DISTRIBUSI PROBABILITAS

P. NINA MADIAWATI., MT

Pengertian Probabilitas Probabilitas : Suatu ukuran tentang

kemungkinan suatu peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang.

Tiga hal penting yang berkaitan dengan probabilitas :

1. Percobaan (Experiment):

pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan terjadinya minimal 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang mungkin akan terjadi.

PROBABILITAS

2. Hasil (Outcome)

seluruh kemungkinan peristiwa yang akan terjadi akibat adanya suatu percobaan atau kegiatan.

3. Peristiwa (Event)

kumpulan dari beberapa hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

CONTOH PROBABILITASHasil

Kegiatan melempar dadu

Kegiatan produksi barang

Perlombaan penelitian karya ilmiah mahasiswa

1. Muncul mata dadu 1

2. Muncul mata dadu 2

3. Dst

4. Barang rusak

5. Barang baik

6. Juara 1

7. Juara 2

8. Juara 3

Percobaan

PENDEKATAN TEORI PROBABILITAS

1. Pendekatan Matetatis Probabilitas dari suatu kejadian dapat di hitung

secara pasti. Besarnya ukuran dari nilai probabilitas adalah

0 sampai 1. Probabilitas dinyatakan dalam bentuk pecahan atau persentase

Kemungkinan atau probabilitas terjadinya suatu peristiwa dinotasikan dengan P, sedangkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa dinotasikan dengan Q yang diperoleh dari 1-P

Secara ekstrim nilai atau harga probabilitas dinyatakan sebagai berikut:

- Jika P(A) = 0, maka peristiwa A tidak pernah terjadi

- Jika P(A) = 1, maka peristiwa A akan selalu / pasti terjadi.

2. Pendekatan Empiris

merupakan pendekatan yang sifatnya merupakan suatu hasil uji coba dari beberapa kali pengujian .

HUBUNGAN ANTARA PERISTIWA

1. Mutually Exclusive (kejadian yang saling lepas)

Merupakan suatu peristiwa yang terjadi apabila peristiwa lain tidak terjadi ( tidak pernah terjadi peristiwa secara bersama – sama)

P (A ∩ B) = 0 Contoh : Pengambilan

Hadiah secara acak

A B

2. Independent ( Saling Bebas) Terjadinya suatu peristiwa tertentu tidak

mempengaruhi atau dipengaruhi oleh peristiwa lain, antara peristiwa yang satu dengan yang lain dapat terjadi secara bersama – sama maupun tidak.

Untuk kejadian yang bersifat independent, pada peristiwa yang saling bebas berlaku kata “Dan“, sedangkan yang tidak saling bebas berlaku kata “ atau “.

Contoh: jika dalam keranjang terdapat 12 buah kelereng berwarna merah, 8 buah kelereng berawarna putih, dan 10 buah kelereng warna hijau, yang kemudian dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 6 buah berturut – turut.

3. Peristiwa yang bersifat kondisional atau bersyarat

Terjadinya suatu peristiwa didahului dengan peristiwa tertentu, atau suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa lain telah terjadi.

Contoh: peristiwa pengambilan sebuah produk yang rusak yang dihasilkan oleh suatu mesin tertentu pada perusahaan.

4. Exhaustive (bersifat terbatas) Peristiwa yang terjadi jumlahnya terbatas,

artinya banyaknya macam peristiwa yang terjadi adalah terbatas.

Contoh: sebuah mata uang logam hanya mempunyai 2 peristiwa, karena mempunyai 2 permukaan.

Kesimpulan:

Berdasarkan 3 peristiwa yang pertama dapat diperoleh harga (nilai probabilitas), sedangkan yang terakhir akan diperoleh banyaknya peristiwa yang diharapkan terjadi.

