Problemasdefísicapropuestosyresueltos:PotencialeléctricoPor:PilarCristinaBarreraSilvaFísicaHalliday-Resnick,volumenII,terceraedición

29.13Determinelaenergíapotencialeléctricadelaconfiguraciónindicada.ElcuadradotieneladoL=1,00m;q1=1,00X10-8C;q2=-2,00X10-8C;q3=3,00X10-8C;q4=2,00X10-8C.Solución:Sesabequelaenergíapotenciaeléctricaes:𝑈 = 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝑈!,! + 𝑈!,!sabiendoquecadaterminoes:𝑈 = 𝑘 !!!!

!!"

Reemplazandovaloresnuméricosseobtiene:U=-6,30x10-7JouleFísicaHalliday-Resnick,volumenII,terceraedición29.1Unaláminainfinitacargadatineunadensidadsuperficialdecarga𝜎 = 1,00𝑋10!!𝐶/𝑚!.Hallelaseparaciónentrelassuperficiesequipotencialescuyospotencialesdifierenen5,00voltiosSolución:Unasuperficieequipotencialesaquellaenlacualelpotencialeléctricosemantieneconstante.Sesabequeelcampoeléctricodeunaláminainfinitaes:𝐸! =

!!!!yaqueestecampo

esconstanteelpotencialaunadistancia𝑥delaláminaes:𝑉 = !!!!

𝑥,despejandoladistanciahorizontal:𝑥 = 8,85𝑋10!! 𝑚enmilímetroslassuperficiesequipotencialesestánmuycercanas.FísicaHalliday-Resnick,volumenII,terceraedición

Potencialeléctricodebidoaundipolo:Undipololoformandoscargasdesignocontrarioperodelmismovalor,separadasunadistancia2a.HallarelpotencialdebidoaldipoloenelpuntoP.Solución:CalculamoselpotencialeléctricodebidoalasdoscargasenelpuntoP:

𝑉 = 𝑘 𝑞𝑟!−𝑞𝑟!

= 𝑘𝑞( 𝑟! − 𝑟!𝑟!𝑟!

)

Sir>>2𝑎senotaenlafiguraquedemaneraaproximadasecumple:𝑐𝑜𝑠𝜃 = !!!!!

!!yaproximando𝑟!𝑟! ≅ 𝑟!esposibleexpresar

elpotencialdeldipoloenlaforma:

𝑉 = 𝑘𝑞(!!"#$%!!

)alvalor2𝑎𝑞selellamamomentodipolar𝑝:entonces:p=2𝑎𝑞,finalmenteelpotencialeléctricodeestaconfiguraciónsepuedeescribircomo:V= !"#$%

!!!!!!

Potencialeléctricodedoscascaronesesféricosconcéntricos.ElinternotieneradioR1=6,00cmycargaQ1=12,0nCelexternotieneradioR2=10,0cmycargaQ2=-18,0nC.Loscascaronessonaislanteytienenlacargadistribuidademanerauniformeencadaunadelassuperficies.a)halleelpotencialeléctricoenr=0,enr=4,00cm,enr=8,00cmb)graficarlafunciónpotencialdesder=0hastar>10,0cmSolucióna)Parahallarelpotencialeléctricosevaaaplicar:𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑟Veamoselesquemadelasituacióneneldibujo:

Esnecesarioconocerelcampoeléctrico,éstesedeterminaapartirdelaLeydeGauss:r>R2𝐸!4𝜋𝑟! = 𝑄!"#$/𝜖!entoncesreemplazandovaloresconocidosconlacargatotal:𝐸! = − !",!

!!

EnR1<r<R2conunprocesosimilar,peroenestecasolacarganetaesladelcascaróninterno:𝐸! = !"#

!!

Finalmenteen0<r<R1E3=0yaquelacarganetaenestaregiónesnula.Ahoradeterminemoselpotencialeléctricoencada

región:Parar>R2𝑉! = − 𝐸! ∙ 𝑑𝑟 = − − !",!

!!𝑑𝑟 = − !",!

!+ 𝐶!;laconstante𝐶! = 0yaqueel

potencialseaproximaacerosir𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜, entonces:𝑽𝟏 = − 𝟓𝟒,𝟎𝒓

AhoradeterminoelpotencialenR1<r<R2conunprocesosimilar:

𝑉! = − 𝐸! ∙ 𝑑𝑟 = −108𝑟! 𝑑𝑟 =

108𝑟 + 𝐶!

Paradeterminar𝐶!setieneencuentaquelafuncióndebesercontinua,entonceshalloelpotencial𝑉!enr=R2,estoes:𝑉! = − !",!

