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Problemario de la asignatura de Ecuaciones
Diferenciales
Alejandro Hernandez MadrigalMaxvell Jimenez Escamilla
Academia de Matematicas y FısicaUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnologıa, IPN.
Mexico 2009
Indice general
1. Ecuaciones de primer orden 31.1. Clasificacion y soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Metodo de separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 72.1. Reduccion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Ecuacion homogenea con coeficientes constantes . . . . . . . . . . 72.3. Ecuacion no homogenea con coeficientes constantes . . . . . . . . 8
2.3.1. Metodo de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . 82.3.2. Metodo de variacion de parametros . . . . . . . . . . . . . 8
3. Transformada de Laplace 93.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. Propiedades de la transformada de Laplace y su inversa . . . . . 10
3.3.1. Transformada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2. Primer y segundo teoremas de traslacion . . . . . . . . . . 103.3.3. Transformada de tnf(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.4. Transformada de la convolucion de funciones . . . . . . . 113.3.5. Transformada de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.6. Transformada de funciones periodicas . . . . . . . . . . . 12
3.4. Solucion de ecuaciones integrodiferenciales usando transformadade Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5. Movimiento armonico simple, amortiguado y forzado, circuito LRC 12
4. Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales 164.1. Funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3. Series de Fourier de cosenos y senos . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4. Ecuaciones diferenciales parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
4.5. Ecuacion unidimensional del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.6. Ecuacion de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.7. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . 19
2
Capıtulo 1
Ecuaciones de primer orden
1.1. Clasificacion y soluciones
Clasifique las ecuaciones diferenciales
1. (1− x) y′′ − 4xy′ + 5y = cosx
2. t5y(4) − t3y′′ + 6y = 0
3. (sin θ) y′′′ − (cos θ) y′ = 2
Compruebe que la funcion o la relacion indicada es una solucion explıcita oimpıcita de la ecuacion diferencial
1. 2y′ + y = 0; y = e−x/2
2. y′′ − 6y + 13y = 0; y = e3x cos(2x)
3. dXdt = (X − 1) (1− 2X) ; ln
(2X−1X−1
)= t
4. 2xydx+(x2 − y
)dy = 0; −2x2y + y2 = 1
1.2. Metodo de separacion de variables
Resuelva la ecuacion diferencial por medio de separacion de variables
1. x dydx = 4y Sol. y = cx4
2. y lnx dydx =(y+1x
)2Sol. 1
3x3 lnx− 1
9x3 = 1
2y2 + 2y + ln y + c
3. csc ydx+ sec2 xdy = 0 Sol. 4 cos y = 2x+ sin(2x) + c
4. dPdt = P − P 2 Sol. P = cet
1+cet
5. dydx = xy+3x−y−3
xy−2x+4y−8 Sol. (y + 3)5 ex = c (x+ 4)5 ey
3
1.3. Ecuaciones exactas
Ecuaciones Exactas
Determine si la ecuacion diferencial es exacta, en caso afirmativo resuelvala
1. (y ln y − e−xy) dx+(
1y + x ln y
)dy = 0
2.(x2y3 − 1
1+9x2
)dxdy + x3y2 = 0
3.(4t3y − 15t2 − y
)dt+
(t4 + 3y2 − t
)dy = 0
4. (4y + 2t− 5) dt+ (6y + 4t− 1) dy = 0, y(−1) = 2
Factores integrantes dependientes de una variable
Resuelva la ecuacion diferencial mediante la determinacion de un factor in-tegrante adecuado
