Problem Solving

Strategi Menyelesaikan Permasalahan Matematika dengan Elegan dan Efesien

10

Rudi Hartono

International Master Program on Mathematics Education (IMPoME)PASCASARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA-PALEMBANG 2013

Peran Problem Solving

1. Problem Solving sebagai subjek untuk dipelajari.

2. Problem Solving sebagai pendekatan terhadap permasalahan.

3. Problem Solving sebagai cara dalam mengajar (way of teaching).

PengertianProblem (masalah) adalah situasi yang dihadapi seseorang yang menuntut suatu penyelesaian sedangkan cara untuk memperoleh penyelesaian tersebut belum diketahui secara pasti.

Sedangkan pengertian problem solving atau pemecahan masalah adalah suatu aktivitas yang berhubungan dengan pemilihan jalan keluar atau cara yang cocok bagi tindakan dan pengubahan kondisi sekarang (present state) menuju kepada situasi yang diharapkan.

Kaitan dengan matematika, problem solving berarti aktivitas mental untuk mencari penyelesaian dari suatu permasalahan matematika.

Proses Pemecahan MasalahMenurut Polya, terdapat empat fase pemecahan masalah, yaitu:

-Memahami masalahnya. Pemecah masalah harus mengetahui apa yang

diketahui dan apa yang ditanyakan.

-Merencakan cara penyelesaian.

-Memecahkan masalah sesuai dengan rencana.

-Melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah yang telah dikerjakan.

210

419

3678

5

STRATEGI MEMECAHKAN PERMASALAH MATEMATIKA

1. Bekerja MundurCara ini digunakan ketika pemecah masalah mendapati suatu masalah yang

memiliki titik akhir (end-point) namun mendapati terlalu banyak/rumit cara

untuk menyelesaikan masalah ketika melalui titik awal permasalahan.

Contoh SoalEvelyn, Henry, dan Al bermain suatu permainan. Pemain yang kalah pada setiap rondenya harus

memberikan uang sebanyak uang lawan pada saat itu kepada masing-masing pemain tersebut.

Pada ronde pertama, Evelyn kalah dan memberi Henry dan Al uang sejumlah yang mereka punya.

Pada ronde kedua, Henry kalah, dan memberi Evelyn dan Al uang sebanyak yang mereka punya

masing-masing. Al kalah pada ronde ketiga, dan memberi Evelyn dan Henry uang sebanyak yang

mereka punya. Mereka memutuskan untuk berhenti bermain pada saat itu dan menemukan

bahwa uang mereka masing-masing adalah $24.

Berapa banyak uang mereka masing-masing pada awal permainan?

Penyelesaian

Evelyn Henry AlAkhir ronde 3 24 24 24Akhir ronde 2 12 12 48Akhir ronde 1 6 42 24Awal bermain 39 21 12

Pemecah masalah biasanya memulai mengerjakan soal ini dengan membuat sistem persamaan tiga variabel. Namun, soal menuntut banyak peran dari pengurangan dan penyederhanaan tanda kurung sehingga dikhawatirkan kemungkinan terjadi kesalahan menjadi lebih besar. Lain halnya jika dikerjakan dengan cara mundur. Pemecah masalah tidak perlu berhadapan dengan sistem aljabar.

2. Mencari PolaSalah satu kecantikan matematika adalah kelogisan dan keteraturan yang

menjadi sifat alaminya. Kelogisan tersebut dapat terlihat secara ‘fisik’

sebagai pola maupun serangkaian pola.

Bergitupula permasalahan matematika, dengan meluangkan sedikit

waktu untuk berpikir, pola dari permasalahan akan muncul dan memberi

jalan bagi pemecah masalah untuk menyelesaikan soal tersebut.

Contoh SoalTentukan besar digit satuan dari jumlah 1325 + 481 + 5411 .

PenyelesaianUntuk perpangkatan dari 13, ditemukan:

Nilai satuan dari perpangkatan bilangan 13 akan berulang yaitu 3,9,7,1,3,9,7,1,. . . setiap 4

periode. Oleh karena itu 135 akan sama bilangan satuannya dengan 131 yaitu 3.

Untuk perpangkatan dari 4, ditemukan:

Nilai bilangan satuan dari perpangkatan bilangan 4 akan terulang, yaitu 4,6,4,6,4,6 . . . Setiap

2 periode. Oleh karena itu, 481 akan sama bilangan satuannya dengan 41, yaitu 4.

Nilai satuan dari perpangkatan 5 pastilah 5. ( 5, 25, 125, 625, . . .)

Jadi nilai satuan dari 1325 + 481 + 5411 adalah 3 + 4 + 5 = 12, yang mempunyai nilai

satuan 2.

