Probestadistica1 Cobach Sonora

Probabilidad y Estadstica I

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Esta publicacin se termin de imprimir durante el mes de junio de 2009. Diseada en Direccin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustn de Vildsola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, Mxico La edicin consta de 5,926 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Bulmaro Pacheco Moreno Director Acadmico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administracin y Finanzas Lic. Oscar Rascn Acua Director de Planeacin Dr. Jorge ngel Gastlum Islas PROBABILIDAD Y ESTADSTICA I Mdulo de Aprendizaje. Copyright , 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Segunda edicin 2009. Impreso en Mxico. DIRECCIN ACADMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustn de Vildsola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. Mxico. C.P. 83280 Registro ISBN, en trmite. COMISIN ELABORADORA: Elaboracin: Vctor Manuel Crdova Navarro Ariel Ulises Corts Len Revisin de Contenidos: Adn Durazo Armenta Mara Elena Raya Godoy Correccin de Estilo: Francisco Castillo Blanco Supervisin Acadmica: Nancy Vianey Morales Luna Edicin: Francisco Peralta Varela Coordinacin Tcnica: Martha Elizabeth Garca Prez Coordinacin General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar

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COMPONENTE:

FORMACIN PROPEDEUTICA

GRUPO:

FSICO-MATEMATICO HUMANIDADES-CIENCIAS

SOCIALES

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente

Matemticas IV; la asignatura consecuente es Probabilidad y Estadstica II, y se

relaciona con todas las del grupo Fsico-Matemtico y de Humanidades-

Ciencias Sociales.

HORAS SEMANALES:

03

CRDITOS:

06

Ubicacin Curricular

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________

Plantel: _________________________________________________________

Grupo: ____________ Turno: _____________ Telfono:_______________

Domicilio: _____________________________________________________

______________________________________________________________

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Recomendaciones para el alumno..............................................................7 Presentacin ................................................................................................8 RIEMS .........................................................................................................9 UNIDAD 1. RECOLECCIN DE DATOS ............................................ 11 1.1. Trminos Bsicos de Estadstica .........................................................12

1.1.1 Definicin de estadstica y utilidad ..............................................12 1.1.2 Clasificacin de la estadstica .....................................................12 1.1.3 Definiciones ..................................................................................13

1.2. Mtodos de Muestreo ...........................................................................16 1.2.1 Definicin de muestreo, censo, poblaciones finitas

e infinitas ......................................................................................16 1.2.2 Mtodos de muestreo ..................................................................16

Seccin de tareas ........................................................................................19 Autoevaluacin ...........................................................................................25 Ejercicio de reforzamiento ............................................................................27 UNIDAD 2. REPRESENTACIN TABULAR Y GRFICA ................... 29 2.1. Distribucin de Frecuencias .................................................................30

2.1.1 Frecuencia absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada .............................................................................31 2.1.2 Construccin de distribucin o tabla de frecuencias Para datos no agrupados y agrupados ...............................................32

2.2. Representacin Grfica ........................................................................36 Seccin de tareas ........................................................................................41 Autoevaluacin ...........................................................................................49 UNIDAD 3. MEDIDAS DE CENTRALIZACIN Y VARIABILIDAD ..... 51 3.1. Medidas de Centralizacin ...................................................................52

3.1.1 Medidas de tendencia central para datos no agrupados ...........53 3.1.2 Medidas de variabilidad o dispersin ..........................................57 3.1.3 Medidas de variabilidad o dispersin relativas ...........................58 3.1.4 Medidas de tendencia central para datos agrupados ................59

3.2. Medidas de Variabilidad .......................................................................64 3.2.1 Medidas de variabilidad o dispersin absolutas .........................65 3.2.2 Medidas de dispersin o variabilidad para datos agrupados ....66

Seccin de tareas ........................................................................................69 UNIDAD 4. PROBABILIDAD............................................................... 77 4.1. Teora de Conjuntos ..............................................................................78

4.1.1 Definicin de conjunto, subconjunto y conjunto universal ..........82 4.1.2 Unin de dos conjuntos ...............................................................83

4.2. Conceptos bsicos de Probabilidad ....................................................94 Bibliografa ................................................................................................. 125

ndice

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El presente Mdulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en l se manejan los contenidos mnimos de la asignatura Probabilidad y Estadstica I. No debes perder de vista que el Modelo Acadmico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigacin, el anlisis y la discusin, as como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ah la importancia de atender las siguientes recomendaciones: Maneja el Mdulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos

temticos a revisar en clase. Realiza la evaluacin diagnstica propuesta en el mdulo y entrega los

resultados obtenidos a tu profesor para la retroalimentacin. Refuerza aquellos conocimientos previos propuestos que no recuerdes o

domines. Utiliza el Mdulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesin de clase. Al trmino de cada unidad, resuelve la autoevaluacin, consulta la escala de

medicin del aprendizaje y realiza las actividades que en sta se indican. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o

reafirmar los conocimientos sobre los temas ah tratados. Utiliza la bibliografa recomendada para apoyar los temas desarrollados en

cada unidad. Utiliza y visita los sitios de Internet que se te proponen como sitios de consulta

o para ampliar el conocimiento. Para comprender algunos trminos o conceptos nuevos, consulta el glosario

que aparece al final del mdulo y crea el tuyo propio para incrementar tu acervo.

Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinin sobre los mdulos de

aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx.

Recomendaciones para el alumno

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El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora considera entre sus propsito el proporcionar a los jvenes sonorenses una formacin bsica que consolide su cultura general que incida en actitudes prcticas, positivas y propositivas en la sociedad, una formacin para el trabajo que los prepare para integrarse, enfrentarse o que lo promueva en el mbito laboral o el autoempleo y una formacin propedutica que fortalezca los conocimientos, habilidades, destrezas y actitudes de todos aquellos con aspiraciones personales o vocacionales, que le faciliten o permitan el acceso a la educacin superior. Con la finalidad de contribuir con la formacin propedutica mencionada es que se presenta la asignatura de Probabilidad y Estadstica I en el campo de Fsico-Matemtico y Econmico-Administrativo, de manera que el alumno vincule el conocimiento adquirido en el bachillerato con la educacin superior logrando una mejor incorporacin al mbito universitario independientemente del rea de conocimiento de su eleccin. La importancia de la Estadstica se puede remontar a pocas ancestrales y considera la necesidad del ser humano de tomar en cuenta datos de diversos hechos que resultan esenciales en su vida, como la necesidad de convivencia y organizacin que consideran la recoleccin y estudio de datos con propsitos estadsticos que le permitan desarrollarse como un ente social, econmico, administrativo, belicoso, agrcola, industrial, comercial.

