Probabilità. Un percorso didattico motivazioni, valutazione classica L. Cappello 23 aprile 2014 1 Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Probabilità. Un percorso didatticomotivazioni, valutazione classica

L. Cappello

23 aprile 2014

1Didattica probabilità e statistica PAS 2014

Un percorso

idee e spunti da attività realizzate nell’ambito del Progetto Lauree Scientifiche di Trento (PLS)

contributi del Laboratorio di didattica e comunicazione della Matematica dell’Università di Trento … Francesca Mazzini


Un percorso – I contenuti

- situazioni motivanti

- valutazioni di probabilità

- eventi non “elementari” e legge della moltiplicazione

- probabilità di eventi che dipendono da altri - giochi d’azzardo e probabilità

- primi elementi di statistica descrittiva


Un percorso – Gli aspetti in esame

- modalità di presentazione dei concettiper costruire significati degli oggetti matematiciaffinché i saperi siano disponibili a lungo

- contestualizzazione in un curriculum coerenteparti di un percorso, non episodi

- competenze (abilità, capacità …) sottesematematiche e trasversali

- approccio laboratorialenon legato a luogo fisico ma modo attivo di operare

… per compiere scelte didattiche efficaci

La matematica non è uno sport per spettatori G. Polya

non fa scienza, senza lo ritenere , aver inteso Dante Alighieri


Un percorso – I motivi del docente

Quali sono i vostri motivi per insegnare la probabilità?

“Ormai da molto tempo mi sono convinto che non si può ottenere una buona formazione culturale dei giovani senza utilizzare l’immensa ricchezza concettuale ed euristica della probabilità e della statistica … intesa … come riflessione su alcuni fondamentali processi di conoscenza … e non solo comestrumento fondamentale per le scienze sperimentali ed umane”.

Giovanni Prodi “... nessun argomento ha valore o interesse di per sé, ma ogni argomento lo acquista se introdotto al momento giusto in connessione con altre problematiche … sono le connessioni effettive (applicazioni, analogie, …) che danno ai giovani l’impressione di fare scoperte e la soddisfazione di sentirsi creativi”.

Bruno de Finetti


Un percorso – I motivi del docente

“La matematica non è semplicemente numeri, non più di quanto la musica sia semplicemente note. La musica si può amare, ci si può appassionare ad essa. Anche alla matematica ci si può appassionare …. Ogni insegnante deve agire a suo modo, secondo le proprie tendenze. Ognuno deve usare i propri mezzi per interessare gli studenti. Va bene tutto, si ha bisogno di tutto, senza esclusioni”.

S. Lang


Motivazioni iniziali – Giochi d’azzardo

Se gioco “a lungo” al 10 e Lotto diventerò milionario?

Attività. Gli studenti partecipano ad alcuni giochi d’azzardo.Tengono traccia degli esiti.

Ha rilevanza sociale

spazio agli interventi degli studentile risposte non subito, ma durante il percorso


Motivazioni iniziali – Test clinici

Risulto positivo al test per l’HIV. Sono certamente malato?

“Lei è sieropositivo”. Ma era falso.

• Sapendo che il test “Elisa” ha una sensibilità del 99,9%, vuol dire che al 99,9% ho contratto l’HIV?

• Qual è la probabilità che il test “Elisa” dia esiti errati?

probabilità che un individuo malato

risulti positivo al test

… per rispondere servono ulteriori ipotesi


Motivazioni iniziali – Test clinici

- Studio su medici tedeschi: sono fornite loro informazioni analoghe.

Secondo alcuni la probabilità di malattia è del 90% (ma è il 9%!).

- Test antidoping: M.D. Slaney squalificata nel 1996.

Probabilità che un atleta sia positivo a quel test e non dopato = 1%. Significa: positivo al test = dopato al 99%?No. La probabilità che sia dopato è dell’ 84,7%. 90.000 ogni anno effettuano il test …“molti” positivi ma innocenti.


Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”. Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete?

“TTTTTTTTTT” “TCTCCTCTTC”

Motivazioni iniziali – Misconcetti

Regolarità

Compensazione“Marta è incinta. Ha già tre bambine. Quindi è più probabile che il prossimo figlio sia maschio.”E’ vero?


