PROBABILITAS - · PDF fileUntuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas ... Beberapa permutasi dalam STATISTIKA carilah permutasi ... G. JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN 1

1

PROBABILITAS

A. PENGERTIAN PROBABILITAS

Probabilitas atau Peluang adalah : derajat tau tingkat kepastian atau keyakinan

dari munculnya hasil percobaan statistic. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P

Untuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas terlebih dahulu harus

memahami analisis kombinatorial, yaitu analisis bilangan factorial,permutasi dan

kombinasi. Secar umum probabilitas dapat dipahami sebagai suatu nilai dari 0 s/d 1

yang mennjukkan seberapa besar terjadinya suatu peristiwa, suatu kejadian (event),

adalah sekumpulan atau lebih dari hasil-hasil yang mungkin pada suatu eksprimen.

Adapun hasil (out come) adalah sekumpulan data yang merupakan seluruh hasil dari

eksprimen. Sedangkan eksprimen sendiri menjelaskan suatu proses yang dilakukan

untuk mendapat hasil-hasil yang diamati lebih jauh.

Sebagai contoh, proses pelemparan dadu untuk mendapatkan hasil adalah

merupakan suatu eksprimen, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah keseluruhan hasil (out

comes) yang mungkin terjadi. Kumpulan angka genap (2, 4, 6) atau kumpulan angka

ganjil (1, 3, 5) adalah kejadian (event).

Rumus peluang:

n

m

Sn

AnAP ==

)(

)()(

B. TUJUAN DAN KEGUNAANYA :

Tujuanya :

dengan adanya tujuan probabilitas, mahasiswa akan dapat:

1. Menjelaskan peranan statistic dalam mengambil keputusan.

2. membedakan pengertian deskriptif dengan inferensia.

3. dapat menyajikan data dalam bentuk tabel dan grafik.

4. memudahkan mahasiswa dalam mengolah data.

2

Kegunaanya :

Dengan adanya statistic probabilitas atau peluang kita dapat memperkirakan

kejadiaan-kajadiaan yang akan muncul.Banyak kejadian dalam kehidupan sehati-hari

yang slit diketahui dengan pasti, apalagi kejadian dimasa yang akan datang misalnya,

Apakah nanti malam akan turun hujan? Meskipun kejadiaan tersebut tidak pasti,tetapi

kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat

keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Bila ada mendung dan langit semakin gelap,

maka itu menjadi tanda-tanda bahwa hujan akan turun.

C. BAG IAN - BAG IAN PROBABILITAS

1.BILANGAN FAKTORIAL

Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan factorial ditulis dengan n! dan di

defenisikan sebagai berikut:

Rumus: n!= n (n-1) (n-2)..3.2.1

O! = 1dan 1! = 1

2. PERMUTASI

Susunan- susunan yang dibentuk dari anggota suatu himpunan dengan

mengambilseluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan

anggota dari masing-masing susunan tersebut yang ditulis dengan p

Rumus = )!(

!Pr

rn

nn

−=

Beberapa jenis permutasi

a. permutasi melingkar ( keliling)

suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu

himpunan secara melingkar.

3

Rumus ; banyaknya permutasi = (n-1)!

b. permutasi dari sebagian anggota yang sama jenisnya.

Bila kita mempunyai himpunan yang terdiri atas n anggota, maka ada

kemunhkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama.

Rumus : nknnn

n

.....3,2,1

! =

!!....3,!2,!1

!

nknnn

n

3. KOMBINASI

Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan

mengambil seluruh atau sebagian dari aanggota himpunan itu tanpa memberi arti

pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.

RUMUS : nCr= !)!(!

NRNR

N

R

N =−

=

KONSEP DASAR PROBABILITAS

1. pengantar menuju pemahaman konsep probabilitas

Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui debngan

pasti apalagi kejadian dimasa yang akan dating, misalnya sebagai berikut ;

1. apakah nanti malam akan dating hujan.

2. apakah pesawwat garuda akan berangkat tepat waktu.

Begitu juga dalam percobaan statistic,kita tidak bias mengetahui dengan pasti hasil-

hasil yang akan muncul misalnya:

Pada melemparan sebuah uang logam kita tidak tau dengan pasti hasilnya.apakah

yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu.

4

2. perumusan probabilitas

a. perumusan klasik

bila kejadiian E terjsdi dalam n cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan

masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama

untuik muncul,maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai

berikut;

rumus n

mEP =)(

b.rumusan dengan frekuensi relatife

probabilitas empiris dari suatu kejadian dengan memekai frekuensi relative dari

terjadinya suatu kejadian dengan syarat banyakny pengamatan atau banyaknya

sampel n adalah sangat besar.

Rumus : n

lim)(

∞→=

n

fEP

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi

opada suatu percobaan statistic disebut ruang sample.yang dilambanmgkan dengan

himpunan S,sedangkan anggota-anggota dari S disebut titik sampel.

Rumus : P(A) = n (A) m

n (S) n

SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIANYA

5

Dengan pengetahuan kejadian A ruang sample S dan pelung kejadian A pada

S yaitu P(A) = n ( A) = m

n (S) n

sifat 1. 0 < P(A) < 1

penjelasan sifat ini, A merupakan himpunan dari S yaitu A C S, maka banyaknya

anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S yaitu n (A) ≤ n (S) sehingga

0 < n (A) < 1 atau 0 < P(A) < 1…(1)

sifat 2. dalam hal A = 0 , himpunan kosong artinya A tidak terjadi pada S, maka n

(A) = o, sehingga p(A) = n (A) = 0 =0

n (S)

sifat 3 = dalam hal A = S maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyakny

anggota S, maka n (A) = n (S) = n sehingga p(A) = n (A) = n = 1

n (S) n

bila hasil (1), (2) dan (3) digabunmg maka diperoleh sifat 0 ≤ P(A) < 1

dalam hal P(A) = 0, dikatajkan A kejadian yang mustahil terjadi dan dalam hal P(A)

= 1 dikatakan A kejadian yang pasti terjadi.

PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK A U B DAN A ∩ B

Probabilitas kejadian A U B dirumuskan sebagai berikut :

P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

Penjelasan lahirnya rumus diatas kita telah tahu bahwa :

n(A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

bila dua ruas persamaan dibagi dengan n (S) maka diperoleh:

n (A U B) = n (A) + n(B) – n (A B)

n(S) n(S) n(S) n(S)

6

sehingga diperoleh ; P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

DUA KEJADIAN SALING LEPAS

Bila A dan B dua kejadian lepas maka P(A ∩ B) P( 0 ) = 0,sehingga probanbilitas

kejadian A U B dirumuskan sebagai berikut:

Rumus : P(A U B) = P(A) + P(B)

DUA KEJADIAN SALING KOMPELEMENTER

Sejalan dengan pengetahuan itu,kita mengenal dua kejadian saling komplementer A

dan A′ dalam ruang sample S, A dan A′ merupakan dua kejadian saling lepas karena

A∩A′ = 0 bila A dan A dua kejadian dalam S saling kompelementer.

Rumus ; P (A ) = 1 – P(A)

DUA KEJADIAN SALING BEBAS

Dua kejadian A dan B dalam ruang sample S dikatakan saling bebas jika kejadian A

tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempenaruhi

kejadian A, jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas maka berlaku rumus

berikut :

Rumus : P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

PROBABILITAS BERSAYARAT

Perobabilitas terjadinya kejadian A bila kejadian B telah terjadi disebutm probabilitas

bersyarat yang ditulis P(A/B) dan dirumuskan sebagai berikut:

Rumus : P(A/B)= P(A ∩ B). P(B) > 0

P(B)

7

D. CONTOH SOAL

1. bilangan F aktorial

hitunglah 3!, 5!, 6!

Langkah-langkah penyelesaianya

Jawab ;

Rumus : n! = n (n-1) (n-2)…..3.2.1

3! = 3 (3-1) (3-2)

= 3.2.1

= 6

5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4)

= 5.4.3.2.1

= 120

6! = 6 (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5)

= 6.5.4.3.2.1

= 720

2. bilangan permutasi

hitunglah ?

a. 6P2 b. 8P4 c. 4P2

E. LANGKAH LANGKAH PENYELESAIANYA

jawab:

8

rumus: nPr = n!

(n-r)!

a. diketahui n= 6 dan r=2

6p2 = 6!

(6-2) !

= 6! = 6.5.4.3.2.1

4! 4.3.2.1

= 720

12

= 30

Diketahui n= 8 dan r=4

Rumus = nPr =n!

(n-1)!

= 8P4 = 8!

((8-4)!

= 8.7.6.5.4.3.2.1

4.3.2.1

= 40320

12

= 3360

Diketahui n= 4 dan r = 2

Npr = n!

(n-1)!

= 4!

(4-2)!

9

= 4.3.2.1

2.1

= 12

2

= 6

3. Ruang sample dan kejadian

Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya muka

dadu genap pada S maka A = { 2.4.6 } sehingga probabilitas kejadian A adalah


Rumus ; P(A) = n(A) = m

= n (S) n

P(A) = 3

6

= 1

2

4. Permutasi dari sebagian anngota yang sama jenisnya

Beberapa permutasi dalam STATISTIKA carilah permutasi dari kata tersebut

10


Jawab

Diketahui :

S = 2 , T= 3, A= 2, I=2, K=1

Rumus ;

n!

n1!, n2!, n3!, ….nk!

10

2!,3! 2! 1! 2! 1!

10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

2! 3! 2! 1! 2! 1!

= 362800

48

= 75.600

5. Kombinasi

Hitunglah !

a. 12 b. 7

6 3

Langkah-langkah penyelesaianya:

Jawab

Diketahui n= 12 dan r= 3

11

Rumus:

nCr = n!

r!(n-r)!

12 = 12!

6 3! (12-6)!

= 12!

3! 6!

= 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

3.2.1 6.5.4.3.2.1

= 110880

b. diketahui n= 7 dan r = 3

langkah-langkah penyelesaianya

jawab

rumus :

nCr = n!

r!(n-r)!

7 = 7!

3 3!(7-3)!

= 7!

3! 4!

= 7.6.5.4.3.2.1

3.2.1 4.3.2.1

= 35

6. kaidah pengadaan

Pada sebuah perpustakaan membuat rak buku yang terjadi dari :

12

Buku hokum ,keguruan, pertanian dan ekonomi. Bala perpustakaan tersebut

mempunyai 4 jenis buku hokum 2 jenis buku keguruan, 5 jenis buku pertanian ,3

jenis buku tentang ekonomi. Berapa paket rak yang yang akan dibuat.

Langkah-langkah penyelesaiaanya.

Jawab

Diketahui paket rak buku

Buku tentang hukum = 4

Buku rtentang keguruan = 2

Buku tentang pertanian = 5

Buku tentang ekonomi = 3

Banyaknya paket rak adalah ; 4 x 2 x 5 x 3 = 120 paket

13

F. SOAL-SOAL LATIHAN

1. selesaikan

a. 4 !

b. 6!

2. hitunglah !

a. 6P3

b. 10P4

3. empat orang bermain brigde dalam susunan melingkar, berapa susunan yang

mungkin dibentuk n=6 maka permutasi melingkarnya.

4. berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat STATISTIKA

5. hitunglah !

a. 10

3

b. 6

2

6. dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian matematika,distribusi frekuensi

nilai mahasiswa adalah seperti pada table berikut ini.

Nilai x 35 47 55 64 87 96frekuens

i

10 20 30 35 30 25

7.Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya

muka dadu ganjil pada S, maka A = {1 5 7 } sehingga probabilitas kejadiaan A

adalah.

8. bila A dan B dua kejadian saling lepas dengan P(A) 0,5 tentukan P( A U B)

14

9. Bila A dan A dua kejadian saling kompelementer dengan P(A)= 0,8 maka

P(A )= 1- P(A)

10. Misalkan sebuah dadu dilempar B kejadian bilangan kuadrat murni dan

diketahui peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan peluang munculnya bilangan

genap = 2/9 bila diketahui A{ 4,5,6 } telah terjadi tentukan P(A/B)

11. Jika diketahui dua kajadian A dan B saling bebas dengan P(A) = 0,4 dan P(B) =

0,7 maka berklaku P( A ∩ B ), hitunglah !

15

G. JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN

1. Diketahui n! = n(n-1) (n-2) …..3.2.1

4! = 4 (4-1) (4-2) (4-3)

= 4.3.2.1

= 28

6! = (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5)

= 6.5.4.3.2.1

= 720

2. nPr = n!

(n-r)!

a. Diketahui n= 6 dan r= 3

6P3 = 6! = 6! = 6.5.4.3.2.1

(6-3)! 3! 3.2.1

= 120

c. diketahui n=10 dan r= 4

10P4 = 10! = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

(10-4)! 6! 6.5.4.3.2.1

= 5040

16

3. jawab :

Banyak permutasi = (n-1)!

(4-1)! = 3!

= 3.2.1

= 6

4. jawab

semuanya ada n=8 huruf yang terdiri atas

jenis 1 huruf S yang banyaknya adalah n1 = 1

jenis 2 huruf E yang banyaknya adalah n2 = 1

jenis 3 huruf G yang banyaknya adalah n3 = 2

jenis 4 huruf I yang banyaknya adalah n4 = 2

jenis 5 huruf T yang banyaknya adalah n5 = 1

jenis 6 huruuf yang banyaknya adalah n6 = 1

jadi, banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah:

8 = 8

1,1,2,2,1,1 1! 1! 2! 2! 1! 1!

= 8.7.6.5.4.3.2.1

1. 1. 2.1 2.1 1. 1

= 40320

4

= 10.080

5. jawab

nCr = n = n!

r r! (n-r)!

a. diketahui n= 10 dan r= 3

10C3 = 10 = 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

17

3 3! (10-3)! 3.2.1 7.6.5.4.3.2.1

= 720

6

= 120

c. diketahui n= 6 dan r= 2

6C2 = 6 = 6! = 6.5.4.3.2.1

2 2! (6-2)! 2.1 4.3.2.1

= 30

2

= 15

6. jawab

P(E) = P(X=35) P(E)= P(X=47) P(E)=P(X=55)

= 10 = 20 = 55

100 100 100

= 0,5 =0,2 = 0,15

P(E) = P (X= 64) P(E)=(X=87) P(E)= P(X=96)

= 64 = 87 = 96

100 100 100

= 0,64 = 0,87 = 0,96

7. jawab

P(A) = 3

5

= 0,6

18

8. jawab

karena A dan B saling lepas maka berlaku:

P ( A U B) = P(A) + P(B)

= 0,5 + 0,15

= 0,65

9. jawab

P(A) = 0,8

Jadi P(A´) = 1- 0,8

= 0,2

10. jawab

S = {1,2,3,4,5,6 } P (genab) = 2 P(ganjil) 1

9 9

B = {1,4 }

A= { 4,5,6 } - P(A) = 2 + 1 + 2 = 5

9 9 9 9

A ∩ B = { 4 }- P A ∩ B = 2

9

P(B/A) = P A ∩ B = 2 = 2

P (A) 9 5

5

9

11. jawab

P( A ∩ B) = P(A). P(B)

= (0,4) . (0,7)

= 0,28

19

20

CHI-SQUARE (UJI KUADRAT)

1. PENGERTIAN CHI-SQUARE

Uji chi-square adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara

frekuensi observasi yang benar-benar terjadi/aktual dengan frekuensi

harapan/frekuensi ekspektasi.

Frekuensi observasi adalah suatu nilai yang didapat dari hasil

percobaan(o),sedangkan frekuensi harapan/ekspektasi adalah suatu nilai yang dapat

dihitung secara teoritis(e).

Contoh :

1. Sebuah dadu setimbang dilempar sekali 120 kali,berapa nilai ekspektasi sisi 1, sisi

2, sisi 3, sisi 4, sisi 5, dan sisi 6 muncul ?

kategori Sisi 1 Sisi

2

Sisi

3

Sisi

4

Sisi

5

Sisi

6Frekuensi

ekspektasi

(e)

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Sebuah dadu setimbang dilempar 120 kali berapa nilai ekspektasi sisi 1, sisi 2, sisi 3,

sisi 4, sisi 5,dan sisi 6 muncul ?

kategori Sisi 1 Sisi

2

Sisi

3

Sisi

4

Sisi

5

Sisi

6Frekuensi

ekspektasi

(e)

20 20 20 20 20 20

Setiap kategori memiliki frekuensi ekspektasi yang sama yaitu : 1/6 x 120 = 20

21

Apakah data observasi akan sama dengan ekspektasi?

