Problemas Controles

CONTROLES CONTROLES AUTOMATICOSAUTOMATICOS

Problemas resueltosProblemas resueltos

La Universidad del La Universidad del ZuliaZulia

Diplomado de Controles Diplomado de Controles e Instrumentación de e Instrumentación de

PlantasPlantas

PROBLEMA N° 1PROBLEMA N° 1

Considere el sistema de control mostrado:Considere el sistema de control mostrado:

- + R(s)

SSSK

2)1(

2

2

θ(S)

B(S)

E(S)

Obtenga el lugar geométrico de las raíces, ganancia, Obtenga el lugar geométrico de las raíces, ganancia, polos y ceros del sistema.polos y ceros del sistema.

PROBLEMA N° 1PROBLEMA N° 1Solución … Solución …

Para obtener la grafica del lugar geométrico de la raíz Para obtener la grafica del lugar geométrico de la raíz de este sistema, se debe introducir el comando de este sistema, se debe introducir el comando “rlocus” en Matlab. “rlocus” en Matlab. Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se deben multiplicar por la ganancia K.deben multiplicar por la ganancia K.

>> num=[1 0 1];>> num=[1 0 1];>> den=[1 2 0];>> den=[1 2 0];>> rlocus(num,den);>> rlocus(num,den);>> grid>> grid

PROBLEMA N° 1PROBLEMA N° 1 Solución … Solución …

Para obtener la ganancia, polos y ceros de este Para obtener la ganancia, polos y ceros de este sistema, se debe introducir el comando “zpk” en sistema, se debe introducir el comando “zpk” en Matlab. Matlab.

>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)

z =z = 0 + 1.0000i 0 + 1.0000i 0 - 1.0000i 0 - 1.0000i

p =p = 0 0 -2 -2

k =k = 1 1



Obtenga el lugar geométrico de las raíces, ganancia, Obtenga el lugar geométrico de las raíces, ganancia, polos y ceros del sistema.polos y ceros del sistema.

- + R(s)

32)2(

2 SS

SK

θ(S)

B(S)

E(S)


Para obtener la grafica del lugar geométrico de la raíz Para obtener la grafica del lugar geométrico de la raíz de este sistema, se debe introducir el comando de este sistema, se debe introducir el comando “rlocus” en Matlab. “rlocus” en Matlab. Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se deben multiplicar por la ganancia K.deben multiplicar por la ganancia K.

>> num=[1 2];>> num=[1 2];>> den=[1 2 3];>> den=[1 2 3];>> rlocus(num,den);>> rlocus(num,den);>> grid>> grid


Para obtener la ganancia, polos y ceros de este Para obtener la ganancia, polos y ceros de este sistema, se debe introducir el comando “zpk” en sistema, se debe introducir el comando “zpk” en Matlab. Matlab. >> [z,p,k]=tf2zp(num,den)>> [z,p,k]=tf2zp(num,den)

z =z =

-2 -2

p =p =

-1.0000 + 1.4142i -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i -1.0000 - 1.4142i

k =k =

1 1



Grafique el diagrama de bode.Grafique el diagrama de bode.

- + R(s)

)92.1()12.0(9

2

2

SSSSS

θ(S)

B(S)

E(S)


Para obtener la grafica de bode de este sistema, se Para obtener la grafica de bode de este sistema, se debe introducir el comando “bode” en Matlab. debe introducir el comando “bode” en Matlab. Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se Al escribir el vector numerador sus coeficientes no se deben multiplicar por la ganancia K.deben multiplicar por la ganancia K.

