Probleme de Hidrodinamică, Rețele de Conducte, Canale și

Ilare BORDEAU Eugen DOBND Cornel VELESCU

Cezar Dorin GALERIU Ionel Doru BACIU Adriana MANEA

Liliana SUCITU Rodica BDRU Constantin FLORESCU

PROBLEME DE HIDRODINAMIC, REELE DE

CONDUCTE, CANALE I MAINI HIDRAULICE

- EDIIA A DOUA REVIZUIT I COMPLETAT -

TIMISOARA

2013

Prefa

Lucrarea constitue o revizuire a primei editii NOIUNI TEORETICE I POBLEME DE HIDRODINAMIC, CONDUCTE, CANALE I MAINI

HIDRAULICE, cu modificarile si completarile de rigoare.

Modul n care sunt prezentate noiunile teoretice i rezolvate problemele poate

facilita abordarea i rezolvarea unui caz mai complex, practic, de sistem hidraulic ;i

alimentari cu apa.

In cadrul acestei lucrri s-a urmrit tratarea de la simplu spre complex n

scopul facilitrii nelegerii mai rapide a modului de aplicare a relaiilor specifice i de

creare a unei gandiri inginereti, caracteristic domeniului mecanicii fluidelor i

mainilor hidraulice.

Pentru o mai uoar nelegere, fiecare capitol debuteaz cu notaiile utilizate i

elementele teoretice necesare rezolvrii problemelor. Excepie face ultimul capitol care

constitue o mbinare a tipurilor de probleme abordate anterior n aceast carte

combinate i cu elemente de hidrostatic.

La baza conceperii problemelor au stat fenomenele din practic, dar i ideile

izvorte din exerciiile de seminar, din proiectele de an i diplom i din concursurile

profesionale organizate att la nivel local ct i naional.

De asemenea, problemele rezolvate i propuse spre rezolvare sunt de un real

folos studenilor care parcurg disciplinele de mecanica fluideor, instalatii pentru

alimentari, canale si masini hidraulice, pentru pregtirea concursurilor profesionale, dar

i inginerilor ce lucreaz in doemnii cu specific hidraulic.

Distribuia capitolelor este urmtoarea:

Capitolul 1 Asist.dr.ing. Rodica BDRU,

Capitolul 2 S.L.dr.ing. Cezar Dorin GALERIU,

Capitolul 3 Ing. Liliana SUCITU, S.L.dr.ing. Constantin FLORESCU

Capitolul 4 S.L.dr.ing. Adriana MANEA, S.L.dr.ing. Constantin FLORESCU,

Capitolul 5 Prof.univ.dr.ing. Ilare BORDEAU, Asist.dr.ing. Ionel Doru BACIU,

Capitolul 6 S.L.dr.ing. Cornel VELESCU,

Capitolul 7 S.L.dr.ing. Eugen DOBND,

Capitolul 8 Prof.univ.dr.ing. Ilare BORDEAU, S.L.dr.ing. Constantin FLORESCU.

Coordonarea lucrrii a fost fcut de ctre Prof. univ. dr. ing. Ilare

BORDEAU.

Orice sugestie de mbuntire a unei viitoare ediii este bine venit, apreciat

i va primi recunotiina i mulumirile autorilor.

Autorii

7

C U P R I N S

PREFATA 5

CAPITOLUL 1 Analiza dimensional i similitudinea hidrodinamic 9

1.1 Introducere................................... 10

1.2 Noiuni teoretice..... 10

1.3 Aplicaii............... 15

1.3.1 Probleme rezolvate...... 15

1.3.2 Probleme propuse spre rezolvare..... 34

CAPITOLUL 2 Calculul i msurarea debitului fluidelor

incompresibile n micare permanent ...............

35

2.1 Introducere.......................................... 35

2.2 Noiuni teoretice .................................... 36

2.3 Aplicaii...................... 38

2.3.1 Probleme rezolvate............. 38


CAPITOLUL 3 Curgerea lichidelor prin conducte................................ 55

3.1 Introducere............ 55

3.2 Noiuni teoretice ....... 55

3.3 Aplicaii.............. 59

3.3.1 Probleme rezolvate...... 59


CAPITOLUL 4 Reele de conducte........................................................ 77

4.1 Introducere.................... 77

4.2 Noiuni teoretice ....... 77

4.3 Aplicaii.......................... 79

4.3.1 Probleme rezolvate........................... 79

4.3.2 Probleme propuse spre rezolvare................ 90

CAPITOLUL 5 Teoremele impulsulu .......................... 93

5.1 Introducere........................ 94

5.2 Noiuni teoretice ........................... 94

5.3 Aplicaii......................... 96

5.3.1 Probleme rezolvate........................ 96

5.3.2 Probleme propuse spre rezolvare................... 113

CAPITOLUL 6 Curgerea lichidelor prin canale i conducte cu

suprafa liber..............................................................

117

6.1 Introducere........................ 118

6.2 Noiuni teoretice .............. 118

6.3 Aplicaii........................ 131

6.3.1 Probleme rezolvate....................... 131

6.5.3.2 Probleme propuse spre rezolvare....... 147

8

CAPITOLUL 7 Maini hidraulice.......................................... 149

7.1 Introducere........................ 149

7.2 Noiuni teoretice .......................... 150

7.3 Aplicaii......................... 159

7.3.1 Probleme rezolvate........................ 159

7.3.2 Probleme propuse spre rezolvare............ 165

CAPITOLUL 8 Probleme propuse la concursurile profesionale ....... 167

8.1 Introducere....................... 167

8.2 Noiuni teoretice ............................. 167

8.3 Aplicaii.......................... 167

8.3.1 Probleme rezolvate.......... 167


BIBLIOGRAFIE ........ 207

CAPITOLUL 1

ANALIZA DIMENSIONAL I

SIMILITUDINEA HIDRODIMAMIC

NOTAII I SEMNIFICAII FIZICE

p-presiunea, n N/m2

v-viteza, n m/s2

-densitatea mediului lichid, n kg/m3

m-masa, n kg

V-volumul, n m3

S-aria suprafeei, n m2

F-fora, n N

G-greutatea, n N

g=9,80665 m/s2 acceleraia gravitaional

-greutatea specific, n N/m3

-coeficientul cinematic de viscozitate, n m2/s

-coeficientul dinamic de viscozitate, n Ns/m2 sau Pas

-tensiunea superficial, n N/m

E-modul de elasticitate, n N/m2

Q-debit volumic, n m3/s

l-lungime, n m

d-diametrul conductei, n m

lo-scara lungimilor

So-scara suprafeelor

Vo-scara volumelor

to-scara timpilor

vo-scara vitezelor

ao-scara acceleraiilor

Fo-scara forelor

mo-scara maselor

Fr-numrul Froude

Sh-numrul Strouhal

Eu-numrul Euler

Re-numrul Reynolds

Ma-numrul Mach

Ga-numrul Galilei

We-numrul Weber

Ne-numrul Newton

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

10

1.1. INTRODUCERE

Este practic imposibil de a rezolva toate problemele curgerii unui fluid dat

numai pe cale teoretic. La stadiul actual al cunotinelor n domeniu, cercetarea

experimental ocup un loc important. Teoria matematic i datele experimentale au

furnizat soluii practice pentru mai multe probleme de hidraulic. Aplicaiile analizei

dimensionale i ale similitudinii hidraulice permit inginerului organizarea i

simplificarea experimentelor i analizarea rezultatelor obinute.

n acest capitol se vor prezenta principiul ce st la baza analizei dimensionale

i cteva aplicaii ce servesc la nelegerea modului de utilizare a analizei

dimensionale n stabilirea formulelor pentru anumite mrimi fizice, specifice mecanicii

fluidelor. De asemenea, se vor prezenta relaiile de similitudine cu aplicaii specifice.

1.2. NOIUNI TEORETICE

Problemele de mecanica fluidelor pot fi abordate pe calea analizei

dimensionale, care este n esen o procedur matematic care studiaz n exclusivitate

dimensiunile mrimilor fizice. n cadrul ei se pornete de la nelegerea fenomenelor

curgerii pentru a stabili parametrii care o influeneaz i se ajunge la gruparea acestor

parametrii n combinaii dimensionale, la o mai bun cunoatere i explicare a

fenomenelor. Analiza dimensional este de un real folos n studiile experimentale

pentru c poate indica mrimile sau parametrii ce influeneaz cu adevrat desfurarea

fenomenelor fizice.

Conform principiului omogenitii dimensionale toate relaiile matematice,

care exprim fenomene fizice, trebuie s fie omogene din punct de vedere dimensional

(toi termenii ecuaiei trebuie s aib aceleai dimensiuni).

Dac termenii unei ecuaii omogene din punct de vedere dimensional se mpart

cu o cantitate care se exprim n aceleai dimensiuni va rezulta o adimensionare a

termenilor, ecuaia devenind o relaie adimensional ntre grupuri de numere i de o

form mai simpl. n acest mod se procedeaz n cadrul unei analize dimensionale,

grupndu-se toate variabilele implicate ntr-o ecuaie care conine grupuri de numere

adimensionale, evitnd cercetarea experimental, grupurile adimensionale fiind n

numr mult mai redus dect variabilele.

Aplicaiile analizei dimensionale constau n:

- transformarea dintr-un sistem de uniti n altul; - stabilirea ecuaiilor; - reducerea numrului de variabile necesare la un program experimental; - stabilirea principiilor de concepere a unui model. Teorema Pi (Teorema lui Buckingham)

Aceast teorem reprezint o generalizare a metodei analizei dimensionale avnd o

larg utilizare n prezent. Teorema Pi are principalul avantaj c reduce numrul de

variabile la grupuri de mrimi adimensionale.

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

11

Dac x1, x2, , xn reprezint n variabile dimensionale care sunt implicate n

desfurarea unui fenomen fizic i ntre ele exist o legtur implicit de forma:

0x,...,x,xf n21 atunci se poate exprima aceast legtur sub forma unei dependene:

0,...,, kn21 unde i reprezint combinaii adimensionale ale variabilelor xi .

Aplicarea teoremei Pi presupune parcurgerea a apte etape:

Prima etap

- Se evideniaz fenomenului fizic i factorii care l pot influena, cu stabilirea celor n variabile.

A doua etap

- Dimensiunile mrimilor fizice sunt exprimate n SI n combinaia de uniti

fundamentale mas lungime timp (MLT), sau n combinaia for lungime timp

(FLT). Se alege n Sistemul Internaional SI unul din modurile de exprimare (MLT sau

FLT) i se stabilesc dimensiunile fiecrei variabile, gsindu-se i numrul m al

dimensiunilor fundamentale ale variabilelor.

