problemas cap 1 sakurai

8/7/2019 problemas cap 1 sakurai

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1

Problema 1

Prove

[ ] { } { } { } { }, , , , ,AB CD AC D B A C B D C D A B C A DB= − + − + .

Solução :

Temos que :

[ ],AB CD ABCD CDAB= − . (1)

Pode-se escrever o termo ABCD como :

{ },ABCD A C B D ACBD= − . (2)

Da mesma forma escreve-se o termo ACBD como :

{ },ACBD AC D B ACDB= − . (3)

O segundo termo do lado direito de (1) pode também ser escrito como :

{ },CDAB C D A B CADB= − . (4)

Substituindo (4), (3) e (2) em (1), tem-se :

[ ] { } { } { }, , , ,AB CD A C B D AC D B ACDB C D A B CADB= − + − + . (5)



2

E finalmente, fazendo { },ACDB CADB C A DB+ = , temos :

[ ] { } { } { } { }, , , , ,AB CD AC D B A C B D C D A B C A DB= − + − + . (6)



1

Problema 2

Suponha que uma matriz X 2 2x ( não necessariamente Hermitiana, nemunitária ) seja escrita como

0 .X a aσ = + , (1)

onde 0a e 1,2,3a são números.

a. Como são 0a e ( 1,2,3)k a k = relacionados ao ( )tr X e ao ( )k tr X σ ?

b. Obtenha 0a e k a em termos dos elementos da matriz ijX .

Solução :

a. Consideraremos σ o vetor cujos componentes são as matrizes de Pauli :

1

0 1

1 0σ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

0

i

iσ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

3

1 0

0 1σ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Então a matriz X , escrita explicitamente, fica :

0 31 2

0 31 2

0 3 1 2

1 2 0 3

0 00 00 1 0 1 0

0 00 01 0 0 0 1

a aa aiX

a aa ai

a a a iaX

a ia a a

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

(2)

O ( )tr X e definido como ( ) jjj

tr X X = ∑ , então

0( ) 2tr X a= . (3)

Calcularemos agora os ( )k tr X σ para 1k = , 2 e 3 :

1 2 0 31

0 3 1 2

1 1( ) 2

a ia a aX

a a a ia

tr X a

σ

σ

+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

=(4)



2

2 1 0 32

0 3 1 2

2 2( ) 2

a ia ia iaX

ia ia ia a

tr X a

σ

σ

− − +⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

=(5)

0 3 1 23

1 2 0 3

3 3( ) 2

a a a iaX

a ia a a

tr X a

σ

σ

+ −⎛ ⎞= ⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠

=(6)

Podemos escrever em forma compacta

( ) 2tr X aσ = ; 0( ) 2tr X a= (7)

b. Para escrever 0,1,2,3a em termos dos elementos ijX faremos uso do (3), (4),(5) e (6), respectivamente :

0 11 221 1

( )2 2

a trX X X = = + (8)

1 1 21 121 1

( ) ( )2 2

a tr X X X σ = = + (9)

( )2 2 21 121 1

( )2 2

a tr X iX iX σ = = − + (10)

3 3 11 221 1

( ) ( )2 2

a tr X X X σ = = − (11)



1

Problema 3

Mostre que o determinante de uma matriz 2 2x .aσ é invariante sob

ˆ ˆ. .. . ' exp . exp

2 2i n i n

a a aσ φ σ φ

σ σ σ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ ≡ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (0)

Encontre 'k a em termos de k a quando n̂ esta na direção positiva z e

interprete o seu resultado.

Solução :

Observamos que os operadoresˆ.

exp2

i nσ φ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

eˆ.

exp2

i nσ φ −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

são Hermitianos

adjuntos um do outro. Chamaremos estes operadores de U e †U ,

respectivamente. Notamos que † 1UU = . Logo † 1det

detU

U = . Então :

( )

†det( . ') det det( . )det

1det( . ') det det( . ) det .det

a U a U

a U a aU

σ σ

σ σ σ

=

= =

(1)

Calcularemos agora os 'k a em termos dos k a para ˆ ˆn z= . Neste caso, 3ˆ.nσ σ = .Faremos a expansão :

33

1exp

2 ! 2

k k

k

i ik

σ φ φ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ (2)

Usando a propriedade da matriz 3σ :

3

3

1,

,

k

se k e par

se k e impar

σ

σ

⎧⎪=⎨

⎪⎩

,

Podemos escrever :



2

33

1 1exp

2 ! 2 ! 2

k k

k par k impar

i i ik k

σ φ φ φ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ (3)

De forma análoga, temos :

33

1 1exp

2 ! 2 ! 2

k k

k par k impar

i i ik k

σ φ φ φ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑ (4)

Dessa forma, escrevemos (0) como :

[ ]3 1 1 2 2 3 3

3

1 1. '

! 2 ! 2

1 1! 2 ! 2

k k

k par k impar

k k

k par k impar

i ia a a a

k k

i ik k

φ φ σ σ σ σ σ

φ φ σ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

∑ ∑

∑ ∑

(5)

Usando as relações entre as matrizes de Pauli i j j iσ σ σ σ = − ( j i≠ ), podemosformar o termo de (5) que envolve o 1 0 termo entre colchetes :

1 3 1 3

3 31 1

1 1 1 1! 2 ! 2 ! 2 ! 2

exp exp2 2

k k k k

k par k impar k par k impar

i i i ia

k k k k

i ia

φ φ φ φ σ σ σ

σ φ σ φ σ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑(6)

De forma totalmente análoga o termo de (5) formado pelo segundo termoentre colchetes fica :

3 32 2exp exp

2 2i i

aσ φ σ φ

σ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(7)

Finalmente poderemos escrever o termo formado pelo terceiro termo entrecolchetes de (5) :

3 33 3exp exp

2 2i i

aσ φ σ φ

σ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(8)



3

Assumindo que 1,2,3a são números escrevemos (5) como :

3 31 1 2 2 3 3. ' ei ia a e a aσ φ σ φ σ σ σ σ − −= + + (9)

Desenvolveremos agora 3ie σ φ − :

( ) ( )( ) ( )

3

3

3

3

2 433 3 3 3

2 433 3

2 3 4 53 3 3

2 4 3 53

1 1 1( ) ...2! 3! 4!

1( ) ...

2! 3! 4!1 1

...2! 3! 4! 5!

1 1 1 11 ... ...

2! 4! 3! 5

i

i

i

i

e I i i i iI I

e I i i i i

I I e I i i i

e I i

e

σ φ

σ φ

σ φ

σ φ

σ φ σ φ σ φ σ φ

φσ φ φ σ φ

φσ φ φ σ φ φ σ

φ φ σ φ φ φ

−

−

−

−

−

= − + − + − + − +

= − + − + − + − +

= − − + + − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

33cosi I i senσ φ φ σ φ = −

(10)

Onde I e a matriz identidade 2 2x . Substituindo

3

1 0

0 1σ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

−⎝ ⎠

; 1

0 1

1 0σ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

; 2

0

0

i

iσ

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

,

Temos :

'' '31 2

1 1 2 2 3 3 ''31 2

00 0. ' ' ' '

00 ' 0

aa iaa a a a

aa iaσ σ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Logo,

' ' '3 1 2

' ' '1 2 3

. 'a a ia

aa ia a

σ ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

(11)

O segundo termo de (9) fica :



4

3 3 31 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

31 2

31 2

3 1 2

1 2 3

( )

00 cos 0 0

00 0 cos 0

( )(cos )

( )(cos )

i i ia e a e a a a e a

aa ia seni

aa ia sen

a a ia isen

a ia isen a

σ φ σ φ σ φ σ σ σ σ σ σ

φ φ

φ φ

φ φ

φ φ

− − −+ + = + + =

− ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

− +⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠

(12)

Comparando (11) e (12), temos :

'3 3a a= (13)

' '1 2 1 2 1 1 2 2( )(cos ) cos cosa ia a ia isen a ia sen ia a senφ φ φ φ φ φ − = − + = + − +

Logo :

'1 1 2'2 2 1

cos

cos

a a a sen

a a a sen

φ φ

φ φ

⎧ = +⎨ = −⎩

(14)

Vemos então que a transformação em questão é uma rotação espacial dosistema de coordenadas do espaço Euclidiano ordinário, visto que as

equações (13) e (14) são as relações de transformações de um vetor quandoo sistema de eixos cartesianos é girado de um ângulo φ .

Rotação de um sistema de coordenadas 'S em torno do eixo z :

1 1 2

2 2 1

3 3

' cos

' cos

'

x x x sen

x x x sen

x x

φ φ

φ φ

= +⎧⎪ = −⎨

⎪ =⎩

Referência : Marion, Pág. 5.





2

( ) ( )tr XY tr YX = .

b. Temos que

( ) ( )†XY XY α α ↔

( )† † † †( )DC

XY X Y Y X Y X α α α α = ↔ =

o que fornece

( )† † †XY Y X = .

c. Uma função de operador pode ser escrita na forma de série de potências.Assim, como

0 !

nx

n

xe

n

∞

=

= ∑ ,

podemos escrever a função acima como :

[ ] [ ] [ ]2 3( )

0

1( ) 1 ( ) ( ) ( ) ...

! 2! 3!

nnif A

n

i ie f A if A f A f A

n

∞

=

= = + − − +∑

Fazendo ( )if Ae atuar em um autoket de A , a saber, a , obtemos :

[ ] [ ]2 3( ) 1( ) ( ) ( ) ...

2! 3!if A i

e a a if A a f A a f A a= + − − + (1)

Para saber o efeito de ( )f A sobre a , vamos expandir ( )f A em serie de

Taylor em torno do origem :

0

( ) nn

n

f A c A∞

=

= ∑



3

logo,

0 0

( ) n nn n

n n

f A a c A a c a a∞ ∞

= =

= =∑ ∑

Desde que0

( ) nn

n

f A c a∞

=

= ∑ , então :

( ) ( )f A a f a a= ,

logo, sendo ( )f a um escalar, podemos determinar o efeito de aplicar ( )f A varias vezes sobre o autoket a , ou seja,

[ ] [ ]2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f A a f a f A a f a f a a f a a= = =

logo, a equação (1) torna-se :

[ ] [ ]

[ ] [ ]

2 3( )

2 3( )

1( ) ( ) ( ) ...

2! 3!1

1 ( ) ( ) ( ) ...2! 3!

if A

if A

ie a a if a a f a a f a a

ie a if a f a f a a

= + − − +

⎛ ⎞= + − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

Mas, a série em (2) representa a função ( )if ae , logo, podemos escrever :

( ) ( )if A if ae a e a= (3)

Desde que A é Hermitiano, podemos escrever o elemento da matriz para( )if Ae na forma :

( ) ( ) ( )',' 'if A if a if a

a aa e a e a a e δ = =

( ) ( )',' if A if a

a aa e a e δ = (4)

Podemos, portanto, representar (4) na forma matricial :



4

( )

( ')

( )( '')

. . .

. . .

0 0 ...

0 0 ...

0 0 ...

. . . ...

if a

if a

if Aif a

e

ee e

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

matriz diagonal que representa ( )if Ae na base de A .

d. Temos que :

*' ( ') ' 'a x a xψ =

e ' ( '') '' 'a x x aψ =

Logo, substituindo na equação fornece :

*' '

' ' '

( ') ( '') ' ' '' ' '' ' ' ' '' 'a aa a a

x x a x x a x a a x x xΨ Ψ = = =∑ ∑ ∑

*' '

'

( ') ( '') '' ' ( '' ')a aa

x x x x x xδ Ψ Ψ = = −∑



1

Problema 5

a. Considere dois kets α e β . Suponha 'a α , ''a α ,... e 'a β ,''a β ,... são todos conhecidos, onde ' , '' , ...a a formam um conjunto

completo de kets de base. Encontre a representação matricial do operadorα β dentro daquela base.

b. Nós agora consideraremos um sistema de spin 1/ 2 e fazemos α e β serem / 2zS = e / 2xS = , respectivamente. Escreva abaixoexplicitamente a matriz quadrada que corresponde a α β na base usual (

zS diagonal ).

Solução :

a. Nós podemos usar o fato de que a base é completa e usamos :

' ''

' ' '' ''a a

a a a aα β α β = ∑∑ (1)

O fator ' ''a aα β é definido como o elemento na linha 'a e coluna ''a narepresentação matricial do operador α β . Então :

(1) (1) (1) (2)

.(2) (1)

.

. .

. .

...

. ...

. . ...

a a a a

a a

α β α β

α β α β

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2)

b. A base usual é formada pelos dois kets : ;zS + e ;zS − . Em acordo com(2), temos :

; ; ; ; ; ; ; ;; ;

; ; ; ; ; ; ; ;z z x z z z x z

z x

z z x z z z x z

S S S S S S S SS S

S S S S S S S S

⎛ ⎞+ + + + + + + −+ + =⎜ ⎟− + + + − + + −⎝ ⎠

(3)

Usando



2

; ; 1

; ; 0

; ; ; ; ; ; 1/ 2

z z

z z

x z x z x z

S S

S S

S S S S S S

+ + =

− + =

+ + = + − = + − =

temos

1 11; ;0 02

z xS S ⎛ ⎞+ + = ⎜ ⎟⎝ ⎠



1

Problema 6

Suponha i e j são autokets de algum operador Hermitiano A . Sob quaiscondições nós podemos concluir que i j+ é também um autoket de A ?Justifique sua resposta.

