Embed Size (px)
Citation preview
LUCIAN DRAGOMIR