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Probabilità e statistica - cdm.unimo.itcdm.unimo.it/home/dsmi/ · PDF fileProbabilità e statistica. Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1

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Matematica Applicata

Probabilit e statistica

Fenomeni casualiFenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori

1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato sar

Testa (T) , Croce (C)

2. Lancio di un dado a sei facce: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato sar

1, 2, 3, 4, 5, 6

3. Estrazioni di Lotto: non sono in grado di prevedere con certezza quale sar il primo numero estratto sulla ruota di Napoli

1, 2, 3, 4, ... ,88, 89, 90

4. Esame di Matematica applicata: non siete in grado di prevedere con certezza quale sarlesito finale:

PROMOSSO, BOCCIATO

5. Esame di Matematica applicata: non siete in grado di prevedere con certezza, se promossi, quale sar il voto finale:

18, 19, 20,, 30, 30L

6. Esame di Matematica applicata: non sono in grado di prevedere con certezza quanti studenti al primo appello avranno voto maggiore o uguale a 25:

1, 2, 3,

7. Esame di Matematica applicata: non sono in grado di prevedere con certezza il numero N di studenti che si presenteranno al primo appello:

1, 2, 3,

8. Tiro a segno: non sono in grado di prevedere con certezza se colpir il bersaglio e, in caso positivo, dove

9. Previsioni del tempo: non sono in grado di prevedere con certezza se domani:

PIOVE, NON PIOVE

10. Valore x delle azioni di una societ quotata alla Borsa di Milano, nel momento della chiusura

X 0

11. Numero N di pezzi realizzati da una linea di produzione in una giornata

N 0

Ripetendo pi volte unesperienza con esiti casuali i risultati potranno essere diversi.

Esempio: tiro al bersaglio, lancio di un dado, pesatura di un corpo su una bilancia, misura dellaltezza del primo studente che entra in aula per la lezione delle ore 10, misura della temperatura alle ore 12, il valore di un titolo alla chiusura della Borsa di Milano,..

Lincertezza sullesito dellesperienza dipende dalla nostra imperfetta conoscenza di tutti i fattori che lo determinano e/o dallimpossibilit dicontrollare perfettamente lesperimento.

Esempio: aumentando i dati meteorologici, migliorano le previsioni del tempo.

Esempio: il numero di pezzi realizzati dalla linea di produzione non quello atteso a causa dei guasti della linea.

Gli esiti casuali di un esperimento si dicono EVENTI Esempio: Nel lancio del dado sono eventi i numeri

1, 2, 3 ,4, 5, 6delle facce. Ma sono eventi pure i seguenti esiti

ESCE UN NUMERO PARIoppure

ESCE UN NUMERO DISPARIche possono essere espressi anche come i sottoinsiemi

A = {2,4,6}e

B={1,3,5}dellinsieme

S={1,2,3,4,5,6}.

Sono eventi tutti i sottoinsiemi di S.

Gli esiti casuali di un esperimento si dicono EVENTI

Esempio: Nel gioco del Lotto sono eventi i numeri

1, 2, , 88, 89, 90Ma sono eventi pure i seguenti esiti

ESCE UN NUMERO PARIoppure

ESCE UN NUMERO DISPARIche possono essere espressi anche come i sottoinsiemi

A= {2,4,6,,88,90}e

B={1,3,5,,87,89}dellinsieme

S={1,2,3,,90}.

Altri eventi:

ESCE UN NUMERO PRIMOcio:

C={2,3,5,7,11,13,.,83,89},oppure:

ESCE UN NUMERO MINORE DI 10cio

D={1,2,3,4,5,6,7,8,9},oppure:

ESCE UN NUMERO PRIMO MINORE DI 10cio

DCE }7,5,3,2{

Sono eventi tutti i sottoinsiemi di S={1,2,3,,90}.

Esempio: Nel caso del tiro a segno sono eventi:

e infiniti altri di sottoinsiemi del bersaglio

Una teoria matematica per eventi casuali ?