>> num=[9 1.8 9];>> num=[9 1.8 9];>> den=[1 1.2 9 0];>> den=[1 1.2 9 0];>> bode(num,den);>> bode(num,den);


Si se desea dibujar el diagrama de bode de 0.01 Si se desea dibujar el diagrama de bode de 0.01 rad/seg a 1000 rad/seg se debe introducir el comando rad/seg a 1000 rad/seg se debe introducir el comando “w=logspace” en Matlab. “w=logspace” en Matlab. >> >> ww==logspace(-2,3,100logspace(-2,3,100))>> >> bode(num,den,w)bode(num,den,w)

Este comando genera Este comando genera 100 puntos espaciados 100 puntos espaciados iguales iguales logaritmicamente logaritmicamente entre 0.01 rad/seg y entre 0.01 rad/seg y 1000 rad/seg1000 rad/seg


Para especificar el rango de magnitud y el rango de Para especificar el rango de magnitud y el rango de ángulo de fase se debe introducir el comando ángulo de fase se debe introducir el comando “[mag,phase,w]=bode(num,den,w)” en Matlab. “[mag,phase,w]=bode(num,den,w)” en Matlab. Las matrices y fases contienen las magnitudes y los Las matrices y fases contienen las magnitudes y los ángulos de fase de la respuesta a la frecuencia evaluado ángulos de fase de la respuesta a la frecuencia evaluado en los puntos especificados. El ángulo de fase se lleva a en los puntos especificados. El ángulo de fase se lleva a grados. La magnitud puede ser convertida en decibeles grados. La magnitud puede ser convertida en decibeles con el enunciado:con el enunciado:magdB=20*log10(mag)magdB=20*log10(mag)Si se desea especificar que el rango de magnitud sea, por Si se desea especificar que el rango de magnitud sea, por ejemplo, entre -45 dB y +45 dB, entonces se introduce ejemplo, entre -45 dB y +45 dB, entonces se introduce lineas invisibles en el grafico en -45 dB y +45 dB, lineas invisibles en el grafico en -45 dB y +45 dB, especificando dBmax (magnitud máxima) y dBmin especificando dBmax (magnitud máxima) y dBmin (magnitud mínima) como sigue:(magnitud mínima) como sigue:dBmax=45*ones(1,100);dBmax=45*ones(1,100);dBmin=-45*ones(1,100);dBmin=-45*ones(1,100);Entonces introduzca el siguiente comando de grafico: Entonces introduzca el siguiente comando de grafico: “semilog”“semilog”


En Matlab:En Matlab:

>> num=[9 1.8 9];>> num=[9 1.8 9];>> den=[1 1.2 9 0];>> den=[1 1.2 9 0];>> w=logspace(-2,3,100);>> w=logspace(-2,3,100);>> [mag,phase,w]=bode(num,den,w);>> [mag,phase,w]=bode(num,den,w);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> magdB=20*log10(mag);>> magdB=20*log10(mag);>> dBmax=45*ones(1,100);>> dBmax=45*ones(1,100);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> semilogx(w,magdB,w,magdB,w,dBmax,w,dBmin)>> semilogx(w,magdB,w,magdB,w,dBmax,w,dBmin)>> title('Diagrama de Bode')>> title('Diagrama de Bode')>> xlabel('Frecuencia rad/seg');>> xlabel('Frecuencia rad/seg');>> ylabel('Gain(dB)')>> ylabel('Gain(dB)')



Para el ángulo de fase introducimos líneas invisibles en -145° y +115° con pmax (fase máxima) y pmin (fase mínima):

>> pmax=115*ones(1,100);>> dBmin=-45*ones(1,100);>> semilogx(w,phase,w,phase,w,pmax,w,pmin)>> xlabel('Frecuencia rad/seg');>> ylabel('Fase (dB)')>> title('Diagrama de Bode')




Grafique el diagrama de nyquist.Grafique el diagrama de nyquist.

- + R(s)

)18.01

2 SS

θ(S)

B(S)

E(S)


Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. debe introducir el comando “nyquist” en Matlab.

>> num=[1];>> num=[1];>> den=[1 0.8 1];>> den=[1 0.8 1];>> nyquist(num,den);>> nyquist(num,den);>> grid>> grid



Grafique el diagrama de nyquist con retroalimentación Grafique el diagrama de nyquist con retroalimentación positiva.positiva.