Rumus Dasar Probabilitas berdasarkan Hubungan Peristiwa

Yang terjadi Rumus dasar menentukan harga probabilitas:

Di mana :

P(A) : probabilitas peristiwa A

Q(A) atau P(A’) : probabilitas tidak terjadinya peristiwa A

X : frekuensi (banyaknya) terjadinya peristiwa A

n : peristiwa terjadinya seluruh peristiwa

)(1)'(atau )(1)(

1)(0 ; )(

APAPAPAQ

APn

xAP

1. Mutually Exclusive ( saling meniadakan)

Untuk kejadian (peristiwa) yang lebih banyak (lebih dari dua), dapat dilambangkan sampai n, yaitu:

P(A atau B) = P(A U B)

P(A U B) = PA + PB

P(A U B U …n) = PA + PB + … + Pn

Contoh

Kegiatan produksi yang dilakukan oleh seorang karyawan di sebuah perusahaan sepatu, per hari dalam satu pasang

Jenis sepatu A B CJumlah

ProduksiJenis Kegiatan

Produk baik (B) 100 50 20 170Produk rusak ( R ) 50 25 5 80Jumlah Produksi 150 75 25 250

Tentukan probabilitas dari masing – masing jenis sepatu

Jawaban :

Probabilitas produksi sepatu A :

P(A) = 150/250 = 0,60 Probabilitas produksi sepatu B:

P(B) = 75/250 = 0,30 Probabilitas produksi sepatu C:

P(C) = 25/250 = 0,10

Tentukan besarnya probabilitas A atau B atau C : P (A U B U C) = P(A)+ P(B) + P( C) P (A U B U C) = 0,60 + 0,30 + 0,10 P (A

atau B atau C) = 1,00

Berapakah besarnya probabilitas kejadian produksi sepatu A atau sepatu C :

P (A atau C) = P(A) + P(C)

= 0,60 +0,10 = 0,70

2. Independent (Bersifat bebas)

Probabilitas terjadinya peristiwa secara bersamaan, misalnya A “dan” B adalah:

P ( A ∩ B ) = PA x PB

Probabilitas terjadinya peristiwa secara tidak bersamaan, misalnya A terjadi “atau” B terjadi adalah:

P ( A U B) = PA+PB - P(A ∩ B)

P (A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) – P(A∩B∩C)

Contoh1. Berapa probabilitas sebuah kartu yang dipilih

secara random dari tumpukan kartu standar adalah raja hati ( the king of heart) ?

Jawaban: Jumlah kartu standar : 52 kartu Jumlah kartu raja: 4 kartu → P(A) = 4/52 Jumlah kartu hati: 13 kartu→ P(B) = 13/52 Raja dan Hati : P(A dan B) = 1/52 P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

P(AUB) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52= 0,3077

Contoh Dari tabel diatas, dapat diketahui bahwa

kegiatan produksi barang baik dan sepatu jenis A sebanyak 100 pasang, kegiatan produksi barang rusak dan sepatu jenis B sebanyak 25 pasang. Tentukanlah probabilitas barang baik dari jenis A.

Jawaban:

P(B) = 170/250 = 0,68

P(A) = 150/250 = 0,60

P(BA) = P(B) x P(A) = 0,68 x 0,60 = 0,4080

3. Bersifat bersyarat ( kondisional) Misalkan ada dua peristiwa, yaitu peristiwa

A dan peristiwa B, jika peristiwa B (kedua) terjadi setelah peristiwa A (pertama).

Penulisan :

PA : probabilitas peristiwa yang pertama

P(BI A) : probabilitas B akan terjadi dengan syarat A terjadi lebih dulu. ( garis tegak lurus berarti “ syarat “).

