Problemas Abastecimiento

8/18/2019 Problemas Abastecimiento

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2014

Ing. KIKO FELIX DEPAZ CELI

INGENIERIA AMBIENTAL

16/11/2014

APROVECHAMIENTO Y

ABASTECIMIENTO DE AGUAS


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Figura 1

CAPITULO 1

TUBERIAS EN SERIETUBERIAS EN SERIE:

Cuando dos o más tuberías de diferentes diámetros o rugosidades se conectan demanera que el flujo pasa a través de ellos sin sufrir derivaciones se dice que es unsistema conectado en serie.

Las condiciones que deben cumplir en un sistema en serie son:

1. Continuidad

Donde

, son el área de la sección transversal y la velocidad media

respectivamente en la tubería i.

2. La suma de las perdidas por fricción y locales es igual a las pérdidas deenergía total del sistema.

Las pérdidas por fricción pueden calcularse usando la ecuación de Darcy-Weisbach

o la de Hazen-Williams, según el caso.

SOLUCION DEL SISTEMA EN SERIE SEGÚN LA FORMULA DE DARCY-WEISBAHUn problema típico de tuberías en serie en el mostrado en la fig.5, en el cual (a) se

desea conocer el valor de H para un caudal dado o bien (b) se requiere el caudal paraun valor de H dado.


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Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B (en los niveles de lasuperficie de los depósitos) obtenemos la siguiente expresión.

Usando la ecuación de continuidad

Despejando en función de , obtenemos

() Sustituyendo estas expresiones ken la expresión original, tenemos

[ ] (5) Generalizando

(6)

Donde son constante obtenidas de los valores físico – hidráulico de lastuberías.

Resolvamos el inciso a, donde se quiere conocer la carga H, conociendo el caudal.En esta solución, el inconveniente es determinar los coeficientes de fricción, de cadatubería, los cuales dependen del numero de Reynolds y la rugosidad relativacorrespondiente a cada tramo, a través del diagrama de Moody o por formulas decálculo, donde los valores es una función de los datos del problemas y la solución es enforma directa.

Si el valor dado es H, inciso b, aquí se presenta una solución iterativa para ladeterminación del caudal; despejando la velocidad en la ecuación (6), se representa unproceso para la solución:

1. Suponer valores de los coeficientes de fricción de cada tramo en elintervalo de 0.02-0.04.

2. Calcular la velocidad despejada en la ecuación (6).3. Calcular la velocidad de los demás tramos a través de la ecuación de

continuidad.


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4. Calcular los números de Reynolds de cada tramo con sus respectivasvelocidades y con sus rugosidades relativas, obtener nuevos valores de loscoeficientes de fricción de cada tramo a través del diagrama de Moody o formulasde cálculo.

5. Repetir los pasos 2 al 4, hasta que los coeficientes de fricción de cada

tramo converjan a una solución.

EJEMPLO 3Del sistema serie mostrado en la fig. (4), determine el caudal

Primero hay que calcular las rugosidades relativas de las tuberías.

Por continuidad.

() () Sustituyendo estos datos en la ecuación (6):

() () Donde resulta

Despejando la velocidad de cálculo


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SOLUCION DEL SISTEMA EN SERIE SEGÚN LA FORMULA DE HAZEN WILLIAMS

Si se utiliza la ecuación de Hazen Williams para resolver el problema de tuberías enserie se obtiene una expresión similar a la ecuación 6 donde la carga necesaria Hestaría en términos del caudal. Para obtener esta ecuación se aplica la ecuación deBernoulli entre los puntos A y B (ver figura 4)

Calculando las pérdidas por fricción en cada tubería:

() ()

En forma genérica para i-n tramos:

() Las pérdidas locales se pueden expresar como:

Para la entrada:

En forma genérica para j-n accesorios:

En el caso de tratarse de una contracción brusca (reducción de diámetro) la pérdidalocal se expresaría:

Obsérvese que los son constantes para un sistema de tuberías en serie, por lotanto de la ecuación de Bernoulli resultara.


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∑ ∑ (7) En esta ecuación es posible distinguir dos casos:

1) Dado Q, encontrar la carga disponible.

Esta solución es directa, si se conoce las características física-geométricas (o sealos diámetros, longitudes, constantes de Hazen-Williams) es posible determinar losvalores de las constantes y sustituirlos en la ecuación (7), donde se obtiene elvalor de H.