Presentacin

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RIEMS

Introduccin El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, en atencin a los programas de estudio emitidos por la Direccin General de Bachillerato (DGB), ha venido realizando la elaboracin del material didctico de apoyo para nuestros estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos acadmicos a desarrollar da a da en aula, as como el enfoque educativo de nuestra Institucin. Es por ello, que actualmente, se cuenta con los mdulos y guas de aprendizaje para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de Educacin Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del alumno y del profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las competencias listadas a continuacin y aunque stas debern promoverse en todos los semestres, de manera ms precisa entrarn a partir de Agosto de 2009, en el primer semestre.

Competencias Genricas

CATEGORAS COMPETENCIAS GENRICAS

I. Se autodetermina y cuida de s.

1. Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en distintos gneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables.

II. Se expresa y comunica.

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

III. Piensa crtica y reflexivamente.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva.

IV. Aprende de forma autnoma.

7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida.

V. Trabaja en forma colaborativa.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

VI. Participa con responsabilidad en la sociedad.

9. Participa con una conciencia cvica y tica en la vida de su comunidad, regin, Mxico y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crtica, con acciones responsables.

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Competencias Disciplinares Bsicas Matemticas 1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de

procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos,

grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

Competencias docentes: 1. Organiza su formacin continua a lo largo de su trayectoria profesional. 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje

significativo. 3. Planifica los procesos de enseanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque

por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios.

4. Lleva a la prctica procesos de enseanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.

5. Evala los procesos de enseanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.

6. Construye ambientes para el aprendizaje autnomo y colaborativo. 7. Contribuye a la generacin de un ambiente que facilite el desarrollo sano e

integral de los estudiantes. 8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la

gestin institucional.

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Probabilidad y Estadstica 1

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Evaluacin Diagnstica: Ejemplo: Antes de iniciar esta Unidad te recomendamos que revises los temas de la siguiente lista resolviendo algunos ejercicios y los presentes a tu profesor para que los revise y te retroalimentes con las observaciones y sugerencias que te haga de los mismos. Leyes de los signos para la suma. Leyes de los signos para el producto. Manejo de tablas. Operaciones entre nmeros reales. Leyes de los exponentes.

TTRRMMIINNOOSS BBSSIICCOOSS DDEE EESSTTAADDSSTTIICCAA

1.1.1. Definicin de estadstica y utilidad. En esta Unidad se pretende que el alumno se forme una idea de los conceptos bsicos de la estadstica, con el fin de que se le facilite la introduccin al curso. En la vida cotidiana se presentan fenmenos que requieren del empleo de una serie de tablas, medidas, grficas, de su anlisis e interpretacin para comprenderlos, lo cual nos lleva a plantearnos una serie de interrogantes donde para poder responderlas la Estadstica da a da va ganando mayores adeptos, convirtindose en un mtodo efectivo para describir con exactitud los valores y datos de situaciones problemticas de las distintas ciencias agrcolas, biolgicas, de salud, econmicas, educativas, fsicas, polticas, psicolgicas, sociales, etctera. Se llama Estadstica a la rama de las matemticas que se sirve de un conjunto de mtodos, normas, reglas y principios para la observacin, toma, organizacin, descripcin, presentacin y anlisis del comportamiento de un grupo de datos para la conclusin sobre un experimento o fenmeno. 1.1.2. Clasificacin de la Estadstica La estadstica tiene bsicamente dos divisiones: La Estadstica Descriptiva: es la parte de la Estadstica que estudia las tcnicas y mtodos que sirven para la observacin, toma, organizacin, descripcin, presentacin y anlisis de datos. La Estadstica Inferencial: es la parte de la Estadstica mediante la cual se intenta dar explicacin, concluir o inferenciar sobre los experimentos y fenmenos observados, mediante el auxilio de la probabilidad, estadstica descriptiva y distribucin de probabilidad, por lo que resulta una herramienta de suma utilidad para la toma de decisiones. Ejemplo 1: como ejemplo podramos citar el caso de un socilogo, quien pudiera estar interesado en averiguar si entre las 750,000 personas que conducen automviles son ms agresivos los conductores hombres o mujeres.

11..11..

La representacin por grficos de los anlisis estadsticos obtenidos es tan diversa que en la actualidad podemos utilizar grficos en tercera dimensin y hasta rotaciones de 360, parte importante en la estadstica que nos permite una panormica generalizada del fenmeno en estudio sin la necesidad de realizar una lectura exhaustiva del documento que lo contenga.

TAREA 1 y 2

Pginas 19 y 21

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Recoleccin de datos

Para la realizacin de este experimento, y debido al gran nmero de personas que habra de sondear, queda fuera de consideracin el hecho de observar a todos los conductores de automvil. Por lo que sera necesario estudiar slo un pequeo grupo de ellos (muestra), siendo sta la parte que le corresponde a la estadstica descriptiva: El hecho de observar a los conductores, tomar y anotar los datos de forma organizada, hacer una descripcin del carcter y sexo del individuo observado, hacer una presentacin de los datos obtenidos y, por ltimo, analizar los resultados de la muestra. Sin embargo, al estar en observacin slo un grupo representativo de conductores, cabe la posibilidad de que las conclusiones a las que se pudieran llegar no sean tan precisas y podra no tenerse la certeza de que se ha tomado la inferencia correcta. Es aqu donde entra en juego la estadstica inferencial, al considerarse como una ayuda para la toma de decisiones cuando las condiciones de certidumbre estn en juego. La estadstica inferencial nos proporciona los mtodos que nos permiten estimar el grado de confiabilidad de las conclusiones. Por lo que en cada proposicin estadstica hecha, se debe indicar la probabilidad de ocurrencia de los actos observados o descubrimientos hechos para as tomar decisiones que sean aplicables a todos los conductores de automviles. 1.1.3. Definiciones. Se le llama Poblacin a la cantidad total de cualquier conjunto completo de datos, objetos, individuos o resultados que tengan alguna caracterstica en comn que se va a observar o analizar en un problema o experimento. Denotaremos al tamao de la poblacin por N. En nuestro ejemplo 1 se considera como poblacin a todos los conductores de automviles. As: N = 750,000 El significado estadstico que se le da al trmino poblacin es ms amplio que el usual, ya que puede referirse a actos, reas geogrficas, cosas, datos, objetos, individuos, resultados, e incluso a temperaturas o tiempos. Se le llama Muestra a cualquier subconjunto de elementos de la poblacin. El inters de la Estadstica es proporcionar mtodos que permitan elegir una muestra de datos representativos destinado a suministrar informacin a cerca de una poblacin, teniendo como caracterstica fundamental que todos sus elementos deben tener todas las caractersticas de la poblacin. Denotamos al tamao de la muestra por n. En nuestro ejemplo una muestra podra ser: 500 semiconductores elegidos al azar, en este caso n=500. La muestra y sus caractersticas dependen del criterio del muestreo empleado para su determinacin. Sin embargo, para que una muestra sea representativa de la poblacin, sta deber contener aproximadamente entre el 5 % y el 10 % de los datos de la poblacin cuando sta es finita, adems los elementos de la muestra deben ser escogidos al azar (a la suerte) y se deben observar todas las caractersticas que se observan en la poblacin. Se le llama Variable a la cualidad o cantidad medible de cualquier suceso o accin que presente o experimente un cambio, la podemos representar mediante un smbolo (X, Y, Z, , , , ) y al cual se le puede asignar un valor cualquiera de un conjunto determinado de datos.