P ( A dan B) = P(A) x P(BI A)

Contoh Jika dalam keranjang terdapat 12 buah

kelereng berwarna merah, 8 buah kelereng berwarna putih, dan 10 buah kelereng berwarna hijau, yang kemudian dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 6 buah berturut – turut tanpa pengembalian, maka berapakah probabilitasnya bahwa:

a. Kelereng yang terambil adalah 2 warna merah, 3 warna putih, dan sisanya hijau.

b. Enam – enamnya berwarna putih

c. Empat berwarna hijau dan sisanya merah

Jawaban Jumlah kelereng seluruhnya adalah 30 buah,

maka probabilitas masing – masing kelereng adalah:

P(Merah) : 12/30 P(Putih) : 8/30 P(Hijau) : 10/30

a. Kelereng yang terambil adalah 2 merah, 3 putih, dan 1 hijau.

00104,0)(25

10

26

6

27

7

28

8

29

11

30

12)(

HPPPMMP

xxxxxHPPPMMP

b. Enam – enamnya berwarna putih

c. Empat berwarna hijau dan sisanya merah

0,000047 putih) berwarna 6(25

3

26

4

27

5

28

6

29

7

30

8)(

P

xxxxxppppppP

0016,0)(26

11

26

12

27

7

28

8

29

9

30

10)(

MMHHHHP

xxxxxMMHHHHP

Teorema BAYES Sebuah formulasi teorema yang didasarkan

pada kemungkinan – kemungkinan terjadinya peristiwa yang saling ketergantungan antara yang satu dengan yang lainnya.

P(A1IB) : kejadian A1 dapat terjadi jika kejadian B diketahui

)()()()(

)()()(

2211

111 ABxPAPABxPAP

ABxPAPBAP

Contoh Dari 200 orang Dosen dan Karyawan suatu

Perguruan Tinggi Swasta, yang bergelar Sarjana Ekonomi ada sebanyak 80 orang, sedangkan jumlah struktural dikampus tersebut ada sebanyak 20 orang, jika ada keharusan bahwa yang menjadi struktural sekurang – kurangnya 60% yang menyandang gelar Sarjana Ekonomi, maka berapakah probabilitasnya bahwa dosen dan karyawan yang duduk sebagai tenaga struktural di perguruan tinggi tersebut?

Jawaban Diketahui: N = 200 orang Dosen & Karyawan Karyawan & Dosen yang bergelar S.E (B1) : 80 orang Yang tidak bergelar S.E (B2) : 200 – 80 = 120 orang Jumlah Dosen & Karyawan yang duduk di struktural (A1) :

20 orang Ada keharusan bahwa 60% dari karyawan dan dosen yang

duduk di struktural bergelar S.E → (B1I A1) = 0,6 x 20 = 12 orang

Jumlah karyawan & dosen yang bergelar SE, tetapi tidak duduk sebagai struktural → (B1I A2) = 80 – 12 = 68 orang.

Jumlah karyawan & dosen yang duduk di struktural tetapi tidak menyandang gelar SE → (B2 IA1 ) = 20 – 12 = 8 orang

Jumlah karyawan & Dosen yang tidak menyandang gelar SE dan tidak duduk di struktural → (B2IA2) = 120 – 8 = 112 orang

Peristiwa P(A1) P(A2) JumlahP(B1) 12 68 80P(B2) 8 112 120

Jumlah 20 180 200

180

68)(

20

12)(

200

180)(

200

20)(

2111

21

ABPABP

APAP

15,04,0

06,0

18068

200180

2012

20020

2012

20020

)(

)()()()(

)().()(

1

212111

1111

IBAP

IABPAPIABPAP

IABPAPIBAP

Maka probabilitas Dosen & Karyawan yang duduk Sebagai tenaga struktural di perguruan tinggi tersebutAdalah 0,15

Rumus Permutasi

Merupakan penyusunan objek – objek sejumlah n yang tiap-tiap kali diambil sejumlah r dengan memperhatikan tata susunan yang terjadi.

Jika n = r, maka: nPr = nx(n-1)x(n-2)x…! = n! Jika n < r, maka:

nPr = n x (n-1) x (n-2)x…x(n-r+1)

)!(

!

rn

nPrn

Jika sejumlah n objek dibedakan m macam kelompok, masing – masing terdiri dari r1,…,rm objek yang sama sehingga:

r1 + r2 + … + rm = n

Maka :

!...!!

