PROBLEMAS PROCESOS ALEATORIOS Problema 1: En el sistema de comunicación mostrado se envía un mensaje x(t) cuya autocorrelación es Rx(τ )= 104 Sinc 104 τ , el cual se contamina con ruido blanco n(t) independiente de la señal, con media cero y densidad espectral de potencia normalizada igual a 10-8 W/Hz. Además el canal disminuye en 10 la amplitud

(Φ uniformemente distribuida entre -π y π)

a.- Grafique |HT(f)|2 para que la señal de salida x3(t) no sufra distorsión. b.- Determine fo mínimo para que la potencia total de ruido a la salida sea mínima. c.- Si la señal de entrada es x(t)=Cos2 (2π.2.103t + Ø) con Ø uniformemente distribuida entre -π y π, Determine la autocorrelación de la señal y1(t) y la relación señal a ruido a la salida.

Solución: a) Primero transformamos Rx para obtener la DEP y nos queda después de pasarla por HT

El ancho de banda coincide con el filtro HR(f) para que la señal no sufra distorsiones

GxK800

H)f(GxH 22

R2

T =

| HT | debe compensar a | HR | donde

2R

2T

H

'kH =

Por lo que: f2

T e'kH =

Lo que garantiza que la señal x no sufrirá distorsión.

b)

Para que la potencia de ruido sea mínima, no tiene que haber solapamiento, es decir la frecuencia de 2fo-500K tiene que ser mayor que los 5K del filtro HR

Kkfo 55002 >−

Kfo 5052 >

KKfo 5.2522

505=>

c) Para hallar la autocorrelación primero manipulamos la señal de entrada.

2)10.2.2cos(

21)10.2.2(cos)(

332 φπφπ +

+=+=tttx

Luego transformamos para hallar su DEP

)2(161)2(

161)(

41)( KfKffxDEP ++−+= δδδ

DEP(n)=

Donde su autocorrelación es igual a )10(1010)( 668 τsincnR −=

Como x y n son independientes y el ruido tiene media cero Gy1=Gx1+Gn =>

)10.2.2cos(81

41)10(csin10RnRxRy 362

111 τπ++τ=+= −

Para el cálculo de la relación señal a ruido: Sea la DEP de x igual a

Si fo es lo suficientemente grande para evitar solapamiento después del primer coseno la DEP queda

Por el otro coseno y por el filtro queda

WxS 62 1075.4682*2*100

1*161*

1612*

1001*

161*

41 −=+>=<

Ahora el ruido tiene una DEP de:

Si fo es grande después del 1º coseno

Por el otro coseno:

Luego el último filtro solo deja pasar lo que se encuentre entre –5K y 5K por lo que:

∫ =−=∫=>=< −−−

−−

−−K5

0

12K5

0

f8K5

0

f8

f8

2 10x25e80010.2dfe

80010.2dfe

800102n

Por lo que la relación señal a ruido queda:

612

6

1075.181025

1075.468 xx

xNS

==><><

−

−

Problema 2: Un proceso ergódico con distribución uniforme entre (-a,a), tiene la siguiente función de autocorrelación

Determine el valor de a (Explique). Si el proceso x(t) es ergódico también es estacionario y se cumple que la media

temporal es igual a la media estadística, es decir, <x(t)>=E[x]. Al evaluar la autocorrelación en cero se tiene <x2(t)>= E[x2]= 1/3. Se conoce también la función densidad de probabilidades debido a que es uniforme entre (-a,a), entonces

Problema 3: Un proceso ergódico x(t) tiene un valor medio igual a 4v. Si x(t) pasa por un sistema LIT cuya respuesta impulsiva es h(t)=4Sinc(t), determine el valor medio de la señal de salida.

Si el proceso x(t) es ergódico entonces es estacionario y se cumple que E[x(t)]=E[x]=Nivel D.C. de la señal eléctrica. De los datos tenemos que E[x]=4v ⇒ (E[x])2 =16 W

Gy(f)= ⏐H(f)⏐2 Gx(f), que es el valor de la densidad espectral de potencia a la

salida del sistema LIT . Sabemos que Gx(f) tendrá una delta en el origen de amplitud 16, la cual representa la potencia D.C. de la señal a la entrada del sistema LIT, es decir, Gx(f)= cualquier señal + 16 δ(f)

La respuesta impulsiva del sistema es h(t)=4Sinc(t) cuya transformada de Fourier es

