PROBABILITAS DAN

STATISTIKABAB 1

PELUANG

PEMBAHASAN Ruang sampel Kejadian Menghitung titik sampel Peluang suatu kejadian Aturan penjumlahan Peluang bersyarat Aturan perkalian Aturan Bayes

RUANG SAMPEL Himpunan semua hasil yang mungkin

dari suatu percobaan statistika disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang T.

Contoh:Ruang sampel sebuah dadu adalah:T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

KEJADIAN Suatu kejadian adalah himpunan

bagian dari ruang sampel. Contoh:

Kejadian A adalah hasil lemparan suatu dadu yang dapat dibagi tiga. Maka hasilnya adalah A = { 3, 6 }

KOMPLEMEN Komplemen suatu kejadian A terhadap

T ialah himpunan semua unsur T yang tidak termasuk A.

Komplemen A dinyatakan dengan lambang A’.

Contoh : Komplemen dari A = { 3, 6 } pada lemparan sebuah dadu adalah A’ = { 1, 2, 4, 5 }

IRISAN Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan

dengan lambang A ∩ B, ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B.

Contoh:Pada lemparan sebuah dadu, misalkan A kejadian bahwa bilangan genap yang muncul dan B kejadian bahwa bilangan lebih besar dari 3 yang muncul. Maka A = {2,4,6} dan B = {4,5,6}sehingga A ∩ B = {4,6}

GABUNGAN Gabungan dua kejadian A dan B,

dinyatakan dengan lambang A U B, ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau keduanya.

Contoh:A = { a,b,c } dan B = { b,c,d,e}maka A U B = { a,b,c,d,e }

MENGHITUNG TITIK SAMPEL Bila suatu operasi dapat dilakukan

dengan n1 cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2…nk cara

PERMUTASI Suatu permutasi adalah urutan yang

berbeda-beda yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda.

Contoh:Dari tiga huruf a, b, c, permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, dan cba.

Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!

Seperti contoh diatas, permutasi tiga huruf adalah 3! = (3)(2)(1) = 6

PERMUTASI… Banyaknya permutasi n benda berlainan

bila diambil r sekaligus adalah

Contoh:Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua.Banyak titik sampel =

= (20)(19) = 380

)!(

!

rn

n

!18

!20

PERMUTASI… Banyaknya permutasi n benda berlainan yang

disusun melingkar adalah ( n - 1 )! Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda

bila diantaranya berjenis pertama, berjenis kedua, …., berjenis ke k adalah

Contoh:Ada berapa cara menyusun 9 lampu pohon Natal bila 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru?

Banyaknya susunan yang berlainan adalah

= 1260 cara

1n2n kn

!!...!

!

21 knnn

n

!2!4!3

!9

KOMBINASI Pemilihan r benda dari sejumlah n tanpa

memperdulikan urutannya disebut kombinasi.

Contoh:Jika ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, banyaknya cara memilih kelompok yang terdiri 2 kimiawan dan 1 fisikawan adalah:

)!(!

!

rnr

n

r

n

1836!2!1

!3

!2!2

!4

1

3

2

4

PELUANG SUATU KEJADIAN Peluang suatu kejadian A adalah jumlah

bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(Ø) = 0, dan P(T) = 1

Contoh:Sebuah mata uang dilempar dua kali. Berapa peluang paling sedikit muncul muka sekali?

Ruang sampelnya adalah T = { MM, MB, BM, BB }

maka tiap titik sampel memiliki bobot = ¼Bila A menyatakan kejadian bahwa paling sedikit satu muka muncul, maka A = { MM, MB, BM }P(A)= ¼ + ¼ + ¼ = 3/4Jadi peluangnya paling sedikit muncul muka sekali adalah ¾

ATURAN PENJUMLAHAN Bila A dan B dua kejadian sembarang,

maka P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A U B) = P(A) + P(B)

Untuk tiga kejadian A, B, dan C P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

CONTOH Peluang seorang mahasiswa lulus

matematika 2/3 dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnya lulus kedua mata kuliah ¼, berapakah peluangnya lulus paling sedikit satu mata kuliah?

Jawab:Bila M menyatakan kejadian “lulus matematika” dan B “lulus biologi” makaP(M U B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)

= 2/3 + 4/9 – ¼ = 31/36

PELUANG BERSYARAT Peluang terjadinya suatu kejadian B bila

diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat dan dinyatakan dengan P(B|A).

