Problema Da Palavra

8/19/2019 Problema Da Palavra

http://slidepdf.com/reader/full/problema-da-palavra 1/33

Aplicacoes de Tecnicas deReescrita ao Problema da

Palavra em Teoria dos Grupos

Luiz M. R. Gadelha Jr.

Orientador: Prof. Mauricio Ayala

Departamento de Ciencia da Computacao

Universidade de Brasılia



Plano de Apresentacao

1. Introducao

2. Conceitos Algebricos

3. Tecnicas de Reescrita

• O Procedimento de Knuth-Bendix

• O Procedimento de Cremanns-Otto

4. Conclusoes



1. Introducao

Estudar a aplicacao de uma tecnica da Teo-

ria da Computacao, Sistemas de Reescrita,

a um problema de decisao da Algebra, O

Problema da Palavra de Grupos .

Em particular foram estudados os procedi-

mentos:

• Procedimento de Knuth-Bendix [1972]

• Procedimento de Cremanns-Otto [1998]




Definicao. Um semigrupo consiste de um

par G, · onde G e um conjunto e · e uma

operacao binaria associativa.

Se existe um elemento e ∈ G tal que para

todo x ∈ G x· e = x (identidade) dizemos

que G, · e um monoide.

Se para todo x ∈ G existe um elemento

x−1 ∈ G tal que x· x−1 = e (inverso) dizemos

que G, · e um grupo.




Definicao. A apresentacao de monoide

M onG±|R1,...,Rm onde

G± = {g1, g−11 ,...,gn, g−1

n },

Ri ∈ (G±)∗ × (G±)∗ define o grupo dado

pelas classes de congruencia da relacao de

congruencia gerada por R1,...,Rm.

O grupo livre gerado por X = {x1,...,xn} e

dado pela apresentacao de monoide

X ± | RelGL(X )

onde

RelGL(X ) = {(xαx−α, ǫ) | α ∈ {1, −1}, x ∈ X }.

Seja S ⊆ (X ±)∗ × (X ±)∗, a apresentacaode grupo GrpX | S e o grupo dado pela

apresentacao de monoide

M onX ± |RelGL(X ) ∪ S .




Exemplo. Considere o grupo dado pela ap-resentacao

x, y | x3, y2, x−1y−1xy.

Seja a = xy. Do relator x−1y−1xy temos

que xy = yx.

Assim

(xy)3 = x3y3 = y

e(xy)4 = x4y4 = x.

Logo o grupo e gerado por a.

a tem ordem 6 pois (xy)2 = x, (xy)5 = x2y

e (xy)6 = e. Portanto

Z6 = a | a6 = e}

e o grupo em questao.




Exemplo. Sejam τ e σ acoes sobre o qua-

drado tais que τ consiste de uma rotacaode 90◦ e σ de uma reflexao em torno de um

eixo de simetria.

1 2

34

1

23

4

3

1

3

22

τ

σ

1

4 4

Observe que o quadrado tem oito simetrias:

1 2

34

4 1

23

3 4

12 1

2 3

4

e τ τ 2 τ 3

σ

2 1

3 4

στ

4 1

23

1 2

4 3

2 3

στ 3στ 2

1 4




As simetrias do quadrado com a operacao

de composicao de acoes formam um grupo

chamado de grupo de simetrias do quadrado

ou grupo diedral de 8 elementos D8 que tem

a seguinte tabela de multiplicacao:

· e τ τ 2 τ 3 σ στ στ 2 στ 3

e e τ τ 2 τ 3 σ στ στ 2 στ 3

τ τ τ 2 τ 3 e στ 3 σ στ στ 2

τ 2 τ 2 τ 3 e τ στ 2 στ 3 σ στ

τ 3 τ 3 e τ τ 2 στ στ 2 στ 3 σ

σ σ στ στ 2

στ 3

e τ τ 2

τ 3

στ στ στ 2 στ 3 σ τ 3 e τ τ 2

στ 2 στ 2 στ 3 σ στ τ 2 τ 3 e τ

στ 3 στ 3 σ στ στ 2 τ τ 2 τ 3 e

Precisamos de toda a informacao da tabela

de multiplicacao para determinar o grupo?