H(f)= 4 ∏(f) ⇒ ⏐H(f)⏐2 = 16∏(f) A la salida del sistema LIT tenemos que la función de densidad espectral de

potencia es Gy(f)= 16* cualquier señal +256 δ(f), y como queremos el valor medio de la señal de salida tenemos que:

(E[y])2 = 256 ⇒ E[y]= ±16 =16 = Nivel D.C. de la señal a la salida También hemos podido decir que Nivel DC Salida= Nivel DC de entrada *H(0)=4*4=16

Problema 4: Al pasar ruido blanco gausseano por un filtro pasabajo ideal de 1MHz de ancho de banda se obtiene N1(t) con una potencia de 0.08 µw. Luego se filtra con un pasabanda como el mostrado y se obtiene una potencia de 0.02 µw.

3e)(R x

τ−=τ

[ ]

1a31

a6a2

31dx

a21xxE

2

a

a

22

=⇒=

== ∫−

Determine la probabilidad de que N1(t) supere 1mv.

Ruido blanco Gausseano FILTRO

PASABAJO IDEAL 1MHz

FILTRO PASABANDA

IDEAL 0.5MHz a 1MHz

N2(t)N1(t)

Solución: Representación Gráfica del sistema

Observación importante: Como el ruido es blanco y gaussiano no sabemos si su nivel DC es nulo (si dijeran que el ruido es térmico sería otro asunto) Sabemos que la DEP del ruido tiene la siguiente forma:

Donde K1y K2 son constantes.

A la salida del primer filtro pasa el delta que representa la potencia DC y una parte de la DEP constante e igual a K1 que representa la parte AC; la suma de estas 2 potencias es igual 0.08µ W

W0.08K2 .(1) K1.(2M) 2 µ=+ A la salida del pasabanda solo tenemos la componente AC con una potencia igual a 0.02 µ W.

(1)2.K1.(1M)= 0.02 µ W. => K1=2x10-14

La potencia DC=K2=0.08µ W-K1(2µ)=4x10-8

La DEP de N1(t) queda

Como N1(t) es gausseano para que no supere 1mv

σ−

=⇒σ+=mmv1KKmmv1

donde 48 10x210x4m −− ==

σ2=2x10-14 =2x10-14.2M=4x10-8

σ=2x10-4

54

410x17.3)4(Q

10x2

10x2m1Q)mv11N(P −−

−==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=>

Problema 5: En un sistema como el mostrado se envía una señal x(t) que se contamina con dos fuentes de ruido blanco, independientes, de media cero

L=10 dB (POT)

L=10 dB (POT)

-1Hz 1 Hz

H1(f)10

+

η

-2 Hz 2 Hz

H2(f)G

+

η

Determine G para que la potencia de ruido a la salida no cambie al intercambiar de lugar H1(f) y H2(f). Solución: Primero calculamos la potencia a la salida debido a las 2 fuentes de ruido sin intercambiar los filtros. Sabemos que la DEP del ruido es constante e igual a η/2

222222

G122GG)10()2Bw2()2H(2Lcanal

2H).1Bw2.(1H.2/1Pot η=η+η=

η+

η=

Ahora calculamos la potencia a la salida debido a 2 fuentes de ruido intercambiando los filtros

100G)10()1Bw()1H(2Lcanal

2H).1Bw2.(1H.2/2Pot 22

22

η+η=η

+η

=

Como las potencias deben ser iguales

η.12.G2=10η G2+100η

2G2=100

G2=50

50=G

25=G Problema 6: En la figura mostrada, la señal ni(t) es ruido blanco gausseano con un nivel DC de 8v y densidad espectral igual a 10-3 w/Hz. Cuando esta señal pasa por el sistema mostrado, el voltaje r.m.s a la salida es de 4v.

n (t)i

n (t)o

H(f)

8k

B8

Determine a) El ancho de banda B b) P( 4v<no(t) <8v) Solución: a)Primero Calculamos el ancho de Banda

22 )(2.2

VrmsBHf =η

2x10-3(8)2.B=16

1258

100010x2x64

16B 3 === −

b) Como el ruido es gausseano y el filtro no deja pasar el nivel DC

σ=4 m=0

4=K1σ => K1=4/4=1

8=K2σ => K2=8/4=2

P(4<n<8) = Q(k1)-Q(k2)=Q(1)-Q(2)=0.1587-0.0228=0.1359

Problema 7 Un mensaje x(t) aleatorio, ergódico, con una función de autocorrelación Rx(τ)=0.1Sinc2106τ, es modulado en amplitud usando el siguiente sistema:

x(t)H(f) =0.8 y(t)

