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Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las TunasUniversidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas
PROBLEMAS SOBREECUACIONES E INECUACIONES
LINEALES
Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; ArsenioCelorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez
PÁGINA LEGAL
374.852-Riq-P
Riquenes Rodríguez, Milagros
Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez; Raul Hernández Fidalgo; Salvador Ochoa Rodríguez. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN978-959-16-1956-3 . -- 77 pág.
1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas.
2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto
ISBN (obra completa) 978-959-16-1959-4Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, ([email protected])Depósito Legal: 9789591619563
Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio CelorrioSánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, 2012Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, 2012
La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas.
Calle 23 entre F y G, No. 564. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP 10400, Cubae-mail: [email protected] En acceso perpetuo: http://www.e-libro.com/titulos
TABLA DE CONTENIDO
1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este capítulo).Ecuaciones Lineales.Ecuaciones Cuadráticas.Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas.Inecuaciones Lineales.Inecuaciones Cuadráticas
2. Sistema de ecuaciones linealesSistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas.Método de adición algebraica.Método de Sustitución.Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas.Ejercicios.Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales
3. TrigonometríaÁngulos y medición de ángulosFórmulas de reducciónFunción PeriódicaGráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedadesFunciones de la forma y = a sen bx con a R y b R y sus propiedades∈ ∈Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedadesAlgunas identidades trigonométricasDemostración de identidades trigonométricasEcuaciones trigonométricasEjercicios
PRÓLOGO DE LOS AUTORES
El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos:
• Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este capítulo).
• Sistema de ecuaciones lineales y
• Trigonometría.El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.
Los autores, junio 2012
1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales
Milagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y Salvador Ochoa Rodríguez
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
3
Ecuaciones Lineales. Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incógnitas) y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los números reales. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Las ecuaciones de la forma 0=+ bax (con a y b números reales 0 ≠a ) se denominan lineales
en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea abx −
=
Ejemplos. Resolver las ecuaciones:
3212
1313 )
)2(5)24(32 )85
43
21
31 )
234 )
−+
=−+
+−=−+−−
+=−
=−
xx
xxd
xxxxc
xxb
xa
Soluciones:
45
432
234 )
=
+=
=−
x
x
xa
=→=
=
=−=−
=
45
2
2353454
:Prueba
SMDMI
MD
MI
65
43
21
31 ) +=− xxb
En este caso, la ecuación no está expresada en la forma 0bax =+ ( con 0 a ≠ ) , debe reducirse la misma a ésta mediante las siguientes transformaciones algebraicas:
• Agrupar todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la ecuación y los valores numéricos en el miembro derecho (MD):
21
65
43
31
+=− xx
• Hallar el común denominador de la ecuación que es el mínimo común múltiplo de los números: 3, 4, 6 y 2. 123.2)2,6,4,3( 2 ==MCM
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
4
• Multiplicar toda la ecuación por MCM
( )12 /.21
65
43
31
+=− xx
61094 +=− xx
• Reducir en cada miembro, los términos semejantes 165 =− x Despejar la variable x
5
16−=x
Comprobación o prueba:
3047
301532
21
1516
21
516
31: −=
−−=−−=−
−MI
3047
302572
512
65
516
43: 6
5 −=+−
=+−
=+
−MD
Como ambos miembros son iguales, la ecuación se satisface para el valor 5
16−=x y el conjunto
solución es
−=
516S .
Análogamente se resuelven los demás ejemplos. )2(5)24(32 c) +−=−+−+ xxxx
144
342522252432
==
+=++−−=+−−+
x x
--xxx-x xxxx
{ }1=S
Nota: La prueba queda para el estudiante.
3212
1313 )
−+
=−+
xx
xxd
Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma 0=+ bax (con 0≠a ) . El común denominador de la ecuación es: ( )( )3213 −− xx
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
5
41-
8)(: / 2831326296
1326329613)(12()32)(13(
)32)(13(3212
1313
3212
1313
22
22
=
−=−+−=−+−+−
−+−=−+−−+=−+
−−⋅−+
=−+
−+
=−+
x
xxxxxxx
xxxxxx ) xxxx
xx /xx
xx
xx
xx
Nota: Comprobar la solución obtenida. Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones del tipo 02 =++ cbxax con a, b y c números reales y 0 ≠a se denominan cuadráticas y se resuelven mediante la fórmula:
,2
42
2,1 aacbbx −±−
= donde acbD 42 −= es el discriminante.