2) Se conoce la carga disponible del sistema en serie y se desea calcular elcaudal trasegado.

De igual forma se determinan los valores de las constantes y la ecuación (7),se transforma como: (8)

Lo cual puede ser resuelto por tanteo, o bien utilizando métodos numéricos tal comoel método de Newton-Rarbpson.

Utilizando el proceso por tanteo, primero se busca un Q aproximado para comenzarestas; por ejemplo:

Como las exponentes son próximos entre sí, pondremos un promedio de estos como

[] (9) A continuación se da un ejemplo de aplicación del caso 2. EJEMPLO 4

En la fig.4 del sistema en serie, calcúlese el caudal si la carga disponible es de6.10m y los coeficientes de pérdidas locales son Se obtienenlas siguientes características:

Calculando los de los tramos 1 y 2 seria:()


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Para las perdidas locales los seria:

[ ]

La ecuación a resolver resulta:

Donde el Q aproximado seria 0.02703

Resolviendo por tanteos

Q 0.02703 1.06731

0.02400 0.13463

0.02350 -0.10416

0.02370 -0.00916

0.02372 0.00039

Esto indica una discrepancia del 0.11% de la función del caudal. Lo que indica .


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Solución de un sistema de Tubería en serie por tubería Equivalente

El método de la longitud equivalente puede ser utilizado para resolver problemas detuberías en serie, convirtiendo las perdidas en accesorios y todas las perdidas porlongitud de otras tuberías a su equivalente a perdidas de fricción de un diámetro dado.Casi siempre se toma uno de los diámetros del sistema.

Longitud Equivalente por Perdidas por Longitud .

Según Darcy – Weisbach

(10)

Según Hazen-Williams

(11)

Longitud Equivalente por Pérdidas Locales.

(12)

En el caso cuando el caudal es desconocido los coeficientes de fricción se calculanpor el régimen de turbulencia completa, ya que este coeficiente es constante concualquier efecto de parte del número de Reynolds, por lo tanto la pérdida es muchomayor. Según la fórmula de Darcy-Weisbach, en esta zona, las pérdidas son

proporcionales a la carga de velocidad, si el diámetro y la longitud son constantes. Por lotanto solo existe un coeficiente mayor correspondiente a su rugosidad relativa en la zonade turbulencia completa que produzca una perdida mayor, de esta forma aseguramosuna longitud equivalente funcionable al sistema original. Después, el método de lalongitud equivalente funcionable ocasiona un problema típico simple nuevo, donde elcoeficiente de fricción nuevo se calcula por medio de iteraciones o por la ecuación deCoolebrook.

Veamos un ejemplo, en el caso de la fig.4 se reducirían las pérdidas de entradas deltanque de la izquierda, la expansión, la salida al tanque de la derecha y la tubería 2 por

sus longitudes equivalentes de tubería 1. En este caso se tomo como tuberíaequivalente la tubería 1, bien se pudiese haber tomado la tubería 2.

EJEMPLO 5

Resuelva el ejemplo 3, usando tubería equivalente a la tubería 1.

Todos los accesorios y la tubería 2 deben sustituirse por su equivalencia de la tubería1.


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Calculo de los coeficientes de fricción de las tuberías:

() () Tuberías equivalentes:

Tubería 1:

Longitud equivalente a la tubería 1.

Entrada:

() ()

Expansión:

() () Tubería 2:

Longitud equivalente la tubería 2

Salida:

() Longitud equivalente de tubería 1.Longitud: ( )


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()()

()()

Podemos ahora tratar el problema considerando una tubería típica simple con lassiguientes características:

La ecuación de energía se reduce a

()

() De donde:

√ La rugosidad relativa y el número de Reynolds.

Asumiendo un valor de coeficiente de fricción de 0.020 y resolviendo iterativamente.

0.0200 10.60

0.0246 9.55

0.0247 9.55

0.0247 9.55

Donde la por lo tanto el caudal seria

Este problema puede resolverse por medio de la ecuación de Coolebrook de formadirecta.


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EJEMPLO 6

Calcúlese el caudal que pasa por el sistema de la tubería en serie de la fig.4,sustituyendo la tubería 1 por su equivalente en tubería 2, sin considerar perdidaslocales. Las características geométricas son:

La carga disponible H=10m.Según Hazen-Williams() ()

() ( ) Entonces el sistema de tuberías en serie se sustituye por una sola tubería con las

característica de la tubería 2, cuya longitud seria: 30+131.68 =161.68m.El caudal seria:

(13)

( ) REGLA DE DUPUIT

La regla de dupuit permite calcular la relación longitud-diámetro de la tuberíaequivalente a un sistema de tubería en serie para flujo turbulento completamentedesarrollado (turbulencia completa).

