Probleme de Analiz a Matematic a II - Spat˘ii metrice.gavrilut/depozit/Culegere... · Capitolul 1 Spat˘ii metrice 1.1 Considerat˘ii teoretice Spat˘ii vectoriale De nit˘ia 1.1.1

Alina Gavrilut Anca Croitoru

Probleme de Analiza Matematica

II - Spatii metrice.

Calcul diferential ın Rp

Editura ,,Alexandru Myller”Iasi 2013

Referenti stiintifici:

Prof.dr. Ovidiu Carja,

Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi

Prof.dr. Eugen Popa,

Universitatea ”Al.I. Cuza” Iasi

Cuprins

1 Spatii metrice 1

1.1 Consideratii teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Siruri ın spatii metrice. Serii ın spatii normate 39



3 Limite de functii ın spatii metrice 50



4 Spatii metrice complete 60




Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Functii continue ın spatii metrice 64




Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Diferentiabilitate 83




iii

iv

Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7 Diferentiabilitate de ordin superior 1147.1 Consideratii teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8 Puncte de extrem 1308.1 Consideratii teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2 Probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.3 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Solutii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Capitolul 1

Spatii metrice

1.1 Consideratii teoretice

Spatii vectoriale

Definitia 1.1.1. Fie (K,+, ·) un corp (numit corp de scalari) siX o multimenevida, ınzestrata cu doua operatii: una interna, numita adunare (definitape X × X, cu valori ın X) si alta externa, numita ınmultire cu scalari(definita pe R × X, cu valori ın X). X se numeste spatiu vectorial (sauliniar) peste corpul K (notat uneori prin (X,+, ·)) daca sunt satisfacuteurmatoarele axiome:

1) asociativitatea: x+ (y + z) = (x+ y) + z,∀x, y, z ∈ X;

2) existenta elementului neutru: ∃θ ∈ X astfel ıncat ∀x ∈ X,x + θ =θ + x = x;

3) ∀x ∈ X, ∃−x ∈ X (opusul lui x) astfel ıncat x+(−x) = (−x)+x = θ;

4) comutativitatea: x+ y = y + x,∀x, y ∈ X;

5) λ(x+ y) = λx+ λy, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K;

6) (λ+ µ)x = λx+ µx,∀x ∈ X, ∀λ, µ ∈ K;

7) λ(µx) = (λµ)x,∀x ∈ X, ∀λ, µ ∈ K;

8) 1 · x = x,∀x ∈ X.

In cazul cand K = R, X se va numi spatiu vectorial (sau liniar) real.

Definitia 1.1.2. Fie (X,+, ·) un spatiu liniar peste corpul de scalari K siY ⊆ X o submultime nevida a lui X. Y se numeste subspatiu liniar al luiX daca Y , ınzestrat cu operatiile de adunare ,,+” si ınmultire cu scalari ,,·”pe X, este, la randul lui, spatiu liniar peste K.

1

2

Teorema 1.1.3. Fie (X,+, ·) un spatiu liniar peste corpul de scalari K si∅ = Y ⊆ X. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) Y este subspatiu liniar al lui X;

(ii)

x+ y ∈ Y, ∀x, y ∈ Y,

αx ∈ Y, ∀α ∈ K, ∀x ∈ Y;

(iii) αx+ βy ∈ Y, ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ Y.

Definitia 1.1.4. Fie E o multime nevida, iar p ∈ N∗ un numar naturalfixat.

Prin definitie, spatiul Ep este produsul cartezian E × E × . . .× E︸︷︷︸p ori

=

(x1, x2, . . . , xp)|xi ∈ E, ∀i ∈ 1, . . . , p.Fie x, y ∈ E, x = (x1, x2, . . . , xp), y = (y1, y2, . . . , yp), unde x1, . . . , xp,

y1, . . . , yp ∈ E. Atunci x = y daca si numai daca xi = yi, pentru oricei ∈ 1, . . . , p.

Observatia 1.1.5. Fie E = R, multimea numerelor reale. Un element x seafla ın Rp daca si numai daca x = (x1, x2, . . . , xp), unde x1, x2, . . . , xp suntın R si se numesc componentele lui x.

Elementele spatiului Rp se numesc vectori.

Observam urmatoarele:Pentru p = 1, se obtine R1 = R, care reprezinta punctele axei reale

(dreapta reala).Pentru p = 2, se obtine R2, care reprezinta multimea punctelor din plan

(raportat la un sistem ortogonal de axe) (planul):

x = (x1, x2)corespondenta biunivoca

P (x1, x2)−−→OP (vector de pozitie);

Pentru p = 3, se obtine R3, care reprezinta multimea punctelor din spatiu(raportat la un sistem triortogonal de axe) (spatiul):

x = (x1, x2, x3)corespondenta biunivoca

P (x1, x2, x3) −−→OP (vector de

pozitie).

Vom defini acum suma (adunarea) vectorilor:Dupa cum este cunoscut, ın R2, adunarea a doi vectori x = (x1, x2), y =

(y1, y2) se face dupa regula paralelogramului, rezultand vectorul suma, x+y = (x1 + y1, x2 + y2).

Dupa acelasi model, ın Rp se defineste:(i) adunarea : ∀x, y ∈ Rp, suma vectorilor x si y este vectorul x + y =

(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xp + yp) (se defineste pe componente);

3

(ii) ınmultirea cu scalari (reali): ∀x ∈ Rp,∀λ ∈ R, produsul vectorului xcu scalarul λ este: λx = (λx1, λx2, . . . , λxp).

Teorema 1.1.6. Spatiul Rp ınzestrat cu operatiile de adunare si ınmultirecu scalari (definite mai sus) este spatiu vectorial real.

Exemplul 1.1.7. Fie A o multime oarecare nevida.1) Fie T un spatiu liniar peste corpul K. Atunci multimea F(A, T ) =

f |f : A → T, este spatiu liniar peste K. Daca T = R, atunci F(A, T ) senoteaza simplu prin F(A).

2) M(A) = f |f : A → R este marginita este un subspatiu liniar al luiF(A).

3) Pentru ∅ = A ⊆ R, C(A) = f |f : A→ R este continua pe A este unsubspatiu liniar al lui F(A).

4) Fie ∅ = A ⊆ R. Pentru orice n ∈ N, multimea functiilor de clasa Cn

pe A, adica Cn(A = f |f : A→ R este derivabila de n ori pe A si f (n) estecontinua pe A, este un subspatiu liniar al lui F(A).

5) Pentru ∅ = A ⊆ R, multimea functiilor de clasa C∞ pe A, adica

C∞(A) = f |f : A→ R este derivabila de orice ordin pe A,

este un subspatiu liniar al lui F(A).6) Daca A = N si T = R, atunci se obtine spatiul liniar real

F(N,R) = F(N) = f |f : N → R,

notat cu s si care reprezinta multimea tuturor sirurilor numerice. Asadar,

s = (xn)n∈N|xn ∈ R,∀n ∈ N.

7) Daca se considera A = N ın exemplul precedent, atunci se obtinespatiul liniar M(N) al tuturor sirurilor numerice marginite, care se mainoteaza prin m sau ℓ∞.

8) Multimea c = (xn)n ⊂ R|(xn)n este convergent este un subspatiuliniar al lui s.

9) Multimea c0 = (xn)n ⊂ R|xn → 0 este un subspatiu liniar al lui s.10) Pentru p ∈ [1,+∞), multimea

lp =

(xn)n∈N

∣∣∣∣ ∞∑n=0

|xn|p < +∞

este un subspatiu liniar al lui s.

11) Multimea R∞ = (xn)n ⊂ R| exista n0 ∈ N astfel ıncat xn = 0pentru orice n ∈ N, n ≥ n0 este un subspatiu liniar al lui s.

4

Spatii metrice

Definitia 1.1.8. Fie X = ∅. O aplicatie d : X × X → R+ se numestedistanta sau metrica pe X daca au loc:

(M1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

(M2) d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈ X (simetria);

(M3) d(x, y) ≤ d(x, z)+ d(z, y),∀x, y, z ∈ X (inegalitatea triunghiulara).

Perechea (X, d) se numeste spatiu metric.

Observatia 1.1.9. Pe aceeasi multime se pot defini mai multe metrici, ınraport cu care multimea devine un alt spatiu, cu proprietati distincte.

Propozitia 1.1.10. Intr-un spatiu metric oarecare (X, d) au loc:

(i) d(x1, xn) ≤ d(x1, x2)+d(x2, x3)+...+d(xn−1, xn),∀x1, x2, ..., xn ∈ X;

(ii) |d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y),∀x, y, z ∈ X;

(iii) |d(x, y)−d(x′, y′)| ≤ d(x, x′)+d(y, y′),∀x, y, x′, y′ ∈ X (inegalitateapatrulaterului).

Observatia 1.1.11. Interpretari ın plan ale ultimelor doua inegalitati: lun-gimea oricarei laturi a unui triunghi este cel putin egala cu diferenta lungim-ilor celorlalte doua, respectiv ıntr-un patrulater, diferenta lungimilor a doualaturi este cel mult egala cu suma lungimilor celorlalte doua laturi.

Exemplul 1.1.12. I) (Rp, d) cu p ∈ N∗, unde d este definita de relatia

d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ...+ (xp − yp)2 =

√p∑

i=1(xi − yi)2,

∀x = (x1, x2, ..., xp), y = (y1, y2, ..., yp) ∈ Rp este spatiu metric (d senumeste metrica euclidiana).

Pentru p = 1 se obtine d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R, care este distantaobisnuita ıntre doua numere reale.

Pentru p = 2, d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 este distanta obisnuitaıntre doua puncte din plan.

II) (Rp, d1), (Rp, d2), cu p ∈ N∗, sunt spatii metrice, unde

d1(x, y) = maxi=1,p

|xi − yi|

d2(x, y) =p∑

i=1|xi − yi|,

∀x = (x1, x2, ..., xp), y = (y1, y2, ..., yp) ∈ Rp.

III) Fie A o multime oarecare nevida siM(A) = f : A→ R| f marginitape A. Atunci functia d : M(A)×M(A) → R+, d(f, g) = sup

x∈A|f(x)− g(x)|

5

este o metrica pe M(A), numita metrica uniforma, metrica convergenteiuniforme sau metrica Cebısev.

IV) FieX o multime nevida oarecare. Functia d : X×X → R+, d(x, y) =1, x = y

0, x = yeste metrica pe X, numita metrica discreta.

V) Fie (Xi, di), i = 1, p, p ∈ N∗, spatii metrice oarecare. Consideram

X = X1 ×X2 × ...×Xp si d(x, y) =

√p∑

i=1d2i (xi, yi),∀x = (x1, x2, ..., xp), y =

(y1, y2, ..., yp) ∈ X,xi, yi ∈ Xi,∀i = 1, p. Atunci d este metrica (numitametrica produs) pe spatiul produs al celor n spatii metrice. (X, d) se numestespatiu metric produs.

Spatii normate

Definitia 1.1.13. O functie || · || : X → R+ se numeste norma pe spatiulvectorial real X daca:

(N1) ||x|| ≥ 0,∀x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = θ (pozitivitatea);

(N2) ||λx|| = |λ| · ||x||,∀x ∈ X, ∀λ ∈ R (omogenitatea);

(N3) ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||,∀x, y ∈ X (inegalitatea triunghiulara).

Perechea (X, || · ||) se numeste spatiu normat.

Observatia 1.1.14. Pe acelasi spatiu vectorial se pot defini mai multenorme, iar ın raport cu fiecare norma, spatiul vectorial devine un alt spatiunormat, cu proprietati distincte.

Din definitie rezulta imediat urmatoarele proprietati:

Propozitia 1.1.15. Fie (X, || · ||) un spatiu normat. Atunci:

|||x|| − ||y||| ≤ ||x− y||,∀x, y ∈ X;

||λ1u1 + λ2u2 + ...+ λnun|| ≤ |λ1| · ||u1||+ |λ2| · ||u2||+ ...+ |λn| · ||un||,∀λi ∈ R,∀ui ∈ X, i = 1, n;

Teorema 1.1.16. Daca (X, ∥ · ∥) este un spatiu normat, atunci functiad(x, y) = ||x− y||,∀x, y ∈ X, este o distanta pe X, avand proprietatile:

(i) d(x+ z, y + z) = d(x, y),∀x, y, z ∈ X;(ii) d(λx, λy) = |λ| · d(x, y),∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R.(iii) ∥x∥ = d(x, θ), ∀x ∈ X.

6

Observatia 1.1.17. Orice norma induce o distanta, deci orice spatiu liniarnormat poate fi organizat ca spatiu metric. Reciproca nu este adevarata,deoarece ın primul rand pentru definirea notiunii de metrica nu se cere struc-tura de spatiu liniar. Dar chiar daca X este spatiu liniar, se pot definimetrici care sa nu provina din norme. De exemplu, aplicatia, definita prin

d(x, y) =p∑

i=1

12i· |xi−yi|1+|xi−yi| , ∀x, y ∈ Rp, x = (x1, . . . , xp), y = (y1, . . . , yp), este

o metrica pe Rp(p ∈ N∗), care nu provine dintr-o norma.

Exemplul 1.1.18. I) (Rp, ∥ · ∥), cu p ∈ N∗, unde

∥x∥ =

√√√√ p∑i=1

xi2,∀x = (x1, x2, ..., xp) ∈ Rp(norma euclidiana).

Distanta indusa de aceasta norma este distanta euclidiana.

Daca p = 1, atunci ∥x∥ = |x|, ∀x ∈ R.II) Urmatoarele aplicatii, definite prin:

∥x∥1 = maxi=1,p

|xi|,∀x ∈ Rp, ∥x∥2 =p∑

i=1

|xi|,∀x ∈ Rp,

sunt de asemenea norme pe Rp.

III) Fie A o multime oarecare nevida.

Functia ∥ · ∥ : M(A) → R+, ∥f∥ = supx∈A

|f(x)|,∀f ∈ M(A), este o norma

pe M(A), numita norma uniforma, norma convergentei uniforme sau normaCebısev, care induce distanta uniforma.

IV) Fie p ∈ [1,+∞)si lp = (xn)n∈N ⊂ R|∞∑n=1

|xn|p < ∞. Functia

∥x∥p =( ∞∑

n=0|xn|p

) 1p

, ∀x = (xn)n ∈ lp, este o norma pe lp.

Teorema 1.1.19. Norma euclidiana pe Rp(p ∈ N∗) are urmatoarele pro-prietati:

(i) |xi| ≤ ∥x∥ ≤ |x1|+ |x2|+ ...+ |xp|,∀i = 1, p;

(ii) ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2),∀x, y ∈ Rp (identitatea par-alelogramului).

Definitia 1.1.20. Numim versor, un vector x ∈ Rp, cu ∥x∥ = 1.

7

Daca p = 2, atunci versorii i = (1, 0) si j = (0, 1) formeaza o baza ın R2.Orice vector x = (x1, x2) ∈ R2 se poate scrie ın mod unic ın functie de i sij astfel:

x = x1i+ x2j.

Pentru p = 3, versorii i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) si k = (0, 0, 1) formeazao baza ın R3. Orice vector x = (x1, x2, x3) ∈ R3 se exprima ın mod unic ınfunctie de acesti versori: x = x1i+ x2j + x3k.

In general, ın Rp, versorii e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . ,ep = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) formeaza o baza ın Rp. Orice vector x = (x1, . . . , xp) ∈Rp se exprima ın mod unic ın functie de acesti versori: x = x1e1 + x2e2 +...+ xpep.

Asa cum am observat pana acum, ın Rp am putut deocamdata masuradistantele, dar nu si unghiurile, ceea ce limiteaza posibilitatea de interpretaregeometrica. De aceea, ın continuare, vom introduce produsul scalar al doivectori, cu ajutorul caruia vom putea exprima lungimile vectorilor, dar simasurile unghiurilor pe care acestia le formeaza.

Definitia 1.1.21. Produsul scalar ın Rp este, prin definitie, aplicatia <·, · >: Rp × Rp → R, data prin: < x, y >= x1y1 + x2y2 + ... + xpyp =p∑

i=1xiyi,∀x, y ∈ Rp, x = (x1, . . . , xp), y = (y1, . . . , yp).

Uneori vom nota produsul scalar prin (·, ·).

Teorema 1.1.22 (proprietatile fundamentale ale produsului scalar). (P1)< x, x >≥ 0,∀x ∈ Rp;< x, x >= 0 ⇔ x = 0 (pozitivitatea);

(P2) < x, y >=< y, x >,∀x, y ∈ Rp(simetria);

(P3) λ < x, y >=< λx, y >,∀x, y ∈ Rp,∀λ ∈ R (omogenitatea ın raport cu(prima) componenta);

(P4) < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >, ∀x, y, z ∈ Rp (aditivitatea ın raportcu (prima) componenta).

Teorema 1.1.23. Produsul scalar ın Rp are ın plus urmatoarele proprietati:

(P5) < x, x >= ∥x∥2,∀x ∈ Rp;

(P6) < x, y > | ≤ ∥x∥ · ∥y∥,∀x, y ∈ Rp (inegalitatea lui Cauchy);

(P7) < x, y > | ≤ 12(∥x∥

2 + ∥y∥2),∀x, y ∈ Rp.

8

Observatia 1.1.24. Din P6, se obtine ca | <x,y>∥x∥·∥y∥ | ≤ 1,∀x, y ∈ Rp, x = 0, y =

0. Exista atunci si este unic un unghi θ ∈ [0, π] astfel ıncat <x,y>∥x∥·∥y∥ = cos θ,

deci observam ca

< x, y >= ∥x∥ · ∥y∥ · cos θ, ∀x, y ∈ Rp.

θ se numeste unghiul dintre vectorii x si y.

Definitia 1.1.25. Spunem ca vectorii x si y sunt perpendiculari daca< x, y >= 0. Notam aceasta prin x⊥y.

Topologia unui spatiu metric

Definitia 1.1.26. Fie (X, d) un spatiu metric si fie x0 ∈ X si r ∈ (0,+∞)arbitrare, fixate. Definim

S(x0, r) = x ∈ X; d(x, x0) < r,

numita sfera deschisa de centru x0 si raza r,

T (x0, r) = x ∈ X; d(x, x0) ≤ r,

numita sfera ınchisa de centru x0 si raza r.

Exemplul 1.1.27. I) In (R, | · |) avem S(x0, r) = x ∈ R; |x − x0| < r =(x0 − r, x0 + r), adica intervalul deschis centrat ın x0 si de raza r, iar

T (x0, r) = [x0 − r, x0 + r], adica intervalul ınchis centrat ın x0 si de razar.

II) In R2 ınzestrat cu metrica euclidiana, se obtine:

S(x0, r) = (x1, x2) ∈ R2;√

(x1 − x01)2 + (x2 − x02)

2 < r =

= (x1, x2) ∈ R2; (x1 − x01)2 + (x2 − x02)

2 < r2,

iar T (x0, r) = (x1, x2) ∈ R2; (x1 − x01)2 + (x2 − x02)

2 ≤ r2.Asadar, S(x0, r) reprezinta interiorul cercului C((x01, x

02), r) de centru

(x01, x02) si raza r, iar T (x0, r) = S(x0, r) ∪ C((x01, x02), r).

III) In R3, S(x0, r) devine chiar sfera centrata ın x0, ceea ce justificadenumirile date notiunilor introduse.

IV) Daca (X, d) este spatiul metric discret, atunci S(x0, r) =

x0, r ≤ 1

X, r > 1,

iar T (x0, r) =

x0, r < 1

X, r ≥ 1.

9

Definitia 1.1.28. O multime V ⊂ (X, d) se numeste vecinatate a punctuluix0 ∈ X daca exista r > 0 astfel ıncat S(x0, r) ⊂ V.

Notam prin V(x0), sistemul (familia) tuturor vecinatatilor punctului x0.

Teorema 1.1.29 (Proprietati de baza ale sistemului de vecinatati). (V1)x0 ∈ V, ∀V ∈ V(x0);

(V2) ∀V ∈ V(x0),∀U ⊃ V ⇒ U ∈ V(x0) (orice supramultime a uneivecinatati a unui punct este de asemenea vecinatate a punctului);

(V3) ∀V1, V2 ∈ V(x0) ⇒ V1 ∩ V2 ∈ V(x0) (intersectia oricaror douavecinatati ale unui punct este de asemenea vecinatate a punctului);

V4) ∀V ∈ V(x0),∃W ∈ V(x0) astfel ıncat ∀y ∈W ⇒W ∈ V(y).

Observatia 1.1.30. Din V4 rezulta ca S(x0, r) ∈ V(y),∀y ∈ S(x0, r) (oricesfera deschisa centrata ıntr-un punct este vecinatate pentru orice punct alsau).

Teorema 1.1.31 (Proprietatea de separare Hausdorff). ∀x, y ∈ (X, d), x =y,∃Vx ∈ V(x),∃Vy ∈ V(y) astfel ıncat Vx∩Vy = ∅ (orice doua puncte diferitedin (X, d) pot fi separate prin vecinatati disjuncte ale lor).

Definitia 1.1.32. Dat fiind x0 ∈ (X, d), o familie U(x0) de parti din (X, d)se numeste sistem fundamental de vecinatati ( sau baza locala) pentru x0daca:

1) U(x0) ⊂ V(x0) si2) ∀V ∈ V(x0),∃U ∈ U(x0) astfel ıncat U ⊂ V.

Exemplul 1.1.33. I) U1(x0) = S(x0, r)r>0 (multimea tuturor sferelor de-schise cu centrul ıntr-un punct x0 ∈ (X, d) formeaza un sistem fundamentalde vecinatati pentru x0).

Intr-adevar, ∀S(x0, r) ∈ V(x0), deci U1(x0) ⊂ V(x0). In plus, ∀V ∈V(x0), conform definitiei, ∃S(x0, r) ∈ U1(x0) astfel ıncat S(x0, r) ⊂ V.

II) Fie x0 ∈ (X, d). Atunci familia U2(x0) = D ∈ τ |x0 ∈ D este unsistem fundamental de vecinatati pentru x0.

Observatia 1.1.34. In (X, d), orice punct x0 ∈ X poseda un sistem fun-damental numarabil de vecinatati (se mai spune ca satisface axioma I anumarabilitatii sau axioma C1). Intr-adevar, familia S(x0, 1n)|n ∈ N∗, atuturor sferelor deschise cu centrul x0 si de raza 1

n , este un sistem funda-mental numarabil de vecinatati pentru x0.

10

Definitia 1.1.35. O multime D ⊂ (X, d) se numeste deschisa daca fie este∅, fie este vecinatate pentru orice punct al sau.

Familia tuturor multimilor deschise din (X, d) se noteaza cu τd si senumeste topologia indusa de metrica d.

In particular, daca X = Rk si d este metrica euclidiana, atunci topologiaindusa de d se numeste topologia uzuala (obisnuita) (naturala) τ0 pe Rk.

Definitia 1.1.36. O multime F ⊂ (X, d) se numeste ınchisa daca cF estemultime deschisa.

Exemplul 1.1.37. I) Intr-un spatiu metric, orice sfera deschisa este vecinatatepentru orice punct al sau, deci este multime deschisa (ceea ce justifica ter-minologia).

II) Intr-un spatiu metric, fie x0 ∈ (X, d) si r > 0 oarecare. MultimeaA = x ∈ X; d(x, x0) > r este deschisa. Intr-adevar, ∀x ∈ A (daca∃),∃r′ = d(x, x0)−r (> 0) astfel ıncat S(x, r′) ⊆ A : ∀z ∈ S(x, r′), d(z, x0) ≥d(x, x0)− d(x, z) > d(x, x0)− r′ = r.

Observatia 1.1.38. Intr-un spatiu metric pot exista multimi care nu suntnici deschise, nici ınchise: ın X = R, d− metrica euclidiana: [a, b), a, b ∈R, a < b.

Propozitia 1.1.39 (proprietati ale multimilor deschise si ınchise ). (i) Oricereuniune (finita sau infinita) de multimi deschise este multime deschisa.

(ii) Orice intersectie finita de multimi deschise este multime deschisa.(iii) Orice reuniune finita de multimi ınchise este multime ınchisa.(iv) Orice intersectie (finita sau infinita) de multimi ınchise este multime

ınchisa.(v) X, ∅ sunt multimi si deschise, si ınchise.

Propozitia 1.1.40. Orice multime deschisa nevida D dintr-un spatiu met-ric (X, d) se poate reprezenta ca o reuniune de multimi deschise.

Observatia 1.1.41. O intersectie infinita de multimi deschise poate sa nu

fie deschisa: X = R, Dn = (− 1n ,

1n) sunt deschise, ∀n ∈ N∗, dar

∞∩

n=1Dn = 0

nu este deschisa.

Exemplul 1.1.42. I) Orice multime finita dintr-un spatiu metric este ınchisa.Intr-adevar, daca A = x1, x2, ..., xn, sa aratam ca cA este deschisa. Pentruaceasta, demonstram ca ∀y ∈ cA,∃S(y, r) ⊂ cA. Fie r ∈ (0, min

i=1,nd(xi, y)).

Atunci ∀z ∈ S(y, r), avem d(y, z) < r < d(xi, y),∀i = 1, n, deci z = xi,∀i =1, n, ceea ce ınseamna ca z ∈ cA.

11

II) Orice sfera ınchisa dintr-un spatiu metric este ınchisa (ceea ce jus-tifica terminologia). Sa aratam deci ca cT (x0, r) este deschisa, adica, ∀y ∈cT (x0, r), ∃S(y, r′) ⊂ cT (x0, r). Intr-adevar, fie r

′ ∈ (0, d(x0, y) − r). ∀z ∈S(y, r′) satisface d(x0, z) ≥ d(x0, y) − d(y, z) > d(x0, y) − r′ = r, de undeconcluzia.

Definitia 1.1.43. Fie X o multime oarecare nevida.I) O familie τ ⊂ P(X) se spune ca este o topologie pe X daca:i) ∀(Di)i∈I ⊂ τ ⇒ D = ∪

i∈IDi ∈ τ ;

ii) ∀D1, D2 ∈ τ ⇒ D = D1 ∩D2 ∈ τ ;iii) X, ∅ ∈ τ.II) Cuplul (X, τ) se numeste spatiu topologic.

Exemplul 1.1.44. I) Orice spatiu metric (X, d) este spatiu topologic (X, τd)(ın raport cu topologia indusa de metrica).

II) Fie (X, d0) spatiul metric discret. Deoarece ∀x ∈ X,S(x, 1) = x,rezulta ca ∀A ⊂ X,A = ∪

x∈Ax = ∪

x∈AS(x, 1), care este multime de-

schisa. Prin urmare, orice submultime a unui spatiu metric discret estedeschisa, ceea ce antreneaza P(X) ⊂ τd0 . Deoarece incluziunea inversa areloc ıntotdeauna, rezulta ca τd0 = P(X).

Pe de alta parte, rezulta imediat si ca orice submultime a unui spatiumetric discret este ınchisa.

III) Fie R = R ∪ −∞,∞ (dreapta reala ıncheiata), x0 ∈ R si V ⊆ R.V se numeste vecinatate:

• pentru x0 ∈ R, daca ∃(x0 − ε, x0 + ε) ⊂ V ;• pentru x0 = −∞, daca ∃[−∞, x0) ⊂ V ;• pentru x0 = +∞, daca ∃(x0,+∞] ⊂ V.

Se noteaza cu V(x0) familia tuturor vecinatatilor lui x0.

O multime D ⊆ R se numeste deschisa daca D = ∅ sau D = ∅ si D ∈V(x) pentru orice x ∈ D. Daca se noteaza cu τ0 familia tuturor multimilordeschise din R, atunci τ0 este o topologie pe R, numita topologia uzuala alui R. Ne punem problema daca topologia τ0 a lui R poate fi interpretataca o topologie indusa de o metrica. Daca ıncercam sa procedam ca ın R,observam ca nu putem defini o distanta cu ajutorul modulului, deoareced(+∞,+∞) = |+∞− (+∞)| = |∞ −∞| nu are sens.

Fie atunci f : R → [−1, 1], f(x) =

1, x = ∞−1, x = −∞

x1+|x| , x ∈ R

, numita functia

limitativa a lui Baire.

12

Functia f este o bijectie, iar aplicatia d : R × R → R+, definita prind(x, y) = |f(x)− f(y)|, ∀x, y ∈ R, este o metrica pe R.

Mai mult, topologia indusa de aceasta metrica d pe R, τd, coincide cuτ0.

Definitia 1.1.45. Fie ∅ = A ⊂ (X, d), o multime oarecare.(i) Un punct x0 ∈ A se numeste punct interior multimii A daca A ∈

V(x0), adica exista r > 0 astfel ıncat S(x0, r) ⊆ A.(ii) Totalitatea punctelor interioare multimii A se numeste interiorul lui

A si se noteaza prin intA sauA.

Exemplul 1.1.46. I)

[a, b] =

[a, b) =

(a, b] =

(a, b) = (a, b),∀a, b ∈ R, a < b;

II)Q =

R\Q = ∅;III) Daca A = (0, 1], atunci 1

2 ∈A, iar 0 si 1 /∈

A;

IV) Fie A = (x, y);x2 + y2 ≤ 4, x > y. AtunciA = (x, y);x2 + y2 <

4, x > y.

Propozitia 1.1.47 (proprietati ale interiorului). Fie A,B ∈ P(X).

(i)A ⊆ A,∀A ⊂ (X, d);

(ii)A ⊆

B,∀A,B ⊂ (X, d), cu A ⊆ B;

(iii)

A ∩B =A ∩

B, ∀A,B ⊂ (X, d);

(iv)A ∪

B ⊆

A ∪B, ∀A,B ⊂ (X, d);

(v) A este multime deschisa daca si numai daca A =A;

(vi)A = ∪

D∈τd,D⊂AD (interiorul unei multimi A este cea mai ampla multime

(ın sensul incluziunii) deschisa continuta ın A).

Observatia 1.1.48. Incluziunea din (iv) poate fi stricta: A = [0, 1), B =

[1, 2],A = (0, 1),

B = (1, 2),

A ∪B = (0, 2).

Definitia 1.1.49. Fie ∅ = A ⊆ (X, d).(i) Un punct x0 ∈ (X, d) se numeste punct aderent multimii A daca

V ∩A = ∅,∀V ∈ V(x0).(ii) Totalitatea punctelor aderente multimii A se numeste aderenta (sau

ınchiderea) lui A si se noteaza prin A sau clA.

13

Definitia 1.1.50. Spunem ca:(i) multimea A este densa ın (X, d) daca A = X;(ii) spatiul (X, d) este separabil daca exista A ⊆ X numarabila densa ın

X.

Teorema 1.1.51 (de caracterizare cu sistem fundamental de vecinatati).x0 ∈ A daca si numai daca ∀ε > 0, S(x0, ε) ∩A = ∅.Exemplul 1.1.52. I) [a, b] = (a, b] = (a, b) = [a, b) = [a, b],∀a, b ∈ R, a < b;

II) Q = R\Q = R (deci Q si R\Q sunt dense ın R). De altfel, de exemplu,

ın general, si Qk = Rk (deci Qk este densa ın Rk).Rk este spatiu separabil, ∀k ≥ 1.III) Daca A ⊂ R este o multime nevida, marginita, atunci supA, inf A ∈

A.IV) Fie A = (x, y);x2 + y2 ≤ 4, x > y. Atunci A = (x, y);x2 + y2 ≤

4, x ≥ y.Propozitia 1.1.53. In orice spatiu normat, S(x0, r) = T (x0, r).

Teorema 1.1.54. (relatiile (duale) de legatura ıntre interior si aderenta).

(i) c(A) =cA (complementara aderentei este interiorul complementarei);

(ii) c(A) = cA (complementara interiorului este aderenta complementarei).

Propozitia 1.1.55 (proprietati ale aderentei unei multimi). Fie A,B ⊆(X, d). Atunci au loc urmatoarele proprietati:

(i) A ⊆ A, ∀A ⊂ (X, d);(ii) A ⊆ B,∀A,B ⊂ (X, d), cu A ⊆ B;(iii) A ∪B = A ∪B,∀A,B ⊂ (X, d);(iv) A ∩B ⊇ A ∩B,∀A,B ⊂ (X, d);(v) A este multime ınchisa daca si numai daca A = A;(vi) A = ∩

cF∈τd,F⊃AF (aderenta unei multimi A este cea mai mica multime

(ın sensul incluziunii) ınchisa care contine A).

Definitia 1.1.56. Fie ∅ = A ⊂ (X, d) o multime oarecare. Un punctx0 ∈ (X, d) se numeste punct de acumulare pentru A daca [V \x0] ∩ A =∅,∀V ∈ V(x0).

Totalitatea punctelor de acumulare pentru multimeaA se numestemultimeaderivata lui A si se noteaza prin A′. Prin definitie, ∅′ = ∅.Definitia 1.1.57. Un punct x0 ∈ A care nu este punct de acumulare senumeste punct izolat.

Prin urmare, x0 ∈ A este punct izolat daca si numai daca exista V0 ∈V(x0) asa ıncat V0 ∩A = x0.

14

Teorema 1.1.58 (de caracterizare cu sistem fundamental de vecinatati).x0 ∈ A′ daca si numai daca ∀ε > 0, [S(x0, ε)\x0] ∩A = ∅.

Exemplul 1.1.59. I) [a, b]′ = (a, b]′ = (a, b)′ = [a, b)′ = [a, b],∀a, b ∈ R, a <b;

II) Q′ = (R\Q)′ = R.III) 1

n′n≥1 = 0.

IV) Fie A = (x, y);x2 + y2 ≤ 4, x > y. Atunci A′ = (x, y);x2 + y2 ≤4, x ≥ y.

Propozitia 1.1.60 (proprietati ale multimii derivate). Fie A,B ∈ P(X).Atunci au loc urmatoarele proprietati:

(i) A′ ⊆ A,∀A ⊂ (X, d) (orice punct de acumulare este punct aderent);

(ii) A′ ⊆ B′,∀A,B ⊂ (X, d), cu A ⊆ B;

(iii) (A ∪B)′ = A′ ∪B′,∀A,B ⊂ (X, d);

(iv) A = A ∪A′,∀A ⊂ (X, d);

(v) A′ = A\x0.

Observatia 1.1.61. Intr-un spatiu metric oarecare, o multime finita nupoate avea puncte de acumulare (deci multimea derivata este vida). Intr-adevar, fie A = x1, x2, ..., xn si presupunem prin reducere la absurd caA′ = ∅, deci ∃x ∈ A′. Prin urmare, ∀ε > 0, [S(x, ε)\x] ∩ A = ∅, adica,∀ε > 0,∃yε ∈ A, yε = x astfel ca d(x, yε) < ε. In particular, pentru ε ∈(0, min

i=1,nd(x, xi)),∃yε ∈ A, yε = x astfel ca d(x, yε) < ε < d(x, xi),∀i = 1, n,

contradictie.

Definitia 1.1.62. Fie A ⊂ (X, d), A = ∅. Multimea FrA = A\A(= A∩ cA)

se numeste frontiera lui A.

Teorema 1.1.63. Fie A ∈ P(X).

(i)A = A\FrA;

(ii) A = A ∪ FrA.(iii) FrA este multime ınchisa;

(iv) FrA = Fr(cA).

Definitia 1.1.64. Fie o multime nevida A ⊆ (X, d).

(i) Numim diametru al multimii A, δ(A) = supd(x, y);x ∈ A, y ∈ A(∈ [0,∞]).

(ii) Spunem ca multimea A este marginita daca δ(A) <∞.

(iii) Spunem ca multimea A este nemarginita daca δ(A) = ∞.

15

Teorema 1.1.65. Fie A,B ⊆ P(X)\∅.(i) Daca A ⊆ B, atunci δ(A) ≤ δ(B);(ii) δ(A) = 0 ⇔ cardA = 1;(iii) δ(S(x0, r)) ≤ δ(T (x0, r)) ≤ 2r.

Teorema 1.1.66. Fie o multime nevida A ⊂ (X, d). Atunci A este marginitadaca si numai daca exista o sfera deschisa care sa o cuprinda, adica, existar ∈ (0,+∞) astfel ıncat A ⊆ S(x0, r), x0 ∈ X.

Teorema 1.1.67. Fie (X, || · ||) un spatiu normat. Atunci o multime nevidaA ⊆ X este marginita daca si numai daca exista o sfera deschisa centrata ınorigine care sa o cuprinda, adica, exista r ∈ (0,∞) astfel ıncat A ⊆ S(0, r).

Definitia 1.1.68. Fie un spatiu metric (X, d) si Y ⊂ X,Y = ∅. Se observaimediat ca d/Y×Y este de asemenea metrica, numita metrica indusa de d peY. O vom nota tot prin d.

Spatiul metric (Y, d) se numeste subspatiu al spatiului metric (X, d).

Exemplul 1.1.69. Fie R ınzestrat cu metrica euclidiana d. Q ınzestrat cumetrica d(x, y) = |x−y|,∀x, y ∈ Q, este subspatiu al spatiului metric (R, d).

In schimb, Q ınzestrat cu metrica discreta d0 nu este subspatiu al spatiuluimetric (R, d) : In Q, Sτu(0,

12) = Q ∩ (−1

2 ,12) = Sτ0(0,

12) = 0.

Observatia 1.1.70. Daca A este o submultime a subspatiului Y al lui(X, d), trebuie precizat cand A este deschisa / ınchisa ın raport cu Y sau ınraport cu X. De altfel, Y ınsusi este multime simultan deschisa si ınchisa ınY , fara a avea neaparat aceleasi proprietati ın X. Dar orice multime din Ycare este deschisa / ınchisa ın X, este de asemenea deschisa / ınchisa ın Y.

Fie x0 ∈ Y. Notam cu SX(x0, r) (respectiv SY (x0, r)) sfera deschisa decentru x0 si raza r ın raport cu X (respectiv cu Y ). Aceste doua sfere nusunt neaparat egale. In general, SY (x0, r) = SX(x0, r) ∩ Y.

Teorema 1.1.71. Fie Y ⊆ X un subspatiu al spatiului metric (X, d). FieE ⊂ Y. Atunci E este deschisa (respectiv ınchisa) ın Y daca si numai dacaexista o multime deschisa (respectiv ınchisa) A ın X asa ca E = A ∩ Y.

Prin urmare, orice multime din Y , care este deschisa (respectiv ınchisa)ın X, este de asemenea deschisa (respectiv ınchisa) ın Y .

Teorema 1.1.72. Fie Y ⊂ X un subspatiu al spatiului metric (X, d) si fiex ∈ Y . O multime W ⊂ Y este vecinatate a lui x ın Y daca si numai dacaexista o vecinatate V a lui x ın X asa ca W = V ∩ Y.

16

Spatii metrice compacte

Definitia 1.1.73. Fie ∅ = A ⊆ (X, d) o multime arbitrara. O familieU = Aii∈I ⊂ P(X) se numeste acoperire a multimii A daca A ⊆ ∪

i∈IAi.

Daca A ⊆ ∪i∈J⊂I

Ai, atunci U = Aii∈J se numeste subacoperire a

multimii A.

Exemplul 1.1.74. Familia U = ( 2n , 1)n≥3 acopera (0, 1) : (0, 1) ⊆∞∪

n=3( 2n , 1)

deoarece ∀x ∈ (0, 1),∃n0 ≥ 3 asa ca x ∈ ( 2n0, 1).

Familia U = ( 1n , 1)n≥4 constituie o subacoperire.

Definitia 1.1.75. (i) Spatiul metric (X, d) se numeste compact daca dinorice acoperire a sa cu deschisi se poate extrage o subacoperire finita: X =

∪i∈IDi, Di ∈ τ, ∀i ∈ I ⇒ ∃i1, . . . , ip ∈ I asa ıncat X =

p∪j=1

Dij .

(ii) O multime A ⊆ (X, d) se numeste compacta daca subspatiul (A, d)este compact.

Propozitia 1.1.76. Orice submultime finita a unui spatiu metric este com-pacta.

Observatia 1.1.77. Multimea (0, 1) nu este compacta. Intr-adevar, dacaam presupune prin reducere la absurd ca (0, 1) este compacta, deoarece

(0, 1) ⊂∞∪i=2

(1i , 1), ar rezulta ca (0, 1) ⊂p∪i=2

(1i , 1) = (12 , 1), contradictie.

Teorema 1.1.78. Orice submultime compacta a unui spatiu metric estemarginita si ınchisa.

Observatia 1.1.79. Reciproca Teoremei 1.1.78 nu este adevarata. De ex-emplu, sa consideram R ınzestrat cu metrica discreta. Atunci δ(R) ≤ 1 <∞,deci R este marginita, dar R nu este compacta. Intr-adevar, daca am pre-supune prin reducere la absurd ca este compacta, ıntrucat R = ∪

x∈RS(x, 1),

ar rezulta ca R =p∪i=1S(xi, 1) =

p∪i=1

xi, ceea ce este fals.

Teorema 1.1.80. Fie A ⊆ Rp. Atunci A este compacta daca si numai dacaA este marginita si ınchisa.

Teorema 1.1.81. Orice submultime ınchisa a unui spatiu metric compacteste compacta.

17

Corolarul 1.1.82. Intr-un spatiu metric compact, multimile ınchise coin-cid cu multimile compacte (ın mod analog, ıntr-un spatiu metric complet,multimile ınchise coincid cu cele complete).

Definitia 1.1.83. O familie F = Fii∈I are proprietatea intersectiei finitedaca orice intersectie finita de multimi din F este nevida.

Teorema 1.1.84. Fie (X, d) un spatiu metric. Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

(i) (X, d) este compact;

(ii) ∀Fii∈I o familie de multimi ınchise cu proprietatea intersectieifinite, avem ∩

i∈IFi = ∅.

Teorema 1.1.85. Daca (X, d1) si (Y, d2) sunt spatii metrice compacte,atunci spatiul metric produs (X×Y, d), d(x, y) =

√d21(x1, y1) + d22(x2, y2), x =

(x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X × Y, este compact.

Observatia 1.1.86. Rezultatul anterior are loc pentru un produs cartezianfinit de p spatii metrice.

Definitia 1.1.87. Un interval ınchis ın Rp este de forma [a1, b1]× [a2, b2]×...× [ap, bp], ai, bi ∈ R, ai ≤ bi,∀i = 1, p.

Propozitia 1.1.88. Orice interval ınchis din Rp este multime compacta.

Definitia 1.1.89. O multime A ⊆ (X, d) se numeste precompacta (sau totalmarginita) daca pentru orice ε > 0, exista (x1, x2, . . . , xp) ∈ A astfel ıncat

A ⊆p∪i=1S(xi, ε).

Observatia 1.1.90. (i) Notiunea de compacitate are caracter topologic, iarnotiunea de precompacitate are caracter metric.

(ii) Orice submultime a unei multimi precompacte este de asemenea pre-compacta.

(iii) Notiunile de compacitate si precompacitate permit reducerea unorconsideratii la cazul finit. Exprima intuitiv faptul ca spatiile cu una dinaceste proprietati este aproximativ finit.

Exemplul 1.1.91. Multimea termenilor unui sir Cauchy este precompacta.Intr-adevar, daca A = x1, ..., xn, ..., deoarece (xn)n este sir Cauchy, atunci∀ε > 0,∃n0(ε) ∈ N asa ca ∀n ≥ n0, avem d(xn, xn0) < ε, deci A ⊂n0∪i=1S(xi, ε).

18

Teorema 1.1.92. Orice multime total marginita este marginita.

Observatia 1.1.93. Reciproca nu este adevarata. Exista multimi marginitecare nu sunt total marginite: Fie A = 0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0, ... = eii≥1 ⊂ l2

(multimea tuturor acestor siruri). Observam ca A este marginita deoarece∀i, j ≥ 1, daca i = j atunci d(ei, ej) = 0, iar daca i = j atunci d(ei, ej) =

√2,

deci δ(A) =√2 <∞.

A nu este precompacta. Intr-adevar, daca am presupune prin reducere

la absurd ca este, atunci pentru ε = 12 , am avea A = eii ⊂

p∪j=1

S(ej ,12),

deci ∀k, l ≥ 1, k = l, ∃jk, jk = 1, p astfel ca d(ek, ejk) <12 si d(el, ejl) <

12 .

Prin urmare, d(ek, el) =√2 < 1 + d(ejk , ejl), deci jk = jl, ceea ce este fals.

Teorema 1.1.94. Orice multime compacta este precompacta.

Observatia 1.1.95. Reciproca nu este adevarata. In X = [0, 2] ⊂ R,multimea A = 1

nn∈N∗ este precompacta, dar nu este compacta deoarecenu este ınchisa.

Definitia 1.1.96. O multime A ⊆ (X, d) se numeste relativ compacta dacaA este compacta.

Exemplul 1.1.97. [0, 1), (0, 1), (0, 1] sunt relativ compacte.

Teorema 1.1.98. Daca A ⊂ (X, d) este relativ compacta, atunci A esteprecompacta.

Observatia 1.1.99. Reciproca nu este adevarata: multimea A = 1nn≥1 ⊂

X = (0, 1] este precompacta, dar nu este relativ compacta.

Teorema 1.1.100. Fie (X, d) un spatiu metric complet si A ⊆ (X, d).Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) A este relativ compacta;

(ii) A este precompacta.