TAREA 3

Pgina 23.


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Le llamamos Variable Aleatoria a aquella variable cuyos cambios no pueden ser determinados antes de que estos se presenten; es decir, estn destinados a la suerte. Tambin se le conoce como Variable Probabilista, Cabalstica, de Azar o a la Suerte. Tipos de variables Para su estudio, las variables aleatorias se han clasificado segn la naturaleza de los valores que toman en: Variables Numricas y Variables Categricas. Variables Numricas o Cuantitativas: son aquellas que se identifican o se les puede asignar un valor numrico o que corresponden a aspectos que son medibles. Ejemplo: Tiempo de uso, precio, tamao, velocidades, nmero de hijos de una familia, nmero de carros que circulan por determinada calle, alturas, pesos, tallas, temperaturas, tiempo de vida de una persona, cantidad de azcar para endulzar un caf, medida de sombreros, etctera. Las variables numricas se dividen en: Variables Numricas Discretas: son aquellas que solamente toman valores enteros con rango finito, Ejemplo: Nmero de hijos en cada familia de una colonia de la ciudad, talla de calzado de cada alumno de un grupo escolar, la cantidad de alumnos por grupo, etc. Variable Numrica Continua: son aquellas que pueden tomar cualquier valor entre dos valores dados. Es decir, el rango contiene no slo valores enteros sino un intervalo (finito o infinito) de valores reales (esto es, que puede ser fraccionario, decimal o irracional). Ejemplo: El tiempo de vida de una persona, la cantidad de azcar para endulzar un caf, el nivel de hemoglobina de los habitantes de una colonia, la temperatura ambiental durante un da, etctera. Variables Categricas o Cualitativas: son aquellas a las que no se les puede asignar o identificar con un valor numrico, sino con un aspecto, cualidad o caracterstica que las distinga y que no se pueden medir sino solo observar, a ese aspecto, cualidad o caracterstica se le llama categora, Ejemplos: Marca, tipo de sangre, deporte preferido, el estado en general de cualquier cosa, idioma, nacionalidad, colores, cabello o piel, himnos nacionales, sexo, estado de nimo, clima, etctera. En las variables categricas, un elemento no puede estar en dos o ms categoras a la vez, lo cual las hace excluyentes y adems no puede haber elementos de la poblacin que no pertenezcan a alguna categora, lo cual las hace exhaustivas. Las variables categricas se dividen en: Variables Categricas Nominales: son aquellas a las que no se les puede asignar un orden, es decir que slo permite clasificacin en categoras por mencin de sta. Ejemplo: La nacionalidad de una persona, idioma, sexo, himnos nacionales. Variables Categricas Ordinales: son aquellas que adems de clasificar a los elementos en distintas categoras les podemos asignar un orden o que podemos ordenar de acuerdo a cierta caracterstica. Por ejemplo: El estado de salud de una persona; que podemos ordenarla segn la urgencia del caso, el color de algn objeto segn la tonalidad desde muy clara a ms oscuro; que podemos ordenarlo de acuerdo a la intensidad del color, el grado militar, puesto en la empresa, da de la mam, meses del ao, etctera.

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Recoleccin de datos

Se le llama Datos a las agrupaciones de cualquier nmero de observaciones relacionadas. Para que se considere un dato estadstico debe tener dos caractersticas: a) Que sean comparables entre s. b) Que tengan alguna relacin. La recoleccin de informacin o recopilacin de datos estadsticos se divide en: Datos Internos: son aquellos datos que no necesitan de observaciones adicionales al experimento; es decir, no es necesario buscar caractersticas que proporcionen informacin adicional acerca del experimento. Ejemplo: Las calificaciones de un grupo, un experimento qumico, etctera. Datos Externos: estos datos pueden ser de dos tipos: a) Datos Bibliogrficos son aquellos ya conocidos y que podemos encontrar fcilmente utilizando bibliografa, registros, actas, etctera, como los datos histricos, censos y otros. b) Datos Originales son aquellos que podemos obtener mediante mtodos de recoleccin, como las encuestas, plebiscitos, referndum, y nos proporcionan datos reales y certeros. Para Organizar los datos: existen muchas formas de clasificarlos, en general pueden ser determinados de acuerdo a cuatro elementos que son: Tiempo, lugar, cantidad y cualidad. Presentacin de Datos: despus de la organizacin de los datos, la informacin se resume en Tablas Estadsticas con base en arreglos formados de renglones y columnas, adecuados segn cronologa, geografa, anlisis cuantitativo o cualitativo. Los principales elementos de una tabla estadstica son: Ttulo, unidades, encabezado, cuerpo o contenido, nota de pie y referencias; la informacin contenida en una tabla estadstica tambin se puede presentar mediante graficas, siendo las ms comunes las de lneas, barras, pictogrficas, carogramas, circulares o de pastel, histograma y polgono de frecuencias. Se le llama Experimento a toda accin o prueba que se realiza con el fin de observar su resultado. Existen dos tipos de experimentos, que son: Experimento Determinista: son aqullos en los que se puede predecir con certeza su resultado antes de que ste se presente. Ejemplo: Al lanzar en un cuarto un libro al aire con el fin de determinar si flota, se queda unido al techo o cae al suelo, sabemos con certeza que el libro caer al suelo, lo cual lo hace un experimento determinista. Experimento Aleatorio, Probabilista, casual o de azar: hablar de aleatorio, probabilista, casual o azar es hablar de algo que est determinado a la suerte. As, decimos que un Experimento Aleatorio ocurre cuando no es posible asegurar el resultado que se va a presentar. Ejemplo: Al lanzar una moneda al aire no sabemos si el resultado va a ser guila o sello, lanzar un dado, etctera. Se llama Muestreo al estudio que se hace de una poblacin por medio de muestras representativas, debidamente elegidas de manera que posea todas las caractersticas de una poblacin y de tamao determinado segn la precisin que de ella se quiere obtener en las decisiones y conclusiones estadsticas posteriores.