Apakah jika anda melempar dadu 120 kali maka pasti setiap sisi akan muncul

sebanyak 20 kali?

2.TUJUAN DAN KEGUNAAN CHI-SQUARE

Tujuannya adalah untuk menguji perbedaan proporsi antara dua atau lebih

kelompok. Misalnya: apakah ada perbedaan hipertensi antara mahasiswa dan

mahasiswi dan apakah ada perbedaan BBLR antara ibu yang sosial ekonomi

rendah,rendah dan tinggi.

Kegunaannya:

Uji Kebebasan Chi-Square digunakan untuk memeriksa

kebebasan/independensi dari dua peubah kategorik sehingga kita dapat

menyimpulkan apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh)

ataukah keduanya saling bertalian (berpengaruh).

H0 : kedua peubah saling bebas

H1 : kedua peubah tidak saling bebas

Kegunaan Chi-Square

1. Ada tidaknya asosiasi antara

2 variabel (Independent test)

2. Apakah suatu kelompok homogen atau tidak (Homogenity test)

3. Uji kenormalan data dengan melihat distribusi data (Goodness of fit test)

Manfaat chi-square

22

Penelitian segmentasi post-hoc ini menggunakan metode pendekatan dependensi

yaitu dengan mendeteksi hubungan antara variabel terikat (dependent variable)

dengan sejumlah variabel bebas (independent varibles).

Dalam CHAID, variabel-varibel bebas diukur dengan menggunakan nonparametic

test, yaitu menguji hubungan antara varibel bebas dengan variabel terikat

menggunakan chi-square. Chi-square digunakan di sini karena variabel terikat

berbentuk kategorikal. (Khasali, 1998).

Tabel 1 menunjukkan pedoman untuk memilih teknik statistik nonparametrik

untuk menguji hipotesis asosiatif. Wijaya (2001) mengemukakan bahwa Uji

Nonparametrik dengan skala nominal dapat dilakukan dengan uji statistik: modus,

frekuensi, koefisien kontingensi.

Tabel 1. Pedoman Memilih Statistik Nonparametrik Untuk Menguji Hipotesis

Asosiatif

Macam/

Tingkatan

Data

Teknik Korelasi yang

Digunakan

Nominal Koefisien Kontingensi

Ordinal Spearman Rank, Kendal

Tau

Sumber: Sugiyono, halaman 100

Data hasil pengamatan dapat digolong-kan ke dalam beberapa faktor, karakteristik

atau atribut dimana setiap faktor atau atribut terdiri dari beberapa klasifikasi, kategori,

golongan atau mungkin tingkatan. Berdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena

tersebut akan diselidiki mengenai asosiasi atau hubungan atau kaitan antar faktor.

23

Dengan kata lain akan dipelajari, apakah terdapat atau tidak suatu kaitan diantara

faktor-faktor tersebut. Jika ternyata tidak terdapat kaitan diantara faktor-faktor

tersebut, maka dikatakan independen atau bebas, tepatnya bebas statistik.

Melalui uji Chi-kuadrat diharapkan dapat menguji hubungan hipotesis dalam

penelitian ini, yaitu:

Ho : 2 hitung < 2 tabel, kedua faktor tidak berasosiasi

Ha : 2 hitung > 2 tabel, kedua faktor berasosiasi

Tabel 2. Uji Chi-Kuadrat

Faktor II Jumlah Taraf

1

Taraf

2

… Taraf

KFaktor

1

Taraf

1

O11 O12 … O1K n10

Taraf

2

O21 O13 … O2K n20

… … … … … …Taraf

B

OB1 OB2 … OBK nB0

Jumlah no1 n02 … noK n

Sumber: Sudjana halaman 279

Keterangan:

B = baris K = kolom

O = Observasi N = jumlah observasi

24

Untuk pengujian hipotesis penelitian asosiasi antara faktor 1 dan faktor 2

digunakan uji 2 dengan prosedur sebagai berikut:

1. Tingkat signifikansi 0,05 dengan derajat bebas df = [B-1] x [K-1].

2. Dengan menggunakan nilai frekuensi yang diamati dapat dihitung nilai

frekuensi yang diharapkan dengan rumus:

Keterangan:

Eij = jumlah frekuensi yang diharapkan

ni0 = jumlah baris ke-I

n0j = jumlah baris ke-j

n = jumlah sampel yang diambil

3. Langkah selanjutnya adalah melakukan uji statistika yaitu Chi Square test

Keterangan:

Nij = jumlah frekuensi yang diamati

Eij = jumlah frekuensi yang diharapkan

Apabila nilai probabilitas eror < level of significance () maka Ho ditolak dan Hi

diterima artinya kedua faktor tersebut saling berhubungan

Apabilai nilai probabilitas eror > level of significance () maka Ho diterima dan

Hi ditolak artinya kedua faktor tersebut tidak saling berhubungan.

Pengukuran derajat asosiasi antar faktor dengan membandingkan antara:

25

C = dengan Cmaks =

Keterangan:

m = yang lebih kecil antara baris dan kolom

Kriteria = makin dekat harga C terhadap C maks makin kuat asosiasi antara

faktor-faktor.

Syarat-syarat menggunakan metode Chi Kuadrat menurut Sidney Siegel (1994)

adalah sebagai berikut:

1. Tidak ada satu selpun boleh memiliki fre-kuensi yang diharapkan (Eij) kurang

dari 1.

2. Frekuensi diharapkan kurang dari 5 maksimal dari 20% dari jumlah total sel.

Jika hal itu terjadi maka harus dilakukan penggabungan kategori-kategori yang ber-

dekatan sehingga meningkatkan nilai fre-kuensi yang diharapkan dalam berbagai

3. BAGIAN-BAGIAN CHI-SQUARE/CHI- KUADRAT

. Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (χ²)

Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif.

Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom.

Contoh : Berapa nilai χ² untuk db = 5 dengan α = 0.010? (15.0863)

Berapa nilai χ² untuk db = 17 dengan α = 0.005? (35.7185)

Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah

penolakan H0 atau taraf nyata pengujian Perhatikan gambar berikut :

26

Error: Reference source not foundα : luas daerah penolakan

Ho = taraf nyata nyata

pengujian

Penggunaan Uji χ²

Uji χ² dapat digunakan untuk :

a. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit Test

b. Uji Kebebasan

c. Uji beberapa proporsi

1. Uji kecocokan

Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

H0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan.

H1 : Ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.

27

4. CONTOH-CONTOH SOAL

Contoh soal 1 :

Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu . Dadu

setimbang

jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali.

H0 : setiap sisi akan muncul = 20 kali.

H1 : ada sisi yang muncul ≠20 kali.

Contoh soal 2:

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan

antara

Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

Rumus χ²

X2 = 2

1

)(∑=

−k

i ei

eioi

oi : frekuensi observasi untuk kategori ke-i

ei : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i

kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H0

Derajat Bebas (db) = k - 1

Perhitungan χ²

Contoh soal 3 :

Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut :

kategori : sisi-1 sisi-2 sisi-3 sisi-4 sisi-5 sisi-6

28

Kategori Sisi 1 Sisi 2 Sisi 3 Sisi 4 Sisi 5 Sisi 6Frekuensi

observasi

20 22 17 18 19 24

Frekuensi

ekspektasi

20 20 20 20 20 20

5. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN/SOLUSI :

1. H0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali.

H1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali.

2. Statistik Uji χ²

3. Nilai α = 5 % = 0.05

k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

4. Nilai Tabel χ²

k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5

db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705

5. wilayah kritis = Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α)

χ² hitung > 11.0705

6. Perhitungan χ²

X2 = 2

1

)(∑=

−k

i ei

eioi

kategori oi ei (oi-ei) (oi-ei)² (oi-ei)²/ei

Sisi 1 20 20 0 0 0Sisi 2 22 20 2 4 0,20Sisi 3 17 20 -3 9 0,45Sisi 4 18 20 -2 4 0,20Sisi 5 19 20 -1 1 0,05Sisi 6 24 20 4 16 0,80Σ 120 120 …. …. 1,70

χ²hitung = 1.70

7. Kesimpulan :

29

χ²hitung = 1.70 < χ² tabel

Nilai χ²hitung ada di daerah penerimaan H0

H0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.

Contoh soal 4 :

Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara

Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 500 kg adonan yang dihasilkan,

diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim,

apakah mesin itu bekerja sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan?

Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %.

Langkah-langkah penyelesaian/solusi :

1. H0 : perbandingan Coklat : gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1

H1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

2. Statistik Uji χ²

3. Nilai α = 1 % = 0.01

4. Nilai Tabel χ²

k = 4; db =k -1 = 4-1= 3 db = 3; α = 0.01 → χ² tabel = 11.3449

5. Wilayah Kritis= Penolakan H0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α) χ² hitung >

11.3449

6. Perhitungan χ²

X2 = 2

1

)(∑=

−k

i ei

eioi

Kategori 0i ei (0i-ei) (0i-ei)² (0i-ei)²/eiCoklat 275 250 25 625 2,50gula 95 100 -5 25 0,25susu 70 100 -30 900 9,00krim 60 50 10 100 2,00

30

Σ 500 500 …. …. 13,75Perbandingan coklat : gula : susu : krim = 5 : 2 : 2 :1

Dari 500 kg adonan:

Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg

Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg

Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg χ²hitung = 13.75

7. Kesimpulan :

χ²hitung = 13.75 > χ² tabel =(13,75> 11.3449)

χ²hitung ada di daerah penolakan H0 → H0 ditolak, H1 diterima.

Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 :1

2. Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi

Uji kebebasan antara 2 variabel memiliki prinsip pengerjaan yang sama

dengan pengujian beberapa proporsi.

Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif

A. Uji Kebebasan :

H0 : variabel-variabel saling bebas (Tidak ada hubungan antar variabel)

H1 : variabel-variabel tidak saling bebas (Ada hubungan antar variabel)

B Uji Beberapa Proporsi :

H0 : setiap proporsi bernilai sama

H1 : ada proporsi yang bernilai tidak sama

Rumus Uji χ 2

Data dalam pengujian ketergantungan (hubungan) variabel dan beberapa

proporsi

31

disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi (Cross Tab)

Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom

Frekuensi harapan = (total kolom)x (total baris)

Total observasi

r,k

X2 = Σ ( 0ij- eij )2

i,j

eij

derajat bebas = (r-1)(k-1)

r : banyak baris

k : banyak kolom

oi j , : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j

ei j , : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

Perhitungan χ²

Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja

di suatu pabrik. Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut :

Kurang dari 25

jam/minggu

Pria wanita Total baris

2 3Error:

Reference

source not

found

5

25 sampai 50

jam / minggu

7 6Error:

Reference

source not

found

13

Lebih dari 50 5 7Error: 12

32

2,33

6,07

5,60

2,67

jam /minggu

Total kolom 14 16 30

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja?

Lakukan pengujian kebebasan variabel dengan taraf uji 5

Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 2 ( 3 baris dan 2 kolom)

db = (3-1)(2-1) = 2 × 1 = 2

Solusi :

1. H0 : Gender dan Jam kerja saling bebas

H1 : Gender dan Jam kerja tidak saling bebas

2. Statistik Uji = χ²

3. Nilai α = 5 % = 0.05

4. Nilai Tabel χ² db = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147

5. Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel

χ²hitung > 5.99147

6. Perhitungan χ²

Frekuensi harapan = (total kolom)x (total baris)

Total observasi

frekuensi harapan untuk :

pria, < 25 jam = 14 x 5 = 2,33 pria, 25-50 jam = 14 x13 =6 07

30 30

pria, > 50 jam = 14 x12 = 5,60 wanita < 25 jam = 16 x 5 = 2,67

30

wanita, > 50 jam = 16 x12 = 6,40

33

30

Selesaikan Tabel perhitungan χ² di bawah ini.

Kategori 0i ei (oi-ei) (oi-ei)2 (oi-ei)2/eiP < 25 2 2,33 -0,33 0,1089 0,0467P 25-50 7 6,07 0.93 0,8649 0,1425P > 50 5 5,60 -0,60 0,36 0,0643W < 25 3 2,67 0,33 0,1089 0,0408W 25-50 6 6,93 -0,93 0,8649 0,1249W > 50 7 6,40 0,60 0,36 0,0563Σ X2 =0,4755

7. Kesimpulan

χ²hitung = 0.4755 < χ² tabel = 5.99147)

X2 hitung ada di daerah penerimaan H0

H0 diterima, gender dan jam kerja saling bebas

Catatan : Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan

hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)

34

Contoh soal 6 :

Berikut adalah data banyaknya penyiaran 3 jenis film di 3 stasiun TV. Apakah

proporsi pemutaran Film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV tersebut sama?

Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %

ATV

(%)

BTV

(%)

CTV

(%)

Total baris (%)

Film India 4,5 4,17 3,5 2,92 2,0 2,92 10Film kungfu 2,5 3,33 1,0 2,33 4,5 2,33 8Film latin 3,0 2,50 2,5 1,75 0,5 1,75 6Total

kolom(%)

10 7 7 Total

observasi(%)=

24

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi

Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi!

Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 3( 3 baris dan 3 kolom)

db = (3-1)(3-1) = 2 × 2 = 4

solusi :

1. H0 : Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga

stasiun TV adalah sama.

H1 : Ada proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun

TV yang tidak sama.

2. Statistik Uji = χ²

3. Nilai α = 2.5 % = 0.025

4. Nilai Tabel χ² db = 4; α = 0.025 → χ² tabel = 11.1433

5. Daerah Penolakan H0 → χ²hitung > χ² tabel

χ²hitung > 11.1433

35

6. Perhitungan χ²

Frekuensi harapan untuk

India, ATV = 10x10 = 4,17 24

Latin, ATV = 10x16 = 2,50 24

India, BTV = 7x10 = 2,92 24

Latin, BTV = 7x 6 = 1,75 24

India, CTV = 7x10 = 2,92 24

Latin, CTV = 7x 6 = 1,75 24

Kategori 0i ei (0i-ei) (0i-ei)² (0i-ei)²/eiInd, ATV 4,5 4,17 0,33 0,1089 0,0261Kf, Atv 2,5 3,33 -0,83 0,6889 0,2069Lat, ATV 3,0 2,50 0,50 0,2500 0,1000Ind,BTV 3,5 2,92 -0,58 0,3364 0,1152Kf,BTV 1,0 2,33 -1,33 1,7689 0,7592Lat, BTV 2,5 1,75 0,75 0,5625 0,3214Ind, CTV 2,0 2,92 -0,92 0,8464 0,2899Kf,CTV 4,5 2,33 2,17 4,7089 2,0201Lat,CTV 0,5 1,75 -1,25 1,5625 0,8929Σ X2= 4,7317

7. Kesimpulan :

36

χ²hitung = 2.4076 < χ² tabel = 11.1433

χ²hitung terletak di daerah penerimaan H0 .

H0 diterima, proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga statiun TV adalah sama.

Ada beberapa jenis tes chi-kuadrat tetapi yang paling umum adalah Pearson

chi-kuadrat yang memungkinkan kita untuk menguji independensi dari dua variabel

kategori. Semua tes chi-kuadrat didasarkan atas distribusi chi-kuadrat, mirip dengan

cara t-tes, sama halnya dengan distribusi atau uji-F yang didasarkan pada distribusi F.

1. uji kecocokan

2. uji kebebasan

3. uji beberapa proporsi

Misalkan kita memiliki hipotesis bahwa tingkat kelulusan / kegagalan dalam

sebuah kelas matematika tertentu berbeda untuk laki-laki dan perempuan. Katakanlah

kita mengambil sampel acak dari 100 siswa dan mengukur kedua jenis kelamin (laki-

laki/wanita) dan status kelulusan (lulus/gagal) sebagai variabel kategorik.