1 v (Nivel DC)

Cos( 2π10 t+ )9

θθ unif. distr. (-π,π)Independiente de x(t)

Fase=0

Determine la densidad espectral de potencia de y(t) en función de la densidad de potencia de x(t) ( Dibújela) Solución:

Para sacar la correlación de la señal de salida con respecto a la entrada, primero hallaremos como es afectada por el coseno

[ ] )cos()(121))(cos()(1)(1 τωτθτωτ cRytctytyERy =+−−=

Esto implica que la DEP a la salida va poseer la siguiente relación:

4)(1

4)(1 fcfGyfcfGyGy +

+−

=

Por lo que

)cos(5.0)cos()10(csin1.02

)8.0(Ry cc62

2

τω+τωτ=

Por lo que la DEP a la salida va quedar como la DEPde X(t) filtrada mas la transformada del nivel DC todas divididas entre 4 por lo antes demostrado: La DEP de x(t)

Después del filtro:

Usando lo demostrado anteriormente nos queda:

Problema 8 Una señal x(t) con autocorrelación Rx(τ)= 5 Sinc(5τ) +2 se contamina con ruido blanco independiente de ella con DEP Gn(f)=0.5. La suma de estas señales se procesa por un sistema que tiene |H(f) |2= Sinc2f. a) Determine el valor DC y la potencia AC de x(t) b) Determine la potencia de ruido a la salida Solución: a) La autocorrelación de la señal es igual a Rx(τ)= 5 Sinc(5τ) +2 y su transformada de Fourier es igual

Donde la potencia DC es igual a 2 El nivel DC es igual a 2±

La potencia total es 725)( 0 =+=xR

Potencia total =PAC+PDC PAC= PTotal –PDC=7-2=5 b) La potencia de Ruido a la salida viene dada por la DEP del ruido Filtrada por |H(f)| por lo que su potencia será la integral de:

21df)f(sinc5.0N

)f(sinc5.0Gout

22

2

=>=<

=

∫

Problema 9 La señal de una emisora de radio se modela como una señal aleatoria x(t)=Cos(2πt+Q) con Q uniformemente distribuido entre –π,π. Esta es interferida por otra señal aleatoria, independiente de x(t), dada por z(t)=Cos(4πt+θ) con θ uniformemente distribuido entre –π,π Para eliminar la interferencia, la suma x(t)+z(t) se pasa por un sistema como el ilustrado:

a) Determine T de forma que a la salida no exista interferencia y si pueda pasar la señal de radio. b) Determine, bajo esas condiciones, la potencia promedio total a la salida. Solución: a) Primero se calculan las DEP de x(t) y de z(t)

)Qt2cos()t(X +π=

)4cos()( θπ += ttZ

El sistema tiene una función de transferencia dada de la siguiente forma

TjefH ω−−=1)(

Como Gy=Gx|H|2 , hay que tomar H(f) y lograr que se anule para f=2 Hz y no se anule para 1 Hz

)(1)( 222TJTJTJ

Tj eeeefHωωω

ω −+−− −=−= Donde lo que está dentro del paréntesis puede expresarse como

))2T(sen(j2 ω

Buscamos ahora que se anule para ω=4π

21

42

24

4

==

=

=

T

T πππω

Ahora verificamos que deje pasar la señal ubicada en ω=2π

1)2

sen()21

22( ==

ππSen

b) Afectado por H(jω)

2)0()cos(214

4.|| 22

==⇒=

== =

RxoPxoRxo

GHGxGy

ωτ

πω

Problema 10

La señal aleatoria )t10Cos(2x(t) φ+π= con φ uniformemente distribuída entre -π y π

pasa por un sistema como el mostrado. Recordando que Rx(τ) = 50Cos2πτ

a) Determine la autocorrelación de la salida Ry(τ) en forma explícita.

b) Determine la potencia AC y DC de y(t)

Transformador de Hilbert

Retardo T segundos

+

x(t) y(t)

Solución:

T)-x(t(t) x̂y(t) += y [ ])t(y)t(yE)(Ry τ−=τ

⇒ ( )( )[ ])Tt(x)t(x̂)Tt(x)t(x̂E)(Ry τ−−+τ−−+=τ

Aplicando propiedad distributiva.