Motivazioni iniziali – Misconcetti

Numeri ritardatari

Numeri che non escono

Scommettereste sull’uscita del 5 sulla ruota di Palermo?

- Fino al 1993 i numeri ritardatari comparivano su Televideo

- Gennaio 2005: giocati al Lotto 1,2 miliardi di euro. Il doppio del gennaio 2004. Ma vincite quasi uguali.

… il 53 non usciva da 182 estrazioni sulla ruota di Venezia!

Attività. Prima di ogni estrazione ciascun studente punta sulnumero che preferisce. Il docente su un numero “a caso”.

I numeri estratti


Motivazioni iniziali – Altre situazioni

• Genetica: determinazione del sesso dei figli morbo di Cooley e microcitemia

• Un caso giudiziario: O.J. Simpson e l’omicidio della moglie

Nel 1995 è assolto. Nel 1996 è condannato E’ stata utilizzata la probabilità … male: scelta distorta dei “casi possibili”

Difesa: tra le donne percosse dal compagno, solo lo 0,04% è poi uccisa da luiStudi: tra le donne percosse dal compagno e uccise, il 90% è poi uccisa da lui

si possono proporre all’inizio sotto forma di quesiti o come lettura (eccetto “filtri”), o in seguito come approfondimento


Motivazioni iniziali – Altre situazioni

• Filtri antispam: bloccare le e-mail indesiderate

• Economia: assicurazioni e valutazione soggettiva

• Storia: assicurazioni sul trasporto di merci (XIV secolo)

la storia della probabilità è più antica della storia


Valutazioni di probabilità – Un pb per iniziare

Mettiamoci le mani!

Lanciamo due dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6. Su quale punteggio (somma dei due numeri usciti) scommettete?Perché?

Una questione più semplice

Lanciamo un dado. Qual è la probabilità che esca “6”?

Gli studenti esplorano il pb: effettuano prove, si accorgono di alcuni fatti, iniziano ad organizzarli, usano conoscenze pregresse … formulano congetture


Provano a giustificare


un modello

dado blu

6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

"+" 1 2 3 4 5 6

dado nero

il punteggio “7” è quello che compare più volte nella tabellala probabilità che il punteggio sia “7” è: 𝟔𝟑𝟔= 16

la tabella è simmetrica … questo fatto corrisponde a qualche proprietà algebrica?


ሺ𝟑𝟔−𝟔ሻ:𝟐 numero caselle verdi: anche


Probabilità di altri eventi

esce lo stesso numero sui due dadi

il numero che esce sul dado nero è maggiore di quello sul dado blu

dado blu

6 7 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10 114 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

"+" 1 2 3 4 5 6dado nero

dado blu

6 7 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10 114 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

"+" 1 2 3 4 5 6dado neroescono i numeri “2” e “5”

e se estraiamo a caso due numeri, ciascuno da un sacchetto della tombola?



il punteggio è un numero paridado blu

d

p

"+" p ddado nero

il punteggio è “5”il punteggio è “9” da

do blu

6 7 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10 114 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

"+" 1 2 3 4 5 6dado nero

il punteggio è “13”


Dal modello: la probabilità è una misura degli insiemi

x := punteggio dado neroy := punteggio dado blu

punteggio totale = 5 x+y=5 o y=-x+5


Perché lo stesso punteggio su diagonali? Esempio: il “5”.

y

6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

"+" 1 2 3 4 5 6

x


dadi, monete, carte, urna, roulette, Lotto … ma poi non solo giochi!

- sperimentare e manipolare oggetti- modellizzare: tabelle, elenchi, grafi ad albero, schemi …- valutare i risultati numerici

La Lotteria Italia 2014 ha venduto 7,7 milioni di biglietti. Ogni biglietto costa 5 €. Il primo premio consiste in 5.000.000 €.

- Qual è la probabilità di vincere il primo premio, comprando un solo biglietto?- Per quanto tempo dovrei comprare un biglietto al giorno, per essere sicuro di vincere il primo premio (ossia comprando tutti i biglietti)? [> 20.000 anni]- Quanto spenderei in totale?

Valutazioni di probabilità – Consolidamento

Alcuni esempi

Esercizi dai testi in adozione (tra poco)

eventualmente assegnati per il lavoro autonomo


Valutazioni di probabilità – Ancora sulla stima


Disponiamo 100.800.000 schedine una di seguito all’altra. La fila è lunga

15 cm x 100.800.000 = 15.120 km

“E’ come pescare uno dei 20 fogli vincenti tra tutti quelli che formano il percorso.”

