59
2 4 6 8 10 12 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2

Problemas de Examen Resueltos

  • Upload
    ngodiep

  • View
    238

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Problemas de Examen Resueltos

��������� �� ���������

�� ������� �� ���� ��� �� ����� ����� ��

������������ �� �� � ���������� ����� ���������

��������� ������

�� ��� � � ������ �� � ��� � ���� ���� ��� �

�� �� � ��

�� ���� �� �� �� � �� � �������� ��� ���������

�� ����� �� ������ � �� �!�����

�� "���� �� ����� ��� �������� #�� �� � ������ �� � ��� #�� � � ���

��� �����

�� $� %��� !�� �� ���� ��� � �� &���� �� ������ ���� ���� !�� �� �� �� �� ��� '��!�� � ���� �(� �� �

��� ��������� � ���� � �� � � �� � ���� � �� � � � ��� ��� � � ���� � �� � � � ������� )��

����� � ����� �� ��� ��� ������ �� ������� � �������� �� � � � �� ����� �� � �� #�� ������� ����� �!�� �� ����� �� �� &� �� ���� � � �� �������!*� � �� %��� !�� �� �� ������� �� � ��������� ����

���� ��

�����+��� ���� �� ��� ��

,!�� �� �� ���(

��

-����� ���� �� ������

+��������� � ����� � ���� ��������� ���� �� #�� ���!�� �� ���(

�� �� %��� !�� �������� ��

�!�� �� ��������� �� #�� ���� ����#� �� ����� � �� �� � �� �� ���� � �����

�� .���� ���� ����� ���� � �� %��� !�� ���� /���� �� ������ � �� �!�����

� '�!*�������

0��� ������ � � �� �� #�� � �����

�� �

�� ���

��� ��������� � � �� �� #�� � �����

�� �

�� ��

� +����& � � �1�� !���

-�� ���� � �� � �� � � ����� ��2 � 3 �� �

��� ��

� �� #�� � ����� � � �� ��� ������ � ��� �� ������� ���&� �� �!����&� � � � �� �����& � /�� ��� �4� �� �� �� &��� � � ����� � � �� ������������� ����� �� ���&� �� ���&��� � � � �� �����& 5� /�� � �� ��� � &��� �� � � ���� �� ���&��������� �� ����� � �1�� !��� ������ #�� �� !���� �� &�� �� ��� �� ����� � �� �����& � ��� ���&� ���� � �� �� ������� � �/� ������)�� !��� �� �� %��� !�� ����� �� �(� �� �� �4� � �"� ������ � �� �!���� ���

2 4 6 8 10 12

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

���� �������� ��� ������ � �� ������� ��������� ���� �� ���� ����� � ��� ������ ������� �����������

(

Page 2: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� �� �� �� ��� ������� ����& ��� #�� �� �� ����� ���(

�� �� %��� !�� � ��� �� �!�� �� ���������

��� ������ �� � ������� ���� ��� �

�� (

�� �� ���� �#� &��� � � �� � � �� � ��� �� � ���

�� �� ���� �� �� �� � �� ���� �� � � �� &�� � � � �� %��� !��

���� �

������ � � �

� � � � � ��� � � � � !� � � (

� � �� �� ��� � (�� ����(

�� (�� � � � � � � � (

�� ���� �� �� ���� � ���� � �� ����� � ���� � ��� �

������� (

�� (

�������� �����

�� �� �� � � � �� %��� !�� �� ��� �� ��� ��� � !��� )�� ���� ������ �� %��� !�� ���!� ��� �� ������ ���� ��� �� ��� ����&���� ���� ��� ��� (� � �(���� ��� ��� ���� ��� !�� � %��� �������� ���� �� �/�� �� ����� ��� #�� ���� �� �� ���� �� � �� ��� ������ %������� � � � �� � (�

� +��� �� � �� � � �� +��������� ��� � � ��� ����������

� �����

���� � � �����

� � � �� �

� � �

� �����

���� � � �����

�� �� ������ (�� ����

(

�� (�� �

�� � �

����� �� � � � �

����

�����

������� � �

����

��

� ���

� �

-� ������ #�� � �����

���� � � �����

���� � � � ����� � �� %��� !�� �� ���� ��� �� � � ��

� +��� �� � �� � � (�

� ����

���� � � ����

�� �� �� � �

����� (��� � �

����(

�� (�� �

������

�� � � ��(�

)�� ����� �� %��� !�� ���� !�� �� ���� ��� �� � � (�

���� ���� �/��� �� �� &�� � �� $� %��� !�� �� ���������� �� &���� �� ��� ����&���� ���� ������ (� � �(���� ��� ��� ���� ��� !�� � %��� ���� �� &������ ���� ���� �� �� &�� � � �� � � �� �� � � (�

� -�� &�� � � �� � � �� $� %��� !�� �� �� �� &����� �� #��

� �����

����� ����

�� � �

����

��� �����

���� (�� ����(

�� (�� �

� ����(�

�� ��

� -�� &�� � � �� � � (� $� %��� !�� � �� �� &����� � ���!�� � ��(� � (� �� #��

� ��(� � � ����

��( � ��� ��(�

�� � �

���

�( � �� ���( � �� � ���( � �� ����(���

��

� ����

��( � �� ���( � ��

��� �

�� � � (

���( � �� ����(���� � �

�� (

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 3

Page 3: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� �� �� � � � �� %��� !�� �� ����������� -���� � ����(�� ���������� ��� ��!*����� &��� ����� � � �(� � � ����� �� ����� � �������� �� ���� � �!�� ������� � �� %��� !��� ���& ���������� ��� ������ !�� � �� � ��� �� �� #�� �� ����&�� � �� &���� ��������� ���� ����� �����

���� �� �� � �� ��� (

�� (�� %��� !�� � � � -����� -�� #�� �� ( �� ��� � &� �� �� ����&���

�(���� � �� ( �� ��� � &� �� ��(���� �� � ���

��� �

�����������

��� (

�� (� � � � (

�� � � � (�(� �

�� (� � � � (

'�!*� ����

��������

�� (

�� (� (

��� (��� � � � (

��

�� (

(� �� (

��� (��� � � � (

� ������ !�� &!�� � ���� � � (�

�� � � ( �� %��� !�� �� �� �� &����� � �����

�( � ��� �(�

�� � �

����

��

����� 3����

$�� � ���� � � �� ��� �� �� � � � �� &�� � � ���������� #�� �� �� � � � � � (��� ����� #�� �� %��� !�� � ����� �� ���!����� �� �/� �� � �� ����� ��� � �������� �� !���

�� !�� �� ������� ����� &� �� �������� �� �� ����� �� �� � � � ��� � !�� -����� �� �� #�� ��%��� !�� �� �� �� &����� � � (�

+��� ���� � � ���� � � ( � ���� � � ���� � � (� ������ ������ � #�� �� %��� !�� ������ �������� ���� ���� ���� � � ( � ���� �������� ����� ���� ���� � � (� � ������ #�� ��%��� !�� �������� �� � � ( �� �!*� �� ������ +��� ���!�� �(� � � � ��� � �� �� � -����������� ������ #�� �/� �!*� �� ����� &� �� ���!�� �� �!*� �� ���������

)��� ��� ����� ������� !��� ���� ��� ��� ����������� !�� �!���� � �� %��� !���

-3 -2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

�� �� -�������� #�� �� ����� #�� �� ������ �� ����� ( ���� &���� � ��(��2 �� �%�� �� � ���( �� � ����

�� 8������ �� 0���� ,� � � $� ��� �� 9:�!� ����� �� ��� ��� ����� �� )�� ��� � � 8������ �� ��� ���;

�� ���� �� �� �� � � � ��� � !�� � �� %��� !�� ���� �� ������� � 2�� 3��(� ����

��

��� �����

�� � "������� �� %��� !�� ���� � ��( � �� <!����� #�� �

�(��2 � �����2�� ��� ����� ��� ������� ��

80, � $� ��� � � ���� �� �� ����&��� =�� ���2>�

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 2

Page 4: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� �� ���� ��� �� =�� ���2> � �� &���� �� ��� ���2�� ��� ������ �� !�� �� 80,�

� � ��� ���2� ������2�� ����

���2� � �� � �� �����2�� (� �

�����

����2

2 � �( � ��

����(

�( � ��� ���(

��� �� !��� �� �� ���� �� � �� � ��� � � � ���2�

� "� � ���� �� ��� ��� � � 8����� �� �� �� �� ��� �� �� � ,��$��� ��� ���������

���� � ��( � � � ( �

2� ��

?� � �����

�6

@(� ��

� �( � ���� �

�����

� ��� � � ��� ��

$� ����� ��� !�� ������� ���� ��� ���� ��� ��� � �� �� ����� � � ���2 ��

��(��2 � �����2� � ������2� � ( �

���2

2� ����2��

?� (���??

� �� ����� ����� � & ��� �� ��� �� &���� �������� �� ���� �8!��� �� +����������� � �$� ��� �� �� �� ����� ���2�

������2� � 6

@(� ����2��

�( � ���� ��� � � ��� ���2�

���� �� ���� ��������� �� � � ���� ������ !���

������2� � 6

@(� ����2��

�( � ����

6

@(� ����2�

(�

(�7

(���

(

(�� ������(

��� �� �� ����� �� �� ���� /���� ���� � � � � ���2�

�� +���������� -����� � ���� �� � �� � � � �� � ��� � 2��3� � �(� ��� � ��� 8�� ��� �� ������

#�� (� �� ��

�� �� � � � (� �� � � � (

� � #�� �� � 2�� 3 � ��� 3���� (��� ���������

-����� � ���� �� � �� � ��� �� ��

� � �3 � � (

�� �

��

� � ��3���� ��� (�� � ��(� (�

�� �

��!����� #�� � �� �� ����!�� ��� �� ���� ��3������(� (� �� ���� �� /�� �����!*� ��� ������ � ��������� � � � � � � (��

B

A

A

B

x=1

y=1

y=-1

x=-2

x=0

�� �� ���� �� �� ��������� ���� � �� %��� !�� � � ���� � �

���(� ��� /�� ��� �� ������ � �� �!�����

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A

Page 5: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� "� � ���� ���������� �� ��� �� �������� �� � � ���� �!*� �� �� !�� ��� &������ � � ���� � � ���

� ����

���� � �� �������

��

��� �����

�� $� %��� !�� ���!� ��� � � �� ���� ��� �� ��� �� ��� ��� ���� ��� !�� � %��� ���� ��� ��� ���� ���� �� ��� � ��� %��� !�� ��!*� � !*� �� ���� ���!� ��� � ����� ���� ��� �!��������������

)��� ���� �� �� �� &�� � �� ��������� ��������� �� �� &���

� ���� �3� 2�

2 �

��(� ���� ��� � �� � � �� ��� (�

)�� ����� ���� ���� �� �� &�� � � �� ����� �������

� �� � � �� +��������� ��� �� &��� ����������

� ����� � � �����

��� � ��� ����

�� � �

����

���(� ��

�� � �

����

�(

�� ( � ��

� ����� � � �����

���� ��� ����

��� � �

����

���( � ��

��� � �

������ �

�(

�� (� � ��

)�� ����� <� �� �� &���� �� � � �� B ��� ��� ����� �� &��� ��������� ��� ��� � � � ��������� �� � � � �� �� ����� � ��������� � �� %��� !���

� �� � � (�

� ��(� � � ����

��( � ��� ��(�

�� � �

���

� �( � �������

�� � �

���

��(

�� (����(� � ��

)�� ����� ������� �� �� &���� �� � � (�

���� ���� �� �������!*� � ��� ��������� �� ����� #�� � ���� � � � � � 3�2� ��� ����� !���� �� ������� ��!*� �� �� ��� ���� /�� �������� '��� ���� �� � �� � � �����

� ���� �3� 2�

2 �

��(� ���

�� �� � � � ���� �� � �3�2��� �� � ����� ����� �� � � � ��� 3�2� �� � ���� ����

)�� ����� �� � � 3�2 �� %��� !�� �������� ���!�� �� ����� &�� � �� �� ����� � ��������� � � ��� %��� !�� �������� �� �� �!*� �� ����� &���� � � ( �� /�� �� ����� � �1�� !�� � ��� ��5�� &��� ���� �� #�� �� %��� !�� �� ����� ���� ������� ���� �� ������"�� �!���� � �� %��� !�� ���

-2 -1 1 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 6

Page 6: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� -����������� �� ��� � � ,����� � ��� %��� ���� ���� � �������� �� � ���

���� � ( � ����

3C� � � � � ������� � (� �����

3C�

����

AC� � � �

��������

� ����

���� � �� �������

��� � �

���

�( � �� ��

�� �������� �� �(� �����

�� � �����

� ������

���

� ����

���( � ��

3�����

���

������� � � � 3

( � ��

3� � � � 3

�� � � � 3

�� �� �� ���� ��� �� %��� !�� ���� � �������� ������ ��� ��!*������ � ����� �����!�� ���� ��!* ���� ��� ����&���� � ���� � ����� �����& � � ���&�� ��

�� ���� �� � ����������� �� �� ������� �� �� �� ��� � � ����� %��� �����

�(� � � ���� ��

�� � ( �3� � � ����� �2� � � ���� � �� ����

��� �����

�� ��� � � ���� � ������� ��� � � ���� ��� �� -����� � � � ��� ���� ��� ���� ��� !�� �%��� ���� ���� ���� �� �/� �� � ��� ���� ���� ��� ��!*�������

'� 0��� �����

� �����

���� � � �����

��

����� �

� �����

���� � � �����

��

����� �

�� � � �3 &���� $D����� � ��

$�� � � � � �� '�!*����� 0��� ��� � �� �#� ���� '��!��� �� %��� !�� �� ���� /���� ��� 5���� ��� ������������ � �� ����/� � �� ��� ��� ���� � � �

�������� � ��

'� ��� ��������� <� � ���� �� #��

� �����

��

������� � � �

������

���������� � �

�����

�����

� � ����� �� ���� ��������� ��!*������ ��� ���� � ����� �����!�� ����

'� .��!*�����

� � � �����

����

�� � �

���������� ��

� � � �����

����

�� � �

�����������

������ � �

��������

��� ��

$�� � ����� � � � �� � ��� � ��� ��� ���� �����!�� �� �� �� ���� !�� �� ��!�� �� ���4� �� �

���� ���� �� ���� � ����� ����� � ���� � ���������

� ���� �3�� (

����

���� � � � � �(�3 �� � ���� ���� �� ��(�3����� � � � � �(�3� � � � � �(�3 �� � ����� ���� �� �����(�3�

$�� � �� � � �(�3 �� %��� !�� �������� �� �!*� �� ����� &��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 7

Page 7: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

+����& �� ���&�� � � )� � ��1�� !���

� ����� �3�� � 3�� (

������� � �� �� � -�����

��� � �� %��� !�� �� ���&��� � � � �� �����& �/�� � �� ��� � &�� �� ��� �� �� � �� � �� � ��������� � �1�� !��� $� �!���� � �� %��� !�� ���

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

�� ���� ������ ��� %��� ���� �� �!��� �� �� ������� �� ��!* ��� � �� �� ��� �� �� � ��

��� � � ���� � ���� � (� -��� � � ���� ��� �� �� ��� �������� � ��� ��!*� � !*� �� ����

� ��� %��� !�� ��� �!�� ��� <� � ��� � ����!*��� � ����� � ��� �4�� �� ����(� � �� �(� ���0����� ��� ��!*������� 0��� ����� �� /�� ���� �� ���� �� � � �� %��� !�� �� ��� � /�� �����5

��� �������� �� #�� � ����

�� � ( ��� )��� ���� /���� ��!*������ ���!*����� � � ��� ��

� ����� �����!�� ����

� � � ����

����

�� � �

���

���� � (

�� (

� � � ����

����� ���� � � ����

��

�� � (� �� � ����� � � ����

��

�(� (

��� (�� �� � ��

� � ����

�(� (

��� (

(

� �$D ����� � �

)�� ����� � � � �� ��!*����� ���!*��� � �� %��� !��� +��� ���!��� �� � �� ���� � ( � �� ��

���&� #��� ��� ���4� � �� ��!*������

�� � � ���� ���

� ��� � (��

��� � ���� � � �� � � � � � ��(�� �� #�� � ��(�� � �� � � ��(��� ���� � ���� � � �� � ���� ���� �� ��� �� �� � �

� ����� ��3�

� ��� � (�

���� �� ���� � � �� �� ���� � � ��� (� �����& � /�� � �� ��� � &�� �� ���� � � ���� �� � �(��� �����& � /�� � �� �� �� &�

$� ���&� �������� ��� ����� �� ������ �1�� !�� � ��� ���� /�� ������ ��� � �� � �� ����� � �1�� !�� � ���5 ���� &��� ��� �� � � (� '� ��� ���� ������ ��� �� �� � �� ������ � ����������� �!���� ���

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� E

Page 8: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��� � � ���� � ������ -��� � � ���� ��� �� -����� � �� ���'�!*������� � � �� �� ��!*����� &��� ���� �� #��

� �����

����� � �� � �� � � �����

�����

(��� �$!����� ��� � �

��������� � �

B ������ #�� ����� � � �����

���� � �� �� %��� !�� �� ���� /���� ��� ���� ��� ������������

� �� �#� ��� �� ��!* �� ��� ��� ���� � ��<� � ��� ��!*������ /�� ��������� �� #�� � �

�������� � ��� )��� ���� /���� ��!*������

���! ���� � ����� �����!�� ����

� � � ����

����

�� � �

��������

�� (

� � � ����

��������

�� � �

��������� � (� � �� � �� � � ����

���� � (��

� �$D����� � �� � (

)�� ����� � � � � ( �� '�!*����� .��!*�������� ��� ��� �� &��� �� ���� � �� ����

� ���� ��� (

������ � ����� �

����

��� ���������

#�� �� �(� �� �� %��� !�� �������� �� �!*� ������� &�� � �� �!����&� �� ���� �� � ���&����� ������ <� /�� ������ � �1�� !���

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

��� � � ���� � �� ����

� ��� �� ���� ��� #�� ���� � 3 �� � �� -��� �� � ���� ��� �� -����� ��� ���� ���� ���� �� ��������� ���� �� �� �� ��� ���� �� ����� ���� ���� �� �������5��� ���� �� �� �� �� � �� %��� !�� ��� � � ���� � 3� �� � � ���� �� ��� %��� !�� ���������� ��� ���� � ���� �!� � �!��� �� �������� �� �� ���� ��� ����� ������!� �������� �� �!*� ��������� ����/��

���� � � �����

� �� �� � �� � ����� � � �����

����

(

� �$D ����� � �

)�� � ����!*�� ���� !�� ���� � � �����

� ���� � �� �� #�� ��� �� #�� �� %��� !�� ��� � � �� ��

� ��� ��� ����� �� � �& ����� �� � � �� �� !����� /���� ���� ��� �� �� �� �� � � �!��#�� ��� � ��� � �� +���������������� �� %��� !�� � � ���� � ���� � �� ���

�� ���%��� !�� ���� ��� �� �� �� �� ��� ��� ���� � ���� � �� � (� ���� ���� �� %��� !�� ������ ���� ��� �� ��� �� ���

� � ���� �

����� � �� ���

� ��� �� ���� � � �(� � � �

�� ��� %��� !�� �� �� �� &�� ���� � ���� � �� � ���� ��� ����� �� �� ��� ����� � � ��� � � ����!*�� � #�� ����� �� �4� �� �� �� ����� ��� (�� 0����� ��� ��!*������� .�& �������&��� ����� �� � ��� ���� ���� �� ���

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� @

Page 9: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� '� ��� ���������

� �����

���� � � �����

�� ����

� ��� � ��� �

�������� � � �

������ ���

� ������ � �

����� ��

� � ����

(

� �� ��

(

� � �

$�� � � � � �� '�!*����� ��� ������ ���� � � ��� 0����� �!��� � ����� � � ��� �����&� �������� ��� ���� �����!�� ���

� � � �����

����

�� � �

������ ���

�� �

�� �

��������� ��

$�� � ����� �� ��� �� ���&� �������� ��� ���� �����!�� �� �� �� ���� !�� �� ��!�� �� ���4� �� �� +��� � ����� ����� � ����� � �������� ����� &���

� ���� � �� ����

�3 � �����

������ �� � � � (

�� � � �(

�� �� � � � ����� �

� � � � �� ����� �� � � � �� �

� ��� �� ���

$�� � �� � � � �� � �� � � �

� �������� �� �!�� �� ����� &� � �� �!*� �� ����� &�� ���5���� &������� �� � � � �� ���!� ��� � �� �� &��� ���� ���� �� �� &�� � � �� ���� ���

� ����� � � �����

��� � ��� ����

�� � �

����

�� ���� � (

��������� � �

������ ����� �

�3 � ������ � �

��

� ��

���!��� ������ �� ���� ��������� #�� �� � ����� � � �����

���� ��� ����

��� ���� )��

������ �� �� �� &���� �� �� �� ��� �� #�� � ����� � �� � � ������ ���������� �� � � � ������� � �1�� !�� � ��� ���� &��� ����� +����& �� ���&�� �� )����� � ��1�� !���

� ����� � �� ����� �

��

������ � 3�� �

3

��� � ����� � � � � �!��� � ����� � 3�� �

3

�� � ����

� �

��� ���� � ����� � 3�� �3

�� +���������� � ���� ������ � � ��������� $� %��� !�� ����

�!��� �� ���� ������ �� &������ � � � ��� #�� � � � � �� ���� � �� � ��� ������ ���� !��� ����� � �� �� #�� ��� �� #�� ���� � � �� �����& � /�� � �� �4� �� ��� � &� �� ��������0���� � ������ ��� ��� �� 8������ � F������ �� �� !�� ����&��� �� �4� � �� �� &� ����� �� ����� �� �� ��� ��! �� )����� #�� �� � ���� ������ � � ��������� � � ���� �

� � � � ������� �� �!�� ��� �� � ��� #�� �� �� ����&��� =�(�� �

� >�

���� �� ���� ��� �� =�(�� �� >

���(� � �� ��� �� � � �

��8��� F������� �� � � ��(��(

�� � �� � � �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� ?