1. 6xydx+(4y + 9x2
)dy = 0 Sol. 3x2y3 + y4 = c
2.(10− 6y + e−3x
)dx− 2dy = 0 Sol. − 2ye3x + 10
3 e3x + x = c
3. xdx+(x2y + 4y
)dy = 0, y(4) = 0 Sol. ey
2 (x2 + 4
)= 20
1.4. Ecuaciones lineales
Encuentre la solucion general de la la ecuacion diferencial
1. x dydx + 4y = x3 − x Sol. y = 17x
3 − 15x+ cx−4
2. x2y′ + x (x+ 2) y = ex Sol. y = 12x−2ex + cx−2e−x
3. ydx− 4(x+ y6
)dy = 0 Sol. x = 2y6 + cy4
4. cosx dydx + (sinx) y = 1 Sol. y = sinx+ c cosx
5. (x+ 1) dydx + (x+ 2) y = 2xe−x Sol. (x+ 1) exy = x2 + c
1.5. Cambios de variable
Resuelve la ecuacion diferencial usando una sustitucion adecuada
1. dydx = y−x
y+x Sol. ln(x2 + y2
)+ 2 arctan y/x = c
2. −ydx+(x+√xy)dy Sol. 4x = y (ln |y| − c)2
3.(x+ yey/x)dx− xey/xdy = 0, y(1) = 0 Sol. ln |x| = ey/x − 1
4
Resuelve la ecuacion de Bernoulli
1. dydx = y
(xy3 − 1) Sol. y−3 = x+ 1
3 + ce3x
2. t2 dydt + y2 = ty Sol. et/y = ct
3. x2 dydx − 2xy = 3y4, y(1) = 1
2 Sol. y−3 = − 95x−1 + 49
5 x−6
1.6. Aplicaciones.
Crecimiento poblacional
1. La poblacion de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional alnumero de personas presente en el tiempo t. Si en cinco anos se duplicauna poblacion inicial P0, ¿cuanto tarde en triplicarse? ¿En cuadruplicarse?
2. La poblacion de un pueblo crece a una tasa proporcional a la poblacionpresente en el tiempo t. La poblacion inicial de 500 se incrementa 15 % endiez anos. ¿Cual sera la poblacion en 30 anos? ¿Que tan rapido esta cre-ciendo la poblacion en t = 30?
Decaimiento radioactivo
1. El isotopo radiactivo del plomo, Pb-209, decae a una rapidez proporcionala una cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3.3horas. Si al inicio esta presente un gramo de este isotopo, ¿cuanto tardaen decaer 90 % del plomo?
2. Al inicio habıa 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Despues de 6horas la masa habıa disminuido en 3 %. Si la rapidez de decaimiento esproporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t determinela vida media de la sustancia.
Ley de enfriamiento de Newton
1. Una pequena barra metalica, cuya temperatura inicial fue de 20◦ C, sesumerje en un gran recipiente de agua hirviente. ¿Cuanto tarda la barraen alcanzar 90◦ C si se sabe que su temperatura aumenta 2◦ C en unsegundo? ¿Cuanto le toma a la brra llegar a 98◦ C?
2. Un termometro que marca 70◦ F se coloca en horno precalentado a unatemperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno,un observador registra que depues de medio minuto el termometro marca110◦ F y luego de un minuto la lectura es de 145◦ F. ¿Cual es la temper-atura del horno?
5
Mezcla de soluciones
1. Un deposito grande se llena al maximo con 500 galones de agua pura.Se bombea al deposito salmuera que contiene dos libras de sal por galona razon de 5 gal/min. La solucion bien mezclada se bombea a la mismarapidez. Calcule el numero de A(t) de libras de sal en el deposito en eltiempo t.
2. Resuelva el problema 1 bajo la suposicion de que la solucion se bombeahacia afuera del deposito a una rapidez de 10 gal/min. ¿Cuando se vacıael deposito?
Ecuacion logıstica
1. El numero N(t) de supermercados del paıs que estan usando sistemas derevision computarizados se describe mediante el problema de valor inicial
dN
dt= N (1− 0,0005N) , N(0) = 1.
¿Cuantas companıas se espera que adopten la nueva tecnologıa cuandot = 10 ?
2. Un modelo para la poblacion P (t) en un suburbio de una gran ciudad esel problema de valor inicial
dP
dt= P
(10−1 − 10−7P
), P (0) = 5000.
donde t se mide en meses. ¿Cual es el valor lımite de la poblacion? ¿Enque momento la poblacion es igual a un medio de este valor lımite?