E possibile perch gli eventi casuali possiedono propriet di regolarit che si manifestano ripetendo un gran numero di volte gli esperimenti aleatori.

Esempio: Lanciamo un dado un numero N di volte, con N molto grande. Contiamo il numero M di volte in cui si presenta la faccia 5 e calcoliamo la frequenza dellevento esce la faccia 5:

N

MF 5

Se ripetiamo molte volte questa lunga sequenza di sequenza di lanci, troveremo che nella maggior parte di essi :

6

15 F

Se ripetiamo lesperimento con una faccia qualunque i=1,2,3,4,5,6, troveremo lo stesso risultato: nella maggior parte di lunghe sequenze di lanci la frequenza dellafaccia i :

6

1iF

Esempio: lancio di una moneta

La possibilit di creare una teoria matematica degli eventi casuali si basa su propriet di regolarit di questo genere

Esempio: la distribuzione di N colpi che hanno raggiunti il bersaglio, se N molto grande:Simmetria rispetto al centro del bersaglio;maggiore densit nella regione attorno centro che decresce verso il bordo; la densit decresce dal centro verso la periferia secondo una legge ben determinata detta Distribuzione Normale o Distribuzione di Gauss

Calcolo delle Probabilit

Probabilit

Un numero, compreso fra 0 e uno, attribuito ad ogni evento eventi aleatorio e che deve soddisfare a certe propriet. (Attenzione questa non una definizione!)

Come si definisce la probabilit?

1. Definizione assiomatica: una funzione con certe propriet (questo soddisfa i matematici, ma che relazione ha con la realt?)

2. Definizione frequentista: la probabilit di un evento A la frequenza con cui esso si presenta in una sequenza molto lunga di prove ripetute e tutte indipendenti.

3. Definizione soggettivista: la probabilit indica una nostra previsione, condizionata dalla nostra ignoranza. Misura il grado di certezza che abbiamo che un evento si verifichi. Su cosa scommettiamo .

La Teoria della Probabilit funziona, anche nei suoi aspetti applicativi su cui si fonda la Statistica.

Tuttavia la Teoria della Probabilit ricca di risultati controintuitivi

Esempio: In una famiglia con 4 figli, qual la distribuzione di genere pi probabile? 2 maschi e 2 femmine?

Esempio: ho unurna che contiene tutte le lettere dellalfabeto. Estraggo per 29 volte una lettera a caso, la scrivo su un foglio, e la rimetto nellurna.Al termine delle 29 estrazioni pi probabile che la sequenza di lettere scritta sul fogliosia:

Nelmezzodelcammindinostravitao

Devfutopjdnosiohdadewcnprvukd ?

Esempio: se il 27 non esce sulla ruota di Venezia da 123 settimane, mi conviene scommetteresu quel numero o sul 12, che uscito la settimana scorsa?

Esempio: se le previsioni dicono che c la probabilit del 50% che sabato piova e la probabilit del 50% che domenica piova, significa che c la probabilit del 100% che nel fine settimana piover? (Cio certo che piover?)

Esempio: destate, al mare , pi probabile incontrare una donna o una donna abbronzata?

Esempio: dovendo scegliere, scommettereste che lanciando una moneta 5 volte escaT T T T T T

oT C C T C T ?

Esempio: siete costretti a impegnare 1000 euro in uno dei seguenti modi:

1) Scommettendo che esca testa lanciando una moneta.

2) Scommettendo che in questa aula ci siano almeno 2 persone che compiono gli anni nello stesso giorno.

Su quale gioco scegliereste di impegnare i 1000 euro?

Attenzione a non affidarsi con troppa fiducia allintuizione

Esempio: se so che in presenza di una certa malattia un certo sintomo si manifesta con probabilit del 70% per cento, questo significa che se avverto il sintomo avr con probabilitdel 70% la malattia?