PROBABILITAS DAN STATISTIA

Septian Gusonela125060307111003

BAB 1PROBABILITAS

I.2 Himpunan

Macam – Macam Himpunan

1. Himpunan Semesta

Lambang : S atau U

Himpunan yang memuat seluruh objek pembicaraan.

2. Himpunan kosong

Lambang : { } atau Ø

Himpunan yang tidak memiliki anggota.

Operasi Himpunan1. Operasi Gabungan (union)

Lambang : A U B atau A + BGabungan dari himpunan A atau B adalah semua

unsur yang terdapat di A atau B sekaligus.

2. Operasi Irisan (intersection)Lambang : A ∩ B atau ABIrisan dari himpunan A dan B adalah semua unsur

yang sama di dalam A dan B.

3. Operasi SelisihLambang : A – B atau A ∩ Bc Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua

unsur yang tidak termasuk di dalam B.

Beberapa Aturan dalam Himpunan1. Hukum Komutatif

A U B = B U A

A ∩ B = B ∩ A2. Hukum Asosiatif

(A U B) U C = A U (B U C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)3. Hukum Distributif

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

4. Hukum IdentitasA ∩ S = AA ∩ Ø = Ø

5. Hukum KomplementasiA ∩ Ac = ØA U Ac = S

6. n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

n(AUBUC)= n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)

n(A) = jumlah anggota himpunan A

I.3 ATURAN PROBABILITAS1. Aturan Penjumlahan

a. Peristiwa Saling Lepas

adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi maka kejadian lain tidak akan terjadi.

k

1iik321)A(P)A...AAP(A

b. Peristiwa Tidak Saling Lepas

adalah kejadian dimana jika sebuah kejadian terjadi maka kejadian lain dapat terjadi secara bersamaan.

P (A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2)

2. Aturan Perkaliana. Kejadian Saling Bebas (independen)

adalah kejadian dimana terjadinya peristiwa yang satu tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain.

b. Kejadian Tidak saling Bebas (dependen)adalah kejadian dimana jika terjadi peristiwa yang satu dipengaruhi atau bergantung pada peristiwa lainnya.

)A(Px)A(P)AP(A2121

)A(P

)AA(P)A|P(A

2

21

21

3. PROBABILITAS MARGINAL

Probabilitas marginal adalah probabilitas yang dihitung dari suatu kejadian yang terjadi bersamaan dan saling mempengaruhi.

4. TEOREMA BAYES

Teorema Bayes adalah teorema yang menjelaskan bahwa probabilitas dihitung berdasarkan informasi yang diperoleh dari hasil observasi.

)P(R/S)P(SP(R)ii

k

1iii

ii

i

))P(A/AP(A

))P(A/AP(A/A)P(A

I.4 PERMUTASIPermutasi adalah suatu penyusunan atau

pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.

Klasifikasi Permutasi :1. Permutasi dari n objek tanpa pengembalian

a. Permutasi dari n objek seluruhnyaRumus : nPn = n!

b. Permutasi sebanyak r dari n objekRumus :

c. Permutasi melingkarRumus : (n-1)!

rn r)!-(n

n!nPr ≥

2. Permutasi dari n objek dengan pengembalian

3. Permutasi dari n objek yang sama

... !.n !n !n

n!=,....nn,nPn

321

321

nPr = nr

I.5 KOMBINASIKombinasi adalah suatu penyusunan beberapa

objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.

HUBUNGAN PERMUTASI DENGAN KOMBINASI

atau

r)!-(n r!

n!=C

rn

rnrnC !r=P

!r

PC rn

rn

BAB IIVARIABEL ACAK

II.1 PENGERTIAN

Variabel acak merupakan deskripsi numerik dari hasil percobaan yang menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan.

Keacakan dari suatu variabel acak dinyatakan dengan suatu fungsi distribusi probabilitas :

Fx (X) = P (X ≤ x )

II.2 VARIABEL ACAK MENURUT FUNGSI DISTRIBUSI VARIBEL

1. Variabel acak diskrit

adalah variabel acak yang nilai numeriknya berupa hasil hitungan.

dimana u merupakan fungsi unit step yang didefinisikan

2. Variabel acak kontinu

adalah variabel acak yang nilai numeriknya berupa hasil pengukuran.

dx f(x)x)P(XF(x)

II.3 SIFAT-SIFAT FUNGSI DISTRIBUSI

1. 0 ≤ Fx (X) ≤ 1

2. Fx (-∞) = 0

3. Fx (∞) = 1

4. x1 ≤ x2, Fx(x1) ≤ Fx (x2) → monoton tidak turun

II.4 NILAI HARAPAN Menghitung nilai harapan untuk variabel acak diskrit

Menghitung nilai harapan untuk variabel acak kontinu

))(()(

)()(

xpxxE

atau

xfxxE

dx)x(fx)x(E

II.5 FUNGSI KERAPATAN PROBABILITAS

Didefinisikan sebagai derivatif dari fungsi distribusi :

probabilitas x ≥a dan x ≤ b dinyatakan dalam fungsi distribusinya.

