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teoria de campos magneticos
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y
x 0
d
d
0
0
Como se observa en la figura, se trata de un capacitor plano con dielctrico, y con una de sus placas conectada a tierra.
Por condicin: 02
( )
d
x d
E
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELCTRICA
CURSO: TEORA DE CAMPOS ELECTROMAGNTICOS
PROFESOR: Mg. JORGE MONTAO PISFIL
PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE CAMPO
ELECTROSTTICO EN MEDIOS DIELCTRICOS
Problema N 1
Un capacitor de placas paralelas tiene sus placas en 0x y en x d , y el espacio entre las placas
est lleno de un material no homogneo con permitividad 02
( )
d
x d
. Si la placa en x d se
mantiene a 0 cuando est a tierra la placa en 0x , encuentre:
a) La intensidad de campo elctrico E
b) La polarizacin P
c) La densidad superficial de carga de polarizacin Pol
d) La capacitancia cuando 2,5d mm y cada placa tiene un rea de 200 cm2. Desprecie el efecto de
borde.
Resolucin
Segn el enunciado la figura es la que se muestra a continuacin.
Sabemos que:
- En un capacitor plano el campo elctrico slo existe en su interior, es decir en la regin
comprendida entre las placas del capacitor.
- El campo elctrico E
est dirigido de la placa de mayor potencial elctrico hacia la placa de menor
potencial. Por lo tanto, en nuestro caso el campo vectorial E
est dirigido hacia la izquierda.
- La magnitud de E
en las cercanas de un conductor, cualesquiera que sea, viene dada por:
E
Donde es la densidad superficial de carga de una las placas conductoras del capacitor.
a) Clculo de E
(intensidad de campo elctrico)
Tal como se explic, en este caso el campo vectorial E
est dirigido hacia la izquierda (de la
placa de mayor potencial hacia la placa de menor potencial), por lo tanto se cumple:
( )xE E a
Luego:
xE a
Reemplazando 02
( )
d
x d
queda:
0
( )
2x
x dE a
d
. . . (1)
Para hallar utilizo la ecuacin que relaciona la diferencia de potencial con la intensidad de
campo elctrico E
. Es decir:
a
b
ba dE
Reemplazo 0,0 ba y el valor de E
hallado en la ecuacin (1). Luego despejo , tal
como se indica a continuacin.
2
00
0 0
3( )
2 2 2
d dx d dx
d d
0 04
3d
Reemplazando en la ecuacin (1) y simplificando obtenemos:
0
2
2 ( )
3x
x dE a
d
* Del resultado hallado se concluye que el valor del campo vectorial E
vara dependiendo de la
posicin x, alcanzando su valor mximo en la posicin dx , y su valor mnimo en la posicin
0x .
b) Clculo de P
(vector polarizacin)
Se sabe que: 0( )P E
Reemplazando E
y obtenemos: 0 0
2
2 ( )
3x
d xP a
d
En la figura mostrada a continuacin se observa al dielctrico polarizado. Las cargas polarizadas
en el dielctrico tienen signo positivo en la posicin 0x y signo negativo en la posicin dx ,
por lo tanto el vector polarizacin P
est dirigido hacia la izquierda.
c) Clculo de Pol (densidad superficial de carga de polarizacin )
Se sabe que:
nPpol
* Para 0x : xn a
0 02
3Pol
d
* Para x d : xn a
0Pol
d) Clculo de C (capacitancia del capacitor plano)
La capacitancia se define por: ab
QC
Reemplazando los valores de la carga elctrica Q y de la diferencia de potencial ab entre las Placas del capacitor plano, tenemos:
0
0
4
3
AAC
d
94,4C pF
Problema N 2
Dos esferas conductoras concntricas con radios de 3 y 5 cm, tienen la regin entre ellas rellena de un
dielctrico homogneo para el cual 5r . Si el potencial de la esfera interior es 100 V mientras que la
del exterior es de -100 V, determine:
a) El potencial elctrico ( )r
b) La intensidad de campo elctrico ( )rE
c) El valor de r para el cual 0
d) La carga Q sobre la esfera interior
e) La capacitancia entre las dos esferas
Resolucin
Segn el enunciado la figura es:
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
P
a) Clculo del potencial elctrico ( )r
Para conocer el valor del campo elctrico E
necesito conocer Q (carga libre encerrada por la
superficie gaussiana = carga de la esfera conductora de radio 3 cm). Esta carga Q la hallo aplicando
la ecuacin que relaciona el potencial con el campo elctrico:
a
b
ba dE , Donde:
rdd
0,03
2
00,05
20020
r r
QV a dr a
r
0300Q
Reemplazando la carga Q tenemos que el campo elctrico E
es: 215
rE ar
Luego, el potencial ( )r viene dado por:
rdE
Es decir: ( ) 215 15
r dr Cr r
* Si 0,03r m )03,0( mr15
1000,03
V Cm
400C V
( )15
400r Vr
5r
b
a
a
b Datos:
3 0,03a cm m
5 0,05b cm m
100a V
100b V
Por ley de Gauss en dielctricos:
LIBRES
QSdD
2(4 )D r Q 24
QD
r
Luego:
2
04 r
QE
r
2
020r
QE a
r
; a r b
2r
1r
a
b
Superficie Gaussiana
r
d S
E
rd
b) Clculo de la intensidad de campo elctrico ( )rE
Ya se hall en a) que la intensidad de campo elctrico es igual a:
m
Va
rE rr 2)(
15
Otra forma de hallar ( )rE
es aplicando gradiente de potencial. Es decir: )()( rrE
Para ello calculo el gradiente de potencial en coordenadas esfricas y luego lo reemplazo en la
ecuacin anterior, obteniendo que el campo elctrico ( )rE
es igual a:
m
Va
rE rr 2)(
15
c) Clculo de r para el cual 0
Se hall que el potencial elctrico es igual a ( )
15400r V
r
.