Movimiento de un objeto en un medio resistivo
1. Una ecuacion diferencial que describe la velocidad v de una masa en caıdasujeta a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad instanta-nes es
mdv
dt= mg − kv,
donde k > 0 es una constante de proporcionalidad
a) Resuelva la ecuacion sujeta a la condicion inicial v(0) = v0.
b) Si la distancia s, medida desde el punto donde se libero la masadesde el suelo, se relaciona con la velocidad v mediante ds/dt = v(t),encuentre una expresion explıcita para s(t) si s(0) = 0.
6
Capıtulo 2
Ecuaciones diferencialesordinarias de segundo orden
2.1. Reduccion de orden
Use reduccion de orden para hallar una segunda solucion y2(x)
1. 9y′′ − 12y′ + 4y = 0; y1 = e2x/3 Sol. y2 = xe2x/3
2. x2y′′ − 7xy′ + 16y = 0; y1 = x4 Sol. y2 = x4 ln |x|
3. xy′′ + y′ = 0; y1 = lnx Sol. y2 = 1
4. x2y′′ − xy′ + 2y = 0; y1 = x sin (lnx) Sol. y2 = x cos (lnx)
5.(1− 2x− x2
)y′′+2 (1 + x) y′−2y = 0; y1 = x+1 Sol. y2 = x2 +x+2
2.2. Ecuacion homogenea con coeficientes con-stantes
Determina la solucion general de la ecuacion de segundo orden
1. y′′ + 4y′ + 5y = 0 Sol. y = e−2x (c1 cosx+ c2 sinx)
2. 3y′′ + 2y′ + 2y = 0 Sol. y = e−x/3(c1 cos
√2x/3 + c2 sin
√2x/3
)3. y′′ + 16y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −2 Sol. y =
(2 cos 4x− 1
2 sin 4x)
4. y′′ + y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0 Sol. y = 0
5. y′′ − 10y′ + 25y = 0, y(0) = 1, y(1) = 0 Sol. y = e5x − xe5x
7
2.3. Ecuacion no homogenea con coeficientes con-stantes
2.3.1. Metodo de coeficientes indeterminados
Resuelva la ecuacion diferencial mediante el metodo de superposicion
1. y′′ − 10y′ + 25y = 30x+ 3 Sol. y = c1e5x + c2xe
5x + 65x+ 3
5
2. y′′+3y = −48x2e3x Sol. y = c1 cos√
3x+c2 sin√
3x+(−4x2 + 4x− 4
3
)e3x
3. y′′ − y′ + 14y = 3 + ex/2 Sol. y = c1e
x/2 + c2xex/2 + 12 + 1
2x2ex/2
4. y′′ + y = 2x sinx Sol. y = c1 cosx+ c2 sinx− 12x
2 cosx+ 12x sinx
Resuelva la ecuacion diferencial mediante el metodo del anulador
1. y′′ + 4y′ + 4y = 2x+ 6 Sol. y = c1e−2x + c2xe
−2x + 12x+ 1
2. y′′ − y′ − 12y = e4x Sol. y = c1e−3x + c2e
4x + 17xe
4x
3. y′′ + 25y = 6 sinx Sol. y = c1 cos 5x+ c2 sin 5x+ 14 sinx
4. y′′− y = x2ex + 5 Sol. y = c1e−x + c2e
x + 16x
3ex− 14x
2ex + 14xe
x− 5
2.3.2. Metodo de variacion de parametros
Resuelva la ecuacion diferencial por variacion de parametros
1. y′′ + y = secx Sol. y = c1 cosx+ c2 sinx+ x sinx+ cosx ln | cosx|
2. y′′ + y = cos2 x Sol. y = c1 cosx+ c2 sinx+ 12 −
16 cos 2x
3. y′′−4y = e2x
x Sol. y = c1e2x+c2e−2x+ 1
4
(e2x ln |x| − e−2x