P (a ≤ x ≤ b) =

= Fx (b)- Fx (a)

II.6 SIFAT-SIFAT KERAPATAN PROBABILITAS

1. fx (x) ≥ 0 → fungsi tidak mungkin negatif

2.

= 1- 0 = 1

II.7 MOMENT-MOMENT VARIABEL ACAK 1. Moment yang ke n dari variabel acak didefinisikan :

2. Moment yang pertama (n=1) disebut mean dinotasikan μ : μ = E [X]

3. Moment tengah yang ke n dari x didefiniskan sebagai :

4. Moment tengah yang ke dua disebut varians, dinotasikan :

Var (X ) : σ2= E(x2) – (E(x))2

atau

σ2= Σ(x-µ)2 P(x) = Σ[(x-µ)2 f(x)]

Simpangan Baku = Standar Deviasi = σ

dimana E merupakan operator linier.

II.8 TRANSFORMASI VARIABEL ACAK

Mentransformasi variabel acak X ke dalam variabel acak baru Y dengan menggunakan transformasi Y = g (.). Maka keacakan dari Y :

II.9 MACAM-MACAM TRASNFORMASI VARIABEL ACAK

1. Transformasi monoton naik

P [X ≤ x1 ] = P [Y ≤ y1 ]

P [Y ≤ y1 ] = Fx (x1)

Fungsi kerapatan dari Y :

2. Trasnformasi monoton turun

P [Y ≤ y1 ]= P [X ≥ x1 ]

Fy (y) = 1- Fx (x)

Fungsi kerapatan dari Y :

3. Transformasi naik turun

Py (y0) = P [ Y ≤ y0 ]

Fungsi kerapatan dari Y :

II.10 KOVARIANS

Kovarians adalah pengukuran yang menyatakan variasi bersama dari dua variabel acak. Misalnya kovarians antara dua v.a. diskrit X dan Y dinotasikan σxy dengan rumus :

keterangan :

xi = nilai v.a. x ke i

yi = nilai v.a. y ke i

p(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yi

n

1iiiyixixy)y,p(x ]μ-[y ]μ-[xσ

III.1 Macam-macam model fungsi probabilitas :

1. Model Eksponensial

2. Model Erlang

3. Model Weibull

4. Model Gauss

5. Model Poisoon

6. Model Binomial

1. MODEL EKSPONENSIAL

Fungsi kerapatan probabilitas :

fx(x) =

Fungsi distribusi probabilitas :

Fx(x) = =

E [ ] = =

= = =

E[x] = E[ ] =

Var (x) =

PEMAKAIAN MODEL EKSPONENSIAL

Life time (umur) komponen elektronika Beda waktu antara dua kejadian

2. MODEL ERLANG (N TAHAP ) Fungsi kerapatannya probabilitasnya :

BAB IVVARIABEL ACAK

GABUNGAN

Variabel acak gabungan merupakan beberapa variabel acak yang didefinisikan pada ruang sample yang sama.

IV.1 PENGERTIAN

I. Fungsi distribusi gabungan.

II. Fungsi ditribusi tepi (marginal).

III. Fungsi kerapatan gabungan

IV. Fungsi kerapatan tepi.

V. Dua variabel acak dikatakan independent jika

dan fungsi kerapatannya ,

Fungsi distribusi bersyarat dari variabel acak X. Dengan syarat event B didefinisikan :

Dan fungsi kerapatan bersyaratnya :

Dimana B dalam x atau yang lain.

IV.2 PROBABILITAS BERSYARAT

Fungsi distribusi bila x,y independent :

Fungsi kerapatannya :

Bila x,y independent :

 

Misalkan Z merupakan jumlah dari dua variabel acak X dan Y independen. Maka probabilitas fungsi distribusinya :

x +y =zJika Z merupakan jumlah dari N variabel acak independent.

dimana x merupakan variabel acak dengan fx(x), maka fungsi kerapatannya merupakan konvolusi dari fungsi kerapatan masing masing.

