Problemas admisibles gobernados por ecuaciones de Hamilton

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  • Problemas admisibles gobernados porecuaciones de HamiltonJacobi

    G. Daz

    Matematica AplicadaUCM

    Jornada Interdisciplinar HamiltonJacobi.F. Matematicas. UCM.19 de Octubre. 2007

    http://www.mat.ucm.es/gdiaz/docencia/ProbAdmisJHJ.pdf

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 1 / 138

    http://www.mat.ucm.es/~gdiaz/docencia/ProbAdmisJHJ.pdf

  • IntroduccionLos personajes

    W.R.Hamilton (18051865) C.G.J. Jacobi (18041851)

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 2 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    el HamiltonianoH(x , t, u,xu)

    operador diferencial de primer orden, completamente no lineal, . . . .En Mecanica

    p 7 H(x , t, r , p) (convexa)

    la ecuacion de HamiltonJacobi

    ut(x , t) = H(x , t, u(x , t),xu(x , t)),

    ecuacion de primer orden, completamente no lineal, hiperbolica no lineal. el bastidor

    (x , t) V]0,T[

    V es una variedad espacial. T + es el horizonte temporal.G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 3 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

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  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

    G. Daz (Matematica Aplicada UCM) Problemas admisibles con ecuaciones de HJ Indice 4 / 138

  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi

    Problemas de valor inicial{ut = H(x , t, u,xu) en V]0,T[,u(x , 0) = u0(x) x V.

    Como entender la EDP?,Como entender la juntura entre la EDP y eldato inicial?,Como entender el comportamiento inicial y final de lassoluciones? Horizontes maximales (blow up)

    T = T horizonte maximal{|u(x , t)| < +, t < T,|u(x ,T)| = +.

    Problemas admisibles

    T

    {> 0, problema admisible,= 0, problema no admisible.

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  • IntroduccionLos problemas gobernados por ecuaciones de HamiltonJacobi. G.Daz & J.M.Rey

    {ut = R|xu| en RN]0,T[ (R > 0),u(x , 0) = u0(x) x RN.

    u(x , t) = supyBRt(x)

    (u0)(y), (x , t) RN R+ T = +

    traza: u0 C es muy excluyente deja