Solução :

Se i e j são os autokets de A , então

A i i i= e A j j j= (1)

onde i e j são números reais por causa da Hermiticidade de A .

Agora, se i j+ é também autoket de A , tem-se

( ) ( )' ' 'A i j a i j a i a j+ = + = + (2)

A partir da linearidade do operador A , pode-se escrever

( )A i j A i A j i i j j+ = + = + (3)

Comparando esse resultado com (2) e relembrando o fato de que os autoketsi e j são linearmente independentes conclui-se que :

'i j a= = .

Então, pode-se dizer que se i e j são autokets do operador A , sua somai j+ será também um autoket de A se os autovalores associados com eles

são degenerados.



1

Problema 7

Considere um ket de espaço expandido pelos autokets { }'a de um operadorHermitiano A . Não existe degenerescência.a. Prove que

∏ −'

)'(a

aA

é o operador nulo.

b. Qual é o significado de

?)"'()"(

"'

∏≠ −

−

aa aa

aA

c. Ilustre (a) e (b) usando o conjunto A igual a zS de um sistema de spin ½.

Solução :

a. Vamos aplicar o operador ∏ −'

' )'(a

aA sobre um ket arbitrário α que foi

expandido em termos de { }'a .

0"")""()'(

"")"()'(

"")'("")'()'(

" "'

" "'

' " '"'

=−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

=−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −=−=−

∑ ∏

∑ ∏

∏ ∑ ∏∑∏

≠

≠

α

α

α α α

aaaaaA

aaaAaA

aaaAaaaAaA

a aa

a aa

a a aaa

Todos os termos do somatório são nulos. Portanto, o operador

∏ −')'(

aaA ,

quando aplicado sobre um ket de estado α , produz um resultado nulo,



2

0)'('

=−∏ α

a

aA .

Considerando que α não seja nulo, então o operador ∏ −'

)'(a

aA é o

operador nulo.

b. Vamos agora aplicar o operador ∏≠ −−

'' )"'()"(

aa aa

aA

sobre um ketα

.

α α '''''')"'()"(

)"'()"(

''' "'"'

aaaa

aA

aa

aA

a aaaa

∑ ∏∏ ⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−−=

−−

≠≠

Os termos dentro do somatório para os quais '''' aa ≠ são todos nulos._____________________________________________________________Exemplo:Vamos fazer 1'=a e considerar também que 3,2,1"=a e 3,2,1''' =a naexpressão abaixo.

α

α

α α

33)31()33(

)21()23(

22)31()32(

)21()22(

11)31(

)31(

)21(

)21(''''''

)"1(

)"(

''' "'

−−

−−

+−−

−−

+−

−

−

−=⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−∑ ∏≠

aa

a

aA

a aa

Ou seja, sobrou apenas o termo para 1'=a e 1''' =a , isto é, o único termo quesobrevive é o termo '''' aa = ._____________________________________________________________

Para esse termo nós temos a seguinte expressão

''''1'')"'()"'(

)"'()"(

"'"'aaaaaaaa

aa

aa

aA

aaaaα α α α ==⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−−

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−−

∏∏ ≠≠ .

Dessa forma, o operador ∏≠ −

−

'' )"'()"(

aa aa

aAé um projetor, ou seja, ele projeta o

estado α sobre o estado 'a .



3

c. Considerando o caso especifico em que zSA = e que o conjunto{ } { }−+= ,'a , temos :

[ ]

022222222

22)'(

'

=−−⎟⎠⎞⎜

⎝ ⎛ +−⎟⎠⎞⎜

⎝ ⎛ −−+++⎟⎠⎞⎜

⎝ ⎛ +⎟⎠⎞⎜

⎝ ⎛ −

=−−+++⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝ ⎛ −−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −=−∏

α α

α α α zz

a

SSaA

.

Considerando agora que2

'=a temos :

( )[ ][ ]

( )( )

( )( )

++=−−++−+++

++

=−−+++−−

−−=−−∏

≠

α α α

α α α

2/ 2/ 2/ 2/

2/ 2/ 2/ 2/

2/ (2/ )2/ (

)"'()"(

"'

z

aa

S

aa

aA



1

Problema 8

Usando a ortonormalidade de + e − , prove

{ } ,2

,

,,2

ijji

k ijk ji

SS

SiSS

δ

ε

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

=

onde

( )

( )

( ).2

,2

,2

−−−++=

+−+−+−=

+−+−+=

z

y

x

S

iS

S

Solução :

Calculando o comutador ji SS , .

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( )[ ] zyx

yx

yx

yx

xyyxyx

SiSS

iSS

iiSS

i

iSS

SSSSSS

=

−−−++=

−−+++−−−−−++=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+−+⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+−+−

−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+−+−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+−+=

−=

,2

,

44,

22

22,

,

2

22



2

[ ]

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( )[ ] yzx

zx

zx

zx

xzzxzx

SiSS

SS

SS

SS

SSSSSS

−=+−+−+−=

+−−−+−+−+−+−=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+−+⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−−++

−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−−++⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+−+=

−=

,2,

44,

22

22,

,

2

22

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

[ ] ( ) ( )

[ ] ( )[ ] xzy

zy

zy

zy

yzzyzy

SiSS

iSS

iiSS

i

iSS

SSSSSS

=+−+−+=

+−−−+−−+−+−+=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+−+−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−−++

−⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −−−++⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−+−+−=

−=

,2,

44,

22

22,

,

2

22

Usando uma das propriedades dos comutadores

[ ] [ ]ABBA ,, −= ,

temos para as relações

[ ][ ] xyz

yxz

zxy

SiSS

SiSS

SiSS

−=

=

−=

,

,

,

.

De uma forma geral, podemos reescrever as três relações como

,i j ijk k S S i Sε ⎡ ⎤=⎣ ⎦



3

em que xSS =1 , ySS =

2 e zSS =3 . Temos ainda que ijk

ε ( conhecido comodensidade de Levi-Civita ) possui a seguinte propriedade

1=ijk

ε → permutação par da seqüência 123,

1−=ijk

ε → permutação ímpar da seqüência 123,

0=ijk

ε → dois índices repetidos.

Calculando o anticomutador ji SS , .

{ } { } ( ) ( )044

,,22

=−−+++−+−−−++=+== iiSSSSSSSS xyyxxyyx

{ } { } ( ) ( )044

,,22

=+−−−+++−+−+−=+==xzzxxzzx SSSSSSSS

{ } { } ( ) ( )044

,,22

=+−−−+−++−+−+=+== iiSSSSSSSS yzzyyzzy

{ } 22,iiiiiii

SSSSSSS =+=

1=i

( )24

2222

2 =−−+++=xS

2=i

( )24

)1(2222

2 =−−−++−−=yS

3=i

( )24

2222

2 =−−+++=zS

De uma forma geral, temos :

{ } ijji SS δ 2

,2

= .



1

Problema 9

Construa +;ˆ.nS tal que

+⎟⎠

⎞⎜⎝ ⎛ =+ ;ˆ.

2;ˆ.ˆ. nSnSnS

onden̂

é caracterizado pelos ângulos mostrados na figura. Expresse suaresposta como uma combinação linear de + e − . [ Nota : A resposta é

−⎟⎠

⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝ ⎛ α β β iesen

22cos .

Não é para verificar apenas que a resposta satisfaz a equação de autovaloracima. E sim, tratar o problema como um problema de autovalor. Também,não utilize operadores de rotação, o qual nós introduziremos mais tardenesse livro.]

Figura 1 : vetor n̂ e caracterizado por um ângulo α e β .



2

Solução :

Utilizando a notação vetorial, podemos escrever S e n̂ como

e

zSySxSS zyx ˆˆˆ ++=

Os operadores xS , yS e zS podem ser representados na forma matricial nabase { }−+ , como

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

01

10

2xS ; ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −=

0

0

2 i

iS y ; ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

=10

01

2zS

Calculando nS ˆ. , temos

zyx SSsensenSsennS .cos...cos.ˆ. β α β α β ++= .

Na forma matricial, temos

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+

−=

β α β α β

α β α β β

cos..cos.

.cos.cos

2ˆ.

sensenisen

senisensennS .

Podemos representar o ket +;ˆ.nS na base { }−+ , como uma matriz coluna

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =+

−

+

a

anS ;ˆ. ,

ou ainda na forma

−++=+ −+ aanS ;ˆ. .

Podemos agora escrever a equação de autovalor na forma matricial como

zysensenxsenn ˆcosˆ.ˆcos.ˆ β α β α β ++=





4

α β ..2

iesena ⎟⎠

⎞⎜⎝ ⎛ =− e ⎟

⎠

⎞⎜⎝ ⎛ =+

2cos

β a

satisfaz a equação acima. Temos então finalmente que

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝ ⎛

=+α β

β

..2

2cos

;ˆ.iesen

nS

ou

−⎟⎠

⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟

⎠

⎞⎜⎝ ⎛ =+ α β β ..

22cos;ˆ. iesennS



1

Problema 10

O operador Hamiltoniano para um sistema de dois estados é dado por

( )1 1 2 2 1 2 2 1H a= − + + ,

onde a é um número com a dimensão de energia. Encontre os autovaloresde energia e os autokets de energia correspondentes (como uma combinaçãolinear de 1 e 2 ).

Solução:

Escrevendo o operador H na forma matricial na base { }1 , 2 temos :

a aH

a a

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

em que os elementos matriciais são i H j , e , 1, 2i j = . A equação deautovalores na notação matricial tem a forma :

H E α α α =

1 1

2 2

a aE

a aα

α α

α α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ou

11 00

20 1

a aE

a aα

α

α

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

Para esta equação, deveremos ter soluções não triviais, isto é,

det 0a E a

a a E α

α

−⎛ ⎞=⎜ ⎟− −⎝ ⎠

.

Isso leva a equação secular



2

2 2 2 0

2

E a a

E a

α

α

− − =

= +.

Fornecendo assim os autovalores de H . Chamaremos esses autovalores deE + e E − e chamaremos os autokets associados a esses autovalores como E + e E − .

Para achar os autokets em termos de 1 e 2 nós retornaremos a equação deautovalores.

H E E E + + +=

Escrevendo E + em termos de 1 e 2 , temos :

1 1 2 2E E E + + += + .

Substituindo a equação e usando a definição de H , temos :

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2

H E E E

a E E E E E

a E E E E E E E

+ + +

+ + + + +

+ + + + + + +

=

⎡ ⎤− + + + = +⎣ ⎦

− + + = +

Multiplicando a equação acima ( à esquerda ) pelo bra 1 temos

( )1 2 1

1 2

( )2 1

a E E E E

a E E a E

E aE E

a

+ + + +

+ + +

++ +

⎡ ⎤+ =⎣ ⎦

− = −

−=

.

Multiplicando a mesma equação acima ( à esquerda ) pelo bra 2 temos

( )2 1 2

2 1

a E E E E

E E a a E

+ + + +

+ + +

⎡ ⎤− + =⎣ ⎦

+ =.



3

Substituindo a equação

( )2 1

E aE E

a+

+ +

−=

na

( )2 1E E a a E + + ++ = ,

temos

( )( )1 1E a

E a E a E a

++ + +

−+ = .

Substituindo 2E a+ = + , temos

2 2 2

2 2 22

E a a

a a a

+ − =

− =.

Essa equação é uma identidade. A equação

( )( )1 1E a

E a E a E a

++ + +

−+ =

é satisfeita por todos os valores 1 E + . De novo, temos apenas a

proporcionalidade entre os componentes 1 E + e 2 E + , dado por

( )2 1

E aE E

a+

+ +

−= .

Explicitamente

2 22 1

1

E a aaE

+

+

+ −= = + − .

Procuramos por autokets normalizados, então



4

2 22 1 1E E + ++ = .

Se fizermos

1 E C + +=

então

( )2 2 1E C + += + − ,

e

( )

( )

22

2

2

1/ 2

1 2 1 1

1 2 2 2 1 1

2 2 2 1

1

2 2 2

C

C

C

C

+

+

+

+

⎡ ⎤+ + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + =⎣ ⎦

⎡ ⎤+ =⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦

.

Finalmente, temos

( )

( )( )

11

2 2 2

12 2 1

2 2 2

E

E

+

+

=+

= + −+

.