IV.3 JUMLAH DARI BEBERAPA VARIABEL ACAK YANG INDEPENDENT

Moment gabungan dari dua variabel acak X dan Y didefinisikan :

Dan sentral moment gabungannya : (selisih antara gabungan variabel acak dengan rata-rata)

IV.4 MOMENT GABUNGAN BEBERAPA VARIABEL ACAK

Jika X dan Y independent tidak berkolerasi

X dan Y ortoghonal, didapat :

Koefisien korelasi :

Untuk ρ = 0 → X,Y tidak berkorelasi

|ρ| = 1 → X,Y berkorelasi linier mutlak

Misal :

dimana a,b konstanta dan X,Y variabel acak, maka ekspetasi Z :

Var [Z] :

Untuk X,Y tidak berkorelasi → Cxy =0

IV.5 MOMENT DARI JUMLAH BEBERAPA VARIABEL ACAK

E [ x|B] =

E [g (x) |B] =

E (x|a ≤ x ≤ b) =

E(x|Y ≥ a) =

IV.6 EKSPETASI BERSYARAT

Fungsi distribusi probabilitasnya :

Fx(x) =

=

E[x] = var (x) =

3. MODEL WEIBULL Fungsi kerapatan probabilitasnya :

Fungsi distribusi probabilitas :

E[x] =

Var (x) =

Dimana

Pemakaian : untuk menyatakan umur peralatan elektromekanis seperti motor, generator, dll  

4. MODEL GAUSS (NORMAL)Fungsi kerapatan probabilitasnya :

E [x] = μ dan var [x] =

Kalau , maka

PEMAKAIAN MODEL GAUSS

Penyimpanan dari suatu nilai tertentu (kesalahan, noise, dsb ).

Jumlahan dari beberapa variabel acak yang banyak sekali.

5. MODEL POISSON

= λVar [x] = λ λ : rata rata banyaknya kejadian dalam satu selang waktu (per satuan waktu)

PEMAKAIAN MODEL POISSON

Untuk menyatakan banyaknya kejadian yang muncul secara acak dalam selang waktu.

6. MODEL BINOMIAL

PEMAKAIAN MODEL BINOMIAL Menyatakan banyaknya sukses dari m eksperimen yang dilakukan secara independen dengan tiap eksperimen memiliki probabilitas sukses sama dengan p.

BAB V

PROSES ACAK

V.1 PENGERTIAN

Proses acak dinotasikan X(t), dimana X merupakan variabel acak dan t merupakan parameter waktu. Nilai dari X(t) pada saat t sama dengan t1 disebut sebagai state dari proses X(t) pada saat itu.

V.2 KLASIFIKASI PROSES ACAK

1. Proses acak dengan state kontinu dan waktu kontinu (perubahan waktu terus menerus ).

2. Proses acak dengan state kontinu dan waktu diskrit ( perubahan pada waktu tertentu ).

3. Proses acak dengan state diskrit dan waktu kontinu

4. Proses acak dengan state diskrit dan waktu diskrit

V.3 MACAM MACAM PROSES ACAK

1. Proses acak independent.

2. PROSES ACAK MARKOV

3. PROSES ACAK STATIONER

 

V.4 KEJADIAN KHUSUS PADA PROSES ACAK STATIONER

1. Proses acak stationer orde satu.

Proses acak dikatakan orde satu jika fungsi kerapatan pada orde pertamanya tidak berubah dengan adanya pergeseran dari waktu semula.

Maka

Jadi nilai mean dari proses ini adalah konstan.

2. PROSES ACAK STATIONER ORDE DUA

Suatu proses dikatakan stationer orde dua. Jika fungsi kerapatannya memenuhi :

Fungsi auto korelasinya :

3. WIDE SENSE STATIONER

Suatu proses dikatakan wide sense stationer jika mempunyai :

1.

2.

V.5 FUNGSI AUTOKORELASI

Fungsi autokorelasi dari X(t) → Rxx (t1,t2).

Sifat sifat fungsi autokorelasi :

1. Rxx fungsi genap → Rxx = Rxx

Bukti :

2.

Bukti :

3.

4. Bila tidak memiliki komponen periodik, maka

5. Bila X(t) periodik, maka juga periodik dengan periode yang sama.

V.6 FUNGSI KORELASI SILANG

Diberikan proses acak X(t) dan Y(t), maka fungsi korelasi silang antara X(t) dan Y(t) :

atau

dimana , pada umumnya tidak sama dengan

Proses acak X(t) dan Y(t) disebut wide sense gabungan jika :

1. X(t) merupakan wide sense, dimana

E [ X (t) ] → konstan

2. Y (t) merupakan wide sense, dimana

E [ Y (t) ] → konstan

3.

V.7 SIFAT SIFAT FUNGSI KORELASI SILANG

1.

bukti :

2.

Bukti :

= Rxx (0)