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Recoleccin de datos

incidental, por cuotas, intencional por conveniencia o de juicio. Aunque este tipo de muestreo no ser objeto de estudio en este curso. El muestreo Aleatorio simple es el tipo de muestreo en el cual todos y cada uno de los elementos de la poblacin se elige de tal forma que tengan la misma posibilidad de ser seleccionados y pertenecer a la muestra. El muestreo Sistemtico se utiliza cuando el universo es de gran tamao o ha de extenderse en el tiempo y requiere de una seleccin aleatoria inicial de observaciones seguida de otra seleccin de observaciones, obtenida mediante una constante denominada constante de sistematizacin Cs= N/n; donde N es el tamao de la poblacin y n el tamao de la muestra. Esta constante nos sirve para determinar cada cuntos elementos o cada cunto tiempo se debe elegir el siguiente; para ello hay que elegir al azar un nmero entre 1 y Cs; de ah en adelante tomar uno de cada K a intervalos regulares. Ocasionalmente, es conveniente tener en cuenta la periodicidad del fenmeno. EJEMPLO 2: Para obtener una muestra de suscriptores telefnicos en una ciudad grande, puede obtenerse primero una muestra aleatoria de los nmeros de las pginas del directorio telefnico; al elegir el vigsimo nombre de cada pgina obtendramos un muestreo sistemtico, tambin podemos escoger un nombre de la primera pgina del directorio y despus seleccionar cada nombre del lugar nmero cien a partir del ya seleccionado. Por ejemplo, podramos seleccionar un nmero al azar entre los primeros 100; supongamos que el elegido es el 40, entonces seleccionamos los nombres del directorio que corresponden a los nmeros 40, 140, 240, 340 y as sucesivamente. El muestreo sistemtico suele ser ms preciso que el aleatorio simple, ya que recorre la poblacin de un modo ms uniforme. Por otro lado, es a menudo ms fcil no cometer errores. En el tipo de muestreo Estratificado se involucra la divisin previa de la poblacin en subgrupos, clases o estratos que se suponen mas homogneos, y a los cuales se le asigna una cuota que determina el nmero de miembros del estrato que compondrn la muestra, estos son escogidos mediante muestreo aleatorio simple. Segn la cantidad de elementos de la muestra que se han de elegir de cada uno de los estratos, existen dos tcnicas de muestreo estratificado: Asignacin proporcional: el tamao de cada estrato en la muestra es proporcional a su tamao en la poblacin. Asignacin ptima: la muestra recoger ms individuos de aquellos estratos que tengan ms variabilidad. Para ello es necesario un conocimiento previo de la poblacin. EJEMPLO 3: si suponemos un estudio sobre la poblacin de estudiantes de cierto plantel del Cobach, en el que a travs de una muestra de 10 de ellos queremos obtener informacin sobre el uso del lpiz labial. Pero reflexionando sobre que el comportamiento de la poblacin con respecto a esta caracterstica no es homogneo, podemos dividir a la poblacin en dos estratos: Estudiantes masculinos 40%. Estudiantes femeninos 60%.

De modo que la asignacin proporcional a esta muestra es en funcin de sus respectivos tamaos (6 varones y 4 mujeres).


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Ojo! Recuerda que

debes resolver la

autoevaluacin y los

ejercicios de

reforzamiento; esto te

ayudar a enriquecer

los temas vistos en

clase.

Pero tambin podramos observar que el comportamiento de los varones con respecto a la caracterstica en estudio es muy homogneo y diferenciado del grupo de las mujeres que es muy variable. De modo que la asignacin ptima de una muestra de 10 alumnos, nos indica que es ms conveniente elegir ms individuos en los grupos de mayor variabilidad. De la cual obtendramos mejores resultados estudiando una muestra de 1 varn. 9 mujeres.

Se le llama muestreo Por conglomerados al dividir primero la poblacin en grupos o conglomerados convenientes para el muestreo, seleccionando de cada uno de ellos una porcin, al azar o por un mtodo sistemtico. Bajo este mtodo, aunque no todos los grupos son muestreados, cada grupo tiene una igual probabilidad de ser seleccionado. Por lo tanto, la muestra es aleatoria. Una muestra por conglomerados, usualmente produce un mayor error muestral que una muestra aleatoria simple del mismo tamao; sin embargo, puede ser obtenida dentro de un corto perodo de tiempo y a bajo costo. Adems una muestra por conglomerados ofrece la misma precisin en la estimacin que una muestra aleatoria simple, si la variacin de los elementos individuales dentro de cada conglomerado es proporcionalmente tan grande como la de la poblacin.

19

Recoleccin de datos

INSTRUCCIONES: Consulta la pgina www.consulta.com.mx, elige un estudio realizado y determina cuales son los distintos conceptos estadsticos que aparecen, tales como:

a) Poblacin. b) Muestra elegida. c) Muestreo aplicado. d) Variables involucradas

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Revisin: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

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21

Recoleccin de datos

INSTRUCCIONES: Investiga tres conceptos diferentes de Estadstica y antalas.

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Recoleccin de datos

INSTRUCCIONES: Elabora dos ejemplos en donde se desglose la Estadstica descriptiva y la Estadstica inferencial.