( )[ ])Tt(x)Tt(x)t(x̂)Tt(x)Tt(x)t(x̂)t(x̂)t(x̂E)(Ry τ−−−+τ−−+τ−−+τ−=τ

Por propiedad del Operador Valor Esperado.

[ ] [ ] [ ] [ ])Tt(x)Tt(xE)t(x̂)Tt(xE)Tt(x)t(x̂E)t(x̂)t(x̂E)(Ry τ−−−+τ−−+τ−−+τ−=τ

⇒ )(Rx)T(x̂Rx)T(xx̂R)(x̂R)(Ry τ+−τ++τ+τ=τ Por propiedad de

Autocorrelacion

)(x̂R)(Rx τ=τ , Ya que una señal tiene la misma DEP que la de su transformada de

Hilbert.

⇒ )T(x̂Rx)T(xx̂R)(Rx2)(Ry −τ++τ+τ=τ

Aplicando la propiedad de Autocorrelación siguiente:

)2(Sen50))T(2(Sen50)T(xR̂)T(xx̂R πτ=+τπ=+τ=+τ

Esta deducción se pudo simplificar, aplicando la propiedad de Autocorrelación siguiente:

)2(Sen50))T(2(Sen50)T(xR̂)T(xx̂R πτ−=−τπ−=−τ−=−τ

Estas propiedades vienen de:

)(Rx*)(h)(Ryx ττ=τ , Si Hilbert)(h =τ

)(xR̂)(Rx*)(h)(xx̂R Hil τ=ττ=τ

)(xR̂)(x̂Rx τ−=τ

⇒ )(Rx2)(Ry τ=τ ⇒ πτ=τ 2Cos100)(Ry

Gy(f) = F{100 Cos2πτ}

Como no hay Delta en el Origen ⇒ Potencia DC = 0.

⇒ Ry(0) = Potencia Promedio Total = 100 ⇒ Ry(0) = Potencia AC.

Debido que la Pot. DC = 0

⇒ Potencia AC = 100

Problema 11 Una señal aleatoria s(t) con autocorrelación

Rs (τ ) = 104 Sinc2104 τ

se contamina con un ruido n(t), independiente de la señal, de media nula, gausseano,

blanco, de densidad espectral constante e igual a 0.5x10-10 w/Hz.

La señal mas el ruido alimentan un filtro tal y como se muestra en la figura.

a) Determine f1 y B mínimo de tal forma que no exista distorsión en la señal de salida.

b) Determine B Si se sabe que la probabilidad de que el ruido a la salida sea mayor a 6 mv

es igual a (P(n0(t) >6mv)=1.35x10-3)

c) Fije ahora f1=0 y B=100KHz; determine la relación señal a ruido a la salida en dB

H (f) 2

f1

2

Solución:

a) Determine f1 y B mínimo de tal forma que no exista distorsión.

Para que no exista distorsión del mensaje a la salida

y(t) = kx(t-td)

Tenemos que Gs(f) = Λ(f/104)

⇒ f1 = 0 y B = 10k, esto permite que pase Gs(f) sin distorsión.

b) Determine B Si se sabe que la probabilidad de que el ruido a la salida sea mayor a 6 mv

es igual a (P(n0(t) >6mv)=1.35x10-3)

⇒ Q(x) = 1,35x10-3 ⇒ Por tabla que x = 3

σ−α

=mx B10x2B2x2x10x5,0Potencia0m,Pn 1010 −− ==→==σ

kHz2010x2BB10x210x4B10x210x2310x6

4

1061033

==

=⇒==σ⇒σ= −−−−−

c) Fije ahora f1=0 y B=100KHz; determine la relación señal a ruido a la salida en dB

dB902x2x10x5.0x10

2x2x210

Log10idoPotenciaRuñalPotenciaSeLog10

NS

105

4

s

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Problema 12.-

Observe el siguiente sistema

2 3

x(t)

y(t)

Retardo 1 seg.