Tabel 1. Data tingkat kelulusan kelas matematika tersebut akan menjadi

sebagai berikut

Siswa Laki-laki Perempuan TOTAL

Lulus 30 36 66

Tidak

lulus

14 20 34

TOTAL 44 56 100

Hipotesis Null: Distribusi frekuensi beberapa kejadian yang diamati pada sebuah

sampel konsisten dengan distribusi teoritis tertentu

37

6. SOAL LATIHAN

1. Suatu adonan kue cake akan menghasilkan perbandingan antara coklat:gula: susu:

mentega= 5:2:2:1. jika 300 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 100kg

coklat, 75 kg gula, 55 kg susu, 70 kg mentega.apakah adonan tersebut dapat dicampur

sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan taraf

nyata 1%.

2. pelemparan dadu sebanyak 60 kali menghasilkan data sebagai berikut:

Kategori Sisi 1 Sisi 2 Sisi 3 Sisi 4 Sisi 5 Sisi 6Frrekuensi

observasi

10 12 8 10 15 5

Frekuensi

harapan

10 10 10 10 10 10

Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang?

Lakukan pengujian dengan taraf nyata 5%

38

7. JAWABAN SOAL

1).Solusi

H0 = perbandingan coklat: gula:susu : mentega = 5:2:2:1

H1 =perbandingan coklat: gula :susu : mentega ≠5:2:2:1

2. Statistik uji X2

3. Nilai α =1% =0,01

4.Nilai tabel X2

k= 4,db = k-1 = 4-1 = 3

db = 3 α =0,01 → X2tabel =11,3449

5.wilayah kritis= penolakan H0 jika X2 hitung > X2tabel

X2 hitung > 11,3449

6.perhitungan X2

X2 = 2

1

)(∑=

−k

i ei

eioi

Kategori oi ei oi-ei (oi-ei)2 (oi-ei)2/eiCoklat 100 150 -50 2500 16,66Gula 75 60 15 225 3.75Susu 55 60 -5 25 0,42mentega 70 30 40 1600 53,33

Σ 300 300 74,16

Perbandingan coklat:gula:susu:mentega = 5:2:2:1

Dari adonan 300kg: Nilai harapan coklat =5/10x300=150

Nilai harapan gula = 2/10x300 =60

39

Nilai harapan susu = 2/10x300=60

Nilai harapan mentega= 1/10x300=30

X2 hitung = 74,16

7. kesimpulan

X2 hitung> X2 tabel

74,16 > 11,3449

H0,ditolak, H1diterima

Perbandingan coklat:gula:susu:mentega ≠5:2:2:1

1. Solusi

H0 = Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 10 kali

H1 = dadu tidak setimbang → aada sisi yang muncul ≠10 kali

2. Statistik uji X2

3. Nilai α = 5% = 0,05

4. Nilai tabel X2

K=6 db=k-1 =6-1= 5

Db=5 α =0,05 → X2 tabel =11,0705

5. wilayah kritis : penolakan H0 jika X2 hitung > X2tabel

X2hitung > 11,0705

6. perhitungan X2

X2 = 2

1

)(∑=

−k

i ei

eioi

Kategori Oi ei oi-ei (oi-ei)2 (oi-ei)2/eiSisi1 10 10 0 0 0

40

Sisi 2 12 10 2 4 0,4Sisi 3 8 10 -2 4 0,4Sisi 4 10 10 0 0 0Sisi 5 15 10 5 25 2,5Sisi 6 5 10 -5 25 2,5Σ 60 60 5,8

X2hitung =5,8

7. kesimpulan

X2 hitung =5,8 < X2 tabel

Nilai X2 hitung ada di daerah penerimaan H0

H0 diterima,pernyataan dadu setimbang dapat diterima

41

42

DISTRIBUSI BINOMIAL

1. PENGERTIAN DISTRIBUSI PROBABILITAS BINOMIAL

Distribusi Probabilitas Binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu

percobaan yang dinamakan percobaan beroulli.

1.1 ciri-ciri Bernoulli

a. setiap kegiatan hanya dihasilkan 2 kejadian

Percobaan /kegiatan KejadianMelempar uang keudara 1. muncul gambar

2. muncul angkaPerubahan harga 1. inflasi

2. deflasi

b. probabilitas sebuah kejadian baik sukses maupun gagal tetap bernilai sama

untuk setiap percobaan

c. percobaan-percabaan bersifat independent

d. data yang dikumpul merupakan hasil dari perhitungan.

1.2 pembentukan distribusi normal

untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlkukan ppengetahuan dua hal

yaitu:

a. banyaknya atau jumlah dario percobaan atau kegoiatan dan,

b. probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal. Distribusi probabilitas

binomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

rnr qprnr

nrP −

−= .

)!(!

!)(

dimana:

43

P(r) = nilai probabilitas binomial

P = probabilitas sukses suatu kejadian untuk keseluruhan percobaan

N = jumlah nilai percobaan

Probabilitas gagal suatu kejadian yang diperolehb dari q = 1 – p

2. TUJUAN DAN KEGUNAAN DISTRIBUSI BINOMIAL

Tujuan dengan diadakan perhitungan distribusi binomial adalah untuk mengetahui

probabilitas suatu jkejadian tersebut sukses maupun gagal dalam suatu percobaan.

3. CONTOH SOAL

PT. MENA JAYA FARM (MJF) mengirim sebuah semangka ke hero

supermarket. Dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% sermangka yang

dikirim lolos seleksi oleh Hero Supermarket. PT. MJF setioap hari mengirim 15

buah semangka dengan berat antara 5-6 kg.

a. berapa probabilitas 25 buah semangka?

b. Berapa probabilitas 13 buah semangka?

c. Berapa probabilitas 10 buah yang diterima?

4. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL

DISTRIBUSI BINOMIAL

a. probabilitas 15 buah yang diterima semua

n = 15 p = 90% =0,9

r = 15 q = 1% =0,1

rnr qprnr

nrP −

−= .

)!(!

!)(

151515 1,0.9,0)!1515(!15

!15)( −

−=rP

44

( ) 015 1,0.9,0)!0(!15

!15=rP

1206,01)15( xxP =

206,0)15( =P

b. probabilitas 2 ditolak atau 13 buah diterima semua

n = 15 p = 90% = 0,9

r = 13 q = 10% = 0,1

rnr qprnr

nrP −

−= .

)!(!

!)(

131513 1,09,0)!1315(!13

!15)( −

−=rP

213 1,09,0)!2(!15

!15)13( =P

01,02,0105)13( xxP =

267,0)13( =P

b. probabilitas 10 buah diterima semua

n = 15 p = 90% = 0,9

r = 10 q = 0,1

rnr qprnr

nrP −

−= .

)!(!

!)(

101510 1.0.9,0)!1015(!10

!15)10( −

−=P

510 1,09,0)!5(!15

!15)10( =P

00001,035,0003,3)10( xxP =

010,0)10( =P

Jadi, probabilitas untuk diterima 15 adalah 20,6%: diterima 13 buah sebesar

26,7%; dan diterima 10 buah probabilitasnya adalah 10,0%.

45

5. SOAL LATIHAN

Sebuah industri rumah tangga yan memproduksi keranjang dari dau ulang

plastik dengan jaminan kualitas bahan yang baik, maka 90% keranjang yang

dikirim ke sebuah supermarket lulus seleksi. Industri tersebutmengirim 10 buah

keranjan setiap minggunya.

Pertanyaan?

a. brapa probabilitas 10 keranjang diterima

b. berapa probabilitas 5 keranjang diterima

46

6. JAWABAN SOAL LATIHAN

a. probabilitas 10 keranjang diterima semua

101010 1,0.9,0)1010(!10

!10)10( −

−=P

010 1,0.9,0)!0(!10

!10)10( =P

1.349,0.1)10( =P

349,0)10( =P

b. probabilitas 5 keranjang diterima

5105 1,09,0)!510(!5

!10)5( −

−=P

00001,0.590,0)!5(!5

!5)5( =P

00001,0.590,0120

30240)10( =P

008,0)10( =P

47

48

ANALISYS OF VARIANS (ANOVA)

1. PENGERTIAN ANOVA

Analisa varian atau anova adalah suatu metode untuk menguji hipoteis kesamaan

rata-rata dari tiga atau lebih populasi.

Asumsi

o Sample diambil secara random dan saling bebas ( independent )

o Populasi berdistribusi berdistribusi normal

o Populsi mempunyai kesamaan variansi

Misalkan kita mempunyai k populasi.

Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran n.

Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas ban berdistribusi normal dengan rata-

rata dan variansi µ1, µ2,...... dan µk dan variansi σ2

Hipotesa :

Ho : µ1 = µ2 = ... = µk

H1 : ada rata-rata yang tidak sama

Analisis varians ( analisis of variance, ANOVA ) adalah suatu metode analisis

statistika yang termasuk kedalam cabang stetistika inferensi.dalam literatur indonesia

metide ini dikenal dengan berbagai nama lain seperti ragam, sidik ragam, dan analisis

variansi. Ia merupakan pengembangan dari msalah behrens-Fisher, sehingga uji F

juga dipakai dalam pengambilan keputusan. Analisis varians pertama kali

diperkenalkan oleh sir Ronal fisher, bapak statistika modern. Dalam praktek , analisis

varians dapat merupakan uji hipotesis ( lebih sering dipakai ) maupun pendugaan

( estimation, khususnya dibidang genetika terapan)

Secara umum, analisis varians menguji dua varians ( atau ragam ) berdasarkan

hipotesis nol bahwa kwdua varians iti sama. Varians pertama adalah varians antar

contoh ( among sampel ) dan varians kedua adalah varians didalam masing-masing

49

contoh ( within samples ). Dengan ide semacam ini, analisis varians dengan dua

contoh akanmemberikan hasil yang ama dengan uji T untuk kedua rerata ( mean ).

Supaya sahih ( valid ) dalam menafsirkan hasilnya, analisis varians

menggantungkan diri pada empat asumsi yang harus dipenuhi dalam rancanga

percobaan :

1. Data berdistribusi normal, karena pengujiannya menggunakan uji F-snedecor.

2. varians atau ragamnya homogen, dikenal sebagai homoskedastisitas,karena

hanya digunakan satu penduga untuk varians dalam contoh.

3. masing-masing contoh saling independen, yang harus dapat diatur dengan

perencanangan percobaan yang tepat.

4. komponen-komponen dalam modelnya bersifat aditif ( saling menjumlah)

Analisis varians relatif mudah dimodifikasi dan dapat dikembangkan untuk

berbagai bentuk percobaan yang lebih rumit. Selain itu, analisis ini juga masih

memiliki keterkaitan dengan analisis regresi. Akibatnya, penggunaannya sangat luas

di berbagai bidang, mulai dari eksperimen laboratorium higga eksperimen periklanan,

psikologi, dan kemasyarakatan.

2. TUJUAN DAN KEGUNAAN ANOVA

TUJUAN ANOVA

1. Untuk mengetahui dan memahami jui statistik dengan menggunakan

ANOVA.

2. Untuk mengetahui persoalan dan masalah-masalah yang berkaitan dengan uji

ANOVA dalam kehidupan sehari-hari.

3. Agar dapat menyelesaikan persoalan uji ANOVA dan menarik kesimpulan

yang sesuai dengan persoalan yang diujikan.

KEGUNAAN ANOVA

Mengendalikan 1 ataulebih variabel independen

o Disebut dengan faktor ( atau variabel treatment )

50

o Tiap faktor mengandung 2 atau lebih level ( katagori / klasifikasi )

Mengamati efek padavariabel dependen

o Merespon level pada variabel independen

Perencanaan eksperimen : perencanaan dengan menggunakan uji hipotesis

3. BAGIAN-BAGIAN ANOVA

Anova dapat digolongan kedalam beberapa kriteria, yaitu :

1. klasifikasi 1 arah

Anova klasifikasi 1 arah merupakan anova yang didasarkan pada pengamatan

1 kriteria.

2. Klasifikasi 2 arah

Klasifikasi 2 arah merupakan aova yang didasarkan pada engamatan 2

kriteria.

3. Klasifikasi banyak arah

Anova banyak arah merupakan Anova yang didasarkan pada pengamatan

banyak kriteria.

4. CONTOH SOAL ANOVA

1. Sebagai manajer produksi anda ingin melihat mesin pengisi akan dilihat rata-

rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti disamping. Pada tinggkat

signifikasi 0,05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 325,40 23,40 20,0026,31 21,80 22,2024,10 23,50 19,7523,74 22,75 20,6025,10 21,60 20,40

5. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN ANALISIS VARIANS

51

• Tingkat signifikan α = 0,05

dF 1 = 2 (derajat bebas perlakuan )

dF 2 = 12 ( derajat bebas galat )

maka F ( 0,05; 2 ; 12 ) = 3,89

• Jadi daerah penolakannya :

H0 ditolak jika F > 3,89

• Data

Populasi1 2 325,40 23,40 20,0026,31 21,80 22,2024,10 23,50 19,7523,74 22,75 20,6025,10 21,60 20,40

Total 124,65 113,05 102,95 340,65

a. Jumlah kuadrat Total ( JKT )

JKT = ∑∑= =

K

i

n

j

x1 1

2 ij – nk

T2

..

JKT = 25,402 + 26,312 + 24,102 + 23,742 + 25,102 + 23,402 + 21,802 + 23,502 + 22,752

+ 21,602 + 20,002 + 22,202 + 19,752 + 20,602 + 20,402 - 35

65,3402

×

JKT = 645,16 + 692,2161 + 580,81 + 563,5876 + 630,01 + 547,56 + 475,24 +

552,25 + 517,5625 + 466,56 + 400 + 492,84 + 390,0625 + 424,36 + 416,16 -

15

4225,116042

= 7794,3787 – 7736,1615

= 58,2172

b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )

52

JKP =

n

iTk

i∑

=1

2

- nk

T 2..

= 5

95,10205,11365,124 222 ++-

35

65,340 2

×

= 5

6275,38916- 7736,4225

= 7783,3255 – 7736,1615

JKP = 47,164

c. Jumlah Kuadrat galat ( JKG )

JKG = JKT – JKP

JKG = 58,2172 – 47,164

JKG = 11,0532

Tabel ANOVA dan daerah penolakan

Sumber

variasi

Derajat bebas Jumlah

kuadrat

Kuadrat rata-rata statistik

perlakuan k-1

(3-1) = 2

47,164 KRP = JKP/ (k)-1

KRP = 47,164/(3-1)

KRP = 47,164/2

KRP = 23,582

F = KRP/KRG

F = 23,582/0,9211

F = 25,60

galat k ( n-1 )

3 ( 5-1 )

3 ( 4 ) = 12

11,0532 KRG = JKG/(k(n-1)

KRG = 11,0532/(3(5-1)

KRG = 11,0532/(3(4)

KRG = 11,0532/12

KRG = 0,9211total nk – 1

5.3 – 1

15 – 1 = 14

58,2173

53

• Karena F hitung > F tabel maka H0 ditolak

• Karena 25,60 > 3,89 maka H0 ditolak

CONTOH SOAL ANOVA

Dalam sebuah percobaan biologis 4 konsentrasi bahan kimia digunkaan untuk

merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu.

Konsentrasi1 2 3 48,2 7,7 6,9 6,88,7 8,4 5,8 7,39,4 8,6 7,2 6,39,2 8,1 6,8 6,9

8,0 7,4 7,16,1

Langkah-langkah :

• Tingkat signifikansi α = 0,05

dF 1 = 3 ( Derajat bebas perlakuan )

dF 2 = 16 ( Derajat bebas galat )

Maka F ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24

• Jadi daerah penolakanya


• Data

Populasi

Total

1 2 3 48,2 7,7 6,9 6,88,7 8,4 5,8 7,39,4 8,6 7,2 6,39,2 8,1 6,8 6,9

8,0 7,4 7,16,1

Total 35,5 40,8 40,2 34,4 150,9a. Jumlah kuadrat total ( JKT )

54

JKT = ∑=

k

i 1∑

=

n

j

x1

2ij -

k

T 2...

