Probabilità: teoremi e distribuzioni

La teoria della probabilità è applicabile a tutti quelle situazioni in cui l’esito/evento di una prova/esperimento aleatorio non è certo o determinabile con sicurezza in anticipo, ma si verifica con una certa probabilità.

Non si è sicuri dell’esito dell’esperimento

L’evento può verificarsi con una certa probabilità

Incertezza su quale evento si verificherà

Esempio LOTTERIA

Evento, Prova e Probabilità

• EVENTO: È uno dei possibili risultati di una PROVA

• PROVA: Ogni esperimento soggetto ad incertezza che genera risultati e produce conoscenza. Consiste nella descrizione di una serie di azioni da compiere o di fatti da osservare

• PROBABILITA’: è un numero associato al verificarsi di un evento

L’insieme di tutti i possibili eventi costituisce lo SPAZIO CAMPIONARIO.

EVENTI SEMPLICI EVENTI COMPLESSI

Singoli risultati di un

esperimento/evento casuale

Insieme di due o più eventi

semplici

Probabilità che da un mazzo di carte esca

l’asso di fiori

Probabilità che da un mazzo di carte esca una carta di cuori

Probabilità come un indice di quanto è avverabile un certo evento

• Probabilità di successo = il verificarsi di un evento favorevole; P(A)

• Probabilità di insuccesso = il verificarsi di un evento non favorevole; P(nonA)

L’evento A è uno dei possibili risultati di un evento

Faccia 5 di un dado

Se si verifica un evento diverso da quello da noi scelto parliamo di EVENTO CONTRARIO o nonA

Faccia 6 dello stesso dado

P(A)

P(nonA)

P(A) P(nonA)

Il loro insieme costituisce tutti i possibili esiti della prova

1 La somma delle probabilità di

tutti gli eventi possibili è 1

PROBABILITA’

DELL’EVENTO CERTO

ASSIOMI FONDAMENTALI

• LA PROBABILITA’ CHE UN EVENTO CASUALE SI VERIFICHI E’ SEMPRE COMPRESA TRA 0 E 1

• P(A) + P(nonA) = 1: ciò significa che i due eventi sono COMPLEMENTARI ed esauriscono l’intero spazio campionario

EVENTI INDIPENDENTI vs DIPENDENTI

• Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non influenza il verificarsi dell’altro

• Due eventi A e B si dicono mutualmente escludentisi se il verificarsi dell’uno non consente il verificarsi dell’altro

EVENTI MUTUALMENTE ESCLUDENTISI

Definizioni del concetto di probabilità

Ipotesi frequentista

Ipotesi classica

Ipotesi soggettiva

IPOTESI CLASSICA

- Dato un esperimento ben specificato - Dato un evento E, - detto m il numero dei possibili risultati che danno

luogo all’evento E - Detto n il numero di tutti i possibili risultati

dell’esperimento, purchè tutti gli n risultati siano ugualmente possibili

LA PROBABILITA’ DELL’EVENTO E E’ DATA DAL

RAPPORTO TRA m/n

LANCIO MONETA

Uscita della TESTA

TESTA o CROCE

TESTA o CROCE

IPOTESI CLASSICA

• La probabilità che si verifichi un evento è data dal rapporto tra i casi favorevoli e quelli ugualmente possibili

La probabilità di ottenere il numero 5 dal lancio di un dado è

1 (caso/evento favorevole) 6 (casi/eventi possibili)

Per definire la probabilità è necessario presupporre che gli esiti siano tutti

UGUALMENTE POSSIBILI!!!!!!!

IPOTESI FREQUENTISTA

La probabilità che si verifichi un certo evento è uguale alla frequenza relativa con cui l’evento si verifica in un numero di prove sufficientemente grande, ripetute nelle medesime condizioni.

Probabilità del

verificarsi

dell’evento A

Numero di

prove molto

grande

prove

Frequenza con

cui si verifica

l’evento A nelle

n prove

CARATTERISTICA PRINCIPALE

• Permette di conoscere la probabilità di un evento solo dopo aver effettuato un numero di prove (A Posteriori)

GLI EVENTI DEVONO ESSERE RIPETIBILI, cioè ripetuti nelle stesse condizioni

• Un evento favorevole può essere definito da più eventi distinti A e B all’interno dello spazio campionario.

