Probabilidades: Variables aleatorias y distribuciones ... · Valor esperado o esperanza matemática • El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria (v.a.)es un concepto

Estadística 2019 - Tamara Burdisso

Probabilidades: Variables aleatorias y distribuciones discretas de

probabilidad


Variable aleatoria

• Una variable aleatoria es una regla para asignar un número a todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, i.e. una variable aleatoria asocia un valor numérico con cada resultado posible del experimento aleatorio.

• Por lo general se usan letras mayúsculas para designar a la variable aleatoria y minúscula para indicar los posibles resultados que toma la variable aleatoria, i.e.

• Ejemplo 1: Arrojo una moneda. X=“sale cara” .

)( xXP =

=contrario casoen 0

cara sale si 1X

cara) salga()1( PXP == ceca) salga()0( PXP ==


Variable aleatoria

• Ejemplo 2: Arrojo dos dados. Sea X=“la suma de los valores de las caras de los dados”

Valor de la

variable

aleatoria

Número de

ocurrenciasProbabilidad

(1,1) 2 1 1/36

(1,2) (2,1) 3 2 2/36

(1,3) (2,2) (3,1) 4 3 3/36

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 5 4 4/36

(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) 6 5 5/36

(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 7 6 6/36

(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) 8 5 5/36

(3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 9 4 4/36

(4,6) (5,5) (6,4) 10 3 3/36

(5,6) (6,5) 11 2 2/36

(6,6) 12 1 1/36

Casos posibles

Asociación entre los lanzamiento de dos dados y la vaiable aleatoria que representa la

suma de las caras


Variable aleatoria

• Se dice que una variable aleatoria es discreta si el numero de valores que puede tomar es contable (ya sean estos finitos o infinito).

• Se dice que una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier valor numérico en un intervalo o conjuntos de intervalos de la recta numérica. Ejemplos: los experimentos que se basan en escala de medición como el tiempo, peso, altura, distancia, temperatura, etc.


Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas

• Sea una variable aleatoria discreta. Se llama a la función de probabilidad de la variable aleatoria , si satisface las siguientes propiedades

1. para todos los valores

2.

X )()( xXPxp =

X

0)()( = xXPxp Xx de

=x

xp 1)(

Distribución de probabilidad de la suma de dos dados

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

valores de X

pro

bab

ilid

ad


Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas

• La función de distribución acumulada de la variable aleatoria es la probabilidad de que sea menor o igual a un valor específico y está dada por

• La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta es una función no decreciente que cumple

1.

2.

3. )(1)(1)( xFxXPxXP −=−=

jiji xxxFxF si )()(

xxF cualquier para 1)(0

)(xF

Función de distribución acumulada de la suma de los dados

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

valores de X

F(x

)

=xx

i

i

xpxXPxF )()()(

X

X

x


Ejemplo

• Los datos siguientes describen la cantidad de empleados en cada uno de los 5 niveles ejecutivos de una importante empresa petrolera. Suponga que se desea seleccionar una muestra de empleados a nivel ejecutivo para una encuesta acerca de las condiciones laborales. Sea X la variable aleatoria que indica el nivel de un empleado seleccionado.

• Con estos datos construya la función de probabilidad de X. Grafique.

• Pruebe que la función de probabilidad cumple con las condiciones requeridas

• Calcule la función de distribución acumulada para los valores de X. Grafique.

Nivel ejecutivoCantidad de

empleados

1 18

2 32

3 84

4 300

5 31

Total 465


Ejercicio

• Si es una v.a. discreta la

a. es mayor que

b. es menor que

c. es igual a

d. es menor que o igual a

e. es mayor que o igual a

• Dos vs. as. con la misma función de probabilidad son la misma v.a.?

• Verdadero

• Falso

)( xXP X

)( xXP

)( xXP

)( xXP

)( xXP

)( xXP


Valor esperado o esperanza matemática

• Una empresa observó que el 75% de los trabajadores no faltan nunca en el mes, el 20% falta sólo una vez en y el 5% falta dos veces. ¿Cuál es el número promedio de inasistencias de un trabajador elegido al azar en un mes cualquiera?

)()()( xpxxXPxXExx

X ===



• El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria (v.a.)es un concepto clave en el estudio de las distribuciones de probabilidad.

• La esperanza de una v.a. tiene sus orígenes en los juegos de azar, ya que los apostadores quería saber “cual era la esperanza que tenían de ganar el juego”.