reales. soluciones tienenoecuación La 0 Sí iguales. reales soluciones dos ieneecuación t La 0 Sí
.diferentes reales soluciones dos ieneecuación t La 0 Sí
→<→=→>
DDD
Cuando el trinomio cbxax ++2 tiene descomposición factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuación de segundo grado a dos ecuaciones lineales. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:
065 ) 2 =+− xxa
15)3( ) −=− yyyb
xxx
xx
xxc)
22
212
2
2
−
−=
−−
++
0106 ) 2 =+− zzd
043 ) 24 =−− xxe
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
6
Solución:
)6 ,5 ,1( ;065 ) 2 =−===+− cbaxxa ;
0
06)3(5)3( 3 para Prueba
2 ó ,32
15)1(2
)6)(1(4)5()5(
21
21
2
2,1
MDMIMDMIx
xx
x
==
=+−==
==
±=
−−±−−=
{ }2;3 MI 0MD
06)2(5)2(MI 2 para Prueba 22
=→==
=+−==
SMD
x
Observe que el trinomio 65 ) 2 +− xxa se descompone en )3)(2( x - x - por lo que 0)3)(2( = x - x - , 02 = x - ó 03 =−x : 2=x ó 3=x
De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es más cómodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente sí el trinomio tiene descomposición factorial racional por los métodos estudiados. En caso de no existir la descomposición factorial racional, se utiliza la fórmula.
15)3( ) −=− yyyb
En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuación dada en la forma 02 =++ cbxax
yyyyy
0180153
2
2
=+−
=+−−
Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposición factorial, se debe utilizar la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. Para sustituir en la fórmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: 1=a , 8−=b y 1=c
154 ó ,154
21528
2608
)1(2)1)(1(4)8()8(
21
2
2,1
−=+=
±=
±=
−−±−−=
xx
x
Compruebe los resultados obtenidos.
{ }154 ; 154 −+=S
xxx
xx
xxc
22
212) 2
2
−−
=−−
++
Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son:
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
7
multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma 02 =++ cbxax con a, b y c números reales y 0 ≠a
( )
( )
02 024
2)1( 2)-2)((
MCM.2)-( /.22
212
22
212
2
222
2
2
2
=−−
=+−−+−
−=−++
→−−
=−−
++
−−
=−−
++
xxxxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xx
xxx
xx
xx
2 ó 10)2)(1(=−=
=−+xx
xx
Nota: El valor 2=x no pertenece al dominio de la ecuación porque anula dos de los denominadores de la misma, por tanto, no es solución de la ecuación.
{ } 1-S
31
31
321
2111
121:1 para Prueba
==
−=
−=+−=−−−−
+−+−
=−=
MDMI
MD
MIx
Nota: Los valores de la variable de una ecuación que no pertenecen al conjunto solución por ser valores que indefinen la ecuación o por no satisfacer la misma se denominan raíces extrañas.
{ } φ==<−=−−=−=
=−===+−
S ó Sy reales soluciones tienenoecuación la 0410142642 ntediscrimina el Como
10 6 1( 01062 )
))(()(acbD
)c,b,azzd
4 10)4)(1(
043204)2(32)2(
2 sea o ,por 2 dosustituyen
02 forma la a dadaecuación la reduzcamos 04234 )
=−==−+
=−−
=−−
=
=++=−−
yóyyyyy
xx
yx,yx
cbxaxxxe
genera no que lopor , Ren imposible es 1 igualdad La 4y 1:obtiene se ecuación laen doSustituyen
222
2
−==−=
=
xxxyx
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
8
{ }.2;2raíces. estas para prueba la Realice
2 :cumple se 4 igualdad laEn dada.ecuación la parasolución 2
−=
±==
S
xx
Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Ecuaciones con radicales. Las ecuaciones que contienen la incógnita bajo el signo radical al menos una vez, se denominan irracionales o ecuaciones con radicales. Para resolver una ecuación con radicales es necesario realizar transformaciones para reducirlas a una ecuación lineal o cuadrática. En estas transformaciones se pueden introducir raíces extrañas por lo que se requiere comprobar los valores hallados en la ecuación original. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 34 =+x b) 1353 =+ x
c) xxx 21152 =+++ d) 11 =++ xx
e) 5416 =++ x f) 14244 =++− xx
g) x
xx+
=++242 h) ( ) 3 14353 2/1 =−+− xx
i) 1423 +=−−+ xxx j) 27411 xxx −−=−
k) 22 8
22
2
−= xx
x
l) )xlog()xlog(xlog 272 422 ++ =⋅
Solución:
a) 34 =+x
Racionalicemos la ecuación elevando al cuadrado ambos miembros.