• Il verificarsi di quello evento presuppone il verificarsi di ognuno dei singoli eventi (A o B)

EVENTI DISGIUNTI

SIGNIFICA ANDARE A SOMMARE LA PROBABILITA’

CHE OGNUNO DEI SINGOLI EVENTI DISGIUNTI SI

VERIFICHINO

PRINCIPIO DELLA SOMMA o principio delle probabilità totali

• La probabilità che si verifichino due eventi mutualmente escludentisi è data dalla SOMMA delle probabilità del verificarsi dei singoli eventi

Prova: lanciare due volte una moneta

Evento : ottenere TESTA al primo lancio

Testa - Testa

Testa - Croce

1/4 1/4

P(A o B) = ¼ + ¼ = ½

A B

Croce - Testa

Croce - Croce

prova: lanciare due volte una moneta

Evento : ottenere almeno una CROCE nei due lanci

Testa - Testa

Testa - Croce

A

B

C

D

1/4

1/4

1/4

1/4

P(A o B o C o D)

= ¼ + ¼ + ¼ =

¾

…e quando i due eventi sono NON mutualmente escludentisi?

• Quando due eventi Indipendente si verificano congiuntamente ed il verificarsi dell’uno NON MODIFICA la probabilità del verificarsi dell’altro

REGOLA DEL PRODOTTO PER EVENTI CONGIUNTI

PRINCIPIO DEL PRODOTTO o delle probabilità composte

• La probabilità del verificarsi degli eventi indipendenti A e B, ordinatamente in s prove, è data dal prodotto delle probabilità relative al verificarsi dei singoli eventi considerati:

Numero 4 sul dado rosso A 1/6

prova: lanciare due dadi: uno rosso ed uno nero

Numero 5 sul dado nero B 1/6

P(A e B) = 1/6 x

1/6 = 1/36

…e cosa accade quando gli eventi sono dipendenti?

• Gli eventi si definiscono DIPENDENTI quando il verificarsi dell’uno MODIFICA la probabilità del verificarsi dell’altro evento

SI RIDUCE LO SPAZIO CAMPIONARIO

È una situazione tipica delle estrazioni senza reinserimento

Cosa accade quando gli eventi sono dipendenti?

• La probabilità del verificarsi di una certa successione di eventi semplici dipendenti E1, E2, En, … è data dal prodotto della probabilità del verificarsi di E1, per la probabilità di E2 subordinata al verificarsi di E1 e così via

prova: gioco del poker con mazzo di 32 carte

Evento: fare poker d’assi in una mano di cinque carte

Asso di quadri

Asso di fiori

Asso di picche Asso di cuori E4 E1

E2

E3

1/29 1/32

1/31

1/30

Una delle restanti carte

E5 28/28

Esempi

• Eventi: somma delle facce di due dadi è 2 Eventi indipendenti

Faccia 1 sul dado 1 E1

E2

1/6

Faccia 1 sul dado 2 1/6

APPLICAZIONE DEL PRINCIPIO DEL PRODOTTO

• Eventi: somma delle facce di due dadi è 3

Eventi mutualmente escludentisi

Faccia 1 sul dado 1 E1

Faccia 2 sul dado1

E2

1/6

Faccia 2 sul dado 2 1/6

E3 1/6

Faccia 1 sul dado2 E4 1/6

APPLICAZIONE DEL PRINCIPIO DEL PRODOTTO E DELLA SOMMA

Cenni dell’Analisi combinatoria

• Si dicono COMBINAZIONI di n oggetti a r a r tutte le possibili r-ple che si costruiscono con gli n oggetti senza tener conto dell’ordine degli oggetti.

• Le r-ple differiscono tra loro per almeno un elemento

COMBINAZIONI

Immaginiamo di avere 4 stimoli A, B, C e D Ampiezza r=2

Gruppi: AB AC AD BC BD CD

Numero degli stimoli

Ampiezza dei gruppi

n Fattoriale: Prodotto di tutti i

numeri interi della serie

naturale fino ad n

(n-r) Fattoriale: Prodotto di tutti

i numeri interi della serie

naturale fino ad n - r

n=4 n! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Immaginiamo di avere 4 stimoli A, B, C e D Ampiezza r=2

Gruppi: AB AC AD BC BD CD

• Dato un insieme di n oggetti, si dice PERMUTAZIONE ogni serie ordinata/sottoinsieme degli n oggetti presi n a n.