JKT = 8,22 + 8,72 + 9,4 2+9,22 + 7,72 + 8,42 + 8,6 2+ 8,12 + 8,02 + 6,9 2+

5,82 + 7,22 + 6,82 + 7,42 + 6,12 + 6,82 + 7,32 + 6,32 + 6,92 + 7,12 -

20

9,150 2

JKT = 67,24 + 75,69 + 88,36 + 84,64 + 59,29 + 70,56 + 73,96 + 65,61 + 64 +

47,61 + 33,64 + 51,84 + 46,24 + 54,76 + 37,21 + 46,24 + 53,29 +

39,69 + 47,61 + 50,41 - 20

81,22770

JKT = 1157,89 – 1138,5405

JKT = 19,3495 ( dibulatkan )

JKT = 19, 350


JKP = ∑=

k

i 1 ni

Ti 2

- N

T 2...

JKP = 4

5,35 2

+ 5

82,40 2

+ 6

2,40 2

+ 5

4,34 2

- 20

9,150 2

JKP = 4

25,1260+

5

64,1664+

6

04,1616 +

5

36,1183 - 20

81,22770

JKP = 315,0625 + 332,928 + 269,34 + 236,672 – 1138, 5405

JKP = 15,462

c. Jumlah Kuadrat Galat ( JKG )

JKG = JKT – JKP

JKG = 19,350 – 15,462

JKG = 3,888

Tabel Anova dan Daerah Pendapatan

55

Sumber

Variansi

Derajat

Bebas

Jumlah

Kuadrat

Kuadrat

Rata-rata

Statistik F

Perlakuan k-1

( 3-1 ) = 2

15,462 KRP = JKP/(k-1)

KRP = 15,462/(4-1)

KRP = 15,462/3

KRP = 5,514

F = KRP/KRG

F = 5.514/0,243

F = 21,21

Galat N – k

( 20- 4 ) = 16

3,888 KRG = JKG/N-k

KRG = 3,888/(20-4)

KRG = 3,888/16

KRG = 0,243Total N – 1

( 20-1 ) = 19

19,350

• Karena F hitung > F tabel maka Ho ditolak

• Karena 21,21 > 3,24 maka Ho ditolak

6. SOAL LATIHAN ANOVA

1. Sebagai manajer produksi anda ingin melihat mesin pengisi akan dilihat rata-

rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti disamping. Pada tinggkat

signifikansi 0,05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 324,40 22,40 19,0025,31 20,80 21,2023,10 22,50 18,7522,74 21,75 19,6024,10 20,60 19,40

56

2. dalam sebuah percobaan biologi 4 konsentrasi bahan kimia digunakan untuk

merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu

tertentu.

Konsentrasi1 2 3 47,2 6,7 5,9 5,87,7 7,4 4,8 6,38,4 7,6 6,2 5,38,2 7,1 5,8 5,9

7,0 6,4 6,15,1

7. JAWABAN LATIHAN

Langkah- langkah :




Maka F ( 0,05 ; 2 ; 12 ) = 3,89



• Data

Populasi1 2 324,40 22,40 19,0025,31 20,80 21,20

57

23,10 22,50 18,7522,74 21,75 19,6024,10 20,60 19,40

Total 119.65 108,05 97,95 325,65

a. Jumlah kuadrat Total ( JKT )

JKT = ∑∑= =

K

i

n

j

x1 1

ij2 – nk

T2

..

JKT = 24,402 + 25,312 + 23,102 + 22,742 + 24,102 + 22,402 + 20,802 + 22,502 + 21,752

+ 20,602 + 19,002 + 21,202 + 18,752 + 19,602 + 19,402 - 35

65,3252

×

JKT = 595,36 + 640,5961 + 533,61 + 517,1076 + 580,81 + 501,76 + 432,64 + 507,25

+ 473,0625 + 424,36 + 361 + 449,44 + 351,5625 + 384,16 + 376,36 -

15

9225,106047

JKT = 7128,0787 – 7069,8615

JKT = 58,2172


JKP =

n

iTk

i∑

=1

2

- nk

T 2..

= 5

95,9705,10865,119 222 ++-

53

65,325 2

×

= 5

2025,95948025,116741225,14316 ++- 7069,8615

= 7117,0255 – 77069,8615

JKP = 47,164

c. Jumlah Kuadrat galat ( JKG )

JKG = JKT – JKP

58

JKG = 58,2172 – 47,164

JKG = 11,0532

Tabel ANOVA dan daerah penolakan

Sumber

variasi

Derajat bebas Jumlah

kuadrat

Kuadrat rata-rata statistik

perlakuan k-1

(3-1) = 2

47,164 KRP = JKP/ (k)-1

KRP = 47,164/(3-1)

KRP = 47,164/2

KRP = 23,582

F = KRP/KRG

F = 23,582/0,9211

F = 25,60

galat k ( n-1 )

3 ( 5-1 )

3 ( 4 ) = 12

11,0532 KRG = JKG/(k(n-1)

KRG = 11,0532/(3(5-1)

KRG = 11,0532/(3(4)

KRG = 11,0532/12

KRG = 0,9211total nk – 1

5.3 – 1

15 – 1 = 14

58,2173

• Karena F hitung > F tabel maka H0 ditolak

• Karena 25,60 > 3,89 maka H0 ditolak

Jawaban latihan.




Maka F ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24


59


• Data

•

konsentrasi

Total

1 2 3 47,2 6,7 5,9 5,87,7 7,4 4,8 6,38,4 7,6 6,2 5,38,2 7,1 5,8 5,9

7,0 6,4 6,15,1

Total 31,5 35,8 34,2 29,4 130,9

a. Jumlah kuadrat total ( JKT )

JKT = ∑=

k

i 1∑

=

n

j

x1

ij2 - k

T 2...

JKT = 7,22 + 7,72 + 8,4 2+8,22 + 6,72 + 7,42 + 7,6 2+ 7,12 + 7,02 + 5,9 2+

4,82 + 6,22 + 5,82 + 6,42 + 5,12 + 5,82 + 6,32 + 5,32 + 5,92 + 6,12 -

20

9,130 2

JKT = 51,84 + 59,29 + 70,56 + 67,24 + 44,89 + 54,76 + 57,76 + 50,41 + 49 +

34,81 + 23,04 + 38,64 + 40,96 + 26,01 + 33,64 + 39,69 + 28,09 +

34,81 + 47,61 + 37,21 - 20

81,17134

JKT = 876,09 – 856,7405

JKT = 19,3495 ( dibulatkan )

JKT = 19, 350


60

JKP = ∑=

k

i 1 ni

Ti 2

- N

T 2...

JKP = 4

5,31 2

+ 5

8,35 2

+ 6

2,34 2

+ 5

4,29 2

- 20

9,130 2

JKP = 4

25,992+

5

64,1281+

6

64,1169 +

5

36,864 - 20

81,17134

JKP = 248,0625 + 256,328 + 194,94 + 172,872 – 856,7405

JKP = 872,2025 – 856,7405

JKP = 15,462

c. Jumlah Kuadrat Galat ( JKG )

JKG = JKT – JKP

JKG = 19,350 – 15,462

JKG = 3,888

Tabel Anova dan Daerah Pendapatan

Sumber

Variansi

Derajat

Bebas

Jumlah

Kuadrat

Kuadrat

Rata-rata

Statistik F

Perlakuan k-1

( 3-1 ) = 2

15,462 KRP = JKP/(k-1)

KRP = 15,462/(4-1)

KRP = 15,462/3

KRP = 5,514

F = KRP/KRG

F = 5.514/0,243

F = 21,21

Galat N – k

( 20- 4 ) = 16

3,888 KRG = JKG/N-k

KRG = 3,888/(20-4)

KRG = 3,888/16

61

KRG = 0,243Total N – 1

( 20-1 ) = 19

19,350

• Karena F hitung > F tabel maka Ho ditolak

• Karena 21,21 > 3,24 maka Ho ditolak

62

63

UJI NORMALITAS

A. PENGERTIAN UJI NORMALITAS

Uji normalitas adalah uji untuk mengukur apakah data kita memiliki distribusi

normal sehingga dapat dipakai dalam statistik parametrik (statistik inferensial).

Data klasifikasi kontinue, data kuantitatif yang termasuk dalam

pengukuran data skala interval atau ratio, untuk dapat dilakukan uji statistik

parametrik diprasyaratkan berdistribusi normal. Pembuktian data berdistribusi

normal tersebut perlu dilakukan uji normalitas terhadap data.

Metode klasik dalam pengujian normalitas suatu data tidak begitu rumit.

Berdasarkan pengalaman empiris beberapa pakar statistik, data yang banyaknya

lebih dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat diasumsikan berdistribusi

normal. Biasa dikatakan sebagai sampel besar.

Namun untuk memberikan kepastian, data yang dimiliki berdistribusi

normal atau tidak, sebaiknya digunakan uji statistik normalitas. Karena belum

tentu data yang lebih dari 30 bisa dipastikan berdistribusi normal, demikian

sebaliknya data yang banyaknya kurang dari 30 belum tentu tidak berdistribusi

normal, untuk itu perlu suatu pembuktian. Pembuktian normalitas dapat

dilakukan dengan manual, yaitu dengan menggunakan kertas peluang normal, atau

dengan menggunakan uji statistik normalitas.

B. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI NORMALITAS

Pengujian normalitas dilakukan untuk mengetahui normal tidaknya suatu

distribusi data. Hal ini penting diketahui karena berkaitan dengan ketetapan pemilihan

uji yang akan digunakan. Uji parametrik misalnya, mengsyaratkan data harus normal.

Apabila distribusi tidak normal maka disarankan untuk menggunakan uji

nonparametric.

64

Uji normalitas berguna untuk membuktikan data dari sampel yang

dimiliki berasal dari populasi berdistribusi normal atau data populasi yang

dimiliki berdistribusi normal.

C. BAGIAN-BAGIAN UJI NORMALITAS

Banyak jenis uji statistik normalitas yang dapat digunakan diantaranya

Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Chi-Square, Shapiro Wilk atau menggunakan soft

ware computer. Soft ware computer dapat digunakan misalnya SPSS, Minitab,

Simstat, Microstat, dsb. Pada hakekatnya soft ware tersebut merupakan hitungan

uji statistik Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Chi-Square, Shapiro Wilk, dsb yang

telah diprogram dalam soft ware komputer. Masing-masing hitungan uji statistik

normalitas memiliki kelemahan dan kelebihannya, pengguna dapat memilih sesuai

dengan keuntungannya.

Di bawah disajikan beberapa cara untuk menguji suatu data

berdistribusi

normal atau tidak.

1. BERDASARKAN KEMIRINGAN / KEMENCENGAN / SKEWNES DAN

KURTOSIS

Suatu data bila disajikan dalam bentuk kurva halus dapat berbentuk kurva

yang miring ke kanan, miring ke kiri atau simetris. Miring ke kanan bila kurva

mempunyai ekor (asymtut / menyinggung sumbu X) yang memanjang ke

sebelah kanan, demikian miring ke kiri sebaliknya, sedangkan bila simetris

berarti kondisi ke kanan dan kiri seimbang, biasanya nilai mean, median dan modus

berdekatan bahkan kadang sama. Kondisi kurva yang simetris tersebut sering

disebut membentuk kurva distribusi normal. Kemiringan kurva dapat dihitung

berdasarkan rumus Koefisien Kemiringan Pearson, yaitu :

65

Bila hasil kemiringan negatif, maka kurva miring ke kiri, bila hasil

kemiringan positif, Maka kurva miring ke kanan, sedangkan pada hasil

kemiringan nol, maka kurva normal. Pada kurva normal biasanya data cenderung

berdistribusi norma. Secara visual gambar sebagai berikut:

MIRING KEKANAN MIRING KEKIRI SIMETRIS

1.1 CONTOH SOAL

Contoh kasus hasil pengukuran kebisingan pada tempat-tempat umum didapat

data sebagai berikut:

66

1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL UJI

KEMIRINGAN / KEMENCENGAN.

Xi merupakan nilai tengah suatu data (kebisingan) ( ex: 70 + 79 / 2 = 74,5, dst )

Fi x Xi, frekuensi (Fi) dikalikan dengan data ke-i (Xi) misalnya pada baris

pertama,

9 x 74,5 = 670,5 dan seterusnya

X yaitu rata-rata, untuk mencarinya yaitu jumlah Fi x Xi dibagi jumlah frekuensi.

Misalnya pada baris pertama 670,5/50 = 91,5

Xi – X, yaitu data ke-i di kurangkan dengan jumlah rata-rata (X), Misalnya pada

baris pertama 74,5 - 91,5 = -17

Pada Fi. (Xi – X), frekuensi dikalikan dengan hasil pengurangan data ke-i.

Misalnya pada baris pertama 9 x (74,5 - 91,5) = 153

(Xi – X)2, jumlah pengankatan dari (Xi – X), Misalnya pada baris pertama (74,5 -

91,5)2 = 289

Begitu juda dengan Fi. (Xi – X)2, merupakan hasil perpangkatan dari Fi. (Xi –

X), Misalnya pada baris pertama 9 x (74,5 - 91,5)2 = 2601

67

Nilai kemiringan 0,44 atau 0,29, berarti miring ke kanan, tidak simetris.

Rumus lainnya yang dapat digunakan untuk membutikan kenormalan data, yaitu

Koefisien Kurtosis Persentil, sebagai berikut :

68

Keterangan : κ = kappa (Koefisien Kurtosis Persentil)

SK = rentang semi antar kuartil

P = persentil

K = kuartil

Bila nilai Koefisien Kurtosis Persentil mendekati 0,263, maka dapat disimpulkan

data berdistribusi normal. Berdasarkan kurva normal, untuk membuktikan data

Berdistribusi normal atau tidak, dapat dihitung berdasarkan rumus Koefisien

Kurtosis, yaitu:

Keterangan : a4 = koefisien kurtosis

: m = moment sekitar rata-rata, berdasar rumus di bawah

Keterangan

: mr = moment ke r = 1 , 2, 3, dst

: Xi = data ke i = 1, 2, 3, dst, (titik tengah interval kelas)

: n = banyaknya angka pada data

: X = rata-rata

69

: fi = frekuensi

Bila nilai a4 sama dengan 3, maka data berdistribusi normal, bila a4 kurang dari

3, maka bentuk kurva normal platikurtik, bila nilai a4 lebih besar dari 3, maka

bentuk kurva leptokurtic. Secara visual gambar sebagai berikut:

Contoh data tinggi badan masyarakat kalimas

Dihitung Koefisien Kurtosis Persentil sebagai berikut :

70

Hasil Koefisien Kurtosis Persentil 0,265 ≠≈ 0,263, distribusi normal.

Selanjutnya dihitung Koefisien Kurtosis.

71

Hasil Koefisien Kurtosis ≈ > 3, mendekati normal.

2. METODE KERTAS PELUANG NORMAL

Metode kertas peluang normal membutuhkan kertas grafik khusus yang

disebut Kertas Peluang Normal. Berikut langkah-langkah Dalam metode kertas

peluang normal:

2.1 CONTOH SOAL

2.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL KERTAS

PELUANG NORMAL

1. Langkah pertama dalam mempergunakan metode kertas peluang normal,

yaitu data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi relatif (data

disajikan dalam bentuk prosentase). Contoh data sebagai berikut:

72

2. Selanjutnya tabel diubah dalam bentuk distribusi frekuensi komulatif

relatif kurang dari, sehingga terbentuk tabel sebagai berikut :

3. Berikutnya data komulatif relatif ditampilkan pada kertas peluang

normal. Sumbu horisontal tempat meletakkan interval kelas dan sumbu

vertikal tempat untuk angka komulatifnya. Pertemuan kelas dan angka

komulatif ditandai dengan titik-titik. Jika titik-titik tersebut dihubungkan

membentuk garis lurus, berarti data berdistibusi normal.

73

Contoh untuk penyajian data di atas pada kertas peluang normal menjadi

sebagai berikut :

74

3. METODE CHI SQUARE (UJI GOODNESS OF FIT DISTRIBUSI

NORMAL)

Metode Chi-Square atau X2 untuk Uji Goodness of fit Distribusi

Normal, menggunakan pendekatan penjumlahan penyimpangan data observasi

tiap kelas dengan nilai yang diharapkan.

Adapun langkah-langkahnya:

1. Rumus X2

Keterangan :

X2 = Nilai X2

Oi = Nilai observasi

Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal

dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N

N = Banyaknya angka pada data (total frekuensi)

Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan berdasarkan pada

hasil transformasi data distribusi frekuensi yang akan diuji normalitasnya, sebagai

berikut:

75

Keterangan :

Xi = Batas tidak nyata interval kelas

Z = Transformasi dari angka batas interval kelas ke notasi pada distribusi normal

pi = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel normal

Oi = Nilai observasi

Ei = Nilai expected / harapan, luasan interval kelas berdasarkan tabel normal

dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N

2. Persyaratan

a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi.

b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 )

c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan.