( ) ( )2234 =+x
94 =+x 49 −=x 5=x
Comprobación:
MDMIMDMI
==
==+=3
3945
S = { 5 }
b) 1353 =+ x
En este caso para racionalizar la ecuación aislemos
Comprobación:
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
9
primeramente el radical.
( )4)2(
cuadradoalElevando25
313
22
==
=
−=
xx
x
x
( )
{ }4
1313253453
===
=+=+=
SMDMI
MDMI
c)
[ ] [ ]
( )
30033093015144
144151215
1215
2115
2
22
22
222
2
2
===−=−
=−−−+−
+−=++
−=++
−=++
=+++
xx
xxxx
xxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
( ) ( )( )
( ) ( )( )
{ }33632
61512511353
30002
21111050
0
2
2
=∈⇒=∴==
=+=+=+++=
=∉⇒≠
==
=+=+++=
=
SSMDMIMD
MI
xParaSMDMI
MDMI
xParaónComprobaci
d) 11 =++ xx
[ ] [ ]
( ) ( )
0cuadradoal
nuevamenteElevando0
0
radicalel Aislando211
211
cuadradoalElevando11
radicalun Aislando 11
22
22
=
=
=
=−
−−++−=+
−=+
−=+
x
x
x
xxxxxx
xx
xx
{ }0
1;1010
onComprobaci
==
==++=
SMDMI
MDMI
e) 5416 =++ x
544 =++ x
1454 =−=+x
( ) ( )2214 =+x
14 =+x 341 −=−=x
{ }3
55144316
:ónComprobaci
−===
=+=+−+=
SMDMI
MDMI
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
10
f) 14244 =++− xx
[ ] [ ]2424281964
24144
2414422
+++−=−
+−=−
+−=−
xxx
xx
xx
{ }40 ; 14
148664362440440
:ónComprobaci
===
=+=+=++−=
SMDMIMDMI
( )
[ ]
402464
2464 248
248
28:/2428224
2428241964
22
==−
+=+=
+=
−+−=−
+−=−−−−
xxx
x
x
x
xxx
g) xx
xx +⋅+
=++ 2/242
[ ] ( )[ ]( )( )
[ ] ( )
3/2 6/4
046 0442
442 22
242
422
422
22
22
222
2
2
2
===−=−+−+
+−=+
−=+
−−=+
=+++
=+++
xx
xxxxx
xxxxxxx
xxx
xxx
xxx
h) ( ) 32
1
14353 =−+− xx
[ ] ( )
539143
914353
314353 222/1
−−=−
=−+−
=
−+−
xx
x
xx
( )
( )
{ }32
62
6222232
322
3224
384
3224
63
6333323
32332332322
323832322
:ónComprobaci
/SMDMI
:
///MD
///
////MI
==
==
==
==+
=
==
====+
+=++=
( ) ( )( )( )( )
{ }10
339 45
1625
141035103
:ónComprobaci
2/1
2/1
2/1
===
==+=
+=
−+−=
SMDMI
MD
MI
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
11
[ ] [ ]
( )18:/531890
53185381143
53531881143
539 143 22
−−−=−
−−=+−−−
−+−−=−
−−=−
x
xxx
xxx
xx
[ ] [ ] 22 53 5
535
−=
−=
x
x
103/30
3305325
===
−=
xx
xx
i) ( ) ( )221423
1423
+=−−+
+=−−+
xxx
xxx
142623 2 +=−+−+−+ xxxxx
[ ]606
66
6
2:/262
121462
22
22
2
2
2
2
=⇒=−=−+
=−+−
=−+−
=−+−
−−+=−+−
xxxxxxxx
xxx
xxx
xxxx
( ) ( )( )
{ }
ecuaciónladeextraña raízunaes6quedecimoscasoesteEn
ó 525164:
1232636:
:ónComprobaci
===→≠
==+
=−=−−+
xSSMDMI
MD
MI
φ
j) 27411 xxx −−=−
[ ]2
22 7411
−−=− xxx
22
22
74121
74121
xxxx
xxxx
−−=−+−
−−=+−
( ) ( )2742 xxxx −−=−
2742 xx −−=−
( )
SMDMI
MD
MIx
∈⇒==
=−−
=−=
01
107401:
101:0paraPrueba
ónComprobaci
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
12
[ ] [ ]
( )
2/1012004
012404807444
7444742
2
22
22
222
=⇒=−=⇒=
=−=−
=+−+−
−=+−
−−=−
xxxx
xxxx
xxxxxx
xx
( )
( )( )
{ }2/1;02/1
2/14/1
4/312/32/11
4/742/11
2/1742/11:
2/12/11:2/1paraPrueba
2
=∈=⇒=
==
−=−=
−−=
−−
=−=
SSxMDMI
MD
MIx
k) 22 8
22
2
−= xx
x. En este caso se trata de una ecuación exponencial, la cual debe estar expresada
mediante potencias de igual base a través de las propiedades de las operaciones con potencias.
