PROBLEMAS DE MOVIMIENTO #6( Tiempo, Razón unitaria[rapidez], Distancia )

INTRODUCCIÓN

DEFINICIÓN PROBLEMA DE MOVIMIENTO: Es aquél en el que un objeto se mueve a una razón dada durante cierto lapso de tiempo.

LA FÓRMULA QUE SE APLICA PARA RESOLVER ESTOS PROBLEMAS ES:

CANTIDAD = razón . tiempo

La cantidad se mide en diversas unidades, según la razón. Por ejemplo, si la razón mide distancia por unidad de tiempo, la cantidad será una distancia.

Si la razón mide volumen por unidad de tiempo, la cantidad será un volumen.

La distancia recorrida por un automóvil que se mueve con una razón constante en un tiempo específico se determina mediante la fórmula:

Distancia = razón . tiempo

Al llenar una alberca con una razón constante durante cierto tiempo, el volumen de agua en la alberca se detemina mediante la fórmula:

Volumen = razón . tiempo.

Observe que estas fórmulas son versiones particulares de la fórmula del recuadro anterior.

EJEMPLO #1Una alberca se llena a razón de 10 galones por minuto. ¿Cuántos galones se habrán agregado al cabo de 25 minutos ?

SOLUCIÓN: Como estamos analizando los galones, que miden volumen, la fórmula que utilizamos es:

Volumen = razón . tiempo = 10 . 25 = 250

Así, el volumen después de 25 minutos es de 250 galones.

EJEMPLO #2Un paciente debe recibir 1200 centímetros cúbicos de líquido por vía intravenosa durante 8 horas. ¿Cuál debe ser la razón del flujo intravenoso?

SOLUCIÓN: Aquí tenemos el volumen y tiempo durante el cual hay que suministrar el líquido. Debemos determinar la razón unitaria.

Volumen = razón . tiempo

1200 = r . 8

r = 1200 / 8 r = 150

El líquido debe suministrarse a razón de 150 centímetros cúbicos por hora.

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO CON DOS RAZONES UNITARIAS( rapideces )

INTRODUCCIÓNPara cada problema tiempo, rapidez y distancia hay algún tipo de relación entre las DISTANCIAS.

Los problemas de distancia usualmente involucran dos vehículos ( por ejemplo: automóviles, trenes, bicicletas, etc.) cualquiera viajando en la misma dirección o en direcciones opuestas, o un vehículo haciendo un viaje redondo.

#1 SE IGUALAN LAS DISTANCIAS1.- DOS OBJETOS DEJAN UN MISMO PUNTO A DIFERENTES TIEMPOS, Y SE ENCUENTRAN X DISTANCIA DESPUÉS. ( LAS DISTANCIAS RECORRIDAS POR LOS OBJETOS SON IGUALES ).

Un hombre deja su casa y conduce a 50 millas / hora. Luego su hija descubre que su papá ha olvidado algo, y ella inmediatamente conduce para alcanzarlo a 65 millas / hora. ¿En cuánto tiempo su hija alcanzará al papá si el va 15 minutos adelante?

SOLUCIÓN: Sea t = el tiempo en el que su hija lo alcanzará. Ya que el papá ha viajado 15 minutos más, cuando su hija lo alcance habrá viajado t + 1/4 del tiempo de su hija.Organizamos esta información en una tabla.

Por lo tanto sus distancias viajadas serán iguales. Establecemos la ecuación como sigue:

Resolvemos la ecuación:

Luego, la hija lo alcanzará en 50 minutos.

#2 SE SUMAN LAS DISTANCIAS2.- DOS OBJETOS PARTEN AL MISMO TIEMPO, SE ENCUENTRAN AL MISMO TIEMPO Y JUNTOS RECORREN UNA DISTANCIA TOTAL DADA ( conocida ).

Misma direcciónTiempo igual, Distancia Total dada

x millas (Parten al mismo tiempo, se reúnen al mismo tiempo )

PROBLEMA: Atlanta y Cincinnati están separadas por 440 millas. John deja Cincinnati, conduce hacia Atlanta a una rapidez promedio de 60 mi/hora. Pat deja Atlanta al mismo tiempo y se dirige a Cincinnati, conduce a una rapidez promedio de 28 mi/hora. ¿En cuánto tiempo se reunirán?

SOLUCIÓN: Sea t el tiempo en que se reunirán John y Pat. Cuando ellos se encuentren cada uno habrá viajado el mismo tiempo, ya que parten al mismo tiempo.

Organizamos esta información en una tabla.

VELOCIDAD DEL BOTE Y CORRIENTES DE RÍO

EJEMPLO #1El río Tickfaw tiene una corriente de 3 mi/hora. Un bote tarda el mismo tiempo en recorrer 12 millas río abaja ( con la corriente ) que recorrer 8 millas río arriba ( contra la corriente ).¿Cuál es la velocidad del bote en aguas tranquilas?.

