Calculo 40

Problemario 11

1. En cada una de las siguientes series de potencias determinar el conjunto de todos los

valores reales de x para los que converge y determinar su suma.

1)n=0

(1)nx2n 2)n=0

(2)nn+ 2n+ 1

xn 3)n=0

xn

3n+14)

n=0

2nxn

n

5)n=0

nxn 6)n=0

(1)n2n+ 1

(x2

)2n7)

n=0

(1)nnxn 8)n=0

(1)nx3nn!

9)n=0

xn

(n+ 3)!10)

n=0

(x 1)n(n+ 2)!

2. Demuestre que cada una de las siguientes funciones posee la representacion en serie de

potencias indicada para los valores de x indicados.

1) ax =n=0

(log a)n

n!xn, a > 0, x R,

2) sinh(x) =n=0

x2n+1

(2n+ 1)!, x R,

3) sin2(x) =n=1

(1)n+122n1

(2n)!x2n, x R,

4)1

2 x =n=0

xn

2n+1, |x| < 2,

5) ex2

=n=0

(1)nx2nn!

, x R,

6) sin3(x) =3

4

n=1

(1)n+1 32n 1

(2n+ 1)!x2n+1, x R

7) log

1 + x

1 x =n=0

x2n+1

2n+ 1, |x| < 1,

8)x

1 + x 2x2 =1

3

n=1

(1 (2)n)xn, |x| < 12,

1

9)12 5x

6 5x x2 =n=0

(1 +

(1)n6n

)xn, |x| < 1.

3. Desarrollar en series de potencias de x, las funciones que se dan a continuacion e indicar

los intervalos en que dichos desarrollos tienen lugar:

1)f(x) = sin2(x) cos2(x), 2)f(x) = (1 + x)ex, 3)f(x) = (1 + ex)3,

4)f(x) = 38 + x, 5)f(x) =

x2 3x+ 1x2 5x+ 6 , 6)f(x) = cosh

3(x)

7)f(x) = log(2 + x), 8)f(x) =

log(1 + x)

xdx 9)f(x) =

1

1 x4dx

10)f(x) = xe2x, 11)f(x) = ln(1 + x 2x2), 12)f(x) = arc cos(x)

4. En los siguientes problemas determine la solucion general en forma de series de poten-

cias de la ecuacion diferencial dada, respecto al punto ordinario x = 0

1) y xy = 02) y 2xy + y = 03) (x 1)y + y = 04) y (x+ 1)y y = 05) (x2 + 2)y + 3xy y = 06) y + x2y = 0

7) y xy + 2y = 08) (x2 1)y + xy y = 09) (x2 + 1)y 6y = 0

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