!

21),...,,( 21

mrrrn xrxxrr

nP

m

Contoh

Ada berapa kemungkinan susunan yang terjadi dari tiga buah bank, yaitu BNI, Bank Permata (BP), Bank Bukopin (BB), apabila setiap susunan terdiri atas dua bank.

Jawaban:

6)!23(

!3

)!(

!23

rn

nP

Rumus Kombinasi

Sejumlah cara untuk memilih r ojek dari suatu kelompok n objek tanpa mengindahkan susunan / urutan

Rumus :

)!(!

!

rnr

nCrn

Contoh

Jika terdapat 4 buah bank, yaitu BNI, Bank Exim (BE), Bank Permata (BP), dan BCA, akan melakukan penggabungan. Penggabungan dilakukan antara dua bank yang berbeda. Berapa kemungkinan yang terjadi dalam peristiwa ini jika kita menggunakan kombinasi:

Jawaban

6!2!.2

!4

)!24(!2

!424

C

Distribusi Probabilitas

Suatu daftar keseluruhan hasil suatu percobaan yang disertai dengan probabilitas masing-masing hasil tersebut.

Distribusi frekuensi yang didalam interval kelas-interval kelasnya merupakan variabel random, dan sering digunakan sebagai pengganti distribusi sebenarnaya.

Chap 4-35

Sample Space

The Sample Space is the collection of all possible events

e.g. All 6 faces of a die:

e.g. All 52 cards of a bridge deck:

Variabel Random

1. Variabel Random Diskrit : merupakan bilangan yang berbentuk bilangan bulat, seperti: jumlah orang, banyaknya kendaraan bermotor, dll.

Beberapa distribusi yang dibentuk: Binomial, Poisson, Multinomial, Hipergeometrik.

2. Variabel Random Kontinu : hasil pengukuran dan atau bilangan sembarang dalam interval tertentu, seperti: besarnya curah hujan, nilai mata uang, umur seseorang,dll.

Beberapa distribusi yang dibentuk: Normal, distribusi t, Fisher, Chi squere.

Distribusi Variabel Random Diskrit

Distribusi Binomial : distribusi kemungkinan teoritis Ciri – ciri :

1. Probabilitasnya Independent (saling bebas)

2. Hasil percobaanya mempunyai dua “outcomes” nilai yang mungkin terjadi, yaitu : sukses & gagal.

3. Jumlah percobaan biasanya tertentu(n)

Rata-rata (λ) = n.p

Standar deviasi (σ) = √n.p.q

Menentukan Nilai Kemungkinan

Dimana:

n : banyaknya sampel

x : banyaknya sukses/gagal dalam sampel

P : Probabilitas sukses

q : Probabilitas gagal →(1-P)

C : simbol kombinasi

pqqp

qpCppxnx

nsuksesP

ppCpnxPsuksesP

xnxxn

xnx

xnxxn

1atau 1

)1()!(!

!)(

)1(.),/()(

Contoh Dari 100 unit barang yang diproduksi oleh

mesin I diperkirakan gagal sebesar 15 %, selanjutnya seorang manajer dari perusahaan itu ingin mengetahui kebenaran tersebut dan kemudian diambil sampel sebanyak 10 buah unit barang yang dihasilkan dari produksi mesin I untuk diteliti. Berapakah probabilitas dari 10 unit barang tersebut akan berada dalam kondisi:

a. Rusak sebanyak 6 buah

b. Tidak ada satupun yang baik

c. Setidaknya ada sebanyak 7 buah yang rusak

Jawaban

Sampel (n) = 10, p(rusak) = 0,15, q(baik) = 1 – p = 1 - 0,15 = 0,85

a. Kondisi rusak sebanyak 6 buah →P(x=6)

00125,0)85,0()15,0)(210()6(

)85,0()15,0()!610(!6

!10)15,01()15,0()6(

)1()(

46

466106610

xp

Cxp

ppCxXp xnxxn

b. Tidak ada satupun yang baik p(x=10)