SOLUCIÓN: Sea r la rapidez del bote en aguas tranquilas. Porque la corriente empuja al bote cuando el bote va con la corriente, la rapidez del bote será la suma de la rapidez del bote y la rapidez de la corriente, ( r + 3 ).Porque la corriente ralentiza al bote cuando el bote va contra la corriente, la rapidez del bote es dada por la diferencia entre la rapidez del bote y la rapidez de la corriente, ( x – 3 ).

Organizamos esta información como sigue:

#3 SE SUMAN LAS DISTANCIASDirecciones opuestas

Tiempo igual, Distancia Total dada, Rapideces diferentes

x millas

CASO #1RAPIDEZ = Son diferentes, incógnitas, TIEMPO = es conocido, DISTANCIA = Distancia total viajada conocida.EJEMPLO:Dos ciclistas dejan el mismo punto y pedalean en direcciones opuestas. Un ciclista pedalea dos veces más rápido que el otro. En 3 horas, ellos estarán separados por una distancia de 81 millas.¿Encuentre la rapidez de cada ciclista?

CASO #2RAPIDEZ = conocida, diferentes, TIEMPO = incógnita, es igual, DISTANCIA = Distancia total viajada conocida.EJEMPLO:Dos aviones dejan el aeropuerto a las 8 a.m., uno volando al norte a 480mi/h y el otro volando al sur volando a 520mi/h.¿A qué hora estarán separados por una distancia de 3000 millas?

#4 DISTANCIAS IGUALES, VIAJE REDONDO ( ida y vuelta )( Los tiempos son diferentes y las rapideces )

PROBLEMA: Una persona caminó desde su casa al estadio de fútbol a una rapidez de 3mi/h. Al termino del juego se regresó en autobús a una rapidez de 22 mi/h. Si el tiempo en ambos caminando y en el autobús fue de 2 horas, cuánto el caminó?

SOLUCIÓN: Sea t el tiempo que tardó en caminar al estadio, luego 2 – t el tiempo que tardó en el autobús hacia su casa.Ya que nos dan las rapideces tanto caminando y en autobús, las registramos en una tabla.

Ya que las distancias son las mismas, la ecuación queda así:

Resolvemos para t:

Por último, queda así:

Luego, para calcular la distancia que caminó usamos la fórmula = DISTANCIA = RAPIDEZ . TIEMPO = 3(1.76) = 5.28 MILLAS

PROBLEMA: Como parte de un vuelo de entrenamiento, un estudiante para piloto le fue requerido que volara a un aeropuerto y luego se regresara.La rapidez promedio para el viaje de IDA fue de 100 mi/h., y la rapidez para el viaje de REGRESO fue de 150 mi/h.Encuentre la distancia entre los dos aeropuertos si el tiempo total de viaje fue de 5 horas.

PROBLEMA: VIAJES POR CARRETERAUn doctor condujo 200 millas hacia una convención nacional. Debido al mal clima, su rapidez promedio en el viaje de regreso fue de 10 mi/h. menos que su rapidez cuando iba a la convención. Si el viaje de regresó le tomó 1 hora más que el viaje de ida, a qué rapideces condujo en cada dirección?

SOLUCIÓN: Necesitamos encontrar las rapideces tanto de ida como de vuelta.Sea r = la rapidez promedio en el viaje de ida, luego r – 10 será su rapidez promedio en el viaje de regreso.La distancia en cada viaje es la misma: 200 millas.Ilustramos estos hechos con un dibujo.

Registramos esta información en una tabla.

Porque el viaje de regresó tomó 1 hora más, podemos establecer la siguiente ecuación

Resolvemos la siguiente ecuación:

r = 50 o r = -40. Excluimos -40 porque no podemos incluir una rapidez negativa. De esta forma la rapidez del doctor en su viaje de ida fue de 50 mi/h. y su rapidez en el viaje de regreso fue de 40 mi/h.

#5 TIEMPO IGUAL DE VIAJE( Diferentes distancias conocidas, diferentes velocidades desconocidas )

PROBLEMA: Un auto viaja 180 millas en el mismo tiempo que le toma a una camioneta viajar 120 millas.La rapidez del auto es 20 millas más rápida que la de la camioneta, encuentre las rapideces de cada móvil.

SOLUCIÓN:Sea x = la velocidad de la camioneta.Como la rapidez del auto es más rápida que la de la camioneta por 20 mi/hora. x + 20 será la rapidez del auto.

Registramos esta información en una tabla.

Como cada móvil hace el mismo tiempo en viajar sus distancias, podemos establecer una ecuación:

Resolvemos:

Al obtener este resultado vemos que la rapidez de la camioneta es de 40 mi/hora. La velocidad del auto esx + 20 = 40 + 20 = 60 mi/hora rapidez del auto.

Para encontrar el tiempo, sustituimos valores en la expresión para el tiempo.

PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN MOVIMIENTO DEL AIRE (viento ) Y MOVIMIENTO DEL AGUA ( corriente )

INTRODUCCIÓNAlgunos problemas más difíciles tienen a Aviones volando con un viento o unos botes moviéndose en el agua.Estos objetos se mueven ya sea directamente a favor o en contra del viento o del agua.