( ) ( )
( )( ) { }3 ;2S 32
032
065 ;0632 ;23222 ;822 2222322
2
22
=→
==
=−−
=+−=+−−−=−⇒== −−−
xx
xx
xxxxxxxxxxxxx
x
( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
{ }1S 2244
22222
1 Para
definidas no sexpresioneson 2-log ,1-log ,4-log porque S4 :ón Comprobaci
1 4
014043
4472 ;2722log72log
base. misma laen expresados ,logaritmos loscon soperacione las de spropiedade lasaplican se
soluciónsu paray alogarítmicEcuación 2log272loglog22
:obtenemos potencias con soperacione las de spropiedade las Aplicando 422 l)
9log3log23log)21log(
9log9log0)712log(1log
2
2222
)2log(2)72log(log
)2log()72log(log
=∴
=====
=⋅=⋅=
→=
∉−=
=−=
=−+→=−+
++=++=+→+=+
→+=++=
=⋅
+
+
+++
++
MDMIMD
MI
x
x
xx
xxxx
xxxxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
13
Ejercicios. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) )3(4)1(8)94(44 −+−=−+ xxx b) 22
=+x
x
c) [ ] 66)94(7352 =−−− yyy d) ( ) ( )zzz −+=−− 136312
e) 105.03.07.0 +=− xx f) ( ) ( ) 437315 +=+−+ xxx
g) )122(311)23(7)5(3 −+=−−− xxx h) 4)32)(3()12)(1( −++=++ xxxx
i) 5.1)6()1)(1( 2 =+−−+ xxx j) )21)(21()4()5(1 22 xxxx −+=+−−−
k) 222 )2()1()5.2(2 −++=− xxx l) ( ) ( )
21
222
22 −=
−−− xxx
m) yy214
523
−=− n)
25
53
78
−=−
+− xx
o) 6
4214
4 −−=
+ xx p) 5144
52470
3750
,,x,x,
=+
−−
q) 18
19
456
53 xxx−=
+−
+ r) 121
314
611
432)1(3 ++
−=+
−−− xxxx
2. Halla el conjunto solución: a) 122)9( −=+ xxx b) 1)5(39)3)(2( 2 −−=+−+ xxxx
c) 0)23
)(21( =++
xx d) 2)25(2 2 −=+ xx
e) 2)4(125)2(4 −−=−+ xxx f) 12)2(2)2( 2 ++=+ xxx
g) )32(315 2xx −= h) 203553 2 −=−−− )x()x(
i) 2)52()53(2 +−=+ xxx j) )1(6)1()1(9 222 −=++− aaa
k) 27)2(20)12)(53()45( 2 +−=−+−− xxxxx l) 595932 2 −=+−− )t()t(
m) 04)12(5)12( 2 =++−+ xx n) )2)(3()5(319 2 +−−−=+ tttt
o) 21
222
22 −=
−−− x)x()x( p) ( )( ) 12
11)1(5
+=−+
− xxx
x
3. Para qué valores de x ∈ R se satisfacen las siguientes igualdades. a) 332 =−x b) 465 =+x
c) 32 −=−x d) 065 =−−x
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
14
e) 51232 =++ x f) 010275 =+−− xx
g) 02713 =−−+ xx h) 08522 =−−− xx
i) 42 =−+ xx j) 11 −=−− xx
k) 4164 −+= xx l) xxx 21152 =+++
m) 012 =+− xx n) 6=+ xx
ñ) 04284 =−−+ xx o) ( ) 102:3212 −−=− xxx
p)
7217−
=+−x
xx q) 6
121 +=+
++ xx
x
r) 13 =−+ xx s) 3129 2 =−−− xxx
t) 27411 xxx −−=− u) ( ) ( ) 2/12/1 721 −+=+ xx
4. Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe sus resultados:
a) xx 21)7( =++ d) 15 =++ xx b) 1)4(2 +=+ xx c) 13)7(2 +=−+ xx
e) 337 2 =++ x
f) 472
2−=
−
− xx
x
5. Calcula los ceros de la función 115)( −−−= xxxh 6. Resuelve la ecuación: 32252 −=−+ xxx
7. Halla el conjunto solución de la ecuación 1162 2 +=++ xxx 8. Sean las funciones: ( ) 4133 2 +−= xxxf y ( ) 4−= xxh Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de los lados gráficos de las funciones f y h.