P(B|A) = bila P(A) >0)(

)(

AP

BAP

CONTOH Peluang suatu penerbangan yang telah

terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0,83; peluang sampai tepat waktu P(S) = 0,82 dan peluang berangkat dan sampai tepat waktu P(B ∩ S) = 0,78.

Peluang pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu P(S|B)= = = 0,94

)(

)(

BP

BSP 83,0

78,0

KEJADIAN BEBAS P(A|B) = P(A) Terjadinya B sama sekali tidak

mempengaruhi terjadinya A. Dua kejadian A dan B bebas jika dan

hanya jika P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A)

jika tidak demikian, A dan B tak bebas.

CONTOH KEJADIAN BEBAS Pengambilan dua kartu yang diambil

berturutan dari sekotak kartu dengan pengembalian.A = kartu pertama yang terambil asB = kartu kedua sebuah skopKarena kartu pertama dikembalikan, ruang sampel untuk kedua pengambilan terdiri atas 52 kartu.

P(B|A) = 13/52 = ¼ P(B) = 13/52 = ¼

Jadi, P(B|A) = P(B)Kejadian A dan B dikatakan bebas.

ATURAN PERKALIAN Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada

suatu percobaan, maka P(A∩B) = P(A) P(B|A)

Jadi peluang A dan B terjadi serentak sama dengan peluang A terjadi dikalikan dengan peluang terjadinya B bila A terjadi.

Karena kejadian A∩B dan B∩A ekivalen maka tidaklah menjadi soal kejadian mana yang disebut A dan yang disebut B.

CONTOH Jika kita memiliki kotak berisi 20 sekering, 5

diantaranya cacat. Bila 2 sekering dikeluarkan dari kotak satu demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak), berapakah peluang kedua sekering itu cacat?

JawabA = kejadian bahwa sekering pertama cacatB = kejadian bahwa yang kedua cacatA∩B = kejadian bahwa A terjadi dan kemudian B terjadi setelah A terjadi.P(A) = 5/20 = ¼P(B|A) = 4/19 P(A∩B) = (1/4) (4/19) = 1/19

ATURAN PERKALIAN KHUSUS Dua kejadian A dan B bebas jika dan

hanya jika P(A∩B) = P(A) P(B) Contoh :

Suatu kota memiliki 1 mobil pemadam kebakaran dan 1 ambulans. Peluang mobil pemadam kebakaran siap waktu diperlukan 0,98, peluang ambulans siap waktu dipanggil 0,92. Peluang keduanya siap adalah P(A∩B) = P(A) P(B) = (0,98) (0,92) = 0,9016

ATURAN BAYESA merupakan 2 kejadian yang terpisahE∩A dan E’∩A dapat ditulisA = (E∩A) U (E’∩A) SehinggaP(A) = P [(E∩A) U (E’∩A)] = P (E∩A) + P (E’∩A) = P(E) P(A\E) + P(E’) P(A\E’)

E E’

A

E ∩ AE’ ∩ A

ATURAN BAYES Misalkan kejadian

merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1,2,…,k, Maka untuk setiap kejadian A, anggota T

k k

P(A) = ∑ P(Bi∩A) = ∑ P(Bi) P(A\Bi)

I = 1 I = 1

kBBB ,...,, 21

Misalkan kejadian B1, B2, … Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i = 1,2,…,k, Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam T dengan maka

untuk r = 1,2,….,k

0)( AP

k

iii

rrk

ii

rr

BAPBP

BAPBP

ABP

ABPABP

11

)|()(

)|()(

)(

)()|(

CONTOH Tiga anggota koperasi dicalonkan

menjadi ketua. Peluang Ali terpilih 0,3, peluang Badu terpilih 0,5, sedangkan peluang Cokro 0,2. Kalau Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Badu atau Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Bila seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Cokro terpilih jadi ketua?

JAWAB Kejadian:

A : Orang yang terpilih menaikkan iuran : Ali yang terpilih

: Badu yang terpilih: Cokro yang terpilih

1B

2B

3B

24,0)8,0)(3,0()|()( 11 BAPBP

05,0)1,0)(5,0()|()( 22 BAPBP08,0)4,0)(2,0()|()( 33 BAPBP

)|()()|()()|()(

)|()()|(

332211

333 BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBPABP

37

8

08,005,024,0

08,0)|( 3

ABP