Os autokets de H são :

( )( )

( ) ( )

1/ 2

1/ 2

11 2 1 2

2 2 2

11 2 1 2

2 2 2

E

E

⎡ ⎤

⎡ ⎤⎢ ⎥+ = + −⎣ ⎦⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎡ ⎤⎢ ⎥− = − +⎣ ⎦⎢ ⎥+

⎣ ⎦



1

Problema 11

Um sistema de dois estados é caracterizado pelo Hamiltoniano

11 22 121 1 2 2 1 2 2 1H H H H ⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

onde 11H , 22H e 12H são números reais com a dimensão de energia, e 1 e2

são auto kets de alguma observável (H ≠

). Encontre os autokets deenergia e os correspondentes autovalores de energia. Esteja certo de que suaresposta faz sentido para 12 0H = . (Você não precisa resolver este problemacompletamente. O seguinte fato pode ser usado sem prova :

ˆ ˆ ˆ. ; ;2

S n n n+ = + ,

com ˆ;n + dado por

ˆ; cos2 2

in e senα β β + = + + − ,

em que β e α são os ângulos polares e azimutais, respectivamente, quecaracterizam n̂ .)

Figura 1 : Vetor unitário n̂ .





3

Fazendo os produtos

2 2

2 2

ˆ cos cos cos2 2 2 2 2 2 2 2

cos cos cos2 2 2 2 2 2 2 2

i i

i i

S n sen e sen e sen

e sen e sen sen

α α

α α

β β β β β β

β β β β β β

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞• = − + + + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

temos finalmente,

ˆ cos cos2

i iS n e sen e senα α β β β β −⎡ ⎤• = + + + + − + − + − − −⎣ ⎦

ou, na forma matricial podemos escrever :

cosˆ

2 cos

i

i

e senS n

e sen

α

α

β β

β β

−⎛ ⎞• = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

(3)

Agora, H pode ser representado na forma abaixo, conforme a equação dadano enunciado :

11 12

12 22

H H H

H H

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4)

E, substituindo (4) e (3) em (1), obtemos :

11 12

12 22

cos2 2

cos2 2

i

i

a b e asenH H

H H asen e a b

α

α

β β

β β

−⎛ ⎞+⎜ ⎟⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(5)

Como os elementos da matriz de H são reais, devemos fazer 0α = , para quea matriz do segundo membro de (5) seja real. Igualando os termos, obtemos



4

11

12

22

cos2

2

cos2

H a b

H asen

H a b

β

β

β

⎧ = +⎪

⎪⎪ =⎨

⎪

⎪= − +⎪

⎩

(6)

No sistema de equações acima devemos determinar a e b . Assim, somando

(6a) e (6c), obtemos :

( )11 2212

b H H = + (7)

Subtraindo (6a) de (6b), temos :

11 22cosa H H β = − (8)

Dividindo (6b) por (8), temos :

12

11 22

2H tg

H H β =

− (9)

A equação (9) permite construir o triangulo retângulo abaixo :

Figura 2 : Relação matemática.



5

Assim, da figura acima, obtemos :

12 12

2 2 212 11 22 2 11 22

12

2

4 ( )

2

H H sen

H H H H H H

β = =+ − −⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

(10)

E substituindo (10) em (6b), obtemos “ a ” :

1/ 222 11 22

122

2H H

a H ⎡ ⎤−⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(11)

Para o operador ˆS n• vale a equação de autovalor:

ˆ ˆ ˆ. ; ;2

S n n n± = ± ±

Mas por (1), podemos trocar ˆS n• por H na equação acima, logo :

( )ˆ ˆ ˆ ˆ. ; ; ;2

H bI S n n n n

a

−± = ± = ± ±

ou

ˆ ˆ; ;2

aH n b n

⎛ ⎞± = ± + ±⎜ ⎟⎝ ⎠

(12)

Vemos que ˆ;n ± são os autovetores de H com autovalores de2

ab

⎛ ⎞± +⎜ ⎟⎝ ⎠

,

com as constantes a , b e β determinadas pelas equações (11), (9) e (7), e0α = . Então, se,

, ,H E E E ± = ± ±

Vemos que

2a

E b± = ± + (13)



6

E também

ˆ, ,E n± = ± (14)

As equações (13) e (14) só valem para as condições estabelecidas pelasequações (11), (9) e (7) com 0α = . Portanto, na base de zS , os autovetoresde H podem ser escritos com os resultados do exercício (9), ou seja,

cos2 2

E senβ β + = + + − , (15)

e

cos2 2

E senβ β − = − + + −, (16)

com

12

11 22

2H arctg

H H β

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Substituindo (7) e (11) em (13) obtemos :

1/ 222 11 22 11 22

12 2 2H H H H

E H ±

⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

, (17)

que são os autovalores de H .

Podemos testar se naturalmente as equações (15) e (16) estão corretas. Aequação (12) é uma equação de autovalores escrita na base de zS . Sefizermos 12 0H = , H ficará diagonal onde os elementos da diagonal principal

são os autovalores. Estes elementos são 11H e 22H . Assim, esperamos quefazendo 12 0H = na equação (17), E + será igual a 11H , e E − será 22H . Fazendoisso, temos:



7

1/ 22

11 22 11 22 11 22 11 2202 2 2 2

H H H H H H H H E ±

⎡ ⎤− + − +⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ± + + = ± +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Para E + o argumento do módulo deve ser 0> , logo,

11 22 11 2211

11

2 2H H H H

E H

E H

+

+

− += + =

=

.

Para E − , o argumento do módulo deve ser 0< , logo,

11 22 11 22 11 22 11 2222

22

2 2 2 2 2 2H H H H H H H H

E H

E H

−

−

− +⎛ ⎞= − + = − + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Vemos então que a resposta obtida é correta.



1

Problema 12

Um sistema de spin 1/ 2 é conhecido estar no autoestado de ˆ.S n comautovalor / 2 , em que n̂ é um vetor unitário que está no plano xz que fazum ângulo γ com o eixo z positivo.

a. Suponha que xS seja medido. Qual é a probabilidade de obter / 2+ ?b. Calcule a dispersão em xS , isto é,

( )2x xS S− .

(Confira a sua resposta para os casos especiais 0, / 2γ π = e π ).

Solução :

Figura 1: Vetor unitário n̂ .



2

a. O autoestado do sistema expresso na base { },+ − está em acordo com o

exercício 9.

ˆ; cos2 2

n senγ γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1)

A probabilidade de obter / 2+ em uma medida de xS dentro deste estado é

dada por :

( )2

ˆ ˆ, / 2 ; ;xP S x n+ = + + (2)

O bra ˆ;x + é calculado da mesma forma que ˆ;n + , com / 2β π = e 0α = :

( )1ˆ; cos

4 4 2x sen

π π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + − = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (3)

Então

( )2

1 1, / 2 cos (1 )

2 2 2 2xP S sen sen

γ γ γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(4)

b. A dispersão em xS é dada pela fórmula:

( )2 22x x x xS S S S− = − . (5)

Os valores médios são calculados para o estado ˆ;n + :

2 ˆ ˆ; ;x x xS n S S n= + + (6)

Usando a seguinte representação de xS ,

( )2

xS = + − + − + , (7)

e a expressão (1), temos:



3

2

22

22

22

cos cos2 2 4 2 2

cos cos4 2 2 2 2

cos cos4 2 2 2

x

x

x

S sen sen

S sen sen

S sen

γ γ γ γ

γ γ γ γ

γ γ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + + − + − + − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + + − + + + − − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

[ ]

22 2 2

22

22

2

cos4 2 2

14

4

x

x

x

sen

S sen

S

S

γ

γ γ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=

=

. (8)

O valor médio de xS é dado por:

cos cos2 2 2 2 2

cos cos2 2 2 2 2

cos cos2 2 2 2 2

x

x

x

S sen sen

S sen sen

S sen sen

S

γ γ γ γ

γ γ γ γ

γ γ γ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= + + − + − + − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 cos2 2 2

2

x

x

sen

S sen

γ γ

γ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

=

. (9)

Para 2xS temos:

22 2

4xS sen γ = . (10)

Finalmente, temos:





1

Problema 13

Um feixe de átomos de spin 1/ 2 passa através de uma série de medidas dotipo Stern-Gerlach como segue :

a. A primeira medida aceita átomos / 2zS = e rejeita átomos / 2zS = − .

b. A segunda medida aceita átomos / 2nS = e rejeita átomos / 2nS = − ,onde nS é o autovalor do operador ˆ.S n , com n̂ fazendo um ângulo β noplano xz com respeito ao eixo z .

c. A terceira medida aceita átomos / 2zS = − e rejeita átomos / 2zS = .

Qual é a intensidade do feixe final de / 2zS = − , quando o feixe / 2zS = sobrevivente a primeira medida é normalizada a unidade? Como nósdevemos orientar o segundo aparato de medida se nós estamos interessadosem maximizar a intensidade do feixe final / 2zS = − ?

Solução :

Figura 1: Geometria para o vetor unitário n̂ .



2

Figura 2: Intensidade dos feixes através dos diversos experimentos de SG.

Consideremos que a intensidade do feixe seja normalizada a unidade após aprimeira medida. Assim a intensidade final ( após a 3 a medida ) será igual aprobabilidade de obtermos / 2zS = − . Temos :

Probabilidade de se obter2 2

; ;/ 2 ; ;zz S n nS P S S− −= − ⇒ = − + + +

ou seja, calcularemos a probabilidade de obtermos o ket + colapsar para o

estado ˆ. ;S n + e do ket ˆ. ;S n + colapsar para o estado − . Usando o exercício

anterior, temos que :

ˆ. ; cos2 2

iS n e senα β β + = + + − .

Logo,

ˆ. ; cos2

S n β + + = → 2 2ˆ. ; cos2

S n β + + = ,



3

e

ˆ. ;2

iS n e senα β − + = → 2 2 2 2ˆ. ;

2 2iS n e sen senα β β − + = = .

Consideramos acima que2

1ie α = . Substituindo os resultados, temos :

22 2cos cos

2 2 2 2zSP sen senβ β β β ⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Como

2 cos2 2

sen senβ β

β = ,

temos :

2

4zS

senP

β = .

Também, 20 1sen β < < , entãozSP é máximo para / 2β π = , pois neste ângulo

1sen β = , o que faz com que a probabilidade se torne

max

1

4zSP

→= . para / 2β π =

Ou seja, a máxima intensidade ( para / 2β π = ) é igual a 1/ 4 do seu valorinicial.



1

Problema 14

Uma certa observável em mecânica quântica tem uma representaçãomatricial3 3x como segue :

0 1 01 1 0 12 0 1 0

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

a. Encontre os autovetores normalizados dessa observável e oscorrespondentes autovalores. Existe alguma degenerescência?

b. De um exemplo físico onde tudo isso é relevante.

Solução :

a. Seja

0 1 01 1 0 12 0 1 0

L

⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,

com os autovalores e os autovetores determinados pela equação abaixo :

L l l l= ⇒ ( ) 0L lI l− = . (1)

Como l não pode ser um ket nulo (não queremos uma solução trivial),devemos ter,

det( ) 0L lI − =

ou,

1/ 2 01/ 2 1/ 2 0

0 1/ 2

l

l

l

−

− =

−.



2

Logo, obtemos :

3

3

2

02 2

0( 1) 0

l ll

l l

l l

− + + =

− =

− =(2)

Da equação (2), obtemos os três autovalores:

1

2

3

01

1

l

l

l

=⎧⎪ =⎨

⎪ = −⎩

Como 1 2 3l l l≠ ≠ , não há degenerescência. Assim vamos obter os autovetorescorrespondentes.

a) 1 0l =

Substituindo em (1) temos :

1

1

2

3

( 0 ) 0

0 1/ 2 0 01/ 2 0 1/ 2 0

00 1/ 2 0

L I l

x

x

x

− =⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

e obtemos :

2 2

1 3 1 3

2 2

1 0 02

1 1 02 2

1 0 02

x x

x x x x

x x

= → =

+ = → = −

= → =

Temos uma variável livre. Assim, fazendo1 1x = , 3 1x = − , obtemos :



3

1

101

l

⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

onde

1 1l lα =

em queα e a constante de normalização. Logo, vemos que,

1 12

1 1

1 1

1

11

l l

l l

l l

α

α

=

=

=

(a)

Mas,

( )1 1

11 0 1 0 1 1 2

1l l

⎛ ⎞⎜ ⎟= − = + =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

logo (a) se torna :

12

α =

Então, obtemos o 10 vetor deL , dado por

1

11 02 1

l

⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

b) 2 1l =

Substituindo2l em (1), obtemos :



4

1

2

3

1 1/ 2 0 01/ 2 1 1/ 2 0

00 1/ 2 1

x

x

x

⎛ ⎞− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Fazendo as multiplicações, obtemos :

2 21 1

3 31 12 2

2 23 3

02 2

02 2 2 2

02 2

x xx x

x xx xx x

x xx x

− + = → =

− + = → = +

− = → =

Vemos que 1 3x x= , assim, fazendo 2 2x = , obtemos 1 3 1x x= = , logo,

2

12

1l

⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

temos

( )2 2

11 2 1 2 1 2 1 4

1l l

⎛ ⎞

⎜ ⎟= = + + =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

(b)

Desde que o autovetor2l normalizado é dado por :

2 2

2 2

1l l

l l=

obtemos por (b) que :

2

11 22 1

l

⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠



5

c) 3 1l = −

Substituindo3 1l = − em (1), vamos obter:

1

2

3

1 1/ 2 0 01/ 2 1 1 / 2 0

00 1/ 2 1

x

x

x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

obtendo,

2 21 1

3 31 12 2

2 13 3

02 2

02 2 2 2

02 2

x xx x

x xx xx x

x xx x

+ = → − =

+ + = → = − −

+ = → = −

E, fazendo 2 2x = − , obtemos 1 1x = e 3 1x = . Logo,

3

12

1l

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

Logo, vemos que :

( )3 3

11 2 1 2 1 2 1 4

1l l

⎛ ⎞

⎜ ⎟= − − = + + =⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

Logo, o autovetor normalizado3l será :

3 3

3 3

1l l

l l=

,

e



6

3

11 22 1

l

⎛ ⎞⎜ ⎟

= −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

b. A matriz do enunciado é a componente na direçãon̂ do momento angularescrito na base de zS . É uma matriz que representa spin unitário,1S = .