• En este sentido, la esperanza representa la cantidad de dinero promedio que el jugador está dispuesto a pagar para jugar el juego después de un número grande de apuestas.

• Esta interpretación también es válida para una v.a.; i.e. el valor promedio de una variable aleatoria después de un número grande de experimentos es su valor esperado o esperanza matemática.

• El valor esperado de una v.a. discreta se define como

)()()( xpxxXPxXExx

X ===



• Ejemplo: Sea X=“la suma de los valores de las caras de los dados”. Mostrar que la esperanza de X es 7.

)()()( xpxxXPxXExx

X ===

Valor de la

variable

aleatoria

Número de


(1,1) 2 1 1/36

(1,2) (2,1) 3 2 2/36

(1,3) (2,2) (3,1) 4 3 3/36

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 5 4 4/36

(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) 6 5 5/36

(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 7 6 6/36

(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) 8 5 5/36

(3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 9 4 4/36

(4,6) (5,5) (6,4) 10 3 3/36

(5,6) (6,5) 11 2 2/36

(6,6) 12 1 1/36

Casos posibles


suma de las caras



• Un jugador lanza dos monedas. Gana 2 pesos si sale sólo una cara y 5 pesos si salen dos caras. Por otra parte, pierde 10 pesos si no sale cara. ¿Cuál es el valor esperado (la esperanza matemática) del juego? ¿Está dispuesto a jugarlo?

)()()( xpxxXPxXExx

X ===


Valor esperado de una función de una v.a.

• Sea x una v.a. discreta con función de probabilidad y sea una función de X. entonces el valor esperado de es

• Ejemplo: Cierta empresa está considerando cambiar una máquina de montaje por su comportamiento defectuoso. De acuerdo con las estadísticas de la empresa, la distribución de probabilidades para el número de veces que la máquina se paraliza en una semana es la siguiente

• Hallar la media del número de desperfectos.

• Se ha estimado que cada desperfecto le cuesta a la compañía un abono fijo semanal de $1000 más $1500 en pérdidas de producción. Hallar la media del costo semanal por desperfecto.

)()()()()( xpxgxXPxgXgExx

===

)()( xXPxp =

)(Xg )(Xg

Cantidad de desperfectos en

la semana0 1 2 3 4

Probabilidad de ocurrencia 0.1 0.26 0.42 0.16 0.06


Varianza y desvío estándar

• Ya vimos, al analizar un conjunto de datos, que la media o promedio por sí solo, podía resultar muy poco informativo.

• Por lo tanto, así como usamos la varianza para resumir la dispersión de un conjunto de datos, definimos la varianza de una v.a. para hablar de su variabilidad.

• El desvío estándar (o desvío típico), , es la raíz cuadrada positiva de la varianza. Recordar que está en las mismas unidades que la variable original.

• Otra forma de expresar la varianza es

( ) )()()()()()( 2222 xpxxXPxXEXVar X

xx

XXX −==−=−=

( ) 22222 )( X

x

XX xpxXE −=−=


Varianza y desvío estándar

• Ejemplo: calcular la varianza y el desvío estándar de la v.a. X=“la suma de los valores de las caras de los dados”

)()()()()()( 2222 xpxxXPxXEXVar X

xx

XXX −==−=−=

Valor de la

variable

aleatoria

Número de


(1,1) 2 1 1/36

(1,2) (2,1) 3 2 2/36

(1,3) (2,2) (3,1) 4 3 3/36

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1) 5 4 4/36

(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) 6 5 5/36

(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 7 6 6/36

(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) 8 5 5/36

(3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 9 4 4/36

(4,6) (5,5) (6,4) 10 3 3/36

(5,6) (6,5) 11 2 2/36

(6,6) 12 1 1/36

Casos posibles


suma de las caras

( ) 22222 )( X

x

XX xpxXE −=−=


Varianza y desvío estándar de una función lineal

• Sea X una v.a. con media y varianza y sean dos constantes. Definamos la v.a. . Entonces la media y la varianza de Z son

• Y el desvío estándar de Z es

• Demostrar

• Calcular la varianza del número de desperfectos y del costo semanal por desperfecto en la máquina.

2 ba y

bXaZ +=

XZ babXaEZE +=+== )()(

222 )()( XZ bbXaVarZVar =+==

XZ b =


Media y varianza: momentos de primer y segundo orden

• Tanto a como a se los llama momentos poblacionales para distinguirlos de los momentos muestrales y .