3. Signifikansi

Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square)

√ Jika nilai X2 hitung kurang dari nilai X2 tabel, maka Ho diterima ; Ha

ditolak.

√ Jika nilai X2 hitung lebih besar dari nilai X2 tabel, maka Ho ditolak; Ha diterima.

Tabel X2 (Chi-Square)

76

3.1 CONTOH SOAL

TINGGI BADAN MASYARAKAT KALIMAS TAHUN 1990

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi

normal ?

3.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL UJI CHI-

SQUARE:

a. Hipotesis

Ho : tidak beda dengan populasi normal

Ha : Ada beda populasi normal

b. Nilai α

Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

c. Rumus Statistik penguji

77

d. Hitung rumus statistik penguji.

Telah dihitung Mean = 165,3 ; Standar deviasi = 10,36

Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang

dikonfirmasikan dengan tabel distribusi normal (Lampiran 2). Proporsi dihitung

mulai dari ujung kurva paling kiri sampai ke titik Z, namun dapat juga

menggunakan sebagian ujung kiri dan sebagian ujung kanan, sehingga hasil pi

sebagai berikut.

0,0064– 0,0630= 0,0566 ujung kurve kiri

0,0630– 0,2877= 0,2247 ujung kurve kiri

78

0,2877– 0,3409= 0,3714 melalui tengah titik nol

0,3409– 0,0853= 0,2556 ujung kurve kanan



e. Df/db/dk

Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2

f. Nilai tabel

Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square)

g. Daerah penolakan

1). Menggunakan gambar

79

2). Menggunakan rumus 0,1628 < 5,991 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

h. Kesimpulan

Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.

4. METODE LILLIEFORS (N KECIL DAN N BESAR)

Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam

tabel distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung

luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal. Probabilitas ersebut

dicari bedanya dengan probabilitas komultaif empiris. Beda terbesar dibanding

dengan tabel Lilliefors Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal

1. Rumus

Keterangan :

Xi = Angka pada data

80

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

F(x) = Probabilitas komulatif normal

S(x) = Probabilitas komulatif empiris

F(x) = komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung

dari luasan kurva normal mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Zi.

2. Persyaratan

a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif)

b. Data tunggal / belum dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi

c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

3. Signifikansi

Signifikansi uji, nilai F (x) - S (x) terbesar dibandingkan dengan nilai tabel

Lilliefors. Jika nilai F (x) - S (x) terbesar kurang dari nilai tabel Lilliefors, maka

Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai F (x) - S (x) terbesar lebih besar dari nilai tabel

Lilliefors, maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Lilliefors , Tabel Harga Quantil

Statistik Lilliefors Distribusi Normal

4.1 CONTOH SOAL

Berdasarkan penelitian tentang intensitas penerangan alami yang dilakukan

terhadap 18 sampel rumah sederhana, rata-rata pencahayaan alami di beberapa

ruangan dalam rumah pada sore hari sebagai berikut ; 46, 57, 52, 63, 70, 48, 52, 52,

54, 46, 65, 45, 68, 71, 69, 61, 65, 68 lux. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data

tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

81

4.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL UJI

LILLIEFORS:

a. Hipotesis



b. Nilai α


c. Rumus Statistik penguji

82

d. Hitung rumus statistik penguji.

Nilai F(x) - S(x) tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu

0,1469

83

Cara Hitung rumus statistik penguji.

1. Cari Sx dengan cara Zi dibagi dengan jumlah data. Dalam contoh baris pertama di atas adalah 1 : 18 = 0.0556, demikian seterusnya sampai selesai untuk setiap frekuensi.2. Cari nilai Zx dengan cara Skor Y dikurangi dengan Mean/nilai rata-rata dibagi nilai Standar Deviasi, sebagai contoh untuk baris pertama adalah ( 45-58,44)/9,22=-1,4577 . untuk baris selanjutnya dihitung dengan cara yang sama.3. Cari nilai Fx tabel (Zt) dengan melihat Tabel Kurva Normal baku (Tabel Z ) berdasarkan nilai Zx –nya, contoh untuk baris pertama. Nilai Z tabel dilihat dalam baris 1,4577 , diperoleh nilai Z sebesar 0.0721, 4. nilai І Fr –Fs І diperoleh dengan menyelisihkan nilai Fs dengan nilai Fr yang sejajar, contoh untuk baris pertama 0.0721 – 0.0556 = 0.0165.5. setelah selesai cari nilai І Fr –Fs І, diperoleh nilai 0,1469, kemudian bandingankan dengan nilai tabel pada baris N = 18, pada tingkat signifikansi 0.05 diperoleh nilai 0,2000 , karena І Fr –Fs І lebih kecil dari nilai tabel berarti distribusi normal.

e. Df/db/dk

Df = φ = tidak diperlukan

f. Nilai tabel

Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,2000. Tabe

Lilliefors pada lampiran 4.

g. Daerah penolakan

Menggunakan rumus 0,1469 < 0,2000 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak

h. Kesimpulan


84

5. METODE KOLMOGOROV-SMIRNOV

Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors.

Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada

signifikansi yang berbeda. Signifikansi metode Kolmogorov-Smirnov

menggunakan tabel pembanding Kolmogorov-Smirnov, sedangkan metode

Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.

Langkah-langkah penyelesaiannya:

1. Rumus

Keterangan :

Xi = Angka pada data

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal

FT = Probabilitas komulatif normal

FS = Probabilitas komulatif empiris

FT = komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung

dari luasan kurva mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Z.

85

2. Persyaratan



c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

3. Siginifikansi

Signifikansi uji, nilai Fr - Fs terbesar dibandingkan dengan nilai tabel Kolmogorov

Smirnov.

Jika nilai Fr - Fs terbesar kurang dari nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka

Ho diterima ; Ha ditolak.

Jika nilai Fr - Fs terbesar lebih besar dari nilai tabel Kolmogorov Smirnov,

maka Ho ditolak ; Ha diterima. Tabel Kolmogorov Smirnov, Harga Quantil

Statistik Kolmogorov Distribusi Normal.

5.1 CONTOH SOAL

Untuk perhitungan normalitas distribusi, dimisalkan terdapat sekelompok data dengan skala pengukuran interval dengan dua variabel bebas dan satu variabel terikat sebagai berikut :

Tabel skor Variabel bebas (X) dan variabel terikat (Y)

X1 X2 Y4 1 74 2 129 8 1712 8 20

86

12 10 21

Dari tabel tersebut misalkan kita ingin menguji normalitas variabel Y , maka untuk memudahkan diperlukan tabel bantu sebagai berikut :

Tabel bantu Perhitungan Normalitas

Xi zx Fr Fs І Fr –Fs І7 -1.43 0.08 0.2 0.1212 -0.58 0.28 0.4 0.1217 0.27 0.61 0.6 0.0120 0.78 0.79 0.8 0.0121 0.96 0.83 1.0 0.1777 0 - - -

5.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN UJI KOLMOGOROV-

SMIRNOV

Hipotesis



Nilai α


Cara Hitung rumus statistik penguji.

Setelah data dimasukan dalam kolom pertama dan dihitung frekuensinya, kemudian dilakukan perhitungan sebagai berikut :

a. Cari Fs dengan cara Zi dibagi dengan jumlah data. Dalam contoh baris pertama di atas adalah 1 : 5 = 0.2, demikian seterusnya sampai selesai untuk setiap frekuensi.

87

b. Cari nilai Zx dengan cara Skor Y dikurangi dengan Mean/nilai rata-rata dibagi nilai Standar Deviasi, sebagai contoh untuk baris pertama adalah (7 – 15.4)/5.86 = - 1.43. untuk baris selanjutnya dihitung dengan cara yang sama.c. Cari nilai Z tabel (Zt) dengan melihat Tabel Kurva Normal baku (Tabel Z ) berdasarkan nilai Zx –nya, contoh untuk baris pertama. Nilai Z tabel dilihat dalam baris 1,4 dan kolom 3, diperoleh nilai Z sebesar 0.4236, karena nilai Zx – nya bernilai minus maka nilai Z tabel yang diisikan adalah 0.5 - 0.4236 = 0.0764 (0.08). bila Zx bernilai positif maka nilai Z tabel yang diisikan adalah ditambah 0.5.d. nilai І Fr –Fs І diperoleh dengan menyelisihkan nilai Fs dengan nilai Fr yang sejajar, contoh untuk baris pertama 0.08 – 0.2 = 0.12.e. setelah selesai cari nilai І Fr –Fs І, diperoleh nilai 0.17, kemudian bandingankan dengan nilai tabel pada baris N = 5, pada tingkat signifikansi 0.05 diperoleh nilai 0.510, karena І Fr –Fs І lebih kecil dari nilai tabel berarti distribusi normal.

6. METODE SHAPIRO WILK

Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel

distribusi frekuensi. Data diurut, kemudian dibagi dalam dua kelompok untuk

dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai

Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal.

Langkah-langkah penyelesaiannya:

1. Rumus

Keterangan :

D = Berdasarkan rumus di bawah

ai = Koefisient test Shapiro Wilk

88

X n-i+1 = Angka ke n – i + 1 pada data

X i = Angka ke i pada data

Keterangan :

Xi = Angka ke i pada data yang

X = Rata-rata data

G = Identik dengan nilai Z distribusi normal

T3 = Berdasarkan rumus di atas bn, cn, dn = Konversi Statistik Shapiro-Wilk

Pendekatan Distribusi Normal

2. Persyaratan



c. Data dari sampel random

3. Signifikansi

Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3

dibandingkan dengan nilai tabel Shapiro Wilk, untuk dilihat posisi nilai

probabilitasnya (p).

Jika nilai p lebih dari 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

89

Jika nilai p kurang dari 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima, Tabel Harga

Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal

Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal.

6.1 CONTOH SOAL

Berdasarkan data usia sebagian balita yang diambil sampel secara random

dari posyandu Mekar Sari Wetan sebanyak 24 balita, didapatkan dat

sebagai berikut : 58, 36, 24, 23, 19, 36, 58, 34, 33, 56, 33, 26, 46, 41, 40

37, 36, 35, 18, 55, 48, 32, 30 27 bulan. Selidikilah data usia balita tersebut

apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribusi normal pad

α = 5% ?

6.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELASAIAN CONTOH SOAL UJI

SHAPIRO WILK :

a. Hipotesis



b. Nilai α


c. Rumus statistik penguji

90

d. Hitung rumus statistik penguji

Langkah pertama dihitung nilai D, yaitu :

91

Langkah berikutnya hitung nilai T, yaitu :

92

e. Df/db/dk

= n

f. Nilai tabel

Pada lampiran 6 dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) =

0,963

g. Daerah penolakan

Nilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10

dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak

h. Kesimpulan


Cara lain setelah nilai T3 diketahui dapat menggunakan rumus G, yaitu

93

Hasil nilai G merupakan nilai Z pada distribusi normal, yang selanjutnya

dicari nilai proporsi (p) luasan pada tabel distribusi normal . Berdasarkan nilai G

= -1,2617, maka nilai proporsi luasan = 0,1038. Nilai p tersebut di atas nilai α = 0,05

berarti Ho diterima Ha ditolak. Data benar-benar diambil dari populasi normal.

7. METODE UJI Z

Dalam kehidupan sehari-hari tidak jarang kita dihadapkan oleh data yang

bervariasi dan fluktuatif, contohnya nilai mahasiswa, tinggi badan mahasiswa,

pemasukan, pengeluaran, keuntungan, dsb. Seringkali kita mengira-ngira besarnya

rata-rata dari data tersebut, namun tidak jarang pula perkiraan tersebut meleset dari

rata-rata sebenarnya. Untuk pengujian rata-rata pada sampel dengan rata-rata yang

diperkirakan sebelum dilakukan pengujian oleh peneliti dapat dilakukan dengan uji Z.

Dengan Uji Z dapat diketahui apakah perkiraan awal peneliti dapat diterima

(hipotesis diterima) atau tidak (hipotesis ditolak).

Penaksir titik rataan populasi μ diberikan oleh statistik . Distribusi berpusat di

μ dan umumnya variansinya lebih kecil dari penaksir μ lainnya. Karena itu rataan

sampel akan dipakai sebagai taksiran titik untuk rataan populasi μ. Menurut teorema

limit sentral, distribusi sampel dapat diharapkan secara hampiran, berdistribusi

normal dengan rataan dari simpangan baku

P (-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 – α

di mana :

μ = rataan sampel

ĩ = rataan populasi

σ = standar deviasi populasi

n = jumlah sampel

94

RUMUS:

KET:

_

X = mean data sampel

µ = mean data populasi

α = standar deviasi data populasi

n = jumlah sampel yang diteliti

7.1 CONTOH SOAL

Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $495 per bulan melalui

ATM, dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 1% , ujilah :

apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM kurang dari $500 per bulan ?

7.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAI CONTOH SOAL METODE UJI

Z::

1. Menetukan populasi

2.Menetukan sampel dari populasi dengan menggunakan mathcad, yaitu

menggunakan fungsi Random Number Diskrit

3. Mengambil data berdasarkan sampel yang telah ditentukan

4. Menetukan H0

5. Menetukan H1

6. Memilih nilai level of significance (α)

7. Memilih statistik uji yang sesuai berdasarkan apa yang akan diuji, kondisi data, dan

asumsi

8. Perhitungan daerah kritis atau daerah penolakan

95

Untuk H1 : μ < μo, maka daerah kritisnya adalah Z< -Zα

Untuk H1 : μ > μo, maka daerah kritisnya adalah Z> Zα

Untuk H1 : μ ≠ μo, maka daerah kritisnya adalah Z< -Zα/2 dan Z> Zα/2

9. Perhitungan nilai Z sampel

10. Penarikan kesimpulan

JAWAB:

Diketahui: x = 495 s = 45 n=100 µ0 =500 α=1%

1. H0 : µ = 500 H1 : µ < 500

2. statistik uji : z → karena sampel besar

3. arah pengujian : 1 arah

4. Taraf Nyata Pengujian = α = 1% = 0.01

5. Titik kritis → Z < - Z001→ Z < - 2.33 .

6. Statistik Hitung

7. Kesimpulan : z hitung = -1.11 ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima, rata-rata pengambilan uang di ATM masih = $ 500

96

D. SOAL-SOAL LATIHAN

1. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kemiringan/Kemencengan

Berikut adalah data nilai ujian mid mahasiswa pada mata kuliah ekonomi pembangunan.

no data Fi1 61 - 65 82 66 - 70 103 71 - 75 164 76 - 80 205 81 - 85 196 86 - 90 177 91 - 95 68 96 - 100 4 jumlah 100

Dari data di atas, tentukan apakah berdistribusi normal atau bergambar simetris?

2. Soal Latihan Kertas Peluang Normal

Berikut adalah data penelitian umur mahasiswa FKIP Jurusan PIPS dari angkatan

2005-2009. Yang terdiri dari 100 mahasiswa secara sampel . Di mana datanya adalah

sbb:

noumur mahasiswa

jumlah (Oi) PROSENTASI

1 17 - 18 18 0,182 19 - 20 19 0,193 21 - 22 20 0,24 23 - 24 21 0,215 25 - 26 22 0,22 jumlah 100 1

Apakah temasuk dalam dalam data berdistribusi normal?

97

3. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Chi-Square

Berikut adalah data penelitian umur mahasiswa FKIP Jurusan PIPS dari angkatan

2005-2009. Yang terdiri dari 100 mahasiswa secara sampel . Di mana datanya adalah

sbb:

noumur mahasiswa

jumlah (Oi)

1 17 - 18 182 19 - 20 193 21 - 22 204 23 - 24 215 25 - 26 22 jumlah 100

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ?

Telah dihitung Mean = 20 ; Standar deviasi = 1,581...

4 Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Lillifors

Berikut adalah hasil penelitian yang dilakukan oleh salah satu mahasiswa tentang

daftar nilai 16 siswa SMA di kota Jambi.