Según la fórmula de Darcy-Weisbach

Las perdidas por fricción pueden ser expresadas por


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Considerando ahora el sistema de tubería en serie de la figura 6, la pérdida total enel sistema es

En la ecuación anterior se supone que ambas tuberías tienen un mismo valor de K.en forma genérica obtenemos para n tuberías

∑ (14) Nótese que se supone que el valor de K es constante tanto en cada una de las

tuberías en serie, así como en la tubería equivalente. Esto no es rigurosamente ciertopuesto que el valor del coeficiente de fricción, que determina el valor de K, es función dela rugosidad relativa de cada tubería en la zona de turbulencia completa. Sin embargo,

la ec. 13 se puede utilizar en cálculos aproximados en los problemas de tuberías enserie.

La regla de Dupuit, basada en la formula de DARCY-WEISBACH, es por lo tantosolamente una aproximación, siendo exacta únicamente cuando todas las tuberías(incluyendo la equivalente) tienen el mismo coeficiente de fricción.

Figura 2


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Una formula más precisa para la regla de Dupuit, basada en la ecuación de DARCY-WEISBACH, debe incluir los coeficientes de fricción para cada tubería del sistema enserie, como

∑ (15)

Los valores de los coeficientes de fricción serán los correspondientes a la zona deturbulencia completa de las respectivas rugosidades relativas de cada tubería en elsistema en serie y la tubería equivalente.

SEGÚN LA FORMULA DE HAZEN-WILLIAMS.

La regla de Dupuit puede ser utilizada con respecto a la ecuación de Hazen-Williams

∑ (16) EJEMPLO 7

Resuélvase el ejemplo 3, usando la regla de Dupuit. Despréciense las perdidaslocales. Úsese un diámetro de 2 pies para la tubería equivalente. = 0.005 pie yviscosidad cinemática de .

Las características geométricas de las tuberías son L ₁=1000 pie, D₁= 2 pie, L₂=800pie, D₂= 3 pie, H= 20 pie.Obteniendo la validez de la regla de Dupuit:

De la ecuación de Bernoulli, se reduce el sistema de tuberías en serie a una tubería

simple, obtenemos:


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√ Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el valor del coeficiente de

fricción,

√ √ El valor del coeficiente de fricción

√ (√ ) √ ()

Por lo tanto, el caudal seria de 30.07 pie³/s .


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CAPITULO 2

TUBERIAS EN PARALELOTUBERIAS EN PARALELO

Un sistema de tubería en paralelo ocurre cuando una línea de conducción se divideen varias tuberías donde cada una de ellas transporta una parte del caudal original demanera que al unirse posteriormente el caudal original se conserva .la figura 7 muestraun sistema de tubería en paralelo.

Las condiciones que un sistema de tubería en paralelo debe cumplir son:

1- Las sumas de los caudales individuales de cada tubería debe ser igual alcaudal original, o sea

2- Las perdidas por fruición en cada tubería individual son iguales ,o sea:

Para los sistemas de tubería en paralelo se presenta dos problemas básicos:

Figura 3


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a) Determinar el caudal en cada tubería individual del sistema, si se conoce laperdida por fricción.

b) Determinar la perdida de carga y distribución de caudales en la s tuberíaindividuales, si se conoce el caudal original.

DETERMINACION DEL CAUDAL EN CADA TUBERIA INDIVIDUAL, SI SE CONOCELA PERDIDA POR FRICCION

Según la fórmula de Darcy- Weisbach.

