Problemas Resueltos de Derivadas e Integrales

UNMSM/FIEE 2012-2 Consultas en Lima – Peru 997906751

PRACTICA N°4Problema 1:

Si el grafico de la función f está representado por la figura adjunta, halle su regla de correspondencia:

Solución:

Por la función identidad f(x)=x, tenemos que x tiene un intervalo desde 0 hasta 3/2

Luego la recta tiene como regla de correspondencia f(x)=3/2 con un intervalo desde 3/2 hasta 9/2

Y finalmente la última recta tiene una regla de correspondencia que es la función identidad pero como se ve en la figura se desplaza 6 unidades hacia la derecha

3/2

45⁰


PRACTICA N°4

Finalmente el grafico tiene la siguiente regla de correspondencia

Problema 2:

Consideremos la función f definida por: Determinar si f es

inyectiva, si lo es hallar f*(x)

Solución:

Como esta función tiene tres reglas de correspondencia, para saber si es inyectiva tenemos que

saber que las funciones que están dentro son inyectivas además que

Entonces tenemos:

De tenemos: De tenemos: De tenemos:


PRACTICA N°4Y ahora analizamos las intersecciones de sus rangos:

Como podemos observar el rango de f1 se intersecta con el rango de f2 y f3

Así que la función f(x) no es inyectiva.

Problema 3:

Dada la función ,- 1<x<1 pruebe que si univalente y encuentre su función inversa

Solución:

Es univalente pero Como tiene varias reglas de correspondencia

se ve si la demás funciones son univalentes o inyectivas

La función si es univalente. Ahora la función inversa seria:


PRACTICA N°4

Problema 4:

Solución:

Por conjugada

Tomamos para acotar :

También:


PRACTICA N°4

En (1):

Luego:

Problema 5:

Solución:

Problema 6:

Calcular la derivada en el punto indicado usando la definición:

Solución:

Aplicamos definición de derivada:

3 5

1lim

1x

x x

x

3 5

1

3 5 3 5 3 5

1 1 1

2 4 3 22 3 4 53 3 5 5 5 5

3 5

2 4 3 21 2 3 4 53 3 5 5 5 5

21 3

lim1:

1 1 1 1lim lim lim

1 1 1 1

1 1 1 1 11 1

lim1 11 1 1 1 1

1lim

1

x

x x x

x

x

x x

xSolución

x x x x x x

x x x x

x x x x x xx x

x xx x x x x x

x

x x x

4 3 22 3 4 53 5 5 5 5

2 4 3 21 2 3 4 53 3 5 5 5 5

3 5

1

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 2lim

3 5 151 1 1 1 1

2lim

1 15

x

x

x

x x x x x

x x x x x x

x x

x


PRACTICA N°4

Problema 7:

Determinar, si la función es derivable en Xo

Solución:

Probamos si la función es derivable en x=-1

Aplicando límites laterales

Entonces la función es continua

Ahora probamos si la derivada es continua


PRACTICA N°4Por lo tanto f(x) es derivable en Xo=-1

Problema 8:

Hallar los valores de a y b de manera que a función sea derivable en

todo su dominio

Solución:

Para que f(x) sea derivable en x=1 también debe de ser continua

Luego derivamos f(x):

También f’(x) debe ser continua:

Problema 9:

Hallar

Solución:


PRACTICA N°4

Problema 10:

Solución:

Problema 11:

Hallara el valor aproximado de

Solución:


PRACTICA N°4

Problema 12:

Se tiene una hoja rectangular de pape, de lados 8 y 1, se desea hacer con ella una caja sin tapa, cortando en sus esquinas iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar el lado de los cuadrados que deben ser cortados, al fin de que el volumen sea mayor posible.

Solución:


PRACTICA N°4Problema 13:

Solución:

Problema 14:

Solución:

Problema 15:

4

1


PRACTICA N°4

Solución:

Problema 16:

Solución:

Reemplazando:


PRACTICA N°4

Problema 17:

Solución:

Problema 18:

Solución:

x1


PRACTICA N°4

Problema 19:

Solución:


PRACTICA N°4

Problema 20:

Hallar el volumen del solido S generado al rotar la región limitada por la curva

, alrededor de la recta x=1

Solución:

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