Matematica Applicata

Probabilità e statistica

Fenomeni casualiFenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori

1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato sarà

Testa (T) , Croce (C)

2. Lancio di un dado a sei facce: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato sarà

1, 2, 3, 4, 5, 6

3. Estrazioni di Lotto: non sono in grado di prevedere con certezza quale sarà il primo numero estratto sulla ruota di Napoli

1, 2, 3, 4, …... ,88, 89, 90

4. Esame di Matematica applicata: non siete in grado di prevedere con certezza quale saràl’esito finale:

PROMOSSO, BOCCIATO

5. Esame di Matematica applicata: non siete in grado di prevedere con certezza, se promossi, quale sarà il voto finale:

18, 19, 20,…, 30, 30L

6. Esame di Matematica applicata: non sono in grado di prevedere con certezza quanti studenti al primo appello avranno voto maggiore o uguale a 25:

1, 2, 3,…

7. Esame di Matematica applicata: non sono in grado di prevedere con certezza il numero N di studenti che si presenteranno al primo appello:

1, 2, 3,…

8. Tiro a segno: non sono in grado di prevedere con certezza se colpirò il bersaglio e, in caso positivo, dove

9. Previsioni del tempo: non sono in grado di prevedere con certezza se domani:

PIOVE, NON PIOVE

10. Valore x delle azioni di una società quotata alla Borsa di Milano, nel momento della

chiusura

X ≥ 0

11. Numero N di pezzi realizzati da una linea di produzione in una giornata

N ≥ 0

Ripetendo più volte un’esperienza con esiti casuali i risultati potranno essere diversi.

Esempio: tiro al bersaglio, lancio di un dado, pesatura di un corpo su una bilancia, misura dell’altezza del primo studente che entra in aula per la lezione delle ore 10, misura della temperatura alle ore 12, il valore di un titolo alla chiusura della Borsa di Milano,…..

L’incertezza sull’esito dell’esperienza dipende dalla nostra imperfetta conoscenza di tutti i fattori che lo determinano e/o dall’impossibilità dicontrollare perfettamente l’esperimento.

Esempio: aumentando i dati meteorologici, migliorano le previsioni del tempo.

Esempio: il numero di pezzi realizzati dalla linea di produzione non è quello atteso a causa dei guasti della linea.

Gli esiti casuali di un esperimento si dicono EVENTI Esempio: Nel lancio del dado sono eventi i numeri

1, 2, 3 ,4, 5, 6delle facce. Ma sono eventi pure i seguenti esiti

“ESCE UN NUMERO PARI”oppure

“ESCE UN NUMERO DISPARI”che possono essere espressi anche come i sottoinsiemi

A = {2,4,6}e

B={1,3,5}dell’insieme

S={1,2,3,4,5,6}.

Sono eventi tutti i sottoinsiemi di S.

Gli esiti casuali di un esperimento si dicono EVENTI

Esempio: Nel gioco del Lotto sono eventi i numeri

1, 2, …, 88, 89, 90Ma sono eventi pure i seguenti esiti

“ESCE UN NUMERO PARI”oppure

“ESCE UN NUMERO DISPARI”che possono essere espressi anche come i sottoinsiemi

A= {2,4,6,…,88,90}e

B={1,3,5,…,87,89}dell’insieme

S={1,2,3,…,90}.

Altri eventi:

“ESCE UN NUMERO PRIMO”cioè:

C={2,3,5,7,11,13,….,83,89},oppure:

“ESCE UN NUMERO MINORE DI 10”cioè

D={1,2,3,4,5,6,7,8,9},oppure:

“ESCE UN NUMERO PRIMO MINORE DI 10”cioè

DCE }7,5,3,2{

Sono eventi tutti i sottoinsiemi di S={1,2,3,…,90}.

Esempio: Nel caso del tiro a segno sono eventi:

… e infiniti altri di sottoinsiemi del bersaglio …

Una teoria matematica per eventi casuali ?