PERMUTAZIONI

Immaginiamo di avere 4 stimoli A, B, C e D

CI DICE IN QUANTI MODI POSSIAMO DISPORRE

IN ORDINE n OGGETTI

Numero degli elementi

che dobbiamo

moltiplicare

• Si dicono DISPOSIZIONI di n oggetti a r a r tutte le possibili r-ple che si possono formare con gli n oggetti in modo tale che differiscano per l’ordine in cui sono gli oggetti

DISPOSIZIONI

Immaginiamo di avere 4 stimoli A, B, C, D e E Ampiezza r=2

Ogni disposizione è distinta dalle altre sia per gli elementi presenti sia per l’ordine degli elementi all’interno

Le distribuzioni di probabilità

E-mail: r.romanelli@unich.it

Ricevimento: Lunedì 11:00 – 12:00

Materiale didattico su: http://www.psicometria.unich.it

Che cosa è una VARIABILE CASUALE?

Qualsiasi caratteristica misurabile è denominata variabile. Se una variabile può assumere numerosi valori tali che qualsiasi risultato è determinato dal caso, essa è nota come variabile casuale

• Una VARIABILE CASUALE/UNIVARIATA è definita come una regola che associa ad ogni evento un unico numero reale

Variabile casuale discreta è quella che può assumere tutti i possibili

valori in un dato intervallo di numeri reali, in un insieme finito e

numerabile

Variabile casuale continua è quella che può assumere tutti i

possibili valori in un dato intervallo di numeri reali

• Ad ogni evento è possibile associare una probabilità la cui distribuzione è definita in base proprio a questo evento.

• Una distribuzione di probabilità è una funzione che sintetizza la relazione tra i valori di una variabile casuale e la probabilità che questi si presentino

Evento = x Distribuzione della probabilità dell’evento x = f(x)

Numero di prove eseguibili = n

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

È la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta tale che il valore della variabile casuale sia il “numero di successi in una serie di esperimenti identici ed indipendenti”

DALLA DISTRIBUZIONE BERNOULLIANA ALLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE

ESPERIMENTO lancio di una moneta

EVENTO X numero di teste che deriva da un lancio

Un tale esperimento è denominato una “prova di Bernoulli” e la

variabile casuale che corrisponde al numero di successi è

denominata una variabile di Bernoulli.

• Se l'esperimento (o prova) è ripetuto più volte e le ripetizioni sono indipendenti tra loro, allora la distribuzione di probabilità della variabile casuale X in n prove indipendenti di Bernoulli è denominata “distribuzione binomiale”.

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Numero di prove

Combinazioni

possibili

Probabilità che si

verifichi l’evento

desiderato

Probabilità che l’evento desiderato non si verifichi

ESEMPIO Un’urna contiene 10 palline di cui 3 bianche. Si eseguono 4

successive estrazioni rimettendo ogni volta la pallina estratta

nell’urna.

Probabilità di estrarre 1 pallina

bianca

1/10

Probabilità di estrarre 3 palline

bianche

3/10

ESEMPIO Un soggetto è stato sottoposto ad un test di 20 item, in cui doveva

scegliere tra 2 risposte (una corretta ed una sbagliata). Alla risposta corretta viene assegnata un punteggio di 1 mentre a quella errata un punteggio di 0. Il soggetto potrà rispondere in maniera corretta alle 20 domande (punteggio di 20) oppure in modo errato (punteggio di 0). Vogliamo sapere qual è la probabilità che il soggetto ottenga un punteggio di 17.

Probabilità di dare una risposta corretta ½ = 0,5

Probabilità di dare una risposta errata ½ = 0,5

n =20

Evento X Punteggio di 17

PROPRIETA’ DELLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Il valore medio è il risultato più

probabile.

Man mano che ci si allontana

dalla media il risultato diviene

meno probabile fino ad una

probabilità tendente allo zero

È simmetrica se la probabilità

di verificarsi dell’evento

favorevole è p=0,50

È asimmetrica positiva se

p<0,50

È asimmetrica negativa se

p>0,50

L’asimmetria diminuisce

all’aumentare di n per

qualunque valore di p≠0,50

PROPRIETA’ DELLA DISTRIBUZIONE BINOMIALE

• Le probabilità di più eventi favorevoli:

– Se in un test di 20 item dicotomici si vuole sapere la probabilità di ottenere un punteggio massimo di 8 si può applicare il principio della SOMMA

Tutti i

possibili valori

interi da 0 a 8

Per ogni punteggio da 0 a 8 calcoliamo le singole

probabilità e poi le sommiamo

La probabilità di avere un punteggio di 8 sarà dato dalla somma di tutte queste probabilità

0,252

…e quando le variabili sono continue…

• Le distribuzioni normali sono una famiglia di curve simmetriche a forma di campana e unimodali (moda ,media e mediana coincidono).

