.a. tome exactamente un valor en particular.

    • Nótese que la v.a. continua se define sobre un intervalo. Como cualquier intervalo tiene una cantidad infinita de valores, no tiene sentido hablar de la probabilidad de que la v.a. continua tome un determinado valor como sí se hace con las v.a. discretas.

    X

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Variable aleatoria continua

    • Al igual que las v.as. discretas se define la función de distribución acumulada para una v.a. continua.

    • Definición: Sea una v.a. continua. Se llama función de distribución acumulada

    • Ilustremos esto con un ejemplo

    )()( yYPyF = Y

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Variable aleatoria continua

    • Ejemplo: Sea Y una v.a. que representa el tiempo de vuelo entre Buenos Aires y Ushuaia. Se sabe que el tiempo de vuelo entre estos destinos ronda entre las 3 horas (180 minutos) y las 3 horas 40 minutos (220 minutos).

    • La v.a. Y puede tomar cualquier valor sobre este intervalo. Por lo tanto es una v.a. continua.

    • Supongamos que contamos con suficientes registros de los tiempo de vuelo, para concluir que la probabilidad de que la v.a. caiga en cualquier intervalo de, v.gr. 5 minutos, dentro del intervalo [180, 220] es la misma.

    • Cuando esto ocurre se dice que la v.a. en cuestión presenta una distribución uniforme de probabilidades.

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Variable aleatoria continua

    • ¿Cuál es la función de distribución acumulada de una v.a. uniforme?

      

     

     −

    =

    2201

    220180 )180220(

    180

    1800

    )(

    ysi

    ysi y

    ysi

    yF

    Función de distribución acumulada

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230

    F( y)

    Tiempo de vuelo

    )200180()180(

    )200180()180(

    )200()200(

    +=

    +=

    =

    YPF

    YPYP

    YPF

    )180()200(

    )200180(

    FF

    YP

    −=

    

      

     

     −

    =

    bysi

    byasi ab

    ay

    aysi

    yF

    1

    )(

    0

    )(

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Variable aleatoria continua

    • Por otro lado, en el caso continuo, la contraparte de la función de distribución probabilidad es la función de densidad de probabilidad.

    • Sea es una v.a. continua con función de densidad de probabilidad . El área bajo para un intervalo determinado, representa la probabilidad de que la v.a. continua Y tome un valor sobre ese intervalo.

    Y )(yf )(yf

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Variable aleatoria continua. Distribución uniforme

    • La función de densidad de probabilidades de la v.a. uniforme es la siguiente

    • En nuestro ejemplo es…

    • Y la gráfica de la función de densidad de la v.a. es …

    • Notar que el valor de no representa la probabilidad como en el caso de la v.a. discreta.

    • Para hablar de probabilidad de una v.a. continua , debemos hablar de la probabilidad de que la v.a. tome determinado valor dentro de un intervalo.

    • Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté entre los 185 y 200 minutos?

     

     

     

    −=

    (c.c.) contrario casoen 0

    para 1

    )( bya

    abyf

    )(yf

    Y

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Variable aleatoria continua. Distribución uniforme

    • Ejemplo: Sea Y=“tiempo de vuelo entre Bs.As. y Ushuaia”

    180 220

    1/40

    f(x)

    Tiempo de vuelo en minutos

    Función de densidad de probabilidad de una v.a. uniforme

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    El área como medida de probabilidad

    • ¿Cuál es el área bajo en el intervalo de 185 a 200 minutos?

    375.0 40

    1 )185200(altura base)200185( =

      

     −== YP

    180 220

    1/40

    Tiempo de vuelo en minutos

    185 200

    1/40

    f(y)

    )(yf

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    El área como medida de probabilidad

    • Conociendo la función de densidad de probabilidad (f.d.p), la probabilidad de que v.a. tome algún valor intermedio entre , es el área bajo la gráfica de en el intervalo .

    • ¿Cúal es la probabilidad de que el tiempo de vuelo esté entre 180 y 220 minutos?

    • Por lo tanto, el área total bajo la gráfica de sobre todos los valores para los cuales está definida es 1. Este es el análogo a que la suma de las probabilidades de una v.a. discreta es 1.

    • La f.d.p. tiene que , al igual que para las v.a. discretas.

    • Notar que se habla de la probabilidad de que la v.a. continua Y tome un valor entre con . Por lo tanto la probabilidad de que tome un valor específico es cero, ya que el área de en un punto es cero.

    0)( yf

    )(yf Y 21 e yy

    ( )21, yy

    )(yf

    21 e yy 12 yy 

    )(yf

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    La f.d.p. y la función de distribución acumulada de una v.a. continua

    • Si es una función de densidad de probabilidad entonces

    • para cualquier valor de

    • (equivale a para v.a. discretas)

    • Si es cualquier v.a., la función de distribución acumulada de , se escribe y

    • Si es una función de distribución acumulada, entonces

    • es una función no decreciente de . Si e son 2 valores cualesquiera tales que entonces

    0)( yf y

    1)( = 

    − dyyf

    )(yf

    Y Y

    )(yF )()()( yYPyYPyF ==

    )(yF

    0)(lim)( =− −→

    yFF y

    1)(lim)( = →

    yFF y

    )(yF y 1y 2y

    21 yy  )()( 21 yFyF 

     =x xp 1)(

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    La f.d.p. y la función de distribución acumulada de una v.a. continua

    • Si es una v.a. continua entonces la función de distribución acumulada , se dice que es continua si la función de distribución es continua para

    • Si es la función de distribución de una v.a. continua , entonces está dada por

    siempre y cuando exista la derivada, y es la función de densidad de probabilidad para la v. a.

    • De lo anterior se tiene que . Entonces la

    )(' )(

    )( yF dy

    ydF yf ==

    Y

    )(yf

    Y

    Y

    )(yF

    − y )(yF

    )(yF

    )(yf

    )()()( yYPdttfyF y

    ==  −

    )(-)()(- )()( 121221 yFyFyYPyYPyYyP == − 21 yycon

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    La f.d.p. y la función de distribución acumulada de una v.a. continua

    Función de densidad de probabildad

    0

    0.005

    0.01

    0.015

    0.02

    0.025

    0.03

    170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230

    f( x)

    Tiempo de vuelo Función de distribución acumulada

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    170 175 180 185 190 195 200 205 210 215 220 225 230

    F( y)

    Tiempo de vuelo

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Esperanza y varianza de una v.a. continua

    • El cálculo de la esperanza y varianza para v.a. continuas es análogo al de las v.as. discretas. Pero en el caso de v.as. continuas interviene el cálculo integral.

    • El valor esperado de una v.a. continua es

    • Si es una función de , entonces el valor esperado de está dado por la expresión

    siempre que la integral exista.

    • Si definimos a entonces la varianza de está dada por2)()( −= YYg

    Y)(Yg

     

    − = dyyfyYE )()(

    )(Yg

     

    − = dyyfygYgE )()())((

    ( )  

    − −=−== dyyfyYEYgEYVar )()()())(()( 222 

    Y

  • Estadística 2020 - Prof. Tamara Burdisso

    Esperanza y varianza de una v.a. uniforme

    • Si es una v.a. uniforme s