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TAREA 3


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Recoleccin de datos

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el crculo de la opcin que consideres correcta. 1. Rama de las matemticas en donde a travs de un conjunto de metodologas se puede observar el

comportamiento de un experimento o fenmeno y da una conclusin acertada. Estadstica Estadstica diferencial Estadstica inferencial Estadstica aplicada

2. Cules son las dos clasificaciones de la estadstica? Inferencial y aplicada Aplicada diferencial Descriptiva e inferencial Descriptiva y diferencial. 3. Conjunto de datos cuya finalidad es suministrar informacin acerca de una poblacin en donde todos

los elementos deben tener todas las caractersticas de la poblacin. Poblacin Muestra Estadstica Datos

4. Tipo de variable al que se le puede asignar un valor numrico: Numricas o cuantitativas Categricas o cualitativas Numrica continua Cabalstica 5. As se le llama al estudio que se hace de una poblacin por medios de muestras representativas que

posea todas las caractersticas de una poblacin: Muestra Muestreo Experimento Organizar

Nombre _________________________________________________________

Nm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Nm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

AUTOEVALUACIN


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27

Recoleccin de datos

INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios. 1. Recorta de un peridico una nota o noticia informativa donde se involucre a la estadstica, pgala en tu

cuaderno, analzala y determina:

a) La poblacin de estudio. b) La muestra elegida. c) Las variables involucradas.

2. Propn por escrito, al menos dos maneras diferentes de cmo podras elegir al azar una muestra de

cinco compaeros de tu grupo. 3. A continuacin se te proporciona una serie de variables estadsticas, clasifica cada una como nominal,

ordinal, discreta o continua segn corresponda.

a) Peso. b) Promedio escolar. c) Estado civil. d) Semestre que cursa. e) Mes de nacimiento. f) Nmero de hermanos por alumno. g) Deporte favorito. h) Tiempo invertido al da en el chat.

4. Realiza en equipo (mximo cinco alumnos) un estudio y anlisis de una investigacin mdica, industrial,

el comercio, etc. Apoyada con estadsticas y determina que conceptos de la estadstica se involucran e identifican.

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________

Nm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________

Nm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________


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UUnniiddaadd 22 RReepprreesseennttaacciinn

TTaabbuullaarr yy GGrrffiiccaa

Objetivos: El alumno: Construir representaciones tabulares y grficas, tras decidir el tipo de datos al que pertenecen los obtenidos en algn experimento, dndole el manejo adecuado, mediante los procesos para datos no agrupados y agrupados, destacando de stos los aspectos ms relevantes con el fin de conocer y facilitar la descripcin estadstica del fenmeno, mostrando una actitud crtica, propositiva y de respeto dentro del aula.

Temario: Distribucin de Frecuencias. Frecuencia absoluta, absoluta

acumulada, relativa y relativa acumulada.

Construccin de distribucin o tabla de frecuencias para datos no agrupados y agrupados.

Representacin Grfica. Histograma Polgono de frecuencias Ojiva De barras Circular

Organizador anticipado: Un arreglo ordenado de las observaciones de un fenmeno nos puede proporcionar comprensibilidad y mayor significancia en el manejo y estudio de las mismas, sobre todo puede lograrse una mayor sntesis si las ordenamos conforme a una tabla o distribucin de frecuencias; sin embargo, y aunque la distribucin de frecuencias es quizs el recurso mayormente utilizado al momento de realizar el estudio de algn fenmeno, es tambin deseable que pudiramos utilizar este recurso para observar y describir el fenmeno con valores ms resumidos de la informacin, sobre todo si atendemos a la caracterstica natural de la distribucin de datos a concentrarse hacia el centro, permitindonos tambin estudiar y describir la variabilidad o dispersin de la distribucin de los datos.


30

Evaluacin Diagnstica: Ejemplo: antes de iniciar esta Unidad te recomendamos que revises los temas de la siguiente lista resolviendo algunos ejercicios y los presentes a tu profesor para que los revise y te retroalimentes con las observaciones y sugerencias que te haga del mismo. Leyes de los signos para la suma Leyes de los signos para el producto Manejo de tablas Operaciones entre nmeros reales Manejo de la calculadora

DDIISSTTRRIIBBUUCCIINN DDEE FFRREECCUUEENNCCIIAASS

Una Distribucin o Tabla de Frecuencias es la representacin conjunta de los datos en forma de tabla o subgrupo de datos correspondientes a un fenmeno en estudio, y su ordenamiento en base al nmero de observaciones que corresponden a cada dato o a cada grupo de datos, adecuados segn cronologa, geografa, anlisis cuantitativo o cualitativo. Los principales elementos de una tabla estadstica son: Ttulo, unidades, encabezado, cuerpo o contenido, nota de pie y referencias. Se elabora colocando en la primera columna los datos diferentes o subgrupos de datos (llamados clases o intervalos de clase) y en la columna siguiente el nmero de observaciones que corresponden a cada dato o a cada grupo de datos (llamada frecuencia). Una tabla de este tipo dar, en forma abreviada, una informacin completa acerca de la distribucin de los valores observados. Estas tablas facilitan el uso de los mtodos grficos y aritmticos.

La presentacin de los datos en forma ordenada, por medio de una tabla, depender de los datos de que se trate, y si estos son cualitativos o cuantitativos como se muestra a continuacin:

Datos Ordenamiento

Cualitativos

Alfabtico A Z

Alfabtico Z A

Del ms al menos repetido

Del menos al ms repetido

Cuantitativos Creciente (menor al mayor)

Decreciente (mayor al menor)

Tabla 2.1.1. EJEMPLO 2.1.1. Se pregunt a un grupo de alumnos de primer ao del Cobach

Plantel Huatabampo, por la asignatura de su preferencia, arrojndose los siguientes resultados:

22..11..

En los grficos podemos observar la caracterstica natural de la distribucin de datos a concentrarse

hacia el centro y la variabilidad de los datos

en los extremos.

31

Recoleccin de datos

Distribucin de frecuencias

Asignaturas Asignatura Repeticiones (frecuencias)

Mate Social Taller Qum. Infor Mate Ingls tica y valores 5

Mate Qum. Infor Ingls tica Ingls Social Informtica 9

Ingls tica Mate Taller Qum. Mate Taller Ingls 10

Social Mate Ingls Infor Ingls tica Infor Matemticas 9

Mate Ingls Infor tica Qum. Taller Ingls Qumica 6

Social Ingls tica Taller Infor Qum. Taller Sociales 4

Taller Infor Mate Qum. Infor Mate Infor Taller de lectura 7

Ingls Total 50

EJEMPLO 2.1.2: Cierta universidad realiz un experimento sobre el coeficiente intelectual (C.I.) de sus alumnos, para lo cual aplic un examen de C.I. a un grupo de 20 alumnos escogidos al azar, obteniendo los siguientes resultados:

119, 109, 124, 119, 106, 112, 112 , 112, 112, 109, 112, 124, 109, 109, 109, 106, 124, 112, 112,106.