2X

2s

Momentos muestrales Uso de la frecuencia relativa f/n

Momentos poblacionales Uso de la probabilidad p(x)

Media muestral

=

i

in

fxX

En particular,

=

i

in

xX1

Media poblacional

)(i

ii xpx

Varianza muestral

−=

n

fXxs

i

i

22 )(

En particular,

−−=

1

1)( 22

nXxs

i

i

Varianza poblacional

)()( 22

i

i

i xpx −


La distribución binomial

• Se trata de una de las distribuciones discretas más útiles.

• George Louis Leclerc (1707-1788) lanzó una moneda 4.040 veces y obtuvo 2.048; i.e. un 50.69% de caras

• John Kerrich, matemático inglés apresado durante la II Guerra Mundial, lanzó una moneda 10.000 veces. La proporción de caras obtenidas fue 5.067

• Jacob Bernoulli (1654-1705) dedicó varias décadas a estudiar el problema y logró demostrar matemáticamente que el porcentaje de caras que se obtendría al lanzar una moneda indefinidamente era del 50%.


El proceso de Bernoulli• Dio origen a los ensayos de Bernoulli. ¿En que consiste un ensayo de

Bernoulli?

1. Un experimento que tiene sólo dos resultados posibles (v.g. cara y ceca). A uno de ellos se lo llama éxito y al otro fracaso.

2. La probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1-p.

• Una v.a. con distribución Bernoulli consiste en un único ensayo en el que el resultado ocurre (éxito) o no ocurre (fracaso).

• Por lo tanto, un ensayo de Bernoulli está unívocamente caracterizado por un único número: la probabilidad de éxito p.

• Ejemplos

• Lanzo una moneda: cara con probabilidad p(=0.5) y ceca con probabildad q=1-p (=0.5)

• Nacimiento de un hijo: con probabilidad p (=0.48~1/2) es niña y con probailidad q=1-p es varón

• Multiple choice con 5 opciones y sin conocimiento (puro azar): con probabilidad p (=1/5) la respuesta es correcta y con probabilidad q=1-p (=4/5) es errada.


La distribución Binomial

• ¿Que cualidad presentan los posibles resultados de un ensayo de Bernoulli?

• Cuando los ensayos de Bernoulli se repiten n veces de manera independiente (independiente idénticamente distribuidos i.i.d), se dice entonces que se tiene un experimento binomial.

• En definitiva un experimento binomial son n ensayos de Bernoulli, i.i.d..

• Clásico ejemplo: Arrojo una moneda n veces o n monedas una vez.

• Cada arrojar de la moneda es un ensayo de Bernoulli. El número total de éxitos obtenidos después de n ensayos i.i.d. de Bernoulli es una v.a. binomial



• En un experimento binomial la v.a. de interés es la cantidad de éxitos obtenidos en n ensayos.

• Sea X=“número total de éxitos obtenidos en n ensayos de Bernoulli”

• X puede tomar los valores {0,1,2,3…,n}. Se trata de una v.a. discreta.

• La distribución de probabilidades de la v.a. X se llama distribución binomial.

• A diferencia de la distribución de Bernoulli, la distribución binomial tiene dos números (o parámetros) relevantes

• El número de ensayos: n

• La probabilidad de éxito: p



• ¿Cómo se calcula la probabilidad de tener exactamente kéxitos cuando la v.a. es X ~Bi(n, p)?

• Sea X una v.a. que representa el nro de éxitos en n ensayos de Bernoulli y sea p la probabilidad de éxito. Se dice entonces que X ~Bi(n, p) ( tiene una distribución binomial) con función de probabilidad

• El nombre de distribución binomial proviene de la expansión del binomio

nkppknk

npp

k

nkXP knkknk ,...2,1,0 para )1(

)!(!

!)1()( =−

−=−

== −−

( ) npp +−1


La función “n tomados de a k”

• ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa?

• Hay n maneras diferentes de obtener un éxito en nensayos,

• Hay sólo una manera de obtener n éxitos en nensayos,

• Hay sólo una manera de obtener n fracasos en nensayos,

• Hay n-1 maneras de obtener n-1 éxitos en n ensayos

1=

n

n

nn

=

1

10

=

n

11

−=

−n

n

n



• Ejemplo: Un vendedor de seguros visitas a 10 familias seleccionadas al azar. El resultado a cada familia se clasifica como éxito si la familia compra la póliza de seguro y como fracaso en caso contrario. Se sabe que la probabilidad de que una familia seleccionada la azar compre una póliza de seguro es del 0.10.