9. Resuelve la ecuación: 1312
52
2=
−+
−+
+x
x
xx
xx
10. Dadas las funciones definidas por las siguientes ecuaciones: 2x13)x(f −−= y 33x 3)x(g −+= . Determina los puntos de intersección de los gráficos de f y g cuyas abscisas
son menores que las soluciones de la ecuación )x75,0(xx3 52713 −+=+
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
15
11. Halla los valores de x que satisfacen la ecuación: ( ) 539 14
21
39
=− +
++
xlogxlog
12. Resuelve la ecuación: ( ) 04921316 7
23 =−−+ logxxlog x
13. Sea: 1+x = f(x) . Halla todos los valores de t para los que se cumple: ( ) ( ) ( )412 −=−− tftftf .
14. Resuelve la ecuación: 3 4311 x-log ) = x++ ( log
15. Sean las funciones: ( ) xcossenxxf232 −= y ( ) 43 −= xxg . Determina los valores de x para
los cuales se cumple que ( ) ( )4gxf = . 16. Resuelve la ecuación: ( ) ( )13log1113log 1k
21k
2 −+=− −−
17. Sean las funciones: ( ) xlogxxlogxf −+= 72 24 y ( ) 216 += xlogxg . Determina los valores de x
para los cuales ambas funciones alcanzan el mismo valor. 18. Resuelve la ecuación: 1 = x-16+4x
19. Halle los valores de a para los cuales x = 18 es solución de la ecuación: 2=− aax
20. Resuelve: 61
131 =+
++x
x
21. Sea la función definida por ( )103.3log)( 2 +−= xx Axf .
a) Halla el valor de A para el cual se cumple f(1) = 0. b) Considerando que A = 10, halla todos los valores de x que satisfacen la ecuación f(x) = 0.
22. Determina los valores reales de x que satisfacen la ecuación: 26
)3²2(²)2(
2719.3
−−−−
=
xxx
23. Sean las funciones 2x
1x23x)1x()x(f+
+++−= y g(x)=x . Encuentra los valores reales de
x para los cuales se cumple la ecuación f(x )= g(x).
24. Dadas las funciones f y g definidas por x46)x(f −= y 3x²x3³x)x(g ++−= . Determina los valores reales de x tales que f(x) – g(x) = 0
25. Sean f y g dos funciones reales dadas por las ecuaciones )3tlog(102t)t(f ++−= y 3t21)²1t()t(g ++−−= . Determina para qué valores de t se cumple que f(t) = g(t)
26. Dada la función f de ecuación )12(log)( += xxf a . a) Si el punto de coordenadas )3 ; 62( pertenece al gráfico de f , determinar el valor de a y escribe la ecuación de f .
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
16
b) Si
−+=
351log)(
251 xx
xg , halle todos los valores reales de x para los cuales se cumple
que )()( xgxf = . Inecuaciones Lineales. En grados inferiores, a las desigualdades con variables se les denomina inecuaciones. Las inecuaciones de la forma 0<+ bax ó 0≤+ bax ó 0>+ bax ó 0 ≥+ bax con )a( 0≠ se denominan inecuaciones lineales en una variable y se resuelven despejando la variable, teniendo en cuenta que cuando se multiplica o divide en ambos miembros por un número negativo el sentido de la desigualdad se invierte. La inecuación lineal está expresada en sentido estrito si es de la forma 0<+ bax ó 0>+ bax y en sentido amplio si es de la forma 0≤+ bax ó 0 ≥+ bax . Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones y representar gráficamente el conjunto solución.