Teorema 1.1.101. Fie A ⊂ Rp. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) A este precompacta;

(ii) A este relativ compacta;

(iii) A este marginita.

Observatia 1.1.102. Multimile compacte coincid cu multimile marginitesi ınchise nu doar ın Rp, ci, mai general, ın orice spatiu metric ın care oricesfera ınchisa este compacta.

19

Definitia 1.1.103. Spunem ca:(i) un spatiu metric (X, d) este secvential compact (compact prin siruri)

daca orice sir de puncte din X contine un subsir convergent la un punct dinX.

(ii) o multime A ⊂ (X, d) este secvential compacta (compacta prinsiruri) daca subspatiul A al lui (X, d) este secvential compact.

Exemplul 1.1.104. I) Intervalul [0, 1] ⊂ R este multime secvential com-pacta deoarece orice sir (xn)n ⊂ [0, 1] este marginit, deci conform lemei luiCesaro admite un subsir convergent la un punct din [0, 1] ([0, 1] este ınchis).

II) Intervalul (0, 1] ⊂ R nu este multime secvential compacta.

Teorema 1.1.105. O multime A dintr-un spatiu metric (X, d) este com-pacta daca si numai daca este secvential compacta.

Teorema 1.1.106 (Hausdorff). O multime A dintr-un spatiu metric (X, d)este compacta daca si numai daca este precompacta si completa (deci pentruo multime completa, notiunile de compacitate si precompacitate coincid).

Observatia 1.1.107. Din teorema anterioara, orice spatiu compact estecomplet. Reciproca nu este adevarata: (R, du) este complet, dar nu estecompact (nu este marginit).

Teorema 1.1.108. O multime A dintr-un spatiu metric (X, d) este precom-pacta daca si numai daca orice sir din A contine un subsir Cauchy.

Multimi conexe

Definitia 1.1.109. Un spatiu metric (X, d) este:(i) conex daca @D1, D2 multimi deschise, nevide si disjuncte astfel ca

X = D1 ∪D2.(ii) neconex sau disconex daca nu este conex.

Teorema 1.1.110. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) (X, d) este spatiu metric conex;(ii) @F1, F2 multimi ınchise, nevide si disjuncte astfel ca X = F1 ∪ F2;(iii) Singura multime nevida din X simultan deschisa si ınchisa este X.

Definitia 1.1.111. A ⊂ (X, d) este multime:(i) conexa daca privita ca subspatiu al lui X nu este conex, adica,

@D1, D2 multimi nevide deschise ın X astfel ıncat D1 ∩ A = ∅, D2 ∩ A =∅, A ⊂ D1 ∪D2, D1 ∩D2 ∩A = ∅.

(ii) neconexa sau disconexa daca nu este conexa.

20

Intuitiv, o multime conexa este o multime formata dintr-o singura bu-cata. De exemplu, o multime formata din doua puncte sau din doua multimidisjuncte nu este conexa:

Exemplul 1.1.112. I) Presupunem ca exista a, b ∈ X, a = b. Atuncimultimea A = a, b nu este conexa, deoarece ∃D1 = ca, D2 = cbmultimi nevide deschise astfel ca D1∩A = ∅, D2∩A = ∅, A ⊂ D1∪D2, D1∩D2 ∩A = ∅.

II) Fie A = (−1, 0) ∪ (1, 2) ⊂ X = R. Atunci A este neconexa deoarece∃D1 = (−1, 0), D2 = (1, 2) multimi nevide deschise astfel ca D1 ∩ A =(−1, 0) = ∅, D2 ∩A = (1, 2) = ∅, A = D1 ∪D2, D1 ∩D2 ∩A = ∅.

Teorema 1.1.113. Daca (Ai)i∈I este o familie oarecare de multimi conexedin (X, d), cu ∩

i∈IAi = ∅, atunci A = ∪

i∈IAi este de asemenea conexa.

Teorema 1.1.114. Daca A ⊂ (X, d) este conexa, atunci ∀B, cu A ⊂ B ⊂ Aeste conexa (deci ın particular, A este conexa).

Teorema 1.1.115. Daca f : (X, d1) → (Y, d2) este functie continua pe X,iar A ⊂ (X, d) este multime conexa, atunci f(A) este de asemenea conexa.

(orice functie continua duce (transforma) multimi conexe dintr-un spatiumetric tot ın multimi conexe).

Definitia 1.1.116. Spunem ca o functie f : (X, d1) → (Y, d2) are propri-etatea lui Darboux pe X daca transforma orice multime conexa din X ıntr-omultime conexa din Y.

Corolarul 1.1.117. Orice functie continua are proprietatea lui Darboux.

Teorema 1.1.118. O multime nevida din R este conexa daca si numai dacaeste interval.

Corolarul 1.1.119 (teorema valorilor intermediare). Daca f : (X, d1) →(R, du) este functie continua pe X, iar A ⊂ (X, d) este multime conexa,atunci f(A) este interval (adica ∀a, b ∈ A, cu f(a) < f(b) si ∀λ ∈ (f(a), f(b)),rezulta ca λ ∈ f(A), adica ∃c ∈ A, cu f(c) = λ).

Corolarul 1.1.120. O functie f : R → R are proprietatea lui Darboux dacasi numai daca duce intervale ın intervale.

Corolarul 1.1.121. Daca f : Iinterval ⊂ R → R este continua pe I, atunciare proprietatea lui Darboux pe I, adica ∀a, b ∈ I, cu f(a) < f(b) si ∀λ ∈(f(a), f(b)), ∃c ∈ I, cu f(c) = λ.

21

Definitia 1.1.122. (i) Un spatiu (X, d) se numeste conex prin arce dacaorice doua elemente ale sale pot fi unite ın mod continuu printr-un drum(arc) continut ın X, adica,

∀x1, x2 ∈ X, ∃φ : [a, b] ⊂ R → X continua pe [a, b] astfel ıncat φ(a) =x1, φ(b) = x2 si φ(t) ∈ X, ∀t ∈ [a, b].

(ii) O multime A ⊂ (X, d) se numeste conexa prin arce daca privita casubspatiu este conex.

Teorema 1.1.123. Orice spatiu metric conex prin arce (X, d) este conex.

Teorema 1.1.124 (invarianta conexiunii prin arce). Imaginea printr-o functiecontinua a unei multimi conexe prin arce este de asemenea o multime conexaprin arce (altfel spus, functiile continue duc multimi conexe prin arce ınmultimi conexe prin arce).

Definitia 1.1.125. O multime A ⊂ Rp se numeste convexa daca orice douaelemente din multimea A pot fi unite ın mod continuu printr-un segmentınchis continut ın A :

∀x1, x2 ∈ A⇒ [x1, x2] ⊆ A,

unde [x1, x2] = x ∈ Rk;x = (1− λ)x1 + λx2, λ ∈ [0, 1](⊂ R).

Observatia 1.1.126. I) Evident, orice multime convexa este conexa prinarce, deci si conexa.

II) In particular, orice segment este multime convexa.III) Exista multimi conexe prin arce care nu sunt convexe, cum ar fi, de

exemplu, cercurile din R2.

Propozitia 1.1.127. Orice sfera deschisa (sau ınchisa) din Rk este multimeconvexa.

Propozitia 1.1.128. Orice paralelipiped ınchis P = [a1, b1]× [a2, b2]× ...×[ak, bk] este multime convexa.

Observatia 1.1.129. Imaginea printr-o functie continua a unei multimiconvexe poate sa nu fie convexa, dupa cum se remarca din urmatorul con-traexemplu:

Functia continua f : [0, π] → R2, f(t) = (cos t, sin t),∀t ∈ [0, π] ducemultimea convexa [0, π] ıntr-un semicerc, care nu este multime convexa.

Teorema 1.1.130. Orice submultime nevida, deschisa a lui Rk este conexadaca si numai daca este conexa prin arce.

22

1.2 Probleme rezolvate

1.2.1. Determinati domeniile de definitie ale functiilor urmatoare si figurati-le:

i) f : R → R, f(x) = arcsin(lnx) + 2√1− ln2 x;

ii) f : R2 → R, f(x, y) =√

(x2 + y2 − 1)(4− x2 − y2);iii) f : R2 → R, f(x, y) =

√y − x;

iv) f : R2 → R, f(x, y) =√x2 − y2;

v) f : R2 → R, f(x, y) = arcsin xy2

+ arcsin(1− y);

vi) f : R2 → R, f(x, y) =√1− x2 +

√1− y2.

Solutie 1.2.1. (i)

lnx > 0

−1 ≤ lnx ≤ 1

1− ln2 x ≥ 0

⇔

x > 1

x ∈ [1e , e]⇔ x ∈ (1, e], deci

Df = (1, e].

ii) (x2+y2−1)(4−x2−y2) ≥ 0 ⇔

x2 + y2 − 1 ≥ 0

4− x2 − y2 ≥ 0sau

x2 + y2 − 1 ≤ 0

4− x2 − y2 ≤ 0⇔

1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, deci Df = (x, y) ∈ R2; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.iii) y − x ≥ 0 ⇔ y ≥ x, deci Df = (x, y) ∈ R2; y ≥ x.

iv) x2−y2 ≥ 0 ⇔ (x−y)(x+y) ≥ 0 ⇔

x− y ≥ 0

x+ y ≥ 0sau

x− y ≤ 0

x+ y ≤ 0⇔

−x ≤ y ≤ x sau x ≤ y ≤ −x, deci Df = (x, y) ∈ R2;−x ≤ y ≤x ∪ (x, y) ∈ R2;x ≤ y ≤ −x.

v)

−1 ≤ x

y2≤ 1

−1 ≤ 1− y ≤ 1

y = 0

⇔

y ∈ (0, 2]

−y2 ≤ x ≤ y2, deciDf = (x, y) ∈ R2;−y2 ≤

x ≤ y2, y ∈ (0, 2].

vi)

1− x2 ≥ 0

1− x2 ≥ 0⇔

x ∈ [−1, 1]

y ∈ [−1, 1], deci Df = [−1, 1]X[−1, 1].

1.2.2. Figurati urmatoarele multimi:i) A = (x, y);x2 + y2 < 4, y = x+ 1;ii) A = (x, y); 0 < y < x+ 1;iii) A = (x, y);x2 + y2 ≤ 4, x2 + 1

4y2 ≥ 1, x ≥ 0;

iv) A = (x, y); 1 ≤ xy ≤ 3, 1 ≤ yx ≤ 4, x > 0;

v) A = (x, y); 1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ lnx;vi) A = (x, y); 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤

√x;

vii) A = (x, y);x2 + y2 ≤ 2, x ≥ 0;

23

viii) A = (x, y);x2 + y2 ≤ 2, x ≤ y2, x ≥ −y2, y ≤ 0;ix) A = (x, y); 1 ≤ x ≤ 2, 2− x ≤ y ≤

√2x− x2;

x) A = (x, y);x2 + y ≥ 1, x+ y ≤√2, x− y ≤

√2, x ≥ 1√

2;

xi) A = (x, y, z);x2 + y2 + z2 ≤ 1;xii) A = (x1, x2);max|x1|, |x2| < 1;xiii) A = (x1, x2); |x1|+ |x2| < 1;xiv) A = (x, y);xy = 0, xy ≥ −1;xv) A = (x, y, z);x+ y + z < 1, x > 0, y > 0, z ≥ 0;xvi) A = (x, y, z);x+ y + z < 1.

Solutie 1.2.2. ————–

1.2.3. Fie A o multime oarecare nevida. Aratati urmatoarele:

1) Daca T este un spatiu liniar peste corpul K, atunci F(A, T ) este deasemenea un spatiu liniar peste K.

2) M(A) este un spatiu liniar al lui F(A).

3) Daca ∅ = A ⊆ R, atunci C(A) si C1(A) sunt subspatii liniare ale luiF(A).

4) R∞, c si c0 sunt subspatii liniare ale lui s.

Solutie 1.2.3. 1) Se verifica axiomele Definitiei 1.1.1.

2) Se observa ca daca f, g : A → R sunt marginite, atunci si functiaαf + βg este marginita, oricare ar fi α, β ∈ R. Conform Teoremei 1.1.3,M(A) este subspatiu liniar al lui F(A).

La punctele 3) si 4) se procedeaza ca la 2).

1.2.4. Fie x, y ∈ R, x = (1, 2, 3), y = (−1, 0, 1). Calculati d(x, y), ∥x∥, ∥y∥, <x, x >,< x, y >,< 3x,−2y >, ∥x+ y∥.

Solutie 1.2.4. Calcul imediat folosind si proprietatile normei/produsuluiscalar.

1.2.5. Stabiliti prin doua metode identitatea paralelogramului: ∥x+ y∥2 +∥x− y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2). Interpretare geometrica.

Solutie 1.2.5. Metoda I. Folosind faptul ca ∥x∥2 =< x, x >, obtinem

∥x+ y∥2 + ∥x− y∥2 = < x+ y, x+ y > + < x− y, x− y >=

= < x, x > + < y, x > + < x, y > + < y, y > +

+ < x, x > − < y, x > − < x, y > + < y, y >=

= 2 < x, x > +2 < y, y >= 2(∥x∥2 + ∥y∥2).

24

Metoda II. Prin calcul direct: daca x = (x1, . . . , xk), y = (y1, . . . , yk),atunci

∥x+ y∥2 + ∥x− y∥2 = (x1 + y1)2 + ...+ (xp + yp)

2 + (x1 − y1)2 + ...+ (xp − yp)

2 =

= 2(x21 + ...+ x2p + y21 + ...+ y2p) = 2(∥x∥2 + ∥y∥2).

1.2.6. Fie x, y ∈ Rp oarecare. Verificati urmatoarele echivalente:(i) < x, y >= 0 ⇔ ∥x+ y∥ = ∥x− y∥;(ii) < x, y >= 0 ⇔ ∥x+ y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2;(iii) < x+ y, x− y >= 0 ⇔ ∥x∥ = ∥y∥;(iv) < x, y >= 0 ⇔ ∥x+ ty∥ ≥ ∥x∥,∀t ∈ R.

Solutie 1.2.6. (i)

∥x+ y∥ = ∥x− y∥ ⇔ ∥x+ y∥2 = ∥x− y∥2 ⇔< x+ y, x+ y >=< x− y, x− y >⇔⇔ ∥x∥2 + ∥y∥2 + 2 < x, y >= ∥x∥2 + ∥y∥2 − 2 < x, y >⇔< x, y >= 0.

(ii)

∥x+ y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 ⇔ ∥x∥2 + ∥y∥2 + 2 < x, y >= ∥x∥2 + ∥y∥2 ⇔⇔ < x, y >= 0.

(iii)

< x+ y, x− y >= 0 ⇔ ∥x∥2 − ∥y∥2 = 0 ⇔ ∥x∥ = ∥y∥.

(iv) ∀t ∈ R,

∥x+ ty∥ ≥ ∥x∥ ⇔ ∥x+ ty∥2 ≥ ∥x∥2 ⇔ ∥x∥2 + t2∥y∥2 + 2t < x, y >≥ ∥x∥2 ⇔⇔ t2∥y∥2 + 2t < x, y >≥ 0 ⇔ ∆′ =< x, y >2≤ 0 ⇔< x, y >= 0.

1.2.7. Fie x, y ∈ Rp. Aratati ca < x, y >= 12(∥x∥

2 + ∥y∥2 − ∥x− y∥2).

Solutie 1.2.7. Evident, ∀x, y ∈ Rp, ∥x∥2 + ∥y∥2 − ∥x − y∥2 = 2 < x, y >,de unde concluzia.

1.2.8. Aratati ca ∥|x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x− y∥,∀x, y ∈ Rp.

Solutie 1.2.8.

∀x, y ∈ Rp, ∥x∥ = ∥(x− y) + y∥ ≤ ∥x− y∥+ ∥y∥,

de unde ∥x∥ − ∥y∥ ≤ ∥x− y∥ (1).Rationand analog sau schimband ıntre ele rolurile lui x si y, obtinem si

∥y∥ − ∥x∥ ≤ ∥x− y∥ (2).(1) si (2) antreneaza ∥|x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x− y∥,∀x, y ∈ Rp.

25

1.2.9. Fie ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rp, unde cifra 1 este plasata pelocul i,∀i = 1, p (e1, e2, . . . , ep sunt versorii bazei canonice ın Rp). Aratatica:

(i) x =p∑

i=1< x, ei > ei,∀x ∈ Rp;

(ii) ∥x∥2 =p∑

i=1< x, ei >

2,∀x ∈ Rp (egalitatea lui Parseval);

(iii) < x, y >=p∑

i=1< x, ei >< y, ei >, ∀x, y ∈ Rp.

Solutie 1.2.9. (i) ∀x ∈ Rp,

x = (x1, . . . , xp) = x1 · (1, 0, . . . , 0) + x2 · (0, 1, 0, . . . , 0) + ...+ xp · (0, . . . , 0, 1) =

=

p∑i=1

xiei =

p∑i=1

< x, ei > ei.

(ii) ∀x ∈ Rp, ∥x∥2 =p∑

i=1x2i =

p∑i=1

< x, ei >2 .

(iii) ∀x, y ∈ Rp, < x, y >=p∑

i=1xiyi =

p∑i=1

< x, ei > · < y, ei > .

1.2.10. Aratati ca |d(x, y)− d(t, z)| ≤ d(x, t) + d(y, z),∀x, y, z, t ∈ Rp (ine-galitatea patrulaterului). Interpretare geometrica.

Solutie 1.2.10. ∀x, y, z, t ∈ Rp, are loc d(x, y) ≤ d(x, t) + d(t, z) + d(z, y),de unde d(x, y)− d(t, z) ≤ d(x, t) + d(y, z) (1).

Procedand analog sau schimband ıntre ele rolurile lui x, y si t, z, obtinemd(t, z)− d(x, y) ≤ d(x, t) + d(y, z) (2).

Din (1) si (2), rezulta |d(x, y)−d(t, z)| ≤ d(x, t)+d(y, z),∀x, y, z, t ∈ Rp.

1.2.11. Aratati ca daca x⊥y, atunci ∥x+ y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 (generalizareala Rp a Teoremei lui Pitagora).

Solutie 1.2.11. ———

1.2.12. Aflati interiorul, aderenta, multimea derivata si frontiera urmatoarelormultimi. Specificati pentru fiecare multime ın parte daca este deschisa,ınchisa, marginita, compacta:

(i) A = [a, b], (a, b), [a, b), (a, b];(ii) A = Q, A = R\Q;(iii) A = [2, 3) ∪ 4 ∪ (5, 7);(iv) A = (R\Q) ∩ [0, 1);A = Q ∩ [0, 1];

26

(v) A = 1nn∈N∗ ;

(vi) A = (x, y);x2 + y2 ≤ 1;(vii) A = (x, y); 0 < y < x+ 1;(viii) A = (x, y);x2 + y2 ≥ 3;(ix) A = (x, y);x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0;(x) A = (x, y);x2 + y2 ≤ 2, x ≥ y;(xi) A = (x, y); 0 ≤ y ≤ x+ 1, x ≤ 2;(xii) A = ( 1n ,

1n)n∈N∗ .

Solutie 1.2.12. (ii) intQ = ∅ : daca presupunem prin reducere la absurdca intQ = 0, rezulta ca exista x0 ∈ intQ, deci exista ε0 > 0 astfel ıncat(x0 − ε0, x0 + ε0) ⊂ Q, ceea ce este absurd, ıntrucat orice interval contine sinumere irationale.

Analog, int(R\Q) = ∅ : daca presupunem prin reducere la absurd caint(R\Q) = 0, rezulta ca exista x0 ∈ int(R\Q), deci exista ε0 > 0 astfelıncat (x0 − ε0, x0 + ε0) ⊂ (R\Q), ceea ce este absurd, ıntrucat orice intervalcontine si numere rationale.

Q = R : evident, Q ⊆ R si R ⊆ Q (deoarece ∀x0 ∈ R,∀ε > 0, (x0 −ε0, x0 + ε0) ∩Q = ∅ - orice interval contine numere rationale).

R\Q = R : evident, R\Q ⊆ R si R ⊆ R\Q (deoarece ∀x0 ∈ R\Q,∀ε >0, (x0 − ε0, x0 + ε0) ∩ (R\Q) = ∅ - orice interval contine numere irationale).

Q′ = R : evident, Q′ ⊆ R si R ⊆ Q′ (deoarece ∀x0 ∈ R,∀ε > 0, (x0 −ε0, x0 + ε0)\x0 ∩Q = ∅ - orice interval contine numere rationale).

(R\Q)′ = R : evident, (R\Q)′ ⊆ R si R ⊆ (R\Q)′ (deoarece ∀x0 ∈R\Q,∀ε > 0, (x0 − ε0, x0 + ε0)\x0 ∩ (R\Q) = ∅ - orice interval continenumere irationale).

FrQ = Q\intQ = R, F r(R\Q) = R\Q\int(R\Q) = R.(iii) Folosind definitiile si proprietatile aderentei si multimii derivate,

obtinem ca intA = (2, 3) ∪ (5, 7), A = [2, 3] ∪ 4 ∪ [5, 7], A′ = [2, 3] ∪ [5, 7],deci FrA = 2, 3, 4, 5, 7.

A = A, deci multimea nu este ınchisa (si ın consecinta nici compacta).Este marginita (de exemplu, A ⊂ S(0, 8) = (−8, 8)).

intA = A, deci multimea nu este deschisa.

(v) A = 1nn∈N∗ ⊂ Q, deci intA ⊆ intQ = ∅, de unde intA = ∅.

Folosind caracterizarea punctelor de acumulare cu ajutorul sirurilor, ob-servam ca A′ = 0, ceea ce implica A = A∪A′ = 1

n , 0n∈N∗ . Prin urmare,FrA = A\intA = 1

n , 0n∈N∗ .

A = A, deci multimea nu este ınchisa (si ın consecinta nici compacta).Este marginita (de exemplu, A ⊂ S(0, 2) = (−2, 2)).

intA = A, deci multimea nu este deschisa.

27

(vi) Folosind definitiile (sau caracterizarea cu ε) se observa ca intA =(x, y);x2 + y2 < 1, A = (x, y);x2 + y2 ≤ 1, A′ = (x, y);x2 + y2 ≤ 1.Rezulta ca FrA = A\intA = (x, y);x2 + y2 = 1.

A = A, deci multimea A este ınchisa. Este marginita (de exemplu,A ⊂ S(0, 2)). Prin urmare, este compacta. Nu este deschisa (A = intA).

(vii) intA = (x, y); 0 < y < x + 1, A = (x, y); 0 ≤ y ≤ x + 1,A′ = (x, y); 0 ≤ y ≤ x+ 1, F rA = A\intA = (x, y); y = 0, x ∈ [−1, 0] ∪(x, y); y = x+ 1, y > 0.

A = A, deci multimea A nu este ınchisa, deci nici compacta. Nu estemarginita (nu exista nici o sfera care sa o cuprinda). Este deschisa (A =intA).

(viii) A = (x, y);x2 + y2 ≥ 3;(ix) intA = (x, y);x2 + y2 < 4, x > 0, A = (x, y);x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0,

A′ = (x, y);x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, F rA = A\intA = (x, y);x2 + y2 = 4, x >0 ∪ (x, y);x = 0, y ∈ (−2, 2).

A = A, deci multimea A nu este ınchisa, deci nici compacta. Estemarginita (de exemplu, A ⊂ S(0, 2)). Nu este deschisa (A = intA).

(x) intA = (x, y);x2 + y2 < 2, x > y, A = (x, y);x2 + y2 ≤ 2, x ≥y, A′ = (x, y);x2 + y2 ≤ 2, x ≥ y

A = A, deci multimea A nu este ınchisa, prin urmare nici compacta.Este marginita (de exemplu, A ⊂ S(0,

√2)). Nu este deschisa (A = intA).

(xi) A = (x, y); 0 ≤ y ≤ x+ 1, x ≤ 2.(xii) Vom arata ca intA = ∅ :

Metoda I. Folosim faptul ca int(AXB) = (intA)X(intB), de unde intA ⊆(intQ)X(intQ) = ∅, deci intA = ∅.

Metoda II. Presupunem prin reducere la absurd ca intA = ∅, adica existax0 ∈ intA, ceea ce ınseamna ca exista ε0 > 0 asa ca S(x0, ε) ⊂ A =( 1n ,

1n)n. Prin urmare, ∀y ∈ S(x0, ε), rezulta ca exista n0 ∈ N asa ca

y = ( 1n0, 1n0), evident fals. Prin urmare, intA = ∅.

Folosind caracterizarea punctelor de acumulare cu ajutorul sirurilor, ob-servam ca A′ = (0, 0), ceea ce implica A = A ∪ A′ = ( 1n ,

1n), (0, 0)n∈N∗ .

Prin urmare, FrA = A\intA = ( 1n ,1n), (0, 0)n∈N∗ .

Multimea A nu este deschisa (A = intA), nici ınchisa (A = A), deci nicicompacta. Este marginita (A ⊂ S((0, 0), 2).

1.2.13. Fie A = (xn)n ⊂ Rk, A = ∅. Aratati caA = ∅.

Solutie 1.2.13.

28

1.2.14. (i) Aratati ca multimile Aε = (x, y) ∈ R2;max(|x|, |y|) < ε, ε > 0formeaza un sistem fundamental de vecinatati ale originii ın R2.

(ii) Aceeasi problema pentru multimile Bε = (x, y) ∈ R2; |x| + |y| <ε, ε > 0.

Solutie 1.2.14. (i) Aratam mai ıntai ca ∀ε > 0, Aε ∈ V(0, 0), ceea ceeste evident deoarece ∀ε > 0,∃rε = ε > 0 astfel ıncat S((0, 0), rε) ⊂ Aε

(√x2 + y2 < ε antreneaza max(|x|, |y|) < ε).Aratam acum ca ∀V ∈ V(0, 0),∃εV > 0 asa ca AεV ⊂ V. Fie deci V ∈

V(0, 0) oarecare. Prin urmare, exista rV > 0 astfel ıncat S((0, 0), rV ) ⊂V. Observam ca exista εV = rV√

2> 0 asa ca AεV ⊂ S((0, 0), rV ) ⊂ V

(max(|x|, |y|) < rV√2antreneaza

√x2 + y2 < rV ).

(ii) Aratam mai ıntai ca ∀ε > 0, Bε ∈ V(0, 0), ceea ce este evidentdeoarece ∀ε > 0,∃rε = ε√

2> 0 astfel ıncat S((0, 0), rε) ⊂ Aε (

√x2 + y2 <

ε√2antreneaza (|x|+ |y|)2 ≤ 2(x2 + y2) < ε2, deci |x|+ |y| < ε).

Aratam acum ca ∀V ∈ V(0, 0),∃εV > 0 asa ca BεV ⊂ V. Fie deci V ∈V(0, 0) oarecare. Prin urmare, exista rV > 0 astfel ıncat S((0, 0), rV ) ⊂ V.Observam ca exista εV = rV > 0 asa ca BεV ⊂ S((0, 0), rV ) ⊂ V (|x|+ |y| <rV antreneaza

√x2 + y2 ≤ |x|+ |y| < rV ).

1.2.15. Aratati ca ın Rk, S(x0, r) = T (x0, r).

Solutie 1.2.15. Aratam mai ıntai ca S(x0, r) ⊆ T (x0, r). Intr-adevar, fiex ∈ S(x0, r) oarecare. Prin urmare, ∀ε > 0, S(x, ε)∩S(x0, r) = ∅, deci ∀ε >0,∃xε asa ca d(xε, x) < ε si d(xε, x0) < r, de unde d(x0, x) < r + ε,∀ε > 0.Aceasta implica d(x0, x) ≤ r, adica x ∈ T (x0, r).

Aratam acum ca T (x0, r) ⊆ S(x0, r). Pentru aceasta, fie x ∈ T (x0, r)oarecare. Vom arata ca ∀ε > 0, S(x, ε)∩S(x0, r) = ∅. Fie y = λx0+(1−λ)x,cu λ ∈ (0,min1, εr). Atunci

d(x, y) = ∥x− y∥ = |λ| · ∥x− x0∥ < ε,

deci y ∈ S(x, ε) si

d(x0, y) = ∥x0 − y∥ = |1− λ| · ∥x− x0∥ ≤ r(1− λ) < r,

deci y ∈ S(x0, r). Prin urmare, ıntr-adevar, ∀ε > 0, S(x, ε) ∩ S(x0, r) = ∅,deci ∀ε > 0, S(x, ε) ∩ S(x0, r) = ∅, ceea ce spune ca x ∈ S(x0, r).

1.2.16. Fie α, β : P(R) → P(R), α(A) = intA, β(A) = intA. Aratati ca:

a) daca A este deschisa, atunci A ⊂ α(A);

29

b) daca A este ınchisa, atunci β(A) ⊂ A;

c) ∀A ⊂ R, α(α(A)) = α(A) si β(β(A)) = β(A).

Dati exemplu de multimi A pentru care multimile A, intA,A, α(A),β(A), α(intA), β(A) sunt toate diferite ıntre ele.

Solutie 1.2.16. a) Daca A este deschisa, atunci intA = A ⊂ A, deci intA ⊂intA = α(A).

b) Daca A este ınchisa, atunci A = A, deci β(A) = intA ⊂ intA ⊂ A.c) Deoarece α(A) este deschisa, α(A) ⊂ α(α(A)). Dar A este ınchisa,

deci β(A) ⊂ A, de unde rezulta int(β(A)) ⊂ α(A), adica α(α(A)) ⊂ α(A).Are loc egalitatea. Pentru cealalta egalitate se procedeaza analog.

Fie A = [0, 1) ∪ (1, 2] ∪ 3 ∪ [Q ∩ (4, 5)]. Aceasta multime verifica pro-prietatile cerute.

1.2.17. Aratati ca A ⊂ Rp este deschisa daca si numai daca A ∩ FrA = ∅iar A este ınchisa daca si numai daca FrA ⊂ A.

Solutie 1.2.17. Avem echivalentele:

A ∩ FrA = ∅ ⇔ A ∩ (A\A) = ∅ ⇔ A ∩ (A ∩ (Rp\

A)) = ∅ ⇔ (A ∩ A) ∩

(Rp\A) = ∅ ⇔ A ∩ (Rp\

A) = ∅ ⇔ A ⊂

A⇔ A deschisa

siA este ınchisa ⇔ Rp\A este deschisa ⇔ Rp\A ∩ Fr(Rp\A) = ∅ ⇔

Fr(Rp\A) ⊂ A⇔ FrA ⊂ A.

1.2.18. Fie A ⊂ Rp, B ⊂ Rq submultimi nevide. Aratati ca A×B = A×B,int(A×B) = intA× intB, Fr(A×B) = (FrA×B)∪ (A×FrB), (A×B)′ =(A′ ×B) ∪ (A×B′).

Solutie 1.2.18. Aratam ca A×B = A×B. Demonstram dubla incluziune.Fie (x, y) ∈ A×B, x ∈ Rp, y ∈ Rq. Exista un sir de puncte din A × B,(xn, yn) → (x, y) cu (xn) ⊂ A, (yn) ⊂ B. Convergenta ın spatiul produseste echivalenta cu convergenta pe coordonate, deci xn → x si yn → y.Rezulta ca x ∈ A si y ∈ B, deci A×B ⊂ A×B. Pentru incluziunea inversaprocedam similar.

Fie (x, y) ∈ int(A × B). Exista V ⊂ A × B, V ∈ V((x, y)). Conformpropozitiei 4.6 exista V1 ∈ V(x), V2 ∈ V(y) astfel ıncat V1 × V2 ⊂ V ⊂A × B, adica V1 ⊂ A si V2 ⊂ B. Deci x ∈ intA si y ∈ intB. Prin urmareint(A×B) ⊂ intA× intB. Incluziunea inversa este imediata.

Fie A,B,C,D multimi arbitrare; se poate arata prin dubla incluziuneurmatoarea egalitate

(C ×D)\(A×B) = ((C\A)×D) ∪ (C × (D\B)).

30

Obtinem

Fr(A×B) = A×B\ int(A×B) = (A×B)\(intA× intB) =

= ((A\ intA)×B) ∪ (A× (B\ intB)) =

= (FrA×B) ∪ (A× FrB).

Pentru ultima egalitate de demonstrat folosim tot un rationament cusiruri care reia, cu mici diferente, rationamentul din cazul primei egalitatidemonstrate.

1.2.19. Fie a ∈ R. Aratati ca multimile de forma (a − 2ε, a + ε), ε > 0formeaza un sistem fundamental de vecinatati pentru punctul a. Aceeasiproblema pentru multimile (a− 3

n , a+1

n+1), n ∈ N∗.

Solutie 1.2.19. Vom verifica cele doua proprietati ale sistemelor fundamen-tale de vecinatati. Astfel pentru orice ε > 0, (a−ε, a+ε) ⊂ (a−2ε, a+ε) siprin urmare (a− 2ε, a+ ε) ∈ V(a). Fie acum V ∈ V(a); conform definitiei,exista ε > 0 astfel ıncat (a − ε, a + ε) ⊂ V. Atunci intervalul (a − ε, a + ε

2)are forma cautata si este inclus ın V. Prin urmare, familia (a − 2ε, a + ε),ε > 0 formeaza un sistem fundamental de vecinatati pentru punctul a.

Evident, (a− 1n+1 , a+

1n+1) ⊂ (a− 3

n , a+1

n+1),∀n ∈ N∗, deci (a− 3n , a+

1n+1) ∈ V(a). Fie V ∈ V(a); exista ε > 0 astfel ıncat (a − ε, a + ε) ⊂ V.

Cautam un numar natural n astfel ıncat (a − 3n , a +

1n+1) ⊂ (a − ε, a + ε).

Este de ajuns sa gasim n cu proprietatea 3n ≤ ε. Un astfel de numar este

n = [3ε ] + 1. Obtinem concluzia.

1.2.20. Sa se arate ca daca D ⊂ R este o multime deschisa, iar A ⊂ R esteo multime arbitrara, atunci multimea A+D = a+ d | a ∈ A, d ∈ D estedeschisa.

Solutie 1.2.20. Putem scrie A +D =∪a∈A

(a +D) unde a +D = a + d |

d ∈ D. Avand ın vedere ca orice reuniune de multimi deschise este multimedeschisa, este suficient sa aratam ca a+D este deschisa pentru orice a ∈ A.Fie a+d ∈ a+D (i.e. d ∈ D). Cum D este deschisa, exista ε > 0 astfel ıncat(d− ε, d+ ε) ⊂ D. Dar a+ (d− ε, d+ ε) = (a+ d− ε, a+ d+ ε); ıntr-adevardaca y ∈ a+ (d− ε, d+ ε), atunci y− a ∈ (d− ε, d+ ε), deci |y− a− d| < ε,adica y ∈ (a+ d− ε, a+ d+ ε). Invers, daca y ∈ (a+ d− ε, a+ d+ ε), atunci|y − a− d| < ε, deci y − a ∈ (d− ε, d+ ε), adica y ∈ a+ (d− ε, d+ ε). Cuma + (d − ε, d + ε) ⊂ a +D, obtinem ca acesta multime este deschisa, adicaceea ce doream sa aratam.

31

1.2.21. Fie A,D doua submultimi ale lui R. Sa se arate ca daca D estedeschisa, atunci D ∩A ⊂ D ∩A. Sa se arate ca ipoteza asupra submultimiiD este esentiala.

Solutie 1.2.21. Fie x ∈ D ∩ A, adica x ∈ D si x ∈ A. Fie V ∈ V(x).Atunci, cum D este deschisa, D ∈ V(x), deci D ∩ V ∈ V(x). Prin urmareA ∩ (D ∩ V ) = ∅, deci (A ∩ D) ∩ V = ∅. Cum vecinatatea V a fost aleasaarbitrar, obtinem x ∈ D ∩A. Daca D nu este deschisa incluziunea nu sepastreaza. Fie de exemplu D = (0, 1] si A = (1, 2). D ∩ A = 1 siD ∩A = ∅.

1.2.22. Fie A,D doua submultimi ale lui R. Sa se arate ca daca D estedeschisa, atunci D ∩ A = ∅ daca si numai daca D ∩ A = ∅. Sa se arate caipoteza asupra submultimii D este esentiala.

Solutie 1.2.22. Presupunem ca D ∩ A = ∅, adica exista x ∈ D ∩ A. CumD este deschisa, D ∈ V(x) iar din x ∈ A obtinem D ∩ A = ∅. Presupunemacum ca D ∩A = ∅. Cum D ∩A ⊂ D ∩A, rezulta ca D ∩A = ∅. Daca D nueste deschisa proprietatea nu mai este adevarata. Putem considera acelasiexemplu ca la exercitiul precedent.

1.2.23. Daca A ⊂ (X, d) este o multime marginita, atunci δ(A) = δ(A).

Solutie 1.2.23. Evident, δ(A) ≤ δ(A). Pentru inegalitatea inversa, fie x, y ∈A, oarecare. Atunci ∀ε > 0,∃z′ε, z′′ε ∈ A, ıncat z′ε ∈ S(x, ε) si z′′ε ∈ S(y, ε).Prin urmare, ∀ε > 0, d(x, y) < 2ε + d(z′ε, z

′′ε ) ≤ 2ε + δ(A), deci ∀x, y ∈ A,

avem d(x, y) ≤ δ(A), de unde δ(A) ≤ δ(A).

1.2.24. Fie (X, d) un spatiu metric oarecare. Aratati ca:(i) orice reuniune finita de multimi compacte (respectiv, relativ com-

pacte) este compacta (respectiv, relativ compacta);(ii) orice intersectie de multimi compacte (respectiv, relativ compacte)

este compacta (respectiv, relativ compacta);(iii) reuniunea dintre o multime compacta si o multime finita este multime

compacta;(iv) diferenta a doua multimi relativ compacte este multime relativ com-

pacta;(v) interiorul unei multimi relativ compacte este multime relativ com-

pacta;(vi) frontiera unei multimi compacte (respectiv, relativ compacta) este

compacta (respectiv, relativ compacta).

Solutie 1.2.24. —

32

1.2.25. Fie (X, d0). Aratati ca A este compacta daca si numai daca estefinita. Ce relatie este ın spatii metrice discrete ıntre clasa multimilor com-pacte si clasa multimilor marginite si ınchise?

Solutie 1.2.25. —

1.2.26. Aratati ca daca (xn)n ⊂ (X, d), xn → x, atunci multimea terme-nilor sirului poate sa nu fie compacta, dar multimea A = xn ∪ x esteıntotdeauna compacta.

Solutie 1.2.26. —

1.2.27. Aratati ca orice multime finita dintr-un spatiu metric este precom-pacta.

Solutie 1.2.27. —

1.2.28. Aratati ca orice multime dintr-un spatiu metric discret este pre-compacta daca si numai daca este finita.

Solutie 1.2.28. —

1.2.29. Aratati ca o reuniune infinita de multimi compacte nu este neaparatcompacta.

Solutie 1.2.29. —

1.2.30. Aratati ca multimea Q ∩ [0, 1] este precompacta ın (R, | · |), dar nueste compacta.

Solutie 1.2.30. —

1.2.31. Fie A ⊂ Rp, B ⊂ Rq multimi compacte, nevide siD ⊂ Rp+q deschisaastfel ıncat A×B ⊂ D. Aratati ca exista D1 ⊂ Rp, D2 ⊂ Rq deschise astfelıncat A×B ⊂ D1 ×D2 ⊂ D.

Solutie 1.2.31. Fie x ∈ A fixat; pentru orice y ∈ B, D ∈ V((x, y)), deci(propozitia 4.6) exista Uy ∈ V(x), Vy ∈ V(y) astfel ıncat Uy × Vy ⊂ D.Familia de multimi (Vy)y∈B formeaza o acoperire deschisa a multimii Bcare este compacta. Putem extrage o subacoperire finita: exista n ∈ N∗

si y1, y2, ..., yn astfel ıncat B ⊂n∪

i=1Vyi . Fie Ex =

n∩i=1Uyi . Ex este multime

deschisa care contine pe x si x × B ⊂ Ex × Fx ⊂ D, unde am notat

Fx =n∪

i=1Vy1 . Multimile (Ex)x∈A formeaza o acoperire deschisa a multimii

33

A care este compacta. Putem extrage o subacoperire finita: exista m ∈ N∗

si x1, x2, ..., xm astfel ıncat A ⊂m∪j=1

Exj Fie D1 =m∪j=1

Exj si D2 =m∩j=1

Fxj .

Multimile D1 si D2 sunt deschise si A×B ⊂ D1 ×D2 ⊂ A×B.

1.2.32. Fie A o submultime convexa a lui Rp cu interiorul nevid. Sa searate ca intA este multime convexa si intA = A.

Solutie 1.2.32. Fie a, b ∈ intA, α ∈ [0, 1] si x = αa + (1 − α)b. Ex-ista ε > 0 astfel ıncat B(a, ε) ⊂ A. Aratam ca B(x, αε) ⊂ A. Fie y ∈B(x, αε), adica ∥y − x∥ ≤ αε; deci ∥y − αa− (1− α)b∥ ≤ αε. Prin urmare∥∥α−1(y − (1− α)b)− a

∥∥ ≤ ε, deci α−1(y − (1 − α)b) ∈ B(a, ε) ⊂ A. Existau ∈ B(a, ε) astfel ıncat α−1(y− (1−α)b) = u, adica y = αu+ (1−α)b ∈ A.Am demonstrat ca B(x, αε) ⊂ A, deci x ∈ intA care este o multime convexa.In demostratie am folosit doar ca b ∈ A.

Incluziunea intA ⊂ A este evidenta. Fie x ∈ A. Exista (xn) ⊂ A,xn → x. Fie u ∈ intA (am presupus ca intA este nevid). Ca mai susrezulta ca 1

nu+(1− 1n)xn ∈ intA. Trecand la limita pentru n→ ∞, obtinem

x ∈ intA.

1.3 Probleme propuse

1.3.1. Fie ∅ = A ⊆ R. Aratati ca:1) Cn(A), n ∈ N∗, C∞(A) sunt subspatii liniare ale lui F(A).2) C∞(A) ( Cn+1(A) ( Cn(A) ( . . . ( C1(A) ( C(A) ( F(A), pentru

orice n ∈ N∗ si incluziunile sunt stricte.3) Daca A este compacta, atunci C(A) ( M(A) si incluziunea este

stricta.4) m si lp, p ∈ [1,+∞), sunt subspatii liniare ale lui s.5) R∞ ( lp ( lq ( l1 ( c0 ( c ( m ( s, pentru orice p, q ∈ [1,+∞),

p > q si incluziunile sunt stricte.

1.3.2. Determinati toate normele pe R.

1.3.3. Aratati ca exista spatii metrice ın care are loc una dintre urmatoarelesituatii:

(i) orice sfera deschisa este multime ınchisa.(ii) nici o sfera deschisa nu este multime ınchisa.

1.3.4. Aratati ca multimile Aε = (x, y) ∈ R2;max(|x|, |y|) < ε, ε > 0formeaza un sistem fundamental de vecinatati ale originii ın R2.Aceeasi problema pentru multimile Bε = (x, y) ∈ R2; |x|+ |y| < ε, ε > 0.

34

1.3.5. Fie d : R×R → R+, d(x, y) =|x−y|

1+|x−y| . Aratati ca d este o metrica peR care nu provine dintr-o norma.

1.3.6. Fie (X, d) un spatiu metric. Aratati ca d1 : X ×X → R+, d1(x, y) =ln(1 + d(x, y)),∀x, y ∈ X, este o metrica pe X.

1.3.7. Fie d : R × R → R+, d(x, y) = |arctgx − arctgy|,∀x, y ∈ R. Aratatica:

(i) d este metrica pe R;(ii) d(n+ p, n) < 1

n ,∀n, p ∈ N∗.

1.3.8. Fie (X, || · ||) un spatiu normat. Aratati ca T (x′, r′) ⊆ T (x, r) ⇔ ||x−x′|| ≤ r − r′. Este adevarata afirmatia ın cazul spatiilor metrice arbitrare?

1.3.9. Fie X = C1([a, b]) = f : [a, b] → R, f, f ′ continue pe [a, b]. Aratatica d : X×X → R+, d(f, g) = max

x∈[a,b]|f(x)−g(x)|+ max

x∈[a,b]|f ′(x)−g′(x)|,∀f, g ∈

X, este o metrica pe X.

1.3.10. Calculati distanta ın C1([a, b]) pentru f(x) = x2, g(x) = x3, x ∈[0, 1].

1.3.11. Este aplicatia || · || : X → R+, ||f || = supt∈[0,1]

|f(t) + f ′(t)| o norma pe

X, unde X = C1([0, 1])?

1.3.12. Calculati distanta ın l∞ dintre sirurile x = (xn = 1n)n≥1 si y =

(yn = 1+(−1)n+1

n )n≥1.

1.3.13. Fie lp (p ≥ 1) multimea sirurilor x = (xn)n≥1 cu proprietatea

ca∞∑n=1

|xn|p < ∞. Aratati ca || · ||p : lp → R+, ||x||p = (∞∑n=1

|xn|p)1p ,∀x =

(xn)n≥1 ∈ lp, este o norma pe lp.