!,!= −540voltios

Aplicoesteresultadoen𝑉!:−540 = !"#

!,!+ 𝐶!dedonde𝐶! = −1620entonceselpotencialenestaregiónes:

𝑽𝟐 =𝟏𝟎𝟖𝒓 − 𝟏𝟔𝟐𝟎

Finalmentedeterminoelpotencialenlaregión0<r<R1,comolafuncióndebesercontinua,halloelpotencial𝑉!enr=R1:

𝑉! =1080,06− 1620 = 180 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠

Estevalorresultaválidopara0<r<R1entonces:V3=180voltios

Ahorahallamoselpotencialenlospuntosdondelosolicitaelejercicio:Enr=0yr=4,00cmV3=180voltiosEnr=8,00cmelpotencialcorrespondealasegundaregiónestoes:R1<r<R2V2=-270voltiosb)gráfico:

Análisis:Deacuerdoaloesperadoelpotencialeléctricoresultaconstanteenlaregióndondeelcampoeléctricoesnulo,varíaluegodeacuerdoaunafunciónpotencialinversaenlaregióncomprendidaentrelosdosradiosdeloscascaronesyfinalmenteseacercaaceropararmayorqueelradiodelcascarónexterior.

Notaimportante:Deacuerdoalapropuestadesoluciónpresentarsolamentelacorreccióndelquiz.Noesnecesariorealizarejercicioadicional.Potencialdeunaesferamacizaaislante:EsferamacizanoconductoraconcargatotalQdistribuidademanerauniformeentodosuvolumen,elradiodelaesferaesR.Determinarpotencialeléctricodebidoalaesferaenr≥Ryen0≤r≤ 𝑅.Graficarelpotencialeléctricocomofuncióndeladistanciar.Solución:Parahallarelpotencialeléctricodebidoalaesferavamosaaplicar:

𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙

ElvectorcampoeléctricodebidoaunaesferaaislantemacizaderadioResapartirdeLeydeGauss:

𝐸! =𝑄

4𝜋𝜀!𝑟! 𝑟 𝑟 ≥ 𝑅

𝐸! =𝑄𝑟

4𝜋𝜀!𝑅! 𝑟 𝑒𝑛 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅

Notamosqueenestosresultadoscuando𝑟 = 𝑅elcampoeléctricocoincideenmagnitud,esdecir𝐸! = 𝐸!; esteresultadoindicaquelafunciónescontinua.𝐸 𝑅 = !

!!!!!!enmagnitud

Ahoradeterminamoselpotencialeléctrico:Para𝑟 ≥ 𝑅

𝑉! = −𝑄

4𝜋𝜀!𝑟!𝑟 ∙ 𝑑𝑟𝑟

Yaqueelvectorcampoeléctricoyelvectorposiciónsonparalelos:𝑟 ⋅ 𝑟 = 1Laintegralesinmediata:𝑉! = − !

!!!!!!𝑑𝑟= !

!!!!!+ 𝐶!

Parahallar𝐶!asumoquesi𝑟 → ∞ 𝑉 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐶! = 0Asílafunciónpotenciales:𝑉!=

!!!!!!

(1)Para𝑟 ≥ 𝑅

𝑉! = −𝑄𝑟

4𝜋𝜀!𝑅! 𝑟 ∙ 𝑑𝑟𝑟

Realizandoelproductoescalareintegrando:

𝑉! = −𝑄𝑟

4𝜋𝜀!𝑅! 𝑑𝑟 = −

𝑄𝑟!

8𝜋𝑒!𝑅!+ 𝐶!

elpotencial𝑉!es:

𝑉! = −𝑄𝑟!

8𝜋𝜖!𝑅!+ 𝐶!

Lafunciónpotencialeléctricoescontinua,loqueimplicaqueen𝑟 = 𝑅; 𝑉! = 𝑉!:

𝑄4𝜋𝜖!𝑅

= −𝑄

8𝜋𝜖!𝑅+ 𝐶!

despejandolaconstante𝐶!

𝐶! =3𝑄

8𝜋𝜖!𝑅

Finalmenteelpotencialeléctricoenestaregiónes:𝑉! = − !!!

!!!!!!+ !!

!!!!!;factorizando:

𝑉! =!

!!!!!(3− !!

!!)(2)

Veamoselgráficodelafunciónpotencialeléctrico:

Física.Tipler-Mosca,volumenII,quintaedición23-55..Doscortezascilíndricasdegranlongitudyconductorasposeencargasigualesyopuestas.Lacortezainteriortieneradio𝑎yunacarga+q;laexteriortieneunradio𝑏yunacarga–q.LalongituddecadacortezacilíndricaesL.Halleladiferenciadepotencialexistenteentrelasdoscapasdelacorteza(en𝑎 < 𝑟 < 𝑏)Física.Tipler-Mosca,volumenII,quintaedición23.56Unaesferauniformementecargadatieneunpotencialde450Vensusuperficie.Aunadistanciaradialde20,0cmdeestasuperficieelpotenciales150V.Determineelradiodelaesferaylacargaqueéstatiene.Explicarporquéelpotencialesmenora20,0cmdelasuperficiedelaesfera.