1

Problema 15

A e B são observáveis. Suponha que os autokets simultâneos de A e B { }', 'a b formam um conjunto completo ortonormal de kets de base. Nós

podemos sempre concluir que

[ ], 0A B = ?

Se a sua resposta é sim, prove esta asserção. Se sua resposta é não, de umcontra-exemplo.

Solução :

Vejamos qual o resultado da operação de [ ],A B sobre um ket arbitrário α .

Como o conjunto { }', 'a b forma um conjunto completo de kets de base

normalizados, escrevemos α com o auxilio do operador identidade, isto é,

' '

', ' ', 'a b

a b a bα α = ∑∑ . (1)

Aplicando [ ],A B sobre este ket, temos :

[ ]' '

, ( ) ( ' ' ' ') ', ' ', 'a b

A B AB BA a b b a a b a bα α α = − = −∑∑ . (2)

Logo, como

[ ], 0A B α = , (3)

e considerando que α é um ket arbitrário, a equação (3) será sempre satisfeita somente se

[ ], 0A B = .





1

Problema 17

Duas observáveis 1A e 2A , que não envolvem o tempo explicitamente, sãoconhecidas não comutarem,

[ ]1 2, 0A A ≠ ,

ainda que nós também conhecemos que ambas 1A e 2A comutam com oHamiltoniano :

[ ]1 , 0A H = , [ ]2 , 0A H = .

Prove que os autoestados de energia são, em geral, degenerados. Existemexceções? Como um exemplo, você pode pensar no problema de força

central,2

( )2p

H V r m

= + , com 1 zA L→ , 2 xA L→ .

Solução :

Seja 1,a E o auto-ket simultâneo de 1A e H e 2 ,a E o auto-ket simultâneo

de 2A e H . Temos então que

[ ]2 , 0A H = → [ ]2 1

2 1 2 1

2 1 2 1

, , 0

, , 0

, 0

A H a E

A H a E HA a E

EA a E HA a E

=

− =

− =

Sabendo que [ ]1 2, 0A A ≠ , teremos que quando 2A atuar no auto-ket de 1A , irámudar de 1 ,a E para um novo estado denotado dado por α . Assim, se

2 1 ,A a E α = ,

teremos

2 1 2 1, , 0

0

EA a E HA a E

E H

H E

α α

α α

− =

− =

=

.



2

Desta forma, percebemos que α também é um auto-estado de H .

Vamos repetir o mesmo procedimento para o primeiro comutador.

[ ]1, 0A H = → [ ]1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

, , 0

, , 0

, 0

A H a E

A H a E HA a E

EA a E HA a E

=

− =

− =

Seja o novo estado caracterizado por β , isto é,

1 2 1 2, , 0

0

EA a E HA a E

E H

H E

β β

β β

− =

− =

=

Logo, vemos que o auto-valor E de H tem dois auto-kets α e β .Portanto, temos um estado degenerado. No caso em que temos [ ], 0x zL L ≠ e

[ ], 0xL H = , [ ], 0zL H = , ocorre uma degenerescência de ordem 2 1l + , pois para

cada l , existem ,...,0,...l l− +

, autokets de zL . Assim, quando 0l=

, 0x zm m= =

e 0; 0 0x lL m l= = = e 0; 0 0z lL m l= = = , desta forma não há a possibilidadede existência de um estado novo, o que resulta na quebra dadegenerescência .

Neste problema, a exceção ocorre (ou seja, quebra de degenerescência)quando 1 0A γ = (ou 2 0A γ = ), onde γ pode ser α , β , 1a ou 2a ,qualquer autoket simultâneo de H .



1

Problema 18

a. O modo mais simples para derivar a desigualdade de Schwarz éapresentado a seguir.Primeiro, observe

( )( )* . 0α λ β α λ β + + ≥

para qualquer número complexoλ ; então escolhaλ de tal um modo que adesigualdade anterior se reduz à desigualdade de Schwarz.

b. Mostre que o sinal de igualdade na relação de incerteza generalizada semantém se o estado em questão satisfaz

A Bα λ α Δ = Δ

comλ puramente imaginário

c. Apresente em cálculos que usam as regras habituais de ondas mecânicas,mostre que a função de onda para um pacote de onda Gaussianas dada por

( ) ( )21 4222 exp

4x xi p x

x d d

α π − ⎡ ⎤′ − ′ ′ = −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

satisfaz a relação de incerteza

( ) ( )2 2

2x pΔ Δ =

prove que o requisito

(número imginário)x x x pα α ′ ′Δ = Δ

É de fato satisfeito para tal pacote de onda Gaussiano, de acordo com (b)

Solução :



2

a. Nós sabemos que para uma estado arbitrárioc a seguinte relação sematém

0c c ≥ (1)

Isto significa que nós escolhermosc α λ β = + onde λ é um númerocomplexo, nós teremos

( ) ( )*

* *

2*

0

0

0

α λ β α λ β

α α λ α β λ β α λλ β β

α α λ α β λ β α λ β β

+ + + ≥

+ + + ≥

+ + + ≥

(2)

Se nós escolhermos agora

β α λ

β β = − e * α β

λ β β

= −

a relação anterior se tornará

2

2* *

2 2 2

2

2

2

0

0

0

0

0

β α α β β α α β β α α α β β

β β β β β β

β α β α β α β α β α α α

β β β β β β

β α β α β α α α

β β β β β β

β α α α

β β

β β α α β α

α α β β β α

− − + ≥

− − + ≥

− − + ≥

− ≥

− ≥

≥

(3)

Note que o sinal de igualdade na ultima relação permanece quando

0c α λ β α λ β = + = ⇒ = − (4)



3

Isso é se α e β forem colineares.

b. A relação e incerteza é

( ) ( ) [ ]22 2 1 ,

4A B A BΔ Δ ≥ (5)

Para provar esta relação nós usamos a desigualdade de Schwarz (3) para osvetores A aα = Δ e B aβ = Δ os quais dão

( ) ( )

( ) ( )

2

2

22 2

22 2

A B

a A A a a B B a A B

a A a a B a A B

A B A B

α α β β ≥ Δ Δ

Δ Δ Δ Δ ≥ Δ Δ

Δ Δ ≥ Δ Δ

Δ Δ ≥ Δ Δ

(6)

O sinal de igualdade nesta relação se mantém de acordo com (4) quando

A a B aλ Δ = Δ (7)

Por outro lado o lado direito de (6) é

[ ] { }

[ ] { }

[ ] { }2 22

1 1, ,2 21 1, ,2 21 1, ,4 4

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

Δ Δ = Δ Δ + Δ Δ

Δ Δ = + Δ Δ

Δ Δ = + Δ Δ

(8)

O que significa que o sinal de igualdade na relação de incerteza (5) semantém se



4

{ }

{ }( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

7

2 2*

2 2*

2*

1 , 04

, 0

0

0

0

0

A B

A B

a A B B A a

a B a a B a

a B a a B a

a B a

λ λ

λ λ

λ λ

Δ Δ =

Δ Δ =

Δ Δ + Δ Δ = ⇒

Δ + Δ =

Δ + Δ =

+ Δ =

(9)

Então o sinal de igualdade na relação de incerteza se mantém quando

A a B aλ Δ = Δ (10)

Comλ puramente imaginário.

c. Devemos computar os valores esperados dex, x2, p e p2. O valor esperadode x é claramente zero por simetria

2 0x dx x x x dx x xα α α ∞ ∞

−∞ −∞

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = =∫ ∫

(11)

Parax2 obtemos

( )

( )

22 2

222 2

1 24

22 2

2

22

1 exp4

1 exp

2

x dx x x

xx dx x ikx

d d

xx dx x ikx

d d

d x

α

π

π

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

′ ′ ′=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ′′ ′ ′= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤′⎛ ⎞ ′ ′ ′= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

∫

∫

∫(12)

O que nos dá



5

( )2

22 2

2d

x x xΔ = − = (13)

Para dispersão do operador posição. O valor esperado parap e p2 tambémpode ser computado como se segue

( )

( )

( )

2

22

1 24

2 22 22

2222 2

12 24

22 2 2

2

1 exp4

1 exp4

2

p dx i x xx

p i dx xx

xp i dx ikx

x d d

p k

p dx xx

xp dx ikx

x d d

p k d

α α

α

π

α

π

∞

−∞∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∂′ ′ ′= −′∂

∂′ ′= −′∂

⎡ ⎤⎛ ⎞ ′∂′ ′= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟′∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

=

∂′ ′= ′∂

⎡ ⎤⎛ ⎞ ′∂′ ′= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟′∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

= +

∫∫

∫

∫

∫

(14)

A dispersão do momento é então

( )

( )

( )

22 2

22 2 2 2 2

2

22

2

2

2

p p p

p k k d

pd

Δ = −

Δ = + −

Δ =

(14)

Arrumando (13) e (14) nós podemos verificar a relação de incerteza deHeisenberg

( ) ( )2

2 2

4x pΔ Δ = (15)



6

Assim um pacote de onda Gaussiana tem de fato uma relação de igualdadeno lugar da mais geral relação de desigualdade, por essa razão é chamada depacote de onda de incerteza mínima.

Também temos que

( )

( )

x x x x x

x x x x x x

x x x x x

α α

α α α

α α

′ ′Δ ≡ −′ ′ ′ ′Δ = −′ ′ ′Δ = −

(16)

Por outro lado

( )

x p x p p

x p i x p xx

α α

α α α

′ ′Δ ≡ −∂′ ′ ′Δ = − −

′∂(17)

Mas

( )

( )

2

2

2

41

2

x xi p xx x

x x d i p

x x x xx d

α α

α α

⎡ ⎤′ −′∂ ∂⎢ ⎥′ ′= −

′ ′∂ ∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ′ ′ ′= − −⎢ ⎥′∂ ⎣ ⎦

(18)

Então substituindo em (17) nós temos

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

Número imaginário

12

2

2

22

i px p i x x x p x

d

ix p p x x x x p x

d i

x p x x xd

ix p x xd

i d x x x p

α α α

α α α α

α α

α α

α α

⎛ ⎞⎡ ⎤′ ′ ′ ′Δ = − − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

′ ′ ′ ′ ′Δ = + − −

′ ′ ′Δ = −

′ ′Δ = Δ

′ ′Δ = − Δ

(19)



1

Problema 19

a. Compute

( )2 22x x xS S SΔ ≡ − ,

onde o valor esperado é calculado para o estado zS + . Usando o seu

resultado, verifique a relação de incerteza generalizada

( ) ( ) [ ]22 2 1

,4

A B A BΔ Δ ≥ ,

com xA S→ , yB S→ .

b. Verifique a relação de incerteza com xA S→ e yB S→ para o estado xS + .

Solução :

a. e b. Calcularemos a quantidade xS .

x xS S= + + (1)

Escrevendo xS como

( )2xS = + − + − + (2)

temos

( ) 02xS ⎡ ⎤= + + − + − + + =⎣ ⎦ ,

o que leva a

20xS = . (3)



2

Calcularemos agora 2xS :

Usando (2), 2xS fica :

2 22 1

4 4xS ⎡ ⎤= + + + − − =⎣ ⎦

(4)

Assim,

2 22 2 1

4 4x xS S= + + = + + =

, (5)

e consequentemente,

( )2

2 22

4x x xS S SΔ = − = (6)

Da mesma forma, podemos calcular ( )2

ySΔ no estado zS + :

Usando ( )2y

iS = − + − + − + , temos

0y yS S= + + = e2

0yS = (7)

2 22 1

4 4yS ⎡ ⎤= − − + + − − − =⎣ ⎦

e

2 22 1

4 4yS = + + = (8)

Então,

( )2

2 22

4y y yS S SΔ = − = (9)

Calcularemos agora a quantidade ,x yS S⎡ ⎤⎣ ⎦ . Antes temos que :

,x y zS S i S⎡ ⎤=⎣ ⎦ (10)



3

Logo2

,2x y z z

iS S i S i S⎡ ⎤ = = + + =⎣ ⎦

(11)

e

42,

4x yS S = (12)

Fazendo o produto ( ) ( ) 422

16x yS SΔ Δ = .

