Problemas de Ecuaciones No Lineales

EDWIN MARTIN PINO VARGAS, Ph.D. DOCTORIS PHILOSOPHIAE EN RECURSOS HIDRICOS, MAGISTER OF SCIENTIAE EN RECURSOS HIDRICOS INGENIERO AGRICOLA, INGENIERO CIVIL,

ESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA, UNJBG TACNA TELEFONOS: 952298638, 241595, #701907 E-MAIL: [email protected]

METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA GEOLOGICA UNIDAD No. 01: SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

CASO No. 01: ESTADO DE GASES

Formulacin del problema

La ecuacin de estado de Van der Walls para un gas real es:

+

2 = . (1)

Donde:

P : Presin del gas en atm. T : Temperatura en K. R : Contante universal de los gases equivalente a 0,08205 atm-L/gmol-K V : Volumen molar del gas en L/gmol a, b : Constantes particulares para los gases. Calcular el volumen molar V a 80C para una presin P=10 atm, para el gas CO2, cuyas

constantes a=3,599 y b=0,04267.

Solucin del problema

La ecuacin (1) de Van der Walls para un gas real al multiplicarla por V2 y reordenando sus

trminos se puede escribir como:

3 2 2 + = 0 . (2)

3 ( + )2 + = 0 . (3)

De esta manera la ecuacin (3) es una ecuacin no lineal de la forma f(V)=0, la cul puede ser

resuelta usando los mtodos de punto fijo, newton raphson, secante, posicin falsa, biseccin,

etc.

En primera instancia usaremos el mtodo de newton raphson donde F representa la funcin y

D su derivada:

= 3 ( + )2 + . (4)



= 22 2( + ) + . (5)

El algoritmo de newton raphson puede ser escrito de la siguiente manera:

+1 = ()/() . (6)

De esta forma establecemos una formulacin en hoja de clculo Excel para resolver el proceso

iterativo hasta lograr el valor V deseado a un nivel de error preestablecido.

La siguiente hoja se muestra haciendo referencia al contenido de las celdas, es decir se pueden

observar las formulas ingresadas para lograr luego de 5 iteraciones el valor requerido.



De esta forma podemos concluir que el valor del volumen molar de CO2, V para una presin de

10 atm y 80 C de temperatura es de 2,81475 L/gmol. Cabe destacar que solo cambiando los

contenidos de las celdas B2 a B6, podemos hacer clculos adicionales variando presin,

temperatura o tipo de gas.

Ahora plantearemos una solucin diferente, establecemos un cdigo computacional en

MATLAB, para la solucin del algoritmo de newton raphson.

clc, clear; %Datos de entrada P=10; T=353.2; R=0.08205; a=3.599; b=0.04267; E=0.0001; %Proceso de clculo e iniciacin V=R*T/P; d=0.01; while abs(d)>E F=P*V^3-(P*b+R*T)*V^2+a*V-a*b; D=2*P*V^2-2*(P*b+R*T)*V+a; d=F/D; V1=V-d; V=V1; end Vol=V Este programa codificado en MATLAB, arroja como resultado: Vol = 2.8147e+000



CASO No. 02: DEFLEXION DE VIGAS Formulacin del problema

En la ecuacin mostrada describe el comportamiento de una viga uniforme a una carga

distribuida creciente linealmente. La ecuacin para calcular la curva resultante es:

=

120 5 + 223 4 . (1)

Usar el mtodo de Newton Raphson para determinar el punto de mxima deflexin (es decir el

valor de x donde dy/dx=0). Usar L=450 cm, E=50 000 kN/cm2, I=30 000 cm4, wo=1,75 kN/cm.


En primer lugar, para determinar la mxima deflexin debemos plantear que dy/dx=0, esto

garantizara que obtengamos un mximo. Por tanto, la funcin a tratar ser:

=

=

120

5 + 223 4 . (2)

=

120 54 + 622 4 . (3)

Luego de establecer la funcin F, podemos establecer la derivada de la funcin de la siguiente

manera:

=

=

120

54 + 622 4 . (4)

=

120 203 + 122 . (5)


+1 = ()/() . (6)


iterativo hasta lograr el valor x deseado a un nivel de error preestablecido.