1. ¿De que tipo de distribución estamos hablando? Especifique la v.a. y fundamente.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 1 familia adquiera la poliza? ¿Y exactamente tres familias?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 1 familia adquiera el seguro?



Diferentes distribuciones binomiales con n=10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P=0.10 p=0.5 p=0.9


Condiciones de una v.a. binomial

• ¿Cuál de las siguientes no es condición para que una v.a. se distribuya según una binomial?

• Los ensayos deben ser independientes.

• El número de ensayos n, debe ser fijo.

• El resultado de cada ensayo sólo puede ser clasificado como éxito o fracaso.

• El número deseado de éxitos, k, debe ser mayor que el número de ensayos.

• La probabilidad de éxito, p, debe ser la misma en cada ensayo.


Esperanza de una v.a. binomial

• Una encuesta de Gallup del año 2012, indica que el 26.2 de los americanos son obesos. En una muestra de 10 americanos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 8 sean obesos?

• Bastante pequeña

• Bastante grande

a. c.

b. d.

28 738.0262.0

28 738.0262.010

8

28 738.0262.08

10

82 738.0262.08

10

En Excel

=DISTR.BINOM(8,10,0.262,FALSO)


Esperanza de una v.a. binomial

• Continuando con el ejemplo anterior, en una muestra de 100 americanos, ¿cuantos obesos esperaría encontrar?

• Bien fácil

• Formalmente, el valor esperado de una v.a. binomial

• Esto no significa que cada vez que tomemos una muestra al azar de 100 americanos, vamos a encontrar exactamente 26.2 americanos obesos. De hecho, ese valor esperado es imposible de encontrar. Algunas veces encontraremos más y algunas veces menos. Pero cuanto más o cuanto menos, i.e. ¿que variabilidad podríamos esperar encontrar?

2.26262.0100 === np


Esperanza y varianza de una v.a. binomial

• Volviendo a la encuesta de Gallup sobre la tasa de obesidad

• En una muestra de 100 americanos se espera 26.2 obesos en promedio con un desvío estándar de 4.4

np=

npqpnp =−= )1(2

npqpnp =−= )1(

4.4)262.01(262.0100)1( −=−= pnp


Teorema de Chebyshev

• Chebyshev (1867), establece la desigualdad, también llamada teorema de Chebyshev, que establece una cota o límite inferior para la probabilidad de que la v.a. de interés caiga en un intervalo de la forma

• Desigualdad de Chebyshev: Sea X una v.a. con media finita y varianza . Entonces para cualquier constante se tiene que

• Este resultado vale cualquiera sea la distribución de X.

• Se trata de un resultado muy conservador

k

22

1)(ó

11)(

kkXP

kkXP −−−

2 1k


Aplicaciones de la v.a. binomial

• Suponga que se tomó una muestra de 55 americanos y 28 resultaron obesos. En base a la encuesta de Gallup de 2012, ¿consideraría este resultado como inusual?

• Sea X una v.a. Bernoulli con p=0.4. ¿Cuál es la E(X)? Calcular la esperanza utilizando la definición.¿Y la Var(X)?

• Sea Y~Bi(5,0.4). ¿Cuál es la E(Y)? ¿Y la Var(Y)?


La distribución geométrica


La distribución geométrica


Distribución hipergeométrica

• Sea X ~ Bi(n,p). Recordemos que en cada ensayo la probabilidad p permanece constante.

• Si la población es lo suficientemente grande y se realizan extracciones sin reemplazo, este supuesto es bastante plausible.

• ¿Qué ocurre si la población es pequeña y se realizan extracciones sin reemplazo?

• Se necesita otra distribución que de cuenta de este cambio en la probabilidad de éxito.



• Tanto la distribución hipergeométrica como la distribución binomial tienen dos resultados posibles: éxito o fracaso

• La diferencia radica que para la binomial los ensayos son independientes mientras que para la hipergeométrica son dependientes.

• El experimento consiste en extraer n elementos de una población N sin reemplazo, donde r elementos son éxitos y N-r son fracasos.

• Sea X a la v.a. hipergeométrica, que representa el número de éxitos en las n extracciones.





• Ejemplo: Supongamos que se tienen 15 postulantes para una oferta laboral. La empresa desea contratar 4 nuevos trabajadores. Además, se sabe que entre los 15 postulantes 6 son mujeres y 9 son hombres. Sea X el número de mujeres contratadas por la empresa.

• ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 sean mujeres?