Nao!




O grupo de simetrias do quadrado e gerado

pelos elementos τ e σ e obedece as relacoes

τ 4 = e, σ2 = e, τ στ = σ. Esta informacao

determina completamente o grupo.

De fato da equacao τ 4 = e temos que τ 3 =

τ −1. Da equacao τ στ = σ temos que τ σ =

στ −1. Logo τ σ = στ 3.

As equacoes τ σ = στ 3, τ 4 = e, e σ2 = e nos

permitem derivar todas as relacoes do grupo

D8. Alem disso qualquer grupo gerado por

τ e σ e que satisfaca as relacoes τ σ = στ 3,

τ 4 = e, e σ2 = e e isomorfo a D8.

Portanto τ, σ | τ 4

= e, σ2

= e, σ−1

τ στ = ee uma apresentacao de D8.




Seja G um grupo dado por uma apresentacao.

Problema da Palavra. Dada uma palavra

qualquer nos geradores de G existe um al-

goritmo para determinar se esta representa

a identidade?

Resp. Nao. [Boone e Novikov, 1955]

Problema do Isomorfismo. Seja G′ um

grupo dado por uma apresentacao, existeum algoritmo para decidir se G e G′ sao

isomorfos?

Resp. Nao. [Adjan e Rabin, 1958]

Problemas algoritmicos sobre grupos dados

por apresentacoes sao na maioria das vezes

indecidıveis.




Sistemas de reescrita podem ser interpre-tados como conjuntos de “equacoes orien-

tadas” usadas para simplificar expressoes.

Exemplo. O sistema de reescrita

impar + impar → par

impar + par → impar

par + impar → impar

par + par → par

pode ser usado para simplificar a expressao:

impar + par + impar + impar

↓

impar + impar + impar

↓impar + par

↓

impar




Definicao. Um sistema de reescrita con-siste de um par (M, →), onde M e um con-

junto e → e uma relacao binaria sobre M .

Notacoes:

→∗ : e o fecho reflexivo e transitivo de →.

Ex.: impar + impar + impar →∗ impar.

← : e o inverso de →.

↔∗ : e o fecho reflexivo, simetrico e transi-

tivo de →.Ex.: impar + par → impar ← par + impar

logo impar + par ↔∗ par + impar.

Definicao. y e forma normal de x se x →∗ y

e y e irredutıvel (i.e. nao existe z tal que

y → z).

Problema da palavra. Dados x, y ∈ M ,

x ↔∗ y?




Dado um sistema de reescrita R = (M, →).

• Se nao existem cadeias infinitas da forma

x1 → x2 → · · · entao R e terminante .

• Se para todos u, x, y ∈ M tais que u →∗ x

e u →∗ y existe um z ∈ M tal que x →∗ z

e y →∗ z entao R e confluente .

• Se para todos u, x, y ∈ M tais que u → xe u → y existe um z ∈ M tal que x →∗ z e

y →∗ z entao R e localmente confluente .

• Se para todos x, y ∈ M tais que x ↔∗ y

existe um z ∈ M tal que x →∗ z e y →∗ z

entao R tem a propriedade de Church-

Rosser .




x

z

x

uu

z

∗∗

∗ ∗∗∗

∗

∗∗

x

z

y y

y

Teorema. R e confluente se e somente se

tem a propriedade de Church-Rosser.

Teorema. Se R e terminante entao e con-

fluente se e somente se e localmente con-

fluente.

Teorema. Se R e terminante e confluente

(def. convergente ) entao todo x ∈ M tem

forma normal unica.

Desta maneira se R e convergente consegui-

mos resolver o problema da palavra:

dados u, v ∈ M calcule as suas respectivas

formas normais u, v (que sao unicas).

u ↔∗ v se e somente se u = v.




Definicao. Seja Σ um alfabeto.