Come lo trasformereste in un esercizio per gli studenti?

Il Gratta e Vinci Miliardiario

La probabilità di vincere 500 milioni è𝟐𝟎𝟏𝟎𝟎.𝟖𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎

http://www.iene.mediaset.it/puntate/2014/03/26/toffa-gioco-d%E2%80%99azzardo-le-probabilita-di-vincere_8480.shtml

http://www.iene.mediaset.it/puntate/2014/03/26/toffa-gioco-d%E2%80%99azzardo-le-probabilita-di-vincere_8480.shtml

Valutazioni di probabilità – Ancora sulla stima


Il SuperEnalotto

La probabilità di vincere il primo premio è𝟏𝟔𝟐𝟐.𝟔𝟏𝟒.𝟔𝟑𝟎

Quanto è “piccolo” tale numero? Un’attività.

Quali accorgimenti didattici sono stati utilizzati nel video?

http://www.youtube.com/watch?v=SOB_4PyhpN8 dal minuto 16.06 al minuto 22.21

http://www.youtube.com/watch?v=SOB_4PyhpN8



Attività. Lanciamo in l’alto questa gomma. Su quale faccia scommettete che ricada a terra?

Valutazioni di probabilità – Equiprobabilità

astragalo e giochi dell’antichità

Equiprobabilità: da simmetria, densità, omogeneità …è comunque un nostro giudizio


Le facce non hanno la stessa probabilità di uscita

Valutazioni di probabilità – Dipendono solo dall’evento?

Attività. Da questo mazzo di 40 carte estraggo una carta. Qual è la probabilità che la carta sia un asso?

ma ho tolto gli assi!

La mia valutazione di probabilità dipende dalle informazioni che ho sull’esperimento

- Intolleranza al lattosio. Invito a cena una persona. Qual è la probabilità che sia intollerante al lattosio? Vediamo dei dati.

Il vostro giudizio di probabilità ora è cambiato?

- L’insider trading è reato


Proviamo

Un modo di valutare la probabilità (schema classico):

la probabilità di un evento è data da dove

c è il numero dei casi in cui esso si verifica (casi favorevoli),n è il numero dei casi che possono accadere (casi possibili).Stiamo assumendo che tali casi siano tutti “ugualmente possibili” tra loro.

𝐜𝐧

Valutazioni di probabilità – Facciamo il punto

La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1.

Diremo che l’evento è impossibile se la sua probabilità è 0. Diremo che l’evento è certo se la sua probabilità è 1.


La probabilità è una funzione dalla famiglia degli eventi nell’intervallo [0,1].

Allora, se indichiamo con p una funzione di tale tipo, la probabilità di un evento E si denota con p(E).

Valutazioni di probabilità – Facciamo il punto

Più precisamente

Abbiamo considerato degli eventi (affermazioni sull’esperimento) E a ciascuno di essi abbiamo associato un numero, la probabilità.


Valutazioni di probabilità – Ulteriori ex e letture

• Esercizi sui concetti

a) “Mario ha due figli e almeno uno di essi è maschio”b) “Mario ha due figli e il maggiore di essi è maschio”Qual è la probabilità che anche l’altro figlio sia maschio?

a) casi possibili: MM MF FM; probabilità 1/3b) casi possibili: MM MF; probabilità 1/2

Assumiamo equiprobabili : “nasce un maschio”, “nasce una femmina”.Dalla genetica: il sesso di un figlio è indipendente da quello degli altri.

• Letture: genetica, casi giudiziari, storia (viste in Motivazioni) eventualmente esposizione ai compagni

• Esercizi relativi alla genetica


- Su quale valore della somma scommettete?- Perché si escludono i punteggi dal 3 al 7 e dal 14 al 18?

Valutazioni di probabilità – Ulteriori ex e letture

Se troppo difficile, “repetere le volte” … con il foglio elettronico

Il gioco della zara

Si gioca con tre dadi. A turno, ogni giocatore chiama un numero compreso tra 3 e 18 e poi lancia i dadi. Vince chi per primo ottiene come punteggio il numero chiamato.


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