Para este caso la solución es de forma directa, ya que cada tubería del sistema enparalelo se analizara en forma individual, como una tubería simple donde las pérdidasde carga son iguales entre las tuberías y el coeficiente de fricción se determinautilizando la ecuación de Coolebrook

EJEMPLO 8

Si en la figura 6 las características geométricas de la tubería sony =0.012 cm (para todas las

tuberías) determine los caudales en cada ramal y el caudal original para una pérdida defricción de 5m de agua (viscosidad cinemática es 1*

Para la tubería 1. ( )

El número de Reynolds correspondiente es

Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el coeficiente de fricción

( )


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√ √

la velocidad y el caudal de la tubería 1 seria:

Para la tubería 2. (



()

√ √

La velocidad y el caudal de la tubería 2 seria:


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Para la tubería 3. ( )



() √ √

La velocidad y el caudal de la tubería 3 seria:

El gasto original seria:


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Según la fórmula de Hazen William

Utilizando la ecuación de Hazen- William los ejercicios de aplicación se le deja allector

()

DETERMINACION DE LAS PERDIDAS DE CARGA Y LA DISTRIBUCION DECAUDALES EN LAS TUBERIAS, SI SE CONOCE EL CAUDAL ORIGINAL

SEGÚN LA FORMULA DE DARCY-WEISBASCH

En estos problemas se realizan de forma directa utilizando la ecuación de Hazen-Williams. Si se trabaja con la formula de Darcy-Weisbach entonces es necesario llevar acabo un procedimiento iterativo para calcular los coeficientes de fricción.

Considerando que, las pérdidas de fricción en todas las tuberías en paralelo es lamisma:

Escogiendo en caudal común (en este caso ) de las tuberías en paralelo, pararesolver un sistema de ecuaciones obtenemos:

() () Aplicando el mismo procedimiento, se obtiene:

() ()


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En forma genérica se obtiene las relaciones que se pueden expresar en formagenérica

() Según Darcy –Weisbach() Según Hazen WilliamsDonde el coeficiente , se calcula de acuerdo a las expresiones desarrolladas

anteriormente, donde j indica el; caudal común de las tuberías en paralelo.

Para el sistema en paralelo se sabe que:

∑ (18)

Esta fórmula permite calcular a partir del caudal original conocido y lascaracterísticas geométricas e hidráulicas de las tuberías en paralelo y posteriormente laperdida de friccion en cualquiera de las tuberías.

Cuando se trabaja con la ecuación de Hazen-Williams la solución del problema sedetermina con la resolución de la ecuación anteriores el caso de utilizar la ecuación deDarcy-Weisbach, las estarian en función de los coeficientes de friccion en cadatubería en paralelo (sabemos que esto depende del caudal), por lo tanto hay quesuponer los valores de estos coeficiente para cada tubería en paralelo entrando en sí,en un procedimiento iterativo hasta lograr la convergencia. Una buena pauta parasuponer estos valores (coeficiente de fricción) es utilizar los valores de estos

(17)


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coeficientes en la zona de turbulencia completa que en la práctica, pocas veces seránecesaria una segunda iteración.

EJEMPLO 9

Determinar el caudal y la pérdida de carga en cada ramal del sistema de tubería enparalelo de la figura 7, si los datos son los mismos del ejemplo 8 excepto el caudal quees igual a 150 l/s

Calculando los coeficientes de fricción de cada tubería en paralelo en la zona deturbulencia completa obtenemos

=0.012 cm

()

Calculando los

() () ( )


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El valor común del caudal ó sea

Segunda iteración (rectificando los valores del coeficiente de fricción en cada tuberíaen paralelo

Para obtener los siguientes valores del coeficiente de fricción

()

=0.0254

Resultando , prácticamente iguales a los valores anteriores (el cálculos de los se le deja al lector).

La perdida de carga pueda determinarse por cualquiera de las tres tuberías.


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SOLUCION DE UN SISTEMA DE TUBERIAS EN PARALELOS POR TUBERIAEQUIVALENTE

Considérese un sistema de tubería en paralelo como se muestra en la figura 6,donde las pérdidas en cada uno de ellos se pueden expresar:

SEGÚN LA FORMULA DE DARCY-WEISBACH

despejando los caudales en cada tubería en paralelo

Supóngase que el sistema en paralelo quiera ser sustituido por una sola tuberíasimple (equivalente) transportando un caudal original con diámetro D℮ (equivalente y lalongitud Le (equivalente), entonces las pérdidas de carga atreves de esta será:

Dado que las pérdidas por fricción en cada tubería en paralelo son igualesobtenemos:


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Supónganse que los valores de los coeficientes de fricción son iguales, el diámetrode la tubería equivalente se calcula usando la ecuación (4.16)

√ √ √ De aquí, podemos optar por un diámetro comercial de 4 pulgada.

Las características hidráulicas de la tubería equivalente serian:

del diagrama de Moody se obtiene un coeficiente de fricción 0.0167 causando unapérdida de fricción en cada tubería de:

Los caudales se obtienen por un proceso iterativo.