1.3.14. Fie l∞, spatiul sirurilor marginite. Aratati ca aplicatia || · ||∞ :l∞ → R+, ||x||p = sup

n|xn|,∀x = (xn)n≥1 ∈ l∞, este o norma pe l∞.

1.3.15. Fie X = C([a, b]) = f : [a, b] → R, f continua pe [a, b]. Aratati ca

aplicatia || · || : C([a, b]) → R+, ||f || =

√b∫af2(x)dx este o norma pe C([a, b]).

1.3.16. Fie (X, d) un spatiu metric si A ⊂ (X, d). Aratati ca A este ınchisadaca si numai daca A′ ⊆ A.

35

1.3.17. Aratati ca ın spatiul metric discret exista r > 0 asa ca S(x, r) =T (x, r).

1.3.18. Fie (R, d0), d0 metrica discreta. Aflati A pentru A = (0, 1) ıntopologia discreta τ0. Comparati cu A ın topologia uzuala τu.

1.3.19. Fie (X, d) un spatiu metric si A ⊂ X. Definim functia d(x,A) =infy∈A

d(x, y),∀x ∈ X (distanta de la punctul x la multimea A). Aratati ca:

(i) |d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x, y),∀x, y ∈ X;(ii) d(x,A) = 0 ⇔ x ∈ A (deci A = x ∈ X; d(x,A) = 0).

1.3.20. Fie A ⊂ (X, d), A = ∅. Aratati ca:(i) A este deschisa ⇔ A ∩ FrA = ∅.(ii) A este ınchisa ⇔ FrA ⊆ A.

1.3.21. Fie A ⊂ (X, d), A = ∅. Aratati ca multimea A′ este ınchisa.

1.3.22. Fie A ⊂ (X, d), A = ∅, S(A, r) = x ∈ X; d(x,A) < r, T (A, r) =x ∈ X; d(x,A) ≤ r, r > 0. Aratati ca A = ∩

r>0S(A, r).

1.3.23. Aratati ca ıntr-un spatiu metric au loc:(i) orice multime ınchisa este Gδ (intersectie numarabila de multimi

deschise);(ii) orice multime deschisa este Fσ(reuniune numarabila de multimi ınchise).

1.3.24. Aratati ca daca A,D ⊂ (X, ||·||) si multimea D este deschisa, atuncisi multimea A +D = a + d; a ∈ A, d ∈ D (suma multimilor A si D) estedeschisa.

1.3.25. Fie A,D ⊂ (X, || · ||). Aratati ca daca multimea D este deschisa,atunci D+A = D+A. Aratati ca ipoteza asupra multimii D este esentiala.

1.3.26. FieX = C([a, b]). Aratati ca d : X×X → R+, d(f, g) = maxx∈[a,b]

|f(x)−

g(x)|,∀f, g ∈ X, este o metrica pe X. Calculati d(f, g) pentru f(x) =x, g(x) = lnx, x ∈ [1e , e].

1.3.27. Calculati distanta ın l2 dintre sirurile x = (xn = 1n)n≥1 si y = (yn =

1n(n+1))n≥1.

1.3.28. Fie A ⊂ (X, d). Aratati ca daca A este compacta, atunci A′ estecompacta.

1.3.29. Cercetati daca un spatiu liniar normat X = 0 poate fi compact.

36

1.3.30. Fie ∅ = A, B ⊆ (X, ∥ · ∥) si A+B = a+ b|a ∈ A, b ∈ B. Araatatica:

(i) Daca A si B sunt ınchise si cel putin una din ele este compacta, atunciA+B este ınchisa.

(ii) Daca A si B sunt ınchise, A+B este ınchisa?

(iii) Daca A si B sunt compacte, atunci A+B este compacta.

Solutii

1.3.1. ———-

1.3.2. || · || : R → R+, f(x) = ||x||,∀x ∈ R.Trebuie sa avem ||λx|| = |λ| · ||x||,∀x ∈ R,∀λ ∈ R, deci f(λx) =

|λ|f(x),∀x ∈ R,∀λ ∈ R.Pentru x = 1, avem f(λ) = |λ|f(1),∀λ ∈ R, ceea ce ınseamna ca f(x) =

|x|f(1),∀x ∈ R.Trebuie ındeplinita si conditia f(x) ≥ 0,∀x ∈ R, de unde f(1) ≥ 0.

Mai mult, f(x) = |x|f(1) = 0 ⇔ x = 0, deci f(1) > 0.

Prin urmare, f(x) = |x|f(1),∀x ∈ R, cu f(1) > 0, si se verifica inegali-tatea triunghiulara.

1.3.3. (i) Fie (X, d0). Atunci S(x0, r) =

x0, 0 < r ≤ 1

X, r > 1, care sunt

multimi ınchise.

(ii) Fie (R, du). Atunci S(x0, r) = (x0−r, x0+r) nu este multime ınchisa,deoarece c(x0 − r, x0 + r) nu este deschisa.

1.3.4. ———-

1.3.5. ———-

1.3.6. d este bine definita. Apoi,

d(x, y) ≥ 0,∀x, y ∈ X si d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈ X;

Deoarece 1 + d(x, z) ≤ 1 + d(x, y) + d(y, z) ≤ [1 + d(x, y)][1 + d(y, z)],obtinem ca ln(1 + d(x, z)) ≤ ln(1 + d(x, y)) + ln(1 + d(y, z)).

37

1.3.7. i) evident.ii) Deoarece arctgx ≤ x,∀x ≥ 0, cu egalitate daca si numai daca x = 0,

avem:

d(n, n+ p) = |arctg(n+ p)− arctgn| = |arctg n+ p− n

1 + n(n+ p)| = arctg

p

1 + n(n+ p)<

<p

1 + n(n+ p)<

1

n,∀n, p ∈ N∗.

1.3.8. ———-

1.3.9. Evident, d(f, g) ≥ 0,∀f, g ∈ X si d(f, g) = 0 ⇔ f = g pe [a, b];d(f, g) = d(g, f),∀f, g ∈ X;Intrucat ∀f, g, h ∈ X,

|f(x)− g(x)|+ |f ′(x)− g′(x)| ≤ |f(x)− h(x)|+ |f ′(x)− h′(x)|+ |h(x)− g(x)|++ |h′(x)− g′(x)| ≤≤ max

x∈[a,b]|f(x)− h(x)|+ max

x∈[a,b]|f ′(x)− h′(x)|+

+ maxx∈[a,b]

|h(x)− g(x)|+ maxx∈[a,b]

|h′(x)− g′(x)| =

= d(f, h) + d(h, g),

considerand maximul expresiei din stanga, obtinem ca d(f, g) ≤ d(f, h) +d(h, g),∀f, g, h ∈ X.

1.3.10. ———-

1.3.11. ———-

1.3.12. d(x, y) = supn∈N∗

|xn − yn| = supn∈N∗

1n = 1.

1.3.13. ———-

1.3.14. Evident, aplicatia || · ||∞ : l∞ → R+, ||x||∞ = supn|xn|,∀x ∈ l∞ este

bine definita, iar conditiile N1 si N2 sunt satisfacute.

N3 : ||x+ y||∞ = supn|xn + yn| ≤ sup

n|xn|+ sup

n|yn| = ||x||∞ + ||y||∞,

∀x, y ∈ l∞.

38

1.3.15. ———-

1.3.16. ———-

1.3.17. ———-

1.3.18. ———-

1.3.19. d(x,A) = infy∈A

d(x, y) = 0 ⇔ ∀ε > 0,∃yε ∈ A astfel ca d(x, yε) <

ε⇔ ∀ε > 0,∃yε ∈ A ∩ S(x, ε) ⇔ ∀ε > 0, A ∩ S(x, ε) = ∅ ⇔ x ∈ A.

1.3.20. ———-

1.3.21. ———-

1.3.22. ———-

1.3.23. ———-

1.3.24. ———-

1.3.25. ———-

1.3.26. d(f, g) = maxx∈[ 1

e,e]|x− lnx| = e− 1 :

Fie h : (0,∞) → R, h(x) = x− lnx,∀x > 0.x 1

e 1h′(x) − − 0 +h(x) 1

e + 1 1

e+

e− 1 > 1e + 1.

1.3.27.

d(x, y) =

√√√√ ∞∑n=1

(xn − yn)2 =

√√√√ ∞∑n=1

(1

n− 1

n(n+ 1))2 =

=

√√√√ ∞∑n=1

1

(n+ 1)2=

√π2

6− 1.

1.3.28. ———-

1.3.29. ———-

1.3.30. ———-

Capitolul 2

Siruri ın spatii metrice. Seriiın spatii normate


Siruri ın spatii metrice

Consideram ın cele ce urmeaza un spatiu metric (X, d).

Definitia 2.1.1. Se numeste sir ın X o functie f : A → X, unde A =n0, n0+1, n0+2, . . ., n0 ∈ N. Daca, pentru orice n ∈ A, notam f(n) = xn,atunci sirul se va nota prin (xn)n≥n0 , (xn)n sau simplu (xn).

xn se numeste termenul general al sirului. Faptul ca (xn) este un sir dinX se va nota prin (xn) ⊂ X.

Observatia 2.1.2. Fie sirul (xn)n≥n0 ⊂ Rp (p ∈ N∗). Atunci, pentru oricen ∈ N, termenul general al sirului este de forma xn = (x1n, x

2n, . . . , x

pn). Deci:

x1 = (x11, x21, . . . , x

p1),

x2 = (x12, x22, . . . , x

p2),

...,xn = (x1n, x

2n, . . . , x

pn),

....(xin)n ⊂ R, i = 1, p se numesc sirurile de coordonate ale sirului (xn).

Exemplul 2.1.3. Pentru sirul (xn)n ⊂ R3, xn = ( ln(n+2)ln(n+1) , n sin

1n ,

sin3 nlnn ),∀n ≥

2, sirurile de coordonate sunt (x1n), (x2n), (x

3n), unde:

x1n =ln(n+ 2)

ln(n+ 1), x2n = n sin

1

n, x3n =

sin3 n

lnn, n ≥ 2.

39

40

Pentru comoditate, vom nota uneori sirurile de coordonate prin (an), (bn),(cn), . . . , (yn), (zn), (tn) etc.

Definitia 2.1.4. Spunem ca sirul (xn)n ⊂ (X, d) estemarginit daca multimeatermenilor sai este marginita.

Teorema 2.1.5 (caracterizarea marginirii ın Rp)). Un sir (xn)n ⊂ Rp estemarginit ın Rp daca si numai daca (xin)n este marginit ın R,∀i = 1, p.

Definitia 2.1.6. (i) (definitia cu vecinatati) Spunem ca un sir (xn)n ⊂(X, d) converge (sau este convergent) la un element a ∈ X daca oricevecinatate a lui a contine toti termenii sirului de la un loc ıncolo, adica,∀V ∈ V(a),∃nV ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nV , xn ∈ V.

Notam aceasta prin limn→∞

xn = a sau xn → a.

(ii) Spunem ca sirul (xn)n ⊂ (X, d) diverge (sau este divergent) daca nueste convergent.

Teorema 2.1.7 (de caracterizare). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) lim

n→∞xn = a (definitia cu vecinatati);

(ii) (definitia cu sisteme fundamentale de vecinatati) ∀U ∈ U(a),∃nU ∈N astfel ıncat ∀n ≥ nU , xn ∈ U ;

(iii) (definitia cu sfere) ∀S(a, ε),∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε, xn ∈S(a, ε);

(iv) (definitia analitica) ∀ε > 0,∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε, d(xn, a) <ε, adica, echivalent, lim

n→∞d(xn, a) = 0.

Exemplul 2.1.8. Orice sir constant este convergent.

Teorema 2.1.9. Prin adaugarea sau eliminarea unui numar finit de ter-meni,

(i) un sir convergent ramane convergent la aceeasi limita;(ii) un sir divergent ramane divergent.

Definitia 2.1.10. Fie (xn)n ⊂ (X, d). Un sir (yn)n ⊂ (X, d) se numestesubsir al sirului (xn)n daca exista un sir strict crescator de numere naturale(nk)k astfel ıncat yk = xnk

,∀k ∈ N.

Observatia 2.1.11. ∀k ∈ N, nk ≥ k.

In continuare vom trece ın revista cateva proprietati ale sirurilor conver-gente.

Teorema 2.1.12. (unicitatea limitei) Limita oricarui sir convergent dintr-un spatiu metric (X, d) este unica.

41

Teorema 2.1.13. Orice subsir (xnk)k al unui sir convergent (xn)n din

(X, d) este convergent si are aceeasi limita ca (xn)n.

Observatia 2.1.14. Daca un sir (xn) are doua subsiruri cu limite diferite,atunci (xn) este divergent (nu are limita).

Teorema 2.1.15. Orice sir convergent din (X, d) este marginit.

Observatia 2.1.16. Reciproca Teoremei 2.1.15 nu este adevarata: existasiruri marginite, care nu sunt convergente. Intr-adevar, fie sirul (xn) ⊂(R, | · |), de termen general xn = (−1)n, pentru orice n ∈ N. Atunci (xn)este marginit, dar nu este convergent, deoarece are doua subsiruri cu limitediferite: x2k+1 = −1, x2k = 1, ∀k ∈ N si lim

k→∞x2k+1 = −1 = 1 = lim

k→∞x2k.

Teorema 2.1.17. Fie (xn) ⊂ (X, ∥ ·∥). Daca xnX−→ a, atunci ∥xn∥

R−→ ∥a∥.

Observatia 2.1.18. Reciproca Teoremei 2.1.17 nu este adevarata. Astfel,ın Problema 2.2.5, vom observa ca exista siruri divergente, pentru care sirulnormelor converge.

Teorema 2.1.19 (caracterizarea convergentei ın Rp). Un sir (xn)n ⊂ Rp

este convergent (ın Rp) la a = (a1, a2, . . . , ak) ∈ Rp daca si numai dacaxin → ai (ın R),∀i = 1, p.

Exemplul 2.1.20. Sirul (xn)n ⊂ R3, de termen general xn = ( ln(n+2)ln(n+1) ,

n sin 1n ,

sin3 nlnn ),∀n ≥ 2, este convergent ın R3, avand ca limita vectorul

(1, 1, 0).

Teorema 2.1.21 (Cesaro). Orice sir marginit din Rp are subsiruri convergente.

Deoarece, asa cum s-a vazut, orice punct dintr-un spatiu metric admiteun sistem fundamental numarabil de vecinatati, vom da ın cele ce urmeazacaracterizari cu ajutorul sirurilor, ale punctelor aderente, punctelor de acu-mulare, respectiv ale multimilor ınchise.

Teorema 2.1.22 (de caracterizare a punctelor aderente). Fie ∅ = A ⊆(X, d) si a ∈ X. Atunci a ∈ A daca si numai daca exista (xn)n ⊂ A astfelıncat xn → a.

Teorema 2.1.23 (caracterizare a punctelor de acumulare). Fie ∅ = A ⊆(X, d) si a ∈ X. Atunci a ∈ A′ daca si numai daca exista (xn)n ⊂ A\aastfel ıncat xn → a.

42

Teorema 2.1.24 (caracterizare a multimilor ınchise). Fie ∅ = A ⊆ (X, d).Atunci A este ınchisa daca si numai daca oricare ar fi (xn)n ⊂ A, cu xn →A ∈ X, rezulta ca a ∈ A.

Serii ın spatii normate

Fie (an)n≥n0 un sir de elemente dintr-un spatiu normat (X, ∥ · ∥). Con-struim sirul sumelor partiale (sn)n≥n0 : sn0 = an0 , sn0+1 = an0+1 + an0+2,sn0+3 = an0+1 + an0+2 + an0+3, . . . , sn = an0 + an0+1 + ...+ an, ...

Definitia 2.1.25. Numim serie de termen general an, cuplul ((an)n, (sn)n).

Se noteaza prin∞∑

n=n0

an sau∑

n≥n0

an.

Definitia 2.1.26. O serie∞∑n=1

an de elemente din (X, ∥ · ∥) se spune ca este

convergenta (respectiv divergenta) daca sirul (sn)n al sumelor partiale esteconvergent (respectiv divergent) ın (X, ∥ · ∥).

In caz de convergenta, s = limn→∞

sn se numeste suma seriei si se noteaza

tot prin∞∑

n=n0

an.

Teorema 2.1.27 (caracterizarea de tip Cauchy). O serie∞∑n=1

an de elemente

din (X, ∥ · ∥) este convergenta daca si numai daca ∀ε > 0,∃n0(ε) ∈ N astfelıncat ∀n ≥ nε,∀p ∈ N, ∥an+1 + an+2 + ...+ an+p∥ < ε.

Teorema 2.1.28 (legatura cu seriile de coordonate). O serie∞∑n=1

an de el-

emente din Rp este convergenta daca si numai daca fiecare din cele p seriide coordonate este convergenta (ın R). In acest caz, suma seriei date estevectorul ale carui componente sunt sumele seriilor de coordonate.

Exemplul 2.1.29. Seria∞∑n=0

( 1n! ,

1(n+1)(n+2)) din R2 este convergenta si are

ca suma vectorul (e, 1).


2.2.1. Stabiliti daca urmatoarele siruri sunt convergente:(i) xn = ( sinn

n , n sin 1n ,

n√n+ 1) ∈ R3,∀n ≥ 2;

43

(ii) xn = ( 113+2

+ 123+2

+ ...+ 1n3+2

, 12 +−13 + ...+ (−1)n+1

n , ( 1−3)

n, n(14)n) ∈

R4,∀n ≥ 1.(iii) xn = (

3√n2( 3

√n+ 1− 3

√n− 1), 2

n+3n

3n+4n ) ∈ R2,∀n ≥ 1.

Solutie 2.2.1. (i) limn→∞

ln(n+2)ln(n+1) = 1 ( lim

x→∞ln(x+2)ln(x+1)

[∞∞ ]= lim

x→∞

1x+21

x+1

= 1), deci sirul

(x1n)n de termen general x1n = ln(n+2)ln(n+1) , este convergent la 1.

limn→∞

n sin 1n = lim

n→∞sin 1

n1n

= 1, deci sirul (x2n)n de termen general x2n =

n sin 1n , este convergent la 1.

limn→∞

sin3 nlnn = lim

n→∞sin3 n · 1

lnn = 0 (sin3 n ∈ (−1, 1), 1lnn → 0), deci sirul

(x3n)n de termen general x3n = sin3 nlnn , este convergent la 0.

In consecinta, sirul (xn)n ⊂ R3 este convergent si are limita vectorul(1, 1, 0).

(iii) limn→∞

3√n2( 3

√n+ 1− 3

√n− 1) = lim

n→∞2

3√n2

3√

(n+1)2+ 3√n2−1+ 3√

(n−1)2= 2

3 ,

limn→∞

2n+3n

3n+4n = limn→∞

4n[( 24)n+( 3

4)n]

( 34)n+1

= 0. Prin urmare, sirul (xn)n ⊂ R2 este

convergent si are limita vectorul (23 , 0).

2.2.2. Fie sirul (xn)n ⊂ R3, xn = ((1+ 1n)

n, n√n, 1n sinn),∀n ≥ 2.Determinati

λ ∈ R astfel ıncat x = limn→∞

xn sa fie la distanta minima ın R3 fata de punctul

a = (1, e−λ, π).

Solutie 2.2.2. Evident, sirul (xn)n ⊂ R3 este convergent la x = (e, 1, 0).d(x, a) =

√(e− 1)2 + (e−λ − 1)2 + π2 este minima daca si numai daca

e−λ − 1 = 0, adica, echivalent, λ = 0.

2.2.3. Studiati convergenta si ın caz afirmativ calculati limita sirului (xn)n ⊂R4, xn = ((cos a

n2 )n2,√n(√n+ 1 −

√n− 1), n

n√n!, n(2arcsin

π3n − 1)),∀n ≥

2, a ∈ R fiind arbitrar, fixat.

Solutie 2.2.3.

limn→∞

(cosa

n2)n

2 [1∞]= lim

n→∞[(1 + (cos

a

n2− 1))

1cos a

n2 −1]n

2·(cos an2−1) =

= elim

n→∞n2·(cos a

n2−1)=

= e− lim

n→∞2n2 sin2 a

2n2 = e−(

sin a2n2a

2n2)2· a2

2n2= 1,

limn→∞

√n(√n+ 1−

√n− 1) = lim

n→∞2√n√

n+1+√n−1

= 1,

44

limn→∞

nn√n!

= limn→∞

n

√nn

n!crit. DAlembert

= limn→∞

(n+1)n+1

(n+1)!nn

n!

= limn→∞

(1 + 1n)

n = e,

limn→∞

n(2arcsinπ3n − 1) = lim

n→∞2arcsin

π3n−1

arcsin π3n

· arcsin π3n

π3n

· π3 = π

3 ln 2,

deci sirul (xn)n ⊂ R4 este convergent la vectorul (1, e, π3 ln 2).

2.2.4. Fie sirul (xn)n ⊂ R2, xn = (2n sin 1n ,

lnnn ),∀n ≥ 2. Aratati ca sfera

S((0, 0), 1) ⊂ R2 poate contine doar un numar finit de termeni ai sirului.

Solutie 2.2.4. limn→∞

2n sin 1n = 2 lim

n→∞sin 1

n1n

= 2, limn→∞

lnnn = 0 ( lim

x→∞lnxx

[∞∞ ]=l

limx→∞

1x = 0), deci sirul (xn)n ⊂ R2 este convergent la (2, 0). Evident, exista

ε0 > 0 astfel ca S((0, 0), 1) ∩ S((2, 0), ε0) = ∅.Deoarece lim

n→∞xn = (2, 0), exista n0 ∈ N asa ca xn ∈ S((2, 0), ε0),∀n ≥

n0. Prin urmare, sfera S((0, 0), 1) poate contine doar un numar finit determeni ai sirului.

2.2.5. Fie sirul (xn)n ⊂ R2, xn = (1+(−1)n+1

2 , 1+(−1)n

2 ),∀n ≥ 1. Aratati casirul este divergent, dar sirul (∥xn∥)n este convergent.

Solutie 2.2.5. x12n = 0 → 0, x12n+1 = 1 → 1, deci sirul (x1n)n este divergent,ceea ce antreneaza divergenta sirului (xn)n ⊂ R2.

Pe de alta parte, oricare ar fi n ≥ 1, ∥xn∥ =

√(1+(−1)n+1

2 )2 + (1+(−1)n

2 )2 =√2 →

√2, deci sirul (∥xn∥)n este convergent (ca sir constant).

Observatie. Acest exercitiu pune ın evidenta faptul ca reciproca afirmatieiconform careia daca un sir este convergent, atunci si sirul normelor este con-vergent, este falsa.

2.2.6. Fie sirul (xn)n ⊂ R3, xn = ((−1)n n+1n+2 , 3

n(21n − 1), cos nπ

2 ),∀n ≥ 1.Precizati daca sirul este convergent. Studiati apoi marginirea sirului.

Solutie 2.2.6. x12n = 1 → 1, x12n+1 = −1 → −1, deci sirul (x1n)n estedivergent, ceea ce antreneaza divergenta sirului (xn)n ⊂ R3.

limn→∞

3n(21n − 1) = lim

n→∞3n

n · 21n−11n

= ∞· ln 2 = ∞, deci sirul (x2n)n nu este

marginit, ceea ce antreneaza nemarginirea sirului (xn)n ⊂ R3.

2.2.7. Fie multimea A = (x, y);x2 + y2 ≤ 9, y ≥ x + 1. Aratati, cuajutorul caracterizarii cu siruri, ca multimea A este ınchisa. Este multimeaB = (x, y);x2 + y2 ≤ 9, y > x+ 1 ınchisa?

Solutie 2.2.7. ———

45

2.2.8. [Teorema lui Cauchy-Bolzano] Aratati ca orice multime marginita siinfinita din Rp are cel putin un punct de acumulare.

Solutie 2.2.8. Deoarece multimea A este infinita, gasim un sir (xn)n deelemente din A, toate distincte doua cate doua. In plus, sirul (xn)n estemarginit (fiind continut ın multimea marginita A). Exista atunci un subsir(xnk

)k al sau care converge la un element x ∈ A. In plus, ıntrucat toateelementele sirului sunt distincte ıntre ele, exista un subsir (xnkj

)j cu propri-

etatea ca xnkj= x,∀j ∈ N. Prin urmare, exista (xnkj

)j ⊂ A\x, xnkj→ x,

de unde rezulta ca x ∈ A′.

2.2.9. Fie A ⊂ Rp o multime oarecare nevida. Aratati ca un punct x ∈A

daca si numai daca ∀(xn)n, xn → x,∃n0 ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ n0, xn ∈ A.Deduceti de aici ca o multime nevida D este deschisa daca si numai daca

∀x ∈ D si ∀(xn)n, xn → x,∃n0 ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ n0, xn ∈ D.

Solutie 2.2.9. (i) Presupunem mai ıntai ca x ∈ intA. Prin urmare, A ∈V(x). Fie (xn)n ⊂ A, xn → x, oarecare. Deoarece A ∈ V(x), conformdefinitiei cu vecinatati a limitei unui sir, exista n0 ∈ N astfel ca xn ∈ A,∀n ≥ n0.

Reciproc, sa presupunem ca ∀(xn)n, xn → x, ∃n0 ∈ N astfel ca xn ∈ A,∀n ≥ n0. Sa presupunem prin reducere la absurd ca x /∈ intA. Rezultaatunci ca ∀n ∈ N∗, S(x, 1n) * A. Prin urmare, exista (yn)n ⊂ S(x, 1n) siyn /∈ A,∀n ∈ N∗.

Deoarece (yn)n ⊂ S(x, 1n), avem d(yn, x) <1n ,∀n ∈ N∗, de unde yn → x.

Conform ipotezei, ∃n0 ∈ N astfel ca yn ∈ A, ∀n ≥ n0, ceea ce este fals. Prinurmare, x ∈ intA.

(ii) Afirmatia este imediata tinand seama de i) si faptul ca D ∈ τ dacasi numai daca D ⊆ intD.

2.2.10. Studiati natura seriilor urmatoare:

(i)∞∑n=1

xn, (xn)n ⊂ R2, xn = ( (n!)3e3n

(3n)! ,lnnn ),∀n ≥ 1.

(ii)∞∑n=1

xn, (xn)n ⊂ R3, xn = ( sinnn , (−1)n n+1

2n3+4, ln(1 + 1

n2+1)),∀n ≥ 1.

(iii)∞∑n=1

xn, (xn)n ⊂ R2, xn = ( (2n)!(n!)24n

,√n+1(7n+5)

3√2n2+4(n√n+1)

),∀n ≥ 1.

Solutie 2.2.10. ——————-

2.2.11. Fie (xn) un sir de puncte din R. Aratati ca multimea punctelorlimita ale sirului (xn), definita (ca ın Capitolul 2) prin

L((xn)) = x ∈ R | x = limxnk, (xnk

) subsir al lui (xn)

46

este ınchisa.

Solutie 2.2.11. Fie x ∈ R \ L((xn)). Exista ε > 0 astfel ıncat B(x, ε) nucontine nici un element al sirului (xn). Aratam ca B(x, ε2) ⊂ R \ L((xn));din aceasta incluziune rezulta ca R\L((xn)) este deschisa, deci L((xn)) esteınchisa. Intr-adevar, daca exista y ∈ B(x, ε2) ∩ L((xn)), atunci B(y, ε2) arcontine o infinitate de termeni ai sirului; cum B(y, ε2) ⊂ B(x, ε), aceastareprezinta o contradictie.

2.2.12. Fie (xn) ⊂ R un sir si An = xm | m ≥ n. Aratati ca (xn) esteconvergent daca si numai daca diamAn → 0.

Solutie 2.2.12. Remarcam ca daca n ≤ p, atunci Ap ⊂ An, deci diamAp ≤diamAn.

Presupunem ca (xn) este convergent; atunci (xn) este sir fundamental:pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N, ıncat pentru orice n,m ≥ nε, |xn − xm| <ε. Aceasta ınseamna ca supm,n≥nε

|xn − xm| ≤ ε, adica diamAnε ≤ ε. Cumpentru orice n ≥ nε, diamAn ≤ diamAnε ≤ ε, rezulta ca diamAn → 0.

Invers, presupunem ca diamAn → 0. Pentru orice ε > 0, exista nε ∈ N,ıncat pentru orice n ≥ nε, diamAn < ε, adica pentru orice m, p ≥ nε,|xm − xp| < ε. Prin urmare sirul (xn) este fundamental, deci convergent.

2.2.13. Fie A,D doua submultimi ale lui R. Sa se arate ca daca D estedeschisa, atunci D ∩A ⊂ D ∩A. Sa se arate ca ipoteza asupra submultimiiD este esentiala.

Solutie 2.2.13. Fie x ∈ D ∩ A, adica x ∈ D si x ∈ A. Fie V ∈ V(x).Atunci, cum D este deschisa, D ∈ V(x), deci D ∩ V ∈ V(x). Prin urmare,A ∩ (D ∩ V ) = ∅, deci (A ∩ D) ∩ V = ∅. Cum vecinatatea V a fost aleasaarbitrar, obtinem x ∈ D ∩A. Daca D nu este deschisa, incluziunea nu sepastreaza. Fie de exemplu D = (0, 1] si A = (1, 2). D ∩ A = 1 siD ∩A = ∅.

2.2.14. Fie A,B doua submultimi compacte ale lui R. Sa se arate ca A+Beste compacta. Demonstrati ın trei moduri: cu definitia, cu siruri si cuacoperiri deschise.

Solutie 2.2.14. Demonstratia este imediata.

2.2.15. Aratati ca orice reuniune finita de multimi compacte este compactasi orice intersectie de multimi compacte este multime compacta. Este oricereuniune de multimi compacte o multime compacta?

47

Solutie 2.2.15. FieA1, A2, ..., An multimi compacte si (xn) ⊂n∪

k=1

Ak.Avand

ın vedere ca multimea termenilor sirului este numarabila si ca avem unnumar finit de multimi, exista o multime Ai care sa contina un numar in-finit de termeni ai sirului. Atunci (xn) are un subsir inclus ın Ai. DeoareceAi este compacta, exista un subsir al acestui subsir (deci un subsir al sirului

(xn)) convergent la un punct x ∈ Ai ⊂n∪

k=1

Ak. Asadar orice sir dinn∪

k=1

Ak

are un subsir convergent la un punct dinn∪

k=1

Ak, adican∪

k=1

Ak este compacta.

O solutie chiar mai simpla poate fi data aratand can∪

k=1

Ak este marginita si

ınchisa. O reuniune arbitrara de multimi compacte nu este compacta: de ex-

emplu,∞∪n=1

[−n, n] = R. Fie acum (Ai)i∈I o familie arbitrara de multimi com-

pacte. Evident∩i∈IAi este ınchisa (intersectie de multimi ınchise) si marginita

(este inclusa ın orice multime Ai, i ∈ I). Rezulta ca∩i∈IAi este compacta.

2.2.16. Fie (xn) ⊂ R un sir convergent si A = xn | n ∈ N ∪ limxn. Sase arate ca A este compacta.

Solutie 2.2.16. Orice sir de elemente din A este convergent la limxn ∈ A,deci A este compacta. Remarcam ca pentru un sir (xn) convergent, multimeatermenilor sai nu este neaparat compacta, nefiind ınchisa. De exemplu xn =1n , n ∈ N∗.

2.2.17. Aratati ca daca A ⊂ R este multime marginita, atunci A si A′ suntcompacte.

Solutie 2.2.17. Daca A este marginita, exista M > 0 astfel ıncat A ⊂D(0,M). Atunci A′ ⊂ A ⊂ D(0,M) (D(0,M) este multime ınchisa), deci A′

si A sunt marginite. Evident A este ınchisa, deci este compacta. Fie x /∈ A′.Daca x ∈ A, atunci x este punct izolat al multimii A, deci exista ε > 0 astfelıncat B(x, ε)∩A = x. Fie y ∈ B(x, ε2). Cum B(y, ε2) ⊂ B(x, ε), rezulta ca

B(y, ε2)∩A =

∅, daca y = x

x, daca y = x, adica y /∈ A′. Daca x /∈ A, atunci exista

ε > 0 astfel ıncat B(x, ε) ∩A = ∅. Fie y ∈ B(x, ε2). Cum B(y, ε2) ⊂ B(x, ε),rezulta ca B(y, ε2)∩A = ∅. Prin urmare, complementara lui A′ este deschisa,deci A′ este ınchisa. Obtinem ca A′ este compacta.

48

2.2.18. Fie A,B ⊂ R multimi nevide, disjuncte. Sa se arate ca daca A esteınchisa si B compacta, atunci d(A,B) > 0. Ramane adevarata proprietateadaca B este doar ınchisa?

Solutie 2.2.18. Fie A,B multimi compacte nevide. Presupunem prin re-ducere la absurd ca infa∈A,b∈B |a− b| = 0. Din caracterizarea marginii infe-rioare, pentru orice n ∈ N∗, exista an ∈ A, bn ∈ B astfel ıncat |an − bn| < 1

n ,deci an − bn → 0. Deoarece B este compacta, sirul (bn) admite un subsir(bnk

)k convergent la un punct x ∈ B. Atunci (ank)k → x ∈ A. Cum A este

ınchisa, rezulta ca x ∈ A, adica x ∈ A ∩B, contradictie.Daca multimile sunt ınchise, proprietatea nu se pastreaza. De exemplu

A = √n+ 1 | n ∈ N si B =

√n | n ∈ N. Multimile sunt ınchise si

nemarginite, iar infa∈A,b∈B |a− b| ≤ (√n+ 1−

√n) → 0, deci d(A,B) = 0.

2.2.19. Aratati ca pentru orice submultime A a lui R exista o submultimeB a lui R cel mult numarabila astfel ıncat B ⊂ A ⊂ B.

Solutie 2.2.19. Daca A = ∅, luam B = ∅ si proprietatea este verificata.Presupunem ca A = ∅. Multimea numerelor rationale este numarabila si oputem pune ın forma Q = r1, r2, ..., rn.... Evident Q = R. Fie multimileBn,q = B(rn, q), q ∈ Q∗. Atunci R =

∪n∈N∗,q∈Q

Bn,q; evident,

A = A ∩ R = A ∩∪

n∈N∗,q∈QBn,q =

∪n∈N∗,q∈Q

(A ∩Bn,q).

Fie I = (n, q) ∈ N∗ × Q | A ∩ Bn,q = ∅; pentru fiecare i ∈ I, alegemxi ∈ A∩Bn,q si luam B = xi | i ∈ I. Evident, B este cel mult numarabila siB ⊂ A. Fie a ∈ A; cum Q = R, pentru orice ε > 0, exista rn ∈ Q astfel ıncat|a− rn| < ε

2 . Fie q ∈ Q astfel ıncat |a− rn| < q < ε2 . Rezulta ca a ∈ Bn,q.

Fie y elementul xi din A ∩ Bn,q; atunci |a− y| ≤ |a− rn| + |rn − y| < ε.Rezulta ca putem construi un sir de puncte din B cu limita a, adica A ⊂ B.

2.2.20. Aratati ca pentru orice multime ınchisa A ⊂ R exista un sir depuncte (xn) astfel ıncat L((xn)) = A (reciproca Problemei ...)

Solutie 2.2.20. Folosind Problema 2.2.19, exista o multime cel mult numarabilaB astfel ıncat A = B. Putem exprima multimea B ın forma B = bn | n =1, 2, . . .. Fie sirul

(xn) = (b1, b1, b2, b1, b2, b3, b1, b2, b3, b4, b1, b2, b3, b4, b5, . . .) .

Pentru acest sir, multimea punctelor limita coincide cu A.

49

2.2.21. Sa se arate ca pentru orice submultime a lui R, multimea punctelorizolate este cel mult numarabila.

Solutie 2.2.21. Fie A ⊂ R. Conform Problemei 2.2.19, exista B astfel ıncatB ⊂ A ⊂ B. Fie a un punct izolat al multimii A; atunci exista V ∈ V(x)astfel ıncat V ∩A = a. Dar x ∈ B, deci B ∩V = ∅. Dar B ∩V ⊂ V ∩A =a, ceea ce ınseamna ca a ∈ B. Asadar multimea punctelor izolate ale luiA este inclusa ın B, deci este cel mult numarabila.

2.2.22. Fie A ⊂ R nevida, cel mult numarabila. Sa se arate ca (R\A)′ = R.

Solutie 2.2.22. Presupunem prin reducere la absurd ca exista x ∈ R \ (R \A)′. Atunci exista ε > 0 astfel ıncat [B(x, ε) \ x] ∩ (R \ A) = ∅, ceea ceınseamna ca B(x, ε) \ x ⊂ A. Cum B(x, ε) \ x este nenumarabila, amajuns la o contradictie.

2.2.23. Fie A ⊂ R nenumarabila. Sa se arate ca A′ = ∅.

Solutie 2.2.23. Presupunem prin reducere la absurd ca A′ = ∅. Pentruorice n ∈ N∗ definim

An =

x ∈ A | d(x,A \ x) ≥ 1

n

.

Aratam ca∞∪n=1

An = A : contrar, exista x ∈ A \∞∪n=1

An, adica pentru orice

n ∈ N∗, d(x,A\x < 1n , deci exista xn = x, xn ∈ A, cu |xn−x| < 1

n . Aceastaimplica faptul ca xn → x, deci x ∈ A′, contradictie. Fie acum x ∈ An. AtunciB(x, 1

2n) ∩ A = x, iar daca y ∈ A, y = x, B(x, 12n) ∩ B(y, 1

2n) = ∅. CumQ = R putem alege qx ∈ Q∩B(x, 1

2n). Daca x = y, qx = qy. Definim functiainjectiva fn : An → Q, f(x) = qx. Cum Q este numarabila, rezulta ca An

este cel mult numarabila. Prin urmare,∞∪n=1

An este cel mult numarabila,

deci A este cel mult numarabila. Am ajuns la o contradictie, deci problemaeste rezolvata.

2.2.24. Fie A ⊂ R nevida, cel mult numarabila. Sa se arate ca intA = ∅.

Solutie 2.2.24. Daca interiorul multimii A ar fi nevid, atunci A ar trebuisa contina o bila deschisa; cum orice bila deschisa este nenumarabila, rezultaca nu poate fi continuta ın A.

Capitolul 3

Limite de functii ın spatiimetrice


Fie (X, d1) si (Y, d2) spatii metrice si ∅ = D ⊆ X.

Definitia 3.1.1. (cu vecinatati) Spunem ca functia f : D → Y are limital ∈ Y ın punctul a ∈ D′ daca ∀V ∈ V(l),∃U ∈ V(a) astfel ıncat ∀x ∈U ∩D\a, f(x) ∈ V (sau, echivalent, f(U ∩D\a) ⊆ V ).

Notam aceasta prin limx→a

f(x) = l.

Teorema 3.1.2 (unicitatea limitei). Daca exista, limita unei functii ıntr-unpunct este unica.

Teorema 3.1.3 (de caracterizare a notiunii de limita). Fie f : D → Y,a ∈ D′ si ℓ ∈ Y.

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) limx→a

f(x) = l (definitia cu vecinatati);

(i′) (definitia cu sisteme fundamentale de vecinatati) ∀V ∈ U(l),∃U ∈U(a) astfel ıncat ∀x ∈ U ∩D\a, f(x) ∈ V ;

(ii) (definitia cu sfere) ∀SY (l, ε),∃SX(a, δ) astfel ıncat ∀x ∈ SX(a, δ) ∩D\a, f(x) ∈ SY (l, ε);

(iii) (caracterizarea analitica cu ε − δ) ∀ε > 0,∃δ(ε) > 0 astfel ıncat∀x ∈ D\a, cu d1(x, a) < δ, avem d2(f(x), l) < ε;

(iv) (caracterizarea cu siruri) ∀(xn)n ⊂ D\a, xnX→ a⇒ f(xn)

Y→ l.

50

51

Teorema 3.1.4. In general, pentru a arata ca o functie nu are limita ıntr-unpunct, se construiesc doua siruri care converg la punctul respectiv, pentrucare sirurile imaginilor au limite diferite.

Exemplul 3.1.5. Fie f : R2\0, 0 → R, f(x, y) = xyx2+y2

,∀(x, y) = (0, 0).

Observam ca (R2\0, 0)′ = R2, deci are sens sa ne punem problemaexistentei limitei functiei ın orice punct din R2.

Vom arata ca nu exista lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

Conform procedeului indicat mai sus, construim:

((xn, yn))n, ((x′n, y

′n))n ⊂ R2\0, 0, (xn, yn) = ( 1n , 0), (x

′n, y

′n) = ( 1n ,

1n),∀n.

Observam ca (xn, yn) → (0, 0), (x′n, y′n) → (0, 0), dar f(xn, yn) =

1n·0

1n2+0

=

0 → 0, f(x′n, y′n) =

1n· 1n

1n2+

1n2

= 12 → 1

2 si 0 = 12 . Prin urmare, nu exista

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

Pe de alta parte, remarcam ca exista lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y),∀(x0, y0) = (0, 0).

Teorema 3.1.6 (caracterizare de tip Cauchy a limitei). Fie f : D → Y ,a ∈ D′, (Y, d2) spatiu metric complet. Atunci f are limita ın punctul a dacasi numai daca

(∗) ∀ε > 0,∃δ(ε) > 0 astfel ıncat ∀x, y ∈ D\a, cu d1(x, a) < δ sid1(y, a) < δ avem d2(f(x), f(y)) < ε.

Observatia 3.1.7. Teorema lui Cauchy 4.1.6 permite demonstrarea existenteilimitei unei functii ıntr-un punct fara a cunoaste efectiv limita.

Teorema 3.1.8. O functie f : D ⊆ Rp → Rq, (p, q ∈ N∗) are limita l ∈ Rq

ıntr-un punct x0 = (x10, x20, . . . , x

p0) ∈ D′ daca si numai daca ∀ε > 0,∃δε > 0

astfel ıncat ∀x = (x1, x2, . . . , xp) ∈ D,x = x0, cu |x1 − x10| < δ, |x2 − x20| <δ, . . . , |xp − xp0| < δ, avem ∥f(x)− l∥q < ε.

Teorema 3.1.9 (caracterizarea pe componente). O functie f : D ⊆ Rp →Rq(p, q ∈ N∗), f = (f1, f2, . . . , fq) are limita l = (l1, l2, . . . , lq) ∈ Rq ınpunctul x0 ∈ D′ daca si numai daca fiecare componenta fi are limita li ınpunctul x0 :

limx→x0

f(x) = l = (l1, l2, . . . , lq) ⇔ ∀i = 1, q, limx→x0

fi(x) = li.

Observatia 3.1.10. Pentru functiile de 2 variabile (sau, mai general, de nvariabile) se pot considera de asemenea asa-numitele limite iterate:

limx→x0

limy→y0

f(x, y) si limy→y0

limx→x0

f(x, y).

52

I) Se poate ıntampla ca limitele iterate sa existe si sa fie egale, dar limitaglobala sa nu existe.

II) Se poate ıntampla ca limitele iterate sa nu existe (sau sa nu existeuna dintre ele), dar limita globala sa existe.

Propozitia 3.1.11. Fie f : D ⊂ R2 → R, (x0, y0) ∈ D′. Presupunem caexista limita globala lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = l. Daca pentru orice x astfel ıncat

(x, y) ∈ D, exista h(x) = limy→y0

f(x, y), atunci exista limx→x0

[ limy→y0

f(x, y)] =

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y).

Analog pentru limx→x0

f(x, y).

Teorema 3.1.12. Daca exista ambele limite iterate si sunt diferite, atuncinu exista limita globala lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y).

Exemplul 3.1.13. Ne propunem sa studiem limitele iterate si limita globala

(ın ansamblul variabilelor) ın (0, 0) pentru functia f(x, y) = x−y+x2+y2

x+y ,∀(x, y) ∈R2\(x, y);x+ y = 0. Avem:

limx→0

limy→0

f(x, y) = limx→0

x+x2

x = 1, limy→0

limx→0

f(x, y) = limy→0

−y+y2

y = −1, deci

@ lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

De altfel, acelasi rezultat se obtine si astfel: f(( 1n , 0)) = n+1n → 1, iar

f(( 1n ,1n)) =

1n → 0 = 1.

Teorema 3.1.14. Presupunem ca (Y, ∥ · ∥) este spatiu normat.Fie f, g : D ⊆ X → Y , x0 ∈ D′, l1, l2 ∈ Y si λ ∈ R. Presupunem

ca exista limitele limx→x0

f(x) = l1 si limx→x0

g(x) = l2. Atunci exista si limitele

functiilor f + g, λf si avem: limx→x0

(f + g)(x) = l1 + l2, limx→x0

(λf)(x) = λl1.

Teorema 3.1.15. Fie (Y, ∥ · ∥) un spatiu normat, f : D ⊂ X → R, g : D ⊂X → Y , x0 ∈ D′ si l1 ∈ R, l2 ∈ Y.

Daca exista limitele limx→x0


g(x) = l2, atunci exista si

limita functiei fg si limx→x0

(fg)(x) = l1l2.

