1

PROBABILITAS(PELUANG)

Betha Nurina Sari,S.Kom

2

Definisi Klasik Probabilitas

Pendekatan klasik, probabilitas dari suatu kejadian P(A) ditentukan secara apriori tanpa melakukan suatu eksperimen.

Probabilitas dari suatu kejadian P(A) adalah rasio dari jumlah keluaran NA dari kejadian A terhadap jumlah keseluruhan keluaran dari eksperimen.

3

Definisi Frekuensi Relatif

Anggap sejumlah n percobaan dilakukan pada suatu eksperimen. Pada percobaan ini, kejadian A muncul sebanyak nA kali. Probabilitas dari kejadian A, P(A), dapat ditentukan sebagai berikut:

Catat bahwa probabilitas ditentukan setelah dilakukan eksperimen

4

Definisi Aksiomatik

Suatu pengukuran probabilitas pada suatu semesta S merupakan spesifikasi jumlah P(.) yang memenuhi aksioma2 berikut:

1. 0 ≤ P(A) ≤ 1 untuk setiap kejadian A, probabilitas suatu kejadian A berada di antara 0 dan 1.

2. P(S) = 1; probabilitas dari suatu keluaran dimana jumlah anggota semesta hanya 1.

3. Untuk setiap sekuens tk hingga dari kejadian mutual eksklusif A1, A2, …

5

Himpunan

Beberapa komponen yang berhubungan : Eksperimen

Proses pengumpulan data dari sebuah fenomena yang memperlihatkan variasi pada hasilnya.

Ruang sampel Kumpulan dari seluruh kemungkinan

hasil yang didapatkan dari suatu eksperimen, dilambangkan dengan S.

6

Experimen

Eksperimen – pada teori probabilitas mengacu pada suatu proses dimana hasil (outcomes) tidak diketahui secara pasti. Cth., misalkan kita lempar koin sebanyak 10 kali.

Berapa kali kita akan dapatkan gambar burung? Eksperimen menunjukkan bahwa, jika uang koin tsb

fair, maka kita akan dapatkan sebanyak 5 kali sbg rata-rata, dan kita dapat menggunakan hasil tersebut dengan melakukan eksperimen beberapa kali dan memberikan catatan hasil pengamatan tersebut.

Selain dengan melakukan eksperimen, kita dapat menggunakan teori probabilitas untuk membangun suatu model dari sistem yang berubah pada pengukuran yang lain.

7

Peristiwa/Event/Kejadian

Kumpulan hasil-hasil dasar yang digolongkan oleh suatu ciri tertentu.

8

9

Model Probabilitas

Contoh: Pelemparan (toss) suatu dadu

Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6} Event: A = {muncul angka

genap}, B = {muncul angka

ganjil}, D= {muncul angka 2}

Ukuran Probabilitas: P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D)

= 1/6

Mata uang Rp.500,- mempunyai dua sisi yang berbeda, yaitu bunga melati (BM) dan burung garuda (BG). Jika koin dilempar ke atas satu kali, maka kemungkinan keluar BM = BG. Setiap sisi mempunyai probabilitas keluar ½. Jumlah probabilitas BM = 1, dan BG = 1.

Hal ini merupakan hukum probabilitas, yaitu :

Jumlah probabilitas dari masing-masing elemen adalah pasti.

Contoh

Jika dadu yang mempunyai 6 sisi dilemparkan satu kali, maka setiap bidang memiliki probabilitas akan muncul = 1/6.

Secara umum, probabilitas satu perlakuan atas N objek adalah 1/N.

Contoh

Jika kita menghadapi dua orang mahasiswa (A dan B), kemudian kita ingin menentukan siswa mana yang akan maju untuk mengerjakan soal di papan tulis. Jika kita ingin mengambil tiga kali secara acak, maka akan muncul :

AAA BBB AAB BBA ABA BAB ABB BAA

Contoh

Dengan demikian probabilitas A : Tidak tertunjuk = 1/8 Tertunjuk sekali = 3/8 Tertunjuk dua kali = 3/8 Tertunjuk tiga kali = 1/8  Probabilitas B : Tidak tertunjuk = 1/8 Tertunjuk sekali = 3/8 Tertunjuk dua kali = 3/8 Tertunjuk tiga kali = 1/8

Jika kita berhadapan dengan 100 orang mahasiswa, dan kita ingin mengambil 5 orang secara random tanpa pengembalian, maka probabilitasnya adalah :

Pengambilan I : setiap siswa mempunyai probabilitas terpilih 1/100

Pengambilan II : 1/99 (karena 1 orang telah terambil)