A treia etap

- Se va gsi numrul k (care de obicei este egal cu m, niciodat mai mare i rareori mai mic).

A patra etap

Se determin numrul grupurilor adimensionale kn,i i se poate scrie:

0,...,, kn21 A cincea etap

Din numrul total de variabile se selecteaz un numr de k, denumite variabile

primare. Acestea trebuie s conin toate cele m dimensiuni fundamentale i nu trebuie

s formeze grupuri ntre ele. Se formeaz grupurile prin nmulirea variabilelor primare ntre ele, fiecare cu un exponent necunoscut.

A asea etap

Pentru satisfacerea omogenitii dimensionale se formeaz un sistem de ecuaii

care are la baz egalitatea exponenilor variabilelor primare din ambele pri ale

ecuaiilor, deoarece i nu au dimensiuni pot fi nlocuii cu MoL

oT

o. Se verific

adimensionalizarea factorilor i .

A aptea etap

Se rearanjeaz grupurile i dup dorin. Teorema Pi arat c grupurile i

sunt legate ntre ele:

kn3211 ,...,,f

Analiza dimensional nu ofer o rezolvare complet a problemei, ci numai o

soluie parial, iar reuita depinde de cele mai multe ori de abilitatea n selectarea

parametrilor i mrimilor.


12

n multe situaii dezvoltarea experimentului are loc n laborator pe instalaii

care difer constructiv de cele industriale, dar permit o desfurare identic sau

similar a fenomenelor studiate. Pentru a utiliza rezultatele de laborator la instalaiile

industriale, s-au stabilit relaii matematice cunoscute sub denumirea de legi de

similitudine. Acestea permit desfurarea experimentului cu un fluid convenabil pentru

utilizare i aplicarea rezultatelor la un fluid mai puin convenabil pentru utilizare

experimental. Aceste legi sunt deosebit de utile pentru c se pot utiliza pe o instalaie

sau main mai simpl i de dimensiuni reduse (modelul), fiind posibil reducerea

substanial a costurilor de cercetare i permit transpunerea rezultatelor de la model la

instalaia sau maina n mrime natural (prototip). Pentru ca rezultatele stabilite pe

modele s poat fi utilizate la instalaia n natur, trebuie respectate condiiile de

similitudine.

Dou micri sunt asemenea cnd traiectoriile lor sunt geometric asemenea i

cnd exist raporturi determinante ntre mrimile cinematice i dinamice ale celor dou

fenomene n dou puncte omoloage.

Pentru a realiza similitudinea dinamic a dou fenomene nu este suficient ca

raportul dimensiunilor liniare s fie constant. Trebuie ca i rapoartele mrimilor

cinematice i dinamice s fie constante.

Similitudinea geometric se realizeaz atunci cnd raportul dintre dimensiunile

liniare de pe prototip i cele de pe model este constant. Raportul:

m

p

ol

ll

se numete scara lungimilor sau scar geometric. Se poate stabili i scara

suprafeelor :

2

o

m

p

o lS

SS

i scara volumelor:

3

o

m

p

o lV

VV

Similitudinea cinematic implic, n punte omoloage, similitudinea geometric

a cmpului hidrodinamic i raport constant al mrimilor cinematice de acelai tip

(viteze, acceleraii). Odat stabilit scara lungimilor, rezult un raport constant al

timpului n care se desfoar fenomenul pe prototip i timpul n care se desfoar

fenomenul pe model, adic scara timpului:

m

p

ot

tt


13

Cu acestea se pot determina scrile tuturor mrimilor cinematice n funcie de

lo i to. Astfel avem scara vitezelor:

1

oo

m

p

o tlv

vv

i scara acceleraiilor:

2

oo

m

p

o tla

aa

Similitudinea dinamic impune ca raportul tuturor forelor din natur, de pe

prototip i de pe model, s fie constant. Rezult, astfel, scara forelor:

m

p

oF

FF

Din similitudinea mecanic se poate defini i o scar a maselor, i anume:

m

p

om

mm

Numrul Froude:

lg

vFr

2

Numrul Strouhal:

l

tvSh

Numrul Euler:

2v

pEu

Numrul Reynolds:

lvRe

Numrul Mach:

sv

vMa

unde vs este viteza sunetului n mediu considerat.

Numr Weber:

2vlWe


14

Numrul Galilei:

2

3lgGa

Numrul Newton:

vS

FNe

Aceste mrimi se mai numesc i criterii de similitudine.

Teorema lui Newton afirm c ntr-un grup de fenomene asemenea, fiecare

criteriu de similitudine are cte o valoare unic pentru toate fenomenele grupului.

Respectarea simultan a tuturor acestor criterii ne conduce la o similitudine

complet. Dar n realitate respectarea simultan a acestor criterii nu este posibil

practic. Similitudinea nu se va realiza dup toate criteriile, ci numai dup anumite

criterii, care sunt determinante n desfurarea unui fenomen. Astfel se realizeaz o

similitudine incomplet.

Transpunerea rezultatelor de pe un model la prototip va fi din aceast cauz

afectat de erori, iar influena parametrilor neglijai apare n aa numitul efect de scar.

Vom prezenta unde se utilizeaz fiecare din criteriile de similitudine ca i

criteriu determinant.

Similitudinea Strouhal se utilizeaz n cazul micrilor nepermanente

periodice. Acestea apar cnd vrtejurile formate se desprind alternativ de pe o parte sau

alta n spatele unui corp, cnd fluidul se afl ntr-o micare de val i cnd un corp situat

n fluid are o micare periodic. Deoarece n tehnic cele mai multe micri

nepermanente ale fluidelor sunt micri periodice, criteriul lui Strouhal este considerat

de obicei drept criteriul de similitudine al micrilor periodice ale fluidelor. n multe

cazuri odat cu criteriul Strouhal trebuie asigurat i criteriul Reynolds.

Similitudinea Froude se utilizeaz n cazul n care n timpul micrii elementul

determinant este greutatea. Aceasta apare ca element predominant la curgerea apei

peste deversoare, la micarea valurilor, la determinarea componentei de val a

rezistenei la naintare a navelor de suprafa. Apare n general cnd micrile au suprafee libere care nu sunt plane orizontale, deoarece la aceste micri efectul

greutii proprii este determinant pentru forma suprafeei libere. n cazul micrii

lichidelor peste deversoare sau n cazul micrii valurilor, efectul vscozitii i efectul

capilaritii sunt neglijate n raport cu efectul greutii proprii a lichidului. Alteori, ns,

pe lng efectul greutii proprii a lichidelor, trebuie luate n considerare i alte efecte. Astfel, n micarea lichidelor n canale, pe lng efectul greutii proprii trebuie luat n

considerare i efectul vscozitii, iar la deversoarele avnd o lam deversant foarte

subire i la valurile de dimensiuni mici, pe lng efectul greutii proprii trebuie luat n

considerare i efectul capilaritii.

Similitudinea Reynolds trebuie asigurat dac frecarea vscoas are un rol

predominant. Cu ct numrul Reynolds este mai mic cu att influena vscozitii

asupra micrii fluidului este mai mare. Se aplic la curgerea lichidelor n conducte sub

presiune, la curgerea n mainile hidraulice i la curgeri n tunele aerodinamice la


15

viteze la care se poate neglija compresibilitatea fluidului. n general, ca lungime de

referin se alege diametrul conductei, grosimea unui strat de fluid, coarda unui profil

aerodinamic.

Criteriul Euler este satisfcut automat dac sunt ndeplinite simultan criteriile

Strouhal, Froude i Reynolds. Apare n studiul fenomenului de cavitaie.

Criteriul de similitudine Mach se aplic n cazul n care viteza curentului este

mare i compresibilitatea fluidului datorit vitezei curentului nu poate fi neglijat (la

micarea cu viteze foarte mari a unui gaz, n cazul loviturii de berbec).

Criteriul de similitudine de tip Weber se respect n cazul micrilor la care

sunt determinante forele de tensiune superficiale (picturi, deci la pulverizarea

lichidelor, valuri de dimensiuni mici, la studiul curgerii lichidelor n tuburi capilare sau

n canale cu adncime foarte mic). n aplicaiile curente, forele de tensiune

superficial sunt ns cu totul neglijabile, n raport cu celelalte tipuri de fore.

Criteriul Galilei intervine la micarea liber a lichidelor. Acest numr este de

fapt o combinaie a criteriilor de similitudine.

Fr

ReGa

2

Criteriul Newton se utilizeaz la modelarea fenomenelor hidrodinamice la care

forele de inerie joac un rol important, adic la studiul pe model al curgerii n jurul

corpurilor (studiul rezistenelor la naintare, studiul aciunii curentului asupra profilelor

hidrodinamice utilizate n mainile hidraulice, n aviaie).

1.3. APLICAII

1.3.1 Probleme rezolvate

1.1 S se exprime dimensiunile mrimilor fizice folosite n hidraulic n funcie

de masa M, lungimea L i timpul T.

REZOLVARE

Mrimile fizice ce le folosim n hidraulic, respectiv dimensiunea lor n funcie

de MLT se pot deduce n funcie de relaiile de definiie ale acestor mrimi, i le

trecem direct n tabelul urmtor. Pentru toate aceste mrimi se pot gsi similar

dimensiunile n funcie de FLT.


16

Nr.

crt.

Mrimea fizic Simbol Uniti de

msur

Dimensiunea

(Relaia n MLT)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25

Masa

Lungimea

Timp

Aria

Volumul

Viteza

Acceleraia

Acceleraia gravitaional

Viteza unghiular

Fora

Greutatea

Moment

Puterea

Densitatea masic

Greutate specific

Presiunea

Tensiunea

Tensiunea superficial

Vscozitatea dinamic

Vscozitatea cinematic

Modul de elasticitate

Coeficient de

compresibilitate

Debit volumic

Debit masic

m

l

t

A

V

V

a

g

F

G

M

P

p

E

Q

m

Kg

m

s

m2

m3

m/s

m/s2

m/s2

rad/s

N=kg m /s2

N

Nm

W

kg/m3

kg/(m2s

2)

Pa=N/m2

N/m2

N/m

Pa s

m2/s

N/m2

m2/N

m3/s

kg/s

M

L

T

L2

L3

LT-1

LT-2

LT-2

T-1

MLT-2

MLT-2

ML2T

-2

ML2T

-3

ML-3

ML-2

T-2

ML-1

T-2

ML-1

T-2

MT-2

ML-1

T-1

L2T

-1

ML-1

T-2

ML-1

T-2

L3T

-1

MT-1

1.2 S se arate prin analiz dimensional relaia dintre numrul Reynolds i densitatea , vscozitatea cinematic , viteza v a unui fluid i o lungime

caracteristic l.