∫ xx0
e4t
t dt), x0 >
0
4. y′′ + 3y′ + 2y = sin ex Sol. y = c1e−2x + c2e
−x − e−2x sin ex
5. y′′ + 2y′ + y = e−t ln t Sol. y = c1e−t + c2te
−t + 12 t
2e−t ln t− 34 t
2e−t
Ecuacion de Cauchy-Euler
Resuelva la ecuacion diferencial
1. 3x2y′′+6xy′+y = 0 Sol. y = x−1/2[c1 cos
(16
√3 lnx
)+ c2 sin
(16
√3 lnx
)]2. xy′′ − 4y′ = x4 Sol. y = c1 + c2x
5 + 15x
5 lnx
3. x2y′′ − xy′ + y = 2x Sol. y = c1x+ c2x lnx+ x (lnx)2
4. x2y′′ + xy′ − y = lnx Sol. y = c1x−1 + c2x− lnx
5. x2y′′ + 3xy′ = 0, y(1) = 0, y′(1) = 4 Sol. y = 2− 2x−2
8
Capıtulo 3
Transformada de Laplace
3.1. Transformada de Laplace
Use la definicion para encontrar la transformada de Laplace L{f (t)}
1. f(t) ={
t, 0 ≤ t < 22, t ≥ 2 Sol. 1
s2 −1s2 e−s
2. f(t) ={
sin t, 0 ≤ t < π0, t ≥ π Sol. 1+e−πs
s2+1
3. f(t) = te4t Sol. 1(s−4)2
4. f(t) = e−t sin t Sol. 1s2+2s+2
Use tablas para encontrar la transformada de Laplace L{f (t)}
1. f(t) = t2 + 6t− 3 Sol. 2s3 + 6
s2 −3s
2. f(t) =(1 + e2t
)2Sol. 1
s + 2s−2 + 1
s−4
3. f(t) = et sinh t Sol. 12(s−2) −
12s
3.2. Transformada inversa de Laplace
Use el algebra apropiada y tabla de transformadas inversas basicas paradeterminar la transformada de Laplace inversa L−1 {F (s)} de F (s)
1. L−1{
(s+1)3
s4
}Sol. 1 + 3t+ 3
2 t2 + 1
6 t3
2. L−1{
5s2+49
}Sol. 5
7 sin 7t
3. L−1{
1s2+3s
}Sol. 1
3 −13e−3t
9
4. L−1{
s(s−2)(s−3)(s−6)
}Sol. 1
2e2t − e3t + 1
2e6t
5. L−1{
1(s2+1)(s2+4)
}Sol. 1
3 sin t− 16 sin 2t
3.3. Propiedades de la transformada de Laplacey su inversa
3.3.1. Transformada de la derivada
Mediante la transformada de Laplace resuelva el problema de valores ini-ciales.
1. dydt − y = 1, y(0) = 0 Sol. y = −1 + et
2. y′ + 6y = e4t, y(0) = 2 Sol. y = 110e
4t + 1910e−6t
3. y′′ + 5y′ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0 Sol. y = 43e−t − 1
3e−4t
4. y′′ + y =√
2 sin√
2t y(0) = 10, y′(0) = 0 Sol. y = 10 cos t +2 sin t−
√2 sin
√2t
3.3.2. Primer y segundo teoremas de traslacion
Encuentre F (s) o f(t)
1. L{t(et + e2t
)2}Sol. 1
(s−2)2+ 2
(s−3)2+ 1
(s−4)2
2. L{(
1− et + 3e−4t)
cos 5t}
Sol. ss2+25 −
s−1(s−1)2+25
+ 3 s+4(s+4)2+25
3. L−1{
ss2+4s+5
}Sol. e−2t cos t− 2e−2t sin t
4. L−1{
2s−1s2(s+1)3
}Sol. 5− t− 5e−t − 4te−t − 3
2 t2e−t
Resuelve con transformada de Laplace las ecuaciones diferenciales
1. y′′ − 6y′ + 13y = 0, y(0) = 0, y′(0) = −3 Sol. y = − 32e
3t sin 2t
2. y′′−y′ = et cos t, y(0) = 0, y′(0) = 0 Sol. y = 12−
12et cos t+ 1
2et sin t
Encuentre F (s) o f(t)
1. L{tU (t− 2)} Sol. e−2s
s2 + 2 e−2s
s
2. L{cos 2tU (t− π)} Sol. ss2+4e
−πs
3. L−1{e−πs
s2+1
}Sol. − sin tU (t− π)
