Odabrane oblasti matematikeJU Opća gimnazija „Bosanska Krupa“Amar Bapić, IV 4

PROBLEM KENIGSBERŠKIH MOSTOVA

Kenigsberg je danas poznat kao ruski grad Kaliningrad. Grad je izgrađen s obje strane rijeke Pregel i na dva riječna otoka. Sedam mostova povezuje obje strane rijeke i otoke. Pitanje koje se postavilo bilo je :

„Da li je moguće preći sve mostove ne prelazeći niti preko jednog dva ili više puta?“

RJEŠENJE:

Poznati švicarski matematičar Leonhard Euler (Basel, 15. aprila 1707. - Petrograd, 18. septembra 1783.) je 1735. godine rješio ovaj problem i time postavio temelje za daljni razvoj Teorije grafova.

Euler je pokazao da se ovaj zadatak (i njemu slični) svodi na drugi ekvivalentni zadatak o crtanju zatvorene mreže u ravni u jednom potezu (ne podižući ruku s papira), ne prelazeći po već povučenim linijama. Takva jedna mreža koja se sastoji od tačaka (čvorova) i linija koje spajaju neke od ovih tačaka (spojnica), a ne presjecaju se međusobno, može se predstaviti pomoću tzv. planarnog grafa.

Dva čvora grafa su susjedna ako su spojena istom spojnicom. Broj susjednih čvorova nekog čvora se naziva stepen tog čvora. Za grafove koji se mogu nacrtati na spomenuti način (u jednom potezu, bez ponavljanja) kaže se da posjeduju Eulerov put.

Teorem koji daje uslov za postojanje Eulerovog puta glasi:

Graf posjeduje Eulerov put ako sadrži dva ili nula čvorova neparnog reda.

Na osnovu teoreme ako su svi članovi parnog stepena tada se mreža može nacrtati i to polazeći iz bilo koje tačke mreže, a završavajući u toj istoj tački. U slučaju da postoje dva čvora neparnog stepena, mreža se može nacrtati polazeći od jednog od tih čvorova, a završava u drugom. Ukoliko je broj neparnih čvorova različit od 0 ili 2 zadatak je nerješiv.

Sa grafa (slika ispod) Kenigsberških mostova možemo uočiti da se ono sastoji od 4 vrha (kopno i otoci) i 7 bridova (mostovi). Unutar grafa imamo 4 čvora neparnog stepena, stoga graf ne posjeduje Eulerov put i time je postavljeni problem dokazan kao neispunjiv, tj. ne može se preći preko svih 7 mostova, tako da kroz svaki most prođemo tačno jednom.