10

010

1010101010

10.58)1)(0000000058,0)(1()10(

)85,0()15,0()!1010(!10

!10)10(

)85,0(15,0)10(

xp

xp

Cxp

c. Paling sedikit ada 7 buah yang rusak p(x ≥7 )

)}10()9()8()7({1)7(

1)10(...)2()1()0(

xpxpxpxpxp

xpxpxpxp

999,0)00005213,0(1)7(

00005213,0))10(...)8()7((

000000058,0)10(

00000032,0)9(

0000083,0)85,0()15,0()!810(!8

!10)8(

000126,0)85,0()15,0)(120()7(

)85,0()15,0()!710(!7

!10)85,0()15,0()7(

28

37

3737710

xp

xpxpxpP

xp

xp

xp

xp

Cxp

Distribusi Multinomial

Perluasan dari distribusi Binomial. Ciri – cirinya:

1. Peristiwanya Independen

2. Setiap percobaan tunggal mempunyai hasil kejadian lebih dari 2 dan semuanya disebut sukses.

3. Peluang terjadinya setiap outcomes disebut p1,p2,p3,…,pn sehingga ∑p(n) = 1

4. Digunakan pada percobaan tertentu.

Rumus

Dimana:

p : probabilitas

k : kejadian yang mungkin

nkn

kkn ppp

kkk

nkkkp ...

!!...!

!),...,,( 21

21321

21

Contoh

Dalam sebuah kotak, terdapat sebanyak 15 % bola merah, 50 % bola putih, dan sisanya bola biru. Dari kotak diambil sampel sebanyak 10 buah bola secara random. Berapakah probabilitasnya dari sampel tersebut jika:

a. 3 buah bola merah, 1 buah bola putih, dan sisanya bola biru.

b. Satu merah dan sisanya putih

Jawaban Diketahui : p(merah) = 0,15, p(putih) = 0,50,

p(biru) = 0,35

a. Probabilitas 3 merah, 1 putih, dan sisanya biru.

b. Probabilitas 1 merah, dan sisanya putih.

0026,0)35,0()50,0()15,0(!6!1!3

!10)106,1,3( 613 p

00293,0)35,0()50,0()15,0(!0!9!1

!10)100,9,1( 091 p

Distribusi Hipergeometrik Suatu bentuk distribusi yang diperoleh dari

hasil percobaan dengan pengambilan sekaligus secara acak (random) dan tanpa pengembalian.

Ciri – cirinya:

a. Hanya terdapat dua kemungkinan hasil

b. Percobaan tidak bersifat independen, sehingga nilai probabilitas suksesnya tidak sama untuk setiap percobaan

c. Distribusi merupakan hasil dari suatu perhitungan jumlah sukses pada sejumlah percobaan tertentu

Rumus

Dimana: N : besarnya populasi S : jumlah sukses dalam populasi r : jumlah sukses yang menjadi perhatian.

( nilainya adalah 0,1,2,3,…) n : besarnya sampel atau banyaknya percobaan C : simbol Kombinasi

nN

rnSNrS

C

CCrP

))(()(

Contoh

Misalnya 50 alat penerima diproduksi selama minggu ini. 40 produk diantaranya dapat beropersi secara sempurna, dan 10 produk mempunyai sekurang – kurangnya sebuah kecacatan. Sebuah sampel berukuran 5 dipilih secara acak. Dengan menggunakan formulasi geometrik, berapa probabilitas 4 dari 5 akan beroperasi secara sempurna?