Toda vez que se tienen los datos, se ordenan de menor a mayor o viceversa.

106, 106, 106, 109, 109, 109, 109, 109, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 112, 119, 119, 124, 124, 124

2.1.1. Frecuencia absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada.

Frecuencia Absoluta de un dato es el nmero de veces que se repite ese dato,

tambin se presenta la frecuencia absoluta de un intervalo que se refiere al nmero de datos que pertenecen a ese intervalo. La denotaremos por f .

Frecuencia Absoluta Acumulada: Hasta un dato especfico, es la suma de las frecuencias absolutas de todos los datos anteriores, incluyendo tambin la del dato mismo del cual se desea su frecuencia acumulada. De un intervalo es la suma de las frecuencias absolutas de todos los intervalos de clase anteriores, incluyendo la frecuencia del intervalo mismo del cual se desea su frecuencia acumulada. La denotaremos por af . La ltima frecuencia absoluta acumulada deber ser igual al nmero total de datos.

Frecuencia Relativa: De un dato, se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de cada dato entre el nmero total de datos. De un intervalo se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de cada intervalo entre el nmero total de datos. La denotamos por rf .

Frecuencia Relativa Acumulada: Hasta un dato especfico, es la suma de las frecuencias relativas de todos los datos anteriores, incluyendo tambin la del dato mismo del cual se desea su frecuencia relativa acumulada. De un intervalo es la suma de las frecuencias relativas de todos los intervalos de clase anteriores

Datos Repeticiones

106 3

109 5

112 7

119 2

124 3


32

incluyendo la frecuencia del intervalo mismo del cual se desea su frecuencia relativa acumulada, La denotaremos por raf . La ltima frecuencia relativa acumulada deber ser igual a la unidad.

2.1.2 Construccin de distribucin o tabla de frecuencias para

datos no agrupados y agrupados. Datos no agrupados

Datos diferentes: Consideraremos como un dato diferente, a cada uno de los

distintos datos que se presentan en la muestra, los denotaremos por ix . Y al nmero total de datos diferentes lo denotaremos por m .

Datos no Agrupados: Cuando el tamao de la muestra (n) es finito y el nmero de datos diferentes es pequeo (consideraremos pequeo k 10), es fcil hacer un anlisis de los datos tomando cada uno de los datos diferentes y ordenndolos tomando en consideracin la tabla 2.1.1.

EJEMPLO 2.1.3: Utilicemos los datos de los ejemplos 2.1.1. y 2.1.2.

Asignatura de Preferencia

ix f af rf raf

tica y valores 5 5 0.1 0.1

Informtica 9 14 0.18 0.28

Ingls 10 24 0.2 0.48

Matemticas 9 33 0.18 0.66

Qumica 6 39 .12 0.78

Sociales 4 43 0.08 0.86

Taller de lectura 7 50 0.14 1

Total 50 1

Coeficiente Intelectual

ix f af rf raf

106 3 3 0.15 0.15

109 5 8 0.25 0.40

112 7 15 0.35 0.75

119 2 17 0.10 0.85

124 3 20 0.15 1

Total 20 1

TAREA 1

Pgina 41.

33

Recoleccin de datos

Ahora resulta un poco inoperante el realizar clculos repetitivos, sobre todo cuando se trata de una infinidad de datos o cuando el tamao de la muestra es considerablemente grande, por lo que se utiliza el agrupar los datos en subgrupos llamados intervalos o clases.

Datos agrupados

Datos Agrupados: Cuando el tamao de la muestra es considerable o grande y

los datos numricos son muy diversos (n>15), conviene agrupar los datos de tal manera que permita establecer patrones, tendencias o regularidades de los valores observados. De esta manera podemos condensar y ordenar los datos tabulando las frecuencias asociadas a ciertos intervalos de los valores observados.

Intervalos de Clase: Son los intervalos en los que se agrupan y ordenan los valores observados. Cada uno de estos intervalos est delimitado (acotado) por dos valores extremos que les llamamos lmites.

Pasos a seguir para construir intervalos de frecuencia.

1. Determinar la cantidad de intervalos apropiada. La seleccin del nmero adecuado de intervalos y los lmites entre ellos dependen del criterio o experiencia de quien realiza el estudio. Sin embargo, existen reglas empricas para calcular el nmero de intervalos; la ms empleada es la Regla de Sturges, cuya expresin es: K= 1 + 3.3 nLog Donde: K=Nmero de intervalos el cual siempre debe ser un nmero entero. Razn por la cual se deber redondear el resultado al entero ms cercano. n= Nmero de datos. Log = logaritmo en base 10.

Otra regla utilizada es la de Velleman que establece que el nmero de Intervalos

se obtiene de la raz cuadrada del nmero de datos; es decir K= n , recomendable para tamaos de muestra pequeos (n< 50)

El nmero de intervalos determinado mediante cualquier regla se aproxima al valor entero ms cercano pero deber ser responsabilidad de quien realiza el estudio, pudiendo utilizar ste en ocasiones uno menor o mayor al obtenido por cualquier regla, si esto le permite tener intervalos con la misma amplitud. Sin embargo, la mayora de las reglas subestiman el nmero de intervalos.

2.- Calcular el rango de los datos.

Llamamos rango al nmero de unidades de variacin presente en los datos recopilados y se obtiene de la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Se representa con la letra R .

=R dato mayor dato menor.

3.- Obtencin de la amplitud o anchura que tendr cada intervalo.


34

Se encuentra dividiendo el rango por el nmero de intervalos. Se representa con

la letra A de tal manera que KRAc = .