3. Mengadopsi sudut pandang berbeda

Mengerjakan soal matematika dengan menyelesaikan secara

langsung memang memberikan solusi tetapi belum tentu cara

tersebut efesien. Terkadang, akan sangat menguntungkan bagi

pemecah masalah ketika mencoba mengadopsi sudut pandang yang

berbeda dari suatu permasalahan.

Contoh SoalPada gambar dibawah, ABCD adalah sebuah persegi, P dan Q adalah titik tengah dari sisi-sisinya. Berapakah perbandingan dari luas segitiga DPQ terhadap luas persegi.

PenyelesaianPenyelesaian umum terhadap permasalahan ini yaitu dengan meninjau sebuah

persegi dengan sisi x, kemudian mencari luas daerah dari 3 segitiga siku-siku dan

menjumlahkannya serta mengurangkannya dengan luas persegi untuk

memperoleh luas segitiga DPQ.

Namun, jika kita lihat dari sudut pandang yang lain, soal ini akan lebih mudah

dikerjakan

Pilihlah E dan F sebagai titik tengah dari CD dan AD,

Luas segitiga APD = Luas ABCD

Luas segitiga QCD = Luas ABCD

Luas segitiga PBQ = Luas ABCD

Jumlah luas ketiga segitiga tersebut adalah .Sehingga, luas DPQ adalah dari luas persegi.

4. Menyelesaikan dengan analogi yang lebih sederhana

Sekarang kita telah mengetahui bahwa terdapat banyak cara dalam memecahkan masalah

matematika. Namun, yang menjadi fokus dalam setiap permasalahan adalah bagaimana

menemukan dan menentukan metode yang terbaik, dan paling efesien.

Salah satu metode yang kadangkala dapat memunculkan jawaban adalah dengan mengubah

soal dalam bentuk yang lebih mudah untuk dikerjakan. Dengan mengerjakan soal ini

diharapkan pemecahan masalah mendapatkan pengetahuan untuk mengerjakan soal yang

sebenarnya. Metode ini digunakan ketika suatu masalah tidak menuntut jawaban yang

exact.

Contoh SoalDiberikan 4 bilangan berikut:

7895

13127

51873

7356

Berapa persen kah rata-rata bilangan tersebut terhadap jumlah bilangannya?

PenyelesaianMisalkan jumlah bilangan adalah S

sehingga rata-rata bilangan tersebut adalah

Untuk mencari persen, kita membagi .

Kemudian konversi menjadi persen, didapat 25%.

5. Meninjau Kasus Ekstrim

Beberapa soal dapat dipecahkan dengan mudah dengan meninjau

kasus ekstrim dalam soal tersebut. Dengan meninjau kasus ekstrim

kita mungkin merubah variabel tetapi hanya variabel yang tidak

mempengaruhi soal awal.

Contoh Soal

Sebuah mobil berjalan dengan kecepatan konstan 55 km/jam.

Pengemudi itu mendapati bahwa mobil kedua tepat km di

belakangnya. Mobil kedua tersebut berhasil mendahului mobil

pertama, tepat 1 menit kemudian. Berapakah kecepatan mobil kedua

berjalan?

PenyelesaianAsumsikan bahwa mobil pertama berjalan dengan kecepatan sangat lambat,

yaitu 0 km/jam. Dalam kondisi ini, mobil kedua berjalan km dalam 1 menit untuk

mendahului mobil pertama. Maka, mobil kedua berjalan dengan kecepatan 30

km/jam. Ketika mobil pertama beranjak dari 0 km/jam, maka mobil kedua akan

berjalan 30 km/jam lebih cepat. Sehingga, jika mobil pertama melintas dengan

kecepatan 55 km/jam, maka mobil kedua akan melintas pada kecepatan 85

km/jam.

6. Membuat Gambar (visualisasi masalah)

Membuat gambar/visualisasi dalam geometri bukanlah suatu hal yang baru.

Namun bagaimana jika dibuat untuk jenis soal lain? Gambar/visualisasi akan

berfungsi sebagai fasilitator untuk menyelesaikan masalah dibanding sebagai

unsur-unsur dari permasalahan.

Contoh soalSeorang ahli perhiasan membuat anting perak dari lempengan-lempengan perak.

Setiap lempengan dapat dibuat 1 anting. Hasil sisa dari 6 lempengan kemudian

dapat dilelehkan dan disatukan kembali membentuk 1 lempengan perak. Ahli

perhiasan tersebut memesan 36 lempengan perak untuk memenuhi permintaan

pelanggannya. Berapa banyak anting yang dapat dibuat dari 36 lempengan perak ?

PenyelesaianUntuk mempermudah pengerjaan, penggunaan visualisasi layak untuk dipertimbangkan.