De esta forma podemos concluir que el valor de LA mxima deflexin en la viga ser de 0,1141

cm hacia abajo. Ahora plantearemos una solucin diferente, establecemos un cdigo

computacional en MATLAB, para la solucin del algoritmo de newton raphson.



clc, clear; %Datos de entrada L=450; E=50000; I=30000; wo=1.75; K=wo/(120*E*I*L); E=0.0001; %Proceso de clculo e iniciacin x=L/2; %valor inicial d=0.01; while abs(d)>E F=K*(-5*x^4+6*L^2*x^2-L^4); D=K*(-20*x^3+12*L^2*x); d=F/D; x1=x-d; x=x1; end x Df=K*(-x^5+2*L^2*x^3-L^4*x) %calcula la deflexin mxima en x calculado Este programa codificado en MATLAB, arroja como resultado: x = 2.0125e+002, Df = -1.1411e-001 Por otro lado, usando MATLAB, la funcin

clc, clear f=inline('-5*x^4+6*450^2*x^2-450^4'); x=fzero(f,150) x = 2.0125e+002=201,25 cm, lo que resulta rpido y eficiente.



CASO No. 03: FLUJO UNIFORME EN CANALES


En la ecuacin mostrada representa el flujo uniforme en flujo a lmina libre y es conocida

como ecuacin de Manning, en virtud a su creador:

=1

2/31/2

. (1)

Donde:

Q : Caudal en m3/s. n : Coeficiente de rugosidad de manning adimensional. A : rea Hidrulica en m. R : Radio hidrulico. S : Pendiente longitudinal de fondo del canal. Usar el mtodo de Newton Raphson para determinar el tirante de agua para una seccin

trapezoidal. Si se sabe que el caudal es Q=2,3 m3/s, ancho de solera b=1,5 m., talud Z=1,5,

rugosidad n=0,014.


En primer lugar, debemos establecer la forma de la funcin. Por tanto, la funcin a tratar ser:

= 2/3

1/2

. (2)

= 32

1/2

3

. (3)

Como R=A/P

=5

2

1/2

3

. (4)

Luego de establecer la funcin F, podemos establecer la derivada de la funcin de la siguiente

manera:

=4

3 5 4

. (5)



Donde:

T=b+2*Z*h

L=(1+Z2)1/2

A=b*h+Z*h2

P=b+2*h*L


+1 = ()/() . (6)


iterativo hasta lograr el valor h deseado a un nivel de error preestablecido.





De esta forma podemos concluir que el valor del tirante de agua ser de 0,8274 m. Ahora

plantearemos una solucin diferente, establecemos un cdigo computacional en MATLAB,

para la solucin del algoritmo de newton raphson.

clc, clear; %Datos de entrada b=1.5; Q=2.3; n=0.014; z=1.5; So=0.0005; %Proceso de clculo e iniciacin y=b/2; precis=0.00001; d=0.01; while abs(d)>precis A=(b*y+z*y^2); P=(b+2*y*sqrt(1+z^2)); R=A/P; dA=b+2*z*y; dP=2*sqrt(1+z^2); f=A*R^(2/3)-Q*n/sqrt(So); df=(2/3)*A*R^(-1/3)*((P*dA-A*dP)/P^2)+R^(2/3)*dA; d=f/df; y1=y-d; y=y1; end h=y



Este programa codificado en MATLAB, arroja como resultado: h = 8,2743e-001=0,8274 m.

Como ejercicio de uso de las herramientas de MATLAB, proponemos la siguiente solucin:

%f=inline('((b*y+z*y^2)^5)/((b+2*y*sqrt(1+z^2))^2)-(Q*n/sqrt(So))^3'); f=inline('((1.5*y+1.5*y^2)^5)/((1.5+2*y*sqrt(1+1.5^2))^2)-(2.3*0.014/sqrt(0.0005))^3'); y=fzero(f,1) Este programa codificado en MATLAB, arroja como resultado: y = 8.2743e-001=0,8274 m.