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PROBLEMAS TIPOS DE ABASTECIMIENTO

5) La tuberia compuesta (sistemas de tuberias en serie) ABCD esta constituida por 6000m de tuberia de 40 cm, 3000 m de 3000 m de 30 cm y 1500 m de 20 cm (c=100). a)calcular el caudal entre A y D es de 60

b) que diametro a de tener una tuberia de 1500 m de longitud, colocada en paralelocon la exixtente de 20 cm y con nodos en C y D para que la nueva seccion C-D seaequivalente a la seccion ABC ( c=100)

c) si entre los puntos C y D se pone en paralelo con la tuberia de 20 cm CD otra de30 cm y 2400 m de longitud ¿cual sera la perdidad de carga total entre A y D para Q=80l/s.

a) [ ]

b) Por equivalencia con Q=59 l/s

[ ] Como en el tramo CD esta en paralelo y es equivalente al tramo H podemos conocer

el caudal del tramo de L=1500 m y D =20 cm


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y

c) Con caudal igual a 80 l/s, las perdidas en las tuberias simples son

( ) ( ) Como en el tramo CD estan en paralelo y las tuberias de diametro igual a 20 cm

L=1500m y diametro de 30 cm , L=2400 m con un caudal total de entrada de Q=80l/s.sabemos q un sistema en paralelo se resuelve :

()

( ) Entonces:


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6) un sistema de tuberias en serie ABCD esta formado por una tuberia de 50 cm y 3000m de longitud, una de 40 cm y 2400 m y otra de 20 cm y L en m? C1=120,

a) que longitud L hara que el sistema ABCD sea equivalente a una tuberia de 37.5 cmde diametro, 4900 m de longitud y C1=100

b) si la longitud de la tuberia de 30 cm que va de C a D fuera de 4900m, que caudalcirculara para una tuberia de carga entre A y D de 40 m?

a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

() ( ) a) , ,

Para la tuberia equivalente C=100 , D=0.375

() ( )


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7) Hallar la longitud de una tuberia de 20cm equivalente al sistema de tuberias en serieconstruido por una tuberia de 25 cm y 900 m de longitud, una de 20 cm y 450 m y otrade 15 cm y 150 m de longitud (para todas las tuberias C1=120).

() () ()

Comprobacion

Asumamos Q=0.3 m³/s

() ( )

() ( ) Utilizando las 3 tuberias() ( )


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8) Los depositos A y D estan conectados por el siguiente sistema de tuberias en serie .la tuberia (A-B) de 500cm y 2400m de longitud , la (B-C) de 40cm y 1800m y la (C-D) dediametro desconocido y 600m de longitud , la diferencia de elevacion entre lassuperficies libres de los depositos es de 25 cm

a)Determine el diametro de la tuberia CD para el caudal que circula entre A y D 180l/s si= 120 para todas las tuberias

b)Que caudal circulara entre entre A y D si la tuberia CD es de 35cm de diametro y si ,ademas , conectada entre B y D existe otra tuberia en paralelo con BCD y 2700m delongitud y 300cm de diametro

a) ∑

( ) ( )


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b) En sistema en serie de tuberias de longitud L=1800 m, D=0.40 cm y L=600 m,D=35 cm. La transformacion en su equivalencia con respecto a D=40 cm

Ahora obtenemos dos tuberias en paralelo en el tramo BD, que son:L=2949.67, D=40 cm y L=2700m, D=30 cm. Obteniendo su longitud equivalentecon respecto al diametro de 40 cm;

si =∑ . De aquí obtenemos dos tuberias en serie, L=2400 m, D=50cm y L=1404.97 m, D= 40 cm.


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9) Un sistema de tuberias (C1= 120) esta constituido por una tuberia de tuberia de 750m y 3000 m (AB), otra de 60 cm y 2400 m (BC) y de C a D dos tuberias en paralelo de40 cm y 1800 m de longitud cada unaa) para un caudal entre A Y D de 360 l/s. cual es la perdida de carga?b) si se cierra la llave en una de las tuberias de 40 cm. ¿Que variacion se producira en la

perdida de carga para el mismo caudal anterior?.

a) Q = 0.36m³/s

() ( )

() ( )


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b) Cerramos la llave con una de las tuberias.El caudal que circulara sera QT.

() ( )

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