4. L−1{
e−s
s(s+1)
}Sol. U (t− 1)− e−(t−1)U (t− 1)
10
Escriba cada ecuacion en terminos de funciones escalon unitarias y despuesobtenga su transformada de Laplace
1. f (t) ={
2 0 ≤ t < 3−2 t ≥ 3 Sol. f(t) = 2− 4U (t− 3) ;L{f(t)} = 2
s −4se−3s
2. f (t) ={
t 0 ≤ t < 20 t ≥ 2 Sol. f(t) = t− tU (t− 2) ;L{f(t)} = 1
s2 −e−2s
s2 − 2 e−2s
s
Resolver el problema de valores iniciales usando transformada de Laplace
1. y′ + 2y = f(t), y(0) = 0, donde f (t) ={
t 0 ≤ t < 10 t ≥ 1
Sol. y = − 14+ 1
2 t+14e−2t− 1
4U (t− 1)− 12 (t− 1)U (t− 1)+ 1
4e−2(t−1)U (t− 1)
2. y′′ + 4y = sin tU (t− 2π) , y(0) = 1, y′(0) = 0Sol. y = cos 2t− 1
6 sin 2 (t− 2π)U (t− 2π) + 13 sin (t− 2π)U (t− 2π)
3.3.3. Transformada de tnf(t)
Obtenga la transformada de Laplace
1. L{te−10t
}Sol. 1
(s+10)2
2. L{t cos 2t} Sol. s2−4(s2+4)2
3. L{t2 sinh t
}Sol. 6s2+2
(s2−1)3
4. L{te2t sin 6t
}Sol. 12s−24
[(s−2)2+36]2
3.3.4. Transformada de la convolucion de funciones
Calcule la transformada de Laplace
1. L{
1 ∗ t3}
Sol. 6s5
2. L{e−t ∗ et cos t} Sol. s−1
(s+1)[(s−1)2+1]
3. L{∫ t
0τet−τdτ
}Sol. 1
s2(s−1)
3.3.5. Transformada de la integral
Obtener la transformada de Laplace, no evalue la integral antes de transfor-mar
1. L{∫ t
0eτdτ
}Sol. 1
s(s−1)
2. L{∫ t
0e−τ cos τdτ
}Sol. s+1
s[(s+1)2+1]
11
3. L{t∫ t0
sin τdτ}
Sol. 3s2+1s2(s2+1)2
Evaluar la transformada inversa
1. L−1{
1s(s−1)
}Sol. et − 1
2. L−1{
1s3(s−1)
}Sol. et − 1
2 t2 − t− 1
3.3.6. Transformada de funciones periodicas
Determine la transformada de Laplace de cada una de las funciones perioricas
1. f (t) ={
1, 0 ≤ t < a−1, a ≤ t < 2a , y f(t+ 2a) = f(t) Sol. 1−e−as
s(1+e−as)
2. f (t) = ab t, 0 ≤ t < b, y f(t+ b) = f(t) Sol. a
s
(1bs −
1ebs−1
)3. f (t) = sin t, 0 ≤ t < π, y f(t+ π) = f(t) Sol. coth(πs/2)
s2+1
3.4. Solucion de ecuaciones integrodiferencialesusando transformada de Laplace
Use la transformada de Laplace para resolver la ecuacion integral o la ecuacionintegrodiferencial
1. f (t) +∫ t0
(t− τ) f (τ) dτ = t Sol. f (t) = sin t
2. f (t) = tet +∫ t0τf (t− τ) dτ Sol. f (t) = − 1
8e−t + 1
8et + 3
4 tet + 1
4 t2et
3. f (t) +∫ t0f (τ) dτ = 1 Sol. f (t) = e−t
4. f (t) = 1 + t − 83
∫ t0
(τ − t)3 f (τ) dτ Sol. f (t) = 38e
2t + 18e−2t +
12 cos 2t+ 1
4 sin 2t
5. y′(t) = 1− sin t−∫ t0y(τ)dτ, y(0) = 0 Sol. y (t) = sin t− 1
2 t sin 2t
3.5. Movimiento armonico simple, amortiguadoy forzado, circuito LRC
Movimiento libre no amortiguado
1. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 16 lb/pie.¿Cual es el periodo del movimiento armonico simple?. Sol.