• Um sistema de reescrita de palavras (srp)

R e um subconjunto de Σ∗ × Σ∗. Cada

elemento (l, r) de R e chamado de umaregra de reescrita.

• A relacao de reescrita em um passo em

Σ∗ induzida por R e definida como segue:

para todos u, v ∈ Σ∗

, u →R v se e so-mente se existe uma regra de reescrita

(l, r) ∈ R tal que para algum x, y ∈ Σ∗

u = xly e x = xry.

Obs. O par (Σ∗, →R) e um sistema de re-escrita de acordo com a definicao mais geral

vista anteriormente.




Obs. As classes de congruencia de ↔∗

Rformam um monoide para a concatenacao

tendo como identidade a classe da palavra

vazia [ǫ].

G = a1,...,an|R1,...,Rm e apresentado pelo

srp:

RG = {a1,...,an, a−11 ,...,a−1

n },

{a1a−11 → ǫ, ..., ana−1

n → ǫ}

∪

{a

−1

1 a1 → ǫ, ..., a

−1

n an → ǫ}∪

{R1 → ǫ, ..., Rn → ǫ}

Exemplo. O grupo D8 pode ser apresen-

tado pelo srp seguinte cujo alfabeto e {a ,b,A,B}:

aA → ǫ Aa → ǫ

bB → ǫ Bb → ǫ

a4 → ǫ b2 → ǫ

Baba → ǫ




Definicao. Existem dois tipos de pares crı-

ticos em um srp R:

1. Sejam xyz → u e y → v duas regras dis-

tintas de R, onde x , y , z , u , v ∈ Σ∗, entao

u ←R xyz →R xvz e (u, xvz) e um par

crıtico .

2. Sejam xy → u e yz → v duas regras

distintas de R, onde x , y , z , u , v ∈ Σ∗ e

x , y , z = ǫ, entao uz ←R xyz →R xv e

(uz, xv) e um par crıtico .



5. Procedimento de Knuth-Bendix

Entrada: Um srp finito R compatıvel com uma or-

dem > sobre Σ∗ .

R0 ← R

i ← −1

repita

i ← i + 1

Ri+1 = ∅

CP ← conjunto dos pares crıticos de Ri

para cada z1, z2 ∈ CP

calcule formas normais z1, z2

oriente o par z1, z2 obtendo r → l

Ri+1 ← Ri+1 ∪ {r → l}elimine z1, z2 de CP

fim

se Ri+1 = ∅ entao Ri+1 ← Ri ∪ Ri+1

ate que Ri+1 = ∅

R∗ ←

i≥0 Ri

Obs. O procedimento de Knuth-Bendix nem

sempre termina, mas quando o faz o srp re-

sultante e terminante e confluente.




Exemplo. Consideremos novamente o gru-

po D8 apresentado pelo srp e a ordem por

comprimento e lexicografica {A > a > B >

b}.

[1] aA → ǫ [2] Aa → ǫ

[3] bB → ǫ [4] Bb → ǫ

[5] a4 → ǫ [6] b2 → ǫ

[7] Baba → ǫ

Da aplicacao do procedimento de Knuth-

Bendix resulta o srp:

[1] aA → ǫ [2] Aa → ǫ

[6] b2 → ǫ [8] a3 → A

[10] B → b [12] A2

→ a2

[13] bA → ab [14] ba → Ab




1a Iteracao: Pares Crıticos

Pares Crıcos:

[1, 2] A ← AaA → A

[1, 2] a ← aAa → a

[1, 5] a3 ← a4A → A, nova regra: a3 → A [8]

[1, 7] Bab ← BabaA → A,

nova regra Bab → A [9]

[2, 5] a

3

← Aa

4

→ A[3, 4] b ← bBb → b

[3, 4] B ← BbB → B

[3, 6] B ← b2B → b, nova regra B → b [10]

[4, 6] b ← Bb2 → B

[5, 7] A ← a3 ← Baba4 → Bab




1

a

Iteracao: Simplificacao

Conjunto de regras atual:

[1] aA → ǫ

[2] Aa → ǫ

[3] bB → ǫ, elimina-se por [10]