6245 ) +>+ xxa
4321) >−− xb
10)6(2)1)(52)( +−≤−+ xxxxc Solución: En cada una de las inecuaciones dadas, se debe trasformar algebraicamente, es decir, agrupar y reducir todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo y los términos numéricos en el miembro derecho hasta obtener una inecuación de la forma 0<+ bax ó
0≤+ bax ó 0>+ bax ó 0 ≥+ bax con )a( 0≠ y posteriormente despejar la variable x.
>∈=→>
>−>−+>+
32
32
3:23 4625
6245 a)
x:RxSx
/xxx
xx
2143
4321
+>−
>−−
x
x)b
23
31
29
3293
−<
−⋅<
−>−
x
)(x
)(:/x
-∝ 32 +∝
-∝ -23 +∝
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
17
-∝ (+) x1 (-) x2 (+)
1062152 +−≤−+ )x(x)x)(x)(c
{ }11 1515
01515 051012232
1012253222
22
≤∈=≤
≤
≤−≤−−+−+
+−≤−+
x:RxSx
x
xxxxx
xxxx
Inecuaciones Cuadráticas. Toda inecuación de la forma:
)acbxaxcbxaxcbxaxcbxax 0(con 0 ó 0 ó 0 ó 0 2222 ≠≥++>++≤++<++
se denomina inecuación cuadrática. El trinomio cbxax ++2 es el miembro izquierdo de la inecuación (MI) y 0 es el miembro derecho (MD). Resolver una de estas inecuaciones es determinar para qué valores de x ( )Rx∈ cbxaxy ++= 2 con cb,a y números reales y 0≠a (función cuadrática) es positiva ( )0>y , no negativa ( )0≥y , negativa ( )0<y o no positiva ( )0≤y . Para resolver una inecuación cuadrática se debe tener en cuenta lo siguiente: Los ceros de la función cuadrática determinan (si los tiene) varios intervalos en R (rayo numérico) y en cada uno el signo de la mismas es constante. A continuación se presenta la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados. a) Sí 0 >a y 21 xx < . En este caso la gráfica de la
función cbxaxy ++= 2 con cyb,a números reales y 0≠a es una parábola (Fig.1) que abre hacia arriba siendo
x1 y x2 las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax , que son los ceros de la función
cbxaxy ++= 2 (abscisas de los interceptos de la parábola con el eje de las x) , los intervalos determinados son ( ) ( ) ( )+∞∞− ;y ;,; 2211 xxxx y los signos constante de la función cuadrática son los mostrados en la siguiente figura , tomados de la Fig.1
-∝ 1 +∝
1x 2x ∞++ +
- x
y
O
Fig.1
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
18
-∝ (+) x1 (+) +∝
b) Sí en a) cambiamos solamente el signo del factor a (Fig. 2), entonces cada signo se cambia por su
opuesto, es decir, los signos de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados son −+− , , , dispuestos de derecha a izquierda en el rayo numérico.
c) Si 0 >a (Fig.3) y 21 xx = . En este caso los ceros de la función cuadrática son iguales, por tanto. los intervalos determinados son ( )1x;∞− y ( )+∞;x1 y los signos constante de la función son (+) y (+) como se muestra en la figura siguiente:
e) Sí 0 >a (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces no tiene solución la inecuación porque en la función 2 cbxaxy ++= con 0≠a ,
.Rx,y ∈∀> 0 f) Sí 0 >a (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces el intervalo de signo constante ( )+ es todo R porque en la función
2 cbxaxy ++= con 0≠a , .Rx,y ∈∀> 0 g) Sí 0 <a (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces no hay solución para la inecuación porque en la función
2 cbxaxy ++= con 0≠a , .Rx,y ∈∀< 0 h) Sí 0 <a (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces el intervalo de signo constante ( )− es todo R porque en la función
02 =++= cbxaxy con 0≠a , .Rx,y ∈∀< 0 Como conjunto solución, se toman los intervalos de signo constante que coincidan con el sentido de la desigualdad. Nota: Por lo expuesto en la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados, cuando la misma no tiene ceros, se puede concluir (*):
Fig.2
1x 2x ∞+
- - +
∞−
y
x
-∝ (-) x1 (+) x2 (-)
1x ∞−
+ x
y
O
Fig.3
+
∞+
∞−
x
y
O
Fig.5
∞+
Fig.4
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
19
• Si el signo del coeficiente a coincide con el sentido de la desigualdad de la inecuación ( 0>a y 0>MI ó 0<a y 0<MI ) la solución de la inecuación es todo el conjunto de los números reales (R).