Teorema 3.1.16. Fie (Y, ∥ · ∥) un spatiu normat, f : D ⊂ X → R∗, g :D ⊂ X → Y , x0 ∈ D′, l1 ∈ R∗, l2 ∈ Y.

Daca exista limitele limx→x0


g(x) = l2, atunci exista si

limita functiei gf si avem lim

x→x0

( gf )(x) =l2l1.

53

Teorema 3.1.17. Fie (Y, ∥ · ∥) un spatiu normat, f : D ⊆ X → Y , x0 ∈ D′

si l ∈ Y . Daca exista limx→x0

f(x) = l, atunci exista si limita functiei ∥f∥ si

avem limx→x0

∥f(x)∥ = ∥l∥.

Teorema 3.1.18. Fie f : D ⊆ X → R, x0 ∈ D′ si l ∈ R\0. Presupunemca exista lim

x→x0

f(x) = l. Atunci f are local semnul lui l adica, exista U0 ∈V(x0) astfel ıncat sgnf(x) = sgnl, pentru orice x ∈ (U0\x0) ∩D.

Teorema 3.1.19 (Criteriul majorarii). Fie ∅ = D ⊆ (X, d1), f, g : D →(Y, d2), a ∈ D′, l ∈ Y si α : D → [0,+∞), cu lim

x→aα(x) = 0 astfel ıncat:

(i) d2(f(x), g(x)) ≤ α(x), ∀x ∈ D;

(ii) limx→a

g(x) = l.

Atunci limx→a

f(x) = l.


3.2.1. Fie f(x, y) = arctg yx2 .

(i) Aflati multimea de definitie D ⊆ R2 a functiei f.

(ii) Determinati D′;

(iii) Cercetati daca exista limita functiei f ın punctele din D′.

Solutie 3.2.1. (i) D = R2\(0, y); y ∈ R;(ii) Folosind definitia notiunii de punct de acumulare, se obtine ca D′ =

R2;

(iii) Daca (x0, y0) ∈ R2\(0, y); y ∈ R, atunci exista lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) =

f(x0, y0).

Daca x0 = 0, deosebim doua subcazuri:

(a) Daca y0 = 0, atunci exista lim(x,y)→(0,y0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,y0)

arctg yx2 =

arctg∞ = π2 .

(b) Daca y0 = 0, atunci nu exista lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) : limn→∞

f( 1n ,1n) =

π2 =

π4 = lim

n→∞f( 1√

n, 1n).

3.2.2. Cercetati existenta limitelor urmatoare si, ın caz afirmativ, calculatilimita corespunzatoare:

(i) lim(x,y)→(1,2)

xyx2+y2

, lim(x,y)→(1,0)

xyx2+y2

, lim(x,y)→(0,0)

xyx2+y2

;

(ii) lim(x,y)→(0,0)

x+yx−y ; (iii) lim

(x,y)→(0,0)

x2yx4+y2

; (iv) lim(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2

;

54

(v) lim(x,y)→(0,0)

x2yx2+y2

; (vi) lim(x,y)→(0,0)

x2+y2

x2−y2;

(vii) lim(x,y)→(0,0)

sin(x2+y2)x2+y2

; (viii) lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x2+y2

; (ix) lim(x,y)→(0,0)

arcsin(x2+y2)|x|+|y| ;

(x) lim(x,y)→(0,0)

2arcsin(x4+y4)−1

x2+y2;

(xi) lim(x,y)→(0,0)

x4+y4

x2+y2; (xii) lim

(x,y)→(0,0)

y2+2xy2−2x

; (xiii) lim(x,y)→(0,0)

y sin 1x ;

(xiv) lim(x,y)→(0,0)

x2y3

x4+y4;

(xv) lim(x,y)→(0,0)

x2y2

(x−y)2+x2y2; (xvi) lim

(x,y)→(0,0)

x4

x4+y2; (xvii) lim

(x,y)→(0,0)( 1x2+y2

)x2y;

(xviii) lim(x,y)→(0,0)

x3−y4√x2+y2−xy

.

Solutie 3.2.2. (i) lim(x,y)→(1,2)

xyx2+y2

= 25 ; lim

(x,y)→(1,0)

xyx2+y2

= 0;

Pentru limita ın (0, 0); exista sirurile: (( 1n ,1n))n ⊂ R2\(0, 0), ( 1n ,

1n)

R2

−→(0, 0), (( 1n , 0))n ⊂ R2\(0, 0),

( 1n , 0)R2

−→ (0, 0), limn→∞

f( 1n ,1n) =

12 = 0 = lim

n→∞f( 1n , 0).

(ii) Fie sirurile ( 2n ,1n)

R2

−→ (0, 0), ( 1n , 0)R2

−→ (0, 0), limn→∞

f( 2n ,1n) = 2 = 1 =

limn→∞

f( 1n , 0). Deci nu exista limita.

(iii) Fie sirurile ( 1n ,1n2 ) → (0, 0), ( 1n , 0) → (0, 0), lim

n→∞f( 1n ,

1n2 ) =

12 = 0 =

limn→∞

f( 1n , 0). Deci limita nu exista.

(iv) lim(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2

= lim(x,y)→(0,0)

x√x2+y2

y = 0 (| x√x2+y2

| ≤ 1, y →(x,y)→(0,0)

0).

(v) lim(x,y)→(0,0)

x2yx2+y2

= lim(x,y)→(0,0)

x2

x2+y2y = 0 ( x2

x2+y2∈ [0, 1], y →

(x,y)→(0,0)0).

(vi) lim(x,y)→(0,0)

x2+y2

x2−y2@ : ( 2n ,

1n) → (0, 0), ( 1n , 0) → (0, 0), lim

n→∞f( 2n ,

1n) =

53 = 1 = lim

n→∞f( 1n , 0).

(vii) lim(x,y)→(0,0)

sin(x2+y2)x2+y2

=x2+y2=t

limt

sin tt = 1;

lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x2+y2

:

Metoda I. Intrucat | sin t| ≤ |t|,∀t ∈ R, rezulta ca

55

| sin(x3+y3)

x2+y2| ≤ |x

3+y3

x2+y2| ≤ |x3|

x2+y2+ |y3|

x2+y2= x2

x2+y2·|x|+ y2

x2+y2·|y| →

(x,y)→(0,0)0,

deci lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x2+y2

= 0.

Metoda II. lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x2+y2

=x3+y3 =0

lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x3+y3

· x3+y3

x2+y2= 0 :

lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x3+y3

=x3+y3=t

limt→0

sin tt = 1,

lim(x,y)→(0,0)

x3+y3

x2+y2= lim

(x,y)→(0,0)[ x2

x2+y2· x+ y2

x2+y2· y] = 0;

Pentru x3 + y3 = 0, se obtine y = −x, rezultand si ın aceasta situatie

lim(x,y)→(0,0)

x3+y3

x2+y2= lim

(x,y)→(0,0)

0x2+y2

= 0.

In consecinta, lim(x,y)→(0,0)

sin(x3+y3)x3+y3

= 0.

(ix) lim(x,y)→(0,0)

arcsin(x2+y2)|x|+|y| = lim

(x,y)→(0,0)

arcsin(x2+y2)x2+y2

· x2+y2

|x|+|y| = 0 :

lim(x,y)→(0,0)

arcsin(x2+y2)x2+y2

=x2+y2=t

limt→0

arcsin tt = 1,

lim(x,y)→(0,0)

x2+y2

|x|+|y| = lim(x,y)→(0,0)

[ |x||x|+|y| · |x|+

|y||x|+|y| · |y|] = 0.

(x) lim(x,y)→(0,0)

x4+y4

x2+y2= lim

(x,y)→(0,0)[x2 · x2

x2+y2+ y2 · y2

x2+y2] = 0.

(xi) lim(x,y)→(0,0)

2arcsin(x4+y4)−1

x2+y2= lim

(x,y)→(0,0)

2arcsin(x4+y4)−1

arcsin(x4+y4)·arcsin(x

4+y4)x4+y4

·x4+y4

x2+y2=

0 ıntrucatlim

(x,y)→(0,0)

2arcsin(x4+y4)−1

arcsin(x4+y4)=

x4+y4=tlimt→0

2t−1t = ln 2,

lim(x,y)→(0,0)

arcsin(x4+y4)x4+y4

=x4+y4=t

limt→0

arcsin tt = 1,

lim(x,y)→(0,0)

x4+y4

x2+y2= 0.

(xii) Fie sirurile ( 1n2 ,

1n)

R2

−→ (0, 0), ( 1n , 0)R2

−→ (0, 0), limn→∞

f( 1n2 ,

1n) = −3 =

−1 = limn→∞

f( 1n , 0). Deci limita nu exista.

(xiii) lim(x,y)→(0,0)

y sin 1x = 0 (sin 1

x ∈ [−1, 1] si y →(x,y)→(0,0)

0).

(xiv) lim(x,y)→(0,0)

x2y3

x4+y4= lim

(x,y)→(0,0)

x2y2

x4+y4·y = 0 ( x2y2

x4+y4∈ [0, 12 ], y →

(x,y)→(0,0)

0).

(xv) Se considera sirurile ( 1n ,1n)

R2

−→ (0, 0), ( 1n , 0)R2

−→ (0, 0), limn→∞

f( 1n ,1n) =

1 = 0 = limn→∞

f( 1n , 0). Prin urmare, limita nu exista.

56

(xvi) Fie sirurile ( 1n ,1n2 )

R2

−→ (0, 0), ( 1n , 0)R2

−→ (0, 0). Atunci limn→∞

f( 1n ,1n2 ) =

12 = 1 = lim

n→∞f( 1n , 0). Deci nu exista limita.

(xvii) lim(x,y)→(0,0)

( 1x2+y2

)x2y [∞0]

=

e− lim

(x,y)→(0,0)x2y ln(x2+y2)

= e− lim

(x,y)→(0,0)

x2y

x2+y2[(x2+y2) ln(x2+y2)]

= e0 = 1 :lim

(x,y)→(0,0)

x2yx2+y2

= lim(x,y)→(0,0)

x2

x2+y2· y = 0 ( x2

x2+y2∈ [0, 1], y →

(x,y)→(0,0)0),

lim(x,y)→(0,0)

(x2+y2) ln(x2+y2) = =x2+y2=t

limt→0

t ln t[∞·0]= lim

t→0

ln t1t

[∞∞ ]= lim

t→0

1t

− 1t2

=

0.

(xviii) Scriem x2 + y2 − xy = (x− y2 )

2 + (√3y2 )2.

Efectuam schimbarea de variabila

x− y

2 = u√3y2 = v.

, ceea ce antreneazax = u+ 1√

3v

y = 2√3v

.

Intrucat (x, y) → (0, 0) ⇔ (u, v) → (0, 0), limita initiala devine

lim(u,v)→(0,0)

(u+ 1√3v)3 − ( 2√

3v)4

√u2 + v2

= lim(u,v)→(0,0)

u3 +√3u2v + uv2 + 1

3√3v3 − 16

27v4

√u2 + v2

=

= lim(u,v)→(0,0)

(u√

u2 + v2· u2 + v√

u2 + v2·√3u2+

+u√

u2 + v2· v2 + v√

u2 + v2· v

2

3− v√

u2 + v2· 1627v3) = 0.

3.2.3. Folosind definitia cu ε− δ, aratati ca:(i) lim

(x,y)→(1,3)(x2 + xy) = 4;

(ii) lim(x,y)→(0,0)

x2+y2

|x|+|y| = 0;

(iii) lim(x,y)→(0,0)

x+1y2

= 12 ;

(iv) lim(x,y)→(1,2)

x−yx+y = −1

3 .

Solutie 3.2.3. (i) Observam ca ∀(x, y) ∈ R2\(x, y); |x|+ |y| = 0, x2+y2

|x|+|y| ≤|x|+ |y| ≤ 2

√x2 + y2.

57

Prin urmare, ∀ε > 0,∃δε = ε2 > 0 astfel ıncat ∀(x, y) ∈ R2\(x, y); |x|+

|y| = 0, cu ∥(x, y)− (0, 0)∥ =√x2 + y2 < δ, avem |f(x, y)− 0| = x2+y2

|x|+|y| <

2δ = ε, ceea ce ınseamna ca lim(x,y)→(0,0)

x2+y2

|x|+|y| = 0.

(ii) Vom arata ca ∀ε > 0,∃δε > 0 astfel ıncat ∀(x, y) ∈ R2, cu |x− 1| < δsi |y − 3| < δ, avem |f(x, y)− 4| < ε.

|f(x, y)−4| = |x2+xy−4| = |(x−1)(y−3)+(x−1)2+5(x−1)+(y−3)| < 2δ2+6δ.

Impunand δ ∈ (0, 1), va rezulta |f(x, y)− 4| < 2δ + 6δ = 8δ.Asadar, ∀ε > 0,∃δε ∈ (0,min(1, ε8)) > 0 astfel ıncat ∀(x, y) ∈ R2, cu

|x−1| < δ si |y−3| < δ, avem |f(x, y)−4| < ε, deci lim(x,y)→(1,3)

(x2+xy) = 4.

(iii) Vom arata ca ∀ε > 0,∃δε > 0 astfel ıncat ∀(x, y) ∈ R2, cu |x| < δ si|y| < δ, avem |f(x, y)− 1

2 | < ε.

|f(x, y)− 1

2| = | x+ 1

y2 + 2− 1

2| = | 2x− y2

2(y2 + 2)| ≤ |2x− y2|

4≤ |x|

2+y2

4<

<δ

2+δ2

4.

Impunand δ ∈ (0, 1), va rezulta |f(x, y)− 12 | <

3δ4 .

Asadar, ∀ε > 0,∃δε ∈ (0,min(1, 4ε3 )) > 0 astfel ıncat ∀(x, y) ∈ R2, cu|x| < δ si |y| < δ, avem |f(x, y)− 1

2 | < ε, deci lim(x,y)→(0,0)

x+1y2+2

= 12 .

(iv) Vom arata ca ∀ε > 0,∃δε > 0 astfel ıncat ∀(x, y) ∈ R2, cu |x−1| < δsi |y − 2| < δ, avem |f(x, y) + 1

3 | < ε.

|f(x, y) + 1

3| = |x− y

x+ y+

1

3| = |4x− 2y|

3|x+ y|=

2

3· |2x− y||x+ y|

≤ 2

3· 2|x− 1|+ |y − 2|

|x+ y|<

<2

3· 3δ

|x+ y|=

2δ

|x+ y|.

Impunand δ ∈ (0, 1), va rezulta |x− 1| < 1 si |y − 2| < 1, de unde x > 0si y > 1, deci x+ y > 1. Prin urmare, |f(x, y) + 1

3 | <2δ

|x+y| =2δx+y < 2δ.

Asadar, ∀ε > 0,∃δε ∈ (0,min(1, ε2)) > 0 astfel ıncat ∀(x, y) ∈ R2, cu|x− 1| < δ si |y − 2| < δ, avem |f(x, y) + 1

3 | < ε, deci lim(x,y)→(1,2)

x−yx+y = −1

3 .

58

3.2.4. Cercetati limitele iterate si limita globala ın (0, 0) pentru:

(i) f(x, y) = x−y+x2+y2

x+y ,∀(x, y) ∈ R2\(x, y);x+ y = 0.(ii) f(x, y) = x sin 1

y ,∀(x, y) ∈ R2\(x, y); y = 0.(iii) f(x, y) = (x+ y) sin 1

x sin1y ,∀(x, y) ∈ (x, y);x = 0, y = 0.

(iv) f(x, y) =

xy

x2+y2, (x, y) = (0, )

0, (x, y) = (0, 0).

Solutie 3.2.4. (i) limx→0

limy→0

f(x, y) = limx→0

(limy→0

x−y+x2+y2

x+y ) = limx→0

x+x2

x = 1,

limy→0

limx→0

f(x, y) = limy→0

( limx→0

x−y+x2+y2

x+y ) = limy→0

−y+y2

y = −1, deci @ lim(x,y)→(0,0)

fx, y).

(ii) limy→0

limx→0

f(x, y) = limy→0

( limx→0

x sin 1y ) = lim

y→00 = 0,

Nu exista limy→0

sin 1y , deci nu exista lim

y→0(x sin 1

y ), asadar nu exista nici

limita limx→0

limy→0

f(x, y), dar limita globala exista: lim(x,y)→(0,0)

x sin 1y = 0 (sin 1

y ∈

[−1, 1], x →(x,y)→(0,0)

0).

(iii)

limx→0

limy→0

f(x, y) = limx→0

(limy→0

(x+ y) sin1

xsin

1

y) = lim

x→0(limy→0

[x sin1

xsin

1

y+ y sin

1

xsin

1

y]) =

= limx→0

(x sin1

xlimy→0

sin1

y+ sin

1

xlimy→0

y sin1

y) = lim

x→0(x sin

1

xlimy→0

sin1

y+ sin

1

x· 0) =

= limx→0

(x sin1

xlimy→0

sin1

y).

Deoarece nu exista limy→0

sin 1y , rezulta ca nu exista x sin 1

x limy→0sin 1

y , deci

nu exista limx→0

(x sin 1x limy→0

sin 1y ), de unde rezulta ca nu exista lim

x→0limy→0

f(x, y).

Analog (sau inversand ıntre ele rolurile lui x si y) obtinem ca nu existalimy→0

limx→0

f(x, y).

Cu toate acestea, limita globala exista: lim(x,y)→(0,0)

(x + y) sin 1x sin

1y = 0

(sin 1x sin

1y ∈ [−1, 1], x+ y →

(x,y)→(0,0)0).

(iv) limx→0

limy→0

f(x, y) = limx→0

( limy→0

xyx2+y2

) = limx→0

0 = 0, limy→0

limx→0

f(x, y) = 0.

Deoarece limn→∞

f(0, 1n) = 0 = 12 = lim

n→∞f( 1n ,

1n), limita globala nu exista.

3.2.5. Fie f : R2 → R, f(x, y) =

xy2+sin(x3+y5)

x2+y4, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

59

Aratati ca desi f are limite iterate ın (0, 0), nu are limita ın (0, 0) ınansamblul variabilelor.

Solutie 3.2.5. ——

Capitolul 4

Spatii metrice complete


Definitia 4.1.1. Spunem ca un sir (xn)n ⊂ (X, d) este Cauchy (sau funda-mental) daca ∀ε > 0,∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n,m ≥ nε, d(xn, xm) < ε, sau,echivalent, ∀ε > 0,∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε,∀p ∈ N∗, d(xn, xn+p) < ε.

Teorema 4.1.2. Orice sir convergent (xn)n este Cauchy.

Teorema 4.1.3. Orice sir Cauchy (xn)n este marginit.

Observatia 4.1.4. Reciproca Teoremei 3.1.2 nu este adevarata: existasiruri Cauchy care nu sunt convergente. De exemplu, fie Y = [0, 3), privitca subspatiu al lui (R, | · |) si xn = 3n−1

n , n ≥ 1. Se observa ca sirul (xn)este Cauchy ın Y (fiind convergent ın R), dar nu converge ın Y deoarecelimn→∞

3n−1n = 3 /∈ Y.

Definitia 4.1.5. Un spatiu metric (X, d) se spune ca este complet dacaorice sir Cauchy este convergent (altfel spus, notiunile de sir Cauchy si sirconvergent coincid).

Exemplul 4.1.6. Rp, (p ∈ N∗) (cu metrica euclidiana) este spatiu metriccomplet.

Teorema 4.1.7 (Cantor, de caracterizare a spatiilor metrice complete).Un spatiu metric (X, d) este complet daca si numai daca ∀(Fn)n un sir

descendent de multimi nevide, ınchise, cu limn→∞

δ(Fn) = 0, avem∞∩

n=1Fn = ∅.

Definitia 4.1.8. Spunem ca un spatiu normat (X, || · ||) este spatiu Banachdaca este spatiu metric complet ın raport cu metrica indusa de norma.

60

61

Exemplul 4.1.9. I)M(A) este spatiu Banach ın raport cu metrica d(f, g) =supx∈A

|f(x)− g(x)|,∀f, g ∈ M(A), distanta indusa de norma uniforma ||f || =

supx∈A

|f(x)|,∀f ∈ M(A).

II) lp, cu p ∈ [1,+∞), este spatiu Banach ın raport cu norma ||x|| =(

∞∑n=1

|xn|p)1p ,∀x = (xn)n ∈ lp.

Teorema 4.1.10. Intr-un spatiu metric complet (X, d), subspatiile ınchisecoincid cu cele complete.

Exemplul 4.1.11. I) Q ⊂ R,Qp ⊂ Rp (p ∈ N∗) nu este complet (deoarecenu este ınchis).

II) [a, b] ⊂ R este complet.

Teorema 4.1.12. Pentru orice spatiu metric, exista un spatiu metric com-plet care sa ıl contina ca subspatiu.

Definitia 4.1.13. O functie f : (X, d) → (X, d) se numeste contractie dacaexista λ ∈ (0, 1) astfel ca d(f(x), f(y)) ≤ λd(x, y),∀x, y ∈ X (cu alte cuvinte,prin aplicarea unei contractii unei perechi de puncte, distanta dintre ele secontracta).

Teorema 4.1.14 (Teorema lui Banach de punct fix sau Principiul contractiei).Orice contractie a unui spatiu metric ın el ınsusi admite un singur punctfix.

Exemplul 4.1.15. Fie spatiul Banach (l2, ∥ · ∥) dat ın Exemplul ....Functia f : l2 → l2, f(x) = (xn

2 )n,∀x = (xn)n ∈ l2, este contractie a luil2 ın el ınsusi si are ca unic punct fix sirul nul 0 = (0) ∈ l2.

Teorema 4.1.16. Un spatiu metric (X, d) este complet daca si numai dacaorice contractie definita pe o submultime ınchisa a lui X are un punct fix.


4.2.1. Aratati ca:(i) orice spatiu metric finit este complet;(ii) orice spatiu metric discret este complet.

Solutie 4.2.1. ———

4.2.2. Aratati ca daca un sir Cauchy (xn)n ⊂ (X, d) contine un subsirconvergent la un punct x ∈ X, atunci xn → x.

62

Solutie 4.2.2. —

4.2.3. Fie d : N× N → R+, d(m,n) =

0, m = n

1 + 1m+n , m = n

,∀m,n ∈ N.

Aratati ca (N, d) este spatiu metric complet.

Solutie 4.2.3. —

4.2.4. Pe R+ se introduce metrica d(x, y) =

x+ y, x = y

0, x = y.

Aratati ca (R+, d) este spatiu metric complet.

Solutie 4.2.4. —

4.2.5. Fie f : (0, 13 ] → (0, 13 ], f(x) = x2. Aratati ca f este o contractie darf nu are nici un punct fix ın spatiul metric ((0, 13 ], du). Explicati rezultatul.

Solutie 4.2.5. —

4.2.6. Fie spatiul X = [0,∞) ınzestrat cu distanta euclidiana si functiaf(x) = 1

1+x2 . Aratati ca f este o contractie pe X si aflati punctul sau fix.

Solutie 4.2.6. —

4.2.7. Precizati daca functiile urmatoare sunt contractii:(i) (R, d), d(x, y) = |x− y|, f : R → R, f(x) = 1

5arctgx;(ii) (R+, d), d(x, y) = |x− y|, f : R+ → R+, f(x) =

√x+ 1;

(iii) ([π4 ,π2 ], d), d(x, y) = |x− y|, f : [π4 ,

π2 ] → [π4 ,

π2 ], f(x) =

√sinx;

(iv) ([1, 9], d), d(x, y) = |x− y|, f : [1, 9] → [1, 9], f(x) = 1 + 3√x+ 2.

Solutie 4.2.7. —


4.3.1. Fie A = ∅ si M(A) spatiul dat ın Exemplul .... Aratati ca:

(i) daca (fn)n ⊂ M(A), f ∈ M(A), atunci fnM(A)−−−−→ f daca si numai

daca fnu−→Af .

(ii) (M(A), ∥ · ∥) este spatiu Banach.

4.3.2. Fie C[a,b] = f |f : [a, b] → R este continua pe [a, b], unde a, b ∈ R,a < b. Aratati ca:

(i) C[a,b] este subspatiu complet al spatiului (M(A), ∥ · ∥);(ii) ∥ · ∥1 si ∥ · ∥2 sunt norme pe C[a,b], unde ∥f∥1 =

∫ ba |f(x)|dx, ∥f∥2 =

(∫ ba f

2(x)dx)1/2, ∀f ∈ C[a,b].(iii) (C[a,b], ∥ · ∥1) si (C[a,b], ∥ · ∥2) nu sunt spatii Banach.

63

Solutii

4.3.1. ————

4.3.2. ————

Capitolul 5

Functii continue ın spatiimetrice


Fie (X, d1) si (Y, d2) spatii metrice si ∅ = D ⊆ X.

Definitia 5.1.1. Fie f : D → Y si a ∈ D (prin urmare, a poate fi punctizolat sau punct de acumulare pentru D).

(i) (cu vecinatati) Spunem ca functia f este continua ın punctul a daca∀V ∈ V(f(a)),∃U ∈ V(a) astfel ıncat ∀x ∈ U ∩D, f(x) ∈ V (sau, echivalent,f(U ∩D) ⊂ V );

(ii) O functie care nu este continua ıntr-un punct se spune ca este discon-tinua ın punctul respectiv, iar a se numeste punct de discontinuitate pentruf .

(iii) Functia f se numeste continua (global) pe multimea D daca estecontinua ın fiecare punct din D.

Observatia 5.1.2. Daca a ∈ D este punct izolat pentru D, atunci f estecontinua ın a. Intr-adevar, a fiind punct izolat, ∃U0 ∈ V(a) astfel ıncatU0 ∩D = a. Prin urmare, ∀V ∈ V(f(a)),∃U0 ∈ V(a) astfel ıncat f(U0 ∩D) = f(a) ⊂ V , deci f este continua ın a.

Teorema 5.1.3. Fie f : D ⊂ (X, d1) → (Y, d2) si a ∈ D ∩ D′. Atunci feste continua ın a daca si numai daca ∃ lim

x→af(x) = f(a).

64

65

Corolarul 5.1.4. Fie f : D ⊂ (X, d1) → (Y, d2) si a ∈ D. Atunci f estecontinua ın a daca si numai daca ori a este punct izolat, ori a ∈ D ∩D′ si∃ limx→a

f(x) = f(a).

Teorema 5.1.5 (de caracterizare a continuitatii punctuale). Fie f : D ⊂(X, d1) → (Y, d2) si a ∈ D. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) f este continua ın punctul a (definitia cu vecinatati);(ii) (definitia cu sisteme fundamentale de vecinatati) ∀V ∈ U(f(a)),∃U ∈

U(a) astfel ıncat ∀x ∈ U ∩D, f(x) ∈ V ;(iii) (definitia cu sfere) ∀SY (f(a), ε),∃SX(a, δ) astfel ıncat ∀x ∈ SX(a, δ)∩

D, f(x) ∈ SY (f(a), ε);(iv) (caracterizarea analitica cu ε − δ) ∀ε > 0,∃δ(ε) > 0 astfel ıncat

∀x ∈ D, cu d1(x, a) < δ, avem d2(f(x), f(a)) < ε;

(v) (caracterizarea cu siruri) ∀(xn)n ⊂ D,xnX→ a⇒ f(xn)

Y→ f(a).

Teorema 5.1.6 (caracterizarea pe componente pentru functii din Rk).Functia f = (f1, f2, ..., fq) : D ⊂ Rp → Rq este continua ın punctul x0 dacasi numai daca toate componentele sale fi, i = 1, q, sunt functii continue ınx0.

Teorema 5.1.7 (continuitatea compunerii). Daca f : (X, d1) → (Y, d2) estecontinua ın a ∈ X si g : (Y, d2) → (Z, d3) este continua ın b = f(a) ∈ Y ,atunci g f : (X, d1) → (Z, d3) este continua ın a.

Teorema 5.1.8 (de caracterizare a continuitatii globale). Fie f : (X, d1) →(Y, d2). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) f este continua pe X;(ii) ∀D ∈ τY ⇒ f−1(D) ∈ τX (altfel spus, f ıntoarce multimi deschise

ın multimi deschise);(iii) ∀Fınchisa ⊆ Y =⇒ f−1(F ) este ınchisa ın X (altfel spus, f ıntoarce

multimi ınchise ın multimi ınchise);(iv) ∀A ⊆ X ⇒ f(A) ⊆ f(A).

Definitia 5.1.9. Fie (X, d1), (Y, d2), D ⊆ (X, d1), a ∈ D ∩D′, f : D\a →Y. Presupunem ca exista lim

x→af(x) = l ∈ Y. Atunci functia f : D → Y, f(x) =

f(x), x ∈ D\al, x = a

este evident continua pe D si se numeste prelungirea

prin continuitate a functiei f la D.

Teorema 5.1.10. Presupunem ca (Y, ∥ · ∥) este spatiu normat si fie f, g :D → Y si α ∈ R. Daca f, g sunt continue ın x0 ∈ D, atunci αf si f + gsunt continue ın x0.

66

Teorema 5.1.11. Presupunem (Y, ∥·∥) este spatiu normat si fie f : D → R,g : D → Y. Daca f, g sunt continue ın a ∈ D, atunci fg este continua ın a.

Teorema 5.1.12. Presupunem ca (Y, ∥·∥) este spatiu normat. Fie f : D →R∗, g : D → Y si functia g

f : D → Y, definita prin gf (x) =

1f(x)g(x),∀x ∈ D.

Daca f, g sunt continue ın a ∈ D, atunci gf este continua ın a.

Teorema 5.1.13. Fie (Y, ∥ · ∥) un spatiu normat. Daca f : D → Y estecontinua ın a ∈ D, atunci ∥f∥ este continua ın a.

Teorema 5.1.14 (semnul local). Presupunem ca f : D → R este continuaın a ∈ D, iar f(a) = 0. Atunci f are local semnul lui f(a), adica, ∃U ∈ V(a)astfel ıncat sgnf(x) = sgnf(a),∀x ∈ U ∩D.

Exemplul 5.1.15. Aplicatiile de proiectie pri : Rp → R, i = 1, p, defi-nite prin pri(x) = xi,∀i = 1, p, sunt continue pe Rp. Intr-adevar, fie x =(x1, x2, . . . , xp) oarecare, fixat. Evident, ∀(xn)n ⊂ Rp, xn = (x1n, x

2n, . . . , x

pn) →

x = (x1, x2, . . . , xp) daca si numai daca xin = pri(xn) → xi = pri(x),∀i =1, p, ceea ce ınseamna ca aplicatiile de proiectie sunt continue pe Rp.

Vom arata ca, pentru functii continue f : D ⊆ (X, d1) → (Y, d2), anumiteproprietati pe care le are multimea D (compacitatea, conectivitatea), le aresi multimea f(D), imaginea directa a lui D prin f.

Teorema 5.1.16. Imaginea printr-o functie continua a unei multimi com-pacte este de asemenea multime compacta (altfel spus, functiile continue ducmultimi compacte ın multimi compacte).

Teorema 5.1.17. Orice functie f : K ⊂ (X, d1) → (Y, d2) continua pemultimea compacta K este marginita pe K.

Teorema 5.1.18 (Weierstrass). Orice functie f : K ⊂ (X, d1) → R con-tinua pe multimea compacta K este marginita si ısi atinge marginile pe K.

Definitia 5.1.19. O functie f : (X, d1) → (Y, d2) se numeste uniformcontinua pe X daca pentru ∀ε > 0,∃δ(ε) > 0 astfel ıncat ∀x, y ∈ D, cud1(x, y) < δ, avem d2(f(x), f(y)) < ε.

Observatia 5.1.20. I) f este continua pe multimea D ⊂ X daca f estecontinua ın orice punct din D :

∀x0 ∈ D, ∀ε > 0,∃δ(ε, x0) > 0 astfel ıncat ∀x ∈ D, cu d1(x, x0) < δ,avem d2(f(x), f(x0)) < ε.

Observam astfel ca proprietatea de uniforma continuitate ınseamna ındeplinireaproprietatii de continuitate cu acelasi δ pentru toate punctele multimii. Daca

67

δ depinde efectiv de trecerea de la un punct la altul, atunci f nu este uniformcontinua.

II) Orice functie uniform continua pe o multime este evident continua peacea multime. Reciproca nu este ın general adevarata. De exemplu, functiaf : (0, 1] → R, f(x) = 1

x ,∀x ∈ (0, 1], este continua, dar nu este uniformcontinua pe (0, 1].

Introducem ın continuare o clasa importanta de functii uniform continue.

Definitia 5.1.21. O functie f : (X, d1) → (Y, d2) se numeste lipschitzianape X daca ∃L > 0 astfel ıncat d2(f(x), f(y)) ≤ Ld1(x, y),∀x, y ∈ D.

Propozitia 5.1.22. Orice functie lipschitziana f : D ⊂ (X, d1) → (Y, d2)este uniform continua pe D.

Exemplul 5.1.23. I) f : Rp → R+, f(x) = ||x||,∀x ∈ Rp este lipschitzianape Rp datorita inegalitatii |||x|| − ||y||| ≤ ||x− y||,∀x, y ∈ Rp.

II) Orice functie f : I → R derivabila cu derivata marginita pe un intervalI ⊆ R este lipschitziana (deci uniform continua) pe intervalul respectiv.

Teorema 5.1.24 (Cantor). Orice functie f : K ⊂ (X, d1) → (Y, d2) con-tinua pe multimea compacta K este uniform continua pe K.

Teorema 5.1.25. Daca A ⊂ R este marginita si f : A→ R este continua peA atunci f este uniform continua pe A daca si numai daca poate fi prelungitaprin continuitate la A.

Teorema 5.1.26. Daca A ⊂ (X, d1) este relativ compacta, f : A→ (Y, d2)este continua pe A si (Y, d2) este complet, atunci f este uniform continuape A daca si numai daca poate fi prelungita prin continuitate la A.

Teorema 5.1.27 (caracterizarea cu siruri a uniformei continuitati). O functief : D → Y este uniform continua daca si numai daca ∀(xn)n, (yn)n ⊂ D,cu d1(xn, yn) → 0, rezulta ca d2(f(xn), f(yn)) → 0.

Teorema 5.1.28. O functie f = (f1, . . . , fq) : D → Rq (q ∈ N∗) esteuniform continua pe D daca si numai daca toate functiile componente fi, i =1, q sunt uniform continue pe D.

Teorema 5.1.29 (compunerea a doua functii uniform continue). Daca f :D ⊂ X → E ⊂ Y este uniform continua pe D, iar g : E → (Z, d3) esteuniform continua pe E, atunci g f este uniform continua pe D.

68

Teorema 5.1.30. Fie f : A ⊂ R → R. Atunci f este uniform continua peA daca si numai daca exista c ∈ A astfel ıncat f este uniform continua peA1 = x ∈ A;x ≤ c si A2 = x ∈ A;x ≥ c.

Teorema 5.1.31. (invarianta conexiunii). Imaginea printr-o functie con-tinua a unei multimi conexe este de asemenea o multime conexa (altfel spus,functiile continue duc multimi conexe ın multimi conexe).

Observatia 5.1.32. Imaginea printr-o functie continua a unei multimi con-vexe poate sa nu fie convexa, dupa cum se remarca din urmatorul contraex-emplu: functia continua f : [0, π] → R2, f(t) = (cos t, sin t),∀t ∈ [0, π] ducemultimea convexa [0, π] ıntr-un semicerc, care nu este multime convexa.

Vom prezenta ın cele ce urmeaza o clasa importanta de aplicatii continue.

Definitia 5.1.33. O functie T : Rk → Rl se numeste aplicatie liniara ( sauoperator liniar) daca:

(i) T (x+ y) = T (x) + T (y),∀x, y ∈ Rk (aditivitatea),(ii) T (λx) = λT (x),∀x ∈ Rk,∀λ ∈ R (omogenitatea).

Propozitia 5.1.34. Daca T : Rk → Rl, T = (T1, T2, . . . , Tl) este un opera-tor liniar, atunci:

i) T (0) = 0;ii) T (x− y) = T (x)− T (y),∀x, y ∈ Rk;iii) ∀j = 1, l, functiile de coordonate Tj : Rk → R sunt aplicatii liniare.

Observatia 5.1.35. Fie (e1, e2, . . . , ek) baza canonica a lui Rk, iar (f1, f2, . . . , fl)baza canonica a lui Rl.

Daca T : Rk → Rl, T = (T1, T2, . . . , Tl) este un operator liniar, atunci,

∀x = (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk, T (x) = T (k∑

i=1xiei) =

k∑i=1xiT (ei).

∀i = 1, k, T (ei) ∈ Rl, deci T (ei) =l∑

j=1ajifj .

Prin urmare, T (x) =k∑

i=1(

l∑j=1

ajixifj) =l∑

j=1(

k∑i=1ajixi)fj .

Calcule matriciale ne permit sa obtinem ca operatorul liniar T are formaT (x) = ATx,∀x ∈ Rk, unde matricea

AT =

a11 a21 . . . ak1a12 a22 . . . ak2... . . . . . .a1l a2l . . . akl

∈ Ml,k(R)

69

se numeste matricea asociata aplicatiei liniare T .Reciproc, orice aplicatie T : Rk → Rl, T (x) = Ax,∀x ∈ Rk, cu A ∈

Ml,k(R), este un operator liniar.

Exemplul 5.1.36. I) Orice aplicatie liniara T : R → R este de formaT (x) = ax,∀x ∈ R, cu a ∈ R fixat.

II) Aplicatiile liniare scalare T : Rk → R sunt de forma T (x) = a1x1 +a2x2 + ...+ akxk,∀x = (x1, x2, . . . , xk) ∈ Rk.

Propozitia 5.1.37. Orice aplicatie liniara T : Rk → Rl este lipschitziana(deci uniform continua si deci continua).

Propozitia 5.1.38. I) Daca T, S : Rk → Rl sunt aplicatii liniare, atunci:(i) T + S este aplicatie liniara si AT+S = AT +AS ;(ii) λT este aplicatie liniara si AλT = λAT ;II) Daca T : Rk → Rl, S : Rl → Rm sunt aplicatii liniare, atunci S T :

Rk → Rm este aplicatie liniara si AST = AS ·AT .

Homeomorfisme si izometrii

Definitia 5.1.39. f : (X, d1) → (Y, d2) se numeste homeomorfism (izomor-fism topologic) daca f este bijectiva si f, f−1 sunt continue (altfel spus, feste bicontinua).

Observatia 5.1.40. I) Daca f este homeomorfism, atunci f−1 este deasemenea homeomorfism.

II) Daca exista un homeomorfism ıntre doua spatii metrice, acestea sevor numi homeomorfe.

Exemplul 5.1.41. f : R → R, f(x) = x3 este un homeomorfism.

Observatia 5.1.42. I) Orice homeomorfism duce si ıntoarce deschisi/ınchisiın deschisi/ınchisi.

II) Doua spatii homeomorfe au aceleasi proprietati topologice (de aici,termenul de izomorfism topologic). Astfel, notiuni cu caracter topologic(vecinatate a unui punct, multime deschisa/ınchisa, punct interior, ader-ent, de acumulare, functie continua etc.) se conserva prin homeomorfisme.Notiunile care nu au caracter topoogic (multimi marginite, sir Cauchy, di-ametru, spatiu metric complet etc.) nu se conserva neaparat prin homeo-morfisme. De exemplu, functia f : R → (−1, 1), f(x) = x

1+|x| este home-omorfism, R este spatiu metric complet si nu este multime marginita, dar(−1, 1) nu este spatiu metric complet si este multime marginita.

70

Observatia 5.1.43. (i) Compunerea a doua homeomorfisme este de aseme-nea homeomorfism.

(ii) f : (R, d0) → (R, du), f(x) = x,∀x ∈ R este bijectiva, este continua(∀D ∈ τu, f

−1(D) = D ∈ P(R) = τd0) dar f nu este homeomorfism (f−1

nu este continua: f−1 : (R, du) → (R, d0), [0, 1) ∈ τd0 , dar (f−1)−1([0, 1)) =

[0, 1) /∈ τu).

Definitia 5.1.44. f : (X, d1) → (Y, d2) se numeste izometrie daca f estebijectiva si

(∗) d2(f(x), f(y)) = d1(x, y),∀x, y ∈ X

(conserva distantele).

Observatia 5.1.45. I) Din conditia (∗) rezulta ca f este injectiva, deci ındefinitia anterioara este suficient ca f sa fie surjectiva.

II) Daca f este izometrie, atunci si f−1 este izometrie.

Definitia 5.1.46. Doua spatii metrice se numesc izometrice daca exista oizometrie ıntre ele.

Exemplul 5.1.47. I) f : R → R, f(x) = −x,∀x ∈ R este izometrie.

II) f : Rk → Rk, f(x) = x + a,∀x ∈ Rk (a ∈ Rk fixat) (translatia) esteizometrie, deoarece f este bijectiva si ||(x+a)−(y+a)|| = ||x−y||,∀x, y ∈ Rk.

Observatia 5.1.48. Fie (X, d1) un spatiu metric si f : (X, d1) → Y obijectie. Definim d2 : Y × Y → R+, d2(f(x), f(y)) = d1(x, y),∀x, y ∈ X.Atunci d2 este o metrica, deci f : (X, d1) → (Y, d2) devine o izometrie alui X pe Y. Astfel, de exemplu, functia lui Baire f : R → [−1, 1], f(x) =

x1+|x| , x ∈ R1, x = ∞−1, x = −∞

este o izometrie ıntre (R, d) si ([−1, 1], du), unde d(x, y) =

|f(x)− f(y)|,∀x, y ∈ R.

Teorema 5.1.49. Orice izometrie f : (X, d1) → (Y, d2) este un homeomor-fism.

Observatia 5.1.50. Reciproca nu este adevarata: f : R → (−1, 1), f(x) =x

1+|x| ,∀x ∈ R este homeomorfism al lui (R, du) pe ((−1, 1), du), dar nu este

izometrie: ∃x, y ∈ R astfel ca |f(x)− f(y)| = |x− y|.

71

Observatia 5.1.51. I) Deoarece orice izometrie este homeomorfism, deciconserva toate proprietatile topologice, ıntrucat conserva si sferele, rezultaca conserva si notiuni ca marginirea, siruri Cauchy, completitudine etc.

II) Functia limitativa a lui Baire f : R → [−1, 1], f(x) =

x

1+|x| , x ∈ R1, x = ∞−1, x = −∞

este o izometrie ıntre (R, d) si ([−1, 1], du), unde d(x, y) = |f(x)−f(y)|,∀x, y ∈R. Prin urmare, (R, d) poate fi identificat (din punct de vedere metric sitopologic) cu ([−1, 1], du).

Teorema 5.1.52. Daca (X, d1) este compact, iar f : (X, d1) → (Y, d2) estecontinua si bijectiva, atunci este un homeomorfism.

Compararea topologiilor

Fie multimea X = ∅ ınzestrata cu doua distante d1, d2, iar τd1 , τd2 sunttopologiile induse de d1 si respectiv d2.

Definitia 5.1.53. Topologia τ1 este mai putin fina decat topologia τ2 (τ2este mai fina decat τ1) daca τ1 ⊆ τ2. Notam τ1 4 τ2.

Observatia 5.1.54. Relatia de finete pe multimea topologiilor induse demetrici pe un spatiuX este o relatie de ordine partiala (deoarece este definitacu ajutorul incluziunii ıntre clase de multimi).

Exemplul 5.1.55. Fie R, du, d0. Atunci τu 4 τ0 (deoarece τu ⊆ τ0 : ∀D ∈τu ⇒ D ∈ τ0 = P(R)) Prin urmare, topologia discreta este cea mai finatopologie care se poate introduce pe un spatiu.

Teorema 5.1.56. X, d1, d2. Atunci τ1 4 τ2 ⇔ aplicatia identica i : (X, d2) →(X, d1) este continua pe X.

Corolarul 5.1.57. Fie X, d1, d2. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) τ1 4 τ2;(ii) ∀(xn)n ⊂ X,xn

d2→ x⇒ xnd1→ x;

(iii) orice multime ınchisa fata de τ1 = τd1 este ınchisa fata de τ2 = τd2 ;

(iv) ∀V ∈ V1(x) ⇒ V ∈ V2(x).

Definitia 5.1.58. Doua metrici pe un spatiu sunt echivalente daca inducaceeasi topologie.

72

Observatia 5.1.59. τ1 = τ2 ⇔ τ1 4 τ2 si τ2 4 τ1 ⇔ aplicatia identicai : (X, d2) → (X, d1) este bicontinua ⇔ i : (X, d2) → (X, d1) este homeo-morfism.

Observatia 5.1.60. Proprietatea de continuitate are caracter topologic sinu metric. De aceea, continuitatea se conserva daca se trece de la o metrica,la o alta echivalenta. Intrucat continuitatea uniforma este o proprietatemetrica, o functie poate fi uniform continua ın raport cu o metrica si sa numai fie uniform continua ın raport cu o metrica echivalenta cu ea.

Teorema 5.1.61. Fie X, d1, d2. Daca exista m,M > 0 astfel ca

∗∗ md1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤Md1(x, y),∀x, y ∈ X,

atunci metricile d1 si d2 sunt echivalente.

Observatia 5.1.62. Doua metrici pot fi echivalente, fara a satisface (∗∗):X = (0,∞), d1(x, y) = |x− y|, d2(x, y) = | 1x − 1

y |,∀x, y ∈ (0,∞) sunt metrici

pe (0,∞) care induc aceeasi topoogie deoarece ∀(xn)n ⊂ (0,∞), xnd1→ x ⇔

xnd2→ x.Daca ar satisface (∗∗), ar exista m,M > 0 astfel ca m|x− y| ≤ | 1x −

1y | ≤

M |x− y|,∀x, y ∈ (0,∞), ceea ce evident nu se ıntampla.

Teorema 5.1.63. Presupunem ca X este spatiu liniar. Daca distantele d1si d2 provin din normele ∥ · ∥1 si respectiv ∥ · ∥2, atunci τd1 = τd2 daca sinumai daca exista m,M ∈ [0,+∞) asa ıncat

m∥x∥1 ≤ ∥x∥2 ≤M∥x∥1, ∀x ∈ X.

Exemplul 5.1.64. Fie X = Rp si distantele urmatoare pe Rp definite

pentru ∀x, y ∈ Rp prin d1(x, y) =

√p∑

i=1(xi − yi)2, d2(x, y) = max

i=1,p|xi −

yi|, d3(x, y) =p∑

i=1|xi − yi|. Atunci aceste trei metrici sunt echivalente, deci

induc aceeasi topologie (uzuala) pe Rp.Intr-adevar, observam ca ∀i = 1, p,

|xi − yi| ≤ d1(x, y) =

√√√√ p∑i=1

(xi − yi)2 ≤√pmaxi=1,p

(xi − yi)2 =

=√pmaxi=1,p

|xi − yi| =√pd2(x, y),

73

deci d2(x, y) ≤ d1(x, y) ≤√pd2(x, y),∀x, y ∈ Rp, de unde τd1 = τd2 .

Apoi,

d2(x, y) = maxi=1,p

|xi− yi| ≤ d3(x, y) =

p∑i=1

|xi− yi| ≤ pmaxi=1,p

|xi− yi| = pd2(x, y),

∀x, y ∈ Rp, de unde τd2 = τd3 .


5.2.1. Cercetati existenta limitei ın (0, 0) pentru functia f : R2\(0, 0) →R2, f(x, y) = ( xy√

x2+y2sin 1

x2+y2, xy√

x2+y2cos 1

x2+y2),∀(x, y) = (0, 0).

Solutie 5.2.1. lim(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2

sin 1x2+y2

= 0 si lim(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2

cos 1x2+y2

=

0 ( lim(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2

= 0, iar sin 1x2+y2

, cos 1x2+y2

∈ [−1, 1]).

Prin urmare, lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = (0, 0).

5.2.2. Calculati limx→0

f(x), f : D ⊂ R → R3, f(x) = (√1+x−1

3√1+x−1, (a

x+bx

2 )1x ,

m√1+αx− n√1+βxx ),

a, b, α, β > 0,m, n ∈ N∗,m, n ≥ 2.

Solutie 5.2.2.

limx→0

√1 + x− 1

3√1 + x− 1

= limx→0

12√1+x1

33√x2

=3

2

(s-a aplicat regula lui lospital) (Altfel, amplificand fractia cu expresiile con-jugate sau transformand radicalii ın puteri si folosind limita remarcabilalimx→0

(1+x)r−1x = r.

limx→0

(ax + bx

2)1x

[1∞]= lim

x→0[(1 +

ax + bx − 2

2)

2ax+bx−2 ]

ax+bx−22x =

= e12limx→0

ax−1+bx−1x = e

12(ln a+ln b) = eln

√ab =

√ab.

limx→0

m√1 + αx− n

√1 + βx

x= lim

x→0

α

m√

(1+αx)m−1

β

n n√

(1+βx)n−1

=α

β

(s-a aplicat regula lui lospital) (Altfel, amplificand fractia cu expresiile con-jugate sau transformand radicalii ın puteri si folosind limita remarcabilalimx→0

(1+x)r−1x = r.

74

Prin urmare, limx→0

f(x) = (32 ,√ab, αβ ).

5.2.3. Studiati continuitatea pe R2 a functiilor urmatoare:

i) f : R2 → R, f(x, y) =

x2 sin yx2+y2

, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

ii) f : R2 → R, f(x, y) =

x ln(1+y2)x2+y2

, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

iii) f : R2 → R, f(x, y) =

x ln(1+y2)−x sin y√

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

iv) f : R3 → R, f(x, y) =

x sinx+y sin y+z sin z√

x2+y2+z2, (x, y, z) = (0, 0)

0, (x, y, z) = (0, 0).

Solutie 5.2.3. i) Evident f este continua pe R2\(0, 0) (compunere defunctii elementare).

Studiem continuitatea ın (0, 0) :

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

x2 sin y

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2· sin y = 0

( x2

x2+y2∈ [0, 1], sin y →

(x,y)→(0,0)0), deci lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = f(0, 0), ceea ce

arata ca f este continua ın (0, 0).

In consecinta, f este continua pe R2.

ii) Evident f este continua pe R2\(0, 0) (compunere de functii ele-mentare).


lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

x ln(1 + y2)

|x|+ |y|= lim

(x,y)→(0,0)

x

|x|+ |y|·ln(1+y2) = 0

( x|x|+|y| ∈ [−1, 1], ln(1 + y2) →

(x,y)→(0,0)0), deci lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = f(0, 0),

ceea ce arata ca f este continua ın (0, 0).

Deci f este continua pe R2.

iii) Evident f este continua pe R2\(0, 0) (compunere de functii ele-mentare).

75


lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

x ln(1 + y2)− x sin y√x2 + y2

=

= lim(x,y)→(0,0)

[x ln(1 + y2)√

x2 + y2− x sin y√

x2 + y2] = 0

( x√x2+y2

∈ [−1, 1], ln(1 + y2) →(x,y)→(0,0)

0 si sin y →(x,y)→(0,0)

0), deci

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = f(0, 0), ceea ce arata ca f este continua ın (0, 0).

In consecinta, f este continua pe R2.

iv) Evident f este continua pe R2\(0, 0, 0) (compunere de functii ele-mentare).

Studiem continuitatea ın (0, 0, 0) :

lim(x,y,z)→(0,0,0)

f(x, y) = lim(x,y,z)→(0,0,0)

x sinx+ y sin y + z sin z√x2 + y2 + z2

=

= lim(x,y,z)→(0,0,0)

[x√

x2 + y2 + z2· sinx+

+y√

x2 + y2 + z2· sin y + z√

x2 + y2 + z2· sin z] = 0

( x√x2+y2+z2

, y√x2+y2+z2

, z√x2+y2+z2

∈ [−1, 1], sinx →(x,y)→(0,0)

0, sin y →(x,y)→(0,0)

0, sin z →(x,y)→(0,0)

0),

deci lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = f(0, 0), ceea ce arata ca f este continua ın (0, 0).

Asadar f este continua pe R2.

5.2.4. Fie f : R2 → R, f(x, y) = (y, x),∀(x, y) ∈ R2. Aratati ca functia feste continua pe R2.

Solutie 5.2.4. Multimea

N = x ∈ Rk; f(x) < g(x) = x ∈ Rk; (f − g)(x) < 0 = (f − g)−1(0)

este ınchisa deoarece multimea 0 este ınchisa, iar functia f − g este con-tinua.

5.2.5. Fie f, g : R → R aplicatii continue pe R si fie h : R2 → R, h(x, y) =(f(x), g(y)),∀(x, y) ∈ R2. Aratati ca functia h este continua pe R2.

76

Solutie 5.2.5. Fie (x0, y0) ∈ R2 oarecare. Vom arata ca f este continua ın(x0, y0) folosind caracterizarea cu siruri. Consideram asadar un sir arbitrar(xn, yn) ⊂ R2, cu (xn, yn) → (x0, y0). Aceasta ınseamna, echivalent, caxn → x0 si yn → y0.

Deoarece f este continua pe R, este continua ın particular si ın x0, decif(xn) → f(x0). Analog, deoarece g este continua pe R, este continua ınparticular si ın y0, deci g(yn) → g(y0).

Prin urmare, h(xn, yn) = (f(xn), g(yn)) → (f(x0), g(y0)) = h(x0, y0),ceea ce ınseamna ca h este continua ın (x0, y0), arbitrar. In consecinta, heste continua pe R2.

5.2.6. Aratati ca multimea K = (x, y); (x2 + y2)2 = 2(x2 − y2) ⊂ R2 estecompacta.

Solutie 5.2.6. Fie f : R2 → R, f(x, y) = (x2 + y2)2 − 2(x2 − y2). Evident,functia f este continua pe R2. Observam ca K = (x, y) ∈ R2; f(x, y) =0 = f−1(0).

Intrucat multimea 0 este ınchisa, iar functia f : R2 → R este continuape R2, rezulta ca multimea f−1(0) = K este ınchisa, deci ramane sa sta-bilim ca este marginita. Pentru aceasta, este convenabil sa folosim scrierea

ın coordonate polare

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ [0, 2π).

Inlocuind ın relatia (x2 + y2)2 = 2(x2 − y2), obtinem ca ρ4 = 2ρ2 cos 2θ,deci ρ2 = 2 cos 2θ, ceea ce implica ρ =

√x2 + y2 ≤

√2, adica, echivalent

∥(x, y)∥ ≤√2,∀(x, y) ∈ K, deci multimea K este marginita.

Observatie. O alta metoda de a arata faptul ca multimeaK este ınchisaeste sa folosim caracterizarea cu siruri a acestei proprietati. Fie deci un siroarecare ((xn, yn))n ⊂ K, cu (xn, yn) → (x0, y0). Trebuie sa aratam ca(x0, y0) ∈ K.

Deoarece ((xn, yn))n ⊂ K, aceasta ınseamna ca ∀n, (x2n + y2n)2 = 2(x2n −

y2n). Trecand ın aceasta egalitate la limita, ıntrucat xn → x0 si yn → y0,obtinem ca (x20+y

20)

2 = 2(x20−y20), adica (x0, y0) ∈ K. Prin urmare, multimeaK este ınchisa.

5.2.7. Fie f : Rk → R o functie continua. Aratati ca multimea M = x ∈Rk; f(x) ≥ 0 este ınchisa.

Solutie 5.2.7. Metoda I. Multimea M = x ∈ Rk; f(x) ≥ 0 = f−1(0)este ınchisa deoarece multimea 0 este ınchisa, iar functia f este continua.

Metoda II. Vom folosi caracterizarea cu siruri a proprietatii unei multimide a fi ınchisa. Fie deci (xn)n ⊂ M , cu xn → x0, oarecare. Atunci ∀n ∈

77

N, f(xn) ≥ 0. Trecand la limita si tinand seama de continuitatea functiei f,rezulta ca f(x0) ≥ 0, deci x0 ∈M . Prin urmare, multimea M este ınchisa.

5.2.8. Fie f, g : Rk → R functii continue. Aratati ca multimea N = x ∈Rk; f(x) < g(x) este deschisa.

Solutie 5.2.8. Fie (x0, y0) ∈ R2 oarecare. Vom arata ca f este continua ın(x0, y0) folosind caracterizarea cu siruri. Consideram asadar un sir arbitrar(xn, yn) ⊂ R2, cu (xn, yn) → (x0, y0). Deoarece f(xn, yn) = (yn, xn) →(y0, x0) = f(x0, y0), rezulta ca ıntr-adevar f este continua ın (x0, y0), arbi-trar. In consecinta, f este continua pe R2.

5.2.9. Aratati ca functia d : RkxRk → R+, d(x, y) = ∥x − y∥,∀x, y ∈ Rk,este continua pe RkxRk.

Solutie 5.2.9. Vom folosi caracterizarea cu siruri a continuitatii unei functiiıntr-un punct. Fie (x0, y0) ∈ RkXRk oarecare si ((xn, yn))n ⊂ RkXRk,cu (xn, yn) → (x0, y0), arbitrar. Prin urmare, xn → x0 si yn → y0, decid(xn, x0) → 0 si d(yn, y0) → 0.

Intrucat ∀n ∈ N, |d(xn, yn)−d(x0, y0)| ≤ d(xn, x0)+d(yn, y0), trecand lalimita si folosind criteriul majorarii de la siruri numerice rezulta ca d(xn, yn) →d(x0, y0).

Asadar, functia d : RkXRk → R+ este continua ın (x0, y0) ∈ RkXRk

arbitrar, deci pe RkXRk.

5.2.10. Aratati ca functiile f : R → R urmatoare sunt lipschitziene pe R:a) f(x) = sinx; b) f(x) = cosx; c) f(x) = arctgx.

Solutie 5.2.10. a) |f(x)| = | sinx| ≤ 1,∀x ∈ R, deci functia este lips-chitziana.

b) |f(x)| = | cosx| ≤ 1,∀x ∈ R, deci functia este lipschitziana.c) |f(x)| = 1

1+x2 ≤ 1,∀x ∈ R, deci functia este lipschitziana.

5.2.11. Aratati ca functia f : (0, 1] → R, f(x) = 1x ,∀x ∈ (0, 1], este con-

tinua, dar nu este uniform continua pe (0, 1].

Solutie 5.2.11. Metoda I. A = (0, 1] este multime relativ compacta, functiaf este continua pe multimea A, dar nu poate fi prelungita prin continuitatela A = [0, 1] ( lim

x→0,x>0

1x = ∞). Prin urmare, f nu este uniform continua pe

A.Metoda II. Presupunem prin reducere la absurd ca f este uniform con-

tinua pe A, deci, ∀ε > 0,∃δε > 0 astfel ıncat ∀x, y ∈ A, cu |x− y| < δ, avem|f(x)− f(y)| = | 1x − 1

y | = |x−yxy | < ε.

78

In particular, pentru ε = 12 ,∃δ1 > 0 astfel ıncat ∀x, y ∈ A, cu |x−y| < δ1,

avem |x−y|xy < 1

2 .

Intrucat limn→∞

1n = 0, ∃n0 ∈ N∗ asa ca 1

n ,1

n+1 ∈ (0, 1] si | 1n − 1n+1 | < δ1,

∀n ≥ n0. Prin urmare,| 1n− 1

n+1|

1n

1n+1

= 1 < 12 , contradictie. Asadar f nu este

uniform continua pe A.

Metoda III. Vom folosi caracterizarea cu siruri a proprietatii de uni-forma continuitate. Observam ca exista (xn)n, (yn)n ⊂ (0, 1], xn = 1

n , yn =1

n+1 ,∀n ∈ N∗ asa ca |xn − yn| = | 1n − 1n+1 | → 0, dar |f(xn) − f(yn)| =

| 1n− 1

n+1|

1n

1n+1

= 1 → 1 = 0, deci f nu este uniform continua pe A.

5.2.12. Fie f : R2 → R2, f(x, y) = (x− y, x+ y),∀(x, y) ∈ R2.

a) Aratati ca functia f este lipschitziana pe R2.

b) Determinati imaginea prin f a cercului C((0, 0), 1).

Solutie 5.2.12. i) ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ R2,

∥f(x1, y1)− f(x2, y2)∥ = ∥(x1 − y1, x1 + y1)− (x2 − y2, x2 + y2) =

=√

[(x1 − x2)− (y1 − y2)]2 + [(x1 − x2) + (y1 − y2)]2 =

=√

2[(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2] =√2 · ∥(x1, y1)− (x2, y2)∥,

deci f este lipschitziana pe R2.

ii) ∀(x, y) ∈ C((0, 0), 1) f(x, y)not.= (x1, y1), unde x1 = x−y, y1 = x+y,

deci x = x1+y12 , y = −x1+y1

2

Dar x2 + y2 = 1, de unde, efectuand calculele, se obtine ca x21 + y21 = 1,adica (x1, y1) ∈ C((0, 0),

√2).

Prin urmare, f(C((0, 0), 1)) = C((0, 0),√2).

5.2.13. Cercetati daca functia f : R2 → R, f(x, y) = sin√x2 + y2 este

lipschitziana pe R2.

79

Solutie 5.2.13. ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ R2,

∥f(x1, y1)− f(x2, y2)∥ = | sin√x21 + y21 − sin

√x22 + y22| =

= |2 sin√x21 + y21 −

√x22 + y22

2cos

√x21 + y21 +

√x22 + y22

2| ≤

≤| cos t|≤1

2| sin√x21 + y21 −

√x22 + y22

2| ≤| sin t|≤|t|

≤ 2|√x21 + y21 −

√x22 + y22

2| = |

√x21 + y21 −

√x22 + y22| ≤

≤ |x1 − x2| · |x1 + x2|√x21 + y21 +

√x22 + y22

+|y1 − y2| · |y1 + y2|√x21 + y21 +

√x22 + y22

≤

≤ |x1 − x2| · (|x1|√

x21 + y21 +√x22 + y22

+

+|x2|√

x21 + y21 +√x22 + y22

)+

+ |y1 − y2| · (|y1|√

x21 + y21 +√x22 + y22

+

+|y2|√

x21 + y21 +√x22 + y22

) ≤

≤ 2(|x1 − x2|+ |y1 − y2|) ≤a+b≤

√2·√a2+b2

≤ 2√2√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 =√2 · ∥(x1, y1)− (x2, y2)∥,

ceea ce ınseamna ca f este lipschitziana pe R2.

5.2.14. Fie multimea A = (x, y);x2 + y2 ≤ 4, y ≥ x + 1 si fie functia

f : R2 → R, f(x, y) =

x sin y+y sinx√

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).Aratati ca:

(i) Multimea A este compacta.(ii) Functia f este continua pe R2.(iii) Este f uniform continua pe A?(iv) Este multimea f(A) compacta si conexa?

Solutie 5.2.14. ———–

5.2.15. Aratati ca functia f : R+ → R+, f(x) =√x este uniform con-

tinua, dar nu este lipschitziana. Aceeasi problema, mai general, pentruf : R+XR+ → R+, f(x) =

√x+

√y.

80

Solutie 5.2.15. Evident, functia f : R+ → R+, f(x) =√x este uniform

continua pe [0, 1]. Conform Teoremei..., este suficient sa stabilim ca esteuniform continua si pe [1,∞), ceea ce rezulta imediat ıntrucat ∀x, y ≥ 1,

|f(x)− f(y)| = |√x−√

y| = | x− y√x+

√y| ≤ 1

2|x− y|,

deci functia este lipschitziana si ın consecinta este uniform continua pe[1,∞).

Asadar f este uniform continua pe [0,∞).Sa aratam acum ca f nu este lischitziana pe [0,∞). Intr-adevar, daca

presupunem prin reducere la absurd ca exista L > 0 asa ca |f(x)−f(y)| ≤ L·|x−y|,∀x, y ≥ 0, rezulta ın particular ca

√x ≤ L·x,∀x ≥ 0, adica, echivalent,

x ≥ 1L2 ,∀x ≥ 0, ceea ce este fals. In concluzie, f nu este lischitziana pe

[0,∞).

5.2.16. Aratati ca functiile urmatoare sunt uniform continue pe domeniulde definitie:

(i) f : R2 → R, f(x, y) =

√x2 + y2 sin 1√

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

(ii) f : (1, 2)X(1, 2) → R, f(x, y) = xy .

Solutie 5.2.16. (i) Observam ca f = gu, unde u = u(x, y) =√x2 + y2, u :

R2 → R+, iar g(u) =

u sin 1

u , u > 0

0, u = 0, g : R+ → R.

Vom arata ca ambele functii g si u sunt uniform continue pe domeniilelor de definitie, de unde va rezulta, conform Teoreme..., ca si compunerealor f este uniform continua.

Pentru ınceput, sa stabilim chiar mai mult, ca functia u este lipschitzianape R2.

Intr-adevar, ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ R2,

|f(x1, y1)− f(x2, y2)| =

= |√x21 + y21 −

√x22 + y22| =

|x21 + y21 − x22 − y22|√x21 + y21 +

√x22 + y22

≤

≤ |x1 − x2| · |x1 + x2|√x21 + y21 +

√x22 + y22

+|y1 − y2| · |y1 + y2|√x21 + y21 +

√x22 + y22

≤

≤ 2(|x1 − x2|+ |y1 − y2|) ≤ 2√2 ·√

(x1 − x2)2 + (y2 − y1) =

= 2√2 · ∥(x1, y1)− (x2, y2)∥,

81

ceea ce arata ca u este lipschitziana, deci uniform continua pe R2.Sa remarcam acum ca functia g este continua pe R+, deci este uniform

continua pe intervalul compact [0, 1]. Conform Teoremei..., este suficient sademonstram ca g este uniform continua pe [1,∞). Pentru aceasta, observamca g este derivabila pe [1,∞), cu |g′(u)| = | sin 1

u −1u cos 1

u | ≤ 2, ∀u > 0, ceea

ce arata ca g este derivabila cu derivata marginita pe [1,∞). In consecinta,g este lipschitziana, deci uniform continua pe [1,∞).

(ii) Metoda I. Vom arata, mai mult, ca functia este lipschitziana pe(1, 2)X(1, 2).

Intr-adevar, ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ (1, 2)× (1, 2),

|f(x1, y1)− f(x2, y2)| = |x1y1

− x2y2

| = |x1y2 − x2y1y1y2

| < |x1y2 − x2y1| =

= |(x1 − x2)y2 + x2(y2 − y1)| ≤ |x1 − x2|y2 + x2|y2 − y1| << 2(|x1 − x2|+ |y2 − y1|) ≤ 2

√2 ·√

(x1 − x2)2 + (y2 − y1) =

= 2√2 · ∥(x1, y1)− (x2, y2)∥,

ceea ce arata ca f este lipschitziana, deci uniform continua pe (1, 2)× (1, 2).

Metoda II. Evident A = (1, 2)× (1, 2) este multime relativ compacta, iarf este continua pe (1, 2) × (1, 2) si poate fi prelungita prin continuitate la

A = [1, 2]×[1, 2], considerand functia f(x, y) =

xy , (x, y) ∈ (1, 2)× (1, 2)1y , x = 1, y ∈ (1, 2)x2 , x ∈ (1, 2), y = 212 , x = 1, y = 2

.

Observam imediat ca functia f este continua pe [1, 2]× [1, 2] si f = f pe(1, 2)× (1, 2).

Prin urmare, f este uniform continua pe (1, 2)× (1, 2).


5.3.1. Aratati ca exista functii continue pe X, f : (X, d1) → (Y, d2) siA ⊆ X, A necompacta asa ıncat f(A) este necompacta.

5.3.2. (R, τ0) este spatiu compact.

Solutii

5.3.1. (i) Fie f : (0, 1] → R, f(x) = 1x .

82

f este continua pe multimea marginita (0, 1], dar f((0, 1]) = [1,∞) nueste marginita;

(ii) Fie f : R → (−π2 ,

π2 ), f(x) = arctgx.

f este continua pe multimea ınchisa R, dar f(R) = (−π2 ,

π2 ) este multime

deschisa

5.3.2. Functia lui Baire este izometrie, deci f−1 este de asemenea izome-trie.

Deoarece f−1 : ([−1, 1], τu) → (R, τ0) este continua, iar ([−1, 1], τu) estecompact, rezulta ca (R, τ0) este compact.

Capitolul 6

Diferentiabilitate


Fie D ⊂ Rn o multime deschisa, F : D → Rq, a ∈ D (deci ∃ S(a, r) ⊂ D).

Definitia 6.1.1. i) Functia F se numeste diferentiabila ın punctul a dacaexista un operator liniar T : Rn → Rm astfel ıncat

(D) limx→a

F (x)− F (a)− T (x− a)

∥x− a∥= 0.

ii) Functia F se numeste diferentiabila pe D daca este diferentiabila ınorice punct din D.

Observatia 6.1.2. i) Notand x − a = h, (D) se poate scrie sub formaechivalenta

(D′) limh→0

F (a+ h)− F (a)− T (h)

∥h∥= 0.

ii) Notand α(x) =

F (x)−F (a)−T (x−a)

∥x−a∥ , x = a

0, x = a, atunci (D) se poate scrie

sub forma echivalenta: ∀x ∈ D,

(D′′) F (x) = F (a) + T (x− a) + α(x) · ∥x− a∥,

unde limx→a

α(x) = α(a) = 0, sau, echivalent,

(D′′′) F (a+ h) = F (a) + T (h) + α(a+ h) · ∥h∥,

∀h ∈ Rn, cu a+ h ∈ D si limh→0

α(a+ h) = α(a) = 0.

83

84

Definitia 6.1.3. Numim diferentiala functiei F ın punctul a, aplicatia liniara

T : Rn → Rm, Tnot= dF (a),∀h ∈ Rn dF (a)(h) ∈ Rm (diferentiala lui F ın

punctul a calculata ın h).

Observatia 6.1.4. Daca m = 1, n = 1, se obtine definitia diferentiabilitatii(care echivaleaza cu definitia derivabilitatii) pentru functii reale de o vari-abila reala.

Teorema 6.1.5. Daca exista, diferentiala unei functii ıntr-un punct esteunica.

In continuare vom evidentia conditii necesare de diferentiabilitate.

Teorema 6.1.6 (legatura dintre diferentiabilitate si continuitate). Oricefunctie F : D ⊂ Rn → Rm diferentiabila ıntr-un punct a ∈ D este continuaın a.

(Prin urmare, daca o functie nu este continua ıntr-un punct, nu estenici diferentiabila ın acel punct).

Observatia 6.1.7. Reciproca teoremei anterioare nu este adevarata: ex-ista functii continue ıntr-un punct, care nu sunt diferentiabile ın punctulrespectiv (a se vedea exemplul urmator).

Teorema 6.1.8 (legatura dintre diferentiabilitate si derivabilitatea dupa odirectie). Daca f : D ⊂ Rn → R este diferentiabila ın a ∈ D, atunci f estederivabila ın a dupa orice directie u = 0 si

df(a)(u) =df

du(a).

Observatia 6.1.9. Reciproca acestui rezultat nu este adevarata (existafunctii derivabile dupa orice vector, dar care nu sunt continue, deci nicidiferentiabile ıntr-un punct).

Teorema 6.1.10. [legatura dintre diferentiabilitate si derivabilitatea partiala]

Daca f : D ⊂ Rn → R este diferentiabila ın a ∈ D, atunci f estederivabila partial ın raport cu orice variabila ın a si

df(a)(h) =

n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi,∀h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn.

Vom pune ın evidenta conditii suficiente de diferentiabilitate.

85

Teorema 6.1.11 (criteriu de diferentiabilitate). Fie f : D ⊂ Rn → R,a ∈ D. Daca f este partial derivabila ın raport cu toate variabilele pe ovecinatate V = V (a) ⊂ D si daca toate derivatele sale partiale sunt continueın a, atunci f este diferentiabila ın a.

Definitia 6.1.12. Fie f : D ⊂ Rn → R. Spunem ca f este de clasa C1 pe D(si notam aceasta prin f ∈ C1(D)) daca f este partial derivabila ın raportcu toate variabilele pe D si toate derivatele sale partiale sunt continue peD.

Teorema 6.1.13. Daca f ∈ C1(D), atunci f este diferentiabila pe D.

Reciproca acestui rezultat nu este adevarata (a se vedea exercitiul propus2).

Teorema 6.1.14 (de reducere la componente pentru functii vectoriale).O functie F = (f1, f2, . . . , fm) : Ddeschis ⊂ Rn → Rm este diferentiabilaın a ∈ D daca si numai daca toate functiile componente f1, f2, . . . , fm :D ⊂ Rn → R sunt diferentiabile ın a. Mai mult, diferentierea se face pecomponente:

dF (a)(h) = (df1(a)(h), df2(a)(h), . . . , dfm(a)(h)),∀h ∈ Rn.

Fie acum F = (f1, f2, . . . , fm) : Ddeschis ⊂ Rn → Rm diferentiabila ınpunctul a ∈ D. Atunci ∀i = 1,m, fi : D ⊂ Rn → R este diferentiabila, deciderivabila partial ın raport cu toate variabilele ın a ∈ D.

Introducem matricea asociata diferentialei T = dF (a) : Rn → Rm (careeste operator liniar) a functiei F ın punctul a ∈ D :

JF (a) =(

∂fi∂xj

(a))i=1,mj=1,n

=

∂f1∂x1

(a) ∂f1∂x2

(a) ... ∂f1∂xn(a)

∂f2∂x1

(a) ∂f2∂x2

(a) ... ∂f2∂xn(a)

...∂fm∂x1

(a) ∂fm∂x2

(a) ...∂fm∂xn(a)

∈ Mm,n(R)

numita matricea jacobiana a functiei F ın punctul a.

(denumirea este data ın onoarea matematicianului german Carl Jacobi).

Evident, daca f : D ⊂ R → R, atunci Jf (a) = f ′(a).

In situatia ın care m = n, JF (a) este matrice patratica, iar

det JF (a) =D(f1,...fn)D(x1,...xn)

(a) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂f1∂x1

(a) ∂f1∂x2

(a) ... ∂f1∂xn(a)

∂f2∂x1

(a) ∂f2∂x2

(a) ... ∂f2∂xn(a)

...∂fn∂x1

(a) ∂fn∂x2

(a) ... ∂fn∂xn(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

86

se numeste determinantul jacobian (jacobianul) (determinantul functional)al lui F ın a.

Acesta va juca pentru functii vectoriale F : Ddeschis ⊂ Rn → Rm, un rolasemanator celui jucat de derivata pentru functii f : Ddeschis ⊂ R → R.

Exemplul 6.1.15. I. Coordonate polare.

Fie functia vectoriala F : R+X[0, 2π) → R2, F (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ),∀(ρ, θ) ∈R+X[0, 2π).

F exprima legatura dintre coordonatele carteziene si coordonatele polare

ın plan:

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ,ρ > 0, θ ∈ [0, 2π).

F este diferentiabila peDdeschis ⊂ R+X[0, 2π) deoarece f1, f2 : R+X[0, 2π) →R sunt diferentiabile peD (fiind de clasa C1), unde f1(ρ, θ) = ρ cos θ, f2(ρ, θ) =ρ sin θ.

JF (ρ, θ) =

(∂f1∂ρ

∂f1∂θ

∂f2∂ρ

∂f2∂θ

)=

(cos θ − ρ sin θsin θ ρ cos θ

),

det JF (ρ, θ) =D(f1,f2)D(ρ,θ) =

∣∣∣∣ cos θ − ρ sin θsin θ ρ cos θ

∣∣∣∣ = ρ(cos2 θ + sin2 θ) = ρ.

II. Coordonate cilindrice

Fie functia vectoriala F : R+X[0, 2π)XR → R3, F (ρ, θ, z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, z).x = ρ cos θ

y = ρ sin θ

z = z

, ρ > 0, θ ∈ [0, 2π), z ∈ R.

F este diferentiabila pe Ddeschis ⊂ R+X[0, 2π)XR deoarece f1, f2, f3 :R+X[0, 2π)XR → R sunt diferentiabile pe D (fiind de clasa C1), undef1(ρ, θ, z) = ρ cos θ, f1(ρ, θ, z) = ρ sin θ, f3(ρ, θ, z) = z.

JF (ρ, θ, z) =

∂f1∂ρ

∂f1∂θ

∂f1∂z

∂f2∂ρ

∂f2∂θ

∂f2∂z

∂f3∂ρ

∂f3∂θ

∂f3∂z

=

cos θ − ρ sin θ 0sin θ ρ cos θ 00 0 1

,

det JF (ρ, θ, z) =D(f1,f2,f3)D(ρ,θ,z) =

∣∣∣∣∣∣cos θ − ρ sin θ 0sin θ ρ cos θ 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = ρ(cos2 θ+sin2 θ) =

ρ.

III. Coordonate sferice

Fie functia vectoriala F : R+X[−π2 ,

π2 ]X[0, 2π) → R3, F (ρ, φ, θ) = (ρ cosφ cos θ,

ρ cosφ sin θ, ρ sinφ).

F exprima legatura dintre coordonatele carteziene si coordonatele polare

87

ın spatiu:

x = ρ cosφ cos θ

y = ρ cosφ sin θ

z = ρ sinφ

, ρ > 0, φ ∈ [−π2 ,

π2 ], θ ∈ [0, 2π).

F este diferentiabila peDdeschis ⊂ R+X[−π2 ,

π2 ]X[0, 2π) deoarece f1, f2, f3 :

R+X[−π2 ,

π2 ]X[0, 2π) → R sunt diferentiabile pe D (fiind de clasa C1), unde

f1(ρ, φ, θ) = ρ cosφ cos θ, f2(ρ, φ, θ) = ρ cosφ sin θ, f3(ρ, φ, θ) = ρ sinφ.

JF (ρ, φ, θ) =

∂f1∂ρ

∂f1∂φ

∂f1∂θ

∂f2∂ρ

∂f2∂φ

∂f2∂θ

∂f3∂ρ

∂f3∂φ

∂f3∂θ

=

=

cosφ cos θ −ρ sinφ cos θ −ρ cosφ sin θcosφ sin θ −ρ sinφ sin θ ρ cosφ cos θ

sinφ ρ cosφ 0

det JF (ρ, φ, θ) =

D(f1, f2, f3)

D(ρ, φ, θ)=

=

∣∣∣∣∣∣cosφ cos θ −ρ sinφ cos θ −ρ cosφ sin θcosφ sin θ −ρ sinφ sin θ ρ cosφ cos θ

sinφ ρ cosφ 0

∣∣∣∣∣∣ = −ρ2 cosφ.

Propozitia 6.1.16. Fie D ⊂ Rn o multime deschisa.

i) Daca F,G : D → Rm sunt diferentiabile ın a ∈ D, atunci:

a) F +G este diferentiabila ın a si

d(F +G)(a) = dF (a) + dG(a);

b) ∀λ ∈ R, λF este diferentiabila ın a si d(λF )(a) = λdF (a);

ii) Daca F : D → R, G : D → Rm sunt diferentiabile ın a ∈ D, atunciFG este diferentiabila ın a si

d(F ·G)(a) = F (a) · dG(a) +G(a) · dF (a).

Teorema 6.1.17 (a diferentiabilitatii compuse). (legea lantului) Fie F :Ddeschis ⊂ Rn → ∆deschis ⊂ Rm, G : ∆ → Rp si a ∈ D. Daca F estediferentiabila ın a si G este diferentiabila ın b = F (a) ∈ ∆, atunci aplicatiacompusa G F : D → Rp este diferentiabila ın a si

d(G F )(a) = dG(F (a)) dF (a).

88

Teorema 6.1.18. In conditiile teoremei anterioare,

JGF (a)︸︷︷︸∈Mp,n(R)

= JG(F (a))︸︷︷︸∈Mp,m(R)

· JF (a)︸︷︷︸∈Mm,n(R)

.

Observatia 6.1.19. Formula anterioara exprima concentrat toate regulileposibile de derivare (partiala) compusa pe care le vom obtine prin particu-larizari convenabile. Derivatele partiale compuse se utilizeaza ın teoremeleecuatiilor cu derivate partiale, la transformarea ecuatiilor diferentiale prinschimbari de variabile etc.

Teorema 6.1.20. In conditiile teoremei anterioare, daca ın particular m =n = p, F = (f1, f2, . . . , fn), G = (g1, g2, . . . , gn),H = GF = (h1, h2, . . . , hn),unde

hi(x1, x2, . . . , xn) = gi(f1(x1, x2, . . . , xn)︸︷︷︸y1

, f2(x1, x2, . . . , xn)︸︷︷︸y2

, . . . , fn(x1, x2, . . . , xn)︸︷︷︸yn

),∀i =

1, n, atunci

D(h1, h2, . . . , hn)

D(x1, x2, . . . , xn)(a) =

D(g1, g2, . . . , gn)

D(y1, y2, . . . , yn)(b) · D(f1, f2, . . . , fn)

D(x1, x2, . . . , xn)(a).

Teorema 6.1.21. Fie f : Ddeschis ⊂ R → ∆deschis ⊂ R2, f(t) = (u(t), v(t)),∀t ∈D, g : ∆ → R. Daca f este diferentiabila pe D si g este diferentiabila pe ∆,atunci h = g f : D → R, h(t) = g(f(t)) = g(u(t), v(t)) este derivabila pe Dsi

h′(t) =∂g

∂u· u′(t) + ∂g

∂v· v′(t),∀t ∈ D.

Teorema 6.1.22. Fie F : Ddeschis ⊂ R2 → ∆deschis ⊂ R2,

F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)),∀(x, y) ∈ D,G : ∆ → R.Daca F este diferentiabila pe D si G este diferentiabila pe ∆, atunci H =

GF : D → R,H(x, y) = G(F (x, y)) = G(u(x, y), v(x, y)) este diferentiabilape D si

∂H∂x = ∂G

∂u · ∂u∂x + ∂G

∂v · ∂v∂x ,

∂H∂y = ∂G

∂u · ∂u∂y + ∂G

∂v · ∂v∂y ,

∀(x, y) ∈ D.

Teorema 6.1.23 (Teorema de medie pentru functii vectoriale). Fie D ⊂ Rn

o multime deschisa si convexa si fie F : D → Rm o functie diferentiabila peD. Daca ∃ M ≥ 0 asa ca ∥dF (x)∥ ≤M , ∀x ∈ D, atunci

∥F (b)− F (a)∥ ≤M∥b− a∥,∀a, b ∈ D.

89

Teorema functiilor implicite (TFI).

Fie ecuatia implicita F (x, y) = 0. Dorim sa rezolvam aceasta ecuatie,macar local, obtinand explicit una dintre variabile functie de cealalta. Deexemplu, sa obtinem local y = φ(x) (la fel se poate pune problema pentrua obtine x = ψ(y).

Nota. Termenul implicit a fost introdus de Leonard Euler.

Teorema 6.1.24 (o ecuatie cu doua necunoscute). Fie Ωdeschisa ⊂ R2,ecuatia F (x, y) = 0, unde F : Ω → R si fie (x0, y0) ∈ Ω o solutie a ecuatiei.Presupunem ca:

i) F ∈ C1(D), unde D = D(x0, y0) ⊂ Ω este un dreptunghi deschis cucentrul ın (x0, y0), caracterizat prin inegalitatile D : |x−x0| < a, |y−y0| < b;

ii) F ′y(x0, y0) = 0.

Atunci exista o vecinatate deschisa V = V (x0) ⊂ (x0 − a, x0 + a) si ovecinatate deschisa U = U(y0) ⊂ (y0 − b, y0 + b) astfel ıncat ∀x ∈ V (x0),ecuatia are solutie unica y = φ(x) ∈ U(y0).

Mai mult, functia solutie φ ∈ C1(V (x0)) (daca, mai mult, F ∈ Ck(D), k ≥2, atunci φ ∈ Ck(V (x0))) si derivata sa este data de formula

φ′(x) = −F′x(x, φ(x))

F ′y(x, φ(x))

,∀x ∈ V (x0).

Verificarea formulei: ∀x ∈ V (x0), F (x, φ(x)) = 0. Derivand partial ınraport cu x, obtinem F ′

x(x, φ(x)) + F ′y(x, φ(x)) · φ′(x) = 0, ∀x ∈ V (x0), de

unde rezulta formula.

Forma mai generala decat cea data anterior:

Teorema 6.1.25 (o ecuatie cu doua necunoscute). Fie Ωdeschisa ⊂ R2,ecuatia F (x, y) = 0, unde F : Ω → R si fie (x0, y0) ∈ Ω o solutie a ecuatiei.

I. Presupunem ca:

i) F ∈ C(D), unde D = D(x0, y0) ⊂ Ω este un dreptunghi deschis cucentrul ın (x0, y0), caracterizat prin inegalitatile D : |x−x0| < a, |y−y0| < b;

ii) F este partial derivabila ın raport cu y pe D,F ′y este continua pe D

si F ′y(x0, y0) = 0.

Atunci ∃Vdeschisa = V (x0) ⊂ (x0−a, x0+a) si ∃Udeschisa = U(y0) ⊂ (y0−b, y0+b) astfel ıncat ∀x ∈ V (x0), ecuatia are solutie unica y = φ(x) ∈ U(y0).

II. Daca F ∈ Ck(D), k ≥ 1, atunci φ ∈ Ck(V (x0))).

Teorema 6.1.26 (o ecuatie cu trei necunoscute). Fie ecuatia F (x, y, z) = 0,unde F : Ωdeschisa ⊂ R3 → R si fie (x0, y0, z0) ∈ Ω o solutie a ecuatiei.Presupunem ca:

90

i) F ∈ C1(P ), unde P = P (x0, y0, z0) ⊂ Ω este un paralelipiped deschiscu centrul ın (x0, y0, z0), caracterizat prin inegalitatile P : |x− x0| < a, |y−y0| < b, |z − z0| < c;

ii) F ′z(x0, y0, z0) = 0.

Atunci ∃Vdeschisa = V (x0, y0) ⊂ D(x0, y0)(: |x − x0| < a, |y − y0| <b),∃Udeschisa = U(z0) ⊂ (z0 − c, z0 + c) astfel ıncat ∀(x, y) ∈ V (x0, y0),ecuatia F (x, y, z) = 0 are solutie unica z = φ(x, y) ∈ U(z0).

Mai mult, functia solutie φ ∈ C1(V (x0, y0)) si derivatele sale partialesunt date de formulele

φ′x(x, y) = −F

′x(x, y, φ(x, y))

F ′z(x, y, φ(x, y))

,

φ′y(x, y) = −

F ′y(x, y, φ(x, y))

F ′z(x, y, φ(x, y))

,∀(x, y) ∈ V (x0, y0).

Verificarea formulelor: prin derivare partiala compusa:∀(x, y) ∈ V (x0, y0), F (x, y, φ(x, y)) = 0, de unde F ′

x(x, y, φ(x, y)) +F ′z(x, y, φ(x, y))·φ′

x(x, y) = 0 si F ′y(x, y, φ(x, y))+F

′z(x, y, φ(x, y))·φ′

y(x, y) =0, ∀(x, y) ∈ V (x0, y0).

Teorema 6.1.27 (o ecuatie cu n necunoscute). se rezolva recursiv.Fie F (x1, x2, . . . , xn) = 0, unde F : Ωdeschisa ⊂ Rn → R, o solutie a

acestei ecuatii fiind F (x01, x02, . . . , x

0n) = 0.

Presupunand ca F ∈ C1, F ′xn(x01, x

02, . . . , x

0n) = 0, obtinem local xn =

φ(x1, x2, . . . , xn−1), ceea ce antreneaza F (x1, x2, ...xn−1, φ(x1, x2, . . . , xn−1)) =0, deci o ecuatie cu n− 1 necunoscute etc.

Teorema 6.1.28. Fie F : AXB ⊂ Rn+1 → R, A ⊂ Rn, B ⊂ R, a =

(a1, a2, . . . , an) ∈A, b ∈

B. Daca:

i) F (a, b) = 0;ii) ∃UXV ⊂ AXB, UXV ∈ V(a, b) astfel ıncat F ∈ C1(UXV );iii) ∂F

∂y (a, b) = 0,atuncia) exista o vecinatate deschisa U0 ⊂ U a lui a,o vecinatate deschisa

V0 ⊂ V a lui b si o functie unica f : U0 → V0 astfel ıncat f(a) = b siF (x, f(x)) = 0,∀x ∈ U0;

b) f ∈ C1(U0) si∂f∂xi

(x) = −∂F∂xi

(x,f(x))

∂F∂y

(x,f(x)), i = 1, n, ∀x ∈ U0;

c) daca F ∈ Ck(UXV ), k ≥ 1, atunci f ∈ Ck(U0).

Aplicatie la TFI.

91

Consideram o curba y = y(x) ın R2 data implicit de F (x, y) = 0. Atunci,daca ın vecinatatea unui punct (x0, y0) al acestei curbe sunt ındepliniteconditiile din TFI, exista o vecinatate a acestui punct ın care graficul curbeicoincide cu graficul functiei y = f(x) date de teorema. Mai mult, curbaadmite tangenta ın (x0, y0), de panta f ′(x0). Astfel, ecuatia tangentei estey − y0 = f ′(x0)(x− x0).

Tinand seama de expresia lui f ′(x0) din TFI, obtinem ecuatia tangen-tei la curba ın (x0, y0) :

(x− x0)∂F∂x (x0, y0) + (y − y0)

∂F∂y (x0, y0) = 0,

iar ecuatia normalei la curba ın (x0, y0) :

(x− x0)∂F∂y (x0, y0)− (y − y0)

∂F∂x (x0, y0) = 0.

Sisteme de ecuatii.

Teorema 6.1.29 (doua ecuatii cu trei necunoscute). Fie Ωdeschisa ⊂ R3,

F,G : Ω → R si (x0, y0, z0) ∈ Ω o solutie a sistemului (1)

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Presupunem ca:

i) F,G ∈ C1(P ), unde P = P (x0, y0, z0) este un paralelipiped deschis cucentrul ın (x0, y0, z0), caracterizat prin P : |x−x0| < a, |y−y0| < b, |z−z0| <c.

ii) D(F,G)D(y,z) (x0, y0, z0) = 0.