Vemos então que a relação de incerteza generalizada é verificada, pois

4 4116 4 4

≥



1

Problema 20

Encontre a combinação linear dos kets + e − que maximize o produto deincerteza

( ) ( )22

x yS SΔ Δ

Verifique explicitamente que para a combinação linear encontrada, a relaçãode incerteza para xS e yS não é violada.

Solução :

A combinação linear mais geral, a menos de uma fase global (que não teminteresse em Mecânica Quântica), é dada por

2 1 / 2(1 ) ia a e β α = + + − − , (1)

em que a e β são reais e 1a ≤ .

Os operadores xS e yS , em notação de ket-bra, são dados por :

( )2xS = + − + − + (2)

( )2y

iS

−= + − − − + (3)

logo

( ) ( )

( )

2

2 22

2 2

14 4

x x x

x

S S S

S

⎡ ⎤= = + − + − + + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + + − − =

(4)

e



2

( ) ( )

( )

2

2 22

2 2

14 4

y y y

y

i iS S S

S

− −⎡ ⎤= = + − − − + + − − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + + − − =

(5)

onde 1 é o operador identidade.

As dispersões são dadas por :

( )2 22x x xS S SΔ = − . (6)

( )2 22

y y yS S SΔ = − (7)

Os valores esperados são calculados em relação ao estado α , dado por2 1 / 2(1 ) ia a e β α = + + − − . Então :

2 2 22 2 1

4 4 4x xS Sα α α α α α = = = = (8)

onde usamos o fato que α é normalizado. Da mesma forma :

22 2

4y xS S= = (9)

O valor esperado xS é calculado usando 2 1 / 2(1 ) ia a e β α = + + − − .

( ) ( )

( ) ( )( )

1/ 2 1/ 22 2

1/ 2 1/ 22 2 2

2

1 1

1 1

1

i ix x x

i ix x x x

x

S S a a e S a a e

S a S a a e S a a e S

a S

β β

β β

α α −

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + + − − + + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + + − + − + − − + +

− − −

(10)

Utilizando ( )2xS = + − + − + temos que

0xS+ + = ;2x xS S+ − = − + = ; 0xS− − =



3

Assim, o valor esperado de xS é:

{ }2 1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2(1 ) (1 ) (1 ) cos2

i ixS a a e a a e a aβ β β −= − + − = − (11)

Para yS temos uma expressão análoga à (*)

2 2 1/ 2 2 1/ 2 2(1 ) (1 ) (1 )i iy y y y yS a S a a e S a a e S a Sβ β −= + + + − + − + − − + + − − −

Usando

( )2y

iS

−= + − − − +

Podemos calcular :

0yS+ + = ;2y y

iS S

−+ − = − − + = ; 0yS− − =

Logo, o valor esperado yS fica :

{ }2 1/ 2 2 1/ 2 2 1/ 2(1 ) (1 ) (1 )2

i iy

iS a a e a a e a a senβ β β −= − − − = − (13)

Assim, substituindo (8), (9), (11) e (13) em (6) e (7), temos :

( )2 2

2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) cos 1 4 (1 ) cos4 4xS a a a aβ β ⎡ ⎤Δ = − − = − −

⎣ ⎦

(14)

e

( )2 2

2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 1 4 (1 )4 4

yS a a sen a a senβ β ⎡ ⎤Δ = − − = − −⎣ ⎦

(15)

Substituindo estas expressões no produto de incerteza, temos :



4

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) { }

222 22 2 2 2 4 2 2

222 2 2 4 2 2 2

1 4 1 cos 16 (1 ) cos16

1 4 (1 ) 4 (1 ) (2 )16

x y

x y

S S a a sen a a sen

S S a a a a sen

β β β β

β

⎡ ⎤Δ Δ = − − − + −⎣ ⎦

Δ Δ = − − + −

Por inspeção vemos que o valor de β que maximiza o produto de incerteza é/ 4β π = ± . Substituindo qualquer um destes valores em (16), o lado direito

desta expressão se torna :

{ }2 2

2 22 2 2 2 2 21 2.2 (1 ) 2 (1 ) 1 2 (1 )16 16

a a a a a a⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + − = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(17)

O termo entre colchetes, considerado uma função do parâmetro “ a ” possuitrês pontos críticos : 0a = e 1/ 2a = ± . Os pontos 1/ 2a = ± são mínimos e oponto 0a = é um máximo relativo. Vejamos qual o valor do termo entrecolchetes nas extremidades do domínio de a ( 1a = ± ):

2 2

11 2 (1 ) 1

aa a

=±⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ (18)

Vejamos também qual o valor deste termo no máximo relativo 0a = :

2 2

01 2 (1 ) 1

aa a

=⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ (19)

Temos então que, dentro do intervalo 0 1a≤ ≤ o maior valor do produto deincerteza é obtido quando 0a = ou 1a = ± .

Então, temos que as combinações lineares que maximizam o produto deincerteza são as seguintes :

4π

β = + , 0a = ⇒ / 4ie π α = −

4π

β = + , 1a = ± ⇒ α = ± +

4π

β = − , 0a = ⇒ / 4ie π α −= −



5

4π

β = − , 1a = ± ⇒ α = ± +

De forma geral :

α = ± + (20a)

e

/ 4ie π α ±= − (20b)

Verificamos agora se estas combinações lineares não violam a relação deincerteza entre xS e yS .

Vejamos qual o valor do produto de incerteza para combinações do tipo(20a) e (20b) :

( ) ( )4

22

16x yS SΔ Δ = (21)

onde usamos a expressão (16).

A relação de incerteza para xS e yS é a seguinte :

( ) ( )222 1

,4x y x yS S S S⎡ ⎤Δ Δ ≥⎣ ⎦ (22)

Temos que

,x y zS S i S⎡ ⎤=⎣ ⎦ (23)

e

z zS Sα α = . (24)

Usando a combinação (20a), temos :



6

( )2z zS S= + ± + = (25)

ou usando (20b) :

/ 4 / 4

2i i

z z zS e S e Sπ π ±= − − = − − = −∓ (26)

Substituindo (25) ou (26) em (24) e (22), temos :

( ) ( )

( ) ( )

222

422

14 2

16

x y

x y

S S i

S S

Δ Δ ≥ ±

Δ Δ ≥

Vemos então que as combinações lineares (20a) e (20b) não violam arelação de incerteza.



1

Problema 21

Calcule o produto de incerteza x p−

( ) ( )2 2x pΔ Δ

para uma partícula unidimensional confinada entre duas paredes rígidas

0 0para x aV

outros valores

< <⎧⎪=⎨∞⎪⎩

.

Resolva para ambos os estados, fundamental e excitado.

Solução :

Para uma partícula confinada em uma caixa, os autoestados do Hamiltonianosão dados por :

H E ψ ψ =

Logo,

' 'x H E xψ ψ =

Agora, dentro do poço, o potencial é nulo. Então, temos apenas energiacinética. Portanto,

2

2p

x E xm

ψ ψ =

Como

' ( ')x xψ ψ =

e



2

2 2 2

'2'2 2p d

xm m dx

ψ ψ = − ,

Temos :

2

2 2

20

'd mE dx

ψ ψ + =

A equação diferencial acima tem solução

( ') cos ' 'x A kx Bsenkxψ = +

onde

22

2mE k = (1)

Como V = ∞ em 0x = e x a= , devemos ter ( ' 0)xψ = e ( ) 0x aψ = = , poisnesses pontos a partícula não pode estar. Aplicando as condições decontorno, obtemos :

( ' 0) 0xψ = = e .0 0 0A B A+ = → =

Para a segunda condição, temos :

( ' ) 0x a Bsenkaψ = = =

Para 0B ≠ , devemos ter

ka nπ = ,

Com n inteiro. Logo

( ') 'n n

x Bsenk xψ = 0 x a≤ ≤

Como 2( )xψ representa a probabilidade de encontrar a partícula dentro da

caixa, devemos ter



3

2

0

2 2

0

2

1

' ' 1

12

2

a

n

a

n

dx

B sen k x dx

aB

Ba

ψ =

=

=

=

∫

∫

Logo,

2( ') ' 'n nx x senk x

aψ ψ = = (3)

Cálculo de ( )2xΔ

Temos que

x x xΔ = −

Logo,

22 2 2x x x x xΔ = − +

( )2 22x x xΔ = − (4)

Para encontrar ( )2xΔ , devemos determinar 2x e 2x . Logo,

*'' ' '' '' ' ' '' ' ' ( '') ( ') ( '' ')x x dx dx x x x x x dx dx x x x x xψ ψ ψ ψ ψ ψ δ = = = −∫ ∫ ∫ ∫

2' ' ( ')x dx x xψ = ∫

O valor médio de x é calculado no intervalo 0 'x a< < . Logo,



4

[ ]

22

0 0 00

2 2

2 0

2

2 2 1 12 2

2 4 2 4

2 2cos2

2 4 (4 )

24

2

aa a a

n n nn n

a

nn

x xx xsen k xdx sen k x xdx sen k dx

a a k k

a ax k x

a a k

ax

aa

x

⎡ ⎤= = − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

∫ ∫ ∫

Para o calculo de 2x , temos :

2 2 2 2 2

3 22 2 2 2

0 0 00

2 32

2

' '' '' '' ' ' ' ' ( ')

2 2 12 2

2 4 2

2 1 16 2 2 6 4

aa a a

n n nn n

n n n

x x dx dx x x x x x dx x x

x xx x sen k xdx sen k x x dx xsen k xdx

a a k k

a a a ax

a k k a k

ψ ψ ψ ψ ψ = = =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= = − − +⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Agora

2 22

2n

nk a

π

= , logo

3 22 2

2 2 2 2

1 1 13 2 3 2a a

x an nπ π

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Portanto,

( )

( )

( )

2 22

2 2 22 2

2 2 2 2

22

2 2

1 1 13 2 4 3 4 2

1 12 6

x x x

a a ax a

n n

ax

n

π π

π

Δ = −

⎛ ⎞Δ = − − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Cálculo de ( )2pΔ

Temos :



5

( )2 22p p pΔ = −

Devemos determinar 2p e 2p .

* *

0 0 0

' ' ' ' ( ') '' '

a a a

p p dx x x p dx x i i dxx xψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ∂ ∂⎛ ⎞= = = − = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

0 0

2 2'cos ' ' 'cos ' '

a a

n n n n np i senk x k x dx i k senk x k x dxa a

= − = −∫ ∫

( ) ( )00

2' ' 0

aa

n n n

i ik p senk x d senk x senk x

a a= − = − =∫

Para 2p , temos :

22 2 2 * 2

20 0

' ' ' ' ( ')'

a a

p p dx x x p dx xxψ

ψ ψ ψ ψ ψ ⎛ ⎞∂= = = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∫ ∫

( )

2 2 2 22 2

0 0

2 2 2 22

0

2 2 22 2 2

2

2 22

2

2 2 cos 2 '' ' '2 2

2 212 0

2 4 2

( )

a an n n

n

an nn

n

n

k k k xap sen k x dx dxa a

k k a ap sen k x

a k a

np k

an

pa

π

π

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= =

=

∫ ∫

Temos então :

( )

( )

2 22 2 2

2 22

2

0

( )

p p p p p

np

aπ

Δ = − = − =

Δ =



6

Cálculo da Relação de Incerteza

Logo,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

222 2 2

2 2 2

222 2

1 12 6

1

2 6

nax p

n a

nx p

π

π

π

⎛ ⎞Δ Δ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟Δ Δ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Para o estado fundamental, 1n = , a equação se reduz a :

( ) ( )2 2

2 21

2 6x p

π ⎛ ⎞Δ Δ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠(fundamental)

Para 1n > , estados excitados, temos :

( ) ( ) ( )222 2

12 6

nx p

π ⎛ ⎞⎜ ⎟Δ Δ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(excitado)



1

Problema 22

Estime a ordem de grandeza do intervalo de tempo que um picador de gelopode ser equilibrado sobre sua ponta se a única limitação imposta for oprincípio da incerteza de Heisenberg. Assuma que a ponta seja afiada e quetanto a ponta quanto a superfície, onde o picador de gelo está apoiado, sãoduros. Você pode fazer aproximações que não modificam a ordem degrandeza geral do resultado. Admita valores razoáveis para as dimensões e

massa do picador de gelo. Obtenha um resultado numérico aproximado eexpresse-o em segundos .