• Si el signo del coeficiente a es opuesto al sentido de la desigualdad de la inecuación ( 0>a y 0<MI ó 0<a y 0>MI ) la solución de la inecuación es el conjunto nulo o vacío, es decir, la inecuación no tiene solución lo que se denota como { }=S ó φ=S
Ejemplos. Resuelve las siguientes inecuaciones y represente gráficamente el conjunto solución.
35)3() +≥+ xxxa
xxxb 10 8)3(4 ) 2 <−+ )3(23 )6()2(3 ) −<−−− xxxxc
)7 )2( ) xxxd +−>+ Solución: En cada uno de los casos se debe seguir el siguiente procedimiento: Transformar algebraicamente en ambos miembros hasta reducir la inecuación a la forma:
)acbxaxcbxaxcbxaxcbxax 0(con 0 ó 0 ó 0 ó 0 2222 >≥++>++≤++<++ .Igualar a cero el miembro derecho y resolver la ecuación cuadrática resultante. Los valores obtenidos los denotaremos como 1x y 2x Situar a 1x y a 2x en el rayo numérico Como 0>a el signo constante de la función en cada intervalo es de la forma: +−+ ,, (Fig.1) si 1x y 2x son soluciones reales diferentes ó ++ , (Fig.3) si 1x y 2x son soluciones reales iguales. Para el caso de que no existan los valores reales 1x y 2x no es necesario determinar los intervalos de signo constante y se debe concluir según (*). Dar el conjunto solución, tomando los intervalos que su signo coincida con el sentido de la desigualdad. Los límites de los intervalos (al menos uno) solo se incluyen en la solución si la desigualdad es en sentido amplio (≥ ó ≤ )
{ }3 ó 1: ≥−≤∈= xxRxS ó ( ] [ )∞+∪−∞−∈∈= ;31 ;x:RxS
6 ,9 ,2 0692 0 692
(2) : / 0 12184 0 108124
10 8)3(4 )
2
2
2
2
2
=−===+−
<+−
<+−
<−−+
<−+
cbaxxxx
xxxxx
xxxb
Como en este caso el trinomio no se descompone en factores racionales, utilizamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.
3 ó 1 son trinomio del ceros los ,031
032
0353
353
2 1
2
2
=−=≥−+≥+−
≥+−+
+≥+
xx)x)(x(
xx
xxx
x)x(x)a
-∝ (+) -1 (-) 3 (+)
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
20
+−∈
+
<<−
∈=
−=
+=
±≈
±=
−±=
−±=
4
339, 4
339 xó 4
339 4
339
4
339 ó4
339
47459
4339
448819
22624819
21
21
x:RxS
xx
.)(
))((x ,
φ=<−
<−−<+−
<+−
<+−+−−
−<+−−
−<−−−
Sxxx
xxxx
xxxxxxxxxxxxc
0 )5(
0 )5)(5( 0 2510
(3) : / 0 75303 0 69236636923 663
)3(23 )6()2(3 )
2
2
2
2
2
La función ( )25−= xy es no negativa para toda Rx∈ , luego la inecuación no tiene solución.