Page 10: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

$�� � � ��� � � �� �� ��

�� � � �� �� �� ���5�� ��� �� ����� �� �� &�� �� ���� <� ���� ����� �� �� ����� � � ����� ��!*��� �� ������ ���� ������ ������� �� ��������5� ���� � �� �����& � � �� ���&� �����&��5� #�� �( � � � �

� � ��� � ����(� � � ������5& � /�� � �� ��� � &��� � � ���� �

� � � � ����5��& � /�� � �� �� �� &��� �� #��� �� � ������ � ���& � #�� ����� �� ���&� ���&���� ���5� ���� ��� ���� ��� ��� � #�� �� � � /���� ����� � �1�� !���$� �!���� � �� %��� !�� ���� � �� ���

���

-3 -2 -1 1 2

1

2

3

4

�����������

�� �� '�� ���� �� ������� �� &���� �� � � �� %��� !�� ��� � ����� �������� #�� ���� � �� ������ � �� -��� �� ��� � ����!*�� #�� ���� � � � �� � ��

�� -�� �� %��� !�� ���� �� �

�������������� �� � ��

� ��� �� � ��� ��

� ��� �� � ��� ��

� �� � ��

��(� ���� �� �� ���� �� � �� �� �� ����<.8'� � %���� ������� � �� �!*���� �� �������� ����� � �� �� ������� ���

��3� +������� ��� %��� ���� �� &��� ���� ���� � �� ��� ���� � �� %��� !�� ���� ���

��2� ���� �� �� %����� �� � � � �� %��� !�� ���� �� �� �� �� ���

��� �����

�� )����� ��� ��� �� ������� �� &���� �� � � �� %��� !�� ��� � ����� �� �� ����&��� ��� ���� � �� � � ��� �� #�� �� ����� � ��� %��� !�� ���� ��� � �� &���� �� ��� �� )�� �� ������ � ��� �� ��� #���

���� ���

�� �� �� �

+��� ���� � ���������

�� ��� � ( �� ���� � �� � � �

.�& ������ ��� � � ��

8�� ��� �� ������ #�� ����� %��� ���� � � ���� ��� ������ �� �!��� ��� �������� �� �� ����� � � ��

� � ���� �� ���� � � ���� � �� � � )�� �� ����� ���� � � � �� � ��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (�

Page 11: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� ��� ���� �� �

�������������� �� � ��

� ��� �� � ��� ��

� ��� �� � ��� ��

��(� -� ���� � ������� �� �!*� �� �� �� �� �� � ��� ����� ��

���� ��� ���������� ��� �!*� ��� ���� �������

� ���� ��� ��� ��

� � ��

���� �� � � ����

������� � � ����

����������� �����

� � ����

��������

��( ���

� � ����

���

��( ���

� � ����

���( ���

� �

)������� #�� � ��� ����� ��

���� �� � ��

�� � �� �Æ � � � � � Æ� � � Æ �� ���� ��� � � � ���

���� ��� � ������ �������

�� � ��

����� � ������� �� � ��

� �� �� � ��

� � � ���

� � � Æ � �

$�� � #��� ������ ���� ������ Æ � ��$� %��� !�� ���!� ��� ����� ���� ��� �� �� �� ���

��3� +��������� ��� �� &��� ���� ���� � ���� ��� � ��� �� � ��� ���

� ����� �� �� �������

�� � �� � ������� ��

�����

�� � ���

���� � ��� ������� � � �������

��� � ���

�� � ��

B �� �� �� ���

� ����� �� � � ����

��� � �� ��� ���� ��

�� � �

���

�� �

)�� �� �����

� ����� �� �

����������� � ��� �������� � �������

��� � ���

�� � ��� ��� �� � ��� ��

� ��� �� � ��� ��

� �������� �� ��� ���

� ����� �� �

����������� � ��� �������� � �������

��� � ���

�� � ��� ��� �� � ��� ��

� ��� �� � ��� ��

��2� $� %��� !�� ���� �� ���!� %����� ���� �� �� �� �� �

� ��� ����� ��

��� � �� � � ��� ���� ��� � � ����� ��� � � ����� ����� � ��

� � ��� ����� ��

����� ��

�� � ��� �

)��� �������� �� �!*� �� ����� ��� ���������� ��� � � ��� ���� ������ ��������� ������

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� ((

Page 12: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� ���� ��� ��� ��

� � ��

����� ��

�� � ��� � �

���

��������

�� ������ � �

���

���

���( �����

( ���

)�� �� ����� �� �� ��� �� �!*� �� � �� %��� !�� �� �� %����� ���� �� �� �� ���

�� -�� �� %��� !�� ���� �� �

�������A��

�� � ��� ��� �� � ��� ��

� � ��� �� � ��� ��

�� ���� �� �� ���� �� � �� ���

�� .������ ��� %��� ��������� ��

���

����� ��

���

�� 9�� �� %��� !�� ���� �� %����� ���� �� �� �� ��;

� $� ����� !�� ���� ��� 3 � � ���� ���!*� ������� � �� %��� !�� � � ��� �� �� ������� �� ������ �(� (�� +������� �� ��� ��� � � 8����� � �� ��� ���� � ��� �� �� ����� � �(� (��

��� �����

�� ���� �� �� ���� ��� �� ��� �� � ��� ��� 0����� �� ���� �� � �� ��� ��� ���������� � ��� �

�� ����� ������ �� � � � ���� ��� '�� ���� �� ��� � !���

�� � �� �Æ � � � � � Æ� � � Æ �� ���� ��� � � � ���

���� ��� � ����� A��

�� � ��

���� � A � � �� � �� �

A � � � � � A � � AÆ � �

$�� � #��� ������ ���� ������ ����#� �� Æ � �

A�

����� ���� !�� �� ���� �������� �� ����� �� �!*� �� �� ���� �� ���� � � �������� ��� ���� ��+� ��� � � �� ,���������

��� ��� �� � ��� ��� � � A�� ���� �

�� � A� ���� � � �

��

� A� � � ���

� ���� � ����

� ��� � � ����

A� � �� �������� � ��� ����� ��

���� �� � ��

+���������� �� %��� !�� ���� �� �� ���� ��� �� ��� ��� � ��� ����� �� �� �� ���

�� � ��� �� � ��� �������� ��

���

(3����� � ���� A�� 3�

��� � �����

A� � (3����

��� � ����

����� ��

��� � �

���

���� ��� ���� ��

�� � �

���

��

��

�� A

)�� �� �����

����� ��

���

�������A� � (3����

��� � ����� ��� �� � ��� ��

A � ��� �� � ��� ��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (3

Page 13: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� ��� �� � ��� �������� ��

���

�A�� 3���� � ����

��@���

��� � ����

����� ��

��� � �

���

���� ��� ���� ��

�� � �

���� � �

)�� �� �����

����� ��

���

��������@���

��� � ����� ��� �� � ��� ��

� � ��� �� � ��� ��

�� � �� %����� ���� �� ��� ���� � ��� ����� ��

���� ��� ���� ��� � ���� ���� � � ���� ��

����� � ��

� �

� ��� ����� ��

���� ��� ���� ��� � ���� ���� � � ���� ��

����� � ��

� � ��� ����� ��

��

����� � A���� � ��

� � ��� ����� ��

�A������ � ���

��� � ��

)��� � ���������� ��� �!*� ��� ���� ������ �� � ����

� ����

�A����

��� ��������� �����

��A��

�( �����( ���

#�� ������ � �� ���� !�� � ��� ����� �� �!*� �� �� �� ��� � �� %��� !�� �� �� %����� ���� �� ���� ���

� � ��� �� � ���� �� � 3 � � ���� ���!*� ������� � � � ��� �� �� ������� �� ����� � �(� (�� ����� ��� � � 8����� � �� ��� ���� ���!��

����� � �� � � ��� ��� � (� ����� �

3C�� � (��

+��������� ��� ����� ��� �� &��� � �� %��� !�� � � ����

���� � ��� �� ��

���� �� ��

��

� ����� ����

���� ����

� � ���������

��������

�������������

�� � 2����

3����� ��� �(� (�� � 3

����� � ������� ��� � 2����

3���

���

�A�� � 7��� � 7��� ����3����� �� � 2������7��� � 3�� ����3�����

�� �� ����� � �(� (�� ��� ��� �� ������ #�� ���� � � 3� ���� � � (� �������� �� ��� ��� � �8����� ��

����� � ( � 3��� (� �(

3��� (��

�� �� ������ #�� �� ����� !�� ����� �� ������ � � �� ����� ��� � �� � ���������� ���� %��� !�� ��� &���� � � ��� G/�� � �� ����H�� � �� ����� � ���/� � ��� ,��� & ��� �������� ���!*� ���������� �� ����� !��

� � � � � �� � (

'�!*� �� ������ � ��!�� �� ( �� ��� ��� ���� ��� &���� � � ( G/� � ��� ����� � ���/� � ( ,��)��� ��� � �� ��������� � ���� ������ �� &���� � � ����H�� � ����� ��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (2

Page 14: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� �� ���� ����� �� #�!� ������� !�� /�� #�� �������� �� &���� � %����� �� ����H�� � �� ����� ����� ������� �� ��������� � ������ � �!�� ���

�� .������ ��� ����� ��� !�� � �� ������ � � �� ��������� � (�( G/� � (�3 ,� �� ���� ��)�� ��� � � 8����� � �� ��� ��� � �� %��� !�� ���!*� ������� ���

��� �����

$� ����� !�� � � � � � �� � ( � � ���� � ���� %��� !�� %����� ���� � ��� �� �� �� ������� ������� � �(� (� (�� ���� ��� � ��� �� � � � �� � ���� ��� ���

� � � � � �� � (� � � ��� �� �

� �

�� $� ������� !�� � ������� �� � �����������!� ��� �� &����� ���� �� ���� �� �� &�� ���� ������ �!�� ��� ���� ��� ��� �� &����� �� ���� ���(� (�� )�� �� &�� !�� ���!*� ���

���(� (� � ����� �

���� �� � � �

�� 2 ��

������ �

� ���(� (� � (

���(� (� � ����� �

���� �� � �� �

�� 2 ��

������ �

� ���(� (� � �

)�� ����� ���(� (� � ( � ��! � � � ��" � -��� �� ����� � �(� (� (� �� %���� �!�� �!�� � � �� �������� ������ � �� �������� �� &���� � � � �������� �� ����� ��

�� $� ������ !�� �� ��� ��� � � 8����� � ��� 3 �� �(� (� ��

������� ��I �(� (�� � ��(� (� � ��� =��� (����(� (� � �� � (����(� (�> �

��� =�� � (������(� (��

3��� (��� � (�����(� (� � �� � (������(� (�>

������� #�� ��(� (� � (� ���(� (� � (� ���(� (� � �� )��� ������� ��� �� &��� � �� ��� ������� &���� �������� � � � �������� � � �� ��� �� &��� ���� ���� ����� ���� ���� ����& �� ������� !��� ������������ ���� ��� ����� �� � ����� �� ���� � � � �� ������� &�������

������ �� ��

�� � � � � ��� 2 ���� �� � ��(� 7 � ��

��� 2 �����

������ �� ��

�� � � � �( � ����� 2 ���� �� � ���2 � � 7 � ��

��� 2 �����

������ �� ��

�� � � � ��2 � ����� 2 ���� ��� ���2 � � 7 � ��

��� 2 �����

+�������� ��� ������ ���� ����� ���� �� � �(� (� (� ������� ����(� (� � �3� ����(� (� � �(�����(� (� � �� )�� ����� �� ��� ��� � � 8����� ���������� ���J�

����� �� � ( � ��� (�� ��� (�� � ��� (��� � (�

�� �� ����� �(�(� (�3� ��

��(�(� (�3� � ���(�(� (�3� � ( � ��(� 3���(�� � ���(����3� � (��E � ��(�(� (�3� � (��E

�� ��� � �� �� �� ��� � ��� ��� �� �(

#���� �

� �

���� � (

$�� �� � ��

�� ���� �� �� %����� �� � � � �� %��� !�� �� ���

�� +��������

� ��� ��� ��� � �(� (��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (A

Page 15: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� 9�� #�!� ���� !�� �� �!�� �� �� �� &�� ���� ���� � �� �� ����� ��� ��; 9+�!���� &��� �/�&���� �!�� ��;

��� �����

�� ��(� $� %��� !�� ��� �� �� ���� ��� � �� &���� �� ��� � �� �%����� �����&���� #�� �� %��� !�� �� ���� �������� ����

��� �� �(

#���� � � ���� ��� � ��� �

� �

���� � (

$�

�� �� ��� ������(

#���� �� ��� %��� !�� ���� ��� � �� &���� �� ��� ������ #�� �� �����

� ��� %��� !�� �������� �� ���� �� ������ �� �� ��� ��� ��

��� �� %��� !�� � ��� �

� �

���� � (

$� �

� �

���� $�� ��� ���� ����� � (

� )�� �� �� ���

������� %��������� �� +!������ ���� ���� � ��� �� ���� ��� �� � �� ����� �� ��� ����&���=�� �>� � � � � �=�� �> � � � ��� B ������ #�� ���� �� ���� ��� �� � ��� ��� ��� ����� %��� ���� ���� ���� � ���� ���� ����

�� � ( � ( � ��� ��� �� �� ��� �������

%��������� �� +!������ ���� ���� � ���� �� �� &����� � � ���� � ���������� <!����� #�� �� ��������� ���� � � ��� �� ���� ���� �� ����������� � � �!�� #���������� �� ��� ����

� ��� �

� �

���� � (

$� �(

3

� � � (

����

(

3�

� � (� (�

��3� $�� ������� &�� �� &��� ���� ���� � ����

���� ��

���

(

#���� � � ���� �

(

#���� � ���� �

(

#���� �

���� � (

����� ��

���

(

#����

<!����� #�� ���� �� �� ���� ��� �� ��� �� ���!�� ���� !�� �� �� ���� ����

�������� ������ �� ��� � !�� ���� ���� � %����� �� � ��� �� ���� ���� �� &����� � �� �������� � ��� �� &��� ���� ���� �� ���� ���� )�� �� #�� �� �������� #�� �� %����� ���� �� ���

�� <����� ���� �� &����� �� � � �(�3�(�3�� ���������

% ��� �� � ���� �� � � � ����� ��� ���� ���

�(��3

(��3

�� �

(

#�(

#�

�(��3

(��3

��

�3

#

�� $� �� &�� ���� ���� �� �� �� �� �� �!�� �� �� �� ���� !�� �� �� ����� ���� �� � �(

#

(

#� �

(

#�(� (�� ��� ����� �� �� ���� !�� �� &����� � B �/� &���� �!�� �� ��� ���� �� �

�3

#�

��� �� ���������� �!��������� �� %��� !�� ���� � ���� �� +�������� #�� ���� � #

3�

�� ��� � �� �� �� ��� � ����

��� �� �

��� ��� � ��� ���� (

�� � ����� �� � ��� ��

� ��� �� � ��� ��

��(� ���� �� �� ���� �� � � �� %��� !�� �� ���

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (6

Page 16: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��3� ���� �� �� ���� �� � � ��� %��� �����

����� �� �

����� �� �� ���

��2� 9 �� %����� ���� �� �� �� ��;

��� �����

�� -�� � � ��� � �� '��!�� % �� ��� %��� !�� ���� ��� �� �� � ���� � ���� �(

( � ��� �

�� � �� �� � �� #�� � �� ���� �������� ���� ���� �� �� )�� ���� ������ � � #�3 � � � �#�3��� �� ������ /�� �������� � �� %��� !��� �� #�� � �

�������� � � #�3� � � �� ����� )�� ������

�#�3 � ���� � � #�3� ���� � ���� � � #�3� $� �!���� � �� %��� !�� ���

-4 -2 2 4

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Arctg x

�� �� ���� ��� �� ������� ���� �� #�� �� ��� ������ ��� �� � ��� ��� ��� �� �� ������� � %��� �������� ���� ��!����� #�� ���� �

����� �� ��� %��� !�� ���� ��� �� ��� �� ����� � ���� �� � ��

�� ������� � !���� �� �� �� ������� ����� ���� ���� �� ���� �� � � ��� �� �� �� �� ��� ������ ���� /�� #�� ��������� � �� � �

�� ����� ����� �� � � � ��� ��� )�� �� ��� � !�� � �!*� ��� ����

�#� &��� � �������

�� � �� �Æ � � � � � Æ� � � Æ �� ��� ��� � � � ���

��� �� � ��� � ��� ���� (

�� � �� � �� � �� ���� (

�� � �� � #

3��� � ��� �

#

33� � �

$�� � #��� ������ ���� ������ ����#� �� Æ ��

#� �� ������� !��� �� ���� !�� ���� ��� ��

�� �� ��� � ��� ����� �� ���� ��� �� ���

�� � ��� �� � ��� ��� ��������

����� �� � 3�

�����

(

�� � ��� �� � ��

��� � ���� � (

�B �� ��� ��� �� �� &�� ���� �� ���

����� �� � � �

���

��� ��� ��� ��

�� � �

���

�� ���� �(����

�� � �

���� ���� �(���� � �

$�� � �������

����� �� �

��� 3� ����� (

�� � ��� �� � ��

��� � ���� � (� ��� �� � ��� ��

� ��� �� � ��� ��

)�� � ���� � �� ��� ��� �� ���� �� &�� ���� ���

����� �� �

��� 3� ����� (

�� � ��� �� � ��

��� � ���� � (� ��� �� � ��� ��

� ��� �� � ��� ��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (7

Page 17: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

'���� �� &��� ��� ���� ���� �� �� � ���� ���� '��� ����� �� ���� �� � � � �� �� �� ���� ��� � ���� � ����������� �� �������� � �� )��� &�� � � �� ���� ��� �� ��� ��� /�� #����������� � � �

�� ����� ������ �� � � � ���� ��� '�� ������� �� +� ��� � � �� ,�������� ��� ��

���� � � �������� ���� ���

��& ��� �� & ��� ��� � � � �&�� ���� � �&� � �

��� � �

�� ����� ������ �� � �

��� ��� �� ���� � � ������� � � & ��� �� � � & ��� � �� ���� �� ����������

���� ��� � � 3& ��� ������ � �

�� �� ��

����

� � 3& '(� ���� � �

�� �� ��

���� �

3& '(� � � � �

� ���� � (

&�� � �

����

� &�

& � ( � �

� �

�� 3&�#�3 � (� � � �&�

� ���� �� � ����

� �&� � � ����

3&�#�3 � (� � �� �������� �� �������� #�� � ��� ����� ��

���� �� � ��

)�� ������ ���� �� �� ���� ��� �� �� �� ��� ����������������� �� �� �� ��� )�� � ����!*�� ���� !������ �� �� ���� ��� �� �� �� ��� � ��� ����� �� ���

� �� ������ �� ��� � !�� ���� ���� � %����� �� � � �� �� �� ��� �� ���� ��� � �� &���� ���� �� ��� � �� ����� ��� � ��� �� &��� ���� ���� �� ���� ��� �� �� �� �� ��� ���� ����� �� ���������� ��� ������ �� %����� ���� �� �� �� ��� $� %����� �� � � � �� ���� �������� �� ��� #�� �� ��� � !�� ���� ���� �� ������ ���� !�� �� ���� � ��� ��� � ��� ������ ��� � ���� ����� )�� ������ �� %����� ���� �� ���

��� ��� ���� ���

������ (���

��� (� � ��� � ��� �� � �(� ��

�� � ��� �� � �(� ��

�� ���� �� �� ���� �� � � �� %����� �� � ��

�� +������� �� �� &�� ���� ���� � �� %��� !�� �� �� ����� � �(� �� �� !�� �� ���� !�� �� &����� � �(� (��

�� -����� ��� �� ���� !�� � �� &���� � �� �� &�� ���� ���� �!*� �� �� ��� ���

� /����� ��� ����� ���� �� ����� ��� ���� � � �� ����� ������ � � ���� �� �� �� �� ���

��� �����

�� �� �� � � � �� %��� !�� �� �� � ��(� ���� ������ #�� �(� �� �� �� !�� �� ����� #�� ����� ������ ���� � �� %��� !�� ��� ����� '� � ���� � �� ���� ���� � %����� ���� �� �� � ��(� ������ ��� ��� ���� � %��� ���� ���� ���� � %����� ����� �� �/� �� !��� ���� ���� ���� ������ �� � � �� %����� �� � � �� �(� ���

� $� %��� !�� �� �� ���� ��� �� �/� ������ �� #�� �� !�� �� �� ��� �� � � �� ����� �� �%������� �������� ��� � � ��� �� !�� ��������� �� �����!�� ��� � � )��� (�� #�� ����� ��� �(� ���

� ���� � � �!� ! � " ���� # �

�� � (���

��� (� � ��� � �

���

)��� (�

�( � )���� � (� �

)

( � )�

���� �������� ����� � �� ��������� � ��� ��

� $� %��� !�� �� �� %����� ���� �� � �(� �� ��� #�� �� �� ���� ��� �� �/� �������

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (E

Page 18: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� ��� �� &����� � �(� (�� +��� �� %��� !�� �� �� %����� ���� �� �(� �� �� �� ���� �������� ���� &�� ���� ���� �� �/� ����� ��� ���� �� &����� �� ����� ��� ����� /�� #�� �� � ����� ��� � !�� %����� � �� &�� ���� ���� ��� �� &����� � ���� !�� ������ ���� ���� ���

� �(�3�(�3�

��

� �(� �� � % ��(� �� � � �

���

��� � * ��� ��(� ��

*�

��( �*�3� � �

*�3�� ��(� ��

*�

� � ����

*��3�

*�3

�*��3�

�(�3

�� +��� �� %��� !�� �� %����� ���� �� �� �� ��� ������ �������� �� !�� �� �� &�� �� !�� ����#� �� ���� !�� �� � ���� �� &����� �� ���� ����� ���

$� ���� !�� � �!*� �� ���� � ���� �� �� ������� �� &����� �� ����� ������ ��� � �� &���� ��� �� &�� ���� ���� �!*� �� �� � ����� �� � �� ���� ����� ����� �� � �%����� ��� %����� ��� ���� (�� �� #��

%����� �� � � ����

���� ��� ���� ��

�� �� %����� �� � � �

���

���� ��� ���� ��

�� � �

���

��( � ���� (

)�� ����� �� ���� !�� � �!*� �� ���� � ���� & ��� �� ��� �� &����� ����(�� � �� &���� � ���� &�� ���� ���� �!*� �� �� �� �� �� �� � ����� �� � �(�

� �� ����� ��� ���� �� �� �� �� � ��� ��� ����� !���

K � � ���� �� � %����� ����� �� �%����� ���� � �� �� � � � �

"� &����� ������ �� ����� & ��� �� ��� �%����� ��� %����� ����(� � ��� (��(�� -� ��� #���� ����� !�� � �� ����� ������ � �� ������� � ��� �� ����� ��� �� �� ���

��� �� � � ��� �� �� � ���� (��(� �� �� ��

� � �� � � �

��� ��� � � �� �� �� ��� � ���

���� �� �

��� ���� � ��

�� � ��� ��� �� � ��� ��

�� ��� �� � ��� ��

�� ���� �� �� �� � �� ���� �� � � %����� �� � � � �� %��� !���

�� -�������� #�� %������ �� � %������ ��� ���� ��������� 9+����� �� �� ������� � ��/L��������� �� ���� � ��� �� &��� �� �� �����; ��!����� �� ����������

���� �����

�� )�� ��� � !��� �� �� � � � � �� ��� ���

�� ���� ��� � %����� ���� �� �� � ���� ���� ��� ��� ���� ��� !�� � %��� ���� ���� ���� � %����� ����� �� �/� �� !��� ���� ���� �� ���� �� � �� ��� ��� '�� ���� �� �� ��� � � ����������� ��� �� ���� � � ��������

��& ��� �� & ��� ��� � � (

3 &� ����3�� ����3�� � (

3&�

������� �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (@

Page 19: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

)�� ������ � ��� ����� ��

���� �� � � � ���� ��� � ��� �� � �� #�� � �� ���� ��� �� �� �� ���

<!����� #�� ���� �������� ���� !�� �� ���!*� /���� ������� ����������� �� #����������� � ��

�� � ��

���� � �� ������ � ��

�� � ��

����� � ��

� �� �� ����� ���� �

0����� #�� �� �� &���� �� �� �� ���

%����� �� � � ����

���� ��� ���� ��

�� �� %����� �� � � �

���

���� ��� ���� ��

�� �

$� %��� !�� ������� ��� ���� !�� %����� ���� �� �� �� ��� �� #��

� ��� ����� ��

���� ��� ���� ��� �%����� ��� �%����� ����� � ��

� �

�� �%����� �� #��

���� ����� � ��

� �� � ��

�� � ��

���� � �� ��� � ��

� � � � � � �� ����� ���� ��

�� $�� �� &��� ���� ���� ���������

%����� �� �

���� � � A���� � �

��� � ����� ��� �� � ��� ��

�� ��� �� � ��� ��

%����� �� �

���� � A���� � ��

��� � ����� ��� �� � ��� ��

�� ��� �� � ��� ��

+��������� ��� �� &��� ���� ���� ������� � �� ��� ���� �� �� �� ���

%������ �� � � ����

%����� ���%����� ��

�� � �

���

��

� � � � �(

%������ �� � � ����

%����� ���%����� ��

�� � �

���

� � � � (

-� ��� #�� %������ �� � %������ ��� ���� �� ������ � � ��� ������ �� !�� ��� �� �������� ��/L���� ����� �� ���� � ��� �� &��� �������� � /��/�� ��� �� �������� #�� /��������� �� ������ ����� ��� #�� ��� �� &��� ������� %������ �� � %������ �� /�� � �������� ����� ���� �� �� �� ��� �� �%����� &����� #�� ���� � � ��� � ����� %��� ���� �� ����� � � �� �� �� �� ��� )��� ����� ������������� #�� � � �

�� ����� ��%������ ��� ��4��� ����

�4��� � � �� � ��� ��������� !�� ���� %������ ����

%������ �� �

����� � ?� �� � ?��� � ��

��� � ����� � ��� �� � ��� ��

�(� � ��� �� � ��� ��

�� �!*� �� ���� �� �� ��!* �� ��� �� ��� �� #�� ��� �!*� ��� ���� ������ �� !�� ������ � � �� &��!*���� &�� �� ��

� ����������������

%������ �� � � ����

���( � ?�� � ?� ����

���( ������

( � ?�� � ?� ���

�( �����

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� (?

Page 20: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��� ��� �� %��� !�� &����� �� � � �� �� �� �� ��� ���� �� � ������ ��� ����� ���� ���� �� ���� �����5����� �� �� %��� !�� �� � �

� �� �� ��� � ���

����� �� �

��� ���

�� � � � �

�� � � � �

� � ���� �� ��� %��� !�� ���������� �� � �� �� � �� ���� #���

� ����� �� � �� � ���!�� �� �� %����� ���� �� �� �� ���

� % ����� �� � (� � � �(�3�(�3�� � %������ �� � �� � � � �

(�3�� (�

3��

�� � ��

�� +������� ��� �� &��� ���� ���� � �� �� �� �� ���

�� +�������� #�� � �� %����� ���� �� �� �� ���

�� +������� %������� �� � %������� ���

��� �����

�� +��� �� �� %����� ���� �� �� �� ��� ������ ��� ��� �� &����� �� ���� ���� �������� �� �� &���� �� �� �� � ���� %��� !�� �� ����#� �� ���� !��� ���� ��� �� �� &����� �� ��� � � �� �� &�� ���� ���� �� �� �� ��� % ����� ��� & ��� �� ��� �� ������� ������� � ��� &������� ������ ���� �

% ����� �� � ������ �� � ������

��� ��� � �

+� ������

��� ��� � �

+� � �+� �� +�

��� � ������

��� �� � � ������

��� ��� +��� ��� &������� � ���� !�� � �(�3�(�3� � � �

�(�3�� (�

3� ��� �� ��� ��� ��� ������� &�� �� &��� ���� ������ �� �� �� �� ����

% ����� �� � �(�3��

(�3�

����3

� (

%������ �� � �(�3��

(�3�

����3

� �

����� �� � � � �

�3

3

)�� ����������

��� �� �

�3

3�

�����

��� ���

�� $� %��� !�� &����� �� ���� �� � ������ ��� ����� ��� ���!� %����� ���� �� �� �� �� � �� ��� ���%��� ���� ����������� �� � ��� ������� #�� ����� �� �� %����� ���� �� �� �� ��� $�� � ����#��� &�� � ����� �� �� %����� ���� �� �� �� ���

� ����� �� �� ���� ��� �� ��� ��� �� �%�����

����� ��� � � ������ ���������� ������ �

��

� ���� ����� ���� �

� ����� �� �� �� &���� �� ��� ���

%������ �� ������

��� �� � � ����

����� ��� ����� ��

�� �

%������ �� ������

��� �� � � ����

����� ��� ����� ��

�� �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 3�

Page 21: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� '��!�� �� ����� ��� � ��� �� &��� ���� ���� �� ���� ��� �� ��� ��� �� �%����� ��������5��� #�� %������ �� �� ���� ��� �� �� �� ���

%������ �� ������

��� �� �

�� ����

��� � � �

�� � � �

B �� � ��� ����� ��

%������ �� � �� �� #���

%������ ��� � � � ���������� �

����� � ��

� � �� ����� ���� �

)�� ������ ��� �� ��� � !�� ���� ���� � %����� �� � � �� �������� #�� ����� �� �� %����5� ���� �� �� �� ���

�� 8������ #��

%������ �� ������

��� �� �

�3� ����

��� � ����

��� � � �

�� � � �

���������

%������� �� ��

��

������

���� �� � � �

���

%������ ���%������ ��

�� � �

���

� ��� �� �

�� (

%������� �� ��

��

������

���� �� � � �

���

%������ ���%������ ��

�� �

�� #�� %������ �� � � � %������ ���

��� �� -�� �� %��� !�� � ���� �� � ��� � ������ � �� � ��

� � +�������� � ����� �� � ����� �� � ����� �� �� ������� #�� �� �������

� � � � � ��� �� � � ��� �� �������� �

�� +������� � ��� ����� ��

�������

�� �� ��� � � ������ #�� ����� ��� �� ����� ��� 3��

��� �����

�� � � $� %��� !�� � ���� �� �� �� �� &��� ���� ���� � ���� ��� !������ ���� ���� �� ��� ������ ����� �� &�� ��� �� ������� � �L���� ����� �� ���� � ��� �� &��� �������� )�� ������ ����� �� � 3�� A����

���� � ��� ���� �� � ���

� � '�� ���� �� �� �� � �� ������ ��

��

$�

$��

��

$�

$�� � ���

� ��3�� � 3�������� ��� �� ��� � 3���

����� ��� � � ��� ��2 ���� �� 3�

�� #�� �� � �� � ���� �� ���� � � (�

�� $�� ������ #�� ����� ��� ��� 3� � ���� � ����� !�� � � ��� 3� )�� �����

� ������������

������

�������

�� � �

���

�������� � 3��

�� � �

���

���� � 3�

�� 3

��� /���� �� � ��� #��� ����� ����� �� ��������� � ���� ��� ��� �!�� ��� �#� &��������

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 3(

Page 22: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��� $� ����� !�� � � ��� � � �� ���� � � ��� � � � ���� ���!*� ������� � ���� %��� !�� %����� ����� �� � �� �� ������� �� ����� � �(� �� (�� �� � �

�� ����� !�� �� ����� ��� ���� � �� ������� � � ���� ���� �/� ������

�� - ���� !�� ���� �� ���� �� �!��� �� �� �� &�� ���� ���� � �� � � � &���� � �/� �� &���

�� - ����� !�� ���� �� ���� �� ����� �� �� &�� ���� ���� � �� � �

��� �����

�� $� ����� !�� �� ����� ��� ���� ��� � ( � ���(� ����� (� � ���(� ���� )�� �� &�� !�� ���!*� ���

���(� (� � ����� �

���� �� � 3� ���� �

2 � � ��� �

������ �

� ���(� �� � �

���(� (� � ����� �

���� �� � ��� � � 3�� ��� � ��� � � ��� �

2 � � ��� �

������ �

� ���(� �� � � ��

)�� ������ �� ����� ��� ���� & ��� �� ���� � � 2 � 2 � ��

�� $� �� &�� ���� ���� � � ���� �� �� �� ����� �(� �� �� �!�� �� �� �� ���� !�� �� &����� �� ����� ���(� �� � ���� �

� �� � �� &���� �� �� �!���� � �/� &������ ���(� �� � �� � <!�����

#�� �� �� &�� ���� ��� �!�� �� �� ������� �� ��� ���� !�� �������� �� �4� � �

�� ��� � �+�� +�� �� &����� �� ��� �� ���������

% ��(� �� � ���(� �� � � �(

2+� � � �� +� � �

)�� ����� �� �� &�� ���� ���� �� ����� �� �� ���� !�� � � �+�� �� � +��(� ��� ��� +� � (�

��� ��� �� ����� � �A� 2�� ��� &������� � �6� (3� � � � �2� A�� � ���� !����� �� %��� !�� � � �� �� �� ���

#��� ��� � �� %����� ���� �� � � ��� % ��� � � � 3

(2� ��� %���� � �

3

6�

M��� ����� ��� ������ ���� #�� �� ����� �� � ��

�� +������� ���� ��

�� )����� #�� �� %��� !�� � � � �� � �� ��� ���� � ����� �� (� �� �� &���� �� � � 3� � �����������3��

�� +������� �� �� &�� ���� ���� � � Æ � �� � �� !�� �� ���� !�� �� &����� � � �(� (��

��� �����

�� ��� ���� � � ������ +��� �� %��� !�� ���� �� �� %����� ���� �� � � �� � ��� #�� % ��� � �

���� � � � � �������� %���� � � ���� � � � � � +��� � (2 � � � 6� �� � ����

% ��� � �6�

(2�

(3�

(2� � 3

(2

%���� � �2�

6�

A�

6� �3

6

����� �� � � 3� � � �(

$�� � ���� � � �3��(���� $� %��� !�� � �����N�� ��� �� ������ � !�� � � � � ���� � � �� �� �� ��� ��� � ���� ��(��

���� ���

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 33

Page 23: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� � �� � �

� � ���� �� (� � ����� �� (�

���� � �� Æ ���� � � =���> � ����� �� (�

+��� �� %����� ���� �� ��� �� �� � � ��� ���� ������ �� � � 3�� � � �� %����� ���� ���3� � �A� 2� � � � ��� �� �� �� � �� ������ � � � Æ �� �� � ��� %����� ���� �� � � 3� � ���

���3� � ,����3� � ,� ��3�� � ,�3� � ����� �� ���� �� ��

3�(

���

� �3� �(� ��

A(

�� E

�� )����� #�� �� ��� ���� �� ���� ������ �/��� �� %��� !�� ��������� �� Æ �� � �� �� ��

)����� #�� � �� %����� ���� �� � � � � �� %����� ���� �� ��� � � 3� �������� ��� �� �� �� � �������� �� Æ �� �� %����� ���� �� � � � ���!���

,��Æ���� � � ,����� �� � ,� �� � � ���3� � ���� � � E � �3��(� � �(A��E� � ��� Æ ���� �

�������� ������ ��� ��� �� �� ���� ���� �������� �� �� &�� ���� ���� � ���� �� � �� !���� ���� !�� �� &����� � � �(� (�� ���������

%��� Æ ���� � � ��� Æ ���� � � � � � �(A��E� ��

������

�� �E

�3

3

��� ��� �� %��� !�� ���� �� �

�����

�� � ��� ��� �� � ��� ��

�� ��� �� � ��� ��� ��� � � �� � � ��

�� 0������ � � ���� #�� ���� �� ��� ���� ��� �� �� �� ���

�� 9�� %����� ���� ���� �� �� �� �� �� ���� � � 2;

�� )��� � � 2� ��������� #����

� ��� �� � ��

����� �� � +� �

��

����� �� � +�� ��� �� �� &����� �

���� !�� �� ��� � �+�� +�� � � �� ���� �� M��� ���� ������������ ��� #�!� �� �� &�� ��� ��

�����

��� �����

�� )��� #�� �� %��� !�� ��� ���� ���� ���� �� �� � ���� ��� �!*� ��� ���� ������� � /������ ���!*� �� �� �� ���� !�� � � ���

� ����

������� � � ����

��

�� ������ � �

���

����

( ���

- �/� �!*� �� &��� � � � � 3� �� � � � 3 � ����� � � � 3� )�� ������ ���� #�� � ��� ���� ���� ��

������� � #�� � � 3� 0����� #�� �%��� &������ �� �� ���� �/�� &������� "���� �� �� ������ � �� � �� �� �� ���� ����

���� �� � � ��� � �

� ��� ��� ��� ��� )�� ������ � �� ���� ��� �� �� �� �� � � �!��� � � � 3�

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 32

Page 24: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� )��� &����� ���������� ��� �� &��� ���� ���� �� �� �� ��

��

����� �� � � �

���

���� ��� ���� ��

�� (

��

����� �� � � �

���

���� ��� ���� ��

�� �

)��� #�� � ��� %����� ���� �� �� �� ��� ��� ��� � !��� ��� &�� ����

� ��� ����� ��

���� ��� ���� ��� ( � �� � � ���� � ��

� �

'/��� � ��

� ��� ����� ��

���� ��� ���� ��� ( � �� � � ���� � ��

� � ��� ����� ��

� ���

��� � ������

"���� ���� ���� � � �� �� �� �!*� �� ����� ��� ��� #���

� ����

� ����

��� ���������� � �

���� ����

� ��( �������

- �/� �!*� �� �� �� ���� �� #�� ��� ��������� �� �� �� �� �� �� �� &��� � ��

���������� � �� ��

&��� � ��

���������� #�� ��� &������ �� ���� ���� ����#� �� � � ��� '� �� �� �� � �� ��� � ���

�!*� ��� ���� ������� �� �!*� �� ���� �� �� ���� � ��� ������ � �� �� %����� ���� �� �� �� ���

�� )�� ��� � !��

��

� ��� �� � � �

��

���+�� �+��� ���� ��

�� � �

��

���@

���(�A � 2�A��

(

@

)�� ���� ������

����� �� � +� � ��

����� �� � +� � +� �

(

3

��� �� #�� �� �� �� ��� - �/� ���� �� &�� ��� � ����� #�� �� %��� !�� ��� %����� ���� �� ������� �� ����� !��� ���� ���� �� �� ��� �� �� ������� �� /���� & ��� #�� � �� �� %����� ������ �� �� ��� ��� �� #�� �� ���� ��� ����� ��� ��������� $� ���� ���!*� ����� ���� �� /���� �� �� �� ���� ����� � /��/�� �� ���� �� �� ��

����� � �� �!���

��� �� ��� ���� ��� � �

�� (� ���� � ��� ��� ��� %��� !�� ��� #�� ��� � �� ���� � (� ����� � A�

������ � 7 � ��� ���� � ��

��(� +������� �� ��������� � ,�$��� � � ���� A � ��� %��� ���� ���� � ����

��3� +������� �� - � � ���� #�� ���� � � ����� ���� ��� �!�� ��� �#� &������� �� � � ��

��2� �� ��� #�!� � �� � ����� �������� �� %��� !�� ���� �� � � � � ������������� �!��������� ���� ������� � �/� ������

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 3A

Page 25: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� -�� �� ��� �

�����

��� ���

��� � ��� � � �� � � �� ���� �� �� ���&�� ��� � ��������� � ��� � ������

�� !�� ��� &������ � ��

��� �����

�� ��(�

���� ��� � �

�� (� ��� �� ���� � � � ��� � �

� ���� ��� � 3�� (

��� (��� ���� �� � ���� � �( � ���� � �

� ����� �A

�� � (��� ����� �� � ����� � �A � ����� � �

� ������ ��(3

��� (� � ������ �� � ������ � �(3 � ������ � �7

� ��� ���� �A@

��� (�� ��� ���� �� � ��� ���� � �A@ � ��� ���� � �A@

$�� ���������� � 8����� � ������ ���� ����

���� � ��� � 3� � ���� ��� � �� 3�� � �� �����

��3� ���� � � ����� ��� ��� �!�� ��� �#� &������� �� � � � � � � �!��� � � � ����

����

�������� (

� ����

����

� ����� � � �

���

��� � 3� �����

� ��� 3�� � �� ������ � ( ��

�- � 2� � �(

��2� $� %��� !�� ����� �� �� ������� �� �� ��� � ��� �� ��������� ���� ����� � � �� %��� !��

���� � ��� � 3�

#�� � ��� �� �� �� �� �� ����� � �1�� !���

�� ��� � � �� � � ��

�����

��� ���

���

(

(��

3�� (

2��

A��

(

6��

7�� (

E��

@��

(

?��

(��� (

((�� � � � �

�����

��(����

�3�� (��

B ���� ������ �� ���&�� ��� � �������� � ��� � ���� � ���� !��� �� ��� �� #�� �� ��� ��� ����������

+��&�� ��� � ��������������

�� ������

��������

"� � ���� �� �� ��� � � )� �� /� ��

� ����

�� �� � � ����

��

�3�� (���

(

3�� ���

)�� �� ����� � � � ( �� ��� ������

�� �� ���&�� ���� � � � � ( �� &�� ����� )�� ����� �� ��� �

�� ������������� ���&�� ���� � � � �!��� � � � � (�

+��&�� ��� � ��� � ����� "� � ����� �� �� ��� � � $� �� ��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 36

Page 26: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

���� � �������� � �

������� � �� �� �� ����� ����

� ����

�� � � ����

�������� � �

����� �������

�� �� ���&�� ����� �� � �� � � �

)�� �� ����� �� ��� � �� � ����� ���&�� ����� ������������� ���&�� ���� � � � ( � ��� � ����5����� ���&�� ���� � � � (�

��� �� +�������

�!� � !

! � � !�

���

�� �� ���� ����� ��� �� %��� !�� � � ���� � ���� �� �� ������� �� �� �� ��� �� ��� ��� � �,��$��� � � ���� 3� �� � ��

� � -�� ��� ���� � � ��� #�� �� ����� ����� � ��� �/� ����� ��� !�� ��� �%�� �� � ����36�

� � "� � ���� �/� ��� ��� �� �������� �� &���� ����� ��� � �����3��

��� ������

�� 8�� ��� �� ������ #��

!� � ! ����� � �! ��� � !� � !� � �(I ! � � ! ����� � �! ��� � ! � !I !� � ! �� � �! � � !� � !� � �(�!� � !

! � � !�

���

��( � !

( � !

���

���( � !��(� !�

3

���

�3!

3

��� !� � �!

�� $�� �� &��� � ���� � ���� ����

� ���� � ���� ����I � ����� � ��������� �� ����

�I � ������ � ����

����� �� 2 ���� ����� ����

�B �� �� �� �� ���� � � ���� � � ����� � (� ��� �� #�� �� ��� ��� � � ,��$��� � � �� ��� ������!��

����� � ( � ����

3

)��� ������ �� ����� �� &���� ���������

.��� � ����� ������ ������2C

������ � � � ��� ��

.��� � ����� ������ ������2C

������ ��������� !

����� � � 2 ��� � ��� � � ��� �

�2C

��

����� ��

������� !��7

���� ������ � � 2 ��� � ��� � � ��� ��� � ������� !7

���� ������� ���� 2 ��� � ��� � � ��� � � � ����� ��� ��� �� ������ #��

����� !�� � � � 2� ��� � � ( � ��� � � (� �������

.��� � ����� � (6

7 � � �

6

3 � �

� #������� #�� ���� ����� ��� �%�� �� � ����36� ����� � 6

3 � � � ����36� � ��� ����� � �

������( � ��(�

���� �������� � � ��� #�� ���� &������ � � ����� #�� � � ��(� �� ��� ��� � � ,��$��� � ���������� �� � �� %��� !�� ���� ��� �� ����� �%�� �� � ����36� �� ���� ����� ���� � � ���3 � ��(�

�����3� � ������3� � ( � ���3 �����3��

3� (��3�3� ��� ������3� � ����36�

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 37

Page 27: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��� ��� �� %��� !�� � � ���� � ��� /������"���

�� +������� � � / ���� #�� � ��� � �� �!*� �� �� � � �� 2/ � �� ����� � �1�� !�� �� � � �� A/����� �� � �������� ��� ��� ���� ��!*������ � �� %��� !�� ����� ��

�� ��� � � ���� ��� #�� � ����� �(

( � ��� �� � �(� � ��� ��(� � (� � � ��(� � 3� ������ �� )�� ��� �

� 8����� � ���� 3 � ���� �� �� � (� � ������� ��� �/� ��� ��� � ��� ����� ��� !�� ���2�3�� ������� �� ����� ����� ��

��� �����

�� -�� &���� � ���� � /�� � /� � (�����"��I � ����� � /��� � /� � 3�����"��� )�� ��� ��� � ����������� �� � ������� � � ����� � �1�� !��� ������� &������� �� � ����

� ���� 2/� � � �� ��( � /�� 2/� � ( � �� ����� A/� � � �� ��( � /�� A/� � 3 � �

��� � � / � (

������ !�� � �� #�� �� ��� � ����!�� � �������� / � �(�� '��!�� ���� ����� &������� �� ���������� ������� &�� ��� � ���� ���� ����� ����� � �!*� �� �� �� ����� � � 2/ � �3� � ����3� � ������ � ����� � �1�� !�� �� �� ����� �� A/ � �2 � � �����2� � ��

$� %��� !�� ����� � ��� ��� ������ � � ���� � �(���������� ���� %��� !�� �� �!� ��� � �� ����� � �� � ��� �� ���� ��� � �� &���� �� ��� � ���� ��� ���� ��� !�� � %��� ���� ���� ����� �� &����� �� ��� )�� ������ �� �� ���� ��!*������ &��� ������ ���� ���� ��� /�� �������� � ������ �����

'�!*������ ��� ���������

� ����

�( � �������� ��� �

�����( � ����( � �� � �

��� � � � �� '� ����� /�� ������ ���� �� ��

'�!*������ .�� ����� <� /�� ��� /���� �� ������/�� ���������� 0����� ��� ����� �����!�� ����

� � � ����

�( � ������

�� � �� ��� ��5

���!�� �� �� �� ���� !�� �� ��!�� �� � � � ��4� �� ��$� �!���� � �� ���&� ���� � �( � �������� ��

-5 -4 -3 -2 -1 1

1

2

3

4

5

6

7

�� -�� #�� ��(� � (� � ��(� � 3� � � ���(� � (�3� �� � ����

�������I (� � ��(� �� ��(�(C

��� (� �� ���(�3C

�� � (�� �� ����� � ( � 3��� (� ���� (��

A

)�� �����

��2�3� � ���2�3� � ( � 3 � (3�

� �� ��

A�

22

(7

+��� � ������ � � 2��

�( � ����� �� ����� ����� � ��� &���� ��������� & ��� �� ��� �� &���� ��������

�� ���� � $� ��� ��

.��� � ����� ������ ������2C

��� (������ � � � �(� ��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 3E

Page 28: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

:�� �� �� ����� � � 2�3 �� ���� ������ ���� � ��

���2�3� ������ 2��

2C � �( � ����� �23� (��

���� � ��

3 �( � �����

� �� ��

3 �( � (���

?

367� ���27

��� ���� ���������� �� �� ���� /���� ��� � �� ������ #�� ( � � �2

3�

��� �� ������ � � �� / � �� #�� &�� �#���������

!� � ��� /!���

�� )����� �� �� ���� ������-��� � -���� � �-����-���� ���� � � � � - � � � (� ������� ������� �� &���� ,� � � $� ��� ��

�� +������� � ����

��(� �� �� ������ ��� (��

� �3 ������ 3������ ���������� �� ��� � � 8������

��� �����

��������

!� � !� � !� !� � � � �� !�� � ( � !� !� � � � �� !��� � #��

� 0�� �� �� ���� � ?( �!��� ��� � ��� ��� ��� !�� ���!��� �� � ���!�� !� #�� & ��� �� ����

0�� �( � �(� !���

(� !�

( � !

(� !� !� )�� �����

������

!� � ! � � � ��� /!��� ��������

���! �

���������$ � �

��������

� �

������ � �� �

� $ � ������ � � ! ������ � �

��� � �

� !

� � (� �� $ � ���� �� � � ! ���� �� � � �

��� � �

� !

� � 3� ���� $ � ���� ��� � � ! ���� ��� � � �!

�� +���� � � ( � � � � � -� �� %��� !�� ���� � �� �� ���� ��� �� �� ����&��� =�� ->� � �� &���� ��

�� �� ���� ��� -�� $�� � �� !�� �� 80, � $� ��� �� �� ��� � � ��� -� ��� #����-�� ����

- � �� � �����

)�� �����-� � ��

- � �� ������ !�� �#� &������������ -� � �� � �- � ��������

)����� #�� � � � � - � � � (� �� � ��� ����� � ����� � �-���� � ���� - � � � �� �������

������- � �� � ������- � ��� � -� � ��

� �-����- � ��

�� #�� �������� �� ���� �� ���� �� ��

�� "� � ���� ���������� � ,��$��� � �� ��� ��� � ��� %��� ���� �� �!*� ���

���( � �� � �� ��

3�

��

2� � � �

���� � �� ��

7� � � �

����� ��

��������������������( � ��� � ����� � ��

3�

��

2� � � �� �

�� � ��

3�

��

2� � � ��� (

7��� ��

3�

��

2� � � ��� � � � � �

�� ��

3�

��

7� � � �

'�!��� ������

� � � ����

2� � � �

3 ���� � 3�� ��

2� � � �

����� ��

������ �3 ����� � � �3�� ��

2� � � �� �

�3�� ��

2� � � �� �

(

2�3�� ��

2� � � ��� � � � � � 3��

E

2�� � � � �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 3@

Page 29: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

+�� �� #�� �� �!*� �� �� � �������

� ����

�� ��

3� ��� ��

3�

��

7���� ��

�3��E

2�� ���� ��� 3�

� � ����

�(

7�� ���� �

E

2�� ���� �

� � (

(A

���� ��� ��� � ����������� �� ����� !�� � $����� �� ��� �!�� �� � ���� �� ���� � ����� ��� � ���� ����� �� � ����

�<���� �� �� ��� ������� ��� ���������� � ,�$��� � � ��� %��� ���� �������(���� � � �3 ������� ���� �� �!������ � ��� ��������� ����� �� &��� �� �� �� ����

��� -� ��� %��� !�� � � � �� � �� ���� #��

�� ����� �� &��� � ����#� �� ���� �� �� ����&��� �� (

(��(

(���

�� ���� � (� � ���� � 2 � � ����� � ��

�� � #�� ���� � � =� (

(��(

(�> �� � ��� #�� � ������ � �� (

(��� (

(����

�� � ��

�� '���� ��� �� ��� � �� ���� �� ��� ��� � � ��� 3� ��� ��� ���� �� ����� ����� ��

�� ���� �� � �� � � � ���� /���� �� ������� ����� &��

��� �����

�� "� � ������� �� ��� ��� � � ,��$��� � � �� ��� ���� �� #�� � �� �� �� &��� � ����5#� �� ���� �� �� �� ��� � �� ����� ��� !�� �� � �� /� � /���� �� �� ����� �

�� � �������� ����� �� ������� �� �� ���

�������I �� � ���� �� ����(C

��� �����3C

�� � ( � 2�

$�� � �� ��� � � ���

��� � � ( � �

�� � (�2� �� ����� ����� �� �� &���� ��������� & ��� ��������

��� .��� � ����� ������ ������2C

������� ��� � � ��� ��� #��� ���� ����� ��� �� �� ����� �

�� � �� �� �

������ � �

����� ������2C�(

(�������� ��� � � ���

(

(��� "�� ������ !�� �� � ��� & ��� �� ����

���(

(�� � � ������

2C� � (

(��� �

���

2C � (�� �(

7 � (�

��� /���� �� � ��� #�� ���� � � =� (

(��(

(�> �� � ������ � �� (

(��� (

(���� ��� ����� � (

(��

� ������ � � (

(���� � ������ � �

�� �

�� �� � � � �� ���� /���� ������� ����� &�� ������ #�� �� ��� � ���� � 2 � � �� %��� !�� ������ �������� ���� ���� �� �/� ������ � � ����� � � � � �� �� ����� � �1�� !�� � �� %��� !����� #�� � ����� � � � � ������ � � ����� !��� �� ����� !�� �� � �� � ��� � �

�� � � ������ � � ���� ��

��� -�� �� %��� !�� ���� � ���( � ����

����

�� �� � �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 3?

Page 30: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� .������ �� ��� ��� � � ,�$��� � � ��� 2 � �� %��� !��� ��������� �� �!��� �� ���������5��� � �� �� %���� � $� ��� ��

�� "� � ��� �� ��� ��� � � ��� 2 �� ������� ����� �� ���� �� �� &���� ����� ��� � ���(��3�

������ � ����� � � #�A�� ��� ��� ���� �� ����� ����� ��

�� +������� �� � ����

����

���( � ���

��� �����

�� +��� � ���� �(

����� � ����� �

����

���� �� � ������ �

���� �� 3 ���� �

���� �� � � � ���� �

6 ����� ���� �

��� ��

��������

���� � ���� �� ����(C

��� �����3C

�� �� ������2C

��� � �����

�� � ����

AC� � �

�����

� � � 1� �

���� ��� � � � ���� ��� � � � �

���� ����� � ����

7� � ����� �

���!������!�����!�

AC� � � ��� � � 1�� ���� 1� �� �� ����&��� ��� ���

� � � �� !� ��� ��� � � � ��� ��������

���� � ����

7�

���!������!�����!�

AC� � � ��� � � 1�

�� �� � � #�A� ��#�A� � ���( ��3�� ���� &���� ����� ��� ��� �� !�� �� ��� ��� � ����� � �� ��

����� �� ��������

���( ��3� � ��

#

A� � ���

#

A� �

#

A�

�� ��

7� ��@77(A

�� ������ �� &���� ��������� #�� �� ������ �� �/� ����� & ��� �� ���

���#�A� ������ � ����AC

� �#A� ���� � ���� (AC � 6 ������ � �������

��� ���� �#

A� ���� � ��� � � ���

#

A�

#�� �� ���� ������ ���� � ��

���#�A� � #

AC � A � 6 ������ � �������

��� ���� #

AC � A �6

� ( � � ������ �

� ( � � �������

��� ���� #

AC � A �7

��� ���

)��� �� � � ������� ���� ������ !��� &���� � ���� �� � �� ��� ��� ��� ��� ���� �%�� �� �� � ����)����� #�� �� %��� !�� ���� �� ����� ���� �� =�� � >� �������� ���� � � � � �

�� � �� ������ ������� � ����#�A�� ��� �� ����

���#�A� � #

AC � A �7

��� ����

#

AC � A �7

�����#�A�� �

#

AC � A �7

���� �

� �#

A� � ��2@�6�A

����� "�� ������ !�� �!�� ��� ��!�� �4������ �� ���!*���� /���� ����� � �����&��� #��� ���� ����&��� =�� � >� �� %��� !�� ���� �� �"#��#��# $ �� �#%������ ��� ����� ���� � � � � �

� ��� � ������ � ������ � ����#�A�� � ���

���#�A� � #

AC � A � 6 ������ � �������

��� ����

#

AC � A �6

������ � � ������� �

������� ��� � ��������

��� ����

#

AC � A �6��� � �

��� ��

��� ���

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 2�

Page 31: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� ��� ���� � ���&� �� ������� ���� ����� �� ���� �� ������

���#�A� � #

AC � A �6��� � �

��� ��

��� ����

#

AC � A �6��� � �

��� ��

���� �

�# � ((

A@ � A� � �3� ��3A7727

��

� ����

����

���( � ��� � �

���

����

7���� �

�� ��

3�

��

2���� �

� � ����

��( ���

7�������

��(� �

3�

��

2� ������

� (

<���� )��!*���� /���� ���� ��!*� ���( � �� ��� �� ��� �!�� �� �#� &������ � ������ � � �����( � �� � ��� � �����&�� �� �!*� �� ���� � ���

� ����

����

���( � ��� � �

���

����

�� � �

���

����

7���� �

�� (

��� �� +������� �� ��� ��� � � ,��$��� � � ���� A � ���� � �� ����� ���� � ���� �� �!��� �������������� � � $� ��� ��

�� +������� � ����

'(�� (

���� � ���� �� ��� ��� � ����� � �� �� ������� ����� ���

�� ��� � ��� �

� ����

����

�� ��� � $�� +������� � ��� � � �����

� +������� �� ��� ��� � � 8����� � ���� 3 � �� %��� !�� ���� �� � ������� �� �� ��!* ��� � ��� �����

���� �������� � ��� ����� ��

�������

���

��� �����

�� "�� ������ ���� ��� � �������� �� ��� ��� � � ,��$��� � #�� ��� � �� �� �� � ��� �� ���������

� ���� � (� ��

3C�

AC� � � �� � ������ #�� �� ���� � �� � ��A

3C�

��

AC� � � �� )��� !���� %���� �

������� �� ��� ���� �� ����� ��� �� �!��� �� ������������ � � $� ��� �� � ��� ����!�� ��

���� � �� �� ����&��� � �������� � � �� $�� � �� ����#� �� ���� /�� #�� �������� ��� � ����� ����� �� &��� � ����� '�!*�

� ���� � 3� ����� �� ���� � ���� � �(3 ����� @� ����� �� ����

� ����� � 3 ����� A� ����� �� ���� ����� � 3� ����� (�� ����� �� ����� ������ � �7 ����� 7� ����� �� ����

)�� ����� � ���� � �� � ����� � 3� � ������ � � � � ���� � �(3� ����� !����� �� � � ���� ��� ��� �� ,��$��� �

����� � ����

3�� ��� � ����

3�3� ��� � � (�� ��� � � �� ��� �

(3��� ��� � � 1� �

���� ��� � � � ���� ��� � � � �

-�� #�� �#� � ��#� � ���#� � #� � #

3� �2@�@2A?A((3���� ����� �� &��� �#� �

�?�@7?7�AA�(�@?����� $� %����� � ��� ���� ����� �� &���� ������ � �� ����� ��� !�� �����5���� �� ���� �� ��� �� /��/� � #�� �� ����� �� �� #�� �� /� ���������� �� %��� !�� �� � �� �����!� �� ���� ��������� ��!�� �� �� ����� �� �� #�� �� ������� ����� ��� �� %��� !�� �� � #��

"�� ���� �� ����� ����� � �� ��������� /�� ��� � �#� � 3� � (�#

(3�# � (23� #�� � ���

�� � �� ���� �%����� � � �� ����� ��� !���

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 2(

Page 32: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� �� � ��� #�� � ����

����� (

��� � �

���

�� ����� ��

� � � �

���

�� � ��

� ���� �� ��

� � �(

3�

�� ���� ���� �� &���� ��� ������� �� � ��� #����� ��� � $� � �� ��� �� 3

�� ��� � $� � �� ��� ��3� ��� �� 3

���� � $� � �� ��� ��3� ��� �� 3 ��� �

'�!*� � ��� �

� �

��

�� ��� � $� � =�� ��� �� 3� ��� �� 3 ��� �>��� � A ���(� 3 ��� (�

)�� ���� ������ �� !�� �� 8������ O��������� �� +!������ ���� ���� ����

� ��� � �� ����

�� ��� �� � ���

$��

� ����

�� ��� �� � ���

$�

� ���� �� ���� ���� �� � ��� #�� � ���� � ����� � (� � ��� � (�� � ���� � (� � ��� � (��� ��� ������ ���� � �3���� � (�� ������ � (� � 3���� � (�� ������ � (�� � ������ #�� � ���� � ��

� �� � ��� #�� ����� �� � � �������� ����� �� � � �������� ������ �� � ���������� �������� ������ �� ���� ������� � ������ �� � ��� �������� � ��� #�� ����� �� � �� ����� �� � �� ������ �� � �������� �� � �� � ������ �� � (� ��������

����� �� �3��

3� ��� ��� ����� � �

�� ����� ��

�������

��� � �

�� ����� ��

�� ��� ��� �� ����

� (

��� -�� �� %��� !�� � ���� �� � ���� (� (

��� �� �� � �

�� +������� �� �� � ��

�� "� � ��� �� ��� ��� � � 8����� � ��� 3 ���� �� �� &���� ����� ��� ���(��(� (

��� @?��

�� .������ �� ���� !�� ���� �� ���� �� �!�� �� �� �� &�� ���� ���� � ���� �� �� �� �����2�E� #�7�� � �� &���� � �/� �!�� ���

� ����� !�� �� ����� ��� ���� � �� ������� � �� � �

��� �����

�� -����� � ���� �� � �� � � � �#� � � ���� )����� #�� /�� #�� ����� ��� �����(�

@?#

(@��� �� � ������� �� ��� ��� � � 8����� � ���� 3 ��

�� ����� ��� #�3��

����� �� � ���� �� � �(

(C

�������

#

3� � �� � #

3������

#

3���

� ���

���������

�� � � 3��� � �

� ��������� � � �� � �

� ��������

�� ��

$�� �� &��� ���� ���� ���� ����� �� �(

2 � ��� (��

� ����� �� ���� �

���� �� � ��� � �� ��� ����

������ �� ��3

? � ��� (�

� ������ �� � � � ������ ��� ������ �� � �( � ���� �

���� �

� �� �� ����� ��� #�3��

����#

3� � �� �����

#

3� �

(

2� �����

#

3� � �� ������

#

3� � �3

?� ������

#

3� � �(

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 23

Page 33: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

+�� �� #�� �� ��� ��� � � 8����� �������I ����� �� ��

2� ��

?� (

3�� � #

3��� $� ����� ��� !��

�� � �� ��� ������

��(��(� (

��� @?�� �����(�

@?#

(@�� � ������(�

@?#

(@�� �

(���

2� (��

?� (

3��#

(@��� � 2�(7?� (���

�� �� �� ����� 2 �� %��� !�� �� %����� ����� ��� ����� �� �� &�� ���� ���� �!�� �� �� �/������ �� ������� �� �� ���� !�� �� &����� �� ����� ���2� � ����2�� ���2�� � � �

�� � 3�2�� � ��

&���� �� ���� ������� �� �!��� � �/� &������

% �������2� � ���2� ��

(

(AA� (3 �

�(E3?

(3� 2�A76

� $� ����� !�� �� ����� ��� ���� � � ���� �� �� 2 ���� � � ��2�� ���

K� � ��� E

(3� 3

�2�� � #

7�

��� �� ���������� �!��������� �� %��� !�� � � ���� �2�� 3�3�� � (

�� "� � ���� �� ��� ��� � � 8����� � �� ��� ��� � �� %��� !�� ��� � �������� � ���� (� ��

��� ����� ��� !�� �� &���� � ������ �� � ��

�� � (� ������� �� ������

��� �����

�� �� ���� �� � �� ��!*� #�� ������� �� �� ���� ���� �� � ����� ��� � &�� ��� �� #�� �� %��� !�����!� ��� � � �� ���� ��� �� ��� � �� ��� ��� ���� � %��� ���� #�� �� ��� � �� �������� ������ ���� ���� � � !�� &���� � ��

)����� � ����� ��� ��� �4���

�4� �� ���� � �� 2�� 3 � �� � � ��

�4� �� � � �� ���� � �3�)��� ���� �� �� ���� � ���� ���������� �� �� &�� #�� & ��� �� ����

� ���� �2 � A� �3�� � (��

���� %��� !�� �� ����� ���� � � �� � ��� �� �� &� ���� ��� � � ��

� ��� ����� ���� ������������� ���� �� ���� ��

� � ��� � &� ���� � � �� � ��� ����� ���� �������� ���� ���� �� ���

�����-� ���� ��� �� � � ��

�� %��� !�� �������� �� �!*� �� ���������

0���� � ���� �� �/��� �� �� ��� �� &�� �� ����

� ����� ��(7�� � (@�� A

�3�� � (��

' ���&!�� � ���� ������ &�� ���� #�� � � �� ��������� �� �� �!*� �� ����� &� �� #�� � �����

� � ��)�� ���� ����� �� ���� � �� � �� � ���� %��� !�� ��� ��!� �� ���&�� � � �����& � � ��

%��� !�� � � � ����� � � � � �!��� � �(7���(@��A � �� � ��� ��!*��� � ���� %��� !�� ��� �� � �����

��

� �� � ����� �� � � ��� � �� ��� � &� ���� � � ������

�� � �����

�� � � ��� ����� � ���&��� �� �/� ����&��� � � �� �� �� &� ���� �� ����� � ��� &������ � � � ��� ����� � �!����&�� '��!�� ���� � �� � � ��� �� ������ � �1�� !���

'�!*������� <� �� ���� ��!*������ &��� ����� �� ��� �� %��� !�� ���� ��� �� ��� �� )��� ��� ��!*������/�� �������� ����������

� �����

���� � � �����

2�� 3�3�� � (

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 22

Page 34: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

���� �� ���� & ��� �������� � ���� ���� ��� � ������ ��� ����� �� �������� ����

�� ���� ������ ��� ��� �� ������ #�� � ����� �� ��� � � � �� �� �!*� ��� �������� #���

� �����

2� ��

3 � ���

�2�3�

-� %���� ��!��� ��

� �����

���� � � �����

2�� 3�3�� � (

� & ��� � ���&� ��� � �������� � ���� ����� � ��� ��� �� ������ #�� � � ����� ��

��� �/��� � � �� #���

� �����

2� ��

� 3 � �

��

� � 2�3�

$� �!���� � �� %��� !�� �� ���� � ���

-20 -10 10 20

-3

-2

-1

1

2

�� <�� � �� �������� �� &���� ��� �� )��� ����� �������� �� ��� ��� � � 8����� � ��� 3 �� ���� ��� )��� ����������� �� ������� � �������� ��� �� &��� � /���� ���� 3 �� �� �� ��� � �� &����

���� � � �����(

2��� (�����

��� �� #�� ���� � �� � 0��& ��� � �� &���

����� � ��( � ���� ��� (

2

3

2��� (����

� ��� ����� ����� � �((

?� -� ���� ���� �� ��� ��� � � 8����� ��

� ��� � ��� �����(C

�������3C

�� � ( �(

2�� ((

(@��

� �� ����� ��� !�� �� � �� � ��� � � (�#

(@� ((#�

7A@� (���7??���� )��� ������ �� ������ ������ ��

%!������ �� ����� � $� ��� �

��� � � ��� ����� �2C

��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 2A

Page 35: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

&!�� � ���� � ���� &���� � ��� �� �� )�� �� ��������� �#7

�� ��#7

���� � ���� � 2C

�#7

��)��� �� ��� �� &���� ������� �� /���!� #�� ������ �� &���� � ���� � � � �� &���� ���&������

������ � �3 ���� �( � ���� �� �(

2� 32� 62��� (�����

.����&���� #�� ���� %��� !�� �� ����� ���� ���� ������ �� ���� � ��� #��

����#7

�� ������ � ������

)�� �� ���

����#7

�� � @

2�2�

(�

3E

�#7� (�����

� � @

2�2� �@

�2

?� �

�2 � �3�

)�� ����

������ �(�

3E

)�� ������ ������ ������ #�� ���� � � 3� '�!* ����� #������ �#7

�� ��#7

���� � (

2

�#7

��� ���AE@���

����� .��� ��� ��� %���� � ������ �� ������

�� ���� � $� ��� � ��#

7�� ���#�7� �

���� �2C

�#7

��� ��� � ���

#

7��

8�� ��� �� ������ #�� ������ � �3 ����

���� ��

(�

3E � ��� (��

� ��� ���� �� &���� �������� �� �����

��

���#

7� � (

2C

������3 ���

���� �

(�

3E � � � (��

����� �#7�� � #�

7

�3��� ��� ����

���� � �#

����� (�

3E � � � (��

������ � �$

&���� � ������ ��� ������� �(� � �3��

�(�� +��� �� � � � #�7 �� ��� � � � ��� � �� �� � ������ ���

����

��� � ���

���� � '��!�� ��

%��� !�� �� � ����

���� �� ���� ���� �� �/� ����&��� ����� ��� � �

���� � 2 ����

��� � ��� ��

#�� ��� �� #�� ���� � � � #�7� �� ���� � �� � � ��#�7�� )�� ����� �� �� ��� ������

�� ���� ������ ����� ������� ��� ��#�7� �����#�7�

�����#�7��

A�2

?�

�3�� )����� #�� � � � #�7� ���� ������ �� ���� ������ ����� ������� ���� ������ ����� �� �� � ����� (�

3E � � � (��

����� � (�

3E � � � (��

�(�

3E � �� � (��

�(�

3E

O ��������

���#

7� � #�

7

�3A�2

?�

(�

3E

�� ���A67?63���

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 26

Page 36: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�&��� �� �� �'������

��� �� ����� � %��� ��� ��� ����� � ������� � ��� �� ����� � ��� � ����%����� � � �� � ( ��� �� !���� � �� �� �� � ���� $� �/��� �� �!*����� &��� � ����� ��� ���� � ������ #�� �� ��� � �� �/�������� �� �� �!*����� � ���� �� �� ����� �� �� 36P �!�� ���� #�� �� ��� � �� �/��� �� �!*������ �� � ��

�� +������� ��� ���� ���� � �� ����� � ����� �!*� ��� ��� 5���� �� �!���� � ��� ���� �� ������ � $� ��� ��

�� M��� ���� !�� � �� ��� � !�� � �!*� �� � �� ����� !�� ��5��� ��

�� .������ �� ���� � � �� �/��� ���������� ���� � � 3� ������

� ��� ��(

��� �����

�� -�� #�� �� ����� �� �!*����� �� ���������� �� �������� �� ����� � �������� ��� ���� ���� ������� � !���� �!*� ��� B �� !���� �� ����� �� ������ &���� �� !���� �� �� !�� ��� ���� #������������ ���� � �

�� �� � ���� ���!��&��� #�� ��� �� !�� ���� ��� � ��� ��� ����4������ � ��� �� !�� ��� !� � ��B ���!��� ��� ��������� ��� �� �� ����� � &�� ����� � � ����� � � �����

+��������� ��

�� ���

3�

8� !�� ��� ���� ���� �(

��� �� �

(

�����

8� !�� ��� ��� � ���� �(

��� �� �

(

�����

$�� �� ��

(

3 ���� ����� �

%����

3

��� ���� ���

�����������

����

��

� ��� ��

(

)�� ������ �� ����� � � � � ��� ���� �� �3

��� ��� �� ��� � !�� �� � �� � (� '�� #����� ��

�!���� � ���� O������� �� %��� !�� � $� ��� �� Q��� �� �3

���*��� � ��� (�� � ��������

��� ������ ��!*� ���� �����& ��� �� � ����������������Q��� ��

��� � 3

���� 3*� � �

�Q��� ��

��� � 3

���� 3*� � �

�� � �� � ( � �

-��������� ��� ����� ���� � � � � � � � ��� � ������ !�� �� ����� �� �� ������ ����������� ���� ��� �� ����� � ���� �� �� �� ��� �������� ����� #�� � � � � � � ��� �� ��� ��� ��

����� !��� � � � �

�3

3� * � A�

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 27

Page 37: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� ���� � �� ���!����� �� ����� ����� � �� ���� �� ��!�� � � � �� %����� �� � �� ��� ����� �� %��� !�� � $� ��� � �� �/� ������

$�Q�� ��$�� $�� � �$� $��

�Q���� � Q���� �Q���� � Q���� �

��$�$�

�� 3A$�� � @$�$� � 3A$��

- %����� ��� �� � ���� �� ��� ��� 3�$� � 3�$� � �� � ���� ������ �� ����� ����� � �������$��$� � �� � ��� $� � �$�� ���� ������ ���&������ �� �� ����� �� %����� �� �� ���� ��� ���� $�Q�� � � �3A� @ � 3A�$�� � �� �$�� )�� ����� �� ����� ����� � �� �� �!*� �� ����� &���� � ����� � �� �� #�� ������� ��� �� ����� � ����� �!*� ��� �� ������ � ��� 3 ��� #���� � �� �

�3��

�� )��� � � 3� ������ � ������ #�� �� !���� �� �!*����� �� # ���� � �� !���� �� ����� �� A ���� ��� ��� #�� �� ����� � �� �/��� ��� 3�# � 36�A� #� � @A�2 ������

��� ��� � ���� �� %��� !�� � �� &�� ����� ��� #���

����� ��

��� 3�� �� �� �

����� ��

��� ���� �� � 33�� 3�� � 3E

�� +������� �� &���� � � ���� #�� � ��� � �� �!*� �� ����� &� �� �� ����� � ��� (��

�� )��� �/� &���� � �� ������� �� ���� !�� � �� &���� � �� �� &�� ���� ���� �!�� �� �� ������� 2��(� (��

��� �����

�� +�� � !�� ������� � � �������� � �� � ��� (� /�� �� �!*� �� ����� &������� � � ����� �� ���� �� ���� ��� )�� ������

����� ��

����� (� � �� � � �

����� ��

����� (� � ��� 33�� 3�� � 3E � �

����& ��� 3�� � 3(�� 3E � � �������� ��� ����� ���� �� � �2�3 � �� � �?�)����� #�� � ��� (� �� �!*� �� ����� &�� ��� &�� ���� �� ��� � !�� ���� ����� �� ���� ��� � ��%��� !�� �� �� ����� � �� �� ��� ����� ���� ��� ��� � &��� ���� ��� 3� �� � � � � ����� � � ��+��� ������ �� � 3� ������ �� � �� � ������ ��� ��� � ��� �� � ���

3� �� � �

���� 3 ���� ��

���� � �3�� ��

<����� #�� ���� ������ �� � 3 � �� �� ���!����� � �!*� �� ����� &� �����!� ����� ��� ���� �#���&���� � � ���� �� ���� 3� �� � � �� ���� �������

�� � �2�3� 3� �� � � 2�A � � � ,!*� �� ����� &� �� � ��� (��

�� � �?� 3� �� � � �72 � � � )���� � � ��� �� � ��� (��

�� ���� ������ �� � �2�3 �� ��� �� &��� ���� ���� � �� %��� !��� �������� ����� �� � 3��2�

3� 2

3�

����� �� �2

3��� �� (�� '���� �� &��� ���� ���� ��� %��� ���� ���� ���� �� ��� �� ���� �����

�� ��� �� �� ����� 2� ��� ����� ���� �� �� %����� ���� �� 2�

$� �� &�� ���� ���� �!�� �� �� 2 �� ������ �� �� ���� !�� �� &����� ���2� � ��3��2

3��

� �#� &������������ �� �� ���� !�� ������ ��� �� !�� ��� � � ���� �2�3�3 � ����

2

A� ���

# � � �2#

3� B �/� &���� �!�� �� �� �� �!���� �� �� ���� �� 2� ���2� �

� �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 2E

Page 38: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��� -�� �� %��� !�� ���� �� � � � � � 3�� � 3�� � A��� � 2� � ��� � � �� �� � ��

�� �� !�� ��� &������ � �� ���� �� #�!� � �� � ����� �� �� �� �� ���� �� %��� !���

�� )��� � � (� ������� ��� ������ ��!*� ��� � �� %��� !�� � ���� �����

��� �����

��

� ����� �� � A�� � A�� A�� �� � ����� �� � �

� ����� �� � A�� � A� � A�� �� � ����� �� � �

��� �� � ��� �� �� �� ����� ��!*� �� � �� � �

)��� &�� #�!� � �� � ����� ��!*� �� ����������� ���� ���� �� /��� ��� � �� %��� !�� �� �� �� ���

� ������� �� � (3�� � A �� � ������� �� � �A

� ������� �� � � ������� �� � A� �� � ������� �� � � ������� �� � A�

� ������� �� � (3�� � A �� � ������� �� � �A

����������� �� 3��� �� �

���� �A A�A� �A

���� � (7�(����

�� ��������� ��� � � ����� ������

��(� � � � (� 3��� �� � � � � ������� �� � �� $� %��� !�� � ��� �� � ��� �� �� �!�� �� ����� &��

��3� � � � (� 3��� �� � �� $� %��� !�� � ��� �� � ��� �� �� ����� � � ����

��2� � � � ( �� � �(�� 3��� �� � � � � ������� �� � �� $� %��� !�� � ��� �� � ��� �� �� ���� 5�!�� ���

�� )��� � � ( �� %��� !�� �� ���� �� � � �� �3���3���A���2� )��� ������� ��� ������ ��!*� ����

���� ����� �� � A�� � A�� A� � �

� ����� �� � A�� � A� � A� � ��������� ��

��� A�� � A�� � �

A�� � A� � A� � ������ � � ��

A�� � A� � A� � ���

�����

� � ��

�A�� � A�� A� � � ���A���� � 3� � ������

� ��� ��

2��3���3�

����3��3�

�� �� ����� � ��� �� �� %��� !�� � ��� �� ���� 5�!�� ��� �� !�� �� ������� ����� ���

)��� ���� �� ��� ����� ������ ��������� �� /��� ��� � �� %��� !���

� ������� �� � (3�� � A

� ������� �� � � ������� �� � A

� ������� �� � (3�� � A

����������� �� 3��� �� �

���� (3�� � A AA (3�� � A

������ ��� ������ 2�

�3���3� � ����3�

�3��

3�2� � 3��� �

���� 3� AA 3�

���� � 2@A � � � �����2� � � ������� � 3� � �

)�� �� ����� �� ��� ������ 2��3���3� � ����3�

�3� �� %��� !�� �������� �� �!*� ��� ����� &���

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 2@

Page 39: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��� -�� �� %��� !�� ���� �� � �� ��

��

�� � ��� ��� � �� �� � ��

�� .������ � � �� ��� ��� #�� �� ����� � �(� 3� �� �� ����� ��!*� �� � �� %��� !�� ���� ���

�� )��� ����� &������ � � � �� ���� ���� ���� ��� ������ ��!*� ��� � �� %��� !�� ���� ���

�� "� � ���� �� ��� ��� � � 8����� � �� ��� ��� ����� ��� ������� ��� ����� ��� !�� �

(��( � 3��3 � 3

(��(�

A

3��3

� )��� � � 3 � � � A� ������� ��� �������� ��������� � �� %��� !�� ���� �� �� �� �� � � %� ����� �� �� !�� ��� � &!��� ��� ��(� (�� ��(� 2� � 4�2� 2��

��� �����

��

� ����� �� � � � �

��I � ����� �� � �� �

��

� �� ����� � �(� 3� �� ��!*� ��� � ���(� 3� � � ���(� 3� � ��

� ���(� 3� � 3�� � � �� � � 3I � ���(� 3� � (� �

A� � �� � � A

�� � � � 3 � � � A� ���� �� � �� � �� �

� � ������ �� � � � �

�� � ������ �� � ��

�� �

� ����� �� � � � ��� � � �� � � �

��

� ����� �� � �� �� � � �� ��

���� �� � � � �� � � �� � � (

'/��� � ��� �� %��� !�� �� ���!� ��� � ���� � � �� ��� � �� !�� �� ����� ��!*� �� �� � � (� � � 3�� ��� �� ����� � �(� 3��

0����� ��� �� &��� � �� ��� �����

� ������� �� �A

��I � ������� �� � � ������� �� � (I � ������� �� �

@

��

� �����(� 3� � AI � �����(� 3� � � �����(� 3� � (I � �����(� 3� � (I 3�� � �

���� A (( (

���� � 2

)�� �� ����� 3�� � � � � � ������ � � � � �� ����� � �� �!*� �� ����� &��

�� "� � ������� �� ��� ��� � � 8����� � �� ��� ��� �� �� ����� � �(� 3��

����� �� � ��(� 3� �� ���(� 3���� (� � � ���(� 3��� � 3�

(C�

�� �����(� 3���� (�� � 3� �����(� 3���� (��� � 3� � � �����(� 3��� � 3��

3C�

� 7 �A��� (�� � 3��� (��� � 3� � �� � 3��

3� 7 � 3��� (�� � ��� (��� � 3� �

�� � 3��

3

��������

(��( � 3��3 � 3

(��(�

A

3��3� ��(��(� 3��3� � ���(

��(� 3��3� � 7 � 3 � ���(� � ���( � ���3 � ���3�

3�

� 7 � �����3 � �����3 � �����3 � 7����7

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 2?

Page 40: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

O�

Y�

X�

A(1,1)�

B(1,3)�

D�

y=3�

x=1�

y=x�

C(3,3)�

� $�� �������� ��������� � ��� %��� !�� �� �������� �� �� ��� � ��� �������� ����� &�� � ���� ��� � ��� ������ � �� %������� �� �� � ��

0����� �������� ��� ��� ���� ��� ���� � �������� ���������� �� �� ��� �� �� ������� ������� ��� �� ������� ����� &�� � �(� 3� ���� ��� � � 7��

0����� �� ��������� ���� � �� %��� !�� �� �� %������� �� �� � �� ���� %������� ���!� %�������� ��� �� ������ ��� �4 � �4�

�� ��

� � (( � � � 2

�4 ��

� � 2( � � � 2

�4 ��

� � �( � � � 2

�� �� �� ��� �� ����� ���������� �� � �� � �

� � �

� � (( � � � 2

���

���� � ��(� �� � � � 3 � �

( � � � 2

0������ ��� �������� ��������� � �� %��� !�� ���� �� �� �� � � %� � =(� � 2>� #�� �� ������!���� �� ��� � ��� �������� ����� &�� � �� ��� ������ %������� �� �� � � %� ���(� (� � ��(� 2���

����� � (� A

��� � �� � � 3 �� � � (

��� �� ����� �� ������� ����� &� � ���� �� ��� ��� �� �� ����� � � 3 �� �(� 3��� 8������ �������� ���� ���&�� ��� ���� � �������� ��������� � �� %��� !�� ���� �� ��� ������ ��(� (� ���(� 2��

� �������� �� �� �� ����� �4 �������� �� � �� � �

� � �

� � 2( � � � 2

���

���� � ���� 2� � 2�� �� �

�( � � � 2

����� �������� ��������� �� ������!�� �� �� ��� � ��� �������� ����� &�� � �� ��� ������%������� �� �� � � %� � =(� 2> ���(� 2� � 4�2� 2���

����� � 2� 3

��� � �� � �

�3

2�� %�

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A�

Page 41: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��� �� ����� �� %��� !�� ���� �� � ��� �������� ����� &��� )�� �� ����� ��������� !�� ������� �����&� ��� ���� � ������� �������� � �� %��� !�� ���� ��� �� ����� 4�2� 2��

)�� !��� �� �� �� �� ����� �4�������� �� � �� � �

� � �

� � �( � � � 2

���

���� � ���� �� � �� � ��

( � � � 2

����� � 3�� 7

��� � �� 3�� � 7 � � �� � �

��2 �� � �

��2

��� �� ����� �� ������� ����� &� � ���� �� ��� ��� �� �� ����� � � ��2 �2� �

�2� ��2��� 8������

��� ����� ���� ����� ���� ���&� ��� ��� � ������� �������� � �� %��� !�� ���� ���

)�� �� ����� /���� � �&����� �� %��� !�� �� ��� � � ����� ������ � ������� �� ����� � �� ������ ���� ��� &�������

� �(� 3�I ��(� (�I ��(� 2�I 4�2� 2�I 2���2�

��2�

��(� 3� � 7I ��(� (� � EI ��(� 2� �(?

2I ��2� 2� � ((I ��

��2�

��2� � 2

��?

)�� �� ����� �� %��� !�� ���� �� ������� �� �!�� �� �������� (( �� �� ����� 4�2� 2� � �� �!*� ���������� 7 �� �� ����� � �(� 3��

��� ��� �� %��� !�� ���� �� � � �� ����

3�

���

2� 2�

�� +������� ��� �!�� ��� � ��� �!*� ��� � � � ����� �� �� ����� # � �� � � � 7�

�� 9)������� � ����� �������� ����� &�� %���� �� ����� #;

��� �����

�� �� ����� � �� �������� � �!��#��� � �������� ��� � ������ '�� ����� �� �!���� � ������� �� ������ � $� ��� ��

Q��� �� � � �� ����

3�

���

2� 2 � *�� � � � � 7�

����&���� �� � ������������Q���� �� � � �� � * � �Q���� �� � � ��� � * � �Q���� �� � � ��� � * � ��� � � � 7 � �

� � � 3� � 2 �27

((� * � ��

���

���� ���� �� ���!����� �� !�� �� ����� ��!*� �� ����� �� � �27

((�(@

((�(3

((�� )��� ���� ���� ����� ��

� �� � �� %����� �� � �� ��� ���� � �� %��� !�� � $� ��� � �� �� ����� � �

$�Q�� ��$�� $�� $ � � Q���� �$�� �Q���� �$�� �Q���� �$ � � 3Q���� �$� $� � 3Q���� �$� $ ��3Q���� �$� $

8�� ��� �� ������ #�� Q�� � ��� Q�� � 3���� Q�� � 2���� � #�� ���� ��� �� &��� �������� �� ��� ���� ��� ����� �������� $�Q�� � � �$�� � 3$�� � 2$ �������� � �� ��$�� $�� $ �� �������� �� ����� � �� �� �!*� �� ����� &� ��� � �����

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A(

Page 42: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� <�� $� %��� !�� ���� �� � � %����� ���� �� ���� �� ����� ������ ��!*� ���� �� #�� �� �� ��������� �� � �� �� ����� �� � � !�� ����� � ���

��� -�� �� %��� !�� ���� �� � �� � 3�� � �� � @� � 6� �� � ��

�� .������ ��� ��� ���� �������� ����� &�� � ��� ������ � � ����

�� � ��������� �������� ��� �������� ����� &�� ����� ��� &�� ����� ���!�� � ��� ��� �� � �� � 6���������� �� ���!����� � �!�� �� � �!*� ���

�� +������� ��� �!�� ��� � �!*� ��� ��������� #�� �� %��� !�� ����� ����� �� �!*����� � � ���� �� ��� � �� � �� � 6��

��� �����

�� +��������� ��� ������ ��!*� ��� �����& ��� �� � ����������� �� � A� � � �� � � �

����� �� � 2�� � 3� � @ � � � � �A

2� � � �3

)����� �� � ���� �����A

2�� ������3��

- ���� ��� �� ���!����� �� ���� �� ���� ���� +��� ������ �� � A� ������ �� � ������ �� � �������� �� � 3�2� � (�� ��������

3� ��� �� �

���� A �� 3�2� � (�

���� � @�2� � (�

� 3� ���� � 3� ���A

2� � A� � �� � ���� ������� � A � � � ,!*� �� ����� &� �� �����

A

2��

� 3� ���� � 3� ����3� � �A� � � � )���� � � ��� �� ������3���� +��������� ��� �������� ����� &�� ����� �� � ����%����� � �� � �� � 6 �� ���� �� �!���� � ���

���� �� ������ � $� ��� �� O������� �� %��� !�� Q��� �� � ���3������@��6�*�������6��� ���������� ��� ������ �� � ��� �����& ��� �� � ��������

Q���� �� � �A � 3*�� � �Q���� �� � 2�� � 3� � @ � 3*� � ��� � �� � 6

-� �� �� ���� ����� !�� �� � �� * � �3 !� � � �� '��� ����� ��� �����

� * � �3 ����& ��� Q���� �� � 2���3��@�A� � � ������� � � 3� � � � � � ���� ������

����� &������ �� �� � ���� �� � �� � 6� �������� ��� ������

2��(� 3�� 2���(� 3�� 2��

�3?

2��A

2�� 2 ��

�3?

2��A

2�

� � � � �� ��� ����� �� � ���� ������� ��� ��� &������ � ��6� � � ��6� ���� ��� ������5

��� ��� ������ ������6� � ������

�6�� +�� ��� � ����� &������ � � �� ���� ���� �� ��

�� ��� ����� !�� �� � ������ � �� ��� ��� �� ��������� ���� &���� � * �����4!����� ��Q�����

�6� � ��� ���� ���

������6� �� * � �E � 3

�6

3�6

� �������6� �� * �

E� 3�6

3�6

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A3

Page 43: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

)��� ���� ��� �� ���!����� � ����� 7 ������ ���� ���� �� � �� #�� �� ��� ��� � ����� � ���$�Q�� ��$�� $��� ��� �� ����� �� !�� �� ��� �� %����� �� � �� � ����� � $��� $� � �� 8�� ����� ������ #�� Q�� � A � 3*� Q�� � Q�� � �� Q�� � 7� � 3 � 3*� �������

$�Q�$�� $�� � �A � 3*�$�� � �7� � 3 � 3*�$��

� )����� 2�� 2�� $�Q��(� 3� � (�$�� � �� ��$�� $�� �� ,!*� �� ����� &� ��� � ���� ��2� � �� 2��

� )����� 2�� 2 � $�Q���3?

2��A

2� � �(�$�� � �� ��$�� $�� �� ,!�� �� ����� &� ��� � �5

��� �� 2� � �� 2 �

� )����� ��� ��� ���� ���!��� ������6� � �� ������� &� &���� � * �������

$�Q���� �3�6� E�6� �

��

$�� �32�6��

��

$��

���� ����� ��� �� � �� � ���� %���� %����� ��� �� � ����� �� %����� �� � �� � ������ $� � � $� � �� ���� ������ �� ����� �� �� ����� �������

�6$� � � � $� � �� )�� ������

$�Q���� ������

$�� � �� �� #�� ��� �� #�� �� �� �� %��� !�� �������� �� �!�� �� ����� &�

��� � ����� "� ������� ���� ��!��� � ���� �� ������� ��� $�Q���� ����

��

$�� � �� ���

����� �� �� �� %��� !�� �������� �� �!*� �� ������

�� $�� �������� ��������� � ���� �� �%��� !�� ���� ���� ����� �� �������� � �� ������� ����� ����������� �� ����� � �� %��� !�� ���� ���� � �� �����

� �� � ����� ��� �������� ���� � ������ �

�� %��� !�� ����� �� %������� � �� 2�� 2�� 2�� 2 ��� � ���

�&������� �� %��� !�� ����� ��� ��� � �/�� ���������� ��� �!*� ���� ����� � � ���

�� � �((�6� ��2�� � ��2�� � �E� ����� � 2�6 � 7�E�@3

�� ��� �!�� ���� ��2�� � ��2 � ������ � ((�6� ����� � �2�6 � �7�E�@3

)�� ����� �� �!*� �� �������� �� ������� �� ��� � �� �!�� �� �������� �� 2� � 2 �

��� �� ����� � %��� ��� ��� ��&� � 7� �� � &��!���� � ������ ���/� � ������ ������ ������� ��������#�� ��� ���� �� ��� �� ��� �� 6�P �!�� ����� ���� ��� ������ #�� ���� �� ���/� � �� ������ ������ ��� ���� ���� � �� ��&� � �!*� �� ������ 4��� ����� �� �������� ����� ��

��� �����

0��!����� �� � 7� �������� � ���/�� � ����� ��� ���

)����2

3� ����� ��� ���

+���� � �� ��&�� ��3�� �2

33� �

2

33� �

������ �

��

���

��

��

��������

� �

)�� ����� /�� #�� � � � ��� ���� �� � � �3���2� �2� � ��� �� ����� �� !�� �� �7� � �� '�� ������� �!���� � ��� ���� �� ������ � $� ��� ��

Q��� �� � � �3�� � 2� � 2� � � *��� � 7��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A2

Page 44: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

����&���� �� � ������������Q���� �� � 3� � 2 � *� � �Q���� �� � 3�� 2 � *� � �Q���� �� � 2��� �� � *�� � ��� � 7�

��

����� �

3

2��?�� � � � �

2

3 �

��?�

* � �3 �

�2

(�

$�� � /���� ����� � �� ����� � ���?��

��?��

3

2��?���

+������� ��� !�� � �� ����� !�� ����� �� )����� #�� �� ����� !�� � � ���� ��� �� � � �� �� ����� � 7� � �� ���� ���!*� ������� � ���� %��� !�� � ��� �� �� �� ������� �� ����� � ��� #���� �/� ������ ��� � � ��� ���� ��������� �� ���!����� � �!*� �� ������ ����� �� � ���� �� ��%��� !�� ��4�� &� ���� �� �� � ���� ������� �� ���� ��� � �� %��� !�� � ��� �� �� ����� ��

-����4��� �� �� � ����� �7�

��� � ���� ���!����� �� � � �� ��� ��� � ��� �� � 3��� �

?���� ��

����

'��� ����� ��� � ��� � ����� � � � 3� �� �� +��� �� � 3�� � ?�

���� �� � 3��� ?�

���� ���������

3� ��� �� �

�������27�

��3

327�

��

������� �� 3� �� � �

���� A 33 A

���� � (3 � �

� ���� ����� � � A � � �� �� ����� ����� � �� �� �!*� �� ���� �� %��� !�� ���� �� �

��� �� ����� � %��� ��� ������ ���� R�/ ��S� ����� �!*� ��� +�� ����� ������ � 6 �/���� ����������� ������� �� � ���� ' �� �� ����!�� ��� � A ���� � ������� �� %��� ��� ��� �� ����� �� �������� � �� � ���6 ����� ��� ���� $�� ������ �/���� � � �� F ��� ��� �!*������� ����� �� � ����� ��� � ����� �� F ������ �� A�P �!�� #�� �� ��� � ����� �� '� �������� ���� �� ����� �%��� ��� !�� � ��� ������� �� � ��

�� +������� ��� ���� ���� � �� ����� � ������!*� ��� ����� �� �!���� � ��� ���� �� ������� $� ��� ��

�� M��� %!*#���� ��� ��� � !�� � �!*� ���

�� )��� � ���� � �� ������

'

F

F

FF

��� �����

�� ���� �� � ��� ������� &�� �� �� � ��� ��� �!*������ � � �� F� )����� #�� �� ����� � ' �� �4��A� ���6 � ��3 ������ �� ����� � ����� �!*� �� �� �� ����� � ������� � � � �� F �!*� ��� )������� �� �������� �� �

, � � ��� 0� � ���� �� � #�� � #��

$ ����� A�� � A �� �� � (

'�� ����� �� �!���� � ��� ,��� �� ������ � $� ��� ��

Q��� �� � #��� � ��� � *��� � (�

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� AA

Page 45: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

����&���� �� � ��������Q���� �� � 3#�� *� � �Q���� �� � 3#� � *� � ��� � (

���

�� � �� �� � � � �� � � � � (* � �3#

��� #�� ��������� ��� �4�� ��������� ������ ������� � ��� ���� �� ����!�� ��� ��� ��� T������� ��� ������������ #�� ��� &������ �( � �( ��� �� � ��� ����� !����

�� )��� ��� � ��� �� ���!����� �� ����� ����� �� �&��������� �� %����� �� �� ��� �� �� ������ �(� (� � ���� * � �3#� +��� Q����� �� � 3# � Q����� �� � Q����� �� � *� ��������

$�Q�� ��$�� $�� � Q���� �$�� � 3Q���� �$�$� �Q���� �$�� � 3#$�� � 3*$�$� � 3#$��

� 3#�$�� � 3$�$� � $��� � 3#�$�� $���

%����� ��� �� �� � ����� �� � ( �� �$� � �$� � �� � �� �� ����� � � � � ( �������$�� $� � � �� $� � �$�� ���� ������ ��� ���

$�Q�� � � 3#�3$��� � @#$�� � � �� � �� �!*� �� ���� ��� � ����

����� ��"� (�")� *# ��)�"�+������, +��� �� ����� !�� � � ���� ���� ���!*� �������� � ���� %��� !�� � � �� �� ������� �� ����� � �(� (�� �� ���� �� ���!*� /���� ����4��

� � (��� � /���� ���� ��!*� �� �� %��� !�� ��4�� &�� ��������� � ��� � #��� �(

���� )����� #��

� ����� � 3�( �2

� � �� ��� � &� �� � � (� � ���(� � � �� � �� �� �!*� ���

�� ������� � �!*� ��� 0� � 0� � A � 3# ����

+���� �!*� ��� ���6�A � 3# � (�A� � ��72?@ �����

��� �� ��� � (� !� +������� �� � ��

�� -����� ��� ��� �������� ����� &�� � ��������� � �� %��� !�� ���� �� � �� � ��� � ( � � �� ����� ��� ����� ��� ��� �� � �� � ( ��� ��� �� �!����� ����� ���

��� �����

�� ��� � ( � !� �� �!���� �� ��3� � �� �� ������ �� �� ��� �� ��

� ��� ����� ��3 �$��

�������� ��������

�� �

�3�$�

��������� �� � � �� (� 3� 2

��� ������ � ���3��

�� $� � �

��3��

��� $� � �

��3�

��� $� � � �

��3��

��� $�

+��������� �/��� � � �� �� �� +���

�� � ���3�$��

������� � ��

�3 � !��#

A� 3�#� �

(

3�� 3 � !��#

A� 3�#�

���������

�� � �(� !�� �� 3

3� !��#

A� 3�#�

��

�� 3

3� #

A� 3�# � !