5,8 7,3 8,9 7,1 8,8 6,4 7,2 5,210,1 8,6 9,0 9,3 6,4 7,0 9,9 6,8

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi

yang berdistribusi normal ? jika diketahui X = 7,735, SD = 1,4966.

5. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Kolmogorov-Smirnov

98

Suatu penelitian tentang berat badan peserta pelatihan kebugaran

fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random,

didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78,

77, 88, 97, 89, 97, 98, 70, 72, 70, 69, 67, 90, 97 kg. Selidikilah dengan α = 5%,

apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

6. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Shafiro-Wilk

Berikut adalah data nilai 18 mahasiswa Pendidikan Ekonomi pada mata kuliah

Matematika Ekonomi: 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 12, 12, 12, 12,

12, 12. Selidikilah data usia balita tersebut apakah data tersebut diambil dari populasi

yang berdistribusi normal pada α = 5% ?

7. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Z

rikut adalah data nilai prestasi kerja karyawan yang mendapat training dengan yang

tidak mendapat training.

Dengan taraf nyata 5 % ujilah : Apakah perbedaan rata-rata nilai prestasi kerja µ 1−

µ 2 > 0?

99

E. JAWABAN SOAL LATIHAN

1. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kemiringan/Kemencengan

Penyelesaian:

no data Fi Xi Fi x Xi Xi - X Fi.(Xi -X) (Xi - X)2 Fi. (Xi - X)2

1 61 - 65 8 63 504 -16,35 -130,8 267,323 2138,582 66 - 70 10 68 680 -11,35 -113,5 128,823 1288,2253 71 - 75 16 73 1168 -6,35 -101,6 40,3225 645,164 76 - 80 20 78 1560 -1,35 -27 1,8225 36,455 81 - 85 19 83 1577 3,65 69,35 13,3225 253,12756 86 - 90 17 88 1496 8,65 147,05 74,8225 1271,98257 91 - 95 6 93 558 13,65 81,9 186,323 1117,9358 96 - 100 4 98 392 18,65 74,6 347,823 1391,29

jumlah100 644 7935 9,2 5,4E-13 1060,58 8142,75

Modus = 75,5 +(4 / (4 + 1)) (5)

= 75,5 + (0,8) (5)

= 75,5 + 4

= 79,5

Median = 80,5 + )(100/2)- 54)/17 (5)

= 80,5 + ((-4)/17) (5)

= 80,5 + (1,18)

= 81,68

Rata-rata = ∑ (Fi . Xi)/Fi

100

= 7935 / 100

= 79,35

SD2 = ∑ Fi. (Xi - X)2 / Fi

= 8142,75 / 100

= √ 81,4275

= 9,024

Kemiringan = (79,35 – 79,5)/9,024 ≈ 3 (79,35 – 81,68)/9,024

= (0,017) ≈ (0,775)

Nilai kemiringan 0,017 atau 0,775, berarti miring ke kiri, tidak simetris

2. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kertas Peluang

Normal

no

umur mahasiswa

KOMULATIF %

1 16,5 0

2 18,5 0,18

3 20,5 0,37

4 22,5 0,57

5 24,5 0,78

26,5 1

101

Selanjutnya Masukan Data Diatas Kedalam Kertas Peluang Normal

3. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Chi-Square

Penyelesaian:

102

nobatas kelas bawah

Z Pi Oi Pi - OiOi - Ei

(Oi - Ei )2 (Oi-Ei)/Ei

116,5 - 18,5

-2,21 – (-0,95)

0,0122 – 0,1469 = -0,1347 18 18,135 -0,135

0,0181441 0,001000518

218,5 - 20,5

-0,95 – 0,32

0,1469 – 0,3632 = 1,1058 19 17,894

1,1058

1,2227936 0,068334636

320,5 -22,5

0,32 – 1,58

0,3632 – 0,1056 =0,2576 20 19,742

0,2576

0,0663578 0,00336118

422,5 -24,5

1,58 – 2,85

0,1056 – 0,0016 =0,1040 21 20,896 0,104 0,010816 0,000517611

524,5 - 26,5

2,85 – 4,11

0,0016 – 0,0001 =0,0015 22 21,999

0,0015

0.0000025 0

100

1,3181115 0,073213945

Hipotesis



Nilai α


Hitung rumus statistik penguji.

X2 = 0,073213945

103

Df/db/dk

Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2

Nilai tabel

Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991.

Daerah penolakan


Kesimpulan


4. Jawaban Soal Latihan Uji Normolitas Dengan Metode Uji Lilliefors

Penyelesaian:

Hipotesis



Nilai α


Tabel Uji normalitas dengan metode uji Lilliefors

i xi z F0(xi) S(xi) |S(xi) – F0(xi)|1 5,20 -1,70 0,0446 0,0625 0,01792 5,80 -1,29 0,0985 0,1250 0,02653 6,40 -0,89 0,1867 0,1875 0,00084 6,40 -0,89 0,1867 0,2500 0,0633

104

i xi z F0(xi) S(xi) |S(xi) – F0(xi)|5 6,80 -0,63 0,2643 0,3125 0,04826 7,00 -0,49 0,3121 0,3750 0,06297 7,10 -0,43 0,3336 0,4375 0,10398 7,20 -0,36 0,3594 0,5000 0,14069 7,30 -0,29 0,3859 0,5625 0,176610 8,60 0,58 0,7190 0,6250 0,094011 8,80 0,71 0,7611 0,6875 0,073612 8,90 0,78 0,7823 0,7500 0,032313 9,00 0,84 0,7995 0,8125 0,013014 9,30 1,04 0,8508 0,8750 0,024215 9,90 1,44 0,9251 0,9375 0,012416 10,10 1,58 0,9429 1,0000 0,0571

nilai Dhitung terbesar, yaitu 0,1766.

Nilai tabel

Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,213.

Daerah penolakan


Kesimpulan


5. Jawaban soal latihan uji Normalitas dengan Metode Uji Kolmogorov-Smirnov

Penyelesaian:

Hipotesis



Nilai α


105

Hitung rumus penguji

Nilai FT − FS tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu

0,1440

106

Nilai tabel

Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α = 0,05 ; N = 27 ; ≈ 0,254. Tabel Kolmogorov

Smirnov

Daerah penolakan


Kesimpulan


6. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Shafiro-Wilk

no Xi X (Xi – X) (Xi – X)2

1 7 10,19 -3,19444 10,2042 7 10,19 -3,19444 10,2043 9 10,19 -1,19444 1,42674 9 10,19 -1,19444 1,42675 9 10,19 -1,19444 1,42676 9 10,19 -1,19444 1,42677 9 10,19 -1,19444 1,42678 10,5 10,19 0,305556 0,09349 10,5 10,19 0,305556 0,093410 10,5 10,19 0,305556 0,0934

11 10,5 10,19 0,305556 0,0934

12 10,5 10,19 0,305556 0,0934

13 12 10,19 1,805556 3,26

14 12 10,19 1,805556 3,2615 12 10,19 1,805556 3,2616 12 10,19 1,805556 3,2617 12 10,19 1,805556 3,26

107

18 12 10,19 1,805556 3,26 183,5 47,569

D = 47,569

Menghitung T:

NO ai (X(n-i+1) – Xi) Ai( X(n-i+1) – Xi)

1 0,4886 12 - 7 = 5 2,4432 0,3253 12 - 7 = 5 1,62653 0,2553 12 - 9 = 3 0,76594 0,2027 12 - 9 = 3 0,60815 0,1587 12 - 9 = 3 0,47616 0,1197 12 - 9 = 3 0,35917 0,0837 10,5 - 9 = 0,5 0,041858 0,0496 0 09 0,0163 0 0 jumlah 6,32055

T3 = 1/47,569 (6,32055)2

= 0,021 ( 39,949)

= 0,839

108

Df/db/dk = n

Nilai tabel

nilai α (0,10) = 0,914 ; nilai α (0,50) = 0,956

Daerah penolakan

Nilai T3 terletak di bawah 0,914 dan 0,956, atau nilai p hitung terletak di bawah 0,10

dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak

Kesimpulan


7. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Z:

Penyelesaian:

α = 5 % d0 = 0

2* statistik uji : z → karena sampel besar

3* arah pengujian : 1 arah

4* Taraf Nyata Pengujian = α = 5%

5. Titik kritis → Z>Z5%→ Z > 1.645

6. Statistik Hitung

109

7. Kesimpulan : Z hitung = 4 ada di daerah penolakan H0

H0 ditolak, H1 diterima → beda rata-rata prestasi kerja > 0

110

111

UJI HOMOGENITAS (UJI KESAMAAN DUA VARIANS)

A. PENGERTIAN UJI HOMOGENITAS

B. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI HOMOGENITAS

Uji homogenias atau uji kesamaan dua varians digunakan untuk menguji

apakah kedua data tersebut homogen yaitu dengan membandingkan kedua

variansnya. Jika kedua varians sama besarnya, maka uji homogenitas tidak perlu

dilakukan lagi karena datanya sudah dapat dianggap homgen. Namun untuk varians

yang tidak sama besarnya, perlu diadakan pengujian pengujian homogenitas melalui

uji kesamaan dua varians ini.

Uji homogenitas dapat di lakukan apabila datanya bersivat normal.

FUNGSI UJI HOMOGENITAS

Fungsi dari uji homogenitas yaitu untuk membuktikan apakah kelompok data-data

tersebut bersifat homoge atau tidak.

CARA PENGUJIAN HOMOGENITAS

1. Varians terbesar dibandingkan varians terkecil.

2. Varians terkecil dibandingkan varians terbesar.

3. Uji barlett (untuk lebih dari dua kelompok.

C. BAGIAN-BAGIAN UJI HOMOGENITAS

1. PENGUJIAN DENGAN RUMUS FARIANS F

Pengujian homogenitas data dengan menggunakan rumus farians dilakukan

untuk menguji 2 kelompok varians. Pada rumus fariasn kita dapat melakukan uji

homogenitas apabila telah melakukan penelitian. Terdapat dua rumus farians sebagai

berikut:

1. VARIANS TERBESAR DIBANDINGKAN VARIANS TERKECIL

112

- Cari Fhitung dengan menggunakan rumus:

- Tetapkan taraf signifikasi (α)

- Hitung Ftabel dengan rumus

Dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel

- Tentukan kriteria pengujian Ho yaitu:

Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen)

- Bandingkanlah Fhitung dengan Ftabel

- Buatlah kesimpulan.

1.1 CONTOH SOAL

Didalam suatu kelompok pengujian terdapat 2 kelmpok yang memiliki varians-

varians sebagai berikut:

Kelompok ke 1: 10, 3, 12, 5, 7, 10, 8, 14, 14, 14

Kelompok ke 2: 3, 5, 7, 8, 1, 1, 12, 13, 14, 15

Pertanyaan: apakah kedua kelompok tersebut memiliki varians yang homogen?

α = 10%

1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL

Tentukan terlebih dahulu Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2

H0 = tidak terdapat perbedaan varians 1 dan varians

2

113

Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)

F =

Terlebih dahulu mencari rata-rata kedua kelompok varians tersebut dengan rumus

yaitu:

Kelompok 1:

=

=

= = 9,7

xi (xi - ) (xi - )10 0,3 0,093 -6,7 44,8912 2,3 5,295 -4,7 22,097 -2,7 7,2910 0,3 0,098 -1,7 2,8914 4,3 18,4914 4,3 18,4914 4,3 18,4997 138,10

Setelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus :

S2 =

S2 =

S2 =15,344444

Kelompok ke 2:

=

=

= = 7,9

114

xi (xi - ) (xi - )3 -4,9 24,015 -2,9 8,417 -0,9 0,818 -0,1 0,011 -6,9 47,611 -6,9 47,6112 4,1 16,5113 5,1 26,0114 6,1 37,2115 7,1 50,4179 258,6

Setelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus :

S2 =

S2 =

S2 = 28,73333333333

Setelah itu barulah dimasukkan kedalam rumus:

Varians terbesar: 28,733333333333 atau 28,73

Varians terkecilnya: 15,344444 atau 15,34

F=

F = 1,87288

Setelah didapat F hitung barulah di cari F tabelnya


115

F =


Ftabel = F½ 10% (10 - 1, 10 - 1)

Ftabel = F0,05 (9, 9)Dengan melihat ke tabel varians maka F tabelnya yaitu: 3,18Bandingkan F hitung dengan F tabel, Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen)

1,87288 ≤ 3,18

Maka Ho diterima (homogen)

2. VARIANS TERKECIL DIBANDINGKAN VARIANS TERBESAR

Langkah-langkahnya: untuk langkah-langkahnya sama seperti di atas, tetapi

sedikit ada perbedaan

Rumusnya:

Lalu mencari Ftabel kanan dengan rumus:

Atau

Setelah itu barulah dibandingkan nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan

2.1 CONTOH SOAL

Didalam suatu kelompok pengujian ter dapat 2 kelmpok yang memiliki varians-

varians sebagai berikut:

Kelompok ke 1: 10, 3, 12, 5, 7, 10, 8, 14, 14, 14

116

Fkini =

Ftabel kanan = F1/2α (dk varians terkecil – 1, deka varians terbesar -1)

Ftabel kiri =

Kelompok ke 2: 3, 5, 7, 8, 1, 1, 12, 13, 14, 15

Pertanyaan: apakah kedua kelompok tersebut memiliki varians yang homogen?

α = 10%

2.1 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIN CONTOH SOAL

Tentukan terlebih dahulu Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2

H0 = tidak terdapat perbedaan varians 1 dan varians

2

Terlebih dahulu mencari rata-rata kedua kelompok varians tersebut dengan rumus

yaitu:

Kelompok 1:

=

=

= = 9,7

xi (xi - ) (xi - )10 0,3 0,093 -6,7 44,8912 2,3 5,295 -4,7 22,097 -2,7 7,2910 0,3 0,098 -1,7 2,8914 4,3 18,4914 4,3 18,4914 4,3 18,4997 138,10

Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus :

S2 =

117

S2 =

S2 =15,344444

Kelompok ke 2:

=

=

= = 7,9

xi (xi - ) (xi - )3 -4,9 24,015 -2,9 8,417 -0,9 0,818 -0,1 0,011 -6,9 47,611 -6,9 47,6112 4,1 16,5113 5,1 26,0114 6,1 37,2115 7,1 50,4179 258,6


S2 =

S2 =

S2 = 28,73333333333

Dengan menggunakan rumus yang sebaliknya kita akan mendapatkan F kini

118

Fkini =

Fkini =

Fkini = 0,533936651 atau 0,53Setelah dapat F kini barulah kita mencari F kanan dengan rumus:

Ftabel kanan = F1/2 10% (10 - 1, 10 - 1)Ftabel kanan = F 5% (9, 9)Ftabel kanan = 3,18

Selanjutnya kita mencari Ftabel kiri dengan rumus:

Ftabel kiri =

Ftabel kiri = 0,314465408 atau 0,314

Setelah didapat semua barulah kita menguji kriteria pengujianya, yaitu:nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan

-0,314 ≤ 0,53 ≤ 3,18

H0 diterima (homogen)

3. UJI BARLET

Uji barlet digunakan apabila pengujian homogenitas dilakukan terhadap tiga

kelompok varians atau lebih.

