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dorys-rojas-gutierrez
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Calculo 40
Problemario 11
1. En cada una de las siguientes series de potencias determinar el conjunto de todos los
valores reales de x para los que converge y determinar su suma.
1)n=0
(1)nx2n 2)n=0
(2)nn+ 2n+ 1
xn 3)n=0
xn
3n+14)
n=0
2nxn
n
5)n=0
nxn 6)n=0
(1)n2n+ 1
(x2
)2n7)
n=0
(1)nnxn 8)n=0
(1)nx3nn!
9)n=0
xn
(n+ 3)!10)
n=0
(x 1)n(n+ 2)!
2. Demuestre que cada una de las siguientes funciones posee la representacion en serie de
potencias indicada para los valores de x indicados.
1) ax =n=0
(log a)n
n!xn, a > 0, x R,
2) sinh(x) =n=0
x2n+1
(2n+ 1)!, x R,
3) sin2(x) =n=1
(1)n+122n1
(2n)!x2n, x R,
4)1
2 x =n=0
xn
2n+1, |x| < 2,
5) ex2
=n=0
(1)nx2nn!
, x R,
6) sin3(x) =3
4
n=1
(1)n+1 32n 1
(2n+ 1)!x2n+1, x R
7) log
1 + x
1 x =n=0
x2n+1
2n+ 1, |x| < 1,
8)x
1 + x 2x2 =1
3
n=1
(1 (2)n)xn, |x| < 12,
1
9)12 5x
6 5x x2 =n=0
(1 +
(1)n6n
)xn, |x| < 1.
3. Desarrollar en series de potencias de x, las funciones que se dan a continuacion e indicar
los intervalos en que dichos desarrollos tienen lugar:
1)f(x) = sin2(x) cos2(x), 2)f(x) = (1 + x)ex, 3)f(x) = (1 + ex)3,
4)f(x) = 38 + x, 5)f(x) =
x2 3x+ 1x2 5x+ 6 , 6)f(x) = cosh
3(x)
7)f(x) = log(2 + x), 8)f(x) =
log(1 + x)
xdx 9)f(x) =
1
1 x4dx
10)f(x) = xe2x, 11)f(x) = ln(1 + x 2x2), 12)f(x) = arc cos(x)
4. En los siguientes problemas determine la solucion general en forma de series de poten-
cias de la ecuacion diferencial dada, respecto al punto ordinario x = 0
1) y xy = 02) y 2xy + y = 03) (x 1)y + y = 04) y (x+ 1)y y = 05) (x2 + 2)y + 3xy y = 06) y + x2y = 0
7) y xy + 2y = 08) (x2 1)y + xy y = 09) (x2 + 1)y 6y = 0
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