• Hanno tutte la stessa forma ma sono caratterizzate dai due valori: media e varianza N(μ,σ2).

DISTRIBUZIONE NORMALE O GAUSSIANA

• La curva Normale è Unimodale e simmetrica rispetto alla sua media (μ)

La curva è ASINTOTICA rispetto all’asse delle ascisse La funzione f(x) tende ad annullarsi senza mai raggiungere lo 0 se non ai

valori di ascissa -∞ e +∞

• La media, la mediana e la moda della distribuzione coincidono

• La Deviazione Standard, indica la quantità di dispersione delle osservazioni intorno alla media • I parametri μ e σ definiscono in modo completo la curva

Caratteristiche di una distribuzione Normale

• Se invece μ rimane costante e σ varia, tutte le infinite curve hanno lo stesso asse di simmetria; ma hanno forma più o meno appiattita, secondo il valore di σ.

• Se μ varia e σ rimane costante, si hanno infinite curve normali con la stessa forma e la stessa dimensione, ma con l'asse di simmetria in un punto diverso. Quando due distribuzioni hanno media differente, è possibile ottenere l'una dall'altra mediante traslazione o trasformazione lineare dei dati.

2 distribuzioni normali che differiscono sia per la media sia per la dispersione dei dati

Caratteristiche di una distribuzione Normale

Come per le distribuzioni discrete la somma di tutte le probabilità

è uguale a 1, anche per la distribuzione normale si applica questo

concetto

La funzione della distribuzione sarà:

Rappresenta l’area racchiusa dalla curva

Sono la media e la

varianza della

popolazione

La probabilità che un valore estratto a caso da una N(μ,σ2) sia compreso nell’intervallo (μ -σ , μ+σ) è pari a 0.683 e che sia compreso tra (μ -2σ , μ+2σ) è pari a 0,954 Il 95% dei valori centrali di una distribuzione Normale cadono nell’intervallo (μ - 1.96σ , μ+1.96σ) ed il 99% nell’intervallo (μ – 2.58σ , μ+2.58σ)

Non ci sono tavole di probabilità per tutti i possibili valori di μ e σ , esiste una tavola unica che può essere usata per tutte le variabili Normali.

Tale tavola si riferisce ad una particolare distribuzione: la distribuzione Normale Standardizzata.

La distribuzione normale standardizzata o normale ridotta, si ottiene mediante il cambiamento di variabile X in un punto z secondo la formula:

La standardizzazione è una trasformazione che consiste nel:

rendere la media nulla (μ = 0), poiché ad ogni valore viene sottratta la media; prendere la deviazione standard σ come unità di misura (σ = 1) della nuova variabile.

La distribuzione normale ridotta viene indicata con N(0,1), che indica appunto una distribuzione normale con media 0 e varianza uguale a 1. In ogni distribuzione Normale con media μ e σ, la probabilità tra x1 e x2 è la stessa che tra z1 e z2 nella distribuzione Normale Standardizzata, dove z1=(x1- μ)/ σ z2=(x2- μ)/ σ

Probabilità della curva normale

standardizzata e relative tavole

Le tavole di probabilità della distribuzione normale vengono utilizzate per due scopi:

1. Per calcolare l’area compresa tra due determinati valori della variabile oggetto di studio;

2. Per conoscere la quantità dei punteggi compresi tra due valori di una variabile casuale.

Probabilità della curva normale standardizzata e relative tavole

• Osservando la tavola si troveranno i punti z nella colonna di sinistra con una cifra decimale; la seconda cifra decimale è posta nella prima riga in alto della stessa tavola.

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In termini pratici…

Supponiamo di voler conoscere l’area compresa tra le ordinate corrispondenti a z=0 e z=1,96.

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• Osservando la colonna dei punti z, si deve scendere fino a trovare z=1,9 e, rimanendo nella stessa riga fino a trovarsi in quella indicata con 6.

• Il punteggio che

troverete in quel

punto indica la

porzione di area

compresa tra le

due ordinate:

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Poiché l’area totale sotto la curva alla destra dell’ordinata corrispondente a z=0,00 è

0,5000, l’area alla destra dell’ordinata di z =1,96 sarà:

0,5000-0,4750= 0,0250.