4.- Construccin de los intervalos. Los intervalos de clase son conjuntos numricos y deben ser excluyentes y exhaustivos; es decir, si un dato pertenece a un intervalo determinado, ya no podr pertenecer a otro, esto quiere decir excluyentes y adems todos y cada uno de los datos deber estar contenido en alguno de los intervalos, esto les da el valor de exhaustivos. Las dos caracteres mencionadas anteriormente se logran construyendo intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha; esto se simboliza a travs del uso de corchetes y parntesis respectivamente. Por razones naturales, el ltimo intervalo ser cerrado por ambos extremos. . El primer intervalo se construye de la siguiente manera: Habr de iniciar con el dato menor, el cual ser el extremo inferior del intervalo; el otro extremo se obtiene de la suma del dato menor y la amplitud, con este mismo valor iniciamos el segundo intervalo, del cual el segundo extremo se encuentra sumando al valor anterior la amplitud y este proceso se repite sistemticamente hasta completar el total de intervalos indicado por la regla elegida, por ejemplo la de Sturges. Los valores extremos o lmites de intervalo. Los intervalos de clase deben estar definidos por lmites que permitan identificar plenamente si un dato pertenece a uno u otro intervalo. Estos lmites son los valores extremos de cada intervalo. Lmite inferior: Es el extremo menor de cada intervalo y lo denotaremos por Li . Lmite superior: Es el extremo mayor de cada intervalo y lo denotaremos por Ls.. Tambin ser muy til conocer y calcular la Marca de Clase de cada intervalo: Se refiere al Punto Medio del intervalo y a travs de el representaremos a todo el intervalo, lo denotaremos por MC y una de las maneras de calcularla es promediando los valores lmite de cada intervalo, es decir:

MC = 2si LL +

EJEMPLO 2.1.4: Un grupo de investigadores pertenecientes a la secretara de seguridad pblica, tom una muestra aleatoria de las velocidades (km/h) registradas por 30 vehculos en el trayecto Hermosillo Ures, con el fin de establecer nuevos lmites mximos de velocidad para una carretera. La muestra arrojo los datos siguientes:

90, 99, 104, 99, 119, 98, 95, 112, 95, 120, 100, 90, 116, 96, 114, 108, 98, 118, 100, 106, 114, 100, 112, 106, 100, 115, 111, 105, 114, 97 Toda vez que se tienen los datos, se recomienda ordenarlos de menor a mayor o viceversa 90, 90, 95, 95, 96, 97, 98, 98, 99, 99, 100, 100, 100, 104, 105, 106, 108, 111, 112, 112, 114, 114, 115, 116, 118, 119, 120

35

Recoleccin de datos

Ahora llevamos a la prctica los pasos descritos anteriormente para la construccin de los intervalos. Primero obtendremos el nmero de intervalos que vamos a utilizar, para lo cual empleamos la Regla de Sturges:

K = 1 + 3.3Log (30) = 1+ 3.3 (1.4771212547) =1+ 4.87

= 5.87 6 Segundo, calculamos el rango de variacin, R = 120 90 = 30 Tercero, obtenemos la amplitud de cada intervalo de clase como sigue:

5630 ==Ac

Finalmente construimos los intervalos, el primero de ellos inicia con 90 que es el extremo inferior que, sumado a 5 obtenemos 95, que ser el extremo superior; este extremo ser el inferior del segundo intervalo; y al sumar nuevamente la amplitud tendremos 100 que ser el extremo superior y as sucesivamente hasta completar los 6 intervalos., que se muestran enseguida:

[90 95), [95 100), [100 105), [105 110) [110 115) y [115 120] Los corchetes expresan que el valor extremo se incluye en el intervalo y los

parntesis dan a entender que el valor extremo del intervalo no se incluye en el. Para la construccin de distribuciones de frecuencias contabilizamos el nmero

de datos que le corresponden a cada intervalo; es decir obtenemos las frecuencias absolutas y de estas podemos generar los dems tipos de frecuencias y presentarlas en una tabla de resumen como la que a continuacin se muestra:

Distribuciones de frecuencias para las velocidades

Intervalos de Clase f af rf raf cm [ 90 95) 2 2 0.07 0.07 92.5 [ 95 100) 8 10 0.27 0.34 97.5 [100 105) 5 15 0.17 0.51 102.5 [105 110) 4 19 0.13 0.64 107.5 [110 115) 6 25 0.20 0.84 112.5 [115 120] 5 30 0.16 1.00 117.5

Total 30 1.00

TAREA 2

Pgina 43.


36

RREEPPRREESSEENNTTAACCIINN GGRRFFIICCAA

Toda vez que se ha hecho el anlisis de frecuencias, existe en estadstica, un conjunto de imgenes grficas, las cuales combinando distintos tipos de colores, sombreados, puntos, lneas, smbolos, nmeros o texto, etctera, y un sistema de referencia (coordenadas), nos permite la representacin en forma ms resumida y total del experimento o fenmeno en estudio. Los grficos son muy tiles como apoyos e incluso sustitutos de las tablas o distribuciones y como una herramienta para el anlisis de los datos, lo que los convierte en el medio ms efectivo para la presentacin, descripcin, resumen y anlisis de la informacin

En este curso se abordarn los grficos estadsticos como un vehculo de presentacin y herramienta de anlisis que permita observar tendencias presentes en los datos obtenidos al realizar un estudio.

Una manera sencilla de diferenciar los segmentos es sombrendolos de claro a oscuro, siendo el de mayor tamao el ms claro y el de menor tamao el ms oscuro.

Presentacin de Datos: Despus de la Organizacin de los datos y su presentacin en Tablas Estadsticas, la informacin contenida en una tabla estadstica tambin se puede presentar mediante graficas, siendo las ms comunes para variables discretas (datos no agrupados) las de: Barras y circulares o de pastel; y para variables continuas (datos agrupados) el histograma, polgono de frecuencias y ojiva. Estos grficos no son los nicos para la presentacin y anlisis de datos estadsticos, pero si los ms comunes y utilizados.

22..22..

37

Recoleccin de datos

El empleo de sombreado o colores facilita la diferenciacin de las barras. El punto cero se indica en el eje de ordenadas. En la rotulacin de los ejes se utiliza tipografa legible. La leyenda se ubica dentro de los lmites de la grfica. La longitud de los ejes debe ser suficiente para acomodar la extensin de la

barra. El pie de figura explica las bandas de error y los tamaos de las muestras.