√2π8
12
2. Una masa que pesa 24 libras, unida al extremo de un resorte, alarga aeste 4 pulgadas. Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto3 pulgadas arriba de la posicion de equilibrio. Encuentre la ecuacion demovimiento. Sol. x(t) = − 1
4 cos 4√
6t
3. Una masa que pesa 8 libras se une a un resorte. Cuando se pone enmovimiento, el sistema resorte-masa exhibe movimiento armonico simple.Determine la ecuacion de movimiento si la constante del resorte es 1 lb/piey la masa se libera inicialmente desde un punto 6 pulgadas abajo de laposicion de equilibrio, con una velocidad descendente de 3
2 pie/s expresela ecuacion de movimiento en la forma alternativa x(t) = A sin (ωt+ φ)Sol. x(t) = 1
2 cos 2t+ 34 sin 2t =
√134 sin (2t+ 0,5880)
Movimiento libre amortiguado
1. Una masa que pesa 4 libras se une a un resorte cuya constante es 2 lb/pie.El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numericamenteigual a la velocidad instantanea. La masa se libera desde un punto situado1 pie arriba de la posicion de equilibrio con una velocidad descendente de8 pies/s. Determine el tiempo en el que la masa pasa por la posicion deequilibrio. En cuentre el tiempo en el que la masa alcanza su desplaza-miento extremo desde la posicion de equilibrio. ¿Cual es la posicion de lamasa en este instante? Sol. 1
4s;12s; x
(12
)= e−2; es decir, la pesa se
encuentra aproximadamente 0.14 pie debajo de la posicion de equilibrio.
2. Una masa de 1 kilogramo se fija a un resorte cuya constante es 16N/m yluego el sistema completo se sumerje en un lıquido que imparte una fuerzaamortiguadora igual a 10 veces la velocidad instantanea. Determine lasecuaciones de movimiento si:
a) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo dela posicion de equilibrio
b) al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo dela posicion de equilibrio con una velocidad ascendente de 12m/s.
Sol.
a) x (t) = 43e−2t − 1
3e−8t
b) x (t) = − 23e−2t + 5
3e−8t
3. Una fuerza de 2 libras alarga un resorte 1 pie. Una masa que pesa 3.2 librasse une al resorte, y luego se sumerge el sistema en un medio que ofreceuna fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantanea.
a) Encuentre la ecuacion de movimiento si inicialmente se libera la masadesde el reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posicionde equilibrio .
13
b) Exprese la ecuacion de movimiento en la forma alternativa x(t) =Ae−λt sin
(√ω2 − λ2t+ φ
).
c) Calcule la primera vez en la cual la masa pasa a traves de la posicionde equilibrio en la dirreccion hacia arriba.
Sol.
a) x (t) = e−2t(− cos 4t− 1
2 sin 4t)
b) x (t) =√
52 e−2t sin (4t+ 4,249)
c) t = 1,294s
Movimiento forzado
1. Una masa que pesa 16 libras alarga 83 pie un resorte. La masa se libera
inicialmente desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posicion deequilibrio, y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofreceuna fuerza de amortiguamiento igual a 1
2 de la velocidad instantanea. En-cuentre la ecuacion de movimiento si se aplica a la masa una fuerza externaigual a f(t) = 10 cos 3t. Sol. x (t) = e−t/2
(− 4
3 cos√
472 t− 64
3√
47sin√
472 t)
+103 (cos 3t+ sin 3t)
2. Una masa de 1 slug, cuando se une a un resorte, causa en este un alargamien-to de 2 pies y luego llega al punto de reposo en la posicion de equilibrio.Empezando en t = 0, una fuerza externa igual a f(t) = 8 sin 4t se apli-ca al sistema. Encuentre la ecuacion de movimiento si el medio circun-dante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8 veces la velocidadinstantanea. Sol. 1