Retardo 1 seg.

a) Determine la autocorrelación de y(t) en función de la autocorrelación de

x(t)

b) Determine la densidad espectral de potencia a la salida, si la

autocorrelación de x(t) es:

τ=τ 44x 10Sinc10)(R

Respuesta:

( ) { } ( )∏=τ=⇒τ=τ 4xx

44x 10f)(RFfG10Sinc10)(R

( ) ( ) ( )2tx3tx2ty −+=

( )[ ] ( )( )[ ])2t(x3)t(x2)2t(x3)t(x2E)t(y)t(yE)(Ry τ−−+τ−−+=τ−=τ⇒

Aplicando Propiedad Distributiva:

( )[ ])2t(x)2t(x9)t(x)2t(x6)2t(x)t(x6)t(x)t(x4E)(Ry τ−−−+τ−−+τ−−+τ−=τ

Por propiedad del operador valor esperado:

[ ] [ ] [ ] [ ])2t(x)2t(xE9)t(x)2t(xE6)2t(x)t(xE6)t(x)t(xE4)(Ry τ−−−+τ−−+τ−−+τ−=τ

⇒ )(Rx9)2(Rx6)2(Rx6)(Rx4)(Ry τ+−τ++τ+τ=τ

⇒ )2(Rx6)2(Rx6)(Rx13)(Ry −τ++τ+τ=τ y por consiguiente:

ω+=++= ω−ω 2cos)f(Gx12)f(Gx13e)f(Gx6e)f(Gx6)f(Gx13)f(Gy 2j2j

( ) ( ) ω+= ∏∏ 2cos10f1210

f13)f(Gy 44

Problema 13.-Un proceso ergódico gausseano x(t) tiene la siguiente función de

autocorrelación: Rx ( τ) = 0. 25 + 0.007Sinc 20000τ + 0. 014Sinc 40000τ

Dicho proceso pasa por el sistema ilustrado a fin de producir dos nuevas salidas: z(t) y y(t). Si se sabe que Q (independiente de x(t)) está uniformemente distribuido entre −π, π , que la ganancia del filtro pasabajo es unitaria yque su ancho de banda es W (menor que 20 KHz): a) Grafique la densidad espectral de potencia de y(t) en función de W. b) Determine la varianza de y(t) en función de W

c) Determine que valor de W entre 10KHz y 20 KHz hace que la probabilidad de que y(t)

este entre 0 y 1 voltio sea igual a 0.999784.

d) Grafique la densidad espectral de potencia de z(t).

e) Determine la potencia promedio total de z(t).

Transformador deHilbert

x(t)

y(t)

x

Filtro Pasabajo idealW<20000

Sen(80000 π t+Q)

z(t)

Respuesta:

a) Grafique la densidad espectral de potencia de y(t) en función de W

( ) { } ( ) ( ) ( )∏∏−−

++δ=τ= 33

33

3

3

xx 10x40f10x4010x1410x20f

10x2010x7f25.0)(RFfG

( ) ( ) ( ) ( )∏∏ −− ++δ= 3636x 10x40f10x35.010x20f10x35.0f25.0fG

Para W<10k

Para 10k<W<20K

b) Determine la varianza de y(t) en función de W

Para W<10k 62 10Wx4.1 −=σ

Para 10k<W<20K

632 10Wx7.010x7 −− +=σ

σ2 = Potencia Promedio AC de x(t) = E[x(t)2] – E[x(t)]2 ⇒ El área bajo la curva, omitiendo

el Delta en el origen.

c) Determine que valor de W entre 10KHz y 20 KHz hace que la probabilidad de que y(t)

este entre 0 y 1 voltio sea igual a 0.999784.

P(0<y(t)<1) = 0,999784 ⇒ P(0<y(t)<1) = 1-Q(0)-Q(1)

5,025,0m == Esto se debe a que 0,25 es el valor de la Potencia DC.

P(0<y(t)<1) = 1-2Q(x) = 0,999784

⇒ 1-2Q(x) = 0,999784 ⇒ ( ) 410x08,1299974,01xQ −=

−=

Por tabla de Gausseana, tenemos:

x = 3,70 → σ−α

=mx , donde 63 10Wx7,010x7 −− +=σ

kHz09,16W

10Wx7,010x71351,070,310Wx7,010x7

5,01x 63

63

=⇒

+=⇒=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−= −−

−−

d) Grafique la densidad espectral de potencia de z(t).

33

10x40f2

10x480ff2 =⇒π

π=⇒π=ω

( ) ( ) ( )440000fGx

440000fGxfGz +

+−

=

e) Determine la potencia promedio total de z(t).

Potencia Promedio Total = 2(62,5x10-3 + 40x103x87,5x10-9 + 20x103x87,5x10-9

Potencia Promedio Total = 135,50x10-3 W

Problema 14

H (f)2

1A

-2 KHz 2KHz-f

c fc

100

H (f)2

2Salida

El sistema mostrado es alimentado por ruido blanco de media cero y densidad

espectral de potencia igual a 10-10 w/Hz; fc es variable y positiva . Si al variar fc la

máxima potencia que se puede obtener a la salida es de 1µw:

a.- Determine "A" (|H1(f)|2máx)

b.- Determine fc para que la potencia de salida sea el 25% de la máxima.