[4] Bb → ǫ, elimina-se por [10][5] a4 → ǫ, elimina-se por [8]

[6] b2 → ǫ

[7] Baba → ǫ, elimina-se por [9]

[8] a3 → A

[9] Bab → A, substitui-se por bab → A [11]

[10] B → b

Conjunto de regras resultante:

[1] aA → ǫ

[2] Aa → ǫ

[6] b2 → ǫ

[8] a3 → A

[10] B → b

[11] bab → A




2

a

Iteracao: Pares Crıticos

Pares Crıticos:

[1, 8] A2 ← a3A → a2,

nova regra A2 → a2 [12]

[2, 8] A2 ← Aa3 → a2

[6, 11] bA ← b2ab → ab,nova regra bA → ab [13]

[6, 11] Ab ← bab2 → ba,

nova regra ba → Ab [14]

2a Iteracao: Simplificacao

[1] aA → ǫ

[2] Aa → ǫ

[6] b2 → ǫ

[8] a3 → A

[10] B → b

[11] bab → A, elimina-se por [14]

[12] A2 → a2

[13] bA → ab

[14] ba → Ab




3a Iteracao: Pares Crıticos

[1, 12] A ← aA2 → a3 → A

[1, 14] b ← baA → AbA → Aab → b

[2, 12] A ← A2a → a3 → A

[2, 13] b ← bAa → aba → aAb → b

[6, 13] A ← Ab2 ← bab ← b2A → A

[6, 14] a ← ab2 ← bAb ← b2a → a

Nao ha regras novas! Procedimento para

com srp:

[1] aA → ǫ

[2] Aa → ǫ[6] b2 → ǫ

[8] a3 → A

[10] B → b

[12] A2 → a2

[13] bA → ab

[14] ba → Ab

Obs. O srp acima e convergente portanto

nos fornece uma maneira simples para re-

solver o problema da palavra do grupo D8.



6. Procedimeto de Otto-Cremmans

Motivacao: Ao inves de completar um con-

junto de regras de reescrita manipula-se uma

estrutura que representa de maneira “com-

pacta” os relatores de um grupo.

Definicao. Seja ≡ a menor relacao de equi-

valencia que satisfaz u ≡ u−1 e uv ≡ vu para

todos u, v ∈ Σ∗. As classes de equivalencia

de ≡ sao chamadas de ciclos de palavras .

(Notacao: O ciclo de palavras com repre-

sentante a e indicado por [a]).

Exemplo.

[b−1aba] e dado por:

{b−1aba, ab−1ab, bab−1a, abab−1, a−1b−1a−1b,

ba−1b−1a−1, a−1ba−1b−1, b−1a−1ba−1}.




Regras de Inferencia. Seja Z um conjuntode ciclos de palavras.

(P.1) Se o ciclo vazio estiver em Z elimine-o.

(P.2) Se existe u ∈ Σ∗ e a ∈ Σ tais que [uaa−1]≡ ∈ Z entao substitua [uaa−1]≡ por [u]≡.

(P.3) Se existem u, v ∈ Σ+ tais que [u]≡ ∈ Z e [uv]≡ ∈Z , entao substitua [uv]≡ por [v]≡.

(P.4) Se existem u,x,y ∈ Σ+ tais que [ux]≡ ∈ Z e[uy]≡ ∈ Z , onde x e y nao comecam e nem ter-minam com o mesmo sımbolo, entao adicione[xy−1]≡.



6. Procedimeto de Otto-CremmansEntrada: Um conjunto finito Z 0 de ciclos de palavras.

A ← Z 0

Normalize(A)

repita

B ← A

C ← regras obtidas de A por (P.4)

A ← A ∪ C

Normalize(A)

ate que A = B

Saıda: A

Normalize consiste da aplicacao das regras

de inferencia (P.1)-(P.3) sucessivamente ate

que nao seja mais possivel.




Gerando ciclos de palavras com (P.4)

Entrada: Duas palavras u = u1...un e v = v1...vm

representando os ciclos de palavras [u] e [v].