4e−4t + te−4t − 1
4 cos 4t
3. Cuando una masa de 2 kilogramos se une a un resorte cuya constantees 32N/m, este llega al reposo en la posicion de equilibrio. Comenzandoen t = 0, una fuerza igual a f(t) = 68e−2t cos 4t se aplica al sistema.Determine la ecuacion de movimiento en ausencia de amortiguamiento.Sol. x (t) = − 1
2 cos 4t+ 94 sin 4t+ 1
2e−2t cos 4t− 2e−2t sin 4t
Circuito en serie
1. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC en t = 0,01 scuando L = 0,05h, R = 2, C = 0,01 f , E(t) = 0V , q(0) = 5C e i(0) = 0A.Determine la primera vez en que la carga del capacitor es igual a cero.Sol. 4,568C; 0,0509 s
2. Encuentre la carga en el capacitor, la corriente en el circuito LRC ytambien determine al carga maxima en el capacitor, considere L = 5
3 h,R = 10, C = 1
30 f , E(t) = 300V , q(0) = 0C e i(0) = 0A Sol. q(t) =10− 10e−3t (cos 3t+ sin 3t) i(t) = 60e−3t sin 3t; 10,432C
14
3. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC enserie cuando L = 1h, R = 2, C = 0,25 f , E(t) = 50 cos t V Sol. qp =10013 sin t+ 150
13 cos t ip = 10013 cos t− 150
13 sin t
4. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuandoL = 1
2 h, R = 10, C = 0,01 f , E(t) = 150V , q(0) = 1C e i(0) = 0A.¿Cual es la carga en el capacitor despues de un largo tiempo? Sol. q(t) =− 1
2e−10t (cos 10t+ sin 10t) + 3
2 ; 32 C
15
Capıtulo 4
Series de Fourier yecuaciones diferencialesparciales
4.1. Funciones ortogonales
Muestre que las funciones provistas son ortogonales en el intervalo indicado
1. f1 (x) = ex, f2 (x) = xe−x − e−x; [0, 2]
2. f1 (x) = x, f2 (x) = cos 2x; [−π/2, π/2]
Muestre que el conjunto de funciones provisto es ortogonal en el intervaloindicado
1.{
sin nπp x}, n = 1, 2, 3, . . . ; [0, p]
2.{
1, cos nπp x}, n = 1, 2, 3, . . . ; [0, p]
3.{
1, cos nπp x, sinnπp x}, n = 1, 2, 3, . . . , m = 1, 2, 3, . . . ; [−p, p]
4.2. Series de Fourier
Determine la serie de Fourier de f en el intervalo provisto.
1. f (x) ={
0, −π < x < 0x2, 0 ≤ x < π
Sol. f (x) =π2
6+∞∑n=1
{2 (−1)n
n2cosnx+
((−1)n+1
π
n+
2πn3
[(−1)n − 1]
)sinnx
}
16
2. f (x) = x+ π, −π < x < π
Sol. f (x) = π + 2∞∑n=1
(−1)n+1
nsinnx
3. f (x) ={
0, −π < x < 0sinx, 0 ≤ x < π
Sol. f (x) =1π
+12
sinx+1π
∞∑n=2
(−1)n + 11− n2
cosnx
4. f (x) =
0, −2 < x < −1−2, −1 ≤ x < 0
1, 0 ≤ x < 10, 1 ≤ x < 2
Sol. f (x) = −14
+1π
∞∑n=1
{− 1n
sinnπ
2cos
nπ
2x+
3n
(1− cos
nπ
2
)sin
nπ
2x
}
5. f (x) = ex, −π < x < π
Sol. f (x) =2 sinhπ
π
[12
+∞∑n=1
(−1)n
1 + n2(cosnx− n sinnx)
]
4.3. Series de Fourier de cosenos y senos
Determine si la funcion es par, impar o ninguna de las dos.
1. f(x) = sin 3x
2. f(x) = e|x|
3. f (x) ={
x2, −1 < x < 0−x2, 0 ≤ x < 1
4. f(x) = x3, 0 ≤ x ≤ 2
Desarrolle la funcion en una serie apropiada de cosenos o senos
1. f (x) ={−1, −π < x < 0
1, 0 ≤ x < π
Sol. f (x) =2π
∞∑n=1
1− (−1)n
nsinnx
17
2. f(x) = |x|, −π < x < π
Sol. f (x) =π
2+
2π
∞∑n=1
(−1)n − 1n2
cosnx
3. f(x) = π2 − x2, −π < x < π
Sol. f (x) =2π2
3+ 4
∞∑n=1
(−1)n+1
n2cosnx
4. f (x) ={x− 1, −π < x < 0x+ 1, 0 ≤ x < π
Sol. f (x) =2π
∞∑n=1
1− (−1)n (1 + π)n
sinnx
4.4. Ecuaciones diferenciales parciales
Use separacion de variables para hallar, si es posible, soluciones productopara la ecuacion diferencial parcial dada.
