Problemas de Introduccin a la Mecnica Cuntica Otoo 2011

Unidad I: El amanecer de la teora cuntica1.1 En 1900, Max Planck hall un modelo ms adecuado para la radiacin del cuerpo negro

(el cual ahora se conoce como ley de Planck):

( ) = 8 ( ) 1a) Utilice la regla de lHpital para mostrar que ( ) para la ley de Planck. Por lo tanto, estaley es un modelo de la radiacin de cuerpo negro que resulta mejor que la ley de Rayleigh-Jeans para ondas cortas.b) Utilice un polinomio de Taylor para mostrar que para longitudes de onda largas la ley dePlanck proporciona aproximadamente los mismos valores que la ley de Rayleigh-Jeans.Haga una grfica que muestre el comportamiento cualitativo de ambas leyes.1.2 La energa necesaria para extraer un electrn del sodio es 2.3 eV.a) El sodio presentar efecto fotoelctrico para luz amarilla con = 5890 ?b) Cul es la longitud de onda de corte para emisin fotoelctrica de sodio?1.3 Calcule la longitud de onda de De Broglie de:a) Una partcula con una masa de 2.0x10-9 kg que se mueve a 3 cm/s.b) Un electrn con velocidad de 107m/s y masa de 9.1x10-31 kgCompare las magnitudes de estas cantidades y diserte, discuta, opine, etc. sobre ladiferencia encontrada. Qu conclusin saca de esta comparacin? Es el electrn unapartcula o una onda?1.4 Supongamos un tomo de hidrogeno excitado en estado n=7. A qu estado pasar siemite un fotn de longitud de onda 2.17x10-6 m?1.5 Tomando la ecuacin = , la ley de desplazamiento de Wien puede ser escrita de lasiguiente forma: =donde es la longitud de onda a la cual la radiacin espectral tiene su valor mximopara una temperatura T. El valor experimental de la constante de Wien es 2.898x10-3mK.Si se asume que la superficie de las estrellas se comporta como un cuerpo negro, podemosobtener una buena aproximacin de su temperatura midiendo . Para nuestro Sol= 5100, mientras que para la estrella Polar 3500. Hallar la temperatura de lasuperficie de esas estrellas.

1.6 Suponiendo que la temperatura de la superficie del Sol es de 5700 0K y que suradiancia total RT corresponde a la de un cuerpo negro a esa temperatura, encuentre laenerga radiante emitida por el Sol en un segundo. Al utilizar la frmula de Einstein E= mc2 para la conversin de masa en energa, encuentre tambin la cantidad de masa perdidapor el sol en cada segundo. Tome en cuenta que la superficie del Sol es aproximadamenteigual a 6x1020 m2. Por ltimo, determinar el tiempo que durar nuestro sol.1.7 Se requieren 4.2 eV para extraer un electrn del aluminio. Si este material se iluminacon luz cuya longitud de onda es de 0.2m, encontrar la energa cintica de losfotoelectrones ms rpidos y su potencial de frenado. Cul es la longitud de onda de cortepara el aluminio?1.8 Fotones de longitud de onda de 0.024 inciden sobre electrones libres en una muestrade grafito. Encontrar la longitud de onda de los fotones que son dispersados, por medio delproceso Compton, a 30 de la direccin incidente y la energa cintica suministrada alelectrn.1.9 Utilizando la frmula de Bohr para 1/, calcular las tres longitudes de onda ms largasen la serie de Balmer.1.10 Un electrn es acelerado a partir del reposo por medio de una diferencia de potencial=50 V. Suponiendo que el electrn no alcanza velocidades relativistas, obtener la longitudde onda de de Broglie asociada al electrn.1.11 Suponiendo que max est en el infrarrojo cercano para el rojo y en el ultravioletacercano para el color azul, aproximadamente, Qu temperatura en el desplazamiento de laley de Wien corresponde al color rojo? Cul para el color azul?1.12 En un experimento se determin que los fotoelectrones liberados de una placa de zincpor rayos ultravioleta, podan ser detenidos utilizando un voltaje de 4.3 V. encuentre laenerga cintica mxima y la velocidad mxima para estos electrones.1.13 El electrn en un tomo de hidrgeno en reposo, realiza una transicin desde el estadoenergtico n=2 hasta el estado fundamental n=1. Encuentre: (a) la longitud de onda, (b) lafrecuencia y (c) la energa (eV) del fotn emitido.1.14 Encuentre la longitud de onda del fotn que es emitido cuando un tomo de hidrgenosufre una transicin de ni=5 a nf=2. Puede usar la ecuacin del modelo de Bohr o la frmulade Rydeberg-Ritz1.15 Considrese un tomo positronio, que consiste de un positrn y un electrn que semueven alrededor de su centro de masas comn, el cual se encuentra equidistante deambos.a) Si tal sistema fuera un tomo normal, cmo sera su espectro de emisin comparado conel del tomo de hidrgeno?b) Cul sera el radio de la rbita para el estado base del positronio?