La distribución de Poisson• La distribución de Poisson (Siméon D. Poisson, probabilista francés S.XIX) es otra

distribución discreta muy utilizada.

• En este tipo de experimentos, el número de ocurrencias o “éxitos” se expresan por unidad de tiempo, por unidad de área, por volumen, por pieza, etc.

• # de personas que sufren un ataque cardíaco por día en CABA.

• # de individuos alcanzado por un rayo en un año en una comunidad.

• # de errores de tipeo por página.

• # de solicitudes de seguros procesadas por una institución en un día cualquiera.

• # de vacantes durante un año en la Corte Suprema de Justicia.

• # de defectos en piezas similares (rollos de telas, etc).

• # de goles en 90 minutos de juego.

• #de personas de más de 100 años en una comunidad.

• La distribución de Poisson describe el número de eventos “raros” que podrían ocurrir en una unidad de tiempo/espacio/volumen, para una población (relativamente) fija y grande, donde los individuos de la población son independientes.


La distribución de Poisson

• Sea X una v.a. X=“número de eventos que ocurren por unidad de tiempo/espacio/…”. Se dice que X sigue una distribución de Poisson con parámetro λ y función de probabilidad dada por

• El parámetro λ de la distribución de Poisson, representa el número promedio de ocurrencias del evento aleatorio que se observa por unidad de tiempo/espacio/etc.

• El único parámetro necesario para caracterizar la distribución de Poisson es λ

• A diferencia de la binomial, en la v.a. de Poisson, el número de ocurrencias no tiene límite superior, aunque las probabilidades se hacen muy pequeñas después de los primeros “éxitos”.

0,...,3,2,1,0!

);( ===−

kk

ekXP

k


Ejemplo: la distribución de Poisson

• Un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba

a. Cuatro cheques sin fondo en un día dado,

b. 10 cheques sin fondo en dos días consecutivos cualesquiera

c. Al menos 2 cheques por día.

En excel

=POISSON(4,6,FALSO)=0.1338

En excel

=POISSON(1,6,VERDADERO)=0.01735


Supuestos de la distribución de Poisson

1. Es posible dividir el intervalo de tiempo en un gran número de pequeños subintervalos de igual longitud.

2. La probabilidad de ocurrencia es la misma en cada intervalo (no varía).

3. Los subintervalos de tiempo son tan pequeños que la probabilidad de una o más ocurrencias es despreciable relativa a la probabilidad del evento.

4. Las ocurrencias son independientes. Si un evento ocurre/no ocurre en un intervalo es independiente de lo que ocurra/no ocurra en cualquier otro intervalo.


Ejemplo: la distribución de Poisson

• A medida que λ (# promedio de ocurrencias) crece la distribución de Poisson se hace más simétrica.


La aproximación de Poisson a la Binomial

• La distribución de Poisson surge como aproximación a la distribución Bi(n,p) cuando n es grande y p es lo suficientemente pequeño, de modo que q=1-p es casi 1, entonces la ocurrencia del evento es “rara”.

• En este caso la distribución Bi(n,p) puede ser aproximada por la Poisson con parámetro λ=np=μ.

• Sea X~Bi(n,p). Se puede probar matemáticamente que, bajo las condiciones anteriores, y llamando λ=np se tiene que

( ) −−

→→=−

== e

kpp

k

nkXP

kknk

pn

pn !

1lim)(lim

pequeñopequeño


Ejemplo: aproximación de Poisson a la binomial

• Suponga que la probabilidad de que un pasajero de AA pierda su equipaje de acuerdo con los registros de la empresa es del 5%. Se toma una muestra al azar de 200 pasajeros de AA en un día determinado.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos pasajeros hayan extraviado su equipaje?

b. ¿Y cuál que la hayan extraviado a lo sumo 10 pasajeros?

• La Poisson aproxima razonablemente bien a la Binomial cuando n≥50 y p≤0.05

En excel

=POISSON(10,10,VERDADERO)=0.583


Esperanza y varianza de una Poisson

• Sea X una v.a. con distribución de Poisson con parámetro λ. Entonces

• Ejercicio: El número de accidentes promedio que ocurren en una fábrica es de 3 al año. En el último año se registraron 7 accidentes. Este número llamó la atención a los responsables de la seguridad laboral. ¿Cuán probable es que ocurran por lo menos 7 accidentes? ¿Es este valor un indicio de un cambio en la media?

== )(XE == )(2 XVar

En excel

=1- POISSON(6,3,VERDADERO)=1-0.967=0.033

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