Grfica de Barras: es un mtodo grfico que consta de dos ejes: Uno horizontal, en el que se representan los valores (Eje de los datos) utilizando barras verticales en forma rectangular y de la misma amplitud, y un eje vertical, en el cual la frecuencia representa la altitud que tendr la barra rectangular (Eje de las frecuencias), las barras van separadas la misma distancia unas de otras y para distinguirlas puede utilizarse distintos colores o entramados segn se considere.

Ejemplo: Utilizando los datos del ejemplo 2.1.4.

Grfica Circular de Pastel o tambin llamada del 100%: este grfico se utiliza fundamentalmente, para representar distribuciones de frecuencias relativas (es decir, porcentajes % o proporciones) haciendo corresponder la medida de la frecuencia relativa con la medida del ngulo en grados; es decir, si el 100 % de los datos son 360 de la circunferencia, a cada 1% le correspondern 3.6; as, para obtener la medida del ngulo del sector, multiplicamos la frecuencia correspondiente por 3.6. Al utilizar este grfico se aconseja no sobrepasar los 10 elementos, y ordenar los sectores de acuerdo a una de dos formas, ya sea siguiendo el orden que se les d a los datos o empezando del mayor al menor segmento, iniciando a partir de las 12 horas y en el sentido de las manecillas del reloj. Por ltimo, si el texto que representa cada sector no puede colocarse dentro del mismo, se elabora una leyenda que se coloca fuera del segmento, unidos por una flecha.

Grfico de Barras:Prueba de Coeficiente Intelectual (C. I.)

0

2

4

6

8

106 109 112 119 124

Coeficiente Intelectual

Frec

uenc

ias


38

Ejemplo: Utilizando los datos del ejemplo 2.1.1.

Grfico de menor a mayor dato Grfico circular de mayor a menor porcentaje

Histograma: es una grafica en forma de barras que consta de dos ejes, uno horizontal, llamado eje de la variable en observacin, en donde situamos la base de una serie de rectngulos o barras contiguas; es decir, que no van separadas, y que se rotula con los lmites inferiores de cada clase o intervalo excepto el ltimo que deber llevar tambin el lmite superior, centradas en la marca de clase. Y un eje vertical llamado eje de las frecuencias, en donde se miden las alturas que vienen dadas por la frecuencia del intervalo que representa. Todos los intervalos deben tener la misma longitud. Vemoslo a travs de un ejemplo, cuando las amplitudes de los intervalos son iguales: Ejemplo: Considerando los datos del ejemplo 2.1.4.

Velocidades en una Carretera Urbana

90 95 100

105

110

115

120

Velocidades

0123456789

101112

frecu

enci

a

Grfica Circular:Prueba de Coeficiente Intelectual

106 15%

10925%

11235%

11910%

12415%

Prueba de Coeficiente IntelectualGrfica Circular:

TAREA 3

Pgina 45.

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Recoleccin de datos

En la direccin de pgina sugerida se muestra un applet diseado para ensear cmo las amplitudes de intervalos (o el nmero de intervalos) afectan a un histograma http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/Histogram.html Realiza las tareas #2 y #3.

Polgono de Frecuencias: es una grfica del tipo de las grficas de lneas trazadas sobre las marcas de clase, (de ah el nombre de polgono), y se traza uniendo con segmentos de recta, de izquierda a derecha, las parejas ordenadas que se forman, al considerar como abscisa la marca de clase (eje horizontal) y como ordenada la frecuencia del intervalo representado (eje vertical); la primera y ltima parejas ordenadas se unen mediante un segmento de recta al eje horizontal, con las que seran la marca de clase anterior y posterior respectivamente si estas existieran. Este tipo de grfico adquiere mayor importancia cuando se quiere mostrar en un mismo grfico ms de una distribucin o una clasificacin cruzada de una variable continua con una discreta, situacin que no se puede observar en uno de los grficos presentados anteriormente por la forma de construccin del mismo grfico.

Velocidades en el Tramo carretero Hermosillo-Ures

90 95 100 105 110 115 120

Velocidades

0123456789

101112

Frec

uenc

ias

Histograma: Velocidades en una Carretera

92.5

97.5

102.5107.5

112.5117.7

0

2

4

6

8

10

Velocidades

Frec

uenc

ias

Ejemplo: Considerando los datos del ejemplo 2.1.4.

TAREA 4

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Grfica de Frecuencias Acumuladas u Ojiva: Es un grfico que igual al histograma y polgono de frecuencias se utiliza para el anlisis y representacin de variables continuas, slo que en vez de utilizar las frecuencias absolutas, por sus caractersticas se construye uniendo con segmentos de recta, de izquierda a derecha, las parejas ordenadas que se forman, al considerar como abscisa los lmites superiores de cada intervalo (eje horizontal) y como ordenada las frecuencias relativas acumuladas hasta cada intervalo representado (eje vertical). Existen dos tipos de ojivas, las llamadas de mayor que, iniciando en la frecuencia ms alta 1 hacia la ms baja 0 y las llamadas de menor que, iniciando en la frecuencia ms baja 0 hacia la ms alta 1.

El grfico ojiva representa mayor importancia cuando se trata de comparar las observaciones de una misma caracterstica en dos experimentos distintos, ya que no se puede ejecutar comparaciones sobre frecuencias absolutas, es necesario una comparacin sobre frecuencias relativa; adems permite ver cuantas observaciones se hallan por arriba o debajo de ciertos valores establecidos.

Ejemplo: Considerando los datos del ejemplo 2.1.4.

Ojiva: Velocidades en una Carretera

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

95 100 105 110 115 120

Lmites superiores de clase: Velocidades

Frec

uenc

ias

Rel

ativ

as

Polgono de Frecuencias: Velocidades en una Carretera

0

2

4

6

8

10

92.5 97.5 102.5 107.5 112.5 117.5

Marcas de Clase: Velocidades

Frec

uenc

ias

41

Medidas de Tendencia Central y Variabilidad

INSTRUCCIONES: Pregunta a 15 compaeros tuyos qu carrera piensan estudiar, con los datos obtenidos calcula la: Frecuencia Absoluta. Frecuencia Absoluta Acumulada. Frecuencia Relativa. Frecuencia Relativa Acumulada.

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Nombre ____________________________________________________________



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Medidas de Tendencia Central y Variabilidad

INSTRUCCIONES: Recopila las estaturas (en metros) de todos los compaeros de tu grupo y rene estos datos en una tabla que contenga f , af , rf , raf y cm .

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Documents

Probestadistica1 Cobach Sonora