Unidad II: El triunfo de la teora cuntica2.1 La funcin de onda ( , ) para el estado de energa ms bajo de un oscilador armnicosimple, que consiste de una partcula de masa actuada por una fuerza de restitucin linealcon constante de fuerza, se puede expresar como:( , ) = ( ) ( )( )donde la constante real puede tener cualquier valor. Verificar que esta expresin es unasolucin a la ecuacin de Schrdinger para el potencial apropiado.2.2 Derivar la ley de cuantizacin de la energa para el pozo cuadrado infinito, directamentede la relacin de de Broglie = metiendo un nmero entero de mitades de longitudesde onda de Broglie 2 en el ancho del pozo2.3 El tamao del tomo de hidrgeno, en su estado base, se puede tomar como el radio dela capa correspondiente a n=1 para Z=1, el cual es esencialmente el radio de Bohr a =Demostrar que esta unidad atmica fundamental se puede obtener del principio deincertidumbre. Sugerencia: pR = y E = .2.4 Se hace pasar un haz de tomos de hidrgeno provenientes de un horno que trabaja auna temperatura de T=400 K, a travs de un imn Stern-Gerlach de longitud de L= 1m.Los tomos experimentan un campo magntico con un gradiente de 10 Tesla/m. Calcular ladeflexin transversal de un tomo tpico en cada componente del haz, debida a la fuerzaejercida sobre su momento magntico dipolar del spin, en el punto en el que el hazabandona el imn.2.5 Estimar la magnitud de la energa potencial de orientacin para el estado n=2 y l=1del tomo de hidrgeno para comprobar si es del mismo orden de magnitud que eldesdoblamiento de estructura fina observado del nivel de energa correspondiente. (Noexiste energa spin-rbita en el estado n=1, ya que para n=1 el nico valor posible de l esl=1, que significa L=0)2.6 Evaluar la densidad de probabilidad para la funcin del estado de menor energa de unoscilador armnico simple, que consiste de una partcula de masa m actuada por una fuerzade restitucin lineal con una constante de fuerza C. la funcin de onda de este oscilador sepuede expresar como: ( , ) = ( ) ( ) donde la constante real A puede tener cualquier valor2.7 Un tomo de helio est confinado a moverse unidimensionalmente entre dos paredesrgidas separadas por 1m. Obtener las tres velocidades ms bajas permitidas para eltomo.

2.8 Dentro de un pozo de potencial cuadrado unidimensional de paredes infinitas unelectrn se encuentra en el estado n=1. Encontrar la longitud L del pozo para la cual lafuerza F ejercida por el electrn sobre las paredes sea de un Newton. Utilizar el hecho quecuando la longitud del pozo cambia por dL, la energa cambia por dE = F dL.2.9 Un electrn incide sobre una barrera de potencial rectangular de altura = 10 yancho a=1.8x10-10m. Esta barrera rectangular es una idealizacin de la barrera queencuentra un electrn al ser dispersado por un tomo de gas ionizado negativamente en elplasma de un gas de un tubo de descarga. La barrera real no es rectangular pero esaproximadamente de la altura y ancho mencionados. Evaluar el coeficiente de transmisinT y el coeficiente de reflexin R como una funcin de la energa total E del electrn.2.10 Debido a que las eigenfunciones de oscilador armnico simple para n pequeas tienenformas matemticas simples, no es muy difcil verificar por sustitucin directa quesatisfacen la ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo para el potencial:( ) = 2(en la ecuacin anterior C es una constante) y los eigenvalores para el potencial deoscilador armnico simple dado por: = ( + 0.5)Hacer esta verificacin para n=1. (Para n=0 la funcin de onda se verific por substitucindirecta en la ecuacin de Schrdinger)2.11 Una partcula limitada en el eje x tiene una funcin de onda = entre x=0 y x=1;fuera de esta regin = 0.a) Encontrar la probabilidad de que la partcula se pueda encontrar entre x=0.45 y x=0.55.b) Encontrar el valor de expectacin de la posicin de la partcula.2.12 Encontrar la probabilidad de que una partcula atrapada en una caja de ancho L sepueda encontrar entre 0.45L y 0.55L para el estado base y el primer estado excitado.2.13 Si un sistema tiene un momento angular caracterizado por el nmero cuntico l=2.Cules son los valores posibles de Lz? Cul ser la magnitud L? y cul es el ngulo mspequeo posible entre y el eje z?2.14 Encontrar la velocidad ecuatorial de un electrn considerando que es una esfera deradio r =5.00x10-17m que est rotando alrededor de un eje que pasa por su centro.2.15 Enumerar los valores posibles de los nmeros cunticos j y mj, para estados en loscuales l=2, y por supuesto s=1/2.