REZOLVARE

Folosind analiza dimensional pentru stabilirea relaiei dintre numrul

Reynolds i mrimile enumerate pornim de la faptul c numrul Reynolds este n

funcie de mrimile , , v i l, adic:

l,v,,fRe Analiza dimensional se bazeaz pe faptul c o relaie ntre mrimile fizice

trebuie s fie omogen dimensional. Utilizm metoda Rayleigh care presupune c

mrimea rezultant, n cazul nostru numrul Re, se poate scrie ca fiind proporional cu

un produs de puteri al mrimilor care o determin, adic: dcba lvkRe


17

unde k este coeficientul de proporionalitate. Puterile a,b,c,d se gsesc impunnd

condiia ca aceast relaie s fie omogen dimensional:

dc1b12a3ooo LLTTLMLkTLM cbdcb2a3aooo TLMkTLM

adic s avem urmtoarele egaliti:

cb0

dcb2a30

a0

Rezolvnd acest sistem de ecuaii obinem:

bd

bc

0a

adic: b

bbbo lvklvkRe

OBSERVAIE: Valorile lui k i b se determin prin analiz experimental. n

condiiile noastre 1k i 1b i atunci pentru numrul Re se obine relaia cunoscut:

lvRe

1.3 Pentru un lichid ideal s se exprime debitul Q care trece printr-un orificiu mic n funcie de densitatea lichidului , diferena de presiune i diametrul

orificiului.

REZOLVARE

Folosind analiza dimensional pentru stabilirea relaiei:

d,p,fQ

cba dpkQ

cb21a313 LTMLMLkTL


18

Adic avem sistemul:

b21

cba33

ba0

i rezult:

2c2

1b

2

1a

i obinem relaia:

pdkdpkQ 222/12/1

OBSERVAIE: Din experimente i considernd c pentru un orificiu situat pe

o parte a unui rezervor la adncimea H avem relaia Hgp se constat c avem

42k

, deci:

Hg2d4

1Hgd

42Q 22

1.4 Folosind analiza dimensional s se determine presiunea unui fluid incompresibil asupra unui obiect imersat admind c presiunea este funcie de

densitate i de vitez.

REZOLVARE

Cutm o dependen de forma:

v,fp

ba vkp

b1a321 LTMLkTML

bba3a21 TLMkTML


19

adic obinem sistemul:

b2

ba31

a1

2b

1a

Obinem: 2vkp

1.5 Admind c puterea furnizat de o pomp este funcie de greutatea specific a lichidului , de debit Q i de nlimea de pompare H, stabilii o ecuaie prin

analiz dimensional.

REZOLVARE

H,Q,fP cba HQkP

cb13a2232 LTLTMLkTML b2a2cb3a2a32 TLMkTML

Avem deci sistemul:

ba23

cb3a22

a1

care rezolvat d soluia:

1c

1b

1a

Obinem astfel pentru putere relaia:

HQkP

Pentru 1k i innd cont c g obinem relaia cunoscut:

HQgP


20

1.6 S se stabileasc relaia de calcul pentru puterea furnizat de o pomp prin analiz dimensional tiind c aceasta se va exprima n funcie de densitatea

lichidului vehiculat, acceleraia gravitaional, debitul Q i nlimea de pompare H.

REZOLVARE

Aceast problem este asemntoare cu problema anterioar, ea va ajunge

practic la acelai rezultat. Se pornete deci de la legtura dintre mrimile fizice

precizate n enun.

H,Q,g,fP dcba HQgkP

adic:

dc13b2a332 LTLLTMLkTML cb2dc3ba3a32 TLMkTML

i se ajunge la sistemul:

cb23

dc3ba32

a1

3cb2

5dc3b

1a

Pentru rezolvarea sistemului se observ c avem 3 ecuaii i 4 necunoscute. De

aceea ne folosim de faptul c rezolvnd problema anterioar am obinut c 1b i pentru acest caz avem:

1d

1c

1b

1a

adic:

HQgP

deci am obinut i n acest caz rezultatul problemei anterioare.

1.7 Admind c fora cu care acioneaz un fluid n micare asupra unui corp este funcie de densitate, vscozitatea dinamic, viteza fluidului i o lungime

caracteristic a corpului stabilii ecuaia general a forei.

REZOLVARE

Folosind tot analiza dimensional pentru for avem:

l,v,,fF


21

dcba lvkF

dc1b11a32 LLTTMLMLkMLT cbdcba3ba2 TLMkMLT

adic:

cb2

dcba31

ba1

b2d

b2c

b1a

Adic: b2b2bb1 lvkF

nmulim i mprim cu 2 i punem expresia sub forma:

2

vl

lvk2F

22

b

OBSERVAIE: Recunoatem n parantez numrul Reynolds i tiind c l2

este o arie obinem:

2

vARek2F

2b

sau echivalent cu o relaie cunoscut:

2

vACF

2

p

1.8 S se stabileasc o expresie a tensiunii tangeniale vscoase a unui fluid care curge printr-o conduct admind c aceasta depinde de diametrul conductei,

rugozitatea relativ a peretelui, de densitatea fluidului, de viscozitate i viteza fluidului.

REZOLVARE

Vrem s stabilim o legtur ntre tensiunea tangenial i diametrul d,

rugozitatea relativ a peretelui k, densitatea , vscozitatea dinamic i viteza

fluidului v.

v,,,k,df

edcba vkdC

i am notat cu C coeficientul de proporionalitate.

Rugozitatea relativ a peretelui este o mrime adimensional.


22

e1d11c3b

a21 LTTMLMLL

LLCTML

eddcedc3a21 TMLCTML

Relaia trebuie s fie omogen dimensional, deci avem:

ed2

edc3a1

dc1

Rezolvnd sistemul n funcie de d avem:

d2e

d1c

da

Deci am obinut o relaie de forma: d2dd1bd vkdC

Grupm termenii i obinem:

2b

d

vkdv

C

Se observ n parantez c avem numrul Reynolds. 2bd vkReC

OBSERVAIE: Am pus astfel n eviden o relaie de legtur ntre i

numrul Re i rugozitatea relativ a pereilor, de aici fiind necesare i corelrile ce se

pot face cu rezultatele experimentale.

1.9 S se stabileasc expresia cderii de presiune p ce apare ntr-o conduct de diametru d, lungime l, rugozitatea relativ a peretelui k, ce transport un

fluid cu densitatea i vscozitatea dinamic cu viteza medie pe seciune v folosind

analiza dimensional.

REZOLVARE

Avnd date mrimile de care depinde cderea de presiune p putem considera:

v,,,k,l,dfp sau:

fedcba vkldCp


23

unde k este rugozitatea relativ a peretelui d

k

, adic este o mrime adimensional,

raportul dintre nlimea asperitilor superficiale i diametrul d al conductei.

v,,k,l,dfp fedcba vkldCp

f1e11d3c

ba21 LTTMLMLL

LLLCTML

fefed3baed21 TLMCTML

fe2

fed3ba1

ed1

Considerm 1b . Obinem:

f2e

1fd

1b

3fa

ff21fc3f vkldCp

mprim cu g

ff21f

c2f

vkld

d

g

1C

g

p

2c

2f

2f2f2f

vkd

lvd

g

1C

g

p

g

vdvk

d

l

2

2C

g

p 22f

c

g

v

d

lk

dvC2

g

p 2c2f

Se observ n parantez numrul

dvRe

g

v

d

lConst

g

p 2

adic s-a ajuns la relaia lui Darcy.


24

OBSERVAIE: Se observ c metoda Rayleigh se folosete uor cnd

numrul mrimilor studiate este mai mic dect cinci sau ase. Astfel se obine un

sistem de ecuaii cu mult mai multe necunoscute i chiar dac se mai fac anumite

ipoteze simplificatoare cazul este mai complicat matematic. n acest caz este de

preferat s se aplice Teorema Pi. Aceeai problem este rezolvat mai jos n problema

urmtoare folosindu-se Teorema Pi.

1.10 S se stabileasc expresia cderii de presiune p ce apare ntr-o conduct de diametru d, lungime l, rugozitatea relativ a peretelui k, ce transport un

fluid cu densitatea i vscozitatea dinamic cu viteza medie pe seciune v folosind

teorema Pi n cadrul analizei dimensionale.

REZOLVARE

Vrem s stabilim urmtoarea dependen:

v,,,k,l,dfp Teorema Pi sau teorema Vaschy-Buckingham arat c orice relaie ce conine n

mrimi fizice din care p mrimi primare i s mrimi secundare, poate fi pus

sub forma unei relaii ntre s produse adimensionale.

Se aleg mrimile primare dintre mrimile ce guverneaz fenomenul astfel nct

s ndeplineasc urmtoarele cerine:

- s fie independente adimensional; - s permit exprimarea tuturor unitilor fundamentale. Mrimile care apar n relaie se scriu ntr-o matrice dimensional ce conine

exponenii mrimilor fundamentale L, M, T astfel:

Dimensiune/Mrime p d l k v

M 1 0 0 0 1 1 0

L -1 1 1 0 -3 -1 1

T -2 0 0 0 0 -1 -1

S-a inut cont de observaia fcut i n problema anterioar i anume c k este

rugozitatea relativ a peretelui d

k

, adic este o mrime adimensional.

n aceast matrice mrimile primare ce trebuie alese trebuie s asigure un

detzerminant diferit de zero.

Dac se aleg mrimile d, , v avem ndeplinite cele dou cerine pentru mrimi

primare, iar determinantul:

01

100

131

010


25

Avem deci trei mrimi primare(d, , v) din cele apte, i deci celelalte patru sunt

mrimi secundare i se pot forma patru produse adimensionale.