Langkah-langkah yang harus dilakukan sebagai berikut:

- Menghitung S2 dengan menggunakan rumus:

119


Ftabel kiri =

- Hitung log S2

- Hitung B dengan rumus

- Cari hitung dengan rumus:

- Tetapkan taraf signitifnya (α)

- Cari tabel dengan rumus:

Dimana dk = banyaknya kelompok -1

Dengan menggunakan tabel didapat hitung

- Bandingkan hitung dengan tabel

2.1 CONTOH SOAL

Kelompok varians1 dengan anggota 7 20, 21, 22, 35, 31, 45, 122 dengan anggota 9 12, 22, 25, 22, 30, 32, 26, 27, 243 dengan anggota 5 17, 20, 23, 29, 27Apakah ketiga kelompok tersebut bersifat homogeny atau tidak dengan α = 1% atau

0,01

2.2LANGKAH-LANKAH PENYELESAIAN:

Ha = terdapat perbedaan varians

H0 = tidak terdapat perbedaan varians

Kelompok 1:

120

B = (log S2 ) ∑(n1 – 1)

hitung = (2,3026) B - ∑ (n1 – 1) log

tabel = (1-α)

(dk)

Xi =

Xi =

Xi = 26,5714 atau 26,6

xi (xi - ) (xi - ) 20 -6,6 43,5621 -5,6 31,3622 -4,6 21,1635 8,4 70,5631 4,4 19,3645 18,4 338,5612 -14,6 213,16186 738,72

S2 =

S2 =

S2 = 123,12

Kelompok ke 2:

Xi =

Xi = Xi = 24,44444444 atau 24,4

xi (xi - ) (xi - )12 -12,4 153,7622 -2,4 5,7625 0,6 0,3622 -2,4 5,7630 5,6 31,3632 7,6 57,7626 1,6 2,5627 2,6 6,7624 -0,4 0,16

121

220 264,04

S2 =

S2 =

S2 = 33,005

Kelompok ke 3:

Xi =

Xi =

Xi = 23,2

xi (xi - ) (xi - )17 -6,2 38,4420 -32 10,2423 -0,2 0,0429 5,8 33,6427 3,8 14,44116 96,8

S2 =

S2 =

S2 = 24,2

Kelompok varians S2

1 dengan anggota 7 20, 21, 22, 35, 31, 45, 12 123,122 dengan anggota 9 12, 22, 25, 22, 30, 32, 26, 27,

24

33,005

3 dengan anggota 5 17, 20, 23, 29, 27 24,2

Tabel barlet

122

Kelompok

ke

Dk (n-1) log dk dk log

1 6 0,16 123,12 2,09 738,72 12,542 8 0,12 33,005 1,52 264,04 12,163 4 0,25 24,2 1,39 96,8 5,56jumlah 18 0,53 - - 1099,58 30,26

Hitung dengan menggunakan rumus:

=

= 61,03

log = log 61,03 = 1,785

B = (1,785) (18) = 32,13

hitung = 2,3026 (32,13 – 30,26) = 4,305862 atau 4,305

Taraf signifikansi (α) = 0,01

tabel (1 – α)(dk) = 0,99 (2)

Dk = 3 – 1

= 2

Dengan menggunakan tabel didapat tabel = 9,21

hitung ≤ tabel = 4,30 ≤ 9,21

123

Jadi H0 diterima (homogen)

124

D. SOAL LATIHAN

1) Terdapat dua macam pengukuran prosedur kerja di sebuah kantor:

Kelompok 1: 5, 2, 5, 1, 6, 7, 3, 6, 6, 2

Kelompok 2: 3, 3, 6, 9, 8, 6, 7, 5, 4, 2

Diketahui α = 0,10 (10%)

Pertanyaanya:

Apakah kedua kelompok varians tersebut memiliki varians yang homogen?

Buktikan dengan menggunakan rumus:

a. Varians terbesar dibagi varians terkecil

b. Varians terkecil dibagi varians terbesar

2) Terdapat empat kelompok penelitian yaitu:

Kelompok 1: 3, 10, 12, 1, 5, 7

Kelompok 2: 6, 4, 13, 11, 1

Kelompok 3: 5, 5, 9, 10, 11, 16

Kelompok 4: 2, 1, 4, 3, 10

Diketahui α = 0,01(1%)

125

E. JAWABAN SOAL LATIHAN

1) A

Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2

H0 = tidak dapat perbedaan varians 1 dan varians 2

KELOMPOK VARIANSKelompok ke 1 5, 2, 5, 1, 6, 7, 3, 6, 6, 2Kelompok ke 2 3, 3, 6, 9, 8, 6, 7, 5, 4, 2

Kelompok 1:

=

=

= = 4,9

xi (xi - ) (xi - )5 0,1 0,012 -2,9 8,415 0,1 0,011 -3,9 15,216 1,1 1,217 2,1 4,413 -1,9 3,616 1,1 1,216 1,1 1,212 -2,9 8,4149 43,7

Setelah itu baru lah cari simpangan baku dengan rumus :

S2 =

S2 =

126

S2 =4,855555556 atau 4,85

Kelompok ke 2:

=

=

= = 5,3

xi (xi - ) (xi - )3 -2,3 5,293 -2,3 5,296 0,7 0,499 3,7 13,698 2,7 7,296 0,7 0,497 1,7 2,895 -0,3 0,094 -1,3 1,692 -3,3 10,8953 48,01


S2 =

S2 =

S2 = 5,334444444

Setelah itu barulah dimasukkan kedalam rumus:

Varians terbesar: 5,334444444 atau 5,33

Varians terkecilnya: 4,855555556 atau 4,85

F=

127

F =

F = 1,098969072

Setelah didapat F hitung barulah di cari F tabelnya

Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)Ftabel = F½ 10% (10 - 1, 10 - 1)

Ftabel = F 5%(9, 9)Dengan melihat ke tabel varians maka F tabelnya yaitu: 3,18Bandingkan F hitung dengan F tabel, Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen)

1,098969072 ≤ 3,18

Maka Ho diterima (homogen)

B. Dengan meggunakan rumus yang ke 2 kita tidak perlu lagi mengulang rumus

pertama untuk mencari F tabel tapi kita langsung saja mencari F kini dengan rumus:

Fkini =

Fkini = 0,909943714 atau 0,91Setelah dapat F kini barulah kita mencari F kanan dengan rumus:

Ftabel kanan = F1/2 10% (10 - 1, 10 - 1)Ftabel kanan = F 5% (9, 9)Ftabel kanan = 3,18selanjutnya kita mencari Ftabel kiri dengan rumus:

Ftabel kiri =

Ftabel kiri = 0,314465408 atau 0,314

128

Fkini =



Ftabel kiri =

Setelah didapat semua barulah kita menguji kriteria pengujianya, yaitu:nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan

-0,314 ≤ 0,91 ≤ 3,18

H0 diterima (homogen)

No 2.

Kelompok varians1 dengan jumlah varians 6 3, 10, 12, 1, 5, 72 dengan jumlah varians 5 6, 4, 13, 11, 13 dengan jumlah varians 6 5, 5, 9, 10, 11,164 dengan jumlah varans 5 2, 1, 4, 3, 10Apakah ketiga kelompok tersebut bersifat homogeny atau tidak dengan α = 1% atau

0,01

Jawab:

Ha = terdapat perbedaan varians

H0 = tidak terdapat perbedaan varians

Kelompok 1:

Xi =

Xi =

Xi = 6,333333333 atau 6,3

xi (xi - ) (xi - )3 -3,3 10,8910 3,7 13,6912 5,7 32,491 -5,3 28,095 -1,3 1,697 0,7 0,4948 87,34

129

S2 =

S2 =

S2 = 17,468

Kelompok ke 2:

Xi =

Xi =

Xi = 7

xi (xi - ) (xi - )6 -1 14 -3 913 6 3611 4 161 -6 3635 98

S2 =

S2 =

S2 = 24,5

Kelompok ke 3:

Xi =

Xi =

Xi = 9,333333333 atau 9,3

xi (xi - ) (xi - )5 -4,3 18,495 -4,3 18,499 -0,3 0,09

130

10 0,7 0,4911 1,7 2,8916 6,7 44,8956 85,34

S2 =

S2 =

S2 = 17,068

Kelompok ke 4:

Xi =

Xi =

Xi = 4

xi (xi - ) (xi - )2 -2 41 -3 94 0 03 -1 110 6 3620 50

S2 =

S2 =

S2 = 12,5

Kelompok varians S2

1 dengan jumlah varians 6 3, 10, 12, 1, 5, 7 17,4682 dengan jumlah varians 5 6, 4, 13, 11, 1 24,53 dengan jumlah varians 6 5, 5, 9, 10, 11,16 17,0684 dengan jumlah varans 5 2, 1, 4, 3, 10 12,5

131

Tabel barlet

Kelompok

ke

Dk (n-1) log dk dk log

1 5 0,2 17,468 1,24 22,468 6,22 4 0,25 24,5 1,39 98 5,563 5 0,2 17,068 1,23 85,34 6,154 4 0,25 12,5 1,10 50 4,4jumlah 18 0,9 - - 255,808 22,31

Hitung dengan menggunakan rumus:

=

= 1,24

log = log 1,24 = 0,093

B = (0,093) (18) = 1,674

hitung = 2,3026 (1,674 – 22,31) = -20,636

Taraf signifikansi (α) = 0,01

tabel (1 – α)(dk) = 0,99 (3)

Dk = 4 – 1= 3

Dengan menggunakan tabel didapat tabel = 11,3

hitung ≤ tabel = -20,636 ≤ 11,3

Jadi H0 diterima (homogen)

132

133

REGRESI & KORELASI LINIER SEDERHANA

1. PENGERTIAN REGRESI KORELASI

• Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911)

• Persamaan regresi :Persamaan matematik yang memungkinkan peramalan nilai

suatu

peubah takbebas (dependent variable) dari nilai peubah bebas (independent

variable)

• Diagram Pencar = Scatter Diagram

Diagram yang menggambarkan nilai-nilai observasi peubah takbebas dan peubah

bebas.

Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal)

Nilai peubah takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal)

Nilai peubah takbebas ditentukan oleh nilai peubah bebas

Anda sudah dapat menentukan mana peubah takbebas dan peubah bebas?

Contoh 1:

Umur Vs Tinggi Tanaman (X : Umur, Y : Tinggi)

Biaya Promosi Vs Volume penjualan (X : Biaya Promosi, Y : Vol. penjualan)

2. BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN REGRESI :

A. Regresi Linier

- Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana Y = a + bX

Keterangan:

Y : peubah takbebas

X : peubah bebas

a : konstanta

b : kemiringan

134

- Bentuk Umum Regresi Linier Berganda

Y = a + b1X1 + b2X2 + ...+ bnXn

Y : peubah takbebas a : konstanta

X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1


Xn : peubah bebas ke-n bn : kemiringan ke-n

B. Regresi Non Linier

- Bentuk umum Regresi Eksponensial

Y = abx

log Y = log a + (log b) x

1. REGRESI LINIER SEDERHANA

• Metode Kuadrat terkecil (least square method): metode paling populer untuk

menetapkan persamaan regresi linier sederhana

- Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana : Y = a + bX

Ket:

Y : peubah takbebas

X : peubah bebas

a : konstanta b : kemiringan

Nilai b dapat positif (+) dapat negartif (-)

135

: positif → Y b : negatif → Y

Y = a+bX Y= a - bX

•

Penetapan Persamaan Regresi Linier Sederhana

n : banyak pasangan data

yi : nilai peubah takbebas Y ke-i

xi : nilai peubah bebas X ke-i

1.1 CONTOH SOAL

Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan

Minyak Goreng.

Tahun x

Biaya

Promosi

(Juta

Rupiah)

y

Volume

Penjualan

(Ratusan

Juta Liter)

xy x² y²

1992 2 5 10 4 25

136

1993 4 6 24 16 36 1994 5 8 40 25 64 1995 7 10 70 49 100 1996 8 11 88 64 121 Σ Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346

1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN

Bentuk umum dari regresi linier sederhana : Y = a + bX

•

•

•

• Peramalan dengan Persamaan Regresi

Contoh soal

Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume penjualan

dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut

Y = 2.530 + 1.053 X

Perkirakan Volume penjualan jika dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta ?

Jawab : Y = 2.530 + 1.053 X

X = 10

Y = 2.53 + 1.053 (10) = 2.53 + 10.53 = 13.06 (ratusan juta liter)

Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter

137

2. REGRESI LINIER BERGANDA

• Pembahasan akan meliputi regresi linier dengan 2 Variabel Bebas (X1 dan X2) dan 1

Variabel Tak Bebas (Y).

• Bentuk Umum : Y = a + b1 X1 + b2 X2

Y : peubah takbebas a : konstanta



• a , b1 dan b2 didapatkan dengan menyelesaikan tiga persamaan Normal berikut:

n : banyak pasangan data yi : nilai peubah takbebas Y ke-i x1i : nilai peubah bebas X1 ke-i x2i : nilai peubah bebas X2 ke-i

2.1 CONTOH SOAL:

Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel

biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris

(X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit)

x1 X2 y x1 x2 x1y x2y x1² x2² y²

2 3 4 6 8 12 4 9 16 3 4 5 12 15 20 9 16 25 5 6 8 30 40 48 25 36 64 6 8 10 48 60 80 36 64 100 7 9 11 63 77 99 49 81 121 8 10 12 80 96 120 64 100 144

138

xΣ1=31 xΣ2= 40

yΣ=50 xxΣ12=239

xyΣ1= 296

xyΣ2=379

xΣ12= 187

xΣ22= 306

yΣ2= 470

2.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESIAN

Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b1 X1 + b2 X2

Masukan notasi-notasi ini dalam persamaan normal

Sehingga didapat persamaan berikut:

139

Sehingga Persamaan Regresi Berganda

a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai 0.75 + 0.50 X1 + 0.75 X2

140

141

UJI LINEARITAS

1. PENGERTIAN UJI LINEARITAS ( REGRESI )

Uji Linearitas merupakan lanjutan dari Regresi. Regresi adalah hubungan

fungsional antara variabel – variabel. Sedangkan analisa regresi adalah mempelajari

bagaimana antar variabel saling berhubungan. Hubungan antar varibel pada

umumnya dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang dikenal dengan

hubungan fungsional antar variabel.

Dalam analisis regresi dibedakan dua jenis variabel, yakni variabel bebas atau

predictor tak bebas / terikat atau variabel respon. Variabel yang sering mudah didapat

digolongkan ke dalam variabel bebas, sedangkan variabel yang terjadi karena variabel

bebas merupakan variabel tak bebas / terikat. Untuk keperluan analisis variabel bebas

dilambangkan dengan X1, X2……., Xk, sedangkan untuk variabel tak bebas

dinyatakan dengan Y.

Untuk keperluan analisis registrasi dibedakan : registrasi linear sederhana dan

registrasi linear ganda. Registrasi linear sederhana adalah bentuk hubungan

fungsional antara satu variabel bebas dengan variabel terikat. Sedangkan registrasi

linear ganda adalah bentuk hubungan fungsional antara dua variabel terikat atau lebih

dengan variabel bebas.

2. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI LINEARITAS

Uji linearitas dipergunakan untuk melihat apakah model yang dibangun

mempunyai hubungan linear atau tidak. Uji ini jarang digunakan pada berbagai

penelitian, karena biasanya model dibentuk berdasarkan telaah teoretis bahwa

hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikatnya adalah linear. Hubungan

antar variabel yang secara teori bukan merupakan hubungan linear sebenarnya sudah

tidak dapat dianalisis dengan regresi linear, misalnya masalah elastisitas.

142

Jika ada hubungan antara dua variabel yang belum diketahui apakah linear

atau tidak, uji linearitas tidak dapat digunakan untuk memberikan adjustment bahwa

hubungan tersebut bersifat linear atau tidak. Uji linearitas digunakan untuk

mengkonfirmasikan apakah sifat linear antara dua variabel yang diidentifikasikan

secara teori sesuai atau tidak dengan hasil observasi yang ada.

3. BAGIAN – BAGIAN DARI UJI LINERARITAS

Bagian – bagian dari Uji Lineraritas yaitu :

uji linear sederhana

Uji linearitas berganda

A. UJI LINEAR SEDERHANA

1. CONTOH SOAL UJI LINEAR SEDERHANA

Contoh 1 :

Karena kita melanjutkan bahasan dari kelompok 7, maka contoh soalnyapun diambil

dari kelompok 7, Contoh soal yang pertama adalah :

Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan

Minyak Goreng.

Tahun x

Biaya

Promosi

(Juta

Rupiah)

y

Volume

Penjualan

(Ratusan

Juta Liter)

xy x² y²

1992 2 5 10 4 25 1993 4 6 24 16 36 1994 5 8 40 25 64 1995 7 10 70 49 100 1996 8 11 88 64 121 Σ Σx = 26 Σy = 40 Σxy = 232 Σx² =158 Σy² = 346

143

2. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL

Dari penghitungan yang telah dilakukan oleh kelompok 7 maka diketahui persamaan

Y = 2.530 + 1.053 X

Maka langkah selanjutnya kita akan menghitung nilai r :

Nilai r = 0.9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume

penjualan) berkorelasi linier yang positif dan tinggi

Rr=2=098572...= 0.97165....= 97 % . y= yy

Nilai R = 97% menunjukkan bahwa 97% proporsi keragaman nilai peubah Y (volume

penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) melalui hubungan

linier.