A ← ∅

para cada x = x1...xn ∈ [u]

para cada y = y1...ym ∈ [v]

l ← max{i|x1...xi = y1...yi}

se l > 0 e xn = ym

A ← A ∪ {[xl+1xl+2...xny−1m y−1

m−1...y−1l+1]}

Saıda: A

Como cada ciclo de palavra [u] tem no maximo

2|u| palavras distintas a geracao de novos

ciclos de palavras requer no maximo 4mncasamentos de palavras.




Transformando Z em sistema de

reescrita

Seja > uma ordem de reducao sobre Σ∗.

Associamos a regra (u → v) ao ciclo z ∈ Z

se [uv−1

] = z, u > v e para todos u1, u2, u3 ∈Σ∗ tais que u = u1u2u3 e u1u3 = ǫ temos

u2 ≤ u−11 vu−1

3 .

Denotamos por R(Z, >) o conjunto de todas

as regras de reescrita associadas aos ciclos

de Z .

Exemplo: Seja > a ordem por comprimento.

O conjunto de regras associado ao ciclo de

palavras [a5] e dado por:

a4 → a−1

a3 → a−2

a−4 → a

a−3 → a2




Exemplo. Seja Z 0 = {[a4], [b2], [b−1aba]}

(grupo de simetrias do quadrado).

[1] [a4]

[2] [b2][3] [b−1aba]

Da sobreposicao:

aa3

abab−1

obtemos o novo ciclo:

[4] [a3(bab−1)−1] = [a3ba−1b−1]




Ciclos resultantes de (P.4) na 1a Iteracao:

[4] [a3ba−1b−1] [1, 3]

[5] [a3b−1a−1b] [1, 3]

[6] [(ab−1)2] [2, 3]

[7] [(ab)

2

] [2, 3][8] [a2ba2b−1] [3, 3]

Ciclos resultantes de (P.4) na 2a Iteracao:

[09] [a3ba3b−1] [1, 4]

[10] [a3ba−1b] [1, 6]

[11] [a3b−1a−1b−1] [1, 7]

[12] [a2b−1a−2b] [1, 8]

[13] [a2b−1a2b−1] [2, 8]

[14] [(a2b)2] [2, 8]

[15] [a2

ba−2

b] [3, 4][16] [(aba−1b−1)2] [3, 4]

[17] [ab−1a−1baba−1b−1] [3, 5]

[18] [ab−1a−1bab−1a−1b] [3, 5]



7. Observacoes

Procedimento op. para geracao de regras/c.p.’s

Knuth-Bendix casamento de palavrasOtto-Cremanns casamento de ciclos de palavras

F. Otto e R. Cremanns sugerem que seu

procedimento requer menos espaco que o de

Knuth-Bendix para completar a apresentacao

de um grupo.



7. Observacoes

No procedimento de Otto-Cremanns se [u]

esta em Z entao todo x ∈ [u] e equivalente

a ǫ.

O procedimento de Knuth-Bendix gera in-

formacao adicional, p.ex. a regra B → b

gerada na primeira iteracao simplifica con-

sideravelmente, em espaco e tempo, o pro-

cesso de completacao.

No procedimento de Otto-Cremanns esta

informacao nunca e gerada fazendo com que

os ciclos de palavras [b−1aba] e [baba] sejam

considerados distintos.



8. Conclusoes

O estudo de propriedades de estruturas alge-

bricas e importante em Ciencia da Com-

putacao em face das inumeras aplicacoes

em areas como Computabilidade, Lingua-

gens Formais e Criptografia.

Foi proposta uma estrategia de aplicacaodas regras de inferencia P.1 - P.4 que na

pratica mostrou-se bem mais eficiente que

a original.

Trabalho futuro:

• Simplificacao bidirecional dos ciclos de

palavras na aplicacao da regra P.4.

• Matching eficiente de ciclos de palavras,

adaptar Knuth-Morris-Pratt.

• Aprimorar implementacao.

Documents

Problema Da Palavra