PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA (C)

PRÁCTICA 5

t*1. En una línea de producción los productos pasan por 4 procesos sucesivos (preparación,

armado, control y embalaje) hasta quedar listos para la venta. Sean X\^X^ X3 y X4 lostiempos que tarda en cumplirse cada uno de los procesos (en minutos). Se sabe que loscuatro procesos actúan en forma independiente y que Xi ~ Í7(3,5), X? ~ #(3,1/4),Xs ~ F(6,3) y X¿ ~ í/(2,4). Sea Y la variable aleatoria que mide el tiempo que tardaun producto en pasar por toda la línea de producción. Hallar E(Y) y V(Y).

2. a) Sea X una v.a. con distribución desconocida tal que E(X) = 5 y V(X) — 0.1.Usando la desigualdad de Tchebyshev, determinar una cota inferior para la prob-abilidad de que X esté entre 4.5 y 5.5.

b) Sea AI, ... ,Xn una muestra aleatoria (v.a. independientes e idénticamente dis-tribuidas), con E(Xi) = 5 y V(Xi) = 0.1, y sea X su promedio. Determinar unacota inferior, cuando n = 10, para la probabilidad de que X esté entre 4.5 y 5.5.

c) ¿Qué pasa con la cota hallada en (b) cuando el tamaño de la muestra n tiende ainfinito?

3. El número de aviones que aterrizan en un aeropuerto sigue un proceso de Poissoncon intensidad de 10 aviones cada 20 minutos. Determinar una cota inferior para laprobabilidad de que el número de aviones que aterrizan en un período de 1 horaesté entre 20 y 40.

4. Sea p la probabilidad de que una persona elegida al azar apoye la pena de muerte. Paraestimar p se encuesta a n personas, se cuenta la cantidad de ellas que apoya la penade muerte (X) y se define la frecuencia relativa

nn

Cuanto más cerca esté fn de p, mejor estimador será.

a) Hallar una cota superior para P ( \ f n — p\ 0.1) que no dependa de p. ¿ Cómo sepuede mejorar la estimación?

b) ¿A cuánta gente debería encuestarse para que P ( \ f n — p\ 0.1) < 0.1?

5. Sea Xij X^,... una sucesión de variables aleatorias independientes con E (Xi) = fj, y

a) Probar que si of = oo

en probabilidad.

6) Probar que si las varianzas son distintas, pero están acotadas, es decir que existeC tal que o\ C para todo ¿, entonces Xn — » ¿i en probabilidad.

n-*oo

c) ¿ Es cierto el resultado del ítem anterior si las varianzas no están acotadas?

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6. Sea Xi, X 80) P f 0.7 < — < 0.8 J P(X - 80)

9. Para rellenar una zona baja del río llegan diariamente 3 camiones A, B y C llenos depiedras. Los pesos en toneladas de las cargas de los camiones son v.a. independientescon esperanzas 1.8, 3.8, 4.1 y varianzas 0.1, 0.18, 0.25 respectivamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que en 360 días se superen las 3500 t?

b) ¿Cuánto tiempo será necesario para superar las 3500 t con una probabilidad apro-ximada de 0.90 por lo menos?

10. Sean X^ X•Ju

Calcular aproximadamenteioo

11. En cierto juego de azar la probabilidad de ganar es 0.3. Para participar en el mismose paga un peso y, en caso de ganar, se reciben 5 pesos.

a) ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que en 100 juegos independientes unjugador gane más de 90 pesos?

b) ¿Cuántas veces tendrá que jugar para ganar más de 90 pesos con probabilidadaproximada mayor o igual que 0.80?

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12. Sea Ui,...,Un una muestra aleatoria con distribución ¿/[0, 1] y sea h una funcióncontinua. Consideremos la integral / = J h(x) dx.

a) Se define 7n = — ^ (^¿)- En base a la Ley de los Grandes Números, explicar pori=l

qué 7n puede utilizarse para calcular en forma aproximada el valor de la integral7.

b) Los siguientes datos son una muestra aleatoria de una distribución U [O, 1] :

0.635 0.074 0.220 0.746 0.826 0.148 0.821 0.759 0.080 0.929

Usarlos para aproximar

L dx./o 1+z2Comparar el resultado obtenido con el valor exacto de esta integral.

c) Extender el método hallado en (a) para el cálculo aproximado de

rb

1= I h(x)dx

siendo a y b números reales tales que a < b.

13. Consideremos un método de compresión de bases de datos basado en el sistema decodificación de Huffman y supongamos que las bases consideradas sólo pueden contenerlas letras A, B, C y D. En el método de compresión considerado, se almacenan las letrasde la siguiente forma: el bit 1 representa la A, el par de bits 00 representa la B y lostríos Olí y 010 representan a C y D respectivamente. Las bases de datos almacenarán500 letras (A, B, C o D). Sea X¡ el número de bits necesarios para almacenar la i-ésimaletra. Se puede asumir que las Xi son independientes (es decir, que hay independenciaentre los caracteres involucrados).

Después de cierta investigación se sabe que en las bases de datos consideradas el 70 %de las letras es A, el 12% es B, el 10% es C y el 8% es D.

a) Hallar la esperanza y varianza de la variable JQ, ¿ = 1,...,500. Calcular la espe-ranza y la varianza del total de bits utilizados al almacenar las 500 letras.

b) Calcular en forma aproximada la probabilidad de que más de 720 bits sean uti-lizados en total para almacenar las 500 letras.

c) Calcular la probabilidad de que se utilice más de 1.46 bits por letra al almacenar500 letras.

d) Repetir el ítem anterior para almacenar n letras. Granear (por ejemplo, en R) estaprobabilidad como función de n. ¿Qué se observa?

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