Jawaban Diketahui: N : 50 ( jumlah alat penerima yang dihasilkan ). n: 5 ( besarnya sampel) S : 40 ( jumlah alat penerima dalam populasi yg

beropersi dengan sempurna) r : 4 ( jumlah dlm sampel yg beroperasi dg sempurna )

431,02118760

10.91390

)!550(!5!50

))!110(!1

!10)(

)!440(!4!40

()4(

))(())(()4(

550

110440

550

454050440

P

C

CC

C

CCP

Distribusi Poisson

Distribusi ini digunakan sebagai model yg menggambarkan distribusi kesalahan pada pemasukan data, ketidak-sempurnaan, jumlah komponen cacat, jumlah pelanggan yg menunggu pelayanan.

Syaratnya : probabilitasnya(P) ≤ 0,01 dan jumlah percobaan/ sampel (n) ≥ 50

Rumus

Rata – rata (λ) = n . P Standar deviasi (σ) = √ n.p.q

Rumus Distribusi Poisson :

Dimana:

e : bilangan konstan 2,71828

x : jumlah kemunculan (sukses)

!)(

x

exP

x

Contoh

Probabilitas bahwa akan terdapat telur yg pecah dalam sebuah keranjang telur diperkirakan sebanyak 0,7% dan apabila selanjutnya diambil sampel sebanyak 1 keranjang yg berisi 200 butir telur untuk dilakukan penelitian terhadap prakiraan di atas, berapakah kemungkinannya akan terdapat 3 butir yg rusak?

Jawaban

Diketahui :

p = 0,7 % = 0,007

λ = n.p = (200)(0,007) = 1,4

1128,0)3(!3

)71828,2()4,1(

!3

)4,1()3(

4,134,13

P

eP

Distribusi Variabel Random Kontinu

Distribusi Normal Karakteristik Distribusi Normal:

1. Kurva normal berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak yang terletak tepat di tengah distribusi

2. Grafik distribusi normal selalu berada diatas sumbu x dan tidak pernah memotong sumbu x tersebut (asimptotis).

Nilai Distribusi Normal

Dimana : x : nilai dari suatu pengamatan atau

pengukuran tertentu μ : rata – rata hitung dari distribusi σ : standar deviasi dari distribusi

x

Z

Diagram Kurva Distribusi Normal

μ0,5000 0,5000

Skala Z

Contoh Dari hasil pengamatan terhadap 500 buah kopi,

menunjukan bahwa rata-rata diameter buah kopi tersebut 15,1 mm dengan standar deviasi sebesar 15 mm. Dengan asumsi bahwa biji kopi yang diamati tersebut memiliki diameter berdistribusi normal, diantara biji – biji kopi tersebut:

a. Berapa yang memiliki diameter antara 12,0mm sampai dengan 15,5mm

b. Berapa biji kopi yang memiliki diameter setidaknya 15,5 mm

c. Berapa biji kopi yang memiliki diameter paling tinggi 12,8

JawabanDiketahui :

N = 500 ; μ = 15,1 ; σ = 15,0 mm

a. Nilai probabilitas biji kopi dengan diameter 12,0 s.d 15,5 mm → P(12,0 ≤ x ≤ 15,5)

0952,00120,00832,0)027,0207,0(

)027,0207,0(

0,15

1,155,15

0,15

1,150,12)5,150,12(

027,000207,0

Zp

ZZZp

Zxp

Jadi jumlah biji kopi yg berdiameter antara 12,0-15,5 mm, adalah : 0,0952 x 500 = 47,6 → 48 buah

b. Nilai probabilitas biji kopi yang memiliki diameter setidaknya 15,5 mm → P(x ≥ 15,5)

488,00120,0500,0)027,0(

027,00,15

1,155,15)5,15(

Zp

Zxp

Jadi banyaknya biji kopi yang diameternya lebih dari 15,5 mm adalah: 0,488 x 500 = 244 buah

c. Nilai probabilitas biji kopi yg memiliki diameter paling tinggi 12,8 mm → P(x ≤ 12,8)

4404,00596,0500,0)153,0(

0,15

1,158,12)8,12(

Zp

xp

Jadi biji kopi yg mempunyai diameter kurang dari 12,8 mm adalah: 0,4404 x 500 = 220,25 → 220 buah