• Supponiamo di voler conoscere la porzione di area sotto la curva tra le ordinate corrispondenti a z=-1,00 e z=+1,00.

Cercando nella tabella troverete che la porzione di area sotto la curva compresa z=0,00 e z=1,00 è 0,3413. Dalla porzione opposta della curva si troverà ovviamente lo stesso valore

• quindi la proporzione di area si otterrà sommando i due valori: 0.3413+0,3413=0,6826.

• Supponiamo ora di voler trovare l’area sotto la curva compresa tra z=0,50 e z=2,50.

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• Poiché le tavole danno solo le aree a partire dal punto z=0,00, il calcolo richiede il seguente passaggio: – Calcolare l’area tra le ordinate corrispondenti a z=0,00 e

z=0,50

Calcolare l’area tra z=0,00 e z=2,50

Sottrarre la porzione di area che va da z=0,00 a z=0,50 a quella

che va da z=0,00 a z=2,50

,4938 - ,1915 = ,3023

Esercizio

Si consideri una popolazione con altezza distribuita in maniera Gaussiana con media (µ) =172,5 cm e deviazione standard (σ) = 6,25 cm. Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190?

X = 190

µ =172,5

σ = 6,25

Si consideri una popolazione con altezza distribuita in maniera Gaussiana con media (µ) =172,5 cm e deviazione standard (σ) = 6,25 cm.

Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione con un’altezza compresa tra cm 165 e175?

X1 = 165

µ =172,5

σ = 6,25

X2 = 175

P(X1)=P( 0<X1<Z1)= 0,3849

P(X2)= P(0<X2<Z2)= 0,1554

0,3849 0,1554

…derivazioni della curva normale…

• Date n variabili casuali indipendenti x1, x2, …, xn, normalmente distribuite con μ = 0 e σ = 1, il χ2 è una variabile casuale data dalla somma dei loro quadrati.

• È un metodo di inferenza statistica che non richiede delle ipotesi a priori sul tipo o sulle caratteristiche della distribuzione.

• È molto utile nella fase iniziale dell’analisi statistica quando si cercano le variabili più significative e le relazioni tra esse.

DISTRIBUZIONE DEL CHI QUADRATO

DISTRIBUZIONE DEL CHI QUADRATO

• Si basa sul confronto fra FREQUENZE OSSERVATE NEL CAMPIONE e FREQUENZE ATTESE

• La funzione di densità del χ2 è determinata solo dal parametro “numero di gradi di libertà”, pertanto viene scritta come χ2

(ν). • La distribuzione χ2 parte da GDL=1 e

al suo aumentare assume forme sempre diverse, fino ad una forma approssimativamente normale per GDL = 30

Caratteristiche della distribuzione del χ2

• È una somma di quadrati e per questo motivo i suoi valori sono sempre positivi e compresi nell’intervallo (0; +∞)

• È asimmetrica

• Tende alla simmetria quando i gdl tendono ad infinito

• È asintotica

Caratteristiche della distribuzione del χ2

• Il test statistico perde di attendibilità quando il numero di osservazioni è inferiore a 30

– Con pochi dati le variazioni casuali divengono molto ampie tanto da non poter rifiutare mai l’Ipotesi nulla con una probabilità ragionevolmente bassa.

• Per campioni di dimensioni inferiori a 200 (o 100) ma comunque superiori a 30 si deve apportare la CORREZIONE DI YATES

…derivazioni della curva normale…

• Considera le relazioni tra media e varianza, in campioni di piccole dimensioni, quando si utilizza la varianza del campione.

DISTRIBUZIONE DELLA t DI STUDENT

Quando non si conosce la varianza della popolazione usiamo la VARIANZA CAMPIONARIA s2

Gdl= N-1

• Rispetto alla curva normale è più bassa

• È simmetrica

• Le frequenze sono maggiori agli e quando il numero dei GDl è molto piccolo

• Quando i Gdl tendono all’infinito la curva si approssima a quella normale

…derivazioni della curva normale…

• Corrisponde al rapporto di 2 variabili casuali χ2 indipendenti, divise per i rispettivi gradi di libertà

• Questo rapporto varia tra 0 e +∞

• La curva dipende dai Gdl e dal livello di probabilità α

DISTRIBUZIONE F di FISHER