Atunci ∃Vdeschisa = V (x0) ⊂ (x0 − a, x0 + a),∃Udeschisa

= U(y0, z0) ⊂D(y0, z0)(: |y − y0| < b, |z − z0| < c) astfel ıncat ∀x ∈ V (x0), sistemul (1)are solutie unica (y, z) ∈ U(y0, z0) : y = φ(x), z = ψ(x), si functiile solutieφ,ψ ∈ C1(V ).

Teorema 6.1.30 (derivabilitatea functiei inverse). Daca f : Iinterval deschis ⊂R → R este derivabila pe I si f ′(x) = 0, ∀x ∈ I, atunci ∃ f−1 : f(I) → I,este derivabila pe f(I) si (f−1)′(y) = 1

f ′(f−1(y)), ∀y ∈ f(I).

Vom prezenta ın continuare generalizarea la Rn a acestui rezultat, care seobtine folosind TFI (forma generala): rolul derivatei va fi jucat de jacobianulfunctiei, despre care se va presupune ca este, de clasa C1 (deci mai mult decatdiferentiabila):

Teorema 6.1.31 (de inversare locala). Fie F = (f1, f2, .., fn) : Ddeschisa ⊂Rn → Rn, F ∈ C1(D) si a ∈ D. Daca det JF (a) = 0, atunci ∃Vdeschisa ∈V(a), V ⊂ D astfel ca multimea F (V ) este deschisa si F stabileste un difeo-morfism (sau transformare regulata) ıntre V si F (V ) (adica ∃F−1 : F (V ) →V si F−1 ∈ C1(F (V ))).

92

Mai mult, daca notam F−1(y) = (φ1(y), φ2(y), .., φn(y)), atunci

D(φ1, φ2, .., φn)

D(y1, y2, .., yn)(F (a)) =

1D(f1,f2,..,fn)D(x1,x2,..,xn)

(a).

Exemplul 6.1.32. [la rezolvarea locala a sistemelor de ecuatii] Fie sistemul

de ecuatii

f1(x1, x2, . . . , xn) = y1

f2(x1, x2, . . . , xn) = y2

...

fn(x1, x2, . . . , xn) = yn,

f1, f2, . . . , fn : D → R, fiind functii de clasa C1 pe D.

Daca ∃a ∈ D astfel ıncat D(f1,f2,...,fn)D(x1,x2,...,xn)

(a) = 0, atunci ∃U ∈ V(f1(a), f2(a), . . . , fn(a))astfel ıncat ∀y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ U , sistemul de ecuatii are solutie unicaıntr-o vecinatate a punctului a.

——————————————————————

In continuare vom prezenta metoda multiplicatorilor lui Lagrange pentrudeterminarea extremelor cu legaturi.

In aplicatii apar de multe ori situatii de genul urmator:

Fie f : Ddeschisa ⊂ Rn → R, variabilele x1, x2, . . . , xn fiind supuse la

conditiile (legaturile)

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0,

g2(x1, x2, . . . , xn) = 0,

...

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0,

unde g1, . . . , gm : D → R.

Dorim sa determinam punctele de extrem local ale functiei f ın acesteconditii.

In acest caz, extremele functiei se vor numi extreme conditionate ( saucu legaturi).

Vom folosi metoda numita metoda lui Lagrange.

Consideram functia lui Lagrange

L(x1, x2, . . . , xn, λ1, λ2, . . . , λm) = f(x1, x2, . . . , xn)+λ1g1(x1, x2, . . . , xn)+...+λmgm(x1, x2, . . . , xn); λ1, . . . , λm ∈ R se numesc multiplicatori Lagrange.

Teorema 6.1.33 (conditii necesare de extrem local). Fie f, g : D → R declasa C1 pe D. Daca (x0, y0) este punct de extrem local pentru f conditionatde g si nu este punct singular pentru ecuatia (1) (adica g′x(x0, y0) = 0 saug′y(x0, y0) = 0), atunci ∃λ0 ∈ R astfel ıncat (x0, y0) sa fie punct critic pentruL(x, y, λ0).

93

Conditii suficiente de extrem.

Fie f, g ∈ C2(D). Presupunem ca (x0, y0) este punct critic pentru functia

lui Lagrange, deci este solutie a sistemului

L′x = 0

L′y = 0

L′λ = 0

⇔

f ′x(x, y) + λg′x(x, y) = 0

f ′y(x, y) + λg′y(x, y) = 0

g(x, y) = 0.

Aplicand formula lui Taylor de ordin 2 functiei L(x, y, λ0) se poate arataca pentru ca punctul critic sa fie punct de extrem (minim, respectiv, maxim)local conditionat este suficient ca d2L(x0, y0, λ0) sa fie pozitiv (respectiv,negativ) definita, atunci cand dx, dy satisfac consecintele diferentiale alerelatiei de legatura (se diferentiaza legaturile).

La fel se procedeaza pentru a studia punctele de extrem conditionatpentru functii de n variabile reale.

Rezolvam apoi sistemul

L′x1(x1, x2, . . . , xn) = 0

L′x2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...

L′xn(x1, x2, . . . , xn) = 0

g1(x1, x2, . . . , xn) = 0

g2(x1, x2, . . . , xn) = 0

...

gm(x1, x2, . . . , xn) = 0,

obtinand punctele

critice conditionate Mi, i = 1, p, dupa care se studiaza daca d2L(Mi) estepozitiv (sau, respectiv, negativ) definita (daca este necesar, se diferentiazasi legaturile). Va rezulta corespunzator ca punctul respectiv este de minimlocal conditionat (sau, respectiv, de maxim local conditionat).


6.2.1. Calculati derivatele partiale pentru urmatoarele functii (atat functiilecat si derivatele acestora se vor considera pe domeniile maxime de existenta):

i) f(x, y) = (x2 + y2)arctg xy ;

ii) f(x, y) = xy√x2+y2

;

iii) f(x, y) = x ln(xy);

iv) f(x, y, z) = ex2+y2 sin2 z;

v) f(x, y, z) = eyz ln z

x ;

vi) f(x, y, z) = xy + yz + zx;

vii) f(x, y, z) = 1xy + 1

x2z+ 1

y3z2;

94

viii) f(x, y, z) =√x+yz arcsin x2−y2

z2.

Solutie 6.2.1. Rezolvare. Se aplica regulile uzuale de derivare.

6.2.2. Aratati ca f(x, y, z) = ln(tgx+ tgy+ tgz) verifica relatia sin 2x · ∂f∂x +sin 2y · ∂f

∂y + sin 2z · ∂f∂z = 2.

Solutie 6.2.2. ∂f∂x = 1

tgx+tgy+tgz · 1cos2 x

si, prin simetrie (sau direct) ∂f∂y =

1tgx+tgy+tgz ·

1cos2 y

, ∂f∂z = 1tgx+tgy+tgz ·

1cos2 z

, deci sin 2x · ∂f∂x+sin 2y · ∂f∂y +sin 2z ·∂f∂z = 1

tgx+tgy+tgz · 2(tgx+ tgy + tgz) = 2.

6.2.3. Aratati ca functiile urmatoare verifica ecuatiile indicate:i) f : R2 → R, f(x, y) = ex cos y : ∆f = ∂2f

∂x2 + ∂2f∂y2

= 0 (ecuatia lui

Laplace);

ii) f : R2 → R, f(x, y) = ex sin y : ∆f = ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2= 0;

iii) f : R3\(0, 0, 0) → R, f(x, y, z) = 1√x2+y2+z2

,∀(x, y, z) = (0, 0, 0) :

∆f = ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2+ ∂2f

∂z2= 0.

Solutie 6.2.3. i) ∂2f∂x2 = ∂

∂x(∂f∂x ) = ex cos y, ∂

2f∂y2

= ∂∂y (

∂f∂y ) = −ex cos y, de

unde ∆f = ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2= 0.

ii) ∂2f∂x2 = ∂

∂x(∂f∂x ) = ex sin y, ∂

2f∂y2

= ∂∂y (

∂f∂y ) = −ex sin y, de unde ∆f =

∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2= 0.

iii) f(x, y, z) = 1√x2+y2+z2

= (x2 + y2 + z2)−12 .

∂f∂x = (−1

2) · 2x · (x2 + y2 + z2)−32 = −[x(x2 + y2 + z2)−

32 ], deci ∂2f

∂x2 =∂∂x(

∂f∂x ) = −(x2 + y2 + z2)−

32 − x · (−3

2) · 2x · (x2 + y2 + z2)−52 =

= −(x2 + y2 + z2)−32 + 3x2(x2 + y2 + z2)−

52 .

Prin simetrie sau direct, ∂2f∂y2

= −(x2+ y2+ z2)−32 +3y2(x2+ y2+ z2)−

52 ,

∂2f∂z2

= −(x2 + y2 + z2)−32 + 3z2(x2 + y2 + z2)−

52 , de unde ∆f = ∂2f

∂x2 +∂2f∂y2

+ ∂2f∂z2

= 0.

6.2.4. Fie f : R2 → R,

i) f(x, y) =

xy(x2−y2)x2+y2

, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

ii) f(x, y) =

x3y

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Aratati ca ∂2f∂x∂y (0, 0) =

∂2f∂y∂x(0, 0).

95

Solutie 6.2.4. i) ∂2f∂x∂y (0, 0) =

∂∂x(

∂f

∂y︸︷︷︸not.= g

)(0, 0) = ∂g∂x(0, 0) = lim

x→0

g(x,0)−g(0,0)x =

limx→0

∂f∂y

(x,0)− ∂f∂y

(0,0)

x .

∂f∂y (0, 0) = lim

y→0

f(0,y)−f(0,0)y = 0, ∂f∂y (x, 0) = lim

y→0

f(x,y)−f(x,0)y = lim

y→0

xy(x2−y2)

x2+y2

y =

x,

deci ∂2f∂x∂y (0, 0) = lim

x→0

x−0x = 1.

Analog,∂2f∂y∂x(0, 0) =

∂∂y (

∂f

∂x︸︷︷︸not.= h

)(0, 0) = ∂h∂y (0, 0) = lim

y→0

h(0,y)−h(0,0)y = lim

x→0

∂f∂x

(x,0)− ∂f∂x

(0,0)

y .

∂f∂x (0, 0) = lim

x→0

f(x,0)−f(0,0)x = 0, ∂f∂x (0, y) = lim

x→0

f(x,y)−f(0,y)x = lim

x→0

xy(x2−y2)

x2+y2

x =

−y,deci ∂2f

∂x∂y (0, 0) = limy→0

−yy = −1,

asadar ∂2f∂x∂y (0, 0) =

∂2f∂y∂x(0, 0).

ii) ∂2f∂x∂y (0, 0) =

∂∂x(

∂f

∂y︸︷︷︸not.= g

)(0, 0) = ∂g∂x(0, 0) = lim

x→0

g(x,0)−g(0,0)x = lim

x→0

∂f∂y

(x,0)− ∂f∂y

(0,0)

x .

∂f∂y (0, 0) = lim

y→0

f(0,y)−f(0,0)y = 0, ∂f∂y (x, 0) = lim

y→0

f(x,y)−f(x,0)y = lim

y→0

x3y

x2+y2

y =

x,


x→0

x−0x = 1.

Analog,∂2f∂y∂x(0, 0) =

∂∂y (

∂f

∂x︸︷︷︸not.= h

)(0, 0) = ∂h∂y (0, 0) = lim

y→0

h(0,y)−h(0,0)y = lim

x→0

∂f∂x

(x,0)− ∂f∂x

(0,0)

y .

∂f∂x (0, 0) = lim

x→0

f(x,0)−f(0,0)x = 0, ∂f∂x (0, y) = lim

x→0

f(x,y)−f(0,y)x = lim

x→0

x3y

x2+y2

x =

0,


y→0

0y = 0,

asadar ∂2f∂x∂y (0, 0) =

∂2f∂y∂x(0, 0).

6.2.5. Aratati ca functia f : R2 → R, f(x, y) =

1, x = 0si x = 0

0, x = 0 sau y = 0nu

96

este continua ın origine, dar admite derivate partiale ın origine.

Solutie 6.2.5. f nu este continua deoarece nici nu exista lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) :

( 1n , 0) → (0, 0), ( 1n ,1n) → (0, 0), f( 1n , 0) = 0 → 0, f( 1n ,

1n) = 1 → 1 = 0.

∂f∂x (0, 0) = lim

x→0

f(x,0)−f(0,0)x = lim

x→0

0−0x = 0, ∂f∂y (0, 0) = lim

y→0

f(0,y)−f(0,0)y =

limy→0

0−0y = 0, ceea ce arata ca f este partial derivabila ın (0, 0).

6.2.6. Aratati ca functiile urmatoare verifica ecuatiile indicate:i) f(x, y) = φ( yx) : xf

′x + yf ′y = 0;

ii) f(x, y) = xyφ(x2 − y2) : xy2f ′x + x2yf ′y = (x2 + y2)f ;iii) f(x, y) = xy + xφ( yx) : xf

′x + yf ′y = xy + f.

Solutie 6.2.6. i) f ′x = φ′( yx) · (−yx2 ), f

′x = φ′( yx) ·

1x , de unde xf ′x + yf ′y = 0.

ii) f ′x = yφ(x2−y2)+xyφ′(x2−y2) ·2x = yφ(x2−y2)+2x2yφ′(x2−y2),f ′y = xφ(x2−y2)+xyφ′(x2−y2)·(−2y) = xφ(x2−y2)−2xy2yφ′(x2−y2),deci xy2f ′x + x2yf ′y = (x2 + y2)f.

iii) f ′x = y + φ( yx) + xφ′( yx) · (−yx2 ) = y + φ( yx)−

yxφ

′( yx),f ′y = x+ xφ′( yx) ·

1x = x+ φ′( yx), de unde xf ′x + yf ′y = xy + f.

6.2.7. Aratati ca functia f(x, y, z) = φ(xy, x2 + y2 − z2) verifica relatiaxz ∂f∂x − yz ∂f∂y + (x2 − y2)∂f∂z = 0.

Solutie 6.2.7. Fie u(x, y, z) = xy, v(x, y, z) = x2+y2−z2.Atunci f(x, y, z) =f(u(x, y, z), v(x, y, z)).

Aplicand formulele de derivare partiala compusa avem:

∂f

∂x=

∂f

∂u

∂u

∂x+∂f

∂v

∂v

∂x=∂f

∂u· y + ∂f

∂v· 2x,

∂f

∂y=

∂f

∂u

∂u

∂y+∂f

∂v

∂v

∂y=∂f

∂u· x+

∂f

∂v· 2y,

∂f

∂z=

∂f

∂u

∂u

∂z+∂f

∂v

∂v

∂z=∂f

∂u· 0 + ∂f

∂v· (−2z).

Prin urmare, xz ∂f∂x − yz ∂f∂y + (x2 − y2)∂f∂z =

= xz(∂f∂u · y + ∂f∂v · 2x)− yz(∂f∂u · x+ ∂f

∂v · 2y) + (x2 − y2)(∂f∂v · (−2z)) = 0.

6.2.8. Calculati ∂f∂x ,

∂f∂y pentru:

i) f(u, v) = ln(u2 + v), u = u(x, y) = ex+y2 , v = v(x, y) = x2 + y;ii) f(u, v) = arctg u

v , u = u(x, y) = x sin y, v = v(x, y) = x cos y.

97

Solutie 6.2.8. i)

∂f

∂x=

∂f

∂u

∂u

∂x+∂f

∂v

∂v

∂x=

2u

u2 + v· ex+y2 +

v

u2 + v· 2x =

=2e2(x+y2)

e2(x+y2) + x2 + y+

2x(x2 + y)

e2(x+y2) + x2 + y,

∂f

∂y=

∂f

∂u

∂u

∂y+∂f

∂v

∂v

∂y=

2u

u2 + v· 2y · ex+y2 +

v

u2 + v=

=4ye2(x+y2)

e2(x+y2) + x2 + y+

x2 + y

e2(x+y2) + x2 + y.

Observatie. Evident, acelasi rezultat se putea obtine si facand ınlocuirilede la ınceput: f(x, y) = ln(e2(x+y2) + x2 + y), dupa care se deriveaza partialın raport cu x, respectiv, y.

ii) Se rationeaza asemanator.

6.2.9. Aratati ca daca f : R2 → R este diferentiabila, atunci functia w =f(x+y, x−y) are derivate partiale ce verifica relatia ∂w

∂x ·∂w∂y = (∂f∂u)

2−(∂f∂v )2,

unde u = u(x, y) = x+ y, v = v(x, y) = x− y.

Solutie 6.2.9. Avem w = f(x+ y, x− y) = f(u(x, y), v(x, y)).Aplicand formulele de derivare partiala compusa avem:

∂w

∂x=

∂f

∂u

∂u

∂x+∂f

∂v

∂v

∂x=∂f

∂u+∂f

∂v,

∂w

∂y=

∂f

∂u

∂u

∂y+∂f

∂v

∂v

∂y=∂f

∂u− ∂f

∂v,

deci ∂w∂x · ∂w

∂y = (∂f∂u + ∂f∂v ) · (

∂f∂u − ∂f

∂v ) = (∂f∂u)2 − (∂f∂v )

2.

6.2.10. Calculati f ′(x) daca f(x) = φ(u(x), v(x)), pentru:i) φ(u, v) = u+ uv, u = u(x) = cosx, v = v(x) = sinx;ii) φ(u, v) = eu−2v, u = u(x) = x2, v = v(x) = x2 − 2.

Solutie 6.2.10.

f ′(x) =∂φ

∂u(u, v) · u′(x) + ∂φ

∂v(u, v) · v′(x).

a) f ′(x) = (1 + v) · (− sinx) + u · cosx = − sinx(1 + sinx) + cos2(x).b) f ′(x) = eu−2v · 2x+ (−2)eu−2v · 2x = −2xex

2−2(x2−2) = −2xe4−x2.

6.2.11. Cercetati daca functia f(x, y) = eyφ(yex2

2y2 ) verifica relatia (x2 −y2)∂f∂x + xy ∂f

∂y = xy.

98

Solutie 6.2.11. ∂f∂x = eyφ′(ye

x2

2y2 ) · xy2,

∂f∂y = eyφ(ye

x2

2y2 ) + eyφ′(yex2

2y2 ) · x2

2 · −2y3

= eyφ(yex2

2y2 )− eyφ′(yex2

2y2 ) · x2

y3.

Inlocuind, se obtine relatia ceruta.

6.2.12. Daca functia explicita z = f(x, y) este definita implicit prin (y +z) sin z−y(x+z) = 0, atunci este satisfacuta ecuatia z sin z ·z′x−y2 ·z′y = 0.

Solutie 6.2.12. Intr-adevar, fie F (x, y, z) = (y + z) sin z − y(x + z). F ∈C1(R3). Aplicand (formal) TFI, se obtine explicit z = f(x, y),

z′x = −F ′x

F ′z= y

(y+z) cos z+sin z−y , z′y = −F ′

y

F ′z= − sin z+x+z

(y+z) cos z+sin z−y , deci, facandınlocuirile se verifica relatia ceruta.

6.2.13. Functiile u = φ(x, y), v = ψ(x, y) sunt definite implicit de relatiileu+ v = x+ y

xu+ yv = 1.Calculati u′x, v

′x, u

′y, v

′y.

Solutie 6.2.13. Aplicand (formal) TFI, se obtin u = φ(x, y), v = ψ(x, y),

deci, ınlocuind ın sistem avem

u(x, y) + v(x, y) = x+ y

xu(x, y) + yv(x, y) = 1.

Derivand ın raport cu x, obtinem sistemul

u′x + v′x = 1

u+ xu′x + yv′x = 0,

din care se obtin imediat u′x, v′x.

Similar, prin derivare ın raport cu y, avem

u′y + v′y = 1

xu′y + v + yv′y = 0,

de unde se obtin u′y, v′y.

6.2.14. Se considera functia y = f(x) definita implicit prin relatia x2+y2+2axy = 0, a > 1. Calculati f ′(x), f ′′(x). Justificati rezultatul.

Solutie 6.2.14. Fie F (x, y) = x2+y2+2axy. Deoarece F ∈ C1(1), conform

TFI avem explicit y = f(x) si f ′(x) = −F ′x(x,f(x))

F ′x(x,f(x))

= −x+af(x)f(x)+ax . Prin urmare,

f ′′(x) = (f ′(x))′ = −(x+ af(x)

f(x) + ax)′ =

= −(1− x+af(x)

f(x)+ax) · (f(x) + ax)− (x+ af(x)) · (−x+af(x)f(x)+ax + a)

(f(x) + ax)2.

Efectuand calculele se obtine f ′′(x) = 0, ceea ce era de asteptat ıntrucatrezolvand ecuatia initiala se obtine y = x(−a±

√a2 − 1), deci y′′ = 0.

99

6.2.15. Calculati f ′(1) pentru functia y = f(x) definita implicit de ecuatia(x2 + y2)3 − 3(x2 + y2)− 2 = 0, satisfacand conditia f(1) = 1.

Solutie 6.2.15. Fie F (x, y) = (x2+y2)3−3(x2+y2)−2. Deoarece F (1, 1) =0 si F ∈ C1(1), conform TFI avem explicit y = f(x) si

f ′(x) = −F′x(x, f(x))

F ′x(x, f(x))

= − 6x(x2 + f2(x))2 − 6x

6f(x)(x2 + f2(x))2 − 6f(x)=

= − x(x2 + f2(x))2 − x

f(x)(x2 + f2(x))2 − f(x),

de unde f ′(1) = −1.

6.2.16. Aplicati TFI pentru

F1(x, y, z) = x+ 2y − z − 3

F2(x, y, z) = x3 + y3 + z3 − 2xy, (x0, y0, z0) =

(1, 1, 0), pentru a obtine y = f1(x), z = f2(x).

Solutie 6.2.16. F1, F2 ∈ C1(R3), F1(1, 1, 0) = F2(1, 1, 0) = 0, D(F1,F2)D(y,z) (1, 1, 0) =

7 = 0, deci conform TFI exista V = V (1) ∈ V(1), U = U(1, 0) ∈ V(1, 0) ast-fel ıncat ∀x ∈ V(1), sistemul are solutie unica (y, z) ∈ V(1, 0) si functiilesolutie y = f1(x), z = f2(x) sunt de clasa C1 pe V (1).

Inlocuind ın sistem avem

x+ 2f1(x)− f2(x)− 3 = 0

x3 + f31 (x) + f32 (x)− 2xf1(x) = 0

si derivand (ın raport cu x), se obtin f ′1(x), f′2(x).

6.2.17. Fie z = z(x, y) definita de ecuatia implicita ax2+ by2+ cz2−1 = 0.Calculati derivatele sale partiale de ordinul 2.

Solutie 6.2.17. Fie F (x, y, z) = ax2 + by2 + cz2 − 1. Evident, F ∈ C1(R3).

Aplicand TFI, obtinem explicit z = z(x, y). Avem z′x(x, y, z) = −F ′x(x,y,z(x,y))

F ′z(x,y,z(x,y))

=

−ac ·

xz , z

′y(x, y, z) = −F ′

y(x,y,z(x,y))

F ′z(x,y,z(x,y))

= − bc ·

yz si derivand ınca o data partial ın

raport cu x, respectiv, y, obtinem derivatele partiale de ordinul 2 ale lui z.

∂2z

∂x2= −a

c· z − xz′x

cz= −a

c·z − x− a

c ·xz

cz= − a

c3· cz

2 + ax2

z2,

∂2z

∂y2= −b

c·z − yz′ycz

= −bc·z − y − b

c ·yz

cz= − b

c3· cz

2 + by2

z2,

100

∂2z

∂x∂y=

∂2z

∂y∂x= −a

c· x ·

−z′yz2

=a

c· xz2

(−bycz

) = −abxyc2z3

(sunt egale deoarece F ∈ C2(R3), ceea ce implica z de asemenea de clasaC2, deci derivatele partiale mixte de ordin 2 coincid).

6.2.18. Aratati ca functia explicita z = z(x, y) definita implicit de ecuatiax2+y2+z2 = yf( zy ) (f fiind de clasa C1 pe domeniul sau maxim de definitie)

verifica relatia (x2 − y2 − z2) · ∂z∂x + 2xy · ∂z

∂y = 2xz.

Solutie 6.2.18. Fie F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − yf( zy ). Deoarece f este de

clasa C1, rezulta ca si F este de clasa C1.Aplicand TFI, obtinem explicit z = z(x, y) din ecuatia implicita F (x, y, z) =

0.Avem z′x(x, y, z) = −F ′

x(x,y,z(x,y))F ′z(x,y,z(x,y))

=, z′y(x, y, z) = −F ′y(x,y,z(x,y))

F ′z(x,y,z(x,y))

.

6.2.19. Scrieti ecuatia tangentei si normalei ın punctul (x0, y0) al elipseix2

a2+ y2

b2− 1 = 0.

Solutie 6.2.19. Sa consideram, ın general, o curba y = y(x) ın R2, definitade ecuatia implicita F (x, y) = 0.

Daca ın vecinatatea unui punct (x0, y0) al acestei curbe sunt satisfacuteconditiile din TFI, atunci pe o vecinatate a punctului, graficul functiei y =y(x) coincide cu graficul functiei F (x, y) = 0.

Prin urmare, ecuatia tangentei la curba F (x, y) = 0 ın punctul (x0, f(x0))este y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).

Deoarece f ′(x0) = −F ′x(x0,f(x0))

F ′y(x0,f(x0))

, obtinem asadar

ecuatia tangentei la curba ın punctul (x0, y0) :

(x− x0)F′x(x0, y0) + (y − y0)F

′y(x0, y0) = 0,

de unde obtinem imediatecuatia normalei la curba ın punctul (x0, y0) :

(x− x0)F′y(x0, y0)− (y − y0)F

′x(x0, y0) = 0.

Revenind la problema data, fie F (x, y) = x2

a2+ y2

b2− 1 = 0. Evident,

F ∈ C1(R2).Deoarece F ′

y(x, y) =2yb2

= 0 daca si numai daca y = 0, rezulta ca dacai) (x0, y0) = (a, 0) sau (x0, y0) = (−a, 0), atunci tangenta ın (x0, y0) este

paralela cu axa Oy si are ecuatia y = a, respectiv, y = −a, iar normala ın(x0, y0) are ecuatia x = 0.

101

ii) (x0, y0) = (a, 0) si (x0, y0) = (−a, 0). Suntem atunci ın conditiile TFI.

Prin urmare, ecuatia tangentei la elipsa ın punctul (x0, y0) de pe elipsaeste

(x− x0)2x0a2

+ (y − y0)2y0b2

= 0.

Deoarecex20

a2+

y20b2

= 1, obtinem ın final ca ecuatia tangentei este

xx0a2

+yy0b2

= 1

(prin dedublarea ecuatiei elipsei).

Normala ın punctul (x0, y0) de pe elipsa este atunci

xy0b2

− yx0b2

− x0y0(1

b2− 1

a2) = 0.

6.2.20. Aratati ca, ın conditiile teoremei de existenta si derivabilitate afunctiilor implicite, functia explicita z = z(x, y), definita implicit de ecuatiaF ( zx ,

yx) = 0, satisface ecuatia x · ∂z

∂x + y · ∂z∂y = z.

Solutie 6.2.20. Aplicand TFI, avem zx = φ( yx), deci z = xφ( yx). Asadar,

∂z∂x = φ( yx) + xφ′( yx) · (−

yx2 ),

∂z∂y = xφ′( yx) ·

1x si se verifica x · ∂z

∂x + y · ∂z∂y = z.

6.2.21. Aratati ca functia explicita z = z(x, y), definita implicit de ecuatiaF (xy ,

xx2+y2+z

) = 0, verifica ecuatia x · ∂z∂x + y · ∂z

∂y = z − x2 − y2.

Solutie 6.2.21. Aplicand TFI, avem xx2+y2+z

= φ(xy ), de unde z = xφ(x

y) −

x2 − y2, deci

∂z

∂x= −2x+

φ(xy )− xφ′(xy ) ·1y

φ2(xy ),∂z

∂y= −2y +

φ(xy )− xφ′(xy ) ·−xy

φ2(xy ),

si ınlocuind se verifica relatia.


6.3.1. Fie f : R3 → R, f(x, y, z) = sin√x2 + y2 + z2 si u = (2, 1,−2).

Aflati dfdu(0, 4, 3).

6.3.2. Fie f : R3 → R, f(x, y, z) = x2yz, a = (1, 1, 0), u = (1, 0,−3).Calculati df

du(a).

102

6.3.3. Cercetati derivabilitatea dupa un vector u ∈ Rn ıntr-un punct a ∈ Rn

pentru functiile urmatoare:i) ∥ · ∥ : Rn → R+;ii) ∥ · ∥2 : Rn → R+.

6.3.4. Fie functia f : R2 → R, f(x, y) =

x5

(y−x2)2+x8 , (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

a) Cercetati continuitatea lui f ın (0, 0);b) Studiati derivabilitatea ın (0, 0) a lui f dupa un versor v = (cos θ, sin θ), θ ∈

[0, 2π).


2xy

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Cercetati daca f are derivata ın (0, 0) dupa orice versor v = (cos θ, sin θ), θ ∈[0, 2π).

6.3.6. Calculati dTdu (a), unde T : Rk → R este un operator liniar, iar a ∈

Rk, u ∈ Rk, u = 0 sunt oarecare.

6.3.7. Aratati ca functia f : R2 → R, f(x, y) =

x2y

x6+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

nu este continua ın (0, 0), dar admite derivata ın (0, 0) dupa orice vectoru ∈ R2, u = 0.


xy√x2+y2

, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

i) Aratati ca functia f este continua si admite derivate partiale ın (0, 0),dar nu este diferentiabila ın (0, 0).

ii) Aratati ca functia f este diferentiabila pe R2\(0, 0).


(x2 + y2) sin 1

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Aratati ca f este diferentiabila pe R2, dar nu este de clasa C1 pe R2.

6.3.10. Studiati diferentiabilitatea pe R2 a functiilor urmatoare f : R2 → R:i) f(x, y) =

√|xy|;

ii) f(x, y) = 3√xy;

iii) f(x, y) =

xy

3√

x4+y4, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

103

iv) f(x, y) =

x2y

x6+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0);

v) f(x, y) =

|xy|√x2+y2

, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

6.3.11. Pornind de la definitie, aratati ca functia f(x, y) = x3 + xy + y2

este diferentiabila ın (1, 1). Cum se poate stabili altfel, mai simplu, acestrezultat? Este functia diferentiabila si ın rest?

6.3.12. Daca a ∈ Rn, iar F : Rn → Rm este, pe rand:a) o functie constanta;b) un operator liniar,aratati ca F este diferentiabila si calculati dF (a).

6.3.13. Fie F : R2 → R3, F (x, y) = (x2y, xy+y2, x3−2). Calculati dF (1, 2)(h1, h2),unde (h1, h2) ∈ R2 este oarecare. Scrieti JF (1, 2).

6.3.14. Aratati ca functia f : S((0, 0), r) ⊂ R2 → R ındeplinind conditia

(∗)|f(x, y)| ≤ x2 + y2,∀(x, y) ∈ S((0, 0), r)

este diferentiabila ın (0, 0).

6.3.15. Fie f : R2 → R, f(x, y) =

x3y

x6+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).Studiati:i) diferentiabilitatea lui f ın (0, 0);ii) continuitatea ın (0, 0) pentru functia g : R2 → R2, g(x, y) = (∂f∂x (x, y),

∂f∂y (x, y)).

6.3.16. Fie S o sfera deschisa oarecare din R2 si f : S → R. Aratati ca daca∂f∂x si ∂f

∂y exista si sunt marginite pe S, atunci f este uniform continua peS.

6.3.17. Relatiile

x3 + y3 − z3 = a3

x2 + y2 + z2 = b2definesc implicit y = φ(x), z = ψ(x).

Calculati φ′(x), ψ′(x).

6.3.18. Calculati derivatele partiale azax ,

azay pentru functia explicita z =

z(x, y) definita implicit de x2 − 2y2 + 3z2 − yz + y = 0.

6.3.19. Determinati extremele functiei explicite y = f(x) definita implicitprin x3 + y3 − 3x2y − 3 = 0.

104

6.3.20. Aratati ca ecuatia implicita 1+xyz = e1−xyz+x defineste o functieexplicita z = z(x, y) ın vecinatatea punctului M(1, 1, 1). Calculati apoidz(1, 1).

6.3.21. Aratati ca functia explicita z = z(x, y) de clasa C1 definita implicitde ecuatia:

i) F (x+ zy , y +

zx) = 0 satisface ecuatia xz′x+ yz′y = z − xy;

ii) F (x+y+ z, x2+y2+ z2) = 0 satisface ecuatia (y− z)z′x+(z−x)z′y =x− y.

6.3.22. Calculati d2z ın punctul M(2, 0, 1) pentru functia explicita z =z(x, y) definita implicit de ecuatia 2x2 + 2y2 + z2 − 8xz − z + 8 = 0.

6.3.23. Aratati ca sistemul de ecuatii

x2u2 + xzv + y2 = 0

yzu+ xyv2 − 3x = 0determina

ın mod unic u si v ca functii de x, y, z ıntr-o vecinatate a punctului (u0, v0, x0, y0, z0) =(0, 1, 3, 3,−3). Calculati apoi u′x, u

′y, u

′z, v

′x, v

′y, v

′z.

Solutii

6.3.1.

df

du(0, 4, 3) = lim

t→0

f(a+ tu)− f(a)

t= lim

t→0

f(2t, 4 + t, 3− 2t)− f(0, 4, 3)

t=

= limt→0

sin√

4t2 + (4 + t)2 + (3− 2t)2 − sin 5

t=

2

5cos 5.

6.3.2.

df

du(1, 1, 0) = lim

t→0

f(a+ tu)− f(a)

t= lim

t→0

f(1 + t, 1,−3t)− f((1, 1, 0))

t=

= limt→0

−3t(1 + t)

t= −3.

6.3.3. i) Formal,

df

du(a) = lim

t→0

f(a+ tu)− f(a)

t= lim

t→0

∥a+ tu∥ − ∥a∥t

=

= limt→0

∥a+ tu∥2 − ∥a∥2

t(∥a+ tu∥+ ∥a∥)=

= limt→0

(a+ tu, a+ tu)− ∥a∥2

t(∥a+ tu∥+ ∥a∥)= lim

t→0

t2∥u∥2 + 2t(a, u)

t(∥a+ tu∥+ ∥a∥)= lim

t→0

t∥u∥2 + 2(a, u)

∥a+ tu∥+ ∥a∥.

105

I. Daca a = 0n, atuncidfdu(a) =

2(a,u)∥a∥ , deci ∥ ·∥ este derivabila dupa orice

directie u ∈ Rn ın orice punct a ∈ Rn, a = 0n.

II. Daca a = 0n, atunci (formal) dfdu(0n) = lim

t→0

t∥u∥2∥tu∥ = lim

t→0

t∥u∥2|t|·∥u∥ . Prin

urmare,1) Daca u = 0n, atunci

dfdu(0n) = lim

t→0

t∥u∥|t| = ∥u∥lim

t→0

t|t| nu exista (deoarece

limt→0

t|t| nu exista), deci ∥·∥ nu are derivata dupa nici o directie u ∈ Rn, u = 0n,

ın punctul a = 0n.

2) Daca u = 0n, atunci dfdu(0n) = lim

t→0

∥0n∥−∥0n∥t = 0, deci ∥ · ∥ este

derivabila dupa directia u = 0n ın punctul a = 0n.

ii)

df

du(a) = lim

t→0

f(a+ tu)− f(a)

t= lim

t→0

∥a+ tu∥2 − ∥a∥2

t= lim

t→0(t∥u∥2 + 2(a, u)) =

= 2(a, u).

6.3.4. a) f nu este continua ın (0, 0) deoarece nu exista lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) :

( 1n , 0) → (0, 0), ( 1n ,1n2 ) → (0, 0), f( 1n , 0) = 0 → 0, f( 1n ,

1n2 ) =

1n51n8

= n3 →∞.

b) Formal,

df

dv(0, 0) = lim

t→0

f(tv)− f(0, 0)

t= lim

t→0

f(t cos θ, t sin θ)

t=

= limt→0

t5 cos5 t

(t sin t− t2 cos2 t)2 + t8 cos8 t=

= limt→0

t3 cos5 t

(sin t− t cos2 t)2 + t6 cos8 t.

I. Daca sin t = 0, adica, echivalent, t ∈ [0, 2π)\0, π = (0, π) ∪ (π, 2π),atunci df

dv (0, 0) = 0, deci f este derivabila ın (0, 0) dupa toti versorii v =(cos θ, sin θ), θ ∈ (0, π) ∪ (π, 2π).

II. Daca sin t = 0, adica, echivalent, t = 0 sau t = π, atunci:1) pentru t = 0, df

dv (0, 0) = limt→0

t3

t2+t6= 1,

2) pentru t = π, dfdv (0, 0) = lim

t→0

−t3

t2+t6= −1, deci ın situatia II, f este

derivabila ın (0, 0) dupa versorii v1 = (1, 0), v2 = (−1, 0).In concluzie, f nu este continua ın (0, 0), dar este derivabila ın (0, 0)

dupa orice versor.

106

6.3.5. Formal,

df

dv(0, 0) = lim

t→0

f(tv)− f(0, 0)

t= lim

t→0

f(t cos θ, t sin θ)

t=

= limt→0

2t2 cos θ sin θ

t3(cos2 θ + sin2 θ)= lim

t→0

sin 2θ

t.

I. Daca sin 2θ = 0, adica, echivalent, θ ∈ 0, π2 , π,3π2 , ∃ df

dv (0, 0) = 0,deci f este derivabila ın (0, 0) dupa versorii v1 = (1, 0), v2 = (−1, 0), v1 =(0, 1), v1 = (0,−1).

II. Daca sin 2θ = 0, adica, echivalent, θ ∈ [0, 2π)\0, π2 , π,3π2 , atunci

(formal) dfdv (0, 0) = sin 2θlim

t→0

1t .

Intrucat limt→0

1t nu exista, rezulta ca df

dv (0, 0) nu exista, deci f nu are

derivata ın (0, 0) dupa versorii v corespunzatori.

6.3.6. dTdu (a) = lim

t→0

T (a+tu)−T (a)t = lim

t→0

T (a)+tT (u)−T (a)t = T (u).

6.3.7. f nu este continua ın origine:

( 1n , 0) → (0, 0), ( 1n ,1n2 ) → (0, 0), dar f( 1n , 0) = 0 → 0, iar f( 1n ,

1n2 ) =

1n4

1n6+

1n4

→ 1 = 0, deci nici macar nu exista lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

df

du(0, 0) = lim

t→0

f(tu1, tu2)− f(0, 0)

t= lim

t→0

t3u21u2

t6u61+t2u2

2

t= lim

t→0

u21u2t4u61 + u22

=

=

u21

u22, u2 = 0

0, u2 = 0,

deci f este derivabila ın (0, 0) dupa orice vector u ∈ R2, u = 0.

6.3.8. i) f este continua ın (0, 0) :

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2

= lim(x,y)→(0,0)

x√x2+y2

y = 0 (deoarece

−1 ≤ x√x2+y2

≤ 1, y →(x,y)→(0,0)

0), deci lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = f(0, 0).

f este partial derivabila ın (0, 0) :∂f∂x (0, 0) = lim

x→0

f(x,0)−f(0,0)x = lim

x→0

0−0x = 0, ∂f∂y (0, 0) = lim

y→0

f(0,y)−f(0,0)y =

limy→0

0−0y = 0.

107

Daca am presupune prin reducere la absurd ca f este diferentiabila ın

(0, 0), aceasta ar ınsemna ca ∃ lim(x,y)→(0,0)

f(x,y)−f(0,0)−[ ∂f∂x

(0,0)(x−0)+ ∂f∂y

(0,0)(y−0)]√x2+y2

=

0, adica ∃ lim(x,y)→(0,0)

xy√x2+y2√x2+y2

= lim(x,y)→(0,0)

xyx2+y2

= 0, contradictie, deoarece ul-

tima limita nu exista.

ii) Fie (x0, y0) = (0, 0) arbitrar, fixat. Vom arata ca f este diferentiabilaın (x0, y0).

Observam ca exista S((x0, y0), r) asa ca S((x0, y0), r) ∩ (0, 0) = ∅.Prin urmare, ∀(x, y) ∈ S((x0, y0), r), f(x, y) =

xy√x2+y2

, deci pe S((x0, y0), r)

exista si sunt finite ∂f∂x (x, y) =

y3

(x2+y2)32, ∂f∂y (x, y) =

x3

(x2+y2)32, ceea ce ınseamna

ca f este partial derivabila ın raport cu ambele variabile pe S((x0, y0), r).In plus, ∂f

∂x ,∂f∂y sunt continue ın (x0, y0) (compunere de functii elementare).

Prin urmare, conform Criteriului de diferentiabilitate, rezulta ca f estediferentiabila ın (x0, y0) = (0, 0) arbitrar, fixat. In consecinta, f este diferentiabilape R2\(0, 0).

6.3.9. f este continua ın (0, 0) :lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = lim

(x,y)→(0,0)(x2 + y2) sin 1

(x2+y2)= 0 (deoarece −1 ≤

sin 1x2+y2

≤ 1, x2 + y2 →(x,y)→(0,0)

0), deci lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = f(0, 0).


x→0

f(x,0)−f(0,0)x = lim

x→0

x2 sin 1x2

x = limx→0

x sin 1x2 = 0 (deoarece

−1 ≤ sin 1x2 ≤ 1, x →

(x,y)→(0,0)0)

∂f∂y (0, 0) = lim

y→0

f(0,y)−f(0,0)y = lim

y→0

y2 sin 1y2

y = limy→0

y sin 1y2

= 0 (deoarece

−1 ≤ sin 1y2

≤ 1, y →(x,y)→(0,0)

0).

f este diferentiabila ın (0, 0) daca si numai daca exista

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)− f(0, 0)− [∂f∂x (0, 0)(x− 0) + ∂f∂y (0, 0)(y − 0)]√

x2 + y2= 0,

adica, echivalent, ∃ lim(x,y)→(0,0)

(x2+y2) sin 1(x2+y2)√

x2+y2= lim

(x,y)→(0,0)

√x2 + y2 sin 1

x2+y2=

0, adevarat, deoarece −1 ≤ sin 1x2+y2

≤ 1,√x2 + y2 →

(x,y)→(0,0)0.

Cu un rationament similar celui din exercitiul precedent, f este diferentiabilape R2\(0, 0).

108

Prin urmare, f este diferentiabila pe R2.

Sa aratam acum ca f nu este de clasa C1 pe R2.

Avem: ∂f∂x (x, y) =

2x sin 1

x2+y2− 2x

x2+y2cos 1

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

∂f∂y (x, y) =

2y sin 1

x2+y2− 2y

x2+y2cos 1

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Remarcam ca ∂f∂x ,

∂f∂y asunt continue pe R2\(0, 0) (compunere de functii

elementare), deci vom arata ca ∂f∂x nu este continua ın (0, 0) (de altfel, prin

simetrie, nici ∂f∂y nu este continua ın (0, 0)).

Vom stabili, mai mult, ca nu exista lim(x,y)→(0,0)

(2x sin 1x2+y2

− 2xx2+y2

cos 1x2+y2

) :

Avem: lim(x,y)→(0,0)

2x sin 1x2+y2

= 0, iar lim(x,y)→(0,0)

g(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

xx2+y2

cos 1x2+y2

nu exista:

(0, 1n) → (0, 0), ( 1√4nπ

, 1√4nπ

) → (0, 0), g(0, 1n) = 0 → 0, g( 1√4nπ

, 1√4nπ

) =→.

6.3.10. i) Evident, f este continua pe R2.

I. Diferentiabilitatea ın (x0, y0), x0 = 0, y0 = 0 :

a) x0 > 0, y0 > 0 - cadranul I (analog x0 < 0, y0 < 0 - cadranul III).

In aceasta situatie, f(x0, y0) =√x0y0.

Exista S((x0, y0), r) asa ca S((x0, y0), r) ∩ (0, 0) = ∅ si x > 0, y >0,∀(x, y) ∈ S((x0, y0), r), deci f(x, y) =

√xy. Asadar, pe S((x0, y0), r)

exista si sunt finite ∂f∂x ,

∂f∂y , ceea ce ınseamna ca f este partial derivabila ın

raport cu ambele variabile pe S((x0, y0), r). In plus, ∂f∂x ,

∂f∂y sunt continue ın

(x0, y0) (compunere de functii elementare).

Prin urmare, conform Criteriului de diferentiabilitate, rezulta ca f estediferentiabila ın (x0, y0), x0 > 0, y0 > 0 (si (x0, y0), x0 < 0, y0 < 0).

b) x0 > 0, y0 < 0 - cadranul IV (analog x0 < 0, y0 > 0 - cadranul II).

In aceasta situatie, f(x0, y0) =√−x0y0. Analog ca la punctul b), rezulta

ca f este diferentiabila ın (x0, y0), x0 > 0, y0 < 0 (si (x0, y0), x0 < 0, y0 > 0).

II. Diferentiabilitatea ın (0, y0), y0 = 0 (analog (x0, 0), x0 = 0) :

∂f∂x (0, y0) = lim

x→0

f(x,y0)−f(0,y0)x = lim

x→0

√|xy0|x =

√|y0| lim

x→0

√|x|x , care nu ex-

ista ( limx→0,x<0

√|x|x = lim

x→0,x<0

√−xx = −∞, lim

x→0,x>0

√|x|x = lim

x→0,x>0

√xx = ∞).

Prin urmare, f nu este derivabila partial, deci nu este diferentiabila ın(0, y0), y0 = 0 (analog (x0, 0), x0 = 0).

III. Diferentiabilitatea ın (0, 0) :

109


x→0

f(x,0)−f(0,0)x = lim

x→0

0−0x = 0, ∂f∂y (0, 0) = lim

y→0

f(0,y)−f(0,0)y =

limy→0

0−0y = 0.

Daca am presupune ca f este diferentiabila ın (0, 0), aceasta ar ınsemna

ca ∃ lim(x,y)→(0,0)

f(x,y)−f(0,0)−[ ∂f∂x

(0,0)(x−0)+ ∂f∂y

(0,0)(y−0)]√x2+y2

= 0, adica ∃ lim(x,y)→(0,0)

√|xy|√

x2+y2=

0, contradictie, deoarece ultima limita nu exista.

In concluzie, f este diferentiabila pe R2\(0x ∪ 0y) (planul cu exceptiaaxelor de coordonate).

ii) Evident, f este continua pe R2.

I. Diferentiabilitatea ın (x0, y0), x0 = 0, y0 = 0 :

In aceasta situatie, f(x0, y0) = 3√x0y0.

Exista S((x0, y0), r) asa ca S((x0, y0), r) ∩ (0, 0) = ∅ si x = 0, y =0,∀(x, y) ∈ S((x0, y0), r), deci f(x, y) = 3

√xy. Asadar, pe S((x0, y0), r)





(x0, y0) (compunere de functii elementare).

Prin urmare, conform Criteriului de diferentiabilitate, rezulta ca f estediferentiabila ın (x0, y0), x0 = 0, y0 = 0.

II. Diferentiabilitatea ın (0, y0), y0 = 0 (analog (x0, 0), x0 = 0) :∂f∂x (0, y0) = lim

x→0


x→0

3√xy0x =

√y0 lim

x→0

3√x

x /∈ R.Prin urmare, f are derivata partiala, dar nu este derivabila partial, deci

nu este diferentiabila ın (0, y0), y0 = 0 (analog (x0, 0), x0 = 0).

III. Diferentiabilitatea ın (0, 0) :


x→0

f(x,0)−f(0,0)x = lim

x→0

0−0x = 0, ∂f∂y (0, 0) = lim

y→0

f(0,y)−f(0,0)y =

limy→0

0−0y = 0.


ca ∃ lim(x,y)→(0,0)

f(x,y)−f(0,0)−[ ∂f∂x

(0,0)(x−0)+ ∂f∂y

(0,0)(y−0)]√x2+y2

= 0, adica ∃ lim(x,y)→(0,0)

3√xy√

x2+y2=

0, fals, deoarece ultima limita nu exista.

In concluzie, f este diferentiabila pe R2\(0x ∪ 0y) (planul cu exceptiaaxelor de coordonate).

iii) f este continua ın (0, 0) :

110

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

xy3√

x4+y4= 0 (din inegalitatea mediilor avem

x4+y4 ≥ 2x2y2,∀x, y ∈ R, de unde | xy3√

x4+y4| ≤

√x4+y4

√2 3√

x4+y4= 1√

26√x4 + y4 →

(x,y)→(0,0)

0), deci lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = f(0, 0).


x→0

f(x,0)−f(0,0)x = lim

x→0

0x = 0, ∂f

∂y (0, 0) = limy→0

f(0,y)−f(0,0)y =

limy→0

0y = 0.

f este diferentiabila ın (0, 0) daca si numai daca ∃ lim(x,y)→(0,0)

f(x,y)−f(0,0)−[ ∂f∂x

(0,0)(x−0)+ ∂f∂y

(0,0)(y−0)]√x2+y2

=

0, adica, echivalent, ∃ lim(x,y)→(0,0)

xy3√

x4+y4√x2+y2

= 0, fals ıntrucat lim(x,y)→(0,0)

g(x, y) =

lim(x,y)→(0,0)

xy3√

x4+y4√x2+y2

nu exista:

(0, 1n) → 0, ( 1n ,1n) → (0, 0), g(0, 1n) = 0 → 0, g( 1n ,

1n) =

1n2

3√

1n4

√2

n

= n13√2→

∞.Cu un rationament similar celui din exercitiul precedent, f este diferentiabila

pe R2\(0, 0).

iv) Se observa ca f nu este continua ın (0, 0), deci nu este diferentiabilaın (0, 0).

f este diferentiabila pe R2\(0, 0).

v) I. Diferentiabilitatea ın (0, 0) :f este continua ın (0, 0) :

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

|xy|√x2+y2

= lim(x,y)→(0,0)

|x|√x2+y2

|y| = 0 (deoarece

−0 ≤ |x|√x2+y2

≤ 1, y →(x,y)→(0,0)

0), deci lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = f(0, 0).


x→0

f(x,0)−f(0,0)x = lim

x→0

0−0x = 0, ∂f∂y (0, 0) = lim

y→0

f(0,y)−f(0,0)y =

limy→0

0−0y = 0.


ca ∃ lim(x,y)→(0,0)

f(x,y)−f(0,0)−[ ∂f∂x

(0,0)(x−0)+ ∂f∂y

(0,0)(y−0)]√x2+y2

= 0, adica ∃ lim(x,y)→(0,0)

|xy|√x2+y2√x2+y2

=

lim(x,y)→(0,0)

|xy|x2+y2

= 0, fals, deoarece ultima limita nu exista.

II. Diferentiabilitatea ın (x0, y0), x0 = 0, y0 = 0 :a) x0 > 0, y0 > 0 - cadranul I (analog x0 < 0, y0 < 0 - cadranul III).

111

In aceasta situatie, f(x0, y0) =x0y0√x20+y20

.

Exista S((x0, y0), r) asa ca S((x0, y0), r) ∩ (0, 0) = ∅ si x > 0, y >0,∀(x, y) ∈ S((x0, y0), r), deci f(x, y) = xy√

x2+y2. Asadar, pe S((x0, y0), r)





(x0, y0) (compunere de functii elementare).Prin urmare, conform Criteriului de diferentiabilitate, rezulta ca f este

diferentiabila ın (x0, y0), x0 > 0, y0 > 0 (si (x0, y0), x0 < 0, y0 < 0).b) x0 > 0, y0 < 0 - cadranul IV (analog x0 < 0, y0 > 0 - cadranul II).In aceasta situatie, f(x0, y0) =

−x0y0√x20+y20

. Analog ca la punctul b), rezulta

ca f este diferentiabila ın (x0, y0), x0 > 0, y0 < 0 (si (x0, y0), x0 < 0, y0 > 0).III. Diferentiabilitatea ın (0, y0), y0 = 0 (analog (x0, 0), x0 = 0) :

∂f∂x (0, y0) = lim

x→0


x→0

|xy0|√x2+y2

0

x = sgnx, deci f nu este deriv-

abila partial, deci nici diferentiabila ın (0, y0), y0 = 0 (analog (x0, 0), x0 = 0).In concluzie, f este diferentiabila pe R2\(0x ∪ 0y) (planul cu exceptia

axelor de coordonate).

6.3.11. Evident, f este continua pe R2, deci si ın (1, 1).∂f∂x (1, 1) = (3x2 + y)(1,1) = 4, ∂f∂y (1, 1) = (x+ 2y)(1,1) = 3. Asadar, f este

derivabila partial ın raport cu ambele variabile ın (1, 1).Sa studiem acum daca exista si este nula limita

lim(x,y)→(1,1)

f(x,y)−f(1,1)−[ ∂f∂x

(1,1)·(x−1)+ ∂f∂y

(1,1)(y−1)]√(x−1)2+(y−1)2

= lim(x,y)→(1,1)

x3+xy+y2−3−4(x−1)−3(y−1)√(x−1)2+(y−1)2

.

Efectuand schimbarea de variabile x−1 = u, y−1 = v, aceasta limita se

transforma ın lim(u,v)→(0,0)

(u+1)3+(u+1)(v+1)+(v+1)2−3−4u−3v√u2+v2

= lim(u,v)→(0,0)

u3+3u2+v2+uv√u2+v2

=

0, deci f este diferentiabila ın (1, 1).Desigur, acelasi rezultat se putea obtine, mult mai simplu, observand ca

f ∈ C1(R2), deci f este diferentiabila pe R2, ın particular ın (1, 1).

6.3.12. a) Daca F = c (c ∈ R, constanta), observam ca exista dF (a) = T ,

operatorul nul astfel ıncat limx→a

F (x)−F (a)−T (x−a)∥x−a∥ = lim

x→a

c−c∥x−a∥ = 0.

DecidF (a) = 0 : Rn → Rm (operatorul nul).

b) F = T : Rn → Rm (operator liniar), observam ca exista dT (a) = T

astfel ıncat limx→a

F (x)−F (a)−T (x−a)∥x−a∥ = lim

x→a

T (x)−T (a)−T (x−a)∥x−a∥ = lim

x→a

T (x−a)−T (x−a)∥x−a∥ =

0.

112

Deci

dT (a) = T : Rn → Rm (operatorul ınsusi).

6.3.13. Fie f1, f2, f3 : R2 → R, f1(x, y) = x2y, f2(x, y) = xy+y2, f3(x, y) =x3 − 2.

Evident, f1, f2, f3 ∈ C1(R2), deci sunt diferentiabile pe R2 si ın consecintaF este diferentiabila pe R2.

df1(1, 2)(h1, h2) =∂f1∂x (1, 2)h1 +

∂f1∂y (1, 2)h2 = 4h1 + h2,

df2(1, 2)(h1, h2) =∂f2∂x (1, 2)h1 +

∂f2∂y (1, 2)h2 = 2h1 + 5h2,

df3(1, 2)(h1, h2) =∂f3∂x (1, 2)h1 +

∂f3∂y (1, 2)h2 = 3h1,

de unde dF (1, 2)(h1, h2) = (4h1 + h2, 2h1 + 5h2, 3h1).

JF (1, 2) =4 12 53 0

.

6.3.14. Din (∗), avem f(0, 0) = 0.

Aratam ca f este continua ın (0, 0) : trecand la limita ın inegalitatea (∗)se obtine lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) = 0 = f(0, 0).

Calculam ∂f∂x (0, 0),

∂f∂y (0, 0) : din inegalitatea (∗) avem |f(x, 0)| ≤ x2,∀x ∈

(−r, r), de unde |f(x,0)−f(0,0)x | = |f(x,0)x | ≤ |x|,∀x ∈ (−r, r), x = 0, ceea ce

antreneaza ∂f∂x (0, 0) = lim

x→0

f(x,0)−f(0,0)x = 0. Similar, ∂f

∂y (0, 0) = limy→0

f(0,y)−f(0,0)y =

0, deci f este partial derivabila ın (0, 0).

Acum, f este diferentiabila ın (0, 0) daca si numai daca exista

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y)− f(0, 0)− [∂f∂x (0, 0)(x− 0) + ∂f∂y (0, 0)(y − 0)]√

x2 + y2= 0,

adica, echivalent, ∃ lim(x,y)→(0,0)

f(x,y)√x2+y2

= 0, adevarat, deoarece | f(x,y)√x2+y2

|(∗)≤√

x2 + y2 →(x,y)→(0,0)

0.

6.3.15. i) Se observa ca f nu este continua ın origine:

( 1n , 0) → (0, 0), ( 1n ,1n3 ) → (0, 0), dar f( 1n , 0) = 0 → 0, iar f( 1n ,

1n3 ) =

12 → 1

2 = 0, deci nici macar nu exista lim(x,y)→(0,0)

f(x, y).

Deoarece f nu este continua ın origine, rezulta ca nu este diferentiabilaın (0, 0).

113

ii) Continuitatea lui g ın (0, 0) este echivalenta cu continuitatea ın (0, 0)a ambelor functii ∂f

∂x ,∂f∂y . Deoarece ∂f

∂x ,∂f∂y sunt continue pe R2\(0, 0) (com-

punere de functii continue), ar rezulta ca ∂f∂x ,

∂f∂y sunt continue pe R2, asadar

f ∈ C1(R2). Prin urmare, f ar fi diferentiabila pe R2, deci si ın (0, 0), fals,conform punctului i).

In consecinta, g nu este continua ın (0, 0) (pe R2\(0, 0) este).

6.3.16. Vom arata, mai mult, ca f este lipschitziana pe S.∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ S,

|f(x1, y1)− f(x2, y2)| = |f(x1, y1)− f(x1, y2) + f(x1, y2)− f(x2, y2)| ≤≤ |f(x1, y1)− f(x1, y2)|+ |f(x1, y2)− f(x2, y2)| =

= |∂f∂x

(x1, η)| · |y1 − y2|+ |∂f∂x

(x1, η)| · |x1 − x2|.

(s-a aplicat Teorema lui Lagrange functiei φ : [y1, y2] (sau [y2, y1].))

6.3.17. ———–

6.3.18. ——–

6.3.19. ——–

6.3.20. ——-

6.3.21. ———-

6.3.22. ——–

6.3.23. ——–

Capitolul 7

Diferentiabilitate de ordinsuperior


Asa cum am observat anterior, nu este neaparat obligatoriu ca derivatelepartiale mixte pereche de ordin 2 ale unei functii ıntr-un punct sa coincida.

Totusi, ın cele ce urmeaza, vom indica doua conditii suficiente diferitecare asigura egalitatea derivatelor partiale mixte pereche de ordin 2 ale uneifunctii ıntr-un punct.

Teorema 7.1.1 (lui Schwarz). Fie f : Ddeschis ⊂ Rn → R, a ∈ D. Daca∂2f

∂xi∂xj, ∂2f∂xj∂xi

(i, j = 1, n, i = j) ∃ si sunt finite finite pe o ıntreaga vecinatate

V = V (a) ⊂ D si aceste derivate partiale mixte sunt continue ın a, atunci∂2f

∂xi∂xj(a) = ∂2f

∂xj∂xi(a).

Definitia 7.1.2. Fie f : Ddeschis ⊂ Rn → R. Spunem ca:i) f este de clasa Ck (k ≥ 2) pe D (si notam aceasta prin f ∈ Ck(D))

daca f este partial derivabila de ordin k (ın raport cu toate variabilele) peD si toate aceste derivate partiale de ordin k sunt continue pe D;

ii) f este de clasa C∞ pe D (si notam aceasta prin f ∈ C∞(D)) dacaf ∈ Ck(D),∀k ≥ 0.

Observatia 7.1.3. C∞(D) ⊂ ... ⊂ Ck(D) ⊂ Ck−1(D) ⊂ ... ⊂ C0(D) =C(D).

Teorema 7.1.4. Din Teorema lui Schwarz rezulta ca daca f ∈ C2(D), Ddeschis ⊂Rn, atunci ∂2f


∂xj∂xi(a), ∀a ∈ D, ∀i, j = 1, n, i = j.

114

115

Teorema 7.1.5. Fie f : Ddeschis ⊂ Rn → R, a ∈ D. Daca f este derivabilapartial (ın raport cu toate variabilele) pe o vecinatate V = V (a) ⊂ D apunctului a si daca toate derivatele partiale ∂f

∂xi, i = 1, n sunt diferentiabile

ın a, atunci ∂2f∂xi∂xj

(a) = ∂2f∂xj∂xi

(a),∀i, j = 1, n, i = j.

Teorema 7.1.6. Daca f ∈ C2(D), Ddeschis ⊂ Rn, atunci ∂2f∂xi∂xj

(a) = ∂2f∂xj∂xi

(a),

∀a ∈ D, ∀i, j = 1, n, i = j.

Fie f : Ddeschis ⊂ Rn → R diferentiabila ıntr-un punct a ∈ D si ∀i = 1, n,fie pri : Rn → R, ∀h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn pri(h) = hi ∈ R (aplicatiile deproiectie).

Intrucat df(a)(h) =n∑

i=1

∂f∂xi

(a)hi, rezulta ca df(a) =n∑

i=1

∂f∂xi

(a)pri.

Dar aplicatiile de proiectie fiind ın mod evident operatori liniari, avem

d(pri)(a) = pri,∀i = 1, n, deci df(a) =n∑

i=1

∂f∂xi

(a) · d(pri)(a)︸︷︷︸not. (prin conventie)

= dxi

=

n∑i=1

∂f∂xi

(a)dxi,

sau, scris functional,

df =n∑

i=1

∂f

∂xidxi.

Particularizari:1) n = 2 :

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy; df(a1, a2) =

∂f

∂x(a1, a2)dx+

∂f

∂y(a1, a2)dy,

df(a1, a2)(h1, h2) =∂f

∂x(a1, a2)h1 +

∂f

∂y(a1, a2)h2;

2) n = 3 :

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz;

df(a1, a2, a3) =∂f

∂x(a1, a2, a3)dx+

∂f

∂y(a1, a2, a3)dy +

∂f

∂z(a1, a2, a3)dz,

df(a1, a2, a3)(h1, h2, h3) =∂f

∂x(a1, a2, a3)h1+

∂f

∂y(a1, a2, a3)h2+

∂f

∂z(a1, a2, a3)h3.

116

Definitia 7.1.7. Spunem ca f este de 2 ori diferentiabila ın a ∈ D daca feste diferentiabila (deci derivabila partial ın raport cu toate variabilele) peo vecinatate V = V (a) ⊂ D si toate derivatele partiale (de ordinul I) suntdiferentiabile ın a.

In acest caz, numim diferentiala de ordinul II a lui f ın punctul a, functiad2f(a) : Rn → R definita pentru orice h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn prin

d2f(a)(h) =

n∑i=1

n∑j=1

∂2f

∂xi∂xj(a)︸︷︷︸

(=aij)

hihj((=

n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi)

(2)),

unde expresia din paranteza se ridica formal la puterea a doua dupa oformula clasica de tip binomial, ın care puterea semnifica ordinul de derivare.

d2f(a) este o forma patratica, iar matricea asociata acestei forme patraticeeste

Hf (a) =

(∂2f

∂xi∂xj(a)

)i,j=1,n

=

∂2f∂x2

1(a) ∂2f

∂x1∂x2(a) ... ∂2f

∂x1∂xn(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f∂x2

2(a) ... ∂2f

∂x2∂xn(a)

...∂2f

∂xn∂x1(a) ∂2f

∂xn∂x2(a) ... ∂2f

∂x2n(a)

,

numita matricea hessiana asociata functiei f ın punctul a.

Observam ca este o matrice patratica simetrica:∂2f


∂xj∂xi(a),∀i, j = 1, n (datorita Criteriului lui Young).

1) Daca f este functie de doua variabile, atunci

d2f(a)(h) = (h1∂f

∂x(a) + h2

∂f

∂y(a))(2) =

=∂2f

∂x2(a)h21 +

∂2f

∂y2(a)h22 + 2

∂2f

∂x∂y(a)h1h2,

d2f(a) =∂2f

∂x2(a)dx2 +

∂2f

∂y2(a)dy2 + 2

∂2f

∂x∂y(a)dxdy,

2) Daca f este functie de trei variabile, atunci

117

d2f(a)(h) = (h1∂f

∂x(a) + h2

∂f

∂y(a) + h3

∂f

∂z(a))(2) =

=∂2f

∂x2(a)h21 +

∂2f

∂y2(a)h22 +

∂2f

∂z2(a)h23 +

+2∂2f

∂x∂y(a)h1h2 + 2

∂2f

∂y∂z(a)h2h3 + 2

∂2f

∂x∂z(a)h1h3,

d2f(a) =∂2f

∂x2(a)dx2 +

∂2f

∂y2(a)dy2 +

∂2f

∂z2(a)dz2 +

+2∂2f

∂x∂y(a)dxdy + 2

∂2f

∂y∂z(a)dydz + 2

∂2f

∂x∂z(a)dxdz.

Definitia 7.1.8. Fie a ∈ D si f : Ddeschis ⊂ Rn → R.i) Spunem ca f este de q ori diferentiabila ( q ≥ 2) ın a daca f este

diferentiabila de (q − 1) ori pe o vecinatate (deschisa) V = V (a) ⊂ D sitoate derivatele partiale de ordin (q − 1) ale lui f sunt diferentiabile ın a.

In acest caz, numim diferentiala de ordin q a lui f ın punctul a, aplicatiadqf(a) : Rn → R, definita pentru ∀h = (h1, h2, . . . , hn) ∈ Rn, prin

dqf(a)(h) = (

n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi)

(q),

unde expresia din paranteza se ridica formal la puterea simbolica q dupa oformula clasica de tip binomial, ın care puterea exprima ordinul de derivare.

ii) Spunem ca f este de q ori diferentiabila ( q ≥ 2) pe D daca f este deq ori diferentiabila ın orice punct din D.

Observatia 7.1.9. La fel ca pentru cazul q = 2, din Teorema lui Youngrezulta ca derivatele partiale mixte de ordin ≤ q sunt egale.

ii) Daca n = 2, q = 3, (a = (a1, a2), h = (h1, h2)) atunci

d3f(a)(h) = (h1∂f

∂x(a) + h2

∂f

∂y(a))(3) =

=∂3f

∂x3(a)h31 +

∂3f

∂y3(a)h32 + 3

∂3f

∂x2∂y(a)h21h2 + 3

∂2f

∂x∂y2(a)h1h

22,

d3f(a) =∂3f

∂x3(a)dx3 +

∂3f

∂y3(a)dy3 + 3

∂3f

∂x2∂y(a)dx2dy + 3

∂2f

∂x∂y2(a)dxdy2.

118

Teorema 7.1.10 (Taylor). Presupunem ca D ⊂ Rn este o multime de-schisa, a ∈ D (∃S(a, r) ⊂ D)) si f : D → R este de (q+1) ori diferentiabilape S(a, r). Atunci ∀x ∈ S(a, r),∃ξ ∈ (a, x) (sau (x, a))(segmentul deschisdin Rn de capete a, x) astfel ıncat

f(x) = f(a) +1

1!df(a)(x− a) +

1

2!d2f(a)(x− a) + ...+

1

q!dqf(a)(x− a) +

+1

(q + 1)!d(q+1)f(ξ)(x− a)︸︷︷︸

rest Lagrange de ordin q

.


7.2.1. Conditiile din Teorema lui Schwarz sunt suficiente, dar nu neaparat

necesare: Fie f : R2 → R, f(x, y) =

y2 ln(1 + x2

y2), y = 0

0, y = 0.

Solutie 7.2.1. Rezolvare. Vom arata ca derivatele partiale mixte de or-

dinul 2 ale lui f nu sunt continue ın (0, 0) si totusi ∂2f∂x∂y (0, 0) =

∂2f∂y∂x(0, 0).

Sa observam mai ıntai ca f este continua pe R2. Evident, f este continuaın orice punct (x0, y0), cu y0 = 0. In punctele de forma (x0, 0), f este deasemenea continua: lim

(x,y)→(x0,0)f(x, y) = f(x0, 0) = 0 :

Deoarece ln t < t,∀t > 1, rezulta ca ∀y = 0, 0 ≤ f(x, y) = 2y2 ln√

1 + x2

y2≤

2y2√

1 + x2

y2= 2|y|

√x2 + y2, de unde ıntr-adevar lim

(x,y)→(x0,0)f(x, y) = 0 =

f(x0, 0).

Observam ca

∂f∂x (x, y) =

2y2xx2+y2

, y = 0

0, y = 0, ∂f∂y (x, y) =

2y ln(1 + x2

y2)− 2x2y

x2+y2, y = 0

0, y = 0

sunt de asemenea continue pe R2.

Derivatele partiale mixte de ordinul 2 sunt:

∂2f∂x∂y (x, y) =

4x3y

(x2+y2)2, y = 0

0, y = 0= ∂2f

∂y∂x(x, y) si nu sunt continue ın (0, 0),

ıntrucat @ lim(x,y)→(0,0)

4x3y(x2+y2)2

.

Deci ∂2f∂x∂y ,

∂2f∂y∂x nu sunt continue ın (0, 0), dar ∂2f

∂x∂y (0, 0) =∂2f∂y∂x(0, 0).

119

7.2.2. Fie f : R2 → R, f(x, y) = ex cos y si fie (x0, y0) arbitrar.Calculati df(x0, y0), d

2f(x0, y0), df(x0, y0)(h1, h2), d2f(x0, y0)(h1, h2), d

3f(x0, y0), d3f(x0, y0)(h1, h2),

unde (h1, h2) ∈ R2 este oarecare.

Solutie 7.2.2. Evident, f ∈ C∞(R2),df(x0, y0) =

∂f∂x (x0, y0)dx+

∂f∂y (x0, y0)dy = ex0 cos y0 · dx− ex0 sin y0 · dy,

df(x0, y0)(h1, h2) =∂f∂x (x0, y0)h1+

∂f∂y (x0, y0)h2 = ex0 cos y0·h1−ex0 sin y0·

h2,

d2f(x0, y0) =∂2f∂x2 (x0, y0)dx

2 + ∂2f∂y2

(x0, y0)dy2 + 2 ∂2f

∂x∂y (x0, y0)dxdy =

= ex0 cos y0 · dx2 − ex0 cos y0 · dy2 − 2ex0 sin y0 · dxdy,d2f(x0, y0)(h1, h2) =

∂2f∂x2 (x0, y0)h

21+

∂2f∂y2

(x0, y0)h22+2 ∂2f

∂x∂y (x0, y0)h1h2 =

= ex0 cos y20 · h21 − ex0 cos y20 · h22 − 2ex0 sin y0 · h1h2,d3f(x0, y0) = ∂3f

∂x3 (x0, y0)dx3 + ∂3f

∂y3(x0, y0)dy

3 + 3 ∂3f∂x2∂y

(x0, y0)dx2dy +

3 ∂3f∂x∂y2

(x0, y0)dxdy2 =

= ex0 cos y20 ·dx3+ex0 sin y20 ·dy3+3ex0 cos y0 ·dx2dy+3ex0 sin y0 ·dxdy2,d3f(x0, y0)(h1, h2) =

∂3f∂x3 (x0, y0)

3 · h31 +∂3f∂y3

(x0, y0) · h32 + 3 ∂3f∂x2∂y

(x0, y0) ·h21h2+

+3 ∂3f∂x∂y2

(x0, y0) · h1h22 == ex0 cos y20 · h31 + ex0 sin y20 · h32 + 3ex0 cos y0 · h21h2 + 3ex0 sin y0 · h1h22.

7.2.3. Aratati ca functia f(x, y) = φ(x − ay) + ψ(x + ay), unde functiileφ,ψ admit derivate partiale de ordin II, satisface ecuatia f ′′y2 = a2f ′′x2 .

Solutie 7.2.3. f ′x = φ′(x−ay)+ψ′(x+ay), deci f ′′x2 = φ′′(x−ay)+ψ′′

(x+ay).

f ′y = (−a)φ′(x− ay) + aψ′(x+ ay), deci f ′′y2 = a2φ′′(x− ay) + a2ψ

′′(x+

ay) = a2f ′′x2 .

7.2.4. Aratati ca functia u = 1√yf(4x+ z2

y ) verifica relatia ∂2u∂x∂y + ∂2u

∂z2= 0.

Solutie 7.2.4. u = u(x, y, z) = 1√yf(4x+ z2

y ) = y−12 f(4x+ z2

y ).

∂2u∂x∂y = ∂

∂x(∂u∂y ),

∂u∂y = −1

2 y− 3

2 f(4x+ z2

y ) + y−12 f ′(4x+ z2

y ) ·−z2

y2, deci

∂2u∂x∂y = −2y−

32 f ′(4x+ z2

y ) + 4y−12 f

′′(4x+ z2

y ) ·−z2

y2,

∂2u∂z2

= ∂∂z (

∂u∂z ) = ∂

∂z (y− 1

2 f ′(4x + z2

y ) ·2zy ) = y−

12 f

′′(4x + z2

y ) · (2zy )

2 +

y−12 f ′(4x+ z2

y ) ·2y si efectuand calculele, se verifica relatia.

7.2.5. crieti formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin 2 pentru f : R2 →R, f(x, y) = ex sin y ın (0, 0).

120

Solutie 7.2.5. Avem f(x, y) = f(0, 0)+ 11!df(0, 0)(x, y)+

12!d

2f(0, 0)(x, y)+13!d

3f(ξ1, ξ2)(x, y), ∀(x, y) ∈ S((0, 0), r), unde ξ1 ∈ (0, x)(sau (x, 0)), ξ2 ∈(0, y)(sau (y, 0)), deci ξ1 = θx, ξ2 = θy, θ ∈ (0, 1).

df(0, 0)(x, y) = ∂f∂x (0, 0) · x+ ∂f

∂y (0, 0) · y = y,

d2f(0, 0)(x, y) = ∂2f∂x2 (0, 0) · x2 + ∂2f

∂y2(0, 0) · y2 + 2 ∂2f

∂x∂y (0, 0) · xy = 2xy,

d3f(θx, θy)(x, y) = ∂3f∂x3 (θx, θy)·x3+ ∂3f

∂y3(θx, θy)·y3+3 ∂3f

∂x2∂y(θx, θy)·x2y+

+3 ∂3f∂x∂y2

(θx, θy)·xy2 = eθx sin(θy)·x3−eθx cos(θy)·y3+3eθx cos(θy)·x2y−−3eθx sin(θy) ·xy2, deci ex sin y = y+xy+ 1

6 [eθx sin(θy) ·x3−eθx cos(θy) ·

y3 + 3eθx cos(θy) · x2y−−3eθx sin(θy) · xy2],∀(x, y) ∈ S((0, 0), r),de unde ex sin y ≃ y + xy, adica, ın vecinatatea originii, graficul functiei

f se aproximeaza prin graficul unei functii polinomiale.

7.2.6. Folosind formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin 2, calculativaloarea aproximativa pentru (1, 02)3,01.

Solutie 7.2.6. Consideram functia f : (0,∞)X(0,∞) → R, f(x, y) = xy.Multimea D = (0,∞)X(0,∞) este deschisa si convexa, iar f ∈ C∞(D).

Aplicam formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin 2 functiei f ınpunctul (1, 3) : ∀(x, y) ∈ D,

f(x, y) = f(1, 3) +1

1!df(1, 3)(x− 1, y − 3) +

1

2!d2f(1, 3)(x− 1, y − 3) +

+1

3!d3f(ξ1, ξ2)(x− 1, y − 3),

(ξ1, ξ2) ∈ ((1, 3), (x, y)) (segmentul deschis din (0,∞)X(0,∞) de capete(1, 3), (x, y)).

Prin urmare, f(x, y) ≃ f(1, 3)+ 11!df(1, 3)(x− 1, y− 3)+ 1

2!d2f(1, 3)(x−

1, y − 3).f(1, 3) = 1, df(1, 3)(x− 1, y− 3) = ∂f

∂x (1, 3) · (x− 1)+ ∂f∂y (1, 3) · (y− 3) =

d2f(1, 3)(x− 1, y − 3) = ∂2f∂x2 (1, 3) · (x− 1)2 + ∂2f

∂y2(1, 3) · (y − 3)2+

+2 ∂2f∂x∂y (1, 3) · (x− 1)(y − 3) =

7.2.7. Justificati aproximarea arctg( x+y1+xy ) ≃ x+y, ın vecinatatea lui (0, 0).

Solutie 7.2.7. Fie f(x, y) = arctg( x+y1+xy ). Scriind formula lui Taylor cu rest

Lagrange de ordin I ın punctul (0, 0), obtinem ca ın vecinatatea lui (0, 0),are loc aproximarea

f(x, y) ≃ f(0, 0) +1

1!df(0, 0)(x, y)

121

, deci

arctg(x+ y

1 + xy) ≃ ∂f

∂x(0, 0) · x+

∂f

∂y(0, 0) · y.

∂f∂x (0, 0) = ( 1

1+( x+y1+xy

)21−y2

(1+xy)2)(0,0) = 1, ∂f∂x (0, 0) = ( 1

1+( x+y1+xy

)21−y2

(1+xy)2)(0,0) = 1,

deci arctg( x+y1+xy ) ≃ x+ y.

7.2.8. Fie f : R2 → R, f ∈ C1(R2), cu f(0, 0) = 0. Aratati ca daca (∂f∂x )2 +

(∂f∂y )2 ≤ 1, oricare ar fi (x, y) ∈ A = (x, y);x2 + y2 ≤ 5, atunci |f(1, 2)| ≤√

5.

Solutie 7.2.8. (1, 2) ∈ A.

Aplicand Teorema lui Lagrange, avem

f(x, y)− f(x0, y0) = f(x, y)− f(x0, y) + f(x0, y)− f(x0, y0) =

=∂f

∂x(ξ, y)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, η)(y − y0),

ξ = x0 + θ1(x− x0), θ1 ∈ (0, 1), η = y0 + θ2(y − y0).

In particular,

f(x, y)− f(0, 0) = f(x, y) =∂f

∂x(ξ, 0) · x+

∂f

∂y(0, η) · y,

deci pentru orice (x, y) ∈ A, avem

|f(x, y)| =

√∂f

∂x(ξ, 0) · x+

∂f

∂y(0, η) · y ≤

√(∂f

∂x)2(ξ, 0) + (

∂f

∂y)2∂f

∂y(0, η)·

√x2 + y2.

De aici, |f(1, 2)| ≤√5.

7.2.9. Determinati punctele de extrem ale functiilor f : D ⊂ R2 → Rurmatoare:

i) f(x, y) = x2 − y2;

ii) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy;

iii) f(x, y) = (x− y)2 + (y − 1)3.

Solutie 7.2.9. i) Sa determinam pentru ınceput punctele critice, rezolvand

sistemul

∂f∂x = 0∂f∂y = 0.

Deoarece ∂f∂x = 2x, iar ∂f

∂y = 2y, obtinem unicul punct

critic M(0, 0), care nu este ınsa nici punct de minim, nici punct de maxim

122

local deoarece nu exista nici o vecinatate a originii pe care diferenta f(x, y)−f(0, 0) = x2 − y2 sa pastreze semn constant.

ii) Determinam mai ıntai punctele critice ale functiei, rezolvand sistemul:∂f∂x = 0∂f∂y = 0

⇔

3x2 − 3y = 0

3y2 − 3x = 0⇔

x2 = y

y2 = x,obtinand punctele critice

M1(0, 0) si M2(1, 1).

Deoarece ∂2f∂x2 = 6x, ∂

2f∂y2

= 6y, ∂2f∂x∂y = −3, rezulta ca pentru M1(0, 0),

avem B2 −AC = 9 > 0, deci nu este punct de extrem, iar pentru M1(1, 1),avem B2 −AC < 0, A > 0, deci este punct de minim local pentru f .

iii) Se obtine punctul critic M(1, 1), pentru care B2 − AC = 0, decicriteriul nu stabileste natura sa.

Daca M(1, 1) ar fi punct de extrem local pentru f , ar exista S((1, 1), r0)astfel ca f(x, y)− f(1, 1) ≥ 0 (sau ≤ 0), ∀(x, y) ∈ S((1, 1), r0).

In particular, f(x, x) − f(1, 1) = (x − 1)3 ≥ 0 (sau ≤ 0), ∀(x, x) ∈S((1, 1), r0), fals.

Deci M(1, 1) nu este punct de extrem local pentru f .

7.2.10. Determinati punctele de extrem local ale functiilor f : R3 → Rurmatoare:

i) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 2z2 − 2xy + 2xz.

ii) f(x, y, z) = (x− y)2 + (y − 1)3 + (z − 1)2.

Solutie 7.2.10. i) Rezolvand sistemul

∂f∂x = 0∂f∂y = 0∂f∂z = 0

, obtinem punctul critic

M(0, 0, 0).

Apoi,

Hf (0, 0, 0) =

∂2f∂x2 (0, 0, 0)

∂2f∂x∂y (0, 0, 0)

∂2f∂x∂z (0, 0, 0)

∂2f∂y∂x(0, 0, 0)

∂2f∂y2

(0, 0, 0) ∂2f∂y∂z (0, 0, 0)

∂2f∂z∂x(0, 0, 0)

∂2f∂z∂y (0, 0, 0)

∂2f∂z2

(0, 0, 0)

=

=

2 −2 2−2 6 02 0 4

.

∆1 = 2 > 0,∆2 = 8 > 0,∆3 = 8 > 0, deci M(0, 0, 0) este punct deminim local pentru f .

123

ii) Rezolvand sistemul

∂f∂x = 0∂f∂y = 0∂f∂z = 0

, obtinem punctul critic M(1, 1, 1).

Hf (1, 1, 1) =

∂2f∂x2 (1, 1, 1)

∂2f∂x∂y (1, 1, 1)

∂2f∂x∂z (1, 1, 1)

∂2f∂y∂x(1, 1, 1)

∂2f∂y2

(1, 1, 1) ∂2f∂y∂z (1, 1, 1)

∂2f∂z∂x(1, 1, 1)

∂2f∂z∂y (1, 1, 1)

∂2f∂z2

(1, 1, 1)

=

=

2 −2 0−2 2 00 0 2

,

de unde ∆2 = 0, deci criteriul nu stabileste natura punctului critic. Vomfolosi atunci definitia.

M(1, 1, 1) este punct de extrem local pentru f daca si numai daca exista osfera S((1, 1, 1), r) asa ca f(x, y, z)−f(1, 1, 1) = (x−y)2+(y−1)3+(z−1)2 ≥0 (sau ≤ 0),∀(x, y, z) ∈ S((1, 1, 1), r).

In particular, f(x, x, 1) = (x−1)3 ≥ 0 (sau≤ 0),∀(x, x, 1) ∈ S((1, 1, 1), r),adica, echivalent, x ≥ 1 (sau x ≤ 1),∀x ∈ (−r√

2+ 1, r√

2+ 1), fals. Deci

M(1, 1, 1) nu este punct de extrem local pentru f .

7.2.11. Determinati punctele de extrem local ale functiilor f : R2 → R,definite prin:

i) f(x, y) = x4 + y4 + 2x2y2 − 8x+ 8y;

ii) f(x, y) = xy + 50x + 20

y , x > 0, y > 0;

iii) f(x, y) = (x− y)2 + x3 + y3;

iv) f(x, y) = x2 − y2 + 2x;

v) f(x, y) = x2 + y4;

vi) f(x, y) = sinx sin y sin(x+ y), x, y ∈ (0, 2π).

Solutie 7.2.11. i) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

4x3 + 4xy2 − 8 = 0

4y3 + 4x2y + 8 = 0⇔

x(x2 + y2) = 2

y(x2 + y2) = 2, de unde M(1, 1) este singurul punct critic.

A = ∂2f∂x2 (1, 1) = 16, B = ∂2f

∂y2(1, 1) = 8, C = ∂2f

∂y2(1, 1) = 16, B2 − AC <

0, A > 0, deci M(1, 1) este punct de minim local pentru f.

ii) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

y − 50

x2 = 0

x− 20y2

= 0⇔

y = 50

x2

x− 20y2

= 0,

124

care are unica solutie M(5, 2) (punct critic).

A = ∂2f∂x2 (5, 2) =

100x3 (5,2)

= 45 , B = ∂2f

∂x∂y (5, 2) = 1, C = ∂2f∂y2

(5, 2) = 4, deci

B2 − AC = −3 < 0, A > 0. Prin urmare, M este punct de maxim localpentru f.

iii) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

2(x− y) + 3x2 = 0

2(y − x) + 3y2 = 0, deci singurul

punct critic este M(0, 0).

A = ∂2f∂x2 (0, 0) = 2, B = ∂2f

∂x∂y (0, 0) = −2, C = ∂2f∂y2

(0, 0) = 2, deci B2 −AC = 0, deci suntem ın situatia ın care nu putem decide natura punctuluicritic.

Folosind definitia, evaluam diferenta f(x, y)−f(0, 0) = (x−y)2+x3+y3si observam ca aceasta nu are semn constant pe nici o vecinatate a lui (0, 0).

Intr-adevar, daca presupunem prin reducere la absurd ca exista o sferaS(0, 0), r) astfel ıncat (x−y)2+x3+y3 sa aiba semn constant pentru ∀(x, y) ∈S(0, 0), r), am obtine ın particular pentru x = y, ca expresia 2x3 are semnconstant, ∀(x, x) ∈ S(0, 0), r) ⇔ ∀x ∈

iv) f(x, y) = x2−y2+2x Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

2x+ 2 = 0

−2y = 0,

deci M(−1, 0) este singurul punct critic.

A = ∂2f∂x2 (−1, 0) = 2, B = ∂2f

∂x∂y (−1, 0) = 0, C = ∂2f∂y2

(−1, 0) = −2, deci

B2 − AC = 4 > 0, ceea ce ınseamna ca M(−1, 0) nu este punct de extrempentru f.

v) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

2x = 0

4y3 = 0,

deci M(0, 0) este singurul punct critic al lui f.

A = ∂2f∂x2 (0, 0) = 2, B = ∂2f

∂x∂y (0, 0) = 0, C = ∂2f∂y2

(0, 0) = 0, deci B2 −AC = 0, prin urmare criteriul nu furnizeaza ın acest caz nici o informatie.

Vom folosi atunci definitia (punctului de maxim/minim (local)): f(x, y)−f(0, 0) = x2+y4 ≥ 0,∀(x, y) ∈ R2, deciM(0, 0) este punct de minim absolutpentru f.

vi) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

sin y sin(2x+ y) = 0

sinx sin(x+ 2y) = 0,

rezultand M1(π, π),M2(π3 ,

π3 ).

∂2f∂x2 = 2 sin y cos(2x+ y), ∂

2f∂y2

= 2 sinx cos(x+ 2y), ∂2f∂x∂y = sin(2x+ 2y).

· Pentru M1(π, π), se obtine B2 − AC = 0, prin urmare criteriul nufurnizeaza ın acest caz nici o informatie.

125

Metoda I. cu definitia: DacaM1(π, π) ar fi punct de extrem (local) pentruf , ar rezulta ca macar pe o vecinatate a sa, diferenta f(x, y) − f(π, π) =sinx sin y sin(x + y) ar pastra semn constant, deci sinx sin y sin(x + y) ≥ 0sau ≤ 0,∀(x, y) ∈ S((π, π), r) ∩ (0, 2π).

In particular, pentru x = y, am avea sin 2x ≥ 0 sau ≤ 0,∀(x, x) ∈S((π, π), r)∩(0, 2π), adica, echivalent, ∀x, cu 2x ∈ (2π−r, 2π+r), r ∈ (0, 2π),ceea ce este evident fals, deci M1(π, π) nu este punct de extrem local pentruf.

Metoda II. evaluand semnul diferentialelor de ordin superior: df(π, π) =0, d2f(π, π) = 0, d3f(π, π) = 6[(dx)2dy + dx(dy)2], deci d3f(π, π)(h1, h2) =6[(h1)

2h2+h1(h2)2], care ia si valori pozitive, si valori negative, deci regasim

ca M1(π, π) nu este punct de extrem local pentru f.

· Pentru M2(π3 ,

π3 ), B

2 − AC = 0 < 0, A < 0, deci M2(π3 ,

π3 ) este punct

de maxim local pentru f.

7.2.12. Determinati punctele de extrem local ale functiilor f : R3 → R,definite prin:

i) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x+ 4y − 6z;

ii) f(x, y, z) = x+ y2

4x + z2

y + 2z , x, y, z > 0;

iii) f(x, y, z) = sinx+ sin y + sin z − sin(x+ y + z), x, y, z ∈ (0, π);

iv) f(x, y, z) = 2(xy + z)− x2 − y2 − z2.

Solutie 7.2.12. i) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0

f ′z = 0

⇔

2x+ 2 = 0

2y + 4 = 0

2z − 6 = 0

, deci

M(−1,−2, 3) este singurul punct critic al lui f.

Hf (M) =

2 0 00 2 00 0 2

,∆1 = 2 > 0,∆2 = 4 > 0,∆3 = 8 > 0, deci

M(−1,−2, 3) este punct de minim local pentru f.

ii) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0

f ′z = 0

⇔

1− y2

4x2 = 0y2x − z2

y2= 0

2zy − 2

z2= 0

, rezultand punctul

critic M(12 , 1, 1). Hf (M) =

4 −1 0−1 3 −20 −2 6

,∆1 = 4 > 0,∆2 = 11 >

0,∆3 = 50 > 0, deci M(12 , 1, 1) este punct de minim local pentru f.

126

iii) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0

f ′z = 0

⇔

cosx− cos(x+ y + z) = 0

cos y − cos(x+ y + z) = 0

cos z − cos(x+ y + z) = 0

, ceea

ce antreneaza ca x = y = z, cosx = cos 3x, x ∈ (0, π), deci M(π2 ,π2 ,

π2 ) este

singurul punct critic.Hf (M) = (−2)

iv) Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0

f ′z = 0

⇔

2y − 2x = 0

2x− 2y = 0

2− 2z = 0

, deci toate punctele

de forma M(a, a, 1), a ∈ R, sunt puncte critice pentru f.

Hf (M) =

−2 2 02 −2 00 0− 2

,∆1 = −2 < 0,∆2 = 0, deci criteriul lui

Sylvester nu furnizeaza nici o informatie.Folosind definitia, evaluam expresia f(x, y, z)− f(a, a, 1) = 2(xy + z)−

x2−y2−z2−1 = −[(x−y)2−(z−1)2] ≤ 0,∀(x, y, z) ∈ R3, ceea ce ınseamnaca M(a, a, 1) sunt puncte de maxim absolut pentru f.

7.2.13. Aflati triunghiul de arie maxima care se poate ınscrie ıntr-un cercde raza data R.

Solutie 7.2.13. SABC = 2R2 sinA sinB sinC trebuie sa fie maxima, adica,echivalent, expresia sinA sinB sin(A+B) trebuie sa fie maxima.

Fie atunci functia f(x, y) = sinx sin y sin(x+y), x, y ∈ (0, π), si vom aflaextremele sale:

Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

sin y · [cosx sin(x+ y) + sinx cos(x+ y)] = 0

sinx · [cos y sin(x+ y) + sin y cos(x+ y)] = 0⇔

sin(2x+ y) = 0

sin(x+ 2y) = 0(sinx, sin y = 0) ⇔

2x+ y = π

2y + x = 0, deci M(π3 ,

π3 ) este

punct critic.

A = ∂2f∂x2 (

π3 ,

π3 ) = 2 sin y cos(2x+ y)(π

3,π3) = −

√3, B = ∂2f

∂x∂y (π3 ,

π3 ) =, C =

∂2f∂y2

(π3 ,π3 ) =, deci B2−AC =. Prin urmare, M este punct de maxim pentru

f.Prin urmare, aria triunghiului este maxima atunci candm(A) = m(B) =

π3 , de unde m(C) = π

3 , asadar atunci cand trinughiul este echilateral.

7.2.14. Determinati triunghiul de arie maxima si de perimetru egal cu 2p.

Solutie 7.2.14. Conform formulei lui Heron, SABC =√p(p− a)(p− b)(p− c),

p fiind semiperimetrul triunghiului (p = a+b+c2 ).

127

Fie atunci functia f(x, y) = (p−x)(p−y)(x+y−p), si vom afla extremelesale:

Punctele critice:f ′x = 0

f ′y = 0⇔

(p− y)[−x− y + p+ p− x) = 0

(p− x)[−x− y + p+ p− y) = 0⇔

2x+ y = 2p

2y + x = 2p

deci M(2p3 ,2p3 ) este punct critic pentru f.

A = ∂2f∂x2 (

2p3 ,

2p3 ) = 2, B = ∂2f

∂x∂y (2p3 ,

2p3 ) = 1, C = ∂2f

∂y2(2p3 ,

2p3 ) = 2, deci

B2 −AC < 0, A > 0, deci M(2p3 ,2p3 ) este punct de minim pentru f , ceea ce

ınseamna ca maximul ariei triunghiului se realizeaza cand x = y = 2p3 , de

unde z = 2p3 , adica atunci cand trinughiul este dreptunghic.

7.2.15. Dintr-o cantitate data de tabla, se construieste un vas fara capac,avand forma unui paralelipiped dreptunghic. Determinati dimensiunile va-sului astfel ıncat capacitatea sa sa fie maxima.

Solutie 7.2.15. Fie x, y, z, dimensiunile paralelipipedului. Trebuie sa de-terminam volumul maxim, stiind ca xy + 2xz + 2yz = a2.

Fie deci f(x, y, z) = xyz, x, y, z > 0.Vom afla maxx,y,z>0,xy+2xz+2yz=a2

f(x, y, z).

Aceasta implica z = a2−xy2(x+y) , deci f(x, y) = xy a2−xy

2(x+y) .

Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

y2 a

2−x2−2xy2(x+y)2

= 0

x2 a2−y2−2xy2(x+y)2

= 0, rezultandM( a√

3, a√

3).

A = ∂2f∂x2 (

a√3, a√

3) = − a

2√3, B = ∂2f

∂x∂y (a√3, a√

3) = − a

4√3, C = ∂2f

∂y2( a√

3, a√

3) =

− a2√3, deci B2 − AC < 0, A < 0, deci volumul vasului este maxim daca

x = y = a√3, z = a

3√3.

7.2.16. Determinati constanta k astfel ıncat functia f , definita pe R2 prinf(x, y) = 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x− 16y + k, sa aiba un minim egal cu 0.

Solutie 7.2.16. Punctele critice:

f ′x = 0

f ′y = 0⇔

10x+ 6y − 16 = 0

10y + 6x− 16 = 0,

deci M(1, 1) este singurul punct critic al functiei.

A = ∂2f∂x2 (1, 1) = 10, B = ∂2f

∂x∂y (1, 1) = 6, C = ∂2f∂y2

(1, 1) = 10, deci B2 −AC < 0, A > 0, deci M(1, 1) este punct de minim pentru f ; fmin = 0 =f(1, 1) = −16 + k, de unde k = 16.

128


7.3.1. Studiati daca derivatele partiale mixte de ordin 2 ın (0, 0) coincid

pentru functia f : R2 → R, f(x, y) =

x3(x2−y2)(x2+y2)2

, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Cercetati daca functia este diferentiabila pe R2.

7.3.2. Fie f : R2 → R, f(x, y) =

xy x2−y2

x2+y2, (x, y) = (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

Aratati ca:i) f este diferentiabila pe R2;ii) f admite ın orice punct derivate partiale de ordin 2;

iii) ∂2f∂x∂y ,

∂2f∂y∂x nu sunt continue ın (0, 0).

7.3.3. Fie f : R3 → R, f(x, y, z) = ex sin y cos z si fie (x0, y0, z0) arbitrar.Calculati df(x0, y0, z0), d

2f(x0, y0, z0), df(x0, y0, z0)(h1, h2, h3), d2f(x0, y0, z0)(h1, h2, h3),

unde (h1, h2, h3) ∈ R3 este oarecare.

7.3.4. Scrieti formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin 2 pentru f :R2 → R, f(x, y) = ex cos y ın (0, 0).

7.3.5. Folosind formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin 2, calculativaloarea aproximativa pentru:

i) (0, 95)2,01; ii)√1, 03 · 3

√0, 98.

7.3.6. Determinati punctele de extrem local ale functiei f : R2 → R,f(x, y) = (x− a)(x− b)(y − a)(y − b), a, b ∈ R, arbitrari, fixati (discutie).

7.3.7. Determinati ın interiorul unui patrulater un punct, astfel ca sumapatratelor distantelor acestui punct la varfurile patrulaterului sa fie minima.

7.3.8. Inscrieti ıntr-un con circular drept, un paralelipiped dreptunghic devolum maxim.

Solutii

7.3.1. ————

7.3.2.

7.3.3.

129

7.3.4.

7.3.5.

7.3.6.

7.3.7.

7.3.8. ———

Capitolul 8

Puncte de extrem


Definitia 8.1.1. Fie f : A ⊂ Rn → R.i) Un punct a ∈ A se numeste punct de extrem local pentru f daca

diferenta f(x)−f(a) pastreaza semn constant pe o vecinatate a lui a, adica,∃V ∈ V(a) astfel ıncat f(x)− f(a) pastreaza acelasi semn, ∀x ∈ V ∩A.

Mai precis,daca f(x)− f(a) ≥ 0,∀x ∈ V ∩ A, atunci a se numeste punct de minim

local pentru f , iardaca f(x)− f(a) ≤ 0,∀x ∈ V ∩A, atunci a se numeste punct de maxim

local pentru f.

ii) Daca f(x)− f(a) ≥ 0, (respectiv, f(x)− f(a) ≤ 0),∀x ∈ A, atunci ase numeste punct de minim ( respectiv, de maxim) absolut pentru f.

Nu ıntotdeauna exista pentru o functie puncte de minim (maxim) abso-lut.

iii) Valorile functiei ın punctele de extrem se numesc extremele functiei.Daca exista, f(a) = inf

x∈Af(x) (respectiv, f(b) = sup

x∈Af(x)) se numeste

valoare minima (respectiv, maxima) a lui f pe A.

De exemplu, daca A este multime compacta si f este continua pe A,atunci Teorema lui Weierstrass ne asigura ca exista valoarea minima si val-oarea maxima a lui f pe A.

Conditii necesare de extrem.

Teorema 8.1.2 (a lui Fermat). Fie Ddeschis ⊂ Rn, f : D → R si a ∈ D.Daca f este partial derivabila ın raport cu toate variabilele ın punctul a, iara este punct de extrem local pentru f , atunci ∂f

∂xi(a) = 0,∀i = 1, n.

130

131

Definitia 8.1.3. Spunem ca a ∈ D este punct critic (sau stationar) pentruf : D ⊂ Rn → R (derivabila partial ın raport cu toate variabilele ın a) daca∂f∂xi

(a) = 0,∀i = 1, n.

Asadar, Teorema lui Fermat afirma ca punctele de extrem local ale uneifunctii diferentiabile, se gasesc printre punctele sale critice. Asa cum vomobserva ın exemplul urmator, incluziunea este stricta (reciproca nu are loc).

Definitia 8.1.4. se numeste punct sa (punct critic care nu este punct deextrem).

Teorema 8.1.5. Fie f : Ddeschis ⊂ Rn → R, f ∈ C2(D). Daca a ∈ D estepunct de minim local (respectiv, maxim local) pentru f (deci df(a) = 0),atunci d2f(a) ≥ 0 (respectiv, d2f(a) ≤ 0).

In continuare, vom pune ın evidenta conditii suficiente pentru ca unpunct critic sa fie punct de extrem.

Propozitia 8.1.6. Fie (aij)i,j=1,n o matrice simetrica de numere reale

(aij = aji,∀i, j = 1, n) si φ(x) =n∑

i,j=1aijxixj (x = (x1, x2, . . . , xn)), forma

patratica asociata. Daca φ este pozitiv definita (adica φ(x) > 0,∀x ∈Rn, x = 0), atunci ∃λ > 0 astfel ıncat φ(y) ≥ λ∥y∥2,∀y ∈ Rn.

Teorema 8.1.7. Fie f : Ddeschis ⊂ Rn → R, f ∈ C2(D) si a ∈ D un punctcritic pentru f .

i) Daca forma patratica d2f(a) este pozitiv definita, atunci a este punctde minim local pentru f ;

ii) Daca forma patratica d2f(a) este negativ definita, atunci a este punctde maxim local pentru f.

Conditii suficiente de extrem pentru functii de 2 variabile

Teorema 8.1.8. Fie D ⊂ R2 o multime deschisa, f : D → R, f ∈C2(D), a ∈ D punct critic pentru f.

Fie A = ∂2f∂x2 (a), B = ∂2f

∂x∂y (a), C = ∂2f∂y2

(a).

1) Daca B2 −AC > 0, a nu este punct de extrem local pentru f.

2) Daca B2 −AC = 0, caz de dubiu (nu ne putem pronunta).

3) Daca B2−AC < 0, atunci a este punct de extrem local pentru f . Maiprecis,

a) daca A > 0 (sau C > 0), a este punct de minim local pentru f ;

b) daca A < 0 (sau C < 0), a este punct de maxim local pentru f .

132

Conditii suficiente de extrem pentru functii de n variabile, n ≥3.

Fie f : Ddeschisa ⊂ Rn → R, f ∈ C2(D), a ∈ D punct critic pentru f.

Teorema 8.1.9 (lui Sylvester). (din teoria formelor patratice) Fie φ : Rn →R, φ(x) =

n∑i,j=1

aijxixj ,∀x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, o forma patratica oarecare

(aij = aji,∀i, j = 1, n).

Fie A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n

...an1 an2 ... ann

matricea sa asociata, si minorii principali

∆1 = a11,∆2 =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ , . . . ,∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2f∂x2

1(a) ∂2f

∂x1∂x2(a) ... ∂2f

∂x1∂xn(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f∂x2

2(a) ... ∂2f

∂x2∂xn(a)

...∂2f

∂xn∂x1(a) ∂2f

∂xn∂x2(a) ... ∂2f

∂x2n(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

detA.Atunci:i) φ este pozitiv definita daca si numai daca ∆1 > 0,∆2 > 0, . . . ,∆n > 0;ii) φ este negativ definita daca si numai daca ∆1 < 0,∆2 > 0, . . . , (−1)n∆n >

0.Se aplica Teorema lui Sylvester pentru forma patratica φ = d2f(a), con-

siderand matricea sa asociata, matricea hessiana a lui f ın punctul a, careeste o matrice patratica, simetrica:

Hf (a) =(

∂2f∂xi∂xj

(a))i,j=1,n

=

∂2f∂x2

1(a) ∂2f

∂x1∂x2(a) ... ∂2f

∂x1∂xn(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f∂x2

2(a) ... ∂2f

∂x2∂xn(a)

...∂2f

∂xn∂x1(a) ∂2f

∂xn∂x2(a) ... ∂2f

∂x2n(a)

, avand

minorii principali

∆1 =∂2f

∂x21(a),∆2 =

∣∣∣∣∣∣∂2f∂x2

1(a) ∂2f

∂x1∂x2(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f∂x2

2(a)

∣∣∣∣∣∣ , . . . ,∆n =

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂2f∂x2

1(a) ∂2f

∂x1∂x2(a) ... ∂2f

∂x1∂xn(a)

∂2f∂x2∂x1

(a) ∂2f∂x2

2(a) ... ∂2f

∂x2∂xn(a)

...∂2f

∂xn∂x1(a) ∂2f

∂xn∂x2(a) ... ∂2f

∂x2n(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

133

Obtinem astfel urmatorul rezultat:

Teorema 8.1.10. 1) Daca toti minorii principali ai matricei hessiene suntstrict pozitivi, atunci a este punct de minim local pentru f.

2) Daca minorii principali ai matricei hessiene alterneaza ca semn, ıncepandcu primul negativ, atunci a este punct de maxim local pentru f .

3) Daca toti minorii principali ai matricei hessiene sunt nenuli, darsemnele lor nu sunt ca ın cazurile 1) sau 2), atunci a nu este punct deextrem local pentru f .

4) Daca cel putin unul din ∆1, . . . ,∆n este nul, nu se poate preciza naturapunctului a. In acest caz, pentru a evalua semnul diferentei f(x)− f(a), sefoloseste definitia sau formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin superiorlui 2.


8.2.1. Determinati extremele functiei y(x) definita de ecuatia implicita x3+y3 − 3xy = 0.

Solutie 8.2.1. Fie F (x, y) = x3 + y3 − 3xy. F ∈ C1(R2).Aplicand TFI, obtinem explicit y = y(x) din ecuatia implicita F (x, y) =

0.In plus, y′(x) = −F ′

x(x,y(x))F ′y(x,y(x))

. Prin urmare,

y′(x) = 0 ⇔

F ′x(x, y) = 0F (x, y) = 0F ′y(x, y) = 0

⇔

x2 = y

x3 + y3 − 3xy = 0y2 = x

, rezultand punc-

tul criticM( 3√2, 3

√4). In vecinatatea acestui punct, este deci definita functia

y = y(x), iar y′( 3√2) = 0.

Intrucat y′′(x) = −(x

2−y(x)y2(x)−x

)′, vom avea

y′′(x) = −[2x+ x2−y(x)

y2(x)−x](y2(x)− x)− (x2 − y(x))[1 + 2y(x)x

2−y(x)y2(x)−x

]

(y2(x)− x)2=

= − 2x

y2(x)− x,

obtinand ca y′′( 3√2) = 2 3√2

3√2− 3√16= −2 < 0, deci x = 3

√2 este punct de

maxim, iar maximul functiei y(x) este 3√4.

8.2.2. Determinati extremele functiei z(x, y) definita de ecuatia implicitax2 + y2 + z2 − 2x+ 2y − 4z − 10 = 0.

134

Solutie 8.2.2. Fie F (x, y, z) = x2+y2+z2−2x+2y−4z−10. F ∈ C1(R3).

Aplicand TFI, obtinem explicit z = z(x, y) din ecuatia implicita F (x, y, z) =0.

Deoarece

z′x(x, y, z) = −F′x(x, y, z(x, y))

F ′z(x, y, z(x, y))

= −2x− 2

2z − 4= −x− 1

z − 2,

z′y(x, y, z) = −F ′y(x, y, z(x, y))

F ′z(x, y, z(x, y))

= −2y + 2

2z − 4= −y + 1

z − 2,

rezulta ca punctele critice ale functiei z = z(x, y) sunt solutiile sistemuluiF ′x(x, y, z) = 0F ′y(x, y, z) = 0

F (x, y, z) = 0F ′z(x, y, z) = 0

⇔

2x− 2 = 02y + 2 = 0

x2 + y2 + z2 − 2x+ 2y − 4z − 10 = 02z − 4 = 0

, rezultand

doua puncte critice M1(1,−1,−2),M2(1,−1, 6).

In vecinatatea fiecarui punct M1 si M2, ecuatia defineste o functie z =z(x, y).

d2z = −z(x, .y)− 2 + (x− 1) x−1

z(x,y)−2

(z(x, y)− 2)2dx2−

−z(x, .y)− 2 + (y + 1) y+1

z(x,y)−2

(z(x, y)− 2)2dy2 − 2(x− 1)

y + 1

(z(x, y)− 2)3dxdy,

PentruM1, d2z(1,−1) = 4dx2+4dy2 pozitiv definita, deciM1 este punct

de minim, iar zmin = −2.

Pentru M2, d2z(1,−1) = −1

4(dx2 + dy2) este negativ definita, deci M2

este punct de maxim, iar zmax = 6.

8.2.3. Aflati punctele de extrem local conditionat ale functiilor urmatoare,ale caror variabile sunt supuse legaturilor specificate:

i) f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y2 − x − y, variabilele fiind legate princonditia x+ y = 1.

ii) f : R3 → R, f(x, y, z) = xyz, x = 0, y = 0, z = 0, variabilele fiindconditionate de relatia x+ y + z = 3.

Solutie 8.2.3. i) Functia lui Lagrange este L(x, y, λ) = (x2 + y2 − x− y) +λ(x+ y − 1), λ ∈ R.

135

L′x = 0

L′y = 0

x+ y = 1

⇔

2x− 1 + λ = 0

2y − 1 + λ = 0

x+ y = 1

obtinand punctul critic conditionat.

M(12 ,12), λ = 0, deci d2L(12 ,

12) = 2(dx)2 + 2(dy)2 > 0 (pozitiv definita), de

unde M(12 ,12) este punct de minim local conditionat.

ii) Metoda I. L(x, y, z, λ) = xyz + λ(x+ y + z − 3), λ ∈ R.L′x = 0

L′y = 0

L′z

x+ y + z = 3

⇔

yz + λ = 0xz + λ = 0xy + λ = 0x+ y + z = 3

si obtinem punctul critic conditionat

M(1, 1, 1), λ = −1, deci d2L(1, 1, 1) = 2(dxdy + dxdz + dydz).Diferentiind legatura, avem dx + dy + dz = 0, de unde d2L(1, 1, 1) =

2(dxdy − (dx + dy)2) = −2(dx2 + dy2 + dxdy) < 0 (negativ definita), deciM(1, 1, 1) este punct de maxim local conditionat.

Metoda II. z = 3− x− y, deci f(x, y) = xy(3− x− y) care are M(1, 1)punct de maxim local, deci regasim ca M(1, 1, 1) este punct de maxim localconditionat.

8.2.4. Calculati distanta de la origine la planul de ecuatie Ax+By+Cz+D = 0, unde A,B,C,D ∈ R, A2 +B2 + C2 = 0.

Solutie 8.2.4. Metoda I. Fie f(x, y, z) = x2+y2+z2. Se studiaza extremelefunctiei cu conditia Ax+By+Cz+D = 0, considerand functia lui LagrangeL(x, y, z, λ) = x2 + y2 + z2 + λ(Ax + By + Cz + D) si se obtine punctulcritic M(−λA

2 ,−λB2 ,−

λC2 ), λ = 2D

A2+B2+C2 . Atunci L(x, y, z) = x2 + y2 +

z2 + 2DA2+B2+C2 (Ax+By+Cz+D), de unde d2L = 2(dx2 + dy2 + dz2) > 0.

Prin urmare, M este punct de minim local.Observam ca M(− A·D

A2+B2+C2 ,− B·DA2+B2+C2 ,− C·D

A2+B2+C2 ) este punct deminim absolut:

∀(x, y, z) ∈ R3, x2 + y2 + z2 ≥ D2

(A2+B2+C2)2.

Intr-adevar, deoarece Ax+By+Cz+D = 0, datorita inegalitatii Cauchy-Buniakowski-Schwartz avem

D2 = (Ax+By + Cz)2CBS≤ (A2 +B2 + C2)2 · (x2 + y2 + z2).

Deci

dmin = d(0, π) =|D|√

A2 +B2 + C2.

Metoda II. Fara a restrange generalitatea, se presupune, de exemplu,ca C = 0, de unde z = − 1

C (Ax + By + D), ceea ce implica f(x, y) =x2 + y2 + 1

C2 (Ax+By +D)2, careia i se studiaza minimul.

136

8.2.5. Determinati extremele functiei f : R3 → R, f(x, y, z) = x3 + y3 + z3,variabilele fiind legate prin conditia x2 + y2 + z2 = 3, x, y, z > 0.

Solutie 8.2.5. Construim functia lui Lagrange L(x, y, z, λ) = x3+y3+z3+λ(x2 + y2 + z2 − 3), λ ∈ R.

Punctele critice conditionate:L′x = 0

L′y = 0

L′z = 0

L′λ = 0

⇔

3x2 + 2λx = 03y2 + 2λy = 03z2 + 2λz = 0x2 + y2 + z2 = 3

rezultand punctul critic conditionat M(1, 1, 1), λ = −32 .

d2L(1, 1, 1) = (6x+ 2λ)(1,1,1),λ=− 32dx2 + (6y + 2λ)(1,1,1),λ=− 3

2dy2+

+ (6z + 2λ)(1,1,1),λ=− 32dz2 = 3(dx2 + dy2 + dz2)

este forma patratica pozitiv definita, deciM(1, 1, 1) este punct de minimlocal conditionat.

8.2.6. Determinati extremele functiei f : R3 → R, f(x, y, z) = x− 2y + 2z,variabilele fiind supuse la legatura x2 + y2 + z2 = 9.

Solutie 8.2.6. Construim functia lui Lagrange L(x, y, z, λ) = x−2y+2z+λ(x2 + y2 + z2 − 9), λ ∈ R.


L′y = 0

L′z = 0

L′λ = 0

⇔

1 + 2λx = 0−2 + 2λy = 02 + 2λz = 0

x2 + y2 + z2 = 9

⇔

x = − 1

2λy = 1

λz = 1

λx2 + y2 + z2 = 9

,

pentru λ1 = 1 rezultand punctul critic conditionat M1(−12 , 1,−1), iar

pentru λ2 = −1 rezultand punctul critic conditionat M2(12 ,−1, 1).

d2L = 2λ(dx2 + dy2 + dz2) este pozitiv definita pentru λ1 = 1, caz ıncare M1(−1

2 , 1,−1) este punct de minim local conditionat si este negativdefinita pentru λ2 = −1, caz ın care M1(

12 ,−1, 1) este punct de maxim local

conditionat.

8.2.7. Determinati extremele functiei f : R3 → R, f(x, y, z) = xy+yz+xz,cu legatura xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0.

Solutie 8.2.7. Construim functia lui Lagrange L(x, y, z, λ) = xy + yz +xz + λ(xyz − 1), λ ∈ R.

Punctele critice conditionate:

137

L′x = 0

L′y = 0

L′z = 0

L′λ = 0

⇔

y + z + λyz = 0x+ z + λxz = 0x+ y + λxy = 0

xyz = 1rezultand punctul critic conditionat M(1, 1, 1), λ = −2.d2L(1, 1, 1) = −2(dxdy + dydz + dzdx).Diferentiind legatura, avem ydx + xzdy + xydz = 0, care ın M(1, 1, 1)

devine dx + dy + dz = 0, deci d2L(1, 1, 1) = −2[dxdy − (dx + dy)2] =2(dx2 + dy2 + dxdy) care este pozitiv definita deci M(1, 1, 1) este punct deminim local conditionat.

8.2.8. In elipsoidul x2

4 + y2+ z2

9 = 1 sa se ınscrie un paralelipiped de volummaxim.

Solutie 8.2.8. Fie (x, y, z), x > 0, y > 0, z > 0, coordonatele varfului par-alelipipedului.

Volumul paralelipipedului este V (x, y, z) = 8xyz. Deci trebuie determi-nat extremul conditionat al functiei f(x, y, z) = xyz, x > 0, y > 0, z > 0, cu

conditia x2

4 + y2 + z2

9 = 1.

Construim functia lui Lagrange L(x, y, z) = xyz + λ(x2

4 + y2 + z2

9 − 1),λ ∈ R.


L′y = 0

L′z = 0

L′λ = 0

⇔

yz + λ

2x = 0

xz + λ2y = 0

xy + 29z = 0

,

de undeM( 2√3, 1√

3,√3) este singurul punct critic conditionat al functiei.

Evaluand d2L(M), se obtine punctul de maxim local conditionatM( 2√3, 1√

3,√3)

iar Vmax = 48√3.

8.2.9. Determinati punctele de extrem ale functiei f : R3 → R, f(x, y, z) =2x2 + y2 + 3z2, conditionate de relatiile x2 + y+ z − 1 = 0, 2x+ y+ 3z = 0.

Solutie 8.2.9. Functia lui Lagrange este

L(x, y, z, λ, µ) = 2x2 + y2 + 3z2 + λ(x2 + y + z − 1) + µ(2x+ y + 3z).

Rezolvand sistemul

L′x = 0

L′y = 0

L′z = 0

L′λ = 0

L′µ = 0

⇔

4x+ λ+ 2µ = 02y + λ+ µ = 06z + λ+ 3µ = 0x2 + y + z − 1 = 02x+ y + 3z = 0

, se obtine x =

138

0, y = 32 , z = −1

2 , λ = −6, µ = 3, deci M(0, 32 ,−12) este singurul punct critic

conditionat.d2L(0, 32 ,−

12) = −2dx2 + 2dy2 + 6dz2.

Diferentiind legaturile, avem 2xdx+ dy+ dz = 0, 2dx+ dy+3dz = 0. InpunctulM(0, 32 ,−

12), acestea devin dy+dz = 0, 2dx+dy+3dz = 0, de unde

dz = −dy, dx = dy, deci d2L(0, 32 ,−12) = 6dx2, care este pozitiv definita,

asadar M(0, 32 ,−12) este punct de minim local conditionat.

8.2.10. Fie f : (0,∞)X(0,∞)XR → R, f(x, y, z) = xyz. Aflati extremelefunctiei cu legaturile x2 + y2 + z2 = 1, x+ y + z = 0.

Solutie 8.2.10. Functia lui Lagrange este

L(x, y, z, λ, µ) = xyz + λ(x2 + y2 + z2 − 1) + µ(x+ y + z).

Rezolvand sistemul

L′x = 0

L′y = 0

L′z = 0

L′λ = 0

L′µ = 0

⇔

yz + 2λx+ µ = 0xz + 2λy + µ = 0xy + 2λz + µ = 0x2 + y2 + z2 = 1x+ y + z = 0

, gasimM( 1√6, 1√

6,− 2√

6)

punct critic conditionat.d2L( 1√

6, 1√

6,− 2√

6) = 2λ(dx2 + dy2 + dz2) + 2ydxdz + 2xdydz + 2zdxdy.

Diferentiind legaturile, avem xdx+ydy+ zdz = 0, dx+dy+dz = 0, deciın punctul M( 1√

6, 1√

6,− 2√

6) obtinem dx+dy−2dz = 0, dx+dy+dz = 0, de

unde dz = 0, dy = −dx, ceea ce implica d2L( 1√6, 1√

6,− 2√

6) = 2√

6dx2 forma

patratica pozitiv definita.In concluzie, M( 1√

6, 1√

6,− 2√

6) este punct de minim local conditionat.

8.2.11. Determinati punctele de cota maxima si minima ale intersectieiplanului x− 2y + z = 1 cu cilindrul de ecuatie x2 + y2 = 1.

Solutie 8.2.11. z = f(x, y) = 1−x+2y. Trebuie sa determinam extremeleacestei functii, variabilele x, y fiind legate prin conditia x2 + y2 = 1.

Functia lui Lagrange este L(x, y, λ) = 1− x+ 2y + λ(x2 + y2 − 1).

Rezolvand sistemul

L′x = 0

L′y = 0

L′λ = 0

⇔

−1 + 2λx = 02 + 2λy = 0x2 + y2 = 1

, se obtin punctele

critice conditionate M1(− 1√5, 2√

5) pentru λ1 = −

√52 si M2(

1√5,− 2√

5) pentru

λ2 =√52 .

d2L = λ(dx2+dy2), deciM1 este punct de cota maxima si f(− 1√5, 2√

5) =

1 +√5, iar M2 este punct de cota minima si f( 1√

5,− 2√

5) = 1−

√5.

139

8.2.12. Determinati extremele globale inf(x,y)∈K

f(x, y), sup(x,y)∈K

f(x, y) pentru

functia f(x, y) = x2− 3x+ y2− 2y+1, definita pe compactul K = (x, y) ∈R2;x2 + y2 ≤ 1.

Solutie 8.2.12. Deoarece functia f este continua pe multimea compactaK, conform Teoremei lui Weierstrass rezulta ca este marginita si ısi atinge

marginile. Extremele functiei vor fi situate sau ınK = (x, y) ∈ R2;x2+y2 <

1 sau pe FrK = (x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 1.

In primul caz, se poate aplica Teorema lui Fermat (K este multime

deschisa).

Solutia sistemului

f ′x = 0f ′y = 0

este M(32 , 1) /∈K, deci punctele de extrem

se vor gasi doar pe FrK.

Problema devine astfel una de extrem conditionat pentru functia f , alecarei variabile sunt legate prin relatia x2 + y2 = 1.

Functia lui Lagrange este L(x, y, λ) = x2−3x+y2−2y+1+λ(x2+y2−1).

Rezolvand sistemul

L′x = 0

L′y = 0

L′λ = 0

, se obtin punctele critice conditionate

M1(− 3√13,− 2√

13), M2(

3√13, 2√

13).

Evaluand d2L, se obtine ca M1 este punct de maxim local conditionat,iar M2 este punct de minim local conditionat.

Prin urmare, inf(x,y)∈K

f(x, y) = f( 3√13, 2√

13) = 2 −

√13, sup

(x,y)∈Kf(x, y) =

f(− 3√13,− 2√

13) = 2 +

√13.

8.2.13. Determinati valoarea maxima a functiei f = f(x1, x2..., xn) = n√x1 · x2 · ... · xn,

daca x1 + x2 + ...+ xn = a, xi > 0,∀i = 1, n (inegalitatea mediilor).

Solutie 8.2.13. Functia lui Lagrange este L(x1, x2..., xn, λ) = n√x1 · x2 · ... · xn+

λ(x1 + x2 + ...+ xn − a).

Rezolvand sistemul

L′x1

= 1n

x2x3...xn

(x1x2...xn)n−1n

+ λ = 1n

fx1

+ λ = 0

L′x2

= 1n

x1x3...xn

(x1x2...xn)n−1n

+ λ = 1n

fx2

+ λ = 0

...

L′xn

= 1n

x1x2...xn−1

(x1x2...xn)n−1n

+ λ = 1n

fxn

+ λ = 0

L′λ = x1 + x2 + ...+ xn − a = 0

, se obtine

punctul critic conditionat M(λn ,λn , . . . ,

λn), λ = a.

140

d2L( an ,an , . . . ,

an) < 0, deciM( an ,

an , . . . ,

an) este punct de maxim conditionat,

deci fmax = f(M) = an , de unde n

√x1 · x2 · ... · xn ≤ x1+x2+...+xn

n , xi >0,∀i = 1, n , adica tocmai inegalitatea mediilor.

8.2.14. Descompuneti un numar pozitiv dat a ın trei termeni pozitivi astfelıncat expresia xmynzp sa fie maxima (m,n, p > 0 date).

Solutie 8.2.14. Expresia xmynzp este maxima daca si numai daca expresialn(xmynzp) este maxima, maximul atingandu-se ın aceleasi puncte).

Fie atunci functia f(x, y, z) = ln(xmynzp) = m lnx+ n ln y + p ln z si neintereseaza extremele sale ın conditia ın care x+ y + z = a, cu x, y, z > 0.

Functia lui Lagrange este L(x, y, z, λ) = m lnx + n ln y + p ln z + λ(x +y + z − a).


L′y = 0

L′z = 0

L′λ = 0

⇔

mx + λ = 0ny + λ = 0pz + λ = 0

x+ y + z = a

8.2.15. Aflati distanta minima dintre dreapta x−y = 5 si parabola y = x2.

Solutie 8.2.15. dmin = min√

(x− u)2 + (y − v)2, cu conditiile x − y = 5si v = u2.

Fie deci functia f(x, y, u, v) = (x − u)2 + (y − v)2 si dorim sa stabilimminimul sau ın conditiile ın care variabilele sunt supuse la legaturile x−y =5, v = u2, deci problema devine una de extreme cu legaturi.

Functia lui Lagrange este L(x, y, u, v, λ, µ) = (x− u)2 +(y− v)2 +λ(x−y − 5) + µ(u2 − v).


L′x = 0

L′y = 0

L′u = 0

L′v = 0

L′λ = 0

L′µ = 0

⇔

2(x− u) + λ = 02(y − v)− λ = 0

2(u− x) + 2µu = 02(v − y)− µ = 0

x− y = 5v = u2

,

rezultand singurul punct critic conditionat M(238 ,12 ,−

178 ,

14).

d2L(238 ,12 ,−

178 ,

14) = 2(dx2 + dy2 + du2 + dv2) − 2(dxdu + dydv) este

forma patratica pozitiv definita, deci M(238 ,12 ,−

178 ,

14) este punct de minim

conditionat, iar dmin =√

(238 + 178 )

2 + (12 − 14)

2 = 19√2

8 .

8.2.16. Aflati distanta minima dintre curbele C1 = (x, y); 2y = x2 siC2 = (x, y); (x− 2)2 + y2 = 1.

141

Solutie 8.2.16. dmin = min√

(x− u)2 + (y − v)2, cu conditiile x2 = 2y si(u− 2)2 + v2 = 1.

Fie deci functia f(x, y, u, v) = (x − u)2 + (y − v)2 si dorim sa stabilimminimul sau ın conditiile ın care variabilele sunt supuse la legaturile x2 = 2y,(u− 2)2 + v2 = 1, deci problema devine una de extreme cu legaturi.

Functia lui Lagrange este L(x, y, u, v, λ, µ) = (x−u)2+(y−v)2+λ(x2−2y) + µ((u− 2)2 + v2 − 1).


L′x = 0

L′y = 0

L′u = 0

L′v = 0

L′λ = 0

L′µ = 0

⇔

2(x− u) + 2λx = 02(y − v)− 2λ = 0

2(u− x) + 2µ(u− 2) = 0,

rezultand

8.2.17. Determinati semiaxele elipsei 13x2 − 10xy + 13y2 − 144 = 0.

Solutie 8.2.17. Sa observam ca elipsa are centrul ın origine, iar varfurilesale au proprietatea ca se afla la distanta maxima/minima de centru. Prinurmare, trebuie sa aflam extremele functiei f(x, y) =

√x2 + y2, cu conditia

13x2 − 10xy + 13y2 − 144 = 0.

Functia lui Lagrange este L(x, y, λ) = x2 + y2 + λ(13x2 − 10xy+13y2 −144).


L′y = 0

L′λ = 0

⇔

2x+ 26λx− 10λy = 02y + 26λy − 10λx = 0

13x2 − 10xy + 13y2 − 144 = 0

rezultand λ1 = −18 , x − y = 0, λ1 = − 1

18 , x + y = 0, adica doua varfuriale elipsei sunt pe prima bisectoare, iar celelalte doua sunt pe bisectoarea adoua.

Inlocuind ın ecuatia elipsei, gasim x2 = y2 = 9, respectiv x2 = y2 = 4,deci a = 3

√2, b = 2

√2.

8.2.18. Aratati ca pentru orice triunghi ınscris ıntr-un cerc de raza R, avema2 + b2 + c2 ≤ 9R2.

Solutie 8.2.18. Deoarece a = 2R sinA, b = 2R sinB, c = 2R sinC, ramanesa aratam ca sin2A+ sin2B + sin2C ≤ 9

4 .

Sa aflam asadar maximul functiei f(x, y, z) = sin2 x + sin2 y + sin2 z,x, y, z ∈ (0, π), variabilele fiind legate prin conditia x+ y + z = π.

142

Functia lui Lagrange este L(x, y, z, λ) = sin2 x + sin2 y + sin2 z + λ(x +y + z − π).


L′y = 0

L′z = 0

L′λ = 0

⇔

sin 2x+ λ = 0sin 2y + λ = 0sin 2z + λ = 0x+ y + z = π

Singurul punct critic conditionat este M(π3 ,π3 ,

π3 ).

d2L(π3 ,π3 ,

π3 ) = −2(dx2 + dy2 + dz2) < 0 (este forma patratica negativ

definita), deci M(π3 ,π3 ,

π3 ) este punct de maxim conditionat, deci sin2 x +

sin2 y + sin2 z ≤ 94 , x, y, z ∈ (0, π), x+ y + z = π, de unde, concluzia.


8.3.1. Determinati extremele functiei f(x, y) = 1x+

1y , variabilele fiind legate

prin conditia 1x2 + 1

y2= 1

a2.

8.3.2. Determinati extremele functiei f(x, y) = xy, cu legatura x2+y2 = a2.

8.3.3. Determinati punctele de extrem local ale functiilor urmatoare, alecaror variabile sunt supuse legaturilor indicate:

i) f(x, y) = xy, x+ y = a (a ∈ R arbitrar, fixat);ii) f(x, y, z) = xy + yz + xz, xyz = 1, x > 0, y > 0, z > 0.

8.3.4. Fie multimea A = (x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 25 si functia f : A →R, f(x, y) = 9 − 8x − 6y. Aratati ca multimea f(A) este un interval sideterminati-l. Calculati sup

(x,y)∈A|f(x, y)|.

8.3.5. Aratati ca dintre toate patrulaterele care se pot forma cu patru seg-mente date, patrulaterul inscriptibil are aria maxima.

Solutii

8.3.1.

8.3.2.

8.3.3.

8.3.4.

143

8.3.5. —–

A-4 Fie a ∈ R, ε ∈ [0,∞) si A,B submultimi nevide ale lui Rp. Aratatica:

(i) diamS(a, ε) = 2ε;

(ii) A ⊆ B ⇒ diamA ≤ diamB;

(iii) diamA = 0 ⇔ cardA = 1.

Solutie A-4. (i)

(ii) Din A ⊆ B rezulta d(x, y)|x, y ∈ A ⊆ d(x, y)|x, y ∈ B, iar deaici se obtine

supd(x, y)|x, y ∈ A ≤ supd(x, y)|x, y ∈ B,

adica diamA ≤ diamB.

(iii) Fie x, y ∈ A. Avem 0 ≤ d(x, y) ≤ diamA = 0, de unde rezulta cad(x, y) = 0. Atunci x = y, oricare ar fi x, y ∈ A. Deci A contine un singurelement, adica cardA = 1.

A-5 Fie ∅ = A ⊆ Rp. Aratati ca:

(i) A este marginita daca si numai daca diamA < +∞;

(ii) A este nemarginita daca si numai daca diamA = +∞.

Sol. (i) Presupunem ca A este marginita. Atunci exista r ∈ (0,∞)astfel ıncat A ⊆ S(0, r). Utilizand proprietatile diametrului din ProblemaA-4, rezulta ca diamA ≤ diamS(0, r) = 2r < +∞. Invers, sa presupunemdiamA < +∞ si fixam a ∈ A. Consideram r ∈ R, r > ∥a∥ + diamA ≥ 0 siaratam ca A ⊆ S(0, r). Fie x ∈ A. Avem asfel

(2) ∥x− a∥ ≤ diamA.

Din (2) rezulta ca ∥x∥ = ∥x− a+ a∥ ≤ ∥x− a∥+ ∥a∥ ≤ diamA+ ∥a∥ < r.Deci A ⊆ S(0, r), care arata ca A este marginita.

Pentru (ii) rezulta imediat din (i).

B-4 Fie ∅ = A ⊆ Rn. Sa se arate ca A este compacta daca si numai dacaorice acoperire deschisa a lui A contine o subacoperire finita (adica pentruorice (Di)i∈I ⊂ τ0 cu A ⊆

∪i∈I

Di, exista n ∈ N∗ si i1, i2, . . . , in ∈ I astfel

ıncat A ⊆n∪

k=1

Dik).

A-5 Fie ∅A ⊇ Rp. Sa se arate ca A este marginita daca si numai dacaexista x0 ∈ Rp si α ∈ (0,∞) astfel ıncat A ⊆ S(x0, α).

Sol A-5 Presupunem ca A este marginita. Din definitie rezulta ca r ∈(0,∞) astfel ıncat A ⊆ S(0, r) si deci vom considera x0 = 0 si α = r.

144

Invers, sa presupunem ca exista x0 ∈ Rp si α ∈ (0,∞) asa ıncat A ⊆S(x0, α). Sa consideram r ∈ R, r > ∥x0∥+ α > 0 si sa aratam ca

(1) S(x0, α) ⊆ S(0, r).

Fie x ∈ S(x0, α). Avem astfel ∥x− x0∥ < α, de unde rezulta:

∥x∥ = ∥x− x0 + x0∥ ≤ ∥x− x0∥+ ∥x0∥ < α+ ∥x0∥ < r.

Deci ∥x∥ < r, ceea ce arata ca x ∈ S(0, r) si astfel are loc (1). CumA ⊆ S(x0, α), din (1) rezulta A ⊆ S(0, r), adica A este marginita.

Sol B-5 Solutia 1. Vom arata ca A + B este marginita si ınchisa. Dinfaptul ca A si B sunt marginite, rezulta ca exista r1, r2 ∈ [0,+∞) astfelıncat ∥x∥ < r1, oricare ar fi x ∈ A si ∥y∥ ≤ r2, oricare ar fi y ∈ B. Atunci∥z∥ = ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ ≤ r1 + r2 pentru orice z ∈ A + B. Deci A + Beste marginita. Pentru a arata ca A + B este ınchisa, vom folosi Teorema1.1.33. Fie z ∈ A+B. Conform Teoremei .. , exista (z0)n∈N ⊂ A + Bastfel ıncat zn → z. Dar zn = xn + yn, pentru orice n ∈ N, unde xn ∈ Asi yn ∈ B, oricare ar fi n ∈ N. Cum A e compacta, conform Teoremei...,exista (xnk

)k∈N un subsir al sirului (xn) astfel ıncat xnk→ x ∈ A. B este

compacta, conform aceleasi Teroreme ..., exista (ynkl)l∈N un subsir al sirului

(ynk) asa ıncat ynkl

→ y ∈ B. Avem znkl= xnkl

+ ynkl, pentru orice l ∈ N

si trecand la limita obtinem z = x+ y ∈ A+ b. Deci A+B ⊆ A+ B, carearata ca A+B este ınchisa.

Solutia 2. Vom utliza Teorema .... Fie (zn)n∈N ⊂ A+ B, zn = xn + yn,unde xn ∈ A si yn ∈ B pentru orice n ∈ N. A fiind compacta, exista (xnk

)k∈Nun subsir al sirului (xn) asa ıncat xnk

→ x ∈ A. Analog, din B compactarezulta ca exista (ynkl

)l∈N un subsir al lui (ynk) astfel ıncat ynkl

→ y ∈ B.Considerand subsirul znkk

= xnkl+ ynkl

, avem znkl→ x + y ∈ A + B.

Conform Teoremei..., A+B este compacta.

C-1 Fie f(x, y) = y−2x2 , (x, y) ∈ D, D ⊂ R2.

(i) Determinati D si D′, unde D este domeniul maxim de definitie pentrufunctia f .

(ii) Gasiti un sir cn = (an, bn) ∈ D asa ıncat cnR2

−→ (2, 1) si calculatilimn→∞

f(an, bn).

(iii) Calculati lim(x,y)→(2,1)

f(x, y).

(iv) Gasiti un sir dn = (un, vn) ∈ D asa ıncat dnR2

−→ (0, 2) si calculatilimn→∞

f(un, vn).

145

(v) Fie zn = (xn, yn), unde xn = 1√n, yn = 2λn+1

n , n ∈ N∗, λ ∈ R\0.Calculati lim

n→∞(xn, yn) si lim

n→∞f(xn, yn). Reprezentati curba pe care se afla

termenii sirului (zn)n∈N∗ .(vi) Stabiliti daca exista lim

(x,y)→(0,2)f(x, y) si, ın caz afirmativ, determinati

valoarea limitei.

Solutii

8.3.1.

8.3.2.

8.3.3.

8.3.4.

8.3.5. —–

Documents

Probleme de Analiz a Matematic a II - Spat˘ii metrice.gavrilut/depozit/Culegere... · Capitolul 1 Spat˘ii metrice 1.1 Considerat˘ii teoretice Spat˘ii vectoriale De nit˘ia 1.1.1