4564

2

2

SSSS


Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. Y la debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. Y la realimentacion positiva definiendo de la siguiente realimentacion positiva definiendo de la siguiente manera:manera:

>> num=[-1 -4 -6];>> num=[-1 -4 -6];>> den=[1 5 4];>> den=[1 5 4];>> nyquist(num,den);>> nyquist(num,den);


Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se Para obtener la grafica de nyquist de este sistema, se debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. Y la debe introducir el comando “nyquist” en Matlab. Y la realimentación positiva definiendo de la siguiente realimentación positiva definiendo de la siguiente manera:manera:>> num=[-1 -4 -6];>> num=[-1 -4 -6];>> den=[1 5 4];>> den=[1 5 4];>> nyquist(num,den);>> nyquist(num,den);

Este sistema es inestable ya que el punto -1 + j0 se encierra una vez en el sentido de las agujas del reloj


Para comparar la realimentacion positiva con la Para comparar la realimentacion positiva con la negativa definimos de la siguiente manera:negativa definimos de la siguiente manera:>> num1=[1 4 6];>> num1=[1 4 6];>> den1=[1 5 4];>> den1=[1 5 4];>> num2=[-1 -4 -6];>> num2=[-1 -4 -6];>> den2=[1 5 4];>> den2=[1 5 4];>> v=[-2 2 -1 1];>> v=[-2 2 -1 1];>> nyquist(num1,den1)>> nyquist(num1,den1)>> grid>> grid>> title('Nyquist Gs vs -Gs')>> title('Nyquist Gs vs -Gs')>> hold on>> hold on>> nyquist(num2,den2)>> nyquist(num2,den2)

Considere el sistema de control de la figura, en el cual Considere el sistema de control de la figura, en el cual se usa un controlador tipo PID para controlar el se usa un controlador tipo PID para controlar el sistema. El controlador PID tiene la función de sistema. El controlador PID tiene la función de transferencia:transferencia:

TdS

TiSKpG SC

11)(


Obtenga una curva de respuesta escalón unitario y Obtenga una curva de respuesta escalón unitario y verifique si el sistema diseñado exhibe un sobrepaso verifique si el sistema diseñado exhibe un sobrepaso máximo aproximado de 20%. Si el sobrepaso máximo es máximo aproximado de 20%. Si el sobrepaso máximo es excesivo (40% o más), haga una sintonización fina y excesivo (40% o más), haga una sintonización fina y reduzca la cantidad del sobrepaso máximo aproximado reduzca la cantidad del sobrepaso máximo aproximado de 20%.de 20%.

Gc(S) )5)(1(

1 SSS

- +

R(s) C(s)

Controlador PID

PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6,Solución.Solución.

Según el método de Ziegler – Nichols, establecemos que Ti = ∞ y Td = 0, y obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado:

)5)(1( SSSKp

- + R(s)

C(s)

PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6,Solución…Solución…

Y resolviendo la realimentación nos queda:

KpSSSKp

56 23 R(s)

C(s)

Para hallar el valor de oscilación sostenida aplicamos el criterio de Routh. La ecuación característica para el sistema en lazo cerrado es:

056 23 KpSSS

El arreglo de Routh es el siguiente:

PROBLEMA N° 6,PROBLEMA N° 6, Solución… Solución…

S3 1 5 S2 6 Kp

S1 6

30 Kp

S0 Kp Examinando los coeficientes de la primera columna del arreglo de Routh, encontramos que ocurrirá una oscilación sostenida si Kp = 30. por lo tanto, la ganancia critica es:

KCR = 30Entonces la ecuación característica se vuelve:

03056 23 SSS

Para encontrar la frecuencia de la oscilación sostenida, sustituimos S = jw en la ecuación característica:


030)(5)(6)( 23 jwjwjw

03056 23 jwwjw

Igualando imaginarios:

5

0)5(

052

3

w

ww

ww


Con Matlab para hallar la frecuencia de oscilación sostenida introducimos los coeficientes del polinomio característico y aplicando el comando roots de la siguiente manera tenemos:roots([-1 -6 5 30])Arrojando como resultado: ans =