Respuesta:

a.- Determine "A" (|H1(f)|2máx)

Potencia Promedio Total = 1µW (A la salida), que es lo mismo que decir el área más grande que se puede calcular con ambos filtros multiplicado por la señal. Con fc = 0 se tiene la máxima potencia a la salida.

( ) 21 fH ( ) 2

2 fH

36310 10x25A10100x10x410Ax −−− =⇒=⇒

b.- Determine fc para que la potencia de salida sea el 25% de la máxima.

Si multiplicamos los filtros ( ) 21 fH y ( ) 2

2 fH , obtendremos un filtro resultante con las siguientes características:

5,2B100x10x25B 3 =⇒= − , La cual seria la amplitud de un posible filtro resultante.

( ) Hz1500fcHz500fck210x25,0fck22x5,2x10 610 =⇒=−⇒=−⇒ −−

Problema 15

Una señal aleatoria x(t), ergódica y gausseana, tiene una función de autocorrelación

dada por Rx(τ)=1+ e-|τ| . Esta señal pasa por un canal que solo le produce un

retardo de 8 segundos. Determine la probabilidad de que la señal retardada sea mayor

a 1.5 voltios.

Respuesta:

[ ])t(x)t(xE)(Rx τ−=τ Por concepto de Autocorrelación

( ) ( )8txty −=

[ ])(Rx)(Ry

)8t(x)8t(xE)(Ry

τ=τ⇒

τ−−−=τ

( ) ( ) ( )212ffGyω+

+δ=⇒ , Esto indica que se tiene una Delta en el origen de

amplitud igual a la unidad.

1m =⇒ y ( ) [ ] [ ] ( ) 112m0RxExE20R 22x

222x =−=σ⇒−=−=σ⇒=

1=σ y 5,1=α

5,0x1

15,1xmx =⇒−

=⇒σ−α

=

( )( ) ( ) ( ) 3085,05,0QxQ5,1tyP =⇒=> . (Por tabla de Gaussianas)

Problema 16 Observe el siguiente sistema:

G (f) n

x(t)

Retardador de 1 seg

+

+ y(t)

El mensaje es la señal x(t) y tiene una densidad espectral Gx(f) dada por:

f(Hz)

G (f) x

-2.5 -1.5 1.5 2.5

1

Por su parte, el ruido tiene una densidad espectral de potencia plana, unitaria entre -4 Hz y 4 Hz , y nula en el resto del espectro de frecuencias. 1) Determine la expresión de la autocorrelación de y(t) en función de las autocorrelaciones de x(t) y de n(t). 2) Determine la densidad espectral de señal a la salida. 3) Determine la potencia de señal a la salida. Del diagrama de señales obtenemos:

)()1()()( tntxtxty +−+= (1.1)

Además se sabe que

)()22cos(2)()2()2()(

ττπτ sincRfffG

x

x

⋅=+Π+−Π=

(1.2)

)8(8)(8

)(

ττ sincR

ffG

n

n

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π=

(1.3)

Nótese que ninguna de las señales tiene potencia DC (deltas en el origen del espectro de potencia), es decir:

0000

2

2

=⇒=

=⇒=

nnxx (1.4)

Entonces se calcula la autocorrelación de la señal de salida

[ ] { }{ }[ ])()1()()()1()()()()( τττττ −+−−+−+−+=−= tntxtxtntxtxEtytyERy

La autocorrelación de la señal de salida en función de las autocorrelaciones de las otras dos señales es:

)()1()1()(2)( τττττ nxxxy RRRRR +−+++= (1.5)

Calculando la transformada de Fourier de la autocorrelación se determina la densidad espectral de potencia: )()()()(2)( 22 fGefGefGfGfG n

fjx

fjxxy +++= − ππ

[ ]

{ }{ } ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π+++Π+−Π=

++=

8)2cos(1)2()2(2)(

)()2cos(1)(2)(

fffffG

fGffGfG

y

nxy

π

π (1.6)

La potencia promedio de la señal de salida se calcula integrando la densidad espectral de potencia

( ) 1282cos14)(2

5

23

2 =++== ∫∫∞

∞−

dffdffGy y π

Entonces la potencia promedio de la señal de salida es 12 Watts.