�� �� 3

3� #

A� 3�#

�� ���������� � � �� �� � � �

� �� ��

����� � �$�� � �� ��

�������

�� �������� ����� &��� ������� +��������� �����& ��� �� �������� �� ����� � � � �!��#���� �������� ������� � ���� ��� ���� �� ���� ���� ������ ��� ������ ��!*� ����

+��� �� %��� !�� �� %����� ���� �� ��� ��� ��� ������ ��!*� ��� ��� ��� ����� ���� �� � �����

����� �� � ������ �� � �

�� 3��( � �� � �

�� � ( � �

��� � � �(� � � �(

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A6

Page 46: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

������� ���� ��� ������ ��(��(� � �(��(�� < � ��� � ����� ������ ������� ��� �������� �� #���� ���� ����

3� ��� �� �

���� ������ �� ������ �������� �� ������ ��

���� � ���� 3�( � ��� 3�3� �

���� � �A�� � �� �� � �

�� ���� ������ ���� ��� �� ������ ����� ��� �� ���� ��� �� �� �� &�� ��� � �������� ��� ������� � ����

�������� �� �� %�������� ���� ������ ��� F��#����� �/��� ��� �������� �� �� %������� � ��

�� !��� �� ��� �� � ����%����� � �� � �� � (� )��� ���� ��� ������� ��� �� �!������

� ,!���� � ��� ,��� �� ������ � $� ��� �� �� �������� ���.�� � ���� ���� �� � �� � ��� � (� �$ ����� ��� �� � � �� �� � �� � ( � �

$� %��� !�� � $� ��� �� Q��� �� � �� � ��� � (� � � *��� � �� � (�� $�� ������ ��!*� ���� ���� %��� !�� � %����� ���� �� ��� �� �� � �� �������� � �����&�� �� � �������� Q���� �� � �

Q���� �� � ���� �� � �

����� 3��( � � � *� � �

�� � ( � 3*� � ��� � �� � ( � �

-� �� �� ���� ����� !�� �� � �� � � � !� * � �(� �� - �� � � ����� ����� ������

� � � ��������� * �(

3�� ��� � � �(� ��������� ��� ������ ����� (�� ������(��

* � (� � �� � ����� #������ � (� 3� � 3�� � ��� � �� � (

��� ���3 � 2�� � �

�� � �� � (

��

-� �#�!* ��������� ��� ������

���(� ��� � ��(� ��� ��

�6

2��3

2�� ���

�6

2��3

2�

'��� ����� �� %���� %����� �� �� ��� $�Q��$� �� ��� ��� � ��� ������ ��!*� ��� �$� ��4���

� $�$�� $�� � � �� 3� $�� 3� $� � �� !�� �#� &������������ � $�� � $� � � �

$�Q�$�� $�� � Q����� �� $���3Q����� �� $� $��Q����� �� $�

� � 3�(�*���$���A $� $��3* $��

)����� �� � ��� ���� ������ �� � $�� � $� � �� ������� �� ����� ����� $� � �� ���������

$�Q�$�� $�� � 3�( � *� ��$�� ���

�� �� � $�Q � 6 $�� � �� �� �!*� ���� ��3� $�Q � �$�� � �� �� �!�� ��

)����� �� � � � ���� ������ �� � $�� � $� � � ������� �� ����� ����� $� � �� � ����

$�Q�$�� $�� � 3* $�� �� �� ����� ������ ��� � � $�Q � �3 $�� � � �� ��� � �!�� ���

)����� � � ��� ���� ������ �� � $�� � $� � � ������� $� � ��� $�� � ���

$�Q�$�� $�� ��3�(���*��A��

��3*��

��

�$�� �� �� ����� ������ ��� � � $�Q �

6

3$�� � �

�� #�� ��� �� #�� � � �� ��� ����� �!*� ���� 0����� �/��� ��� &������ � �� %��� !����4�� &� �� ��� ��� � �/�� ��������

�� ��� �!*� ���� ����� � �3� ���� � ����� � � ��

�� ��� �!�� ���� ����� � �� ����� � � � ��� �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A7

Page 47: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� ,!���� � ���� ��� !�� �� ��������� !�� � � ���� �� %��� !�� ��4�� &��� +��� ��� �� ����4���� �� � ���� ��� � ��� &��� ���� � ���� �� ��� �� �� %��� !�� ��4�� &���� M���� ��� � �� ����� �� !�� ��� ,��� �� � �3�� 3��� ��� ����� �� � ��� ���� � ����4�� ������ � � �� � ����4�� �� ���� � � ������� ���� � � �� � ����4���� � �� %��� !�� � �� � � �

(� ��� '� ���� �� � �� ��

%��� !�� ��4�� &� ���� �� ��� ��� �� � ������� � ����� ���� ���� ������� �� ����� ����� ��%��� !��� ���� � ������� ��� ����� � �3��2��� � ������ � �3�7�� $�� ������ ��!*� ��� ����� �������� ��� � � � � � � � �

� � #�� �� ��� �!�� ��� ������� ���� � � � �!*� ��� ���������� ����-����4���� �/��� � � ��(� ��� '� ���� �� � � �

�(� �� �� �� %��� !�� ��4�� &� ���� ��

������� �� %��� !�� ���� � �� � ���(� �� � (��(� ��� ���

����� � 3�� 3� (� �� �

��� � ��(� ��

� ������ � 3� 2� 7���(� ��

$�� ������ ��!*� ��� � ���� �������� ��� � � � � � � �(� #�� �� ��� �!�� ��� ���� ��� � �� �!*� �� �� ���������� �� ���� � ����4�� � � ��(� �� � ���� �� � �� �� %��� !�� ��4�� &�� ������� ���� �

�� � ���(� �� � ( �

�(� ��� ��� ����� � 3�� 3�

�(� �� � �����

���� � � ������ � 3� �����

���� �

$�� ������ ��!*� ��� � ���� ��� � � �� � � �( � � � ��62� #�� �� ��� �!�� ��� ��� �� �� � �!*� ��� ��� � � �� �������� <!����� #�� ��� ������ �� � �� �� �� /��!*�� ����� � ������4�� �� �� #�� ���� ������� �� ���� ������ �� � � ��

�� ���!����� -�� #�� �� %��� !�� �� ���� ���� � �� �� !�� �� #�� �� ���� � �� �� ����� � � ��5������ �� �������� ������� � �������� ������� #�� �� ���� �� �������� ��� �������� ����������#�� ���� �� ��!*� �� ���������� � ��� �� � � ��!�� ��� �����������

��� +������� ��� �������� ��������� � ����� &�� � �� %��� !�� ���� �� � �� � �� � �� �� �� ���4���� � ������� �� ����� �� � ��� ��� ��� ������ � � �� � � �� �� � � (�

��� �����

F������� ������ ��!*� ���� �� �� ��� �� ��� �� �� ���� �� � �� -��� ������ �� �� ����� ��� �� #������

��

����� �� � 3�� �

��

����� �� � 3� � �

�� !� �� ����� #�� ����� �� �� ���� �� �� ��� ���

����� �� %������� � � �� � � � � (� � &���

���� �� � ��

#�� �� ���� ����� ��� �� #�� ��� ������ ��!*� ��� �� ���� ���� ��� ��� �������� ��� �� � ��� (�� -� %������!��� �� �� �� %������� � � �� � � � � (� � &���

���� �� � ��

#�� � ���&� � �� ������ ��!*� ���� ��� �� � �(� ��� )�� !��� ��� ����� �� � � (� �� &�� ��� � � (� ��� ��� �����

���� (� �� � �� � �(� ��� � ��(� �� � �� � �� (

���� �� &�� �� 3� � (� #�� �� ����� ���� � � (�3 �� �� ��� ����� � � ( � (�3 � (�3�� '��!�������� ���� %�������� �� �� &�� �� ��� &��� 3� � ��� ������ ����� ���� �� �!*� �� ����� &� ������� ������� ������ ����� ��� ��� ���� ���� /�� ������ � ������ ������ ��!*� ��� ��� ��� �(� ������ (� � �(�3� (�3�� �&������ � �� �/�� ������� #��� ���� �� � �� ��(� �� � ���� (� � (� �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� AE

Page 48: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��(�3� (�3� � 2�A� � ���� � �� ���� ��� � � �� ��������� ������� #�� ������� �� � ��� ������������������ �� ���� ����� �� �& ���� #�� � ������� �� �!*� �� �������� �� ��� ��� #�� �� �� � �� �!�� ���������� �� �(� �� � ��� (�� #�� &��� (� )�� !��� ��� #��� ����� � �� �(�3� (�3�� � � ��� �� !�� ������������ &� � ����� � � ���� ����� �� ����� �� � � ( � � ��� �� �!*� �� ����� &� �� ��� ������ ��� �� #���� �� � � ��� �!*� �� ����� &� � ����� � � ���� )��� � ���� ���� �� �� ���� �� ��� ������ ��� �

���(�3� (�3� � �2�3� 2�3�

��� �� #�� �� ������ ����� � �� ����� �� � � (� '��!��� �� ��H����� /�� � %���� � �� �� ���� � ����� � �� ������ �� �/� ���� !�� � ���� �� ��� �� #�� � � ��� �� �!�� �� ����� &� �� �/� ������� ����#� �� ����� #�� ����� � �/� ������ +��� ����� �� ����� � � � � ( � ��� �!*� �� ����� &���� ����#� �� ������� �� ������ �� ���� ������ ��� � &��� �!��� � ������ ��� � &��� ������ ���� � ��� #�� � � ��� �� �(�3� (�3� �� ����� � � ����

����� �' �����

��� -�� �� �!����� ������4� �(

A

��3� !

�3�� �� � ��

�� )����� #�� �� �� �!����� �����

�� +������� �� &���� �� �� ��� � ��� ��

�� +��� !����� �� ��� ������

�3� � 6� � ���� ���������� �� �!���� � �� ���� �� � ��

���&�� ���� �� �� ���� ������ &�� �������� �� �����

��� �����

�� � � � (

3� 5 � ��� � � ���� ��(� � �#

A�� � � �$�%����� �

(

3�$��

��������

)�� �� ����� �(

(7� $��

������� �

(

(7�$�������� � � (

(7� �

-� ���� %�����

�(

A

��3� !

�3��

�3

A�(� !� �� �

A

367�(� !�

(

7A

�(� A!� 7!� � A!� � !

�� � A

7A� � (

(7� �

�� ��� �� ��

�� (

(7

�� ��

�(

(7�$�������

�� ��

�(

(7

�� ! �# � 3�#� � � �� �(7� � ! �# � 3�#�� �

�� &���� �� �� ��� ���!� � �� �(7� � # !

�������

�� ������

�3�� 6� � ������

3�� 6

3�� #�� �� ��� ��� � �� ��!�� ��5 ���!��� ���

�� !�� �� �� ��� � �� ��� �����

� ����

����

��� � �

���

��������

�����

�(

3� ( ��

�����

3�� 6

3��� ���&�� ����

)��� �������� �� �����

0 ������

����� � �

� � ��� � ��

�� � ���� � � � �

��0 � �

�� � ��� � ��

�� � ��� � � � �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A@

Page 49: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

������

0 � (

30 �

(

30 �

E

3�

3

3��

3

3��

3

3 � � � � �

E

3�

���

(� ��

�?

3�� 0 � ?

��� ��� �� ���(�������� 6��

6��

�� ���� �� �� ���&�� ��� � � �� ��� ������

��� �� !�� ��� &������ � � � ��

�� )��� � � 7� �������� �� ���� � �� ��� ������

�� �

��� ������

�� '�� ���� �� �� ��� � �� ��� �����

� ����

���� �� � � �

���

��� �������������������

���

������ �������������

��� � � ����

��� (� �� 6 6�

� �� 6

6

�� ����� ��������� ��� ������

� � �� 6

6� ( �� � � � (�� �� ��� � �� ������������� ���&�� �����

� � �� 6

6� ( �� � � !� � � (��� �� ��� � �� &�� �����

� � �� 6

6� ( �� � � � � � (�� �� �� ��� � �� �� � � /���!� #�� ���� �� ���� ����������

����� ������

- � � � �� �� � �� � �� ��� � �� &�� �����

- � � � (�� �� � � � �� ��� � �� &�� �����

�� )��� � � 7� ������� �� ���(�����

6�� /���� � ����� �� ��� � �� ��!�� ��5 ���!��� ���

0 �

�����

�� ������

6�

,��� �� ���� ��� � � ������� ��� ���� ������� �� ���� � ������� �� #�� �� ��� � �� ����5

��������� ���&�� ������

0 ������

�� � �

� �� � �

� � � �

� � � � � �

�0 � �

� � �� � �

� � �

� �� � � � �

0 � �0 � �

� �� � �

� � �� � �

� � � � � �

� ���� �� ��� ��� � ���!��� �� � ���!�� � � ��� �� ������

A

60 �

(� �

�(

A�� 0 �

6

(7

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� A?

Page 50: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��� �� ���� #�� ���� � ���� � � ��� ��� ��������� � ,��$��� � �� ��� �

�����

��(���� �����

3�� (�

�� ���� �� �� ���!����� � ��� ��� ��

�����

��(���� (

3���� �3�� (��

�����

��(���� (

2���� �3�� (��

�� 9 +�!����� �!��� ��� �� ����� ��� ����� �� ����� ��� �� ���� ������� ��� ����� ��� !�� � ������ ��� �� ����� �%�� �� � (��;

�� ��� ��� #�� � ��� -� �� �� � -

(� � � � -� �������� #�� ���� � �� � � ���� � �� � �

� �

� "��� ��� �������� ����� ���� ���� �������� # ��� �� ����� �%�� �� � (���

��� �����

�� ���� ���� �� ���&�� ��� � �������� � �� ��� �

�����

��(���� �����

3�� (� � ��

�����

���

'�� ���� �� �� ��� � �� ��� ���� � �� ��� � � ��� &������ ��������������

�� ������

� ����

3�� (� �������

� ����

���� �� � � �

���

�������

����

�������

����

� � � � ����

3�� (

3�� (� � �

��� +��&�� � � � � � (� � � (- &�� � � � � � (� � � (<� �� � � � � � (� � � (

)�� ������ ���� � � (� �� ��� �

�����

��(���� �����

3�� (�� ������������� ���&�� ���� �� �� ���&�� ����

+���������������� ���� � � (� �� � ��� #�� ���� � ���� � ������

��(���� �����

3�� (�

$�� ��� ��

�����

��(����

3���� �3�� (��

�����

��(����

2���� �3�� (���� ���������� � ���!�� ����� �� ��� ���� �

�� ��� ������

��(���� �����

3�� (���� � � �

� � � � �� � ������� &������� )�� �� �������� #�� ��������

� �������� ����� ��� �� ��� ������������� ���&�� ������ � ��� ������ ���&�� ������ � ���!���

��(

3� � ���� �

(

3� �

�����

��(����

3���� �3�� (�� � ��

(

2� � ���� �

(

2� �

�����

��(����

2���� �3�� (�

�� ���� 0� 0� ��� ������� &�� ����� � ��� ��� ��� )��� �� �� ���� ��� ��

0 ������

��(����

�3�� (�3�����

(

3� (

2 � 3� �(

6 � 3 �(

E � 3� � � � ����(����

�3�� (�3����� � 0�

���(��

�3�� (�3������ � �

� �� ����� �� �� ���� 0 ������

�� � ���� ��� � �������� ��� �� ���� 0� � ��� � �� �����

�!��� ���� �� ����� ����� � ��� &���� ��������� �� �%�� �� �� &���� �������� �� �!��� �� �����

�� � 0 � 0� � ���� ����� ��(���3�� (�3����

���� � (

�3�� (�3����

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 6�

Page 51: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

B ���� #�� �/� ����� ��� �%�� �� � (���

0 � 0� � ���� � (

�3�� (�3����� (

(��� (� � �3�� (�3���� �� � � 7

)�� ����� ����� ����� ��� �� ���� � �� ��� � ��� �� � ��� 7 �� ����� �!��� ����

0 �

�����

��(����

�3�� (�3����� 0� �

(

3� (

2 � 3� �(

6 � 3 �(

E � 3� �(

? � 3� �(

(( � 3�� � ��A7272?@@77

�� � ��� �� ������� ���� �� �� ��� ��� ��

0� � 0�� � ����� �(

�3�� (�2����� (

(��� (� � �3�� (�2���� �� � � 6

)�� ������

0� ������

��(����

�3�� (�2����� 0� �

(

2� (

2 � 2� �(

6 � 2 �(

E � 2� �(

? � 2� � ��23(E6(�327

�� ���� � � ���� � �� � � - � ���� � �� �� �������� � � � �� � � � - � �

� � � ���

� ��� -� ��� � �

(� �� � ��

� ( �� �� - � ���� �(

3� � ���� �

(

2� � ���� �(� �

#

A

� )�� ��� �������� ����� ����

# � A����� �

(

3� � ���� �

(

2��� A�0� � 0�� � A���A7272?� ��23(E6(� � 2�(A(6727A(

��� �� ����� �%�� �� � (���

��� ��� � � � �� �� ��� � ���� ���� � ������3�

�� � (� �� � �

�� ������ �� ��� ��� � � ,��$��� � � ��� � � ����� ��������� �� ����� /���� �� �� &�� ����� 6�

�� ���� �� �� ���&�� ��� � �������� � ��� � ���� � �� ��� �

�����

��(����

3�� (�

�� ��� ��� #�� ��(� �#

3� �������� #��

�����

��(����

3�� (�

#

A�

��� �����

�� �� )�� ��� � � ,��$��� � � ���� � ���� � ���

����� � ���� �� ����(C

��� �����3C

�� � � � ��� ������

�C�� �

�����

� ������

�C��

-�� &��� ���� � � ��� ������ �� ��� ����

� ���� �(

��� � (��� 3�(� ���

�� � (�

3�(� ���

�� � ( ��� � (��

�����3

�� � (� � � � (

�3�� � (

� � � � (

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 6(

Page 52: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� #�� � � � (� �������� �� � ( � �� �� #�� ��� �� �� � ( � ( � ��� �� & ��&������ )�����#�� ������� ��������� �� ��� ��� � � ,��$��� � �#�� ����� �� � �� %��� !�� �� �� �������

�� �� ���� �������� � ���� �3

�� � (� -�� &��� ����� &�������

� ����� ��A�

��� � (��� � ������ �

A�2�� � (�

��� � (��� � � ���� �

�A@���� � (�

��� � (� � � ����� �

A@�6� � (��� � (�

��� � (�

�� �� ��!* ��� ���� � �� � ���� � 3� � ����� � �� � ������ � �A� � � ���� � �� � � ����� � A@� ���������

���� �3

(C�� A

2C�� �

A@

6C� � 3��� ��

2�

6�

$� �� �� � %����� !�� � ��� ����� ����� ��� ���� �� ������� �� ��� ��� � /���� ��� ��

����� � 3��� ��

2�

6� ��

E� � � �� ��(���� �����

3�� (

�� 3� �����

��(���� �����

3� � (

� ����� ��� ���� ������ !�� /���� ��� ��� �������� ���������� 3� ������

��(���� �����

3�� (

�� #��

�� �� ��������� �� ��� � � ,��$��� � � �����

�� +��� ������ �� ��� �

�����

�� �

�����

��(����

3�� (� #�� �� ��� ��� � ���������

� +��&�� ��� � '�������� ��� �� ��� ������

�� ������

(

3�� (� '�� ���� �� �� ��� � � �����5

��� !�� �� �� �!*� �� ��� �� ��� � ���!�� ��

�����

(

�� #�� �� &�� ����� �������

� ����

�������

�(

3��

�����

(

3�� (�� &�� ����

)�� ������ �� ��� � �������� �� ������������ ���������� �� #�� &�� � �� ��������� ������� � � ��� &������ ����������

� +��&�� ��� � ��� � ����� ���� ���� �� ��� � ��������

�����

�� �

�����

��(����

3�� (� ���� ��� �

������ �� �� ��� � � ���&�� ��� � � $� �� ���

� �� ��� ����� ����� �� � (

3�� (�

(

3�� (� ����

� ���� �� � � �

���(

3�� (� �

����� +�� $� �� �� �� +��&�� ����

)�� ����� �� ��� �

�����

��(����

3�� (�� ��� ������������ ������������ �� #�� �� ���&�� ����� ����

�� ������������� ���&�� �����

�� �� ��� ��� �����&�� #�� �� ��� �

�����

��(����

3�� (�� ��� ��� � �� ��� � � ,��$��� � �� �������

���

������

��(���� �����

3�� (� ���� � � (� )����� #�� !���� !��� �� �� �� ��� � � ,��$��� � �

(

3���� �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 63

Page 53: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

(

3������

3�

�� � (� � ��� �� ������� �� /���� & ��� #��� ���� � � (� �� ���&�� ����� ��������

(

3��(� �

�����

��(����

3�� (�� (

3� #3�

#

A�

�����

��(����

3�� (

��� �� -�������� #�� �� ��� � � �!��� ��� ��� � &��

������

(

����� �� � �� ��� - � �� �� ���&�� ���� �

� � (� &�� ���� � � � (� � #�� ���� � � ( �!��� ���&�� � � - � (�

�� '�� ��� �� ������� ����� �� �� ���� � � ��� ��� ��

������

�� �

������

��(������� ��� �� �(

�� ��� (���

��� �����

�� )����� #�� - � � � � � 3� ��������������

�� �������

(

����� �� �� ��� ��8�)� ���� � � 8!��� ���

)�� � &��� � ����� ����� ���� ��� �� �(

����� �� �

(

��� (����� ��� (�� � ���� ��� #��

����� �� � �� � (����� �� � (�� �� )����� �������� ��� ��� �� �� ��� � � �������� !�� �

+���/�� �� !�� �� ���� �� ��� �������

�� � ��� �� � ��� ���!����� #�� �� ��� � ��������������

3� ��� �

������

3���� �

������

3�(

�3������ 3�� �

������

(

�3������� �� 3� �

������

��

���� ���� �� ���!����� � �� ��� � ��������

������

��� #�� �� ���� !�� ��� ��8�)� '�� ���� ��

�� ��� � � �� ��!*��

� ����

���� � � �

����

�(

�3������� �� 3� �

(

3���� ����

(

� � �� �� 3�� � � �

�(

3���

)�� �����

� ����

���� �

(

3���

��� � (� � ( � 3��� �� � � ( +��&�� ����� (� � ( � 3��� �� � � ( - &�� ����� (� � ( � 3��� �� � � ( <� -�� �

+��� � � (� �� ��� ��� �� ��� �������

(

���� �� � ���� ��� � �������� ��

������

(

�� �� 3� �

(

��� 3�

������

(

� � � ���� �

�- � (� +��&�� ����- � (� - &�� ����

�� #�� �� ��� �������

(

� �� �� ��� � ���!�� �� ������ ��� ����� ��� �!� �U��� ���

����

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 62

Page 54: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

� �� ���� � � ( �� ���� ���� �� ��������� �� ��� � �� ����� �� ��� �� ��� � ���!�� �� �5

����� ���

������

(

��� #�� ���� � � ( �� ��� ��������� ���&�� ���� �

������

(

����� �� ����� !��

�� ���� ��� ��� ��� �������� !�� ��� ���� �� �!*� ����

� � ��������� �� ���� � � ( �� ���� ���� ��� �� ���� ��� �������� !�� �� �� �!*� �� ��� ��

��� � ���!�� ��

������

(

�� #�� �� &�� �����

�� ���������

�� �������

(

�� ��� (���

������

(

� �� ��� (�� '�� ���� �� �� ��� � � �������� !�� �� ��

�!*� �� ��� �� ��� �

������

(

� �� �� #�� �� &�� ���� ��� #�� �� ��� ��� �� ������� ����� �� ����

� � ( � -�� �� ��� �

������

�� �� &�� �����

��� �/��� �� ��� �������

��(������ �������

��(���� (

� �� ��� (�� #�� �� ��� ��� � ��������� �� � ����

� �� ������������ ���������� ����� �� ��� � � ��� &������ ���������

������

�� �� &�� ������

� �� ������������ �� #�� �� ��� � ��������

������

��(������ ������ �� �� ��� � � ���&�� ��� � �

$� �� ��� -����� ���� ��� � ����� �� � 3�� � � ����

�� � � ����

(

� �� ��� (�� ��

)�� ������ �� ��� �

������

��(������ �� ��� ������������ ������������

��� �� ���� ��� �� %��� !�� ���� � ����( � �

(� �

�� �� � ��

�� +������� �� ��� ��� � � ,��$��� � � ���� � ��� ��

�� ���� �� �� ���!����� � �� ��� ������

2����

�3�� (�6�����

�� "���� �� ��������� ����� ��� �������� #�� �� ���� � �� ��� � �� �� 3�

��� �����

�� ���� � ����( � �

(� �

��

(

3

����( � ��� ���(� ��

��

�� ��� ��� � � ,��$��� � � ���( � �� � ��� � �� �

������( � ��� �� � �� ��

3�

��

2� �

A�

6� ��

7� � � �� ��(�����

+��� ���(� �� � ���( � ������ �� ��� ��� � � ,��$��� � � ���(� �� ��������

������(� ��� �� � ��� �����

3�

�����

2� ����

A�

����

6� �����

7� � � �� ��(���� �����

��

��� ��

3� ��

2� �

A� �

6� � � �� ��

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 6A

Page 55: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

��������� �� ��� ��� � � ,��$��� � � ��� � � �� ����( � ��� ���(� ��� ��

�������� �� �(

3

���� ��

3�

��

2� �

A� � � �� ��(�����

��� ���� ��

3� ��

2� �

A� � � �� ��

���

�(

3

�3���

��

2�

6�

��

E� � � ��

�����

3�� (��� ��

��

2�

6�

��

E� � � ��

�����

3�� (

������ �� ���� ���� !�� ������� ����������� ��������� ��� ����� &�� �� &��� � ���� �� ����!* ���� )�� ������ �� ��� ��� � � ,��$��� � � ��� � � ���� ��

�������� �� � ����

2�

6�

��

E� � � ��

�����

3�� (�

�����

�����

3� � (

'� � ���� ����� ��� ���� ��� ��� � � ��� ��� �������� ��������� �� ��� �

�����

�����

3�� (� #��

�� �� ��������� � ,��$��� � � �����

�� ���� ���� �� ���� �� ���&�� ��� � �������� � �� ����� �� ��� �������

�����

3�� (� '�� ���� ��

�� ��� � �� ��� ���� � �� ��� � � ��� &������ ���������� ���������

� ����

���� �� �

�������

����

�������

�����

� � � � ����

3�� (

3�� 2� � �

#�� ���!� ���&�� ���� � � � � ( �� � � (� ��������� ���� � � (� ��� �

�����

�����

3�� (��

������������� ���&�� ����� � ��� ������ ���&�� �����

.����&���� #�� �� ��� � �� ������� ���

�����

2����

�3�� (�6�����#�� �� ��� ��8�)�� �� ��� ��� � ��

����� �� ���� � � 2�6 � (� +����������������

�����

2����

�3�� (�6������ ���&�� �����

������ 8��� !�� �� ���� ���� �� �� ���&�� ��� � ������������

�� )�� ��� �������� ����� �����

�����

2����

�3�� (�6������ �� ��������� � ,��$��� � � ���� ����

� � 2�6� )����� #�� �� ���&�� ����� �� � ��� #��

�����

2����

�3�� (�6����� ��2�6� � ��

��( � �

(� �

�� ��

�A � �� 3

��� �� ���� �� �� ���!����� � ��� ��� ��

�����

(

( ���

�����

( � ��

�C �

�����

2�

�A�

�� +���� � #��

�����

(

���

#�

7� ����� ��� �� ���� 0 �

�����

(

����� (���

��� �����

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 66

Page 56: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� $�� ���� ��� ��� �� � �!��� ��� ��� � &���

� - &�� ����� ���!� � ����� ��� �� ��� � ���!�� ��

�����

(

�� #�� �� &�� �����

� +��&�� ����� ��� ��� �� �� ��� � �� ��� �����

� +��&�� ����� ��� ��� �� �� ��� � � �� ��!*��

�� �� ��� ��8�)� ���&�� ���� ��� #�� ���!� ������� ��� �� ��� � ���&�� ����

�����

(

���� )��� ��������

�� ���� 0 &���� � ���������� �� �!��� �� ������ � �� ��� � �� %���� ���� �!�� � ������ )�������� ������ �����&�� #���

(

����� (���� (

���� (�

���� (�� (

�� (

���

(

��� 3

���� (��

(

��� (��

)�� �����

0 ������

(

����� (���

�����

(

��� 3

�����

(

���� (��

�����

(

��� (��

�����

(

��� 3� �����

(

��

�����

(

�� (�

��

(

��� (��

)���

�����

(

�� (�

�����

(

��

�����

(

�� (� ��� �� #��

�����

(

��

�����

(

�� (� (�

'� � ����

�����

(

��� (���

�����

(

���

�����

(

��� ( �

#�

7� (� ��������

0 �

�����

(

����� (���

#�

7� 3 �

#�

7� ( �

#� � ?

2

��� +��� !����� �� ��� �

�����

��� ��� �� ����C

��� (���� 3� � � � �3�� (�� � � ��

�� ���� �� �� ���&�� ��� � � �� ��� � �� �� � �� � � A�

�� ���� �� �� ���&�� ��� � � �� ��� � ���� � � A�

�� '�� ���� �� �� ��� � � ���&�� ��� � ���� ��� �� ���������� ������ #�� �� ��� � �� ���&�� � � � � �A� ����� ��� � � ����� ���������

� ��� ��� #��

���� ������

���� � �"���

�( �

(

3� � 3

�� � ��� ���� �� � �/� ����� ������ #�� ��

��� �

�����

���(�

(

3� � 3

� &�� �� ����� �� �� ��� � � �������� !�� ��� �� ��� �

�����

(

3� � 3�

� +��� ���������� � �� ������� ����� ��� �������� #�� � ����

�� � ��

� +����� � � �� ����� �� �� ���&�� ��� � � �� ��� � �������� #�� �� ��� ��� ���� � � �A������

��A���C��� (���� 3� � � � �3�� (�

��� �����

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 67

Page 57: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� +��&�� ��� � ��������� ���� ����� ���� ������ �� ���&�� ��� � � �� ��� � � ��� &������ ���������

�����

�� ������

� ��C��� (���� 3� � � � �3�� (�

'�� ���� �� �� ��� � �� ��� ���� � ���� ��� ��

� ����

���� �� � � �

���

� ������ (�C

��� 3���� 2� � � � �3�� (��3�� 3��3�� 2�

� ��C��� (���� 3� � � � �3�� (�

� � � ����

��� (��

�3�� 3��3�� 2�� � A

)�� �����

� � � � A� ��������

�����

�� ���&�� � �������

�� �� ������������� ���&�� ����� ��� � ��

���&�� �����

� � � � A� ��������

�����

�� &�� � �������

�� �� ������������� &�� �����

� � � � A� �� �� ��� � �� �� �� �� ���� ���� ��� ������� �� �� ��� � � ����5-�/�����

� ����

��(� ����

�� �� � �

�����(� ��� (��

�3�� 3��3�� 2�

�� � �

����

3�� 2�

(

3� ( �� - &�� ����

$�� � ���� � � A �� ��� ������

�� �� ������������� &�� �����

' ���� ���� !�� ���� ������ �� ��������� ���� � ��� ��� �� #�� �� ��� ���� ���� � � A �� � �A�

�� � � � A� �� &�� ����� �� #�� ������� ��� ��� � � �!��� ��� ��� � &�� ���� �� ����

�����

�� �

�����

�� �#�� �� &�� ������

�� � � � �A ��������� �� ��� � �������������

�� ������

��(�� A��C

��� (���� 3� � � � �3�� (�����

���&�� ��� � ���� ������ ��� ���� �� �� ��� � � $� �� �� ���� ��� �� ���������� ���� ����� �� �� � ���� ��� � (� �� � �

��� �� � �

���

�����

�� ���&�� ����

� � +������������ #�� �� � ���� ������� #�� ���� �� � (� �� �%�����

���� �� �

A��� (��

3��� (��3�� 2��

3�� 3

3�� 2� ( �� �� � ����

� � +���������� �/��� #�� � ����

�� � �� )��� ���� �� � ����� ��� ��� &������ ��� � ��� �5

��� ��� �� �� ����� ���

<�� ��� #�� �� ���� �

�"���

�( �

(

3� � 3

�� � #�� ��� #����� �� � ���� ������ !��� ���������

�� �� ���� � ��

�"���

�( �

(

3� � 3

��

�����

���( �

(

3� � 3

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 6E

Page 58: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

.����&���� #�� �� ��� � ��� �� ���� ���!����� ������ ���� �� ������� � ����� � � ����

� ����

�� �� ���� � � �

���

�����

���( �

(

3� � 3

��

�����

���( �

(

3� � 3

����� ���� ���� �� ���!����� � !���� !��� �� ��� � �#�� �� � �!��� ��� ��� � &��� ������!�����

��� �� ��� � #�� ��� � ��� �� �� ����� ���

�����

(

3� � 3� '�� ������� �� �� ��� � � �����5

��� !�� �� �� �!*� ���

� ����

���( �

(

3� � 3

�(

3� � 3

� � ����

���( �

(

3� � 3

�������

� �� � ����

�( �

(

3� � 3

�������

� �� � � (

)�� ����� ����� ��� �� � ���� ��� ���!������ )��� �� ��� �

�����

(

3� � 3�� &�� ����� ��5

�� �� ���� ��������� � � �!�� #�� ���������� �� �� �!*� �� ��� �� ��� � ���!�� ��

�����

(

��

+��������������� �� ��� ������

���( �

(

3� � 3

��� &�� ����� ��� � �� ���� �� ��

'�� #����� ���� �������� � �������� #�� � ����

�� � �� '���� & ��� #�� �/� ��� �

��������� � ����� �!*� ��� �� �� ������ !�� �� �� ���� � ��� �����

� ����

�� �� ���� �

�����

���( �

(

3� � 3

��� �� �� � �

��� �� ���� ��

)���� ������ #�� �� �� ��� ���������� �� ����� �� �!*� �� �!��� ���� ��� � � ���� �� ��)�� �����

� ����

���� � � ����

�� � �

��� �� #�� /���� &�� ���� �� ��� � !�� � � �� �� ��� � � $� �� ��� -� ��� �� ��������#�� �� ��� � �������� #�� �� ��� ��� ���� � � �A �� +��&�� �����

)�� ����� ���� � � �A �� ��� � �� ��� ������������ ������������ �� #�� ���&�� �� ���� ����������������

��� ��� �� ��� �

�����

�� ��� �� � ��(����3���� (���� �� � ��

�� ���� �� �� ���&�� ��� � �������� � ��� � ���� � �� ��� �

�����

�� �� !�!�� ��� &������ � � � ��

�� )��� � � � �� � ������� �� ���� � �� ��� �

�����

�� �

��� �����

�� '�� ���� �� �� ��� � �� ��� ���� � �� ��� � � ��� &������ ���������

�����

�� � #�� �� ��� ��� � �

�!��� ��� ��� � &��� ��� #���

� ����

���� �� � � �

���3��� �� ( ����

3� �� ( �� � 3 �� ( �

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 6@

Page 59: Problemas de Examen Resueltos

��� ��������� �� �������� � +���� 3��65�7 ���� ��� �� �������� �� �����

�� � ��� #�� 3 � � ( � � 3�� � (�� � ( � � �!��� � �� � (�� � (�3� #�� �� &�� ��� � � �!���

� � � ( � �3�3� ���� !��� �� ������ ���� � �

��(�

��� ��( �

���

�� �� !�� �� �� ��� � ��

��� ����� ���� ���� &������ � �� �� ��� �

�����

�� ���&�� �� )�� ������ �� ��� � �� ���

�����

��

���&�� � ��������������

)�� ���� ���� � � � �����(���� � � ��( �

��� �����

� ����

���� �� � (

��� �� #�� �� ��� �

�����

�� &�� �� )���� �!�� �!��� � ���� � � � ���� ��� �� &�� ��� #��

���� � �� � (� ��� �� #�� � ���� � � �� �!��� ��� �� ����� !�� � �� ���< �� ���� ������������ ����� � ���� ��� ���� ��� ��� � &��� �� ���� ����� � ����� �� ���������� �� �����5�� ���� ����� � ���� �� ����� !�� ����� ��� �� #�� �� �� ������ �� ��� � !�� ������� � �

���&�� ��� �� +���������������� ���� ��� &������ ���� ����� � � �� ��� �

�����

�� �� ���&�� ��

)�� !��� ��� � � � �( ���� � �� �!*� �� �� ��� ���� �� (� ��� �� #�� �� ��� ���� �� �� ��� � ��

��� ���� �� ��� ��� ���� )��� �� ����� �� ������ �� ��� �

�����

�� &���

�����

��(����

#�� �� ��� ��� � ��� ������ � ��� ����� �� ���&�� ����� �� �������� �

� ���(�

�3

3��( �

�3

3

�� ��� � ���&�� � �������������� � �� ���&�� � ����� �������� ���� ��� � ��������� ���� ������� � &������ � ��

�� � ���� �� ��� � � � �� � �� � ��(����

���

��� � ��� ����� �� ��� �

�����

�� �� �� ��� � ���!��� ��

�����

�3

?

������ ���� &���

��

(� ��

�3

E�

-���� ,����!�� �� '�� ��� � )!� �� 6?