-6.0000 2.2361 -2.2361La frecuencia de oscilación sostenida es 2.2361 así el periodo de oscilación sostenida es:

8099.25

22

w

Pcr

Por el método de Ziegler – Nichols determinamos Kp, Ti y Td del modo siguiente:• Kp = 0.6*Kcr = 0.6*30 = 18• Ti = 0.5*Pcr = 0.5* 2.8099 = 1.405• Td = 0.125Pcr = 0.125*2.8099 = 0.35124

Por lo tanto la función de transferencia del controlador PID es:


SSSG

SS

G

TdSTiS

KpG

SC

SC

SC

814.12185023.6

35124.0405.11118

11

2

)(

)(

)(


Sustituyendo en el diagrama de bloques, nos queda:

)5)(1(1

SSS

- + R(s)

C(s)

Controlador PID

SSS 814.12185023.6 2

Obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado:

)5)(1(814.12185023.6

2

2

SSSSS

- + R(s)

C(s)



814.12185023.116814.12185023.6

234

2

SSSSSS

R(s) C(s)

Introducimos la función de transferencia en Matlab para hallar la respuesta a un escalón unitario:a=tf([6.5023 18 12.814],[1 6 11.5023 18 12.814])

Con el software Matlab tambien podemos resolver el diagrama de bloques aplicando algebra de bloques con los comandos: series(G1,G2), parallel(G1,G3) y feedback(G,H)


Procedemos a graficar la función de transferencia a un escalón unitario aplicando el siguiente comando>> step(a) Se nota en la grafica

que el sobrepaso máximo es de 60.4% el tiempo de estabilización a 9.97 seg, como es excesiva se reduce con una sintonización fina desde el computador utilizando el comando “rltool” en Matlab:

Para determinar el máximo sobre pico o Overshoot, el tiempo de crecimiento y el tiempo de crecimiento en la ventana de la grafica presionamos el clic derecho del Mouse y nos muestra una serie de opciones del cual seleccionamos Characteristics y luego las 4 opciones siguientes.


Como se mostró en problemas anteriores para hallar el lugar geométrico de las raíces aplicamos el siguiente comando:>> rltool(a)

Para hallar la sintonización fina del sistema en la ventana de la grafica del lugar geométrico de las raíces en el menú principal seleccionamos Tools (herramientas) la cual nos proporciona una serie de opciones de la cual seleccionamos Loop Responses y nos muestra una lista de aplicaciones que luego podemos seleccionar y aplicar (step, bode, nichols, nyquist) para poder observar que sucede al cambiar los polos y los ceros del sistema.Esta herramienta que brinda Matlab permite obtener la disminución del tiempo de estabilización, máximo sobrepico, entre otros, interactivamente y de esta forma hallar la sintonización fina del sistema.

Al seleccionar plant output Matlab nos muestra el escalón unitario del sistema y interactivamente moviendo los polos y los ceros podemos observar simultaneamente que sucede con la respuesta, logrando mejorar sus características.

Al seleccionar compensador Bode Matlab nos muestra el diagrma de Bode del sistema e igualmente podemos observar simultaneamente que sucede.

Al seleccionar Open-Loop Nyquist, Matlab nos muestra el diagrama de Nyquist del sistema e igualmente podemos observar simultaneamente que sucede y asi con las otras herramientas adicionales Open-Loop Nichols, control signals (step).

Para cambios en polos y ceros del sistema lo podemos hacer arbitrariamente con el Mouse posicionándonos sobre los polos y ceros (puntos rojos de la grafica), con un clic seleccionamos y movemos recordando que el sistema solo es estable del lado izquierdo del diagrama de lugar geométrico.

También se puede adicional polos, ceros, doble cero y doble polo y observar el comportamiento de la respuesta, si es el caso y se vuelve inestable deshacemos con el borrador .

Para cambios en polos y ceros del sistema también lo podemos hacer seleccionando del menú principal el compensador y edit para modificar o añadir polos y ceros.