CASO No. 04: DATACION PALEONTOLOGICA


En una muestra de suelo, se pretende datar la aparicin de ciertos organismos fsiles. Se

conoce la cantidad de un cierto istopo p, habitualmente C14, inicialmente presente antes de

que el organismo falleciera, sea esta cantidad N14 . A partir de ese momento comienza la

desintegracin isotpica, con una tasa marcada por la constante de desintegracin . Si la

cantidad medida de C14 en el momento actual es NC14(ta), la ecuacin que rige la

concentracin en moles del C14, para un aporte externo es:

= 14 014 +

1 . (1)

Donde, para el isotopo C14: = 0,00012378 /, y = 108/

Sabiendo que NC14(ta)=0,0001 moles y , N14 = 1 . Cul ser la edad del fsil hallado.


En primer lugar, debemos establecer la forma de la funcin. Por tanto, la funcin a tratar ser:

= 14 014 +

1

= 0

... (2)

La cual reemplazando las constantes queda:

= 0,0001 0,00012378 +108

0,00012378 0,00012378 1 = 0

Como ejercicio de uso de las herramientas de MATLAB, proponemos la siguiente solucin:

clc, clear f=inline('0.0001-exp(-0.00012378*t)+((10^-8)/0.00012378)*(exp(-0.00012378*t)-1)'); t=fzero(f,150) La misma que devuelve la siguiente solucin: t = 8.7736e+004 = 87 736 aos.



CASO No. 05: REACTORES DE FLUJO TIPO TAPN


En ingeniera qumica los reactores de flujo tipo tapn (es decir aquellos en el que el fluido va

de un extremo al otro con una mezcla mnima a lo largo del eje longitudinal) se usan para

convertir reactantes en productos. Se ha determinado que la eficiencia de la conversin

algunas veces se mejora recirculando una porcin de la corriente del producto, de tal forma

que regrese a la entrada para un paso adicional a travs del reactor. La razn de recirculando

se define como:

=

. (1)

Suponga que se est procesando una sustancia qumica A, para generar un producto B. Para el

caso que A forma a B para una reaccin autocataltica (es decir que uno de los productos acta

como catalizador o estimulante en la reaccin), es posible demostrar que una razn optima de

la recirculacin debe satisfacer:

1 + (1 )

(1 )=

+ 1

1 + (1 ) . (2)

Donde XAf, es la fraccin del reactante A que se convierte en el producto B. La razn ptima de

recirculacin corresponde a un reactor de tamao mnimo necesario para alcanzar el nivel

deseado de conversin.

Utilice al menos dos mtodos numricos (biseccin y newton raphson) para determinar la

razn de recirculacin necesaria, de manera que se minimice el tamao del reactor para una

conversin fraccional XAf igual a 0,9. La solucin debe incluir:

a) Formulacin en hoja de clculo para los dos mtodos.

b) Cdigo MATLAB para cada caso, e incluir una solucin grafica.

Producto Alimentacin

Reciclante

Reactor de flujo tipo tapn



CASO No. 06: VIBRACION AMORTIGUADA


El desplazamiento de una estructura est definido por la siguiente ecuacin para una vibracin

amortiguada:

= 8 . (1)

Donde k=0,5 y w=3.

Utilice al menos dos mtodos numricos para determinar el tiempo transcurrido para que el

desplazamiento disminuya a 4. Debe elaborar:





CASO No. 07: ESTUDIO DE POBLACION


Muchos campos de la ingeniera requieren estimaciones exactas de la poblacin. Por ejemplo

los ingenieros de transporte o geotcnicos de vas y pavimentos pueden considerar necesario

determinar por separado la tendencia del crecimiento demogrfico de una ciudad y de los

suburbios adyacentes, si la poblacin del rea urbana disminuye con el tiempo segn:

= , + , . (1)

Mientras que la poblacin suburbana crece de acuerdo con:

=,

1 + ,

1

. (2)

Donde: , , , , ,, , , , son parmetros obtenidos en forma emprica.

Determine el tiempo y los valores correspondiente a y cuando la poblacin en la

ciudad sea el 20% mayor que la suburbana.

Los valore de los parmetros son:

, = 75 000

, = 100 000

= 0,05/ao

, = 300 000 personas

= 5000 personas

= 0,075/ao

Para obtener las soluciones usar: Mtodo de la falsa posicin y El mtodo de la secante.

Adems debe elaborar:



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