1.∂u
∂x=∂u
∂ySol. u = c1e
c2(x+y) donde c1 y c2 son constantes.
2. ux + uy = u Sol. u = c1ey+c2(x−y)
3. x∂u
∂x= y
∂u
∂ySol. u = c1 (xy)c2
4.∂2u
∂x2+
∂2u
∂x∂y+∂2u
∂y2= 0
4.5. Ecuacion unidimensional del calor
Resuelva la ecuacion de calor k∂2u
∂x2=∂u
∂t, 0 < x < L, t > 0 sujeta a las
condiciones expresadas.
1. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0
u (x, 0) ={
1, 0 < x < L/20, L/2 < x < L
Sol. u (x, t) =2π
∞∑n=1
− cosnπ
2+ 1
n
e−kn2π2
L2 t sinnπ
Lx
18
2. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0u (x, 0) = x (L− x)
3. u (0, t) = 0, u (2, t) = 0
u (x, 0) ={x, 0 < x < 10, 1 < x < 2
4. Determine la temperatura u (x, t) en una varilla de longitud L si la tem-peratura inicial es f(x) y si los extremos x = 0 y x = L estan aislados.
Sol. u (x, t) = e−ht
[1L
∫ L
0
f (x) dx+2L
∞∑n=1
(∫ L
0
f (x) cosnπ
Lxdx
)e−k
n2π2
L2 t cosnπ
Lx
]
4.6. Ecuacion de onda unidimensional
Resuelva la ecuacion de onda a2 ∂2u
∂x2=∂2u
∂t2sujeta a las condiciones estable-
cidas.
1. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0
u (x, 0) =14x (L− x) ,
∂u
∂t t=0= 0
Sol. u (x, t) =L2
π3
∞∑n=1
1− (−1)n
n3cos
nπa
Lt sin
nπ
Lx
2. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0
u (x, 0) = 0,∂u
∂t t=0= sinx
Sol. u (x, t) =1a
sin at sinx
3. u (0, t) = 0, u (L, t) = 0
u (x, 0) =
2hxL, 0 < x <
L
22h(
1− x
L
),
L
2≤ x < L
,∂u
∂t
∣∣∣∣∣∣∣t=0
= 0
Sol. u (x, t) =8hπ2
∞∑n=1
sinnπ
2n2
cosnπa
Lt sin
nπ
Lx
4.7. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones
Resuelve la ecuacion de Laplace∂2u
∂x2+∂2u
∂y2= 0 para una placa rectangular
sujeta a las condiciones establecidas.
19
1. u (0, y) = 0, u (a, y) = 0u (x, 0) = 0, u (x, b) = f(x)
Sol. u (x, y) =2a
∞∑n=1
1
sinhnπ
ab
∫ a
0
f(x) sinnπ
axdx
×sinhnπ
ay sin
nπ
ax
2. u (0, y) = 0, u (a, y) = 0u (x, 0) = f(x), u (x, b) = 0
Sol. u (x, y) =2a
∞∑n=1
1
sinhnπ
ab
∫ a
0
f(x) sinnπ
axdx
×sinhnπ
a(b− y) sin
nπ
ax
3. u (0, y) = 0, u (1, y) = 1− y∂u
∂y y=0
= 0,∂u
∂y y=1
= 0
Sol. u (x, y) =12x+
2π2
∞∑n=1
1− (−1)n
n2 sinhnπsinhnπx cosnπy
4.∂u
∂xx=0= u (0, y) u (π, y) = 1
u (x, 0) = 0, u (x, π) = 0
Sol. u (x, y) =2π
∞∑n=1
1− (−1)n
n× n coshnx+ sinhnxn coshnπ + sinhnπ
sinny
20