La respuesta sintonizada a un escalón unitario es la siguiente:

Se nota en la grafica que el sobrepaso máximo es de 17.1%Y de esta forma se redujo el tiempo de estabilización a 1.87 seg.

PROBLEMA N°7,PROBLEMA N°7,Para mediados de la decada de 1990, Estados Unidos planea tener una estación espacial operativa en orbita. En la figura se muestra una version de esta estación espacial; para esto resulta critico mantener dicha estación en una orientación adecuada hacia el sol y la tierra para generar energia y comunicaciones. El regulador (control) de la orientación se puede representar mediante un sistema con retroalimentación 0.04 con un actuador y un regulador, tal que:

8 20 20 )(0)()( ttt Ddtdt

V(S) = 1θo (S) = ExcitaciónD(S) = Salida del ProcesoGc(S) = Kp

Paneles de energía solar

Cohetes

Cohetes ajustables

Paneles de energía solar

Cohetes

Cohetes ajustables

cia)Transferen de(Función )120(

8 )120(

20

8 20)120(..

)Matematico (Modelo 8 20 20

)(0)()(

)(0)()(

)(0)()(

SSS

SSS

ttt

SD

S

DSLTA

Ddtdt


Resolviendo y aplicando transformada de Laplace tenemos


a) El diagrama de bloques con sus respectivas funciones de transferencia.

Kp

0.04

M(S) E(S)

θo (S)

θ (S)

+

Vd(S)

+ + - 12020

S

1208S

1 V(S) D(S)

H(S)


Simplificando:Haciendo Vd(S) = 0, aplicamos el principio de superposición por tener mas de una entrada

+ - 120

8S

12020

S

Kp 0.04 1

θ (S) θo (S)


Simplificando:

+ -

1208.0

SKp

1208S

θ (S) θo (S)

1208S

KpS

S8.0120

120

θ (S) θo (S)

KpSS

8.0120120

KpS 8.01208

θ (S) θo (S)


b) Hallar el valor de Kp para que el error no sea mayor de 2° de una excitación de 10° en θoT o(S) = 10/S

KpSS

KpS

KpSo

S

S

S

S

S

8.012080

8.01208

8.01208

)(

)(

)(

10*

)(

Aplicando el teorema del valor final:

28.01

808.0120

80

)(0

0)(0)(0

KpSLim

KpSSSLimSLimSFLim

SS

SSSSS

80 < 1+0.8Kp 80 – 2 < 1.6Kp Kp = 78 / 1.6 =48.75


c) Hallar el valor de Kp para que el sistema sea estable.Aplicando el criterio de Routh obtenemos:Ecuación característica:

KpS 8.0120 = 0

El conjunto de coeficientes es

S1 20 0 S0 1+0.8Kp

1+0.8Kp = 0 Kp = -1/0.8 = -1.25 Kcr = -1.25


d) Hallar Ti, Td, frecuencia de oscilación20S = 0Sustituyendo S = jw20W = 0

Por ser un sistema de primer orden no hay oscilación por lo tanto Td = Ti = W = 0

Por el método de Ziegler – Nichols determinamos Kp del modo siguiente: Kp = 0.5*Kcr = 0.5*1.25 = 0.625


Por lo tanto la función de transferencia es:

5.1208

)(0

)(

SS

S

Introducimos la función de transferencia en Matlab para hallar la respuesta a un escalón unitario:

a=tf([8],[20 1.5])


>> step(a)Kp = 0.625

El tiempo de estabilización es de 52.2 seg, como es excesivo se reduce con una sintonización fina desde el computador utilizando el comando “rltool” en Matlab:


>> rltool(a)


>> step(a)Kp = 1

>> step(a)Kp = 3


>> step(a)Kp = 10


Dado el comportamiento del sistema a medida que Kp aumenta mejora la respuesta del sistema con un tiempo de estabilización mas corto.