E’ possibile perché gli eventi casuali possiedono proprietà di regolarità che si manifestano ripetendo un gran numero di volte gli esperimenti aleatori.

Esempio: Lanciamo un dado un numero N di volte, con N molto grande. Contiamo il numero M di volte in cui si presenta la faccia 5 e calcoliamo la frequenza dell’evento “esce la faccia 5”:

N

MF 5

Se ripetiamo molte volte questa lunga sequenza di sequenza di lanci, troveremo che nella maggior parte di essi :

6

15 F

Se ripetiamo l’esperimento con una faccia qualunque i=1,2,3,4,5,6, troveremo lo stesso risultato: nella maggior parte di lunghe sequenze di lanci la frequenza dellafaccia i è:

6

1iF

Esempio: lancio di una moneta …

La possibilità di creare una teoria matematica degli eventi casuali si basa su proprietà di regolarità di questo genere

Esempio: la distribuzione di N colpi che hanno raggiunti il bersaglio, se N è molto grande:Simmetria rispetto al centro del bersaglio;maggiore densità nella regione attorno centro che decresce verso il bordo; la densità decresce dal centro verso la periferia secondo una legge ben determinata detta Distribuzione Normale o Distribuzione di Gauss

Calcolo delle Probabilità

Probabilità

Un numero, compreso fra 0 e uno, attribuito ad ogni evento eventi aleatorio e che deve soddisfare a certe proprietà. (Attenzione questa non è una definizione!)

Come si definisce la probabilità?

1. Definizione assiomatica: una funzione con certe proprietà …(questo soddisfa i matematici, ma che relazione ha con la realtà?)

2. Definizione frequentista: la probabilità di un evento A è la frequenza con cui esso si presenta in una sequenza molto lunga di prove ripetute e tutte indipendenti.

3. Definizione soggettivista: la probabilità indica una nostra previsione, condizionata dalla nostra ignoranza. Misura il “grado di certezza” che abbiamo che un evento si verifichi. Su cosa scommettiamo ….

La Teoria della Probabilità funziona, anche nei suoi aspetti applicativi su cui si fonda la Statistica.

Tuttavia la Teoria della Probabilità è ricca di risultati controintuitivi

Esempio: In una famiglia con 4 figli, qual è la distribuzione di genere è più probabile? 2 maschi e 2 femmine?

Esempio: ho un’urna che contiene tutte le lettere dell’alfabeto. Estraggo per 29 volte una lettera a caso, la scrivo su un foglio, e la rimetto nell’urna.Al termine delle 29 estrazioni è più probabile che la sequenza di lettere scritta sul fogliosia:

“Nelmezzodelcammindinostravita”o

“Devfutopjdnosiohdadewcnprvukd” ?

Esempio: se il 27 non esce sulla ruota di Venezia da 123 settimane, mi conviene scommetteresu quel numero o sul 12, che è uscito la settimana scorsa?

Esempio: se le previsioni dicono che c’è la probabilità del 50% che sabato piova e la probabilità del 50% che domenica piova, significa che c’è la probabilità del 100% che nel fine settimana pioverà? (Cioè è certo che pioverà?)

Esempio: d’estate, al mare , è più probabile incontrare una donna o una donna abbronzata?

Esempio: dovendo scegliere, scommettereste che lanciando una moneta 5 volte escaT T T T T T

oT C C T C T ?

Esempio: siete costretti a impegnare 1000 euro in uno dei seguenti modi:

1) Scommettendo che esca testa lanciando una moneta.

2) Scommettendo che in questa aula ci siano almeno 2 persone che compiono gli anni nello stesso giorno.

Su quale gioco scegliereste di impegnare i 1000 euro?

Attenzione a non affidarsi con troppa fiducia all’intuizione

Esempio: se so che in presenza di una certa malattia un certo sintomo si manifesta con probabilità del 70% per cento, questo significa che se avverto il sintomo avrò con probabilitàdel 70% la malattia?