Probestudium

GraphentheorieDie Mathematik von FACEBOOK

Konstantinos Panagiotou

Organisatorisches

Das Team

Falls es Fragen gibt, bitte unterbrechen Sie mich…!

Robert Graf

Benedikt Stufler

Manuel Wickmann

Michael Wolff

Iosif Petrakis

Ronja KuhneAlexisz Gaal

Tobias Ried

Die Geburtsstunde der Graphentheorie

Vor vielen Jahren …

• Populäres Puzzle (~1700): ist es möglich durch die Stadt zu laufen, so dass man jede Brücke genau einmal überquert?

• Ist es wichtig, wie breit der Fluss ist?

• Ist es wichtig, wie groß die Insel ist?• Ist es wichtig, dass die Brücke aus

Stein gebaut ist?• Ist es wichtig, ob es regnet?• Was ist wichtig?

Andere Beispiele

• Kann man eine gegebene Figur zeichnen, ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu ziehen?

Euler

• Euler‘s Kommentar:„Was dieses Problem angeht, so kann es gelöst werden, indem alle möglichen Wege ausprobiert werden, um herauszufinden ob es einen gibt der den Anforderungen genügt.Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese Vorgehensweise schwer und umfangreich, und in anderen Fällen, mit mehr Brücken, wäre sie unmöglich.“

Nur eine Spielerei?

• Problem in der Logistik:– Post– Müllabfuhr– …

• Viele weitere Anwendungen:– Gentechnologie: Sequenzierung– …

Euler‘s Problem

Ein ähnliches Problem

• Ein Reisender möchte bestimmte Städte besuchen

• Er kennt die Verbindungen zwischen den Städten

• Am Schluss möchte er wieder an seinem Ausgangsort ankommen

• Er will keine Stadt mehrmals besuchen

Was ist (nicht) wichtig?

Beispiele

Ursprung

Wie macht man das?„[…] so kann es gelöst werden, indem alle möglichen Wege ausprobiert werden, um herauszufinden […]“ (Euler)

…

• Es gibt insgesamt n Städte• Die Städte sind komplett miteinander verbunden• Jede Verbindung hat ein unterschiedliches Gewicht

• Möglicher Lösungsansatz: vollständige Aufzählung aller möglichen Wege!

• Wieviel Zeit braucht ein heutiger Computer?

Zeit?

• Zeit = Anzahl Wege * t, wobei– t = Zeit, um die Länge des Weges zu berechnen

• Nehmen wir mal an, dass t sehr klein ist: 1/1.000.000 Sekunden

• Was ist die Anzahl Wege?

Anzahl Wege

• Anzahl Wege =Anzahl Mögl. den ersten Schritt zu machen* Anzahl Mögl. den zweiten Schritt zu machen…* Anzahl Mögl. den i-ten Schritt zu machen…* Anzahl Mögl. den letzten Schritt zu machen=(n-1) * (n-2) *… * (n-i) * … * 1= (n-1)!

Beispiele

• n = 11: Die benötigte Zeit ist– 10 * 9* 8* … *2*1 * t = 3628800*1/1000000 ~ 3 Sek.

• n = 13:– 12*11*…*2*1 * t ~ 360 Sek. (6 Minuten!)

• n = 16:– 15*14*…*2*1 * t ~ 1.000.000 Sek (ca. 300 Stunden!!)

• n = 21:– 20*19*….*2*1 * t ~ 2* Sek. (ca. 700 Jahre!!!)

• n = 41– 40*39*…*2*1 * t ~ … (> Alter des Universums!!!!)

1210

„Weil die Anzahl Wege groß ist, ist diese Vorgehensweise schwer und umfangreich, und in anderen Fällen, mit mehr Brücken, wäre sie unmöglich.“

Ein Zuordnungsproblem

Nikolaus hat viele verschiedene Geschenke, die er verteilen möchte.

Jedes Kind freut sich nur über bestimmte Geschenke.z.B. Peter freut sich über Modelleisenbahn,

Nintendo WII, aber nicht über Lego.Problem: Wie soll der Nikolaus die Geschenke

verteilen (eins pro Kind), so dass möglichst viele Kinder sich freuen?

Was ist (nicht) wichtig?

Eine abstrakte Sichtweise

Die Aufgabe vom Nikolaus:

“Mache möglichst viele Kinder glücklich und jedes Kind bekommt höchstens ein Geschenk”

= “Finde eine maximale Mengevon Verbindungen, so dass jeder rote und blaue Punkt zu höchstens einer gehört!”

Kinder Geschenke

Peter

WII

Eisenbahn

Lego

…

…

…

Nur eine Spielerei?

• Welche Züge sollen welche Routen fahren?• Welche Professoren sollen welche

Vorlesungen halten?• Welche Zulieferer sollen welche Waren wo

liefern?• …

Ein letztes Beispiel

• Experiment in den 60er Jahren, durchgeführt von Stanley Milgram– Eine Person s erhielt einen Brief,

der an eine andere Person t adressiert war

– Wichtige Informationen über t wurden s mitgeteilt

– s konnte den Brief nur an jemanden schicken, der/die ihm/ihr persönlich bekannt war

1) Viele Briefe gingen verloren2) Mittlere Länge einer erfolgreichen Kette: 5.6

Fragen

• Warum existieren kurze Ketten?• Wie können Individuen solche Ketten finden

(ohne alle Bekanntschaften zu kennen?)

• Heute:– Durchschnittliche Länge in Facebook: 4.7 (!)– Yahoo! Labs Small World Experiment– Ähnliche Eigenschaften in anderen Netzwerken:

Twitter, Youtube, …

Es gibt auch deutlich längere

Ketten.

Eine abstrakte Sichtweise

• Mitglieder von FACEBOOK: Punkte• Freundschaft in FACEBOOK: Verbindung

• Wie sieht FACEBOOK aus?

FACEBOOK

Zusammenfassung

Euler’s Problem

Zuordnungsproblem

Reisender

FACEBOOK

Was haben diese Probleme gemeinsam?

• Sie lassen sich durch sehr ähnliche (abstrakte) Objekte beschreiben:– Punkte– Verbindungen

• Genau das sind Graphen…!