Igualando a cero esta ecuacin y despejando r obtengo que:
cmmr 75,30375,0
f) Clculo de la carga elctrica Q sobre la esfera interior
Para calcular la carga elctrica Q sobre la esfera conductora interior, utilizo:
S dAQ Donde:
nEr 0
22
0
20
7515)5(
m
C
raa
rrr
ddsenrdA 2
Reemplazando la densidad superficial de carga y el diferencial de rea dA, tenemos que la carga
elctrica Q queda expresada por:
ddsenrr
Q 22
0 0
2
075
nCQ 34,8300 0
e) Clculo de la capacitancia entre las dos esferas
La capacitancia se define por
Q
C ; donde: Vba 200
Reemplazando el valor de la carga elctrica y de la diferencia de potencial, tenemos:
pFV
nCC 7,41
200
34,8
a
b
.S G
L
Problema N 3
Supngase que se tienen dos conductores cilndricos coaxiales, el interior de radio a y el exterior de
radio b, y los dos de longitud infinita. Se supondr una distribucin de carga sobra la superficie
exterior del conductor interior. En la regin entre los conductores existe un dielctrico de permitividad
. Calcule la energa almacenada en el campo electrosttico de una seccin del cable coaxial, o el
capacitor, de longitud L.
Resolucin
Segn el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra a continuacin.
Para calcular la energa almacenada EW en el campo electrosttico de una seccin del cable coaxial, de longitud L, aplico la ecuacin siguiente:
2
0
1
2E
V
W E dV
Para hallar E (magnitud de la intensidad de campo elctrico) aplico la ley de Gauss en presencia de
dielctricos y la relacin: /DE .
libre
S
QSdD
Resolviendo la integral cerrada de superficie y reemplazando el valor de la carga neta libre encerrada
por la superficie gaussiana ( aLAAQLibre 2, ), tenemos que:
)2()2( aLLD
aD
Luego, la magnitud de la intensidad del campo elctrico E es igual a:
DE
aE
Reemplazando este valor de E y el diferencial de volumen dV en coordenadas cilndricas ( dzdddV ), tenemos:
)(2
122
0 0
dzdda
Wb
a
L
E
Evaluando la integral, obtenemos: )/(22
abLnLa
WE
. . . (1)
Problema N 4
Una esfera metlica de radio a se encuentra aislada y almacena una carga elctrica + Q. Suponga que sin descargar la esfera, sta se recubre con una capa de espesor e de un dielctrico de permitividad . Determine la energa electrosttica almacenada en el sistema.
Resolucin
Segn el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra a continuacin.
Para calcular la energa electrosttica en cada regin utilizo la ecuacin:
2
0
1
2E
V
W E dV , para ello
primero hallo E (magnitud del campo elctrico) en dichas regiones utilizando la ley de Gauss y la
relacin /DE .
La intensidad de campo elctrico
E viene dada por: r
DDE
0
Primera regin ( ar ): 0
E (Porque no hay carga neta libre encerrada por la superficie Gaussiana) Segunda regin ( eara ): ra
r
QE
24
Tercera regin ( ear ): rar
QE
2
04
Reemplazando la magnitud de estos campos elctricos hallo la energa en cada regin de la ecuacin
1. El resultado obtenido es:
)(8)(8 0
22
)(ea
Q
eaa
eQW SistemaE
En la figura observamos que todo el espacio queda dividido
en tres regiones:
Primera regin: ar (Interior de la esfera)
Segunda regin: eara (En el dielctrico)
Tercera regin: ear (Fuera del dielctrico)
Por lo tanto, la energa electrosttica almacenada en el sistema estar dada por:
)Re3()Re2()( ginraEgindaESISTEMAE WWW . . . (1)
* En la primera regin no hay energa electrosttica
almacenada porque no hay campo elctrico.
+Q
a
e
Dielctrico
Por ley de Gauss: libreS
QSdD
Calculando la integral cerrada de superficie, reemplazando
QQlibre , y despejando D, tenemos:
24 r
QD
Vectorialmente, tenemos:
rar
QD
24
, para cualquier r.
+Q
r
a
D
Sd
Superficie Gaussiana