Solução:

Inicialmente, assume-se que o picador de gelo seja equivalentea um ponto de massa m ligado a uma haste leve de comprimento L com aoutra extremidade sendo equilibrada em uma superfície dura e fixa. Para umdeslocamento angular pequeno do picador de gelo em relação à um eixovertical, a equação de movimento é:

02

22 =− mgL

dt

d mL

θ

A solução desta equação é dada por:

t Lgt Lg beaet )/ ()/ ()(−+=θ

Em t = 0 temos:

LbaLx )( +==Δ θ

e

( )t Lgt Lg beaeLg

mLdt d

mLp )/ ()/ ( −+==Δ θ



2

E a relação de incerteza deve ser tal que:

2≈ΔΔ px

Tal relação implica:

( )[ ]21

3

22

2 gLmba +=

O deslocamento em um tempo posterior t é minimizado ao assegurara e b tão pequenos quanto possíveis. Deste modo, fixando a e b:

( )[ ] 0,2

213=±= b

gLma

o qual pode ser desconsiderado para gLt >> .

O deslocamento se torna perceptível quando θ for maior do que

100

π θ =

f

Temos:f t Lg

f ae=θ

e, tomando pela definição,

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡+=

2132ln

21

)ln(gLm

gL

t f f θ

Considerando 2/ 980,100,10 scmggmcmL === , temos:

st f 4,3=



3

de acordo com m e θ.

Para qualquer valor razoável de dimensões e massa de um picador degelo, deve-se ter:

st 3~ .



1

Problema 23

Considere um ket de espaço tridimensional. Se um certo conjunto de ketsortonormais – digamos, 1 , 2 e 3 - são usados como kets de base, osoperadores A e B são representados por

0

0

0 0

a o

A a o

a

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

0

0 0

0 0

b o

B ib

ib

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

,

com a e b ambos reais.a. Obviamente A exibe um espectro degenerado. B também exibe um

espectro degenerado ?b. Mostre que A e B comutam.c. Encontre um novo conjunto de kets ortonormais que sejam autokets

simultâneos de ambos A e B . Especifique os autovalores de A e B para cada um dos três autokets. Esta especificação de autovalorescaracteriza completamente cada autoket ?

Solução :

a. Para sabermos se B tem um espectro degenerado precisamos calcular osseus autovalores. Para isto estabelecemos a equação secular, cujas raízes sãoos autovalores de B .

2 2

det( ) 0

0 0

det 0 ( )( ) 0

0

B I

b

ib b b

ib

λ

λ

λ λ λ

λ

− =−⎛ ⎞

⎜ ⎟− − = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

As raízes desta equação (autovalores de B ) são

1bλ = , 2

bλ = − e 3bλ = .

Vemos então que o espectro de B também é degenerado, pois possui doisautovalores iguais, b+ .



2

b. Calcularemos o comutador [ ],A B AB BA= − .

0 0

0 0

0 0

ab

AB iab

iab

⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

0 0

0 0

0 0

ab

BA iab

iab

⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Portanto,

[ ], 0A B = .

Podemos concluir que é possível encontrar um conjunto ortonormalcompleto de kets de base que sejam autokets simultâneos de A e B .

c. Temos que { }1 , 2 , 3 forma um conjunto completo e ortonormal de kets

de base. Estes kets são os autokets do operador A , pois A é diagonal nestabase. O ket 1 , representado por

1

1 00

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

é um autoket de B , com autovalor b+ , como é fácil verificar.

1 1B b=

Os kets

0

2 1

0

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

e0

3 0

1

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

não são autokets de B , pois

2 3B ib= e 3 2B ib= − .



3

Como { }2 , 3 é um subespaço dos operadores A e B , temos que os novos

autokets simultâneos a A e B devem ser combinações lineares destes doiskets. Escrevemos estes autokets simultâneos a A e B como:

( )( )

2

3

1/ 222 2

1/ 223 3

2' 2 1 3

3' 2 1 3

i

i

e

e

β

β

α α

α α

= + −

= + −,

em que α e β são reais.

Como já vimos no exercício anterior, isto é a mais geral combinação linearde dois kets que interessa à Mecânica Quântica. Então, na base { }1 , 2 , 3 ,

estes kets tem a seguinte representação matricial:

2

22 1 / 22

0

2'

(1 )ie β

α

α

⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

( ) 3

3

1/ 223

0

3'

1ie β

α

α

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟= ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠

.

Obviamente, 2' e 3' , continuam sendo autokets de A :

2 ' 2 '

3' 3'

A a

A a

= −

= −.

Os parâmetros das combinações lineares ( 2 3 2 3, , ,α α β β ) serão entãodeterminados através da condição que 2' e 3' sejam autokets de B . Asequações de autovalores, para os kets 2' e 3' , ficam:

2' 2 'B b= e 3' 3'B b= − .



4

Na forma matricial a primeira destas equações fica:

2 2

2 22 1/ 2 2 1/ 2

2 2

0 0 0 0

0 0

0 0 (1 ) (1 )i i

b

ib b

ib e eβ β

α α

α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Temos da relação acima que

22 1 / 22 2(1 )

ib e ibβ α α − = .

Esta equação complexa representa as duas equações reais:

2 1 / 22 2

2 1 / 22 2 2

(1 ) cos 0

(1 ) sen

α β

α β α

− =

− =.

A primeira equação só pode ser satisfeita se 2cos 0β = , pois se 2 1 / 22(1 ) 0α − = , a

segunda equação não é satisfeita. Então:

2 / 2β π = +

A equação 2 1 / 22 2 2(1 ) senα β α − = pode ser escrita como

2

2 22

2

(1 )sen

α α

β

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Substituindo 2 / 2β π = + , temos que 2 1/ 2α = + .

A segunda equação, 3' 3'B b= − , na forma matricial, se torna:

3 3

3 32 1/ 2 2 1/ 2

3 3

0 0 0 0

0 0

0 0 (1 ) (1 )i i

b

ib b

ib e eβ β

α α

α α

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠





6

e

{ }

/ 21 13' 2 3

2 21

2 32

ie

i

π = − +

= − −

Podemos especificar o conjunto de autokets simultâneos pelos autovaloresde A e B ,

1' 1 ,

2 ' ,

3' ,

a b

a b

a b

= =

= −

= − −,

em que usamos as relações

2 ' 2 'B b= e 3' 3'B b= − .

Vemos então que a especificação dos autovalores caracteriza completamenteos autokets 1' , 2' e 3' .



1

Problema 24

a. Prove que ( )( )1/ 2 1 xiσ + atuando sobre um spinor de duas componentes

pode ser pensado como a representação matricial do operador rotação emtorno do eixo- x por um ângulo / 2π − . (O sinal menos significa que osentido da rotação é o mesmo do ponteiro do relógio.)

b. Construa a representação matricial de zS quando os autokets de yS sãousados como vetores de base.

Solução :

a. O operador ( )( )1/ 2 1 xiσ + possui a seguinte representação matricial na

base { },+ − :

( )1 0 0 1 11 1 1

10 1 1 0 12 2 2

x

ii i

iσ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1)

Vejamos agora qual é a forma do operador de rotação do sistema físico (não

do sistema de coordenadas) de um ângulo / 2π no sentido horário em tornodo eixo x .

Este operador transforma os autoestados de zS nos autoestados de yS , daseguinte forma :

;yS+ → + ; ;yS− → − (2)

Denotando este operador por ( )/ 2xD π temos :

( / 2) ;x yD Sπ + = + (3)

e

( / 2) ;x yD Sπ − = − (4)





3

( )1( / 2) ;

2x yD i S iπ − = − = + + − (8)

Na notação matricial, base { },+ − , (7) temos:

11 12

21 22

1 110 2

d d

d d i

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

. (9)

Isto significa que :

111

2d =

e

21

1

2d i= .

Para determinarmos os elementos 12d e 22d escrevemos (8) em notação

matricial:

12

22

1/ 2 0 11 121/ 2

d i

d

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

. (11)

Isto nos fornece

12

1

2d i= (12)

e

221

2d = (12)



4

Então o operador ( )/ 2xD π pode ser representado pela matriz

11( / 2)

12x

iD

iπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠(13)

na base { },+ − .

Observamos que esta matriz é idêntica a do operador ( )( )1/ 2 1 xiσ + namesma base. Logo :

( )1( / 2) 1

2x xD iπ σ = + (14)

Se, ao invés de usar ;yi S − tivéssemos usado ;yS − , ou seja, se

desprezássemos a fase global / 2ie π , teríamos encontrado para ( )/ 2xD π , aforma :

1 11( / 2)

2xD

i iπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Embora tenha uma forma diferente este operador tem o mesmo significadofísico que o operador (13). Esta arbitrariedade se deve, como já foicomentado, ao fato que um ket não tem seu significado físico alterado se omultiplicarmos por uma fase global.

b. Na base { },+ − o operador zS é representado pela matriz

1 0

0 12 2z zS σ ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

(16)

Uma mudança de base é realizada por um operador unitário U de forma que

( ) ( )k k U a b= (17)

Onde { }( )k a é uma base antiga e { }( )k b é a base nova. A transformação de

um operador B é dada por :



5

†

novo velhoB U B U = (18)

Observamos que o operador ( / 2)xD π é unitário, seja usada na forma (13) ou(15). Também, observamos que, associada a forma (13), as equações (7) e(8) são as equações da mudança de base

{ } { }, ; , ;y yS i S+ − → + − (19)

E associada a forma (15) as equações (5) e (6) são as equações da mudançade base

{ } { }, ; , ;y yS S+ − → + − (20)

O operador zS e transformado de acordo com (18) :

' † ( / 2) ( / 2)z x z xS D S Dπ π = (21)

Se usarmos a forma (13) para ( / 2)xD π , temos que :

' 1 1 0 1 011 0 1 1 02 2 2z

i i iS

i i i

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

base { }; , ;y yS i S+ − (22)

Ao passo que se usarmos a forma (15) para ( / 2)xD π (o que equivale a

escrever zS na base { }; , ;y yS S+ − ), temos :

' 1 1 0 1 1 0 111 0 1 1 02 2 2z

iS

i i i

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(23)



1

Problema 25

Alguns autores definem um operador como real quando cada membro doselementos matriciais deles ' ''b A b é real em alguma representação (base{ }'b neste caso). É este conceito de representação independente, isto é, oselementos matriciais permanecem reais mesmo se alguma outra base que{ }'b é usado ? Verifique sua asserção usando operadores familiares tais

como yS e zS (veja problema 24) oux e xp .

Solução :

Considere

' ''

', ''

' '' ' ' ' '' '' ''

' '' ' ' ' '' '' ''b b

b b

c A c c b b A b b c

c A c c b b A b b c

=

=

∑ ∑∑ ,

ou seja,

' ''b A b

é real, mas não é necessário que

' 'c b e '' ''b c

sejam reais.

Vamos considerar o problema 24. Nele

y

z

c S

b S

→

→

.

Temos então



2

1'

00

''1

b

b

⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

zS

e

1/ 2' ;/ 2

1/ 2'' ;

/ 2

y

y

c Si

c Si

⎛ ⎞

= = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

yS

em que

2zS ± = ± ±

e

21 1; 2 2i

yS e δ ± = + ± − .

Voltando a expressão, temos :

', ''' '' ' ' ' '' '' ''

realb b

c A c c b b A b b c= ∑

21 1' '2 2

1' '2

ic b e

c b

δ −⎛ ⎞= + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

e



3

21 1'' '2 2

1'' '2

ic b e

c b

δ −⎛ ⎞= + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

=

e

1'' '' 2 2

'' ''2

ic b

ic b

⎛ ⎞

= + − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

e

1' ''2 2

' ''2

ic b

ic b

⎛ ⎞= + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

=.

Logo, a definição de representação independente está incorreta.



1

Problema 26

Construa a matriz transformação que conecta a base diagonal zS a basediagonal de xS . Mostre que seu resultado é consistente com a relação geral

( ) ( )r r

r

U b a= ∑ .

Solução :

Sabemos dos exercícios anteriores que :

1 1;

2 2xS ± = + ± −

Sendo U a matriz de transformação, temos que :

; ;x zU S S± = ± (1)

Então para ;xS + e ;zS + , obtemos :

11 12

21 22

1/ 2 1

01/ 2

U U

U U

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

onde

1; ; 0. ;

0z z zS S S⎛ ⎞

+ = + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Portanto, do sistema de equações acima, obtemos :

11 12

21 22

2

0

U U

U U

⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩

(a,b)

Para ;xS − e ;zS − , obtemos :



2

11 12

21 22

1/ 2 0

11/ 2

U U

U U

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −− ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

Logo,

11 12

21 22

0

2

U U

U U

− =⎧⎪⎨

⎪ − =⎩

(c,d)

Substituindo (c) em (a), obtemos :

11 11

11

2

2 12 2

U U

U

+ =

= =

De (c), temos :

12 11 1/ 2U U = =

Substituindo (b) em (d), temos :

21 21

21

( ) 2

1/ 2

U U

U

− − =

=

Logo, por (b), vemos que :

22 21

22

1/ 2

1/ 2

U U

U

= − = −

= −

A matriz U é dada então por :

1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2U

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ (2)

Fazendo o adjunto de (2), vemos que :



3

† 1/ 2 1/ 2

1/ 2 1/ 2U

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

(3)

Logo,

†

1 1 1 11/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 02 2 2 2

1

1 1 1 1 0 11/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2 2 2 2

U U

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞

⎜ ⎟− − ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Logo, vemos que U é unitária, também pode ser mostrado que † 1UU = .Multiplicando (1) por (3), obtemos :

† †; ;x zU U S U S± = ±

Como † 1U U = , obtemos :

† ; ;z xU S S± = ± (4)

E vemos que a transformação inversa é obtida com (3). Agora resta mostrarque (2) e (3) são coerentes com a relação geral :

r r geral

r

U b a= ∑ (5)

Sendo r a correspondente a ;xS ± er

b a ;zS ± , escrevemos (5) como :

; ; ; ;geral z x z xU S S S S= + + + − − (6)

Logo, substituindo os ket’s na forma matricial, obtemos :

( ) ( )1 01/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

0 1geralU

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 0 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2

0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2geral

geral

U U

U U

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=



4

Considerando o adjunto de (6), obtemos :

† ; ; ; ;geral x z x zU S S S S= + + + − −

Logo, fazendo o mesmo que no caso anterior, obtemos :

( ) ( )†

† †

1/ 2 1/ 21 0 0 11/ 2 1/ 2

1/ 2 0 0 1 / 2 1/ 2 1/ 2

1/ 2 0 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2

geral

geral

U

U U

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Logo,

† †geralU U =

Assim vemos que existe consistência entre os dois operadores.