El avión puede tener un viento de frente ( headwind ) o viento de cola ( tailwind ).La velocidad del avión debe ser incrementada con un viento de cola ( tailwind ) y decrementada por un viento de frente ( headwind ) para determinar que tan rápido cubre el viaje.

Por ejemplo, si un avión vuela a 200mi/h en el aire. Esta es llamada velocidad-del-aire. Si hay 20mi/h de viento de frente ( headwind ), la velocidad se debe decrementar sobre el suelo por 20 mi/h, así que la velocidad-del-suelo debe ser de 200 – 20 o 180 mi/h.

La velocidad-del-suelo ( ground speed ) es la rapidez en los problemas de la distancia.Un viento-de-frente ( headwind ) reduce la velocidad del avión.Un viento-de-cola ( tailwind ) incrementa la velocidad del avión.

El bote puede ir río arriba ( en contra = upstream ) o río abajo ( a favor = downstream).Still water = aguas tranquilas

Esta forma de la Ecuación es útil cuando el tiempo total de viaje para los dos objetos o el tiempo de viaje entre dos puntos es conocido.

#1 LA CORRIENTE DEL AGUA SE DESCONOCE, EL TIEMPO ES EL MISMO( viaje redondo = río arriba, río abajo, mismo tiempo, distancias conocidas y diferentes )

PROBLEMA: La velocidad de un bote en aguas tranquilas es de 20 mi/h. El bote viajó 75 millas río abajo y le tomó el mismo tiempo ir 45 millas río arriba.

¿En encuentre la rapidez de la corriente?SOLUCIÓN:Sea r = la rapidez de la corriente del río.

Como los tiempos son iguales en ir 75 millas río abajo que 45 millas río arriba. Tenemos la siguiente Ecuación:

Por lo tanto, la rapidez de la corriente del río es de 5 millas/hora

#2 LA CORRIENTE DEL AGUA SE DESCONOCE, DISTANCIA ES LA MISMA( viaje redondo = río arriba, río abajo, mismo tiempo, distancias conocidas y diferentes )

PROBLEMA: El crucero Forest City Queen puede hacer un viaje de 9 millas a través del río Rock y regresar en 1.6 horas. La rapidez del crucero es de 12 mi/h. en aguas tranquilas, encuentre la velocidad del río Rock.

SOLUCIÓN: Analizando la información dada vemos que lo largo del río es de 9 millas, y le toma 1.6 horas hacer un viaje redondo.Sea c = la velocidad del ríoCuando el crucero va a favor de la corriente del río su rapidez se incrementa debido a la corriente la cual es c.Por lo tanto, su rapidez a favor de la corriente es: 12 + c.Si va en contra de la corriente su rapidez disminuye y su rapidez será: 12 – c.

Ilustramos estos hechos con un diagrama:

Dada esta información, la podemos organizar en una tabla:

La otra información es que el viaje redondo dura 1.6 horas.Ahora si tenemos suficiente información para establecer una ecuación:

Resolvemos la ecuación:

Tomamos la solución c = 3, y de esta forma la rapidez de la corriente del río es de 3 mi/hora.

#1 LAS RAPIDECES DEL MÓVIL SE DESCONOCEN, TIEMPO TOTAL DADO DEL VIAJEDISTANCIAS DIFERENTES

PROBLEMA: Un ciclista pedalea las primeras 20 millas de un viaje a una rapidez constante. Para las siguientes 16 millas, el ciclista redujo su velocidad a 2 mi/h. Si en total recorrió 36 millas y tardó 4 horas.

¿Encuentre la rapidez del ciclista para cada distancia del viaje?

SOLUCIÓN:Sea r = la rapidez del ciclista para la primera parte del viajeLuego r – 2 = la rapidez del ciclista para la segunda parte del viaje.

El diagrama de la situación queda así:

Luego organizamos la información en una tabla.

La siguiente información nos dice que el trayecto duró 4 horas.Con esta información podemos establecer la Ecuación.

Descartamos la solución r = 1, porque daría un rapidez negativa.Tomamos r = 10. Por lo tanto 10 mi/h. para el primer trayecto y 10 – 2 = 8 mi/h. para el segundo trayecto.

1.- Para cada objeto, escriba una expresión numérica o variable para el tiempo, rapidez, y distancia.2.- Averigue si le son dados ya sea ambas velocidades, tiempo o distancia.3.- Si dos objetos comienzan al mismo tiempo, sus tiempos de viaje serán iguales.3.- ¿Cuál es la incógnita?4.- ¿Qué hecho es conocido acerca de la distancia?5.-Determina cómo las distancias viajadas por los dos objetos están relacionadas. Por ejemplo, la distancia total viajada por ambos objetos puede ser conocida, o la distancia que ambos objetos recorren es la misma.6.- Determine como los tiempos viajados por los diferentes móviles están relacionados. Por ejemplo, se puede saber que los tiempos son iguales, o el tiempo total puede ser conocido.

6.- Dibuje un diagrama de la situación7.- Haga una tabla en la que se incluya la rapidez, tiempo y distancia de cada objeto.8.- Establezca la ecuación.