Vom grupa mrimile primare la sfritul relaiei:

v,,d,,k,lfp Matricea dimensional se reduce la:

Dimensiunea Exponent

dimensional

A1

p

A2

l

A3

k

A4

A5

d

A6

A7

v

M

i

1 0 0 1 0 1 0

L i

-1 1 0 -1 1 -3 1

T i -2 0 0 -1 0 0 -1

Produsele adimensionale care se formeaz sunt de forma:

oooKKKK

7

K

6

K

5

K

4

K

3

K

2

K

1 TLMTLMAAAAAAAiiii1i7654321

unde i , i , i sunt exponenii dimensiunilor M, L, T pentru fiecare mrime Ai i

care rezult din matrice. Produsul este adimensional, deci exponenii dimensionali ai

produsului sunt nuli i avem:

0KKK2K

0KK3KKKKK

0KKKK

741ii

765421ii

641i

Avem format un sistem de trei ecuaii cu ase necunoscute (K3 nu apare n sistem).

0KKK2

0KK3KKKK

0KKK

741

765421

641

de unde rezult:

425

417

416

KKK

KK2K

KKK

n matricea soluiilor se va da succesiv valoarea 1 uneia din mrimile K1, K2, K3,

K4 i celelalte se iau zero. i calculm valorile lui K5, K6, K7 n funcie de primele pe

baza relaiilor stabilite mai sus.


26

Deci s-au format urmtoarele produse adimensionale:

2

21

1v

pvp

D

ldl 12

k3

vdvd 1114

Aceste produse adimensionale exprim de fapt mrimile secundare cnd s-au

stabilit cele primare. Atunci avem obinut relaia:

v

v,,

d

d,

vd,k,

d

lf

v

p2

adic o dependen de forma:

vd,k,

d

lf

v

p12

OBSERVAIE: tiind c p este direct proporional cu lungimea conductei,

deci i cu l/d se mai poate scrie:

vd,kf

d

l

v

p22

i innd cont de criteriile de similitudine, avem:

Re,kfd

lEu 2

sau

2

v

d

lkRe,

2

v

d

lRe,kf2vRe,kf

d

l

2

2p

22

2

2

2

p

K1

l

K2

k

K3

K4

d

K5

K6

v

K7

1 1 0 0 0 0 -1 -2

2 0 1 0 0 -1 0 0

3 0 0 1 0 0 0 0

4 0 0 0 1 -1 -1 -1


27

adic relaia lui Darcy. Funcia se determin fie experimental, fie din considerente

teoretice. Deci prin analiz dimensional s-au stabilit doar parametrii adimensionali ce

guverneaz fenomenul.

1.11 S se determine folosind teorema Pi formula debitului peste un deversor triunghiular dac acesta depinde de nlimea lamei deversante h, unghiul la

vrf , densitatea lichidului , vscozitatea cinematic a lichidului , tensiunea

superficial i acceleraia gravitaional g.

REZOLVARE

Dorim s gsim o dependen de forma:

g,,,,,hfQ Considernd explicaiile fcute pe larg la problema anterioar putem scrie:

Q h g

M 0 0 0 1 0 1 0

L 3 1 0 -3 2 0 1

T -1 0 0 0 -1 -2 -2

Dac alegem h, , g mrimile primare avem determinantul:

02

200

131

010

Deci avem mrimile primare h, , g i avem patru mrimi secundare, deci patru

produse adimensionale.

Procednd ca la problema anterioar se va ajunge la urmtoarea dependen:

g

g,

hg,

hgh,,,

h

hf

hgh

Q22

Ca exemplificare considerm:

ooo322 TLMLMTLLTMgh Adic se obine:

022

03

01

1

1

2

Deci ca s exprimm termenul adimensional care-l conin pe am obinut:

2hg


28

Analog se procedeaz i pentru i pentru . Se ajunge la dependena mai simpl:

212 hg

,hgh

,fhgh

Q

Deci avem: 2/12/5

1

2

1 ghfhghfQ

1.12 Pentru studiul unui deversor s-a construit un model avnd dimensiunile de 20 de ori mai mici dect ale prototipului. S se stabileasc scrile pentru viteze i

debite. Considernd debitul deversorului Qp=250 m3/s s se determine debitul necesar

pe model.

REZOLVARE

n cadrul unui deversor criteriul determinant n realizarea similitudinii este criteriul

Froude:

lg

vFr

2

Conform teoremei lui Newton pentru fenomene ce formeaz un grup de

similitudine, criteriile de similitudine de acelai nume au valori unice pentru toate

fenomenele grupului. Aceasta nseamn n cazul nostru c numrul Froude pentru

prototip i pe model are aceeai valoare.

mp FrFr

mm

2

m

pp

2

p

lg

v

lg

v

Dar acceleraia cmpului gravitaional terestru este practic constant, deci

mp gg

i se obine:

m

p

2

m

2

p

l

l

v

v

De unde scara corespunztoare vitezelor, adic raportul dintre viteza de pe prototip

i cea de pe model, rezult c este:

472,420l

l

v

vv

m

p

m

p

o

Scara debitelor se calculeaz innd cont de ecuaia de continuitate SvQ


29

854,178820ll

l

l

l

l

l

l

l

v

v

Sv

Sv

Q

QQ 2/52/5o

5,2

m

p

2

m

p

m

p

2

m

2

p

m

p

mm

pp

m

p

o

Debitul necesar pe model va fi:

1397,020

250

Q

QQ

2/5

o

p

m m3/s

1.13 ntr-o conduct cu diametrul 250 mm curge ap la 15C cu viteza de 5 m/s. Cu ce vitez trebuie s curg un combustibil la temperatura de 32C (c=2,9710

-6

m2/s) ntr-o conduct de 150 mm pentru ca cele dou curgeri s fie din punct de vedere

dinamic asemenea?

REZOLVARE

n cazul micrii n conduct efectul vscozitii nu poate fi neglijat i de aceea

trebuie respectat criteriul de similitudine de tip Reynolds. nseamn c pentru a avea o

similitudine hidrodinamic ntre cele dou fenomene trebuie ca cele dou numere

Reynolds pentru cele dou curgeri s fie egale.

lcombustibiapa ReRe

c

cc

a

aa dvdv

unde indicele a este pentru ap i indicele c corespunde combustibilului. Vscozitatea apei la 15 se determin cu formula lui Poiseuille:

2

6

t00022,0t0337,01

1078,1

[m2/s]

t fiind temperatura apei n [C].

Pentru ap la 15C se obine vscozitatea cinematic:

6

2

6

a 101447,11500022,0150337,01

1078,1

m2/s

Rezult n final:

621,21101447,1

1097,2

150

2505

d

dvv

6

6

a

c

c

a

ac

m/s

1.14 Pentru golirea modelului unui rezervor sunt necesare 6 minute prin deschiderea ventilului de evacuare. S se determine timpul necesar golirii unui rezervor

de 225 de ori mai mare dect modelul.


30

REZOLVARE

n acest caz greutatea este fora dominant i deci criteriul de similitudine care

trebuie respectat este cel al lui Froude. Aceasta nseamn c pentru model i prototip

avem:

pm FrFr

pp

2

p

mm

2

m

lg

v

lg

v

Dar pm gg

i avem n continuare:

p

m

2

n

2

m

l

l

v

v o

p

m

p

m ll

l

v

v

Adic oo lv sau:

o

1

oo ltl

oo lt

Adic:

15225lt

to

m

p

Timpul necesar golirii prototipului este:

9015615tt mp minute

1.15 n cazul unui ajutaj Venturi ce funcioneaz cu ap la temperatura de 20C se dorete o vitez n seciunea contractat de 450 mm de 5 m/s. Se construiete

un model de 4 ori mai mic dect prototipul care va funciona cu ap la 40C. S se

determine care este debitul necesar pentru model.

REZOLVARE

Criteriul de similitudine n acest caz care trebuie respectat este:

pm ReRe

p

pp

m

mmdvdv

Din relaia lui Poiseuille se determin vscozitatea cinematic a apei la cele dou

temperaturi (20C i 40C). 6

20p1001,1o

m2/s

6

40m1066,0o

m2/s


31

07,131001,1

1066,045

d

dvv

6

6

p

m

m

p

pm

m/s

1299,04

4

450,0

07,134

dvSvQ

2

2

mmmmm

m3/s

1.16 ntr-un prototip se va folosi ulei cu vscozitatea cinematic p=4,7010

-5 m

2/s. Considernd c dominante n prototip sunt fora de greutate i

forele de frecare vscoase se dorete s se construiasc un model la scara 1/10. Care

va fi vscozitatea lichidului necesar pentru model?

REZOLVARE

innd cont c dominante sunt fora de greutate i forele de frecare vscoas

nseamn c att numrul Froude ct i numrul Reynolds trebuie s fie acelai pentru

model i prototip. Aceasta nseamn c avem:

mp FrFr adic mm

2

m

pp

2

p

lg

v

lg

v

i mp gg

Rezult c avem m

p

2

m

2

p

l

l

v

v

Aceast relaie dac o scriem considernd scara lungimilor m

p

ol

ll i scara

vitezelor m

p

ov

vv devine: o

2

o lv oo lv

A doua condiie care trebuie ndeplinit este:

mp ReRe adic m

mm

p

pp dvdv

de unde:

2/3

o

p

oo

p

oo

p

p

m

p

mpm

ll

1

l

1

l

1

v

1

d

d

v

v

Fcnd nlocuirile obinem:

6

2/3

5

2/3

o

mm 10486,1

10

1070,4

l

m2/s


32

1.17 Se consider un prototip ajutaj convergent ce se dorete s se foloseasc pentru un debit Qp=80 l/s de ap cu viteza vp=50 m/s. S-a construit i

ncercat un model cu diametru la ieire dm=40 mm la o diferen de presiune pm=3 bar

tot cu ap i s-a obinut un debit Qm=20 l/s i viteza medie pe seciunea contractat a

ajutajului vm=25 m/s. S se determine pentru prototip care este diferena de presiune i

diametrul seciunii de ieire din ajutaj.

REZOLVARE

Criteriul de similitudine care trebuie luat n considerare innd cont c avem cdere

de presiune este Euler. Astfel putem scrie pentru model i prototip:

pm EuEu

adic:

2

pp

p

2

mm

m

v

p

v

p

Pentru c att modelul ct i prototipul sunt ncercate cu acelai lichid (apa) avem

pm i rezult:

2

m

p

m

p

v

v

p

p

Astfel obinem:

bar12Pa101225

50103

v

vpp 5

2

5

2

m

p

mp

Cunoscnd debitele pentru prototip i model putem considera i raportul:

2

o

m

p2

o

m

p

mm

pp

m

pl

p

pl

v

v

Sv

Sv

Q

Q

i rezult scara lungimilor:

4142,1250

25

20

80

v

v

Q

Q

p

p

Q

Ql

p

m

m

p

p

m

m

p

o

Dar scara lungimilor nseamn:

2d

dl

m

p

o mm57,56m05657,02040,02dd mp


33

1.18 La etalonarea unei diafragme avnd D=250 mm i d=150mm pentru msurat aerul se folosete apa. S-a determinat debitul minim de ap de la care

coeficientul de debit rmne constant Qmin=19 l/s la o diferen de presiune pm=65

mm col Hg. Care este debitul minim de aer i diferena de presiune n mm col Hg

pentru Q minim de aer. Se dau apa=1,0110-6

m2/s, aer=18,1810

-6 Pas,

aer=1,17 kg/m3.