1

Problema 27

a. Suponha que ( )f A é uma função de um operador Hermitiano A com apropriedade ' ' 'A a a a= . Calcule '' ( ) 'b f A b quando a matriztransformação da base 'a para a base 'b é conhecida.

b. Usando o análogo contínuo do resultado obtido em (a), calcule

'' ( ) 'p F r p .

Simplifique sua expressão até onde você puder. Note que r é 2 2 2x y z+ + ,onde x , y e z são operadores.

Solução :

a. Podemos expandir a função ( )f A em série de potências de A (série deTaylor):

( ) nn

n

f A t A= ∑ (1)

onde nt é o n -ésimo coeficiente da serie de Taylor 1 ( )!

n

n n

d f At

n dA

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠. Quando

aplicamos o operador ( )f A sobre um ket 'a temos :

( ) ' '

( ) ' ' '

( ) ' ' '

( ) ' ( ') '

nn

n

nn

n

nn

n

f A a t A a

f A a t a a

f A a t a a

f A a f a a

=

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∑∑

∑(2)

Calcularemos agora ' ( ) ''b f A b . Usando o fato que a base { }'a é completa

aplicamos o operador identidade'

' 'a

a a∑ da seguinte forma:



2

'

' ( ) '' ' ( ) ' ' ''a

b f A b b f A a a b= ∑ (3)

Usando (2), temos :

'

' ( ) '' ( ') ' ' ' ''a

b f A b f a b a a b= ∑ (4)

Onde ( ) ( )i ja b é o elemento ij da matriz de mudança de base, como já

verificado no exercício 26.

b. O análogo contínuo da expressão (4) é

' ( ) '' ' ( ') ' ' ' ''b f A b da f a b a a b= ∫ (5)

Calcularemos então '' ( ) 'p F r p

usando (5).

3'' ( ) ' ( ) '' 'p F r p d rF r p x x p= ∫ (6)

onde3

d r dxdydz≡ e ( )1/ 22 2 2

r x y z r = + + = . Conhecemos os elementos damatriz mudança de base.

3/ 2

1 ''.'' exp

(2 )ip x

p xπ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(7)

e

3/ 2

1 '.' exp

(2 )ip x

x pπ

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(8)

Substituindo (7) e (8) em (6) temos :

( )3

3

1 ( ' '').'' ( ) ' ( ) exp

2

i p p xp F r p d xF r

π

⎡ ⎤ −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

(9)





1

Problema 28

a. Considere x e xp serem as coordenadas e o momento linear em umadimensão. Calcule o colchete de Poisson clássico,

[ ], ( )x classicox F p .

b. Considere x e xp os correspondentes operadores quanto-mecânico.Calcule o comutador

,exp xip ax⎡ ⎤⎛ ⎞

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

c. Usando o resultado obtido em (b), prove que

exp 'xip ax

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )' ' 'x x x x=

é um autoestado do operador coordenada x . Qual é o autovalorcorrespondente.

Solução :

a. De acordo com a equação (1.6.48), temos:

[ ]( , ); ( , )classico

s s s s s

A B A BA q p B q p

q p p q

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∑ .

Agora, como estamos em uma dimensão, então sq x= e s xp p= e, também,fazendo A x= , e ( )xB F p= , obtemos:

[ ]( ) ( )

, ( )x x

xx x

F p F px xx F p x p p x

∂ ∂∂ ∂= −∂ ∂ ∂ ∂ .



2

Como ( )xF F p= somente, 0F x

∂ =∂ . Logo,

[ ] ( ) ( ), ( ) x x

xx x

F p dF px F p

p dp

∂= =∂ .

Temos então:

[ ], ( )x classicox

dF x F pdp

=

b. Sabemos que :

I) Primeira maneira

1, ,

classico quanticoi

⎡ ⎤ ⎡ ⎤→⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Logo,

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1, ( ) , ( )

, ( ) , ( )

x xclassico quantico

x xquantico classico

x F p x F pi

x F p i x F p

=

=

Agora, para ( ) exp xx

ip aF p

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, temos :

, exp exp exp exp

,exp exp

x x x x

x

x x

ip a ip a ip a ip ad iax i i a

dp

ip a ip ax a

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦



3

II) Segunda maneira

A segunda maneira de resolver o problema está baseada no conhecimento de[ ], xx p i= . Então, sabemos que:

[ ] [ ][ ]

[ ]

2

3 2 2 2 2 2 2

4 3 3 3 3 3

, , , ( )2

, , , , 2 3

, , , 3 ( )4

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x p x p p p x p i p

x p x p p x p p p x p i p p i i p

x p x p p p x p i p p i i p

⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

De um modo geral

1, n nx xx p i np −⎡ ⎤=

⎣ ⎦ (1)

Agora

2 2 2 2 2 2

2 2, exp 1 ... 1 ...2! 2!

x xip a ip ax x x x xip a ip a i p a ip a i p a

x xe e x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ = − = + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 2 2 2

2 2, exp ... ...2! 2!x x x x xip a ixp a i xp a ip xa i p a x

x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞

= + + + − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ]2 2 3 3

2 32 3, exp , , , ...

2! 3!x

x x x

ip a ia i a i ax x p x p x p⎡ ⎤⎛ ⎞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦

Usando [ ], xx p i= e a equação (1), temos:

2 2 3 32

2 3

2 22

2

0

, exp ( ) ( )2 ( )3 ...3.2!

, exp 1 ...2!

1,exp!

, exp exp

xx x

x x

n

x x

n

x x

ip a ia i a i ax i i p i p

ip a iap i ax i a

ip a iapx an

ip a iapx a

∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞ = + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞ = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ = −⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎣ ⎦

∑

⎞⎟⎠



4

A única vantagem desta maneira é que não precisa conhecer o colchete dePoisson clássico.

c. Temos,

, exp ' exp '

exp ' exp ' exp '

x x

x x x

ip a iapx x a x

ip a ip a ip ax x x x a x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

exp ' ( ') xp ' 0

exp ' exp '( ' )

x x

x x

operador autovalor autovetor autovetor

ip a ip ax x a x e x

ip a ip ax xx ax

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

uma equação de autovetor/autovalor, em que o autovalor corresponde a'x a− .



1

Problema 29

a. Na página 247, Gottried (1966), declara que

( ),ii

Gx G p i

p

∂⎡ ⎤=⎣ ⎦ ∂ , [ ], ( )i

i

F p F x i

x

∂= −∂

pode ser “facilmente derivado” a partir das relações de comutaçãofundamentais para todas as funçõesF e G que podem ser expressadas comoséries de potências em seus argumentos. Verifique sua declaração.

b. Calcule 2 2,x p⎡ ⎤⎣ ⎦. Compare seu resultado com o colchete de Poisson

clássico 2 2,classico

x p⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Solução :

a. Escreveremos a função ( )G p (função escalar de uma variável vetorial)como:

1 2 3( ) ( , , )G p G p p p→ (1)

ConsiderarG como uma função escalar não limita nosso resultado, pois seG fosse vetor teríamos

[ ] [ ]ˆ ˆ ˆ, ( ) , ( ) , ( ) , ( )i i x i y i zx G p x x G p y x G p z x G p⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦⎣ ⎦

(2)

onde xG , yG e zG são funções escalares de uma variável vetorial. Então, deacordo com (2), resolvendo o comutador paraG escalar teremos resolvido oproblema para o vetorG .

A expressão (1) nos diz que podemos considerar uma função escalar de umavariável vetorial como sendo uma função escalar de três variáveis escalares(as três componentes do operador momento linear). Assim, se1 2 3( , , )G p p p puder ser expressa em série de potências, temos:



2

3

1 2 30 1

( , , ) njn j

n j

G p p p t p∞

= =

= ∑∑ (3)

onde jnt são coeficientes constantes (independente dosjp ’s).

Calcularemos agora o comutador[ ]1 2 3, ( , , )ix G p p p ,

[ ]3

1 2 30 1

, ( , , ) , ni jn i jn j

x G p p p t x p∞

= =⎡ ⎤= ⎣ ⎦∑∑ ,

onde usamos as relações:

[ ], ,i ii i

A B A B⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ e [ ] [ ], ,A cB c A B= ,

em quec e uma constante.

Temos ainda que calcular o comutador, ni jx p⎡ ⎤

⎣ ⎦. Das relações fundamentaisde comutação temos que

,i j ijx p i δ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ (5)

Temos então que

1 1 1, , , ,n n n ni j i j j i j j j i jx p x p p x p p p x p− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = +

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (6)

onde usamos

[ ] [ ] [ ], , ,A BC A B C B A C = + .

Mostraremos agora, por indução matemática, que

1, n ni j ij jx p i npδ −⎡ ⎤=⎣ ⎦ (7)

Primeiro, observamos que esta fórmula é valida para1n = , como vemos em(5). Basta mostrar então que, se (7) é valida para( 1)n k = − , deve ser válidapara n k = . Para isto usaremos a relação de recorrência (6):





4

b. Usaremos nossos resultados para calcular2 2,x p⎡ ⎤⎣ ⎦, onde 2 2

ii

x x= ∑ e2 2

jj

p p= ∑ . Então

2 2 2 2, ,i ji j

x p x p⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑∑ (12)

Mas

2 2 2 2, , ,i j i i j i j ix p x x p x p x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (13)

Então (12) se torna :

( )2 2 2 2, , ,i i j i j ii j

x p x x p x p x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑∑ (14)

Mas, de acordo com (10), quando 2jG p= , temos:

2 2, 2i j j ij ji

x p i p i pp

δ ∂

⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ∂

. (15)

Logo, a equação (14) fica:

( ) { }2 2, 2 2 .i i i ii

x p i x p p x i x p⎡ ⎤= + =⎣ ⎦ ∑

(16)

em que { } é o anticomutador.

Calcularemos agora os colchetes de Poisson

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2

, ,

2 2

, ,

2 2

, ,

, 2 2, 4

i j i j

i ji j k i j k k k k

ik k jk k i j k

i ii

x p x px p x p

x p p x

x p x p

x p x p

δ δ

⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤

=⎣ ⎦

⎡ ⎤=⎣ ⎦

∑ ∑∑

∑∑

(17)



5

Comparando as equações, temos:

{ }2 2, 2 .x p i x p⎡ ⎤=⎣ ⎦

Quântico

2 2, 4 i ii

x p x p⎡ ⎤=⎣ ⎦ ∑ Clássico

Vemos então que há correspondência:

2 2 2 21, ,classico

x p x pi

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Notamos aqui que existe um operador quântico Hermitiano associado a cadagrandeza dinâmica em mecânica clássica. À grandeza clássicai ix p , temos

associado o operador quântico Hermitiano( )12 i i i ix p p x+ . Assim, (16) é o

análogo quântico da expressão clássica.



1

Problema 30

O operador de translação para um deslocamento finito (espacial) é dado por

.( ) exp

ip ll

⎛ ⎞−ℑ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

,

em que p é o operador momento.

a. Calcule

, ( )ix l⎡ ⎤ℑ⎣ ⎦.

b. Usando (a) (ou outra forma), demonstre como o valor esperado x mudasob uma translação.