PROBLEMA N° 8,PROBLEMA N° 8,Se desea conocer el control de temperatura de salida T2 del siguiente intercambiador de calor para ajustar la relación de flujo de vapor Ws. La perturbación ocurre en la entrada de la temperatura T1. el comportamiento dinámico puede ser aproximadamente por las siguientes ecuaciones diferenciales:

T2

T1

Vapor TT TC

Condensado

T2

T1

Vapor TT TC

Condensado

)()(22

)(1)()(2)(22

2

)()(

50502525

58.04 32

6 2

)()(

)(

SS

tttt

tt

HHTT

TWsTdtdT

dt

Td

mWsdtdWs

ss

t


Resolviendo y aplicando transformada de Laplace tenemos

5.050502525

432S5

432S8.058.0)43(2S

126Ws

61)Ws(2S

:A.T.L

Proceso )Matematico (Modelo 58.04 32

EFC )Matematico (Modelo 6 2

)(2

)()()(22

)(12)(2)(2)(1)()(22

(S)

(S)(S)(S)

)(1)()(2)(22

2

)()(

)()(

)(

S

SSS

SSSSSS

tttt

tt

TH

HHTT

TS

WsS

TTWsTS

Smm

TWsTdtdT

dt

Td

mWsdtdWs

ss

t


a) El diagrama de bloques con sus respectivas funciones de transferencia.

Kc

0.5

M(S) E(S)

T1 (S)

T2 (S)

+

Vd(S)

+ + - 4328.0

2 SS

12

6S

V(S)

H(S)

4325

2 SS

4328.0

2 SS12

6S


Simplificando:Haciendo Vd(S) = 0, aplicamos el principio de superposición por tener mas de una entrada

+ -

Kc 0.5

T2 (S)

4328.0

2 SS

12

6S

4325

2 SS

T1 (S)


Simplificando:

+ -

)432)(12(4.2

2 SSSKp

T2 (S)

4325

2 SS

T1 (S)

T2(S) T1 (S)

KpSSSSSS

4.2)432)(12()432)(12(

2

2

432

52 SS

KpSSS

SSS4.2)432)(12(

)432)(12(2

2

KpSSSS

4.241184510

23

T2(S) T1 (S)


b) Hallar el valor de Kp para que el error no sea mayor de 1° de una excitación de 10C° en T1T 1(S) = 10/S

KpSSSSST

KpSSSST

KpSSSS

T

S

S

S

S

ST

4.241184)12(50

4.241184)12(5

4.241184)12(5

23)(2

23)(2

23)(1

10*

)(2

Aplicando el teorema del valor final:

1

4.2450

4.241184)12(50

)(0

230)(0)(0

KcSLim

KpSSSSSSLimSLimSFLim

SS

SSSSS

4+2.4Kc>50 50 – 4 <2.4Kc Kp = 46 / 2.4 =19.17

S3 4 11 S2 8 4+2.4Kc

S1 8

6.972 Kc 0

S0 4+2.4Kc


c) Hallar el valor de Kc para que el sistema sea estable.Aplicando el criterio de Routh obtenemos:Ecuación característica:

El conjunto de coeficientes esKpSSS 4.241184 23

5.72.1/92.1908

6.972

KcrKcKcKc


La respuesta del sistema con Kc = 7.5 es:



022)(11)(8)(4 23 jwjwjw

0221184 23 jwwjw

Con Matlab la frecuencia de oscilación es:roots([-4 -8 11 22])ans = 1.6583 -2.0000 -1.6583 W=1.6583


Así el periodo de oscilación sostenida es:

segw

Pcr 7889.36583.122

Por el método de Ziegler – Nichols determinamos Kp, Ti y Td del modo siguiente:• Kp = 0.6*Kcr = 0.6*3.7889 = 1.8945• Ti = 0.5*Pcr = 0.5* 3.7889 = 0.4736• Td = 0.125Pcr = 0.125*7.5 = 4.6875