Unidad III: Las Aplicaciones de la Teora Cuntica3.1 El tratamiento ms simple, pero menos preciso, del tomo de helio, implica ignorar lainteraccin de Coulomb entre sus dos electrones y tomar la energa total del tomo, como lasuma de la energa de cada electrn, considerndolo como un tomo de un solo electrn, entorno al ncleo de Z=2. Utilizar este tratamiento para predecir las energas del estado base ydel primer estado excitado del tomo.3.2 Dado que para una molcula de HCI vibrando la constante de fuerza equivalente C, esaproximadamente 470 N/m, estimar la diferencia de energas entre el primero y el ms bajode los niveles vibracionales del HCI.3.3 La energa de Fermi, , para el litio es 4.72eV a T=0K. Calcular el nmero deelectrones de conduccin por unidad de volumen en litio.3.4 Hacer una estimacin a grosso modo de la energa de enlace del electrn donante delarsnico en un cristal de germanio, tomando el valor de la constante dielctrica del cristalcomo k=16 y el valor de la masa efectiva del electrn como m*=0.2m3.5 Hacer un dibujo que muestre cualitativamente la diferencia entre conductores,semiconductores y aislantes segn la mecnica cuntica. Hacer una tabla de varios de estosmateriales con sus respectivos anchos de banda prohibida.3.6 Debido a la gran diferencia de las masa entre un tomo de hidrogeno y uno de yodo, lasoscilaciones de estos tomos alrededor de sus posiciones de equilibrio en la molcula HI sepueden modelar como un oscilador armnico de masa mmH (el tomo de yodo casipermanece fijo) y constante de fuerza =313.8 N m-1. Evaluar la separacin de los nivelesde energa y predecir la longitud de onda de la luz necesaria para inducir una transicinentre niveles de energa vecinos.3.7 La rotacin de la molcula HI puede ser modelada como un tomo de hidrgenoorbitando alrededor de un tomo de yodo, casi estacionario, a un radio de 160x10-12 m. Sise supone que la rotacin tiene lugar en un plano, cules son sus niveles de energa? Cules la longitud de onda de la radiacin emitida en la transicin ml=+1 -> ml=0?3.8 Hacer una estimacin del nmero relativo de electrones de conduccin en un metal queson excitados trmicamente a estados de mayor energa.3.9 Considrese una banda prohibida de anchura que separa una banda de valencia y unabanda de conduccin simtrica vaca, en un semiconductor intrnseco. Demostrar que laenerga de Fermi se encuentra en el centro de la banda prohibida, es decir, que = /2 si= 0 se toma como el extremo superior de la banda de valencia.3.10 Hacer una estimacin del nmero relativo de electrones en la banda de conduccin deun aislante o de un semiconductor a temperatura T.

3.11 Escriba la configuracin electrnica del: (a) cloro, (b) zinc, (c) germanio.3.12 Calcule la masa reducida del HCl, siendo la masa del tomo de hidrgeno de 1.01 u yla del tomo de clore de 35.5 u3.13 Encontrar la energa de Fermi en el cobre considerando que cada tomo de cobrecontribuye con un electrn libre al gas del electrn. (Esto es razonable debido a que untomo de cobre tiene un solo electrn 4s en su capa ms externa). La densidad del cobre es=8.94x103kg/m3, y su masa atmica es 63.5 u, siendo 1u=1.66x10-27kg3.14 Cul es la magnitud de la velocidad de arrastre de los electrones en un alambre decobre tpico de radio 0.815 mm que lleva una corriente de 1A ? (Densidad del cobre=8.92g/cm3, masa molar del cobre M=63.5 g/mol )3.15 Determinar los valores del nmero cuntico de spin nuclear i, para los ncleos en N2 yO2, utilizando las relaciones de intensidades, medias, 1/2 y 0/1 en la siguiente ecuacin:= + 1donde es el nmero de estados de spin asimtrico, y es el nmero de estados despin simtrico