0 73 0 72
7 2 )7( )2( )d
2
2
2
>++
>+++
−−>+
+−>+
xxxxx
xxxxxx
Este trinomio no tiene descomposición factorial racional por lo que aplicamos la fórmula:
0 1928971434
7 3 ,1 07322
2
<−=−=−=−=
====++
))(()(acbD
c,baxx
El trinomio no tiene descomposición factorial en R pero coincide el signo de a, (coeficiente de 2x ) con el signo de la inecuación dada (>), la solución es todos los números reales
S = R. Ejercicios. 1. Resuelve las inecuaciones siguientes:
a) 2125 ≥−x
b) x.x. 802623 −>−
c) 3553 +−<+− )x(x)x(x d) )x()x(x 3233242 ++>++− e) x)x( 392721 >−− f) x)x()x( 164335 <−−−
-∝ +∝ 4
339− 4
339++ - +
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
21
g) 10552
+−≤−+ x)x(x h) 4123223 2 +
−<+ xxxx
i) 274
651
312
+<−+− xxx j) 1
103
23
43
>
+−−
xxx
k) ).x(x).x()x)(x( 10105074 2 −+≥−−+−
l) 1645154
6123
31
−+>
−−− )x(x(x
2. Hallar los valores de x ∈ R que satisfacen las siguientes inecuaciones: a) 02142 >−− xx b) 06113 2 ≤+− xx c) 0212 ≥−+ )x)(x( d) 042 ≤−x
e) 041 2 ≤− x f) 17134 2 >− xx
g) 0144 2 ≤+− xx h) 2591355 22 −−+≥−+ x)x()x)(x(
i) 321
21 22
>
−−
+ xx
j) 22 222 )x()x)(x(x −≥−++
k) 2417354 222 +>−+−−+ x)x()x()x(l) 2
23 44
22 >
−− xx
m) 2
241
41
+<
−+ xxx
n) 222 1010 x)x.()x.( −≥−−+
ñ) 21
8522
6123
>−+
−− )x)(x(x
o)
51212214 ≤+−−−− )x)(x()x)(x( p) 0)(x 561 >−>−− )x(x)x(x
q) )x(x 5321 2 +<
r) 051<
+−
xx s) 142
<−+
xxx
3. Sean x
y Cxxxx , B
xxxxA 1
3522
9652
2
23
2
23=
−+
−=
−
+−−=
a) Para qué valores de x, el numerador de A y B es no negativo b) Para qué valores de x, el denominador de A es negativo c) Si B es positivo, ¿qué valores toma x? d) Para qué valores de x, C es positivo.
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
22
4. Dada la función definida por: 9449
2
2
−
+=
x
x)x(p . Determina para qué valores de x los puntos
correspondientes al gráfico de “p” están por debajo del eje “X”.
5. Sea 4
432
23
−
+−=
x
xx)x(A . Determina el conjunto de números reales no negativos para los
cuales .)x(A 0≤
6. Sean: x+
+x-x-xA = 8
123 y
114-x
B = . Halla el mayor número entero negativo x para el cual
se cumple 0≤⋅BA .
7. Dada la función 4
4852
23
−
+++=
x
xxx)x(f . determina los valores reales de x para los cuales
se cumple que 0≥)x(f .
8. Resuelve la siguiente inecuación: 23
723
33 555
2 +−− +≥
xx)x( logloglog
9. Dadas 33 2 +−= kxx)x(f , 42 −= x)x(g y x)x(h −=1 a) Calcula los valores de k para los cuales la función f tiene dos ceros diferentes. b) Calcula los ceros de f para k = 7. ( 6313 ,≈ ) c) Determina los valores de x que satisfacen la inecuación g(x) < h(x). 10. Dadas las expresiones: 28336 22 −−=−= xxByxA .Determina para qué valores de x están definidas simultáneamente ambas expresiones.
11. Resuelve la inecuación 2094
15 2 +−
≤−
−− xx
xxx
x .
12. Dadas la funciones )3x(log)x(f 2 −= y 4xlog)x(g 5,0= . Halla los valores de x para los
cuales las imágenes de la función f son menores o iguales que las imágenes de la función g.
13. Sean las expresiones 125
543
23
+
−+=
m
mmmA y
2520433
23
2
++−
−=
mmm
mB .
a) Prueba que para todos los valores admisibles de la variable se cumple que 3m
BA
−= .
b) Halla todos los valores reales de la variable m para los cuales se cumple que:
32
342 −+≥ mm
BA
14. Sean las funciones reales f, g y h, definidas por las ecuaciones: ( ) 523 ++= xxf ,
( ) xxg 34= y ( )52
21 +
=
x
xh . Calcula los valores reales para los cuales se cumple que
( ) ( )xhxg ≥ .
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
23
15. Se tiene la expresión ( )54
+−
=x
xxA .
a) Resuelve la ecuación ( ) xxA 164 = (x ∈ R) . b) Determina para quévalores reales de la variable x se cumple que ( ) xxA ≥ .
16. Sean ( )552
+−
=xx
xf y ( )3
1−
=x
xg . Determina para qué valores de x se cumple:
( ) ( )xgxf 33 ≥ .
Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.
24
BIBLIOGRAFÍA
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Camagüey: /s.c/,/s.a/.—191p.
2. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia.
Ciudad de la Habana. 1995.
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Academia. Ciudad de la Habana. 1995.
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Pueblo y Educación 1989.
5. Cuadrado González, Zulema. Matemática 10mo grado / Zulema Cuadrado González,
Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. —La Habana: Editorial Pueblo y Edición,
6. 1991. —152p.
7. Exámenes de Ingreso a la Educación Superior