Sehingga didapat bahwa terdapat 43 anting perak dapat dibuat.

7. Terkaan cerdas dan pengujian

Dalam strategi ini kita akan membuat terkaan kemudian mengetesnya

ke dalam soal. Meskipun demikian, metode ini cukup berbeda dengan

trial-and-error karena terjadi pembatasan nilai variabel yang pada

akhirnya terfokus kepada jawaban yang dicari. Dalam metode ini,

jawaban akan terlihat lebih teratur.

Contoh soalJumlah dari suatu bilangan bulat, kuadratnya dan akar kuadratnya adalah 276.

Tentukan bilangan tersebut.

Kita dapat menggunakan pendekatan dengan cara “meneka dengan cerdas dan pengujian”.

Perhatikan bahwa kita mencoba menggunakan bilangan kuadrat terbesar yang kurang dari 276.

Kemungkinannya adalah 256. Jika bilangan ini adalah bilangan kuadrat yang dimaksudkan soal

maka bilangan tersebut adalah 16 dan akar kuadratnya adalah 4.

Dan hasil pengujiannya sebagai berikut:

ternyata .

Penyelesaian

8. Menghitung semua kemungkinan

Strategi ini seringkali disebut dengan “mengeliminasi/menghilangkan kemungkinan” yakni

strategi di mana pemecah masalah menghilangkan kemungkinan jawaban sampai menyisakan

jawaban yang benar.

Tentunya cara ini membutuhkan waktu lebih lama daripada cara-cara lainnya. Tapi ada kalanya

suatu permasalahan lebih baik diselesaikan dengan cara ini ketika cara yang lain tidak

menjanjikan sebuah jawaban atau terlalu abstrak.

Terkadang proses pengeliminasian kemungkinan jawaban dapat terjadi secara mental (tanpa

melibatkan tulisan).

Contoh SoalJika 4 koin dilempar, berapakah peluang bahwa paling sedikit 2

angka muncul ?

PenyelesaianSatu-satunya cara yang dapat dilakukan adalah dengan mendata semua kemungkinan kejadian

karena akan terlalu rumit untuk mencoba memformulasi permasalahan ini. Adapun semua

kemungkinannya adalah sebagai berikut:

AAAA AAAG AAGA AGAA

GAAA GGAA AGAG GAAG

AGGA GAGA GGAA AGGG

GAGG GGAG GGGA GGGG

Terdapat 11 kemungkinan kejadian bahwa minimal 2 angka muncul. Oleh karena itu, peluang

kejadiannya adalah 11/16.

9. Mengorganisasi data

Beberapa orang kadang kebingungan mengerjakan soal yang memuat

atau mengandung unsur-unsur informasi seperti data dsb.

Mengorganisasi ulang data yang diberikan mungkin bisa menjadi

alternatif dalam memandang suatu soal/permasalahan secara visual.

Contoh soalBerapa banyak segitiga pada gambar berikut:

PenyelesaianMulai dengan segitiga ABC, terdapat 1 segitiga.

Kemudian perhatikan segitiga ABC dengan 1 garis dalam, AD. Terdapat 2 segitiga. (ABD, ADC)

Kemudian tambahkan garis BE, maka terdapat 5 segitiga. (ABG, BGD, AGE, BEC, ABE)

Lanjutkan dengan menambahkan garis CF, maka terdapat 9. (FBH, AFC, BHC, AFK, KDC, AKC, FBC, HKG, EHC)

Sehingga total segitiga adalah 17

10. Penalaran Logis Tanpa kita sadari kita sering melakukan penalaran secara logis. Kemampuan melakukan

penalaran logis bergantung pada banyak latihan maupun pengalaman yang telah didapat. Karena

materi matematika salng berhubungan, maka dalam permasalahan matematika, valid-nya suatu

penalaran akan sangat bergantung terhadap keluwesan dan penguasaan materi-materi

matematika tersebut.

Contoh soal:Kerjakan persamaan berikut, dan tentukan nilai x dan y, dimana x dan y adalah bilangan real:

PenyelesaianDengan penalaran logis dan pengetahuan kita terhadap sistem bilangan. Sebuah persamaan yang berbentuk (dimana a dan b bilangan real) adalah benar jika dan hanya jika a = 0 dan b = 0, maka:

dan

dan

Dengan mensubtitusikan x didapat:

Sumber :Posamentier, Alfred S. & Krulik, Stephen. 1998. Problem-Solving Strategies For Efficient And Elegant Solutions: A resource for the mathematics teacher. California: Corwin Press,Inc.

Isi slide mungkin berubah atau mengalami reduksi dari buku aslinya. Mohon pembaca merujuk pada sumber di atas.