144

Sisanya, yaitu 3 % dijelaskan oleh hal-hal lain.

B. UJI LINIER BERGANDA

• Koefisien Determinasi Sampel untuk Regresi Linier Berganda diberi notasi sebagai berikut :

.12

2. LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL

145

1. CONTOH SOALData diambil berdasarkan data dari kelompok 7:

Nilai = 99.53% menunjukkan bahwa 99.53% proporsi keragaman nilai peubah Y

(volume penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) dan

XRy.1222 (biaya aksesoris) melalui hubungan linier. Sisanya sebesar 0,47 dijelaskan

oleh hal-hal lain.

146

4. SOAL LATIHAN

Seperti yang sebelumnya, untuk uji linier berganda inipun kita melanjutkan dari

kelompok 7, maka contohnya pun diambil dari kelompok 7.

Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel

biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris

(X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit).

x1 x2 y x1 x2 x1y x2y x1² x2² y²

2 3 4 6 8 12 4 9 16 3 4 5 12 15 20 9 16 25 5 6 8 30 40 48 25 36 64 6 8 10 48 60 80 36 64 100 7 9 11 63 77 99 49 81 121 8 10 12 80 96 120 64 100 144 xΣ1=31 xΣ2=

40 yΣ=50 xxΣ12=

239 xyΣ1= 296

xyΣ2=379

xΣ12= 187

xΣ22= 306

yΣ2= 470

147

5. JAWABAN SOAL LATIHAN

Dari contoh Regresi (kelompok 7), maka akan dilakukan penghitungan linearitasnya.

148

149

UJI BEDA (UJI-T)

1. PENGERTIAN UJI BEDA (UJI-T)

Sesuai dengan namanya, maka uji ini dipergunakan untuk mencari perbedaan,

baik antara dua sampel data atau antara beberapa sampel data, dimana uji ini

menggunakan beberapa persyaratan tertentu, yaitu diantaranya :

a. Sampel penelitian harus diambil secara random (secara acak) dari suatu

populasi yang berdistribusi normal.

b. Gejala data yang didapat harus berskala interval atau rasio.

c. Variabel – variabel penelitian tidak lebih dari satu (satu variabel dengan

data berskala nominal dengan satu variabel dengan data interval atau rasio,

atau sebaliknya).

2. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI BEDA (uji-t)

Kegunaan t-test sebagai alat analisis data, dapat dipakai untuk menguji

satu sampel atau dua sampel. Khusus untuk pengujian dua sampel, uji-t dapat

dipakai untuk menguji dua sampel yang bebas dan atau sampel yang

berkorelasi. Sedangkan untuk pengujian sampel bebas, uji-t dapat dipakai

untuk menganalisis varians yang bersifat homogen ataupun heterogen.

Penggunaan uji-t untuk kepentingan analisis data, bertolak pada harga rata –

rata ( mean ) alam upaya menentukan apakah perbedaan rerata tersebut adalah

perbedaan nyata, dan bukan karena kebetulan. Khusus untuk penggunaan t-tes

pada satu sampel, maka dua merata yang hendak dibandingkan, adalah rerata

dari sampel dan rerata dari populasiny

150

3. BAGIAN – BAGIAN UJI BEDA

1. Uji Beda mean untuk sampel besar (>30)

Untuk uji beda rerata dimana jumlah kasus dalam sampel – sampel

yang dikenai penelitian lebih besar dari 30, maka t-test (uji-t) tidak dapat

dipakai lagi. Adapun formulasi rumusan yang disarankan dipakai untukk

menganalisis kasus ini adalah uji-Z yang formulasi rumusannya adalah

sebagai berikut :

Z =

Keterangan:

Z = koefisien Z

S12 = Varians sampel pertama

S22 = Varians sampel kedua

= Rerata Sampel Pertama

= Rerata sampel kedua

n1 = jumlah kasus pada sampel pertama

n2 = jumlah kasus pad sampel kedua.

2. Analisis t-test (uji-t) untuk satu kasus sampel

Penggunaan t-tes untuk satu kasus sampel ini, skala data yang

diperkenankan adalah data yang berskala interval dan biasanya digunakan

untuk uji batas keyakinan (confidence limits) atau uji batas keyakinan

interval (confidence interval). Sedangkan WS. Gossett dengan

151

menggunakan nama samara student’s memakai formulasi t-test ini untuk

uji kebalikan (goodness of fit) pada sampel kecil yang diambil dari suatu

populasi, sehingga rumusan tersebut juga dikenal dengan nama uji

student.

Formulasi rumusan t-tes untuk kasus satu sampel yang diambil secara

random dari suatu populasi adalah sebagai berikut :

t =

keterangan :

t : Koefisien t

X : Mean (rerata) sampel

u : Mean (rerata) populasi

S : Standars kesesatan mean.

Adapun rumusan untuk mencari standars kesesatan mean, dapat

digunakan rumusan sebagai berikut:

Sx =

152

Keterangan:

S : standar deviasi sampel

N : Jumlah kasus

3. T-test untuk analisa dua kasus sampel yang saling berhubungan

Kondisi sampel yang berhubungan ini, dapat berupa dua sampel yang

bervalidasikan (berkondisi sama) terlebih dahulu sebelum dibeeri

perlakuan, dapat pula dau sampel ini datanya berpasang – pasangan, dan

kemungkinan sampel dalam hal ini hanya satu, namun diberi perlakuan

dua kali, sehingga uji beda meannya dikenakan pada sampel dengan

perlakuan (treadment) X dan sampel yang sama namun mendapatkan

perlakuan Y. T-tes untuk dua sampel yang berhubungan (correlated

sample) formula rumusnya adalah sebagai berikut:

t =

keterangan:

t : koefisien t

Xt :rerata atau mean sampel pertama

X2 : rerata atau mean sampel kedua

D : beda antara skor sampel pertama dan kedua

153

N : jumlah pasangan sampel.

4. CONTOH SOAL UJI BEDA

1) Contoh perhitungan Uji Beda Mean untuk sampel besar (>30)

Peneliti ingin membuktikan apakah ada pembedaan tingkat pertumbuhan

balita yang diberi ASI dan yang diberi susu kaleng, pada tahun

pertumbuhan pertama. Setelah dilakukan pengumpulan data diperoleh

besaran-besaran sebagai berikut: Balita yang mengkonsumsi ASI:

ni = 44

= 78.09

S12 = 304.15

Balita yang mengkonsumsi susu kaleng :

ni = 49

= 68.14

S22 = 325.15

5. LANGKAH – LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL

154

Untuk mencari besarnya koefisien Z. dengan formulasi rumus 15.0 dapat

dilakukan dengan mengikuti prosedur sebgai berikut :

Z =

Z =

Z =

Z =

Z =

Z = 2.67

Tes signifikansi dapat dilihat pada tabel asumsi perkiraan distribusi

normal, prosedurnya adalah sebagi berikut :

1. Berdasar pada besaran Z = 2.67 lalu lihat tabel “area kurvanormal dan

ordinat dari kurva normal “ ditemukan separoh daerah kurva normal

sebesar 0.4962 atau 49.62% hal berarti untuk seluruh daerah kurva

mencakup 2 x 49.62% = 99.24%

2. Dalam kurva normal daerah penerimaan perbedaan rerata yang disebabkan

karena kesalahan sampling adalah sebgai berikut:

a. Taraf kepercayaan 95%

≥1.65 atau≤-1.65 (one - tailed test)

≥1.96 atau ≤-1.96 (two – tailed test)

155

b. Taraf kepercayaan 99%

≥ 2.23 atau ≤ -2.33 (one – tailed test)

≥2.58 atau ≤ (two – tailed test)

3. Jika dalam menggunakan taraf kepercayaan 95% maupun 99% untuk two-

tailed test, 99.24% berada di luar daerah penerimaan perbedaan rerata

(mean) sebab 99.24% lebih besar dari 1.96% maupun 2.58%

4. Kesimpulan adalah bahwa perbedaan rerata mean dari sampel-sampel

diatas bukan karena kesalahan sampling, untuk itu hipotesis nihilnya yang

di ajukan ditolak dari hipoteisi kerja atau hipotesis alternatifnya diterima,

baik pada taraf kepercayaan 95% maupun 99%. Jika peneliti dalam

persoalan ini megajukan hipotesis nihil :

“tidak ada perbedaan tingkat pertumbuhan pada tahun pertama, bagi

belita yang diberi ASI dan diberi susu Kaleng”

2) Contoh Perhitungan Uji-t

a) T-test untuk analisis satu kasus sampel

Contoh:

Seorang peneliti ingin melakukan kajian tentang kemampuan

ujian peserta pencari surat izin mengemudi (sim) kendaran bermotor di

SAMSAT di Jember. Untuk keperluan penelitian diambil sampel

sebanyak 50 peserta, yang dipilih secra acak (random). Standar

156

kelulusan yang di tentukan oleh SAMSAT adalah skor 60 (sebagai

rata-rata populasi).

Dari sampel diperoleh rata-rata skor ujian sebesar 55 dengan

(S) simpangan baku (standar deviasi) sebesar 15. Berdasarkan data ini

KASAD lantas membuat pernyataan bahwa:

“semua peserta ujian mencari SIM dijember mempunyai kemampuan

menyelesaikan soal ujian di bawah standar kelulusan”.

Berdasarkan data di atas, berikut ini dapat dilakukan perhitungan t-tes

atau uji-t nya.

=

=

Berdasarkan hasil perhitungan diatas, maka besarnya standar kesesatan

meannya adalah 2.14, dari besaran ini maka koefisien t nya dapat

dicari dengan rumusan t-tes, sebgai berikut:

t =

t =

t = -2.34

157

jika pernyataan KASAD Lantas diatas diformulasikan kedalam

hipotesis nihil maka akan berbunyi pernyataan sebagai berikut :

“tidak semua peserta ujian mencari SIM dijember mempunyai

kemampuan menyelesaikan soal ujian di bawah standar kelulusan”

Untuk melakukan pengujian hipotesis ini terlebih dahulu dicari derajat

kebebasannya (db) terlebih dahulu yaitu dengan rumus db = N-1, jika

N = 50 maka db = 50-1 =49. Bila besaran derajat kebebasan ini di

konsultasikan pada tabel kritik untuk uji-t, maka diperoleh harga kritik

untuk taraf kepercayaan 99% = 2.704 dan harga taraf kepercayaan

95% = 2.021

b) T-test untuk analisis dua kasus sampel

Contoh :

Seorang peneliti ingin mengetahui perbedaan kemampuan

penguasaan materi penataran, untuk penelitian ini diambil sampel

secara acak sebanyak 20 responden, yang dibagi menjadi 2 kelompok,

masing-masing beranggotakan 10 responden.pada kelompok pertama,

dalam penyajian materi tatar dipakai metode ceramah, sedangkan pada

kelompok kedua, penyajian materi tatar dipakainya metode diskusi.

Setelah penyajian materi pada dua kelompok tersebut lalu diadakan

tes, dan hasilnya terlihat pada tabel berikut :

TABEL 31

Rekapitulasi Data Penguasaan Materi Tatar

158

Dua Kelompok Peserta dengan Dua Metode Penyajian

Skor kelompok

I dg. Ceramah

Skor kelompok

II dg. diskusi

D

beda skor

D2

beda skor8 7 1 18 7 1 15 7 -2 47 6 1 16 6 0 06 5 1 18 5 3 99 8 1 19 7 2 48 8 0 074 66 8 22

Berdasarkan rekapitulasi data diatas, selanjutnya dapat dicari

besarannya rerata masing-masing kelompok, sebagai berikut:

1 = 74/10 = 7.4

2 = 66/10 = 6.6

∑D = 8

∑D = 22

N = 10 Pasang

t =

t =

159

t = 1.9

tes signifikansi dapat dilakukan dengan berpijak pada derajat

kebebasan (db) N = N-1 = 10-1= 9 dalam tabel kritik t diperoleh

harga sebesar 2.262 (untuk kepercayan 95%) dan 3.250 (untuk taraf

kepercayaan 99%).

160

6. SOAL LATIHAN UJI BEDA JAWABANNYA

1. Diambil sampel penelitian secara random dari populasi sebanyak 20

peserta. Pada pelatihan pertama digunakan prosedur deduktif dan pada

penelitian kedua diberi prosedur pelatihan induktif. Selesai pelatihan

dilakukan evaluasi program, untuk mengetahui tingkat keterampilan

peserta pelatihan. Data tingkat keterampilan tersajikan pada tabel berikut :

TABEL

REKAPITULASI DATA HASIL EVALUASI PROGRAM PELATIHAN

DENGAN MENGGUNAKAN PROSEDUR DEDUKTIF DAN INDUKTIF

No. Urut

Responden

Skor Dg.

Prosedur

Deduktif

Skor Dg

Prosedur

Induktif

D

Beda Skor

D2

Beda Skor

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

7

8

5

6

6

6

6

7

8

8

8

8

6

6

6

7

7

8

8

8

5

5

5

4

1

2

-1

-1

-1

-2

-2

-1

3

3

3

4

1

4

1

1

1

4

4

1

9

9

9

16

161

13

14

15

16

17

18

19

20

9

8

9

9

7

7

8

6

4

6

6

7

8

7

7

6

5

2

3

2

1

0

1

0

25

4

9

4

1

0

1

0N = 20 146 126 22 104

Berdasarkan data tabel rekapitulasi diatas, selanjutnya dapat dicari

misalnya rerata skor dari dua prosedur dalam pelatihan, sebagai berikut :

Jawab :

1 = 146/20 = 7.3

2 = 126/20 =6.3

∑D = 22

∑D2 = 104

N = 20 Pasang

t =

t =

t = 2.22

162

2. Seorang ketua RT ingin mendata usia anak dibawah 10 tahun. Untuk

penelitian ini diambil sampel secara acak sebanyak 30 anak, yang nantinya

dibagi menjadi 2 kelompok, satu kelompok anak laki – laki dan satu

kelompok anak perempuan.

Anak

laki –laki

Anak

perempuan

D

Beda skor

D2

Beda skor9

7

5

7

6

5

8

7

8

10

6

7

6

8

10

6

7

8

6

7

9

6

7

7

7

6

6

7

8

7

-3

0

3

-1

1

4

-2

0

-1

-3

0

-1

-1

0

-3

9

0

9

1

1

16

4

0

1

9

0

1

1

0

9109 104 -5 61

Jawab :

1 = 109/10 = 10.9

2 = 104/10 =10.4

∑D = -5

∑D2 = 61

163

N = 15 Pasang

t =

t =

t = 0.94

164

LAMPIRAN-LAMPIRAN UJI NORMALITAS

165

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

DAFTAR PUSTAKA

Darwyansyah, Dkk. 2007. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: Gaung Persada

Press

Hasan, M. Iqbal. 2003. Pokok-Pokok Materi Statitik 2 (statistik inferensif). Jakarta:

PT Bumi Aksara

http://www.goole.com/uji normalitas.html. diakses 13 Desember 2009

Murray R, Spiegel dan Larry J, Stepens. 2007. Statistik Edisi 3. Jakarta. Erlangga

Ps, Djarwanto dan Subagyo, Pangestu. 1996. statistik induktif. Yogyakarta: BPFE-

Yogyakarta

Saefudin, Asep dkk. 2009. Statistik Dasar. Jakarta: PT Grasindo

Soepomo, Bambang.2002.Statistik Terapan; dalam Penelitian Ilmu Sosial dan

Pendidikan. Jakarta: PT Rineka Cipta

Suharyadi. 2008. Statistik untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Salemba Empat

Supranto, J. 2001. statistik dan aplikasi. Jakarta: PT Glora Aksara Pratama

Tri Cahyono. 2006. Uji Normalitas. online (http://scribd.com /uji normalitas.html.

diakses 13 Desember 2009)

Walpope, Ronald E.1995. Pengantar Statistika Edisi ke-3.

176

http://scribd.com/

http://www.goole.com/uji%20normalitas.html

Documents

PROBABILITAS - · PDF fileUntuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas ... Beberapa permutasi dalam STATISTIKA carilah permutasi ... G. JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN 1