SS

SSSS

SSG

SS

G

TdSTiS

KpG

SC

SC

SC

2

22

)(

)(

)(

)0557.1(22.2

222.2

6875.4

:Cuadrados deón Completaci

22.24743.26875.422.24743.26875.4

4736.08945.1

116875.4

11

Por lo tanto la función de transferencia del PID es:


SS

22.24743.2

6875.4

0.5

M(S) E(S)

T1 (S)

T2 (S)

+

Vd(S)

+ + - 4328.0

2 SS

12

6S

V(S)

H(S)

4325

2 SS

Sustituyendo en el diagrama de bloques, nos queda:


Obtenemos la función de transferencia en lazo cerrado utilizando Matlab:

a=tf([4.8],[4 8 11 4])

Transfer function:

4.8

------------------------

4 s^3 + 8 s^2 + 11 s + 4

rltool(a)

PROBLEMA N° 9,PROBLEMA N° 9,Dado el siguiente sistema:

)12(1

2 SS

- + R(s)

Y(s)

)5(1

SS

Dibuje el lugar geométrico de las raíces y el diagrama de bode


Simplificando y aplicando algebra de bloques obtenemos la función de transferencia del sistema:

160175

234

SSSSS

R(s) Y(s)

La respuesta a este sistema ante una perturbación tipo escalón unitario es la siguiente:>> a=tf([1],[1 12 0 0]);>> b=tf([1 1],[1 5]);>> c=feedback(a,b) Transfer function: s + 5-----------------------------s^4 + 17 s^3 + 60 s^2 + s + 1


>> step(c)

En la grafica podemos apreciar que el tiempo de estabilización es muy largo por lo tanto con el comando “rltool” de matlab podemos para mejorar la respuesta y compensar el sistema.


>> rltool(c)


Con el comando rltool podemos observar interactivamente el comportamiento del sistema al cambiar la ganancia, al igual que los diagramas de niquist y bode.


Diagrama de bode:margin(c)

Este diagrama nos indica una ganancia de 4.6234


nyquist(c)


El comportamiento del sistema ante una perturbación tipo escalón con una ganancia de 1, es la siguiente:


Con el comando rltool (lugar geometrico de las raices) se compensa el sistema y de esta forma podemos hallar la ganancia optima y la función de transferencia del controlador:Agregamos un doble cero, para optimizar la respuesta y obtenemos:


Cuya respuesta es la siguiente:

Podemos observar directamente en la grafica que el tiempo de estabilización es mucho mas corto y el sobre paso es de 76.6%Sin embargo esta respuesta se puede mejorar.

Ganancia y función de transferencia del controlador


Ganancia y función de transferencia del PID


El tiempo de estabilización bajo a 0.145 seg. Por lo tanto esta es la respuesta óptima del sistema.


Considere el siguiente sistema de control, en el cual se usa un controlador Considere el siguiente sistema de control, en el cual se usa un controlador tipo PID para controlar el sistema. Para evitar el fenómeno de la reacción tipo PID para controlar el sistema. Para evitar el fenómeno de la reacción del punto de ajuste, se pretende operar la acción derivativa solo en la del punto de ajuste, se pretende operar la acción derivativa solo en la trayectoria de realimentación, a fin de que la diferenciación ocurra trayectoria de realimentación, a fin de que la diferenciación ocurra únicamente en la señal de realimentación y no en la señal de referencia.únicamente en la señal de realimentación y no en la señal de referencia.

1

TiS1

Gp(s) - + +

+ + +

+

+

+

TdS

Kp R(S)

E(S)

B(S)

U(S)

D(S)

N(S)

θ(S)


ciaTransferen deFunción

2494

4249

: tenemosigualdad la de lados ambos acomun factor sacando

4249

: tenemosLaplace de daTransforma aplicando

Matematico Modelo 4249

23)(

)()(

)()(23

)()()()(2

)(3

)()()(

2)(

2

3)(

3

SSSUGp

USSS

USSS

Udtd

dt

d

dt

d

S

SS

SS

SSSSS

TTTTT

El modelo matemático de la planta es el siguiente:El modelo matemático de la planta es el siguiente:


1

TiS1 249

423 SSS

- + +

+ + +

+

+

+

TdS

Kp R(S)

E(S)

B(S)

U(S)

D(S)

N(S)

θ(S)

El diagrama de bloques es:


Por el método de superposición haciendo N(S) y D(S) igual a cero, y según el método de Ziegler – Nichols, establecemos que Ti = ∞ y Td = 0, y obtenemos:

Kp - +

R(s) 249

423 SSS

θ(S)

B(S)

E(S) U(S)



KpSSSKp

SSSKpSSS

SSSKp

SSSKpSSS

Kp

42494

2494249249

4

24941

2494

23

23

23

23

23

23

KpSSSKp

4294

23

R(s) θ (s)


Para hallar el valor de oscilación sostenida aplicamos el criterio de Routh. La ecuación característica para el sistema en lazo cerrado es: 0429 23 KpSSS

El arreglo de Routh es el siguiente:S3 1 1

S2 9 2+4Kp

S1 947 Kp

0

S0 2+4Kp

77.144.0/78.0044.078.00947

KpKpKp



01.99 23 SSS

01.99

01.9)()(9)(23

23

www

jwjwjw

Resolviendo con Matlab obtenemos.>> roots([-i -9 i 2])ans = -0.0000 + 8.9130i 0.4717 + 0.0435i -0.4717 + 0.0435i w = 0.4717


Así el periodo de oscilación sostenida es:

32.134717.022

wPcr

Por el método de Ziegler – Nichols determinamos Kp, Ti y Td del modo siguiente:Kp = 0.6*Kcr = 0.6*1.77= 1.06Ti = 0.5*Pcr = 0.5* 13.32 = 6.66 seg.Td = 0.125Pcr = 0.125*13.32 = 1.67 seg.


Utilizando Matlab para resolver el diagrama de bloques tenemos:

1

TiS1 249

423 SSS

- + +

+ + +

+

+

+

TdS

Kp R(S)

E(S)

B(S)

U(S)

D(S)

N(S)

θ(S)

1.06

1.67S

1

6.66S


Establecemos la funcion de transferencia del controlador PID:

>> c=tf([1.7703 1.06 0.1592],[1 0]) Transfer function:1.77 s^2 + 1.06 s + 0.1592-------------------------- s Establecemos la funcion de transferencia de la planta:

>> Gs=tf([4],[1 9 4 2]) Transfer function: 4---------------------s^3 + 9 s^2 + 4 s + 2


Resolvemos los bloques en serie:>> g=series(c,Gs) Transfer function:7.081 s^2 + 4.24 s + 0.6368--------------------------- s^4 + 9 s^3 + 4 s^2 + 2 s

La realimentacion: >> H=feedback(g,1) Transfer function: 7.081 s^2 + 4.24 s + 0.6368-----------------------------------------s^4 + 9 s^3 + 11.08 s^2 + 6.24 s + 0.6368


Obtenemos la respuesta a un escalón unitario:>> step(H) En la grafica

podemos apreciar que el tiempo de estabilización es muy largo por lo tanto con el comando “rltool” de matlab podemos para mejorar la respuesta y compensar el sistema con una sintonización fina.


>> rltool(H)


En la grafica podemos apreciar que el tiempo de estabilización bajo pero podemos mejorar esta respuesta aumentando la ganancia del sistema



Se puede observar que el tiempo de estabilización bajo de 16.5 a 0.946 seg. Siendo esta una respuesta optima del sistema

Conclusiones:Conclusiones:

•Al aumentar la ganancia del controlador y bajar el valor del cero doble se optimiza la respuesta del sistema.•La ganancia proporcional al incrementarse mejora la velocidad de respuesta del sistema pero se sacrifica estabilidad.•El doble cero al decrementarse disminuye el sobrepaso.•Al variar el doble cero se busca cancelar el efecto de los polos dominantes del proceso para mejorar la respuesta del sistema.

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