Solução :

a. Para resolver o comutador, vamos adotar a maneira usada no exercício 28.Temos:

( )1 1 2 2 3 3, ( ) exp

, ( ) exp exp

, ( ) ( ) exp exp

, ( ) exp

ii

i j j i ij i i

i i j j i ii j

i i j j i ii j

ix l i p l p l p l

p

i ix l i p l p l

p

i i ix l l i p l l p

ix l l p l l p

≠

≠

≠

∂ −⎡ ⎤⎡ ⎤ℑ = + +

⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂ ⎣ ⎦

⎛ ⎞− ∂ −⎛ ⎞⎡ ⎤ℑ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞− −⎛ ⎞⎡ ⎤ℑ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎛ ⎞−⎡ ⎤ℑ = +⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠⎣

∑

∑

∑

., ( ) exp

, ( ) ( )

i i

i i

ip lx l l

x l l l

⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

⎛ ⎞−⎡ ⎤ℑ = ⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠

⎡ ⎤ℑ = ℑ⎣ ⎦



2

b. Seja um ket ψ arbitrário, tal que ( )T

lψ ψ = ℑ . O valor médio de x apósa translação,

T x , será:

† †( ) ( ) ( ) ( )iT T T i

x x l x l l x lψ ψ ψ ψ ψ ψ = = ℑ ℑ = ℑ ℑ∑

(1)

Da equação do item anterior, temos que:

( ) ( ) ( )i i ix l l x l lℑ − ℑ = ℑ

.

Multiplicando por †( )lℑ , lembrando que ( )lℑ é unitário, podemos escrever:

†

1 1

† † †( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )i i i il x l x l l l ll l l l= =

ℑ ℑ − = ℑ ℑ =ℑ ℑ ℑ ℑ

,

logo,

† ( ) ( )i i il x l x lℑ ℑ − =

;

† ( ) ( )i i il x l x lℑ ℑ = +

e, substituindo em (1), temos :

i i i iT i i i

x x l x lψ ψ ψ ψ ψ ψ = + = +∑ ∑ ∑ ,

pois, il é um número,

T x x l= +

.



1

Problema 31

Dentro do texto principal nós discutimos o efeito de ( ')dxℑ sobre os autoketsde posição e momento, e sobre o mais geral ket de estado α . Nós podemostambém estudar o comportamento dos valores esperados x e p sob umatranslação infinitesimal. Usando (1.6.25), (1.6.45), e ( ')dxα α → ℑ apenas,prove 'x x dx→ +

, p p→ sob translação infinitesimal.

Solução :

As fórmulas citadas são as seguintes :

[ ], ( ') 'x dx dxℑ = (1.6.25)

e

[ ], ( ') 0p dxℑ = (1.6.45)

O valor esperado x varia da seguinte forma, quando ( ')dxα α → ℑ :

[ ]† †( ') , ( ') ( ') ( ')x dx x dx dx dx xα α α α → ℑ ℑ + ℑ ℑ (2)

Como o operador ( ')dxℑ é unitário o segundo termo do lado direito de (2) ésimplesmente x xα α =

.

O primeiro termo do lado direito de (2), usando ( 1.6.25 ) fica:

† †( ') ' ' ( ')dx dx dx dxα α α α ℑ = ℑ (3)

Faremos a aproximação † ( ') 1dxα α ℑ ≈ , pois

†

' 0( ') 1lim

dxdx

→

ℑ = (4)

(Esta é a aproximação feita na eq. 1.6.19 do Sakurai). Assim, (2) se torna:



2

'x dx x→ + (5)

Observação : Esta expressão já havia sido demonstrada no exercício 30 paratranslações finitas, das quais as transformações infinitesimais são um casoespecial.

O valor esperado do momento p varia sob transformações infinitesimais

da seguinte forma:

[ ]† †

†

( ') ( ') ( ') , ( ')

( ') ( ')

p dx p dx dx p dx

dx dx p

α α α α

α α

→ ℑ ℑ = ℑ ℑ

+ ℑ ℑ

(6)

Usando (1.6.45), o primeiro termo do lado direito desta expressão se anula.Usando a propriedade de unitariedade do operador de translação, o segundotermo do lado direito se reduz a

p pα α = .

Logo :

p p→ (7)



1

Problema 32

a. Verifique (1.7.39a) e (1.7.39b) para o valor esperado de p e 2p a partir dopacote de onda Gaussiano (1.7.35).

b. Calcule o valor esperado de p e 2p usando a função de onda espaço-momento (1.7.42).

Solução :

a. As respectivas equações são :

p k = (1.7.39a)

22 2 2

22p k

d = + (1.7.39b)

2

21/ 4

1 '' exp '

2x

x ikxd d

α π

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.7.35)

Vamos definir

1/ 4

1A

d π ≡ (1)

Calculo de p

Temos que

*' ' ' ' ( ') ( ')'

p p dx x x p dx x i xxα α α α α α ψ ψ

+∞ +∞

−∞ −∞

∂⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ (2)

Agora,

2 2

2 2 2

' ' 'exp ' exp '

2 2x x x

x A ikx A ikx ik x x d d d

α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠



2

Substituindo em (2) temos :

2 2*

2 2 2

' ' 'exp ' exp ' '

2 2x x x

p i A ikx A ikx ik dxd d d

+∞

−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

2 2

2 22 2

2' '2 2 ' /

2 2

'' ' ' '

x xx d d d

Axp i A e ik dx k A e dx i x e dx

d d

−+∞ ∞ +∞ −−

−∞ −∞ −∞

⎛ ⎞= − − = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

A segunda integral é zero pois o integrando é uma função ímpar integradaem um intervalo anti-simétrico. Assim, resta a primeira integral:

2

2 22'

2 2 '

0

' 2 'x

xd p k A e dx k A e dxα −+∞ ∞

−

−∞

= =∫ ∫

onde escrevemos

2 21/ d α = . (3)

E trocamos os limites pois o integrando é par. Temos então que,

22p k A I = (4)

Com

2 2'

0

'xI e dxα +∞

−= ∫ (5)

Solução da Integral I

Vamos quadrar (5), obtendo

( )2 22

0 0

x yI e dxdy

ε ∞ ∞

− +=

∫ ∫.



3

Essa integração é realizada em todo o meio plano xy . Vamos trocar asvariáveis ( , )x y pelo par ( , )r θ em coordenadas polares. Lembrando que o

Jacobiano neste caso e ( , )( , )x y

r r θ

∂ =∂ , obtemos:

2 2 2 2/ 2

2

0 0 02r r I e rdrd e rdr

π α α π

θ ∞ ∞

− −= =∫ ∫ ∫

Com 2 2u r α = − e 22du rdr α = − , temos :

22 2

0

12 2 4

uI e duπ π

α α

−∞⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

2I

π α

= .

E, levando esse resultado em (4), e já trocando 2 21/ d α = , obtemos:

2 12

2d

p k A k d k d

p k

π π π

= = =

=

(1.7.39a)

Calculo de 2p

Temos que

22 2 2 * 2

2

( ')' ' ' ' ( ')

'x

p p x x p dx dx xxα

α

ψ α α α α ψ

+∞ +∞

−∞ −∞

⎛ ⎞∂= = = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫

22 2 *

2( ') ''

p x dxx

α α

ψ ψ

+∞

−∞

∂= −∂∫ (1)

Agora



4

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

22

2 2

( ') ' 'exp '

' ' ' 2

( ') ' ' ' 1 'exp ' exp '

' ' 2 2

( ') 'exp '

'

x x xA ikx ik

x x x d d

x x x x xA ik ik ikx ikx

x x d d d d d

x x xA ik ikx

x d

α

α

α

ψ

ψ

ψ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∂ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

2 2

2 2 2

' 1 'exp '

2 2x

ikxd d d

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

E, substituindo em (1), obtemos :

2 2 2 2

2 2 2 2 ' 2 2

222 2 / /

2 2

2 22 222 2 2 / 2 ' / /

4 2

1'

' ' ' '

x d x d

x d x d x d

xp A ik e e dx

d d

A Ap k A e dx x e dx e dx

d d

+∞− −

−∞

+∞ +∞ +∞− − −

−∞ −∞ −∞

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= − +

∫

∫ ∫ ∫

Façamos 21/ d υ = , então, temos :

2 2 ' 22 22 2

22 2 2 ' 2 '4 2

0 0 0

2 22 ' ' ' 'x x xA A

p k A e dx x e dx e dxd d

υ υ υ +∞ +∞ +∞

− − −= − +∫ ∫ ∫

Acima, sabemos que :

2'

0

1'

2xe dxυ π

υ

∞− =∫

Logo

2 22 222 2 2

4 2

3

2 21 1 12

12 2 2 2

A Ap k A

d d d

π π π υ υ

= − +

Como 21/ d υ = , então,



5

2 3 22 2 2

4 2

2 22 2 2

2 2

22 2 2

2

1 12

2

2

d p k d d

d d d d d

p k d d

p k d

π π π π

= − +

= − +

= +

b.

1/ 2 2 2

1/ 2 1/ 4 2

( ' )( ') exp

2p

d p k d pφ

π

⎛ ⎞− −= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Vamos definir

1/ 2

1 / 2 1 / 4

d B

π ≡

Então temos

( )

2 2

*

2 22

2

2 2 22 2 2

2

2 2 22

2

' ' ' ' ' ( ') ( ')

''exp '

' 2 ''exp '

' 2 ''exp 'd k

p p dp p p p dp p p p

p k d p B p dp

d p p kd p B p d k dp

d p p kd p B e p dp

α α α α α α φ φ +∞ +∞

−∞ −∞

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞−

−∞

= = =

⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫

∫

∫

E completando o quadrado, temos :

2

2 2 2 2

2

'2

'2

'e '

'e '

d p dk

d k d k

d p dk

p B e p e dp

p B p dp

⎛ ⎞+∞ − −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

−∞

⎛ ⎞+∞ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

−∞

=

=

∫

∫



6

E fazendo 'd

u p dk = − , e 'd

du dp= , temos :

2 2 22 2 2e u u up B u k du B ue du k B e du

d d d d d

+∞ +∞ +∞− − −

−∞ −∞ −∞

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

A 1 a integral é nula, pois temos uma função ímpar integrada em um intervaloanti-simétrico. Logo,

22

0

2 uk p B e du k

d

∞−= =∫

Calculo de 2p

Temos que

( )

2 2 2 '2 *

2 222 2

2

' ' ' ' ( ') ( ')

'' exp '

p p p p p dp dp p p p

p k d p B p dp

α α α α α α φ φ +∞ +∞

−∞ −∞

+∞

−∞

= = =

⎛ ⎞−⎜ ⎟= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

∫

Podemos utilizar o desenvolvimento realizado no calculo de p , assim,escreveremos diretamente I :

2

'22 2' 'd

p dk

p B p e dp⎛ ⎞+∞ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

−∞

= ∫

E fazendo a substituição d p dk υ = − , com '

d d dpυ = , temos :

2

2

2 2

22

2 2 222 2 2

2

32 22 2 2 2

3

2

p B k e d

d d

p B k k e d d d

p B e d B k e d d d

υ

υ

υ υ

υ

υ υ υ

α

υ υ υ

+∞−

−∞+∞

−

−∞+∞ +∞

− −

−∞ −∞

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

∫

∫

∫ ∫



7

A integral do “meio” é nula, pois o integrando é uma função impar. Usandoos resultados anteriores, escrevemos :

32 22 2 2

3

32 2 2

3

2 2 222

p B B k d d

d d p k

d d

p k d

π π

α

π π

α π π

= +

= +

= +



1

Problema 33

a. Prove o seguinte :

(i) ' ''

p x i pp

α α ∂=

∂ ,

(ii) *' ( ') ( ')'

x dp p i pp

β α β α φ φ ∂=

∂∫,

onde ( ') 'p pα φ α = e ( ') 'p pβ φ β = são as funções de onda espaço-momento.

b. Qual é o significado físico de

expixΞ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,

onde x é o operador posição e Ξ é algum número com a dimensão demomento? Justifique sua resposta.

Solução :

a.

i) Usando a completeza dos autokets da posição podemos escrever a relação:

' ' ' ' ' ' 'x dx x x x dx x x xα α α = =∫ ∫ (1)

Multiplicando pela esquerda pelo bra 'p temos :

' ' ' ' ' 'p x dx x p x xα α = ∫ (2)

Usando a função de onda

† 1 ' '' ' ' ' exp

2

ip xx p p x

π

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3)





*' ( ') ( ')'

x dp p i ppβ α β α φ φ ∂=

∂∫ (11)

b. Para encontrarmos o significado físico da expixΞ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

aplicaremos este

operador a um autoestado do momento linear, 'p . Então :

exp ' 'exp ' ' 'ix ix

p dx x x pΞ Ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ (12)

O ket 'x é autoket deste operador. Logo :

'exp ' ' exp ' ' '

ix ixp dx x p x

⎡ ⎤Ξ Ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ (13)

Usando (3), temos :

( )1 'exp ' ' exp ' ' '

2

ix ixx p p x p

π

Ξ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + Ξ = + Ξ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(14)

Voltando em (13) com este resultado, temos :

exp ' ' ' ' ' 'ix

p dx x x p pΞ⎛ ⎞ = + Ξ = + Ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (15)

Logo, o operador expixΞ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

provoca um deslocamento no valor do momento

linear do sistema. O parâmetro Ξ é o valor deste deslocamento no nossoproblema unidimensional. No caso tridimensional teríamos, porgeneralização :

.exp ' '

ixp p

⎛ ⎞Ξ = + Ξ⎜ ⎟⎝ ⎠

(16)

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