Pengambilan III: 1/98 Pengambilan IV : 1/97 Pengambilan V : 1/96

Contoh

15

Aturan-Aturan Probabilitas Probabilitas dari sembarang event

P(A) hrs memenuhi 0 < P(A) < 1

Complement Rule = complement dari sembarang event A adalah event A tdk terjadi

P(Ac) = 1 - P(A)Contoh: Lempar suatu dadu: S ={1,2,3,4,5,6};mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3 = 2/3

16

Addition Rule = untuk dua events A dan B yang terpisah/ disjoint (no common outcomes)

P (A or B) = P(A) + P (B)

Contoh: Lempar suatu dadu: S ={1,2,3,4,5,6};

mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2

=2/3

Aturan-Aturan Probabilitas

17

Multiplication Rule

Contoh dari kasus Dependent: lempar sepasang daduS = {(1,1),(1,2),….(6,6)} 36 kemungkinan outcomesmis A ={dadu pertama 6} =

{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}mis B = {jumlah dadu pertama & kedua =9} = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}Maka P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 4/36 = 1/9 danP(dadu pertama 6, jumlah = 9) = P(A and B) = 1/36

tdk sama P(A) P(B) = 1/54 menunjukan dependence

18

Aturan-Aturan Probabilitas Contoh: suatu web site mempunyai tiga

server A, B, dan C, yg dipilih secara independent dg probabilitas:P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.(a) Cari probabilitas A atau B dipilih

P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4(b) Cari probabilitas A tdk dipilih

P(Ac) = 1 – P(A) = ¾(c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali

P(AA) = P(A)P(A) = 1/16(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) =(1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128

19

Sifat-sifat Probabilitas

(Complement), untuk semua event A, P(AC) = 1 – P(A)

(Impossible Set) P(Ø) = 0 (Monotonicity Rule), jika A B, P(A) ≤ P(B) (Inclusion – Exclusion Rule). Diberikan 2

event A dan B, P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Aturan yang lain dapat diturunkan. Aturan inclusion-exclusion masih dapat dipanjangkan sebagai berikut: Anggap A, B, dan C adalah event di dalam S, maka:P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) –

P(BC) + P(ABC)

Contoh Soal :

1). Suatu kemasan berisi 6 Flash drive A, 4 Flash drive B dan 3 Flash drive C. Bila sesorang mengambil satu Flash drive secara acak, maka :

Peluang terambil satu Flash drive AKarena 6 dari 13 FD dalah Flash A, maka peluang peristiwa A, satu Flash A terpilih secara acak adalah :P(A)=6/13

Peluang terambil satu FD B (peristiwa B) atau FD C(peristiwa C) karena terdapat 7 dari 13 FD adalah FD B atau FD C maka :

13/7)( CBP

Suatu tranmiter membutuhkan energi yang berasal dari 2 sumber yaitu power supply A dan B. Probabilitas power supply A rusak (peristiwa A) adalah 2/3 dan probabilitas power supply B(peristiwa B) rusak adalah 4/9. Bila probabilitas kedua sumber itu rusak adalah ¼, maka probailitas paling sedikit satu sumber rusak adalah :

)()()()( BAPBPAPBAP = 2/3+4/9-1/4

Simulasi Sistem (3)

Contoh Pilihlah satu bola dari kotak berisi bola putih

(W), merah (R), biru (B) dan hijau (G). Anggaplah bahwa P(R)=0,1 dan P(B)=0,5. Berapakah probabilitas terpilihnya bola putih atau bola hijau?

Jawab:WRBG = SDari aksioma (3) kita peroleh P(S) = P(W) + P(R) + P(B) + P(G)Sehingga P(WG) = P(W) + P(G)

= 1 - P(R) - P(B) = 0,4

Simulasi Sistem (3)

Kocoklah sebuah dadu: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6 dimana P(i) adalah probabilitas munculnya muka dadu dengan jumlah i titik.

Pertanyaannya: P{(1,3)} = ? P{(2,4,6)} = ? P{(1,2,4,6)} = ? P{(1,2,4,5,6)} = ?

Latihan soal

24

LATIHAN SOAL2. Dalam sebuah karung terdapat 4 bola merah, 10 bola biru dan 6 bola kuning. Jika dalam satu kali pengambilan secara acak, berapa probabilitas terambil bola merah atau bola biru 3. Dari tumpukan kartu Bridge akan diambil satu kali. a.Berapa probabilitas terambil kartu King atau Demondb. Berapa probabilitas terambil kartu As4.Dari 10 pasien yang datang, terdiri dari 3 laki-laki dan 7 perempuan. Berapa peluang pasien laki-laki yang dipanggil lebihi dulu untuk berobat, jika pemanggilannya secara acak.