REZOLVARE

Pentru cele dou fenomene putem scrie:

pm ReRe

p

pp

m

mmdvdv

Fiind vorba de aceeai diafragm avem pm dd .

Astfel obinem:

p

m

p

m

v

v

Raportul debitelor se poate scrie:

p

m

p

m

2

p

m

p

m

p

m

v

v

d

d

v

v

Q

Q

i obinem:

2923,01001,1

17,1

1018,18

019,0QQ6

6

m

p

mp

m3/s

Cderea de presiune apare n criteriul Euler i putem scrie pentru model i prototip

egalitatea:

pm EuEu

2

pp

p

2

mm

m

v

p

v

p

2

6

6

2

m

p

m

p

m

2

m

p

m

p

mp1001,1

17,1

1018,18

1000

17,165p

v

vpp

= 18 mm Hg


34

1.3.2 Probleme propuse spre rezolvare

1.19 S se stabileasc relaia dintre numrul Reynolds i densitatea , vscozitatea dinamic , viteza v a fluidului i o lungime caracteristic l folosindu-se

analiza dimensional.

R:

lvRe

1.20 S se determine dependena dintre rezistena la naintare a unui corp ntr-un fluid, tiind c depinde de viteza v, o dimensiune caracteristic a corpului l,

rugozitatea suprafeei acesteia k, densitatea fluidului , vscozitatea dinamic i

modulul de compresibilitate E.

R:

MaRe,,

l

k

lv

F22

1.21. S se determine viteza ntr-un punct al unui deversor, dac s-a construit

un model al deversorului funcionnd n condiii similare, fiind de 30 de ori mai mic i

corespunztor a dou puncte omoloage de pe model i prototip, n punctul

corespunztor modelului viteza este v=0,5 m/s.

R: vp=2,739 m/s

1.22. Printr-o conduct avnd diametrul de 100 mm curge ap cu viteza de 1,5

m/s la 20C (apa 20oC=1,0110

-6 m

2/s). Cu ce vitez va curge petrolul (p=410

-6 m

2/s)

prin aceeai conduct considernd cele dou curgeri similare.

R: vp=5,94 m/s

1.23 Printr-o conduct cu diametrul de 500 mm se transport aer cu o vitez de

2,5 m/s. Pentru a asigura o similitudine dinamic care trebuie s fie dimensiunile unei

conducte care transport ap la 15C cu o vitez de 1,5 m/s? (aer=1,4910-5

m2/s i

apa=1,1410-6

m2/s).

R: dapa=63,76 mm

CAPITOLUL 2

CALCULUL I MSURAREA DEBITULUI FLUIDELOR

INCOMPRESIBILE N MICARE PERMANENT

NOTAII I SEMNIFICAII FIZICE Q-debitul volumic n (m

3/s)

s-seciune de flux

S-aria seciunii s n (m2)

V-volum de lichid n (m3)

t-timpul n (s)

V -vectorul vitez ntr-un punct al seciunii s

V-modulul vectorului V n (m/s) Vs=Q/S-viteza medie n seciunea s n (m/s)

-densitatea fluidului n (Kg/m3)

M-debitul masic n (Kg/s)

z-cota fa de un plan de referin epicentric n (m)

p-presiunea n (N/m2)

pd-presiunea dinamic n (N/m2)

-coeficientul de etalonare al sondei Pitot-Prandtl

- coeficientul Coriolis de neuniformitate a distribuiei vitezei

hp-pierderea de energie hidraulic n (metri coloan de lichid)

Z, Z*, -cota suprafeei libere real sau ipotetic n (m)

H, H*, y-diferen de nivel

PM-presiunea (relativ) indicat de manometru n ( N/m2)

CC-coeficient de contracie

CV- coeficient de vitez

CQ- coeficieent de debit

D- diametrul (hidraulic)n (m)

Re-numrul Reynolds

h- nlimea lamei deversante n (m)

2.1 INTRODUCERE

Debitul este un parametru esenial n ingineria fluidelor prin intermediul cruia

se poate face o analz cantittativ, dar i al eficienei din punct de vedere energetic a

proceselor de transport i transfer.


36

2.2.NOIUNI TEORETICE

Pentru micarea permanent a fluidelor incompresibile debitul (volumic) Q, se

definete prin intermediul fluxului vitezei ca o msur scalar asociat unei seciuni

de curgerea (de flux) s:

s

danVQ (2.1)

sau dac n seciunea s micarea are loc n lungul unor drepte paralele, VnV :

s

VdaQ (2.2)

Fig. 2

n aplicaiile tehnice debitul se exprima prin intermediul vitezei medii. Mrime

fr semnificaie fizic viteza medie Vs:

S

QVs (2.3)

2 - Calculul i msurarea debitului fluidelor

37

caracterizeaz situaia ipotetic corespunztoare unei distribuii uniforme a vitezei n

seciunea s:

s

ss SVdaVVdaQ (2.4)

i intervine n expresiile ecuaiilor de transfer -ale: masei, ETM, i energiei mecanice

ETEM -aplicate volumului de control standard [1]

ETM 2211 SQSVQ (2.5)

ETEM 21p

2

22

22

2

11

11 h

g2

V

g

pz

g2

V

g

pz

(7.6)

n conformitate cu definiia (2.2) pentru lichide debitul se exprim ,fig.2, i

prin volumul vehiculat prin seciunea respectiv n unitatea de timp:

t

VQ (2.7)

sau sub form diferenial:

QdtdV (2.8)

Relaiile de mai sus stau la baza metodelor directe (fr introducerea unor

mrimi auxiliare) de msurare a debitului n instalaiile sub presiune (conducte) sau la

curgerile cu suprafa liber (canale)

Observaie: pentru fluidele incompresibile ( = ct), debitul masic rezult din

M=Q (2.9)

Calculul debitului, conform definiiei (2.1), presupune cunoaterea cmpului

de viteze n seciunea de flux i posibilitatea evalurii integralei de suprafa.. Aceste

deziderate imposibil de ndeplinit reclam:

acceptarea unor ipoteze simplificatoare privind: distribuia (cmpul) i,

metode experimentale sau relaii de calcul pentru determinarea vitezelor.


38

2.3 APLICATII

2.3.1. Probleme rezolvate

2.1. S se stabileasc ecuaiile pentru micarea laminar a unui fluid vscos printr-o conduct circular de seciune constant s, fig.2.1, n ipoteza micrii axial

simetrice:

REZOLVARE Se pleaca de la ecuatia:

pV ,

=0

innd cont de legea de distribuie a vitezei:

2

max 1R

rVrV

debitul Q are expresia:

2

s

R

0

2

RV2

rdr2R

r1VVdaQ

maxmax

i cu aceasta viteza medie:

2

V

S

QVs

max

Fig.2.1


39

Observaie.

Ipoteza micrii axial simetrice este acceptat i n cazul curgerilor turbulente

n conducte .n aceste cazuri este necesar explorarea cmpului cu ajutorul unor

instrumente de msurare a vitezei cel mai accesibil fiind sonda Pitot-Prandtl. ntr-un

punct viteza sesizat de sond se obine din relaia:

din

p2V (2.10 )

Pentru ca ipoteza micrii axial simetrice s fie viabil, este necesar

msurarea vitezei n (ct) mai multe puncte situate la aceeai raz r. iar viteza

presupus constant conform ipotezei, este media aritmetic Vmed(r) = ct( r ) a celor

msurate. Cu acestea, n seciunea transversal a conductei n care s-au fcut

msurtorile s, conform definiiei, debitul Q rezult din:

2R

0

med

R

0

med

s

rdrVdrrrV2VdasQ

prin soluionarea numeric (grafic) a integralelor.

Pentru regimurile turbulente de curgere n general, nu se cunosc distribuiile de

viteze n seciunile de flux i ca atare pentru calcul, n aplicaii,in general, se accept o

distribuie uniform echivalent unei viteze medii. n aceast situaie debitul poate fi

calculat apelnd la ecuaiile de transfer (2.5) i (2.6) n care implicit:

1daV

V

S

1

sm

.

2.2 S se calculeze debitul de ap ( H2O=1000Kg/m3 ) vehiculat printr-o

conducta orizontal de seciune circular constituit din dou tronsoane cu diametrele.

D1=0.025m, D2=0.05m fig.2.2, dac denivelarea indicat de piezometrul diferenial

indirect cu mercur (Hg=13600Kg/m3) conectat la extremitile conductei este

h=0.03m, iar pierderile (locale i longitudinale) pe conduct au fost estimate la

hp(1-2)=0.2m coloan ap.


40

Fig.2.2

REZOLVARE

21phh1

O2

H

Hgg2

1

4

1D

2D

1

21ph

go2

H

1p

2p

g2

1

4

1D

2D

12

V

2

1D

2D

1V

2V

Q2=V2S2=0.0169m3/s


41

Analog, prin identificarea unor seciuni n care distribuia de viteze poate fi

acceptat ca uniform i asociat unei viteze medii, se procedeaz n cazul :

Orificiilor -inecate sau nu- practicate n, sau ajutajelor cilindrice(tronsoane

scurte de conduct) ataate la, peretele unui rezervor de cot constant fig. 2.2.a, sau

instrumentelor de msur a debitului n sistemele sub presiune (conducte)diafragma,

ajutajul, tubul Venturi, fig.2.2.b.

Fig.7.2a


42

diafragm

ajutaj

Tub Venturi

Fig. 2.2b

Observaii:

Pentru situaiile menionate, fig. 2.2a, ,fig. 2.2b, expresia debitului este

structural aceiai:

C0Q

Q

Q

pp2SC

gH2SC

gH2SC

Q (2.11)

cu:

S

SC CC (2.12)

c0 ssp

Vh1

1C

(2.13)

VCQ CCC (2.14)


43

Coeficienii de debit CQ. de vitez CV, i de contracie CC, se determin

experimental i depind de tipul seciunii s de dimensiunea (relativ n raport cu sarcina

H sau diametrul conductei ) i calitatea suprafeei (rugozitatea) acesteia i, de regimul

de curgere (numrul Reynolds

VD

Re ).

n seciunea contractat sC (asemenea geometric cu s) micarea se desfoar n

lungul unor drepte paralele iar fenomenul de contracie se explic prin faptul c liniile

de curent au direcii convergente, convergen care se continu i dup seciunea s.

Sunt situaii n care, prin forma i dimensiunile (relative) seciunii de flux

procesul de contracie este atenuat, i / sau nu se poate identifica o seciune contractat

asemenea geometric n care este acceptabil ipoteza unei distribuii uniforme a vitezei.

n unele din aceste cazuri este posibil estimarea debitului dac:

a) se presupune c, n seciunea de flux, viteza este constant pentru orice plan

orizontal situat la cota Z fa de planul real sau ipotetic al suprafeei libere Z*, i are

respectiv expresiile:

gZ2zzg2V 0 (2.15)

gZ2zz

g

pg2V 0

M (2.16)

obinute pentru un fluid ideal din ecuaia lui Bernoulli.(EB):

(EB) ctg2

V

g

pz

2

(2.17).

b) se poate soluiona integrala de suprafa (2.1)

n cazul utilizrii ca instrumente de msur sau pentru o evaluare ct mai

exact expresiile rezultate trebuiesc corectate cu un coeficient de debit stabilit pe cale

experimental.

2. 3 n peretele lateral al rezervorului cu ap ( H2O=1000Kg/m3 ), din fig.2.3,

este practicat un orificiu de seciune dreptunghiular h=2m, b=4m. Rezervorul de cot

constant, a=4m, este nchis iar presiunea n perna de aer este msurat cu ajutorul

unui manometru plasat pe capac care indic 1,962 bar. S se calculeze debitul Q

vehiculat prin orificiu i s se compare cu cel obinut dac rezervorul este deschis.


44

Fig.2.3

REZOLVARE

n conformitate cu Fig.2.3 conform definiiei (2.1) din (2.16) rezult:

s/m154,117ag

pha

g

pg2b

3

2

dZbgZ2VdaQ

32

3

M2

3

M

*

s

hag

p

ag

p

*

M

M

i respectiv:

s/m3,82ahag2b3

2bdZgZ2VdaQ 32

3

2

3

s

ha

a

0pM


45

2. 4 S se stabileasc n funcie de nlimea lamei deversante h expresia

debitului unui deversor triunghiular avnd unghiul la vrf 2 (fig.2.4).

Fig.2.4

REZOLVARE

Cu relaia (2.15) i notaiile din fig.2.4, rezult:

25

s

h

0

htgg215

8dztgzh2gZ2VdaQ

Observaie

Pentru cazul considerat-deversor triunghiular cu muchii ascuite i 2=900,

debitul real, se obine nmulind expresia de mai sus cu un coeficient de debit

CQ=0.5926 determinat experimental. Pentru alte variante constructive-cu seciune

dreptunghiular, circular, parabolic, cu profil gros, cu prag lat, .a - coeficienii de

debit au valori distincte dar metodologia de determinare a expresiei debitului este

aceiai.

Relatiile (2.8 ), (2.11) sunt aplicate i la tratarea unor probleme de golire sau

de transvazare a lichidelor dintr-un rezervor n altul- cazuri particulare de curgeri

nepermanente .n aceste cazuri se consider c variaia parametrilor definitorii a

micrii este lent i micarea poate fi tratat ca o succesiune temporal de curgeri

staionare.

2. 5 Un vas de form oarecare, fig.2.5, alimentat cu debitul constant Qa este prevzut cu un orificiu de golire avnd coeficientul de debit CQ. S se determine legea

de variaie n timp a cotei Z a suprafeei libere fa de planul orificiului. Pentru cazul

particular al unui rezervor paralelipipedic de seciune ptrat L=2m, dac Qa=0, i

orificiul circular d=0.1m are coeficientul de debit CQ=0.6 s se determine timpul de

golire al rezervorului tG dac la momentul iniial t=0,cota suprafeei libere H= 10m.


46

Fig. 2.5

REZOLVARE

Considernd momentul iniial t=0, Z=H. La acest moment debitul asociat

seciunii s a orificiului este gH2d4

CQ 2Q0

. Dac Q a< Q 0 nivelul suprafeei

libere va cobor n aceast situaie la un moment de timp t cu relaia (2.8) se scrie:

dZt,ZSdtQgZ2d4

C a2

Q

unde S(Z,t) este aria suprafeei s(Z,t) i dVol=S(Z,t)dZ cu dZ


47

Din momentul t k curgerea devine permanent deoarece nivelul suprafeei

libere se menine la cota k ,debitul de alimentare fiind egal cu cel evacuat prin orificiu.

Dac seciunea transversal a rezervorului este constant i deci S(Z, t)= S = ct, se

obine:

kZ

kHlogHZk

g2d4

C

St

2

Q

,

din care rezult evident, c prezumtiva cot k nu este atins niciodat t . Pentru rezervorul de seciune ptrat (S = L

2) nealimentat (Qa = 0 k = 0 )

prin particularizarea relaiilor precedente sau direct cu (2.8) din:

g2d4

C

HL2

Z

SdZ

g2d4

C

1t

2

Q

20

H2

Q

G

rezult timpul de golire t G =300s.

2. 6 Un rezervor paralelipipedic este divizat de un perete vertical n dou

compartimente avnd seciunile transversale s i s*

de arie constant, respectiv

S=10 m2 i S

*=12 m

2. n peretele despritor, fig.2.6, este practicat un orificiu

circular s0 avnd diametrul d=0.2 m i coeficientul de debit CQ =0.6 Dac la un

moment dat, considerat iniial t=0, diferena de nivel ntre suprafeele libere din

cele dou rezervoare este H=10 m, s se determine timpul tG necesar egalizrii

celor dou nivele.

Fig.2.8


48

REZOLVARE

La un moment dat t, diferena de nivel a lichidului n cele dou compartimente

este:

ZZy

i, debitul transvazat prin orificiu (necat), are expresia:

gy2d4

Ct,sQ 2Q

La momentul t (arbitrar) considerat, pentru cele dou compartimente n

conformitate cu (2.8) i (2.11) se scriu relaiile.

)0dZ(umplere..........dZSdtgy2d4

C

)0dZ(golire............SdZdtgy2d4

C

2

Q

2

Q

i cu: dZdZdy

rezult:

gy2d4

C

dy

SS

S.Sdt

2

Q

din care:

s80

g2d4

C

H

SS

S.S2dtt

2Q

0

H

G

2.3.2. Probleme propuse spre rezolvare.

2.7. Doua rezervoare de sectiune patrata cu laturile L1=2.4m respectiv

L2=1.2m, au un perete despartitor prevazut cu un orificiu de arie s=230 cm2. La

momentul initial, cotele suprafetelor libere, fata de axa orificiului, erau,in cele

doua rezervaoare H1=3m, respectiv H2=0.9m. Sa se determine timpul necesar

pentru egalizarea nivelelor daca coeficientul de debit al orificiului este Cq=0.8.

R: t=41.8s


49

2.8. Printr-o conduct de diametru D = 0,2 m circul ulei (u = 800 kg/m3),

fig.2.8. Considernd curgerea laminar i axial simetric s se determine debitul

vehiculat dac la raza r = 0,05 m viteza a fost msurat cu o sond Pitot-Prandtl

conectat la un piezometru diferenial indirect cu mercur (Hg = 13600 kg/m3). Se

cunoate coeficientul de etalonare (corecie) al sondei = 0,98 i denivelarea

L = 0,01m indicat de piezometru. B.

Fig.2.8

R: Q0,114 m3/s

2.9. n peretele lateral plan vertical al unui rezervor de cot constant H = 4,5

m este plasat un orificiu de diametru D = 0,05m. Viteza real din zona contractat a

jetului este de 8,4 m/s. S se determine pentru debitul Q = 11,4 m3/s, valorile

coeficienilor de contracie i de debit.

R: CC=0,690 C=0,627

2.10. Un rezervor cilindric.deschis, cu ulei (ulei=750kg/m3), cu diametru

D=1.2m, este prevzut cu un ajutaj cilindric de golire, dispus pe capacul inferior, cu

diametrul d=0.075m i coeficientul de debit CQ=0.85. Ct timp este necesar ca nivelul

apei n rezervor s scad de la 1.8m la 1.2m.

R: tg=136s

2.11. S se stabileasc expresia debitului pentru un deversor dreptunghiular i s se calculeze debitul msurat pentru o nlime a lamei deversante h = 0,2 m, dac

limea deversorului este b = 0,2m i coeficientul de debit are valoarea CQ = 0,42.

R: Q=2/5CQb(g)1/2(h)5/2 Q=0.00188m3/s


50

2.12. S se calculeze debitul evacuat prin orificiul cu muchii ascuite, de

diametru d = 0,120m, practicat n peretele terminal al unei conducte de diametru

D = 0,2m, dac indicaia manometrului M, plasat pe conduct n amonte de orificiu

situat la cota h = 1,5 m fa de axa conductei este pM = 0,981 bar, fig.2.12. Care este

debitul vehiculat Q1 dac la orificiu se ataeaz o conduct scurt. Se cunoate

coeficientul de pierderi hidraulice (locale) la trecerea fluidului prin orificiu = 0,04 i

coeficicntul de contracie al vnei provenite din orificiu este CC = 0,62.

Fig.2.12

R: Q=0,115 m3/s ; Q1=0,155 m

3/s

2.13.Pe o conduct dreapt orizontal de diametru D = 0,3m, fig.2.13, este

plasat ca instrument de msur un tub Venturi avnd diametrul seciunii minime d =

0,15 m. S se determine debitul de ap vehiculat ( = 1000 kg/m3) dac se cunoate

coeficientul de debit al venturimetrului CQ = 0,9 i denivelarea h = 1 m citit la

piezometrul diferenial indirect cu toluen ( 1 = 1250 kg/m 3) conectat la instrument.

Fig.2.13

R: Q=0,0352 m3

/s


51

2.14. n peretele lateral vertical al unui rezervor nchis de cot constant, fig.2.14, cu ulei (ulei = 750 kg/m

3), este practicat un orificiu de descrcare avnd

d = 0,075 m, CV = 0,950 CC = 0,650. Care este presiunea n perna de aer citit la

manometrul montat pe capacul superior al rezervorului dac puterea jetului provenit

din orificiu P = gQH = 6 kW. Axa orificiului este situat fa de planul suprafeei

libere la adncimea H = 2,7m.

Fig-2.14

R: pM=1,122 bar

2.15.Un rezervor cu ap ( = 1000 kg/m3) de cot constant, fig.2.15, este prevzut cu un ajutaj de descrcare cu diametru d=0.1m avnd coeficientul de

contracie CC = 0,62. S se determine:

1) debitul evacuat dac nivelul suprafeei libere este situat deasupra axei ajutajului la cota H = 9 m

2) indicaia manovacuumetrului conectat la seciunea contractat a vnei n ajutaj

3) cota H maxim pentru care la eirea din ajutaj, vna are diametru d.

Fig.2.15

R: Q=0,0855 m3/s , pN= -0,35 bar, H=12,15 m

2.16. n pereii laterali, plani, verticali, opui, ai unui rezervor cu ap, de cot constant (ap= 1000 kg/m

3), sunt practicate dou orificii coaxiale, fig.2.16, unul

circular de diametru d = 0,2 m, CQ1 = 0,603, respectiv unul ptrat de latur a = 0,2 m,

CQ2 = 0,489. Cunoscnd debitul de alimentare Q = 0,2 m3/s care asigur pentru H = 4

m, un regim permanent de curgere s se determine debitele asociate celor dou orificii.


52

Fig.2.16

R: Q2=0,1016m3/s ; Q1=0,0984m

3/s

2.17. Care este coeficientul de debit CQ al unui deversor semicircular de raz

R = 0,5 m, fig.2.17, dac pentru o nlime h1 = 0,5 m debitul msurat a fost

Q = 0,48 m3/s .

Fig.2.17

R: CQ = 0,6

2.18. n peretele lateral al unui rezervor de cot constant H, fig.2.18, este practicat un orificiu circular cu diametru D (HD/2 ; HD ). S se determine neglijnd

pierderile expresia debitului Q evacuat prin orificiu i s se particularizeze pentru

:H=1m, a=1m, D=2m. (orificiul este tangent la suprafaa liber)


53

Fig.2.18

R: Q=4,3m3/s

2.19. Un rezervor vertical, fig.2.19, este constituit din dou compartimente .n

peretele despritor i n cel exterior al celui de al doilea compartiment snt practicate

dou orificii circulare cu diametrele d1=0.2m, d2=0.1m. S se determine coeficientul de

debit al orificiului din cel de al doilea compartiment i debitul de alimentare Q necesar

pentru ca nivelul lichidului n cele dou compartimente s se menin la cotele

H=0.36m respectiv H1=4m . Coeficientul de debit al primului orificiu este CQ1=0.58

Fig.2.19

R:CQ2=0.696 ; Q=0,484 m3/s

2.20. Un rezervor semisferic de raz R, fig.2.20, este prevzut cu dou orificii identice de diametru d dispuse n axa vertical ce trece prin centrul sferei.. Dac

rezervorul este umplut, s se stabileasc raportul dintre timpii de golire ai rezervorului,

prin cele dou orificii.

Fig.2.20

R: tg1/tg2=12/7


54

2.21. Un rezervor tronconic este prevzut cu un orificiu de golire cu perei subiri, fig.2.21. S se determine diametrul orificiului dac pentru: H=3m, D1=2.4m,

D2=1.2m, se impune ca timpul de golire s fie de 6 minute. Se accept pentru

coeficientul de debit al orificiului valoarea CQ=0.8.

Fig.2.21

R: d=0,0987 m

CAPITOLUL 3

CURGEREA LICHIDELOR PRIN CONDUCTE

Notaii i semnificaii fizice densitatea mediului lichid, n kg/m

3

vscozitatea cinematic, n m2/s

vscozitatea absolut, n Pa.s

v viteza medie de curgere, n m/s

Re numrul Reynolds

d diametrul conductei, n m

l lungimea conductei, n m

coeficientul de pierdere hidraulic longitudinal

coeficientul de pierdere hidraulic local

p presiunea, n Pa

tensiunea tangenial, n N/m2

g = 9,81 m/s2 acceleraia gravitaional

Q debitul volumic, n m3/s

coeficient de neuniformitate a vitezei pe seciune

hp pierderea hidraulic, n m

3.1. INTRODUCERE

n diverse ramuri ale practicii inginereti, problemele curgerii lichidelor prin

conducte se rezolv utiliznd ecuaia de transfer a energiei mecanice i ecuaia de

continuitate (prezentate n capitolul 2). Curgerea stabil a fluidelor reale trebuie luat

n considerare i rezolvat n contextul metodelor experimentale i semi-empirice. Ea

este de dou tipuri, laminar i turbulent, fiecare tip de curgere fiind guvernat de legi

diferite.

3.2. NOIUNI TEORETICE

Curgerea laminar este micarea n care nu exist schimb de substan ntre

straturile adiacente. Criteriul pentru caracterizarea naturii regimului de micare ntr-o

conduct a fost introdus de O.Reynolds prin:


56

Redvdv

(3.1)

unde Re poart numele de criteriu sau numr Reynolds.

Pentru condiiile de seciune circular s-au stabilit experimental valorile pentru

numerele Reynolds critice corespunztoare tranziiei laminar-turbulente.

2300dv

Re .inf.cr.inf.cr

(3.2)

4000dv

Re.sup.cr

sup.cr

(3.3)

Cnd Re

3 - Curgerea lichidelor prin conducte

57

4

R

l

pv

2

max

(3.7)

reprezint viteza maxim n axa conductei.

Viteza medie pe seciunea transversal a conductei va fi:

2

vv maxmed (3.8)

Tensiunea tangenial se determin din Legea de frecare Newton ca avnd o

variaie liniar n raport cu raza:

dr

dv

dn

dv (3.9)

innd cont i de relaiile (3.6) i (3.7) rezult:

l2

rp

(3.10)

2

med

R

vl8p

(3.11)

Se poate determina coeficientul pentru micarea laminar conform relaiei lui Hagen-Pouiseuille:

Re

64 (3.12)

Curgerea turbulent este micarea caracterizat de un puternic schimb de

substan ntre straturile adiacente de fluid.

n domeniul micrii trurbulente coeficientul de pierderi hidraulice ia valori diferite n funcie de regimul de curgere, dup cum urmeaz:

-regim de conduct hidraulic neted CHN: cnd nu depinde de rugozitatea relativ a conductei ci doar de numrul Re = (Re); -regim de conduct hidraulic semi-rugoas CHSR: cnd = (Re,k/d); -regim de conduct hidraulic rugoas CHR: cnd depinde exclusiv de rugozitatea relativ i are o valoare constant = (k/d)=const. Una i aceeai conduct poate fi hidraulic neted sau hidraulic rugoas n

funcie de valoarea lui Re i a raportului k/d. Pentru determinarea regimului

coeficientul se calculeaz astfel: se admite la nceput o valoare de iniializare a


58

calculului pentru n intervalul 0,02...0,04. Se stabilete valoarea criteriului lui

Moody, d

kReCrit , dup cum urmeaz:

a). Pentru CHN: Crit


59

3.3 APLICAII

3.3.1 Probleme rezolvate

3.1 S se determine viteza critic de curgere laminar ntr-o conduct avnd

diametrul d=20 mm pentru:

a). Ap la t=200C (=1,0110

-6 m

2/s);

b). Ulei avnd densitatea masei =920 kg/m3 i vscozitatea dinamic =10

-2

Pas.

REZOLVARE

a). n cazul unei curgeri laminare, numarul Reynolds critic este Rec=2300

dvRe de unde rezult:

116,0d

Rev cc

m/s

b). Se calculeaz vscozitatea cinematic a uleiului:

510087,1

m

2/s

25,1vc m/s

3.2. S se dimensioneze o conduct prin care trebuie s curg, n condiii de micare laminar, un debit de 2,308 l/s iei la temperatura de 15

0C (=2,8410

-5 m

2/s).

REZOLVARE Din ecuaia de continuitate rezult:

2d

Q4

S

Qv

Q4

dRe

v

Red

dvRe

2


60

De aici determinm diametrul ca fiind:

0449,023001084,2

10308,24d

Re

Q4d

5

3

m

3.3. Apa curge printr-o conduct avnd un diametru d=200 mm. Pierderea

hidraulic pe o lungime L=150 m este de 10 m, fig.3.3. S se determine:

a). Tensiunea tangenial la peretele conductei;

b). Viteza medie n conduct pentru un coeficient de pierdere prin frecare

=0,04;

c). Tensiunea tangenial la 40 mm fa de axa conductei?

Fig. 3. 3

REZOLVARE a). n ipoteza unei curgeri staionare, se scrie echilibrul forelor dup direcia x a

curgerii:

0ASpSp 21 sau

0Lr2rprp 222

1

Rezult:

L2

rp

L2

rppL2rpp d2121

La perete r=d/2=R. Prin urmare,

L4

dpd0


61

Dar pierderile hidraulice uniform distribuite pot fi scrise astfel:

pd hgp

nlocuind in relaia lui 0 obinem:

L4

hdg p0

7,321504

102,081,910000

N

b). Pierderile hidraulice uniform distribuite se exprim conform (3.5):

g2

v

d

Lh

2

p

De aici rezult viteza ca fiind: L

hdg2v

p

.

nlocuind,

557,215004,0

102,081,92v

m/s

Sau, innd cont de cderea de presiune d

L4

r

L2p 0d

,

g2

v

d

L

dg

L4

g

ph

2

0dp

Rezult pentru vitez:

557,2100004,0

7,3288v 0

m/s.

c).

d

r2

L4

dhg

L2

rhg

L2

rp ppd

Deci R

r

d

r200

, iar numeric, 08,13

100

407,32 N.


62

3.4. Ce debit de pcur de densitate =918 kg/m3 trece printr-o conduct

orizontal avnd lungimea L=100 m i diametrul d=150 mm? Se cunosc presiunile la

capetele conductei pA=1 bar i respectiv pB=0,035 bar, iar vscozitatea cinematic

=412,510

-6 m

2/s.

REZOLVARE

4

2dvSvQ

Pentru aflarea debitului avem nevoie de vitez. Aceasta se determin din

expresia cderii de presiune, dup cum urmeaz:

55BAd 10965,010035,01ppp Pa. Dar:

2

d

52

5

2

242

2

d QL8pdd

QL8

g2

1

d

Q16

d

Lgp

Rezult: L8

pdQ d

52

Presupunem 0=0,03. Atunci

0573,010091803,08

10965,015,0Q

552

m3/s. De aici rezult viteza:

242,315,0

0573,04

d

Q4v

22

m/s. Verificm natura regimului de curgere n

conduct:

1179

105,412

15,0242,3dvRe

6micare laminar. Corecia pentru se

face utiliznd formula Hagen-Pouiseuille: 054,01179

64

Re

64 . Cu aceast valoare

se corecteaz valoarea debitului, rezultnd n final Q=0,043 m3/s.

3.5. Apa curge printr-o conduct de 2 km cu un debit Q=45 l/s. Diametrul

conductei este d=300 mm, iar vscozitatea apei =1,0110-6

m2/s. tiind c rugozitatea

pereilor conductei este k=1 mm, s se determine:

a).Cderea de presiune pe cei 2 km de conduct;

b). Natura regimului de curgere n conduct;

c). Ce valoare are coeficientul de pierdere longitudinal ?


63

REZOLVARE

a). Cderea de presiune se scrie ca: g2

v

d

Lghgp

2

pd .

Pentru determinarea vitezei apelm la ecuaia de continuitate: 4

dvsvQ

2

De unde 637,0d

Q4v

2

m/s. Atunci cderea de presiune va fi:

52

2

42

2

d

QL8

g2

1

d

Q16

d

Lgp

deci 528,40p kPa.

b). Se calculeaz numrul Reynolds:

1890951001,1

3,0637,0dvRe

6

>4000, deci micarea n conduct este

turbulent. Mai mult, din criteriul lui Moody:

17,109300

103,0189095

d

kRe valoare aflat n intervalul 9,4...200;

rezult deci o conduct hidraulic semirugoas.

c). Coeficientul se calculeaz utiliznd formula Colebrook-White. Se admite

valoarea la care, pentru dou iteraii succesive, eroarea este mai mic de 10-6

.

d71,3

k

Re

51,2lg2

1

1nn

Presupunnd 0=0,03 rezult:

0276027,0

0276027,0

027603,0

027576,0

4

3

2

1

Deci =0,0276027


64

3.6. Printr-o conduct orizontal de lungime L=500 m i diametru d=40 mm este

pompat ap de mare avnd densitatea masei =1025 kg/m3. Cunoscnd cderea de

presiune la capetele conductei ca fiind pd=200 kPa i vscozitatea absolut a apei de

mare =1,02510-3

Pas, s se determine debitul de ap de mare ce trece prin conduct.

Se dau 0=0,03 i rugozitatea peretelui interior al conductei k=1,5 mm.

REZOLVARE

Conform ecuaiei de continuitate, 4

dvSvQ

2

Cderea de presiune la capetele conductei poate fi exprimata astfel:

g2

v

d

Lghgp

2

pd d

De aici rezult expresia pentru viteza medie n conduct:

020.150003,01025

1020004,02

L

pd2v

3

0

d

m/s 28.1Q l/s.

Aceast valoare este aproximativ i se cere corectarea ei innd cont de regimul

de curgere n conduct. Pentru aceasta calculm valoarea criteriului Reynolds:

40004080510025,1

102504.002,1dvdvRe

3

deci micarea este turbulent. Se calculeaz valoarea criteriului lui Moody:

26540

5,103,040805

d

kRe >200, ceea ce indic o conduct hidraulic

rugoas. Relaia de calcul pentru coeficientul de pierderi este dat de Prandtl:

14,1k

dlg2

1

de unde rezult =0,0627.

Cu aceast valoare se corecteaz viteza i n final se determin valoarea

debitului de ap de mare. Rezult:

s

l886,0Q

s

m705,0v corcor .


65

3.7. Printr-o conduct nou de oel se transport aer la temperatura de 20oC.

Conducta are dimensiunile d=40 mm i l=100 m, iar rugozitatea peretelui interior

k=0,07 mm. S se determine ce debit de aer este transportat n condiiile n care aerul

intr cu o presiune absolut de 3 bar i la captul conductei cderea de presiune este de

0,015 bar.

REZOLVARE

Densitatea aerului la 20oC i la presiunea atmosferic de101325 Pa este:

204,1C20aer o kg/m

3. Vscozitatea cinematic este =14,8610-6 m2/s.

innd cont de ecuaia de stare, la 3 bar densitatea aerului devine:

565,315,293287

103

TR

p 5

aer

kg/m

3 , iar =14,8610-6 /3 =4,95310-6 m2/s.

Considernd aerul incompresibil, rezult:

21 ppp l

d

g

p

g2

v

g2

v

d

l

g

p 22

l

pd2

lg

dpg2v

Pentru 0=0,03 rezult:

349,310003,0565,3

10015,004,02v

5

m/s. Rezult Q=4,208 l/s.

Pentru corectarea valorii coeficientului calculm criteriul Reynolds:

7,2704910953,4

04,0349,3dvRe

6

aadar avem o micare turbulent.

199,840

07,003,07,27049

d

kRe


66

694,3100024658,0565,3

10015,004,02v

5

cor

m/s.

32

cor 10462,44

04,0694,3Q

m3/s.

3.8. S se determine coeficientul de frecare pe o poriune a unei conducte

prin care curge ap, fig.3.8, lung de 150 m, avnd d=200 mm, tiind c indicaia

piezometrului diferenial cu mercur conectat la capete este h=1,2 m, la un debit al apei

de 175 l/s. Se dau densitile masice ale apei =1000 kg/m3 i mercurului, Hg=13600

kg/m3.

0 Fig. 3.8

REZOLVARE Coeficientul de pierderi se determin din relaia de transfer a energiei

mecanice scris ntre seciunile 1 i 2. Dac se noteaz diferena de presiune pe aceast

poriune cu p, nseamn c:

g2

v

d

l

g

p 2

unde v este viteza medie n conduct i se determin din:

570,52,0

175,04

d

Q4v

22

m/s. Dar HgHg hgp Rezult:


67

2

HgHg

2 vl

dg2

g

hg

vl

dg2

g

p

013761,01000

13600

57,5150

2,12,081,92

vl

hdg22

Hg

2

3.9. Printr-o conduct de oel avnd d=400 mm se pompeaz benzin n

rezervorul R, cu ajutorul unei pompe centrifuge, fig.3.9. Un manometru plasat la

intrarea n pomp indic presiunea pi=0,14 kgf/cm2, la un debit Q=0,2 m

3/s. S se

determine:

a). Ce putere furnizeaz pompa benzinei? b). Ce presiune trebuie meninut la ieirea din pomp?

c). Desenai linia piezometric .

Se dau = 0,6510-6

m2/s; k = 1,5 mm; = 725 kg/m

3.

Fig. 3.9

REZOLVARE

a). Puterea furnizat de pomp benzinei este de fapt puterea util a pompei,

care se poate scrie ca: pHQgP . nlimea de pompare Hp se determin din

ecuaia de transfer a energiei mecanice scris de la seciunea de intrare n pomp pn

la rezervorul R: Rip

2

RRRRP

2

iiii h

g2

v

g

pzH

g2

v

g

pz

Considernd nivelul energetic zero la 1 m, i1, R1 energiile specifice de presiune i

cinetic la suprafaa liber a rezervorului ca fiind nule, rezult:

g2

v

g2

v

d

l00zH

g2

v

g

p0

2

i

2

iRP

2

ii


68

g2

v

d

l

g

pz

g

p

g2

v

g2

v

g2

v

d

lzH

2

iR

i

222

RP

Viteza se calculeaz din ecuaia de continuitate: 592,14,0

2,04v

2

m/s.

Se stabilete regimul de curgere n conduct:

979692

1065,0

4,0592,1dvRe

6micare turbulent. Presupunem o valoare

iniial 0=0,03. Criteriul lui Moody are valoarea:

3,636400

5,103,0979692

d

kRe 0 >200, deci conducta este hidraulic

rugoas.

Se aplic relaia lui Karman Nikuradse pentru calculul lui :

02785,014,1k

dlg2

1

. nlocuind n expresia nlimii de pompare:

258,3981,92

592,1

4,0

180002785,0

81,9725

1081,914,025H

24

P

m.

Atunci puterea util rezult: 842,55258,392,081,9725 P kW.

b). Pentru determinarea presiunii la ieire din pomp se scrie ecuaia transferului de

energie mecanic ntre seciunea de la ieirea din pomp i rezervorul R:

g2

v

d

l

g2

v

g

pz

g2

v

g

pz

22

RRRR

2

eeee

Cum i1, R1, ze=0, pR=0 (rezervorul este deschis, la suprafaa liber a apei

presiunea fiind egal cu presiunea atmosferic) i componenta cinetic la suprafaa

liber neglijabil, rezult:

189,4181,92

592,1

4,0

180002785,025

g2

v

d

lz

g

p 22

e

e

m

Atunci 946,292189,4181,9725 ep kPa.


69

c). Cele trei seciuni remarcabile prezint urmtoarele valori ale energiei specifice

poteniale:

931,2zg

pi

i

m; 189,42zg

pe

e

m; 25g

pR

m

Linia piezometric este reprezentat n figura 3.9.1.

Fig. 3.9.1

3.10. S se determine energiile specifice de presiune n cele dou conducte ce

unesc rezervorul A cu rezervorul B, n seciunea contractat C (fig. 3.10). Se cunosc:

H1=27 m, H2=20 m, H3=18 m. Dimensiunile conductei ce ias din rezervorul A sunt

d1=200 mm, l1=20 m, 1=0,02 iar a conductei ce intr n B, d2=100 mm, l2=10 m,

2=0,015. Coeficientul de pierdere local pentru un cot de 900 este c=0,5 iar pentru

contracia brusc con=0,75.


70

REZOLVARE Energiile specifice de presiune n cele dou conducte de dimensiuni diferite n

dreptul seciunii contractate se calculeaz utiliznd ecuaia transferului de energie

mecanic i ecuaia de continuitate. Pentru nceput studiem transferul de energie ntre

seciunile A i C:

C

A

p

2

CCCC

2

AAAA h

g2

v

g

pz

g2

v

g

pz .

Fig. 3.10

Explicitnd pierderile longitudinale pe conducta de diametru d1, i locale n

cele dou coturi, avem:

g2

v2

g2

v

d

l

g2

v

g

pH00H

2

C1c

2

1

Documents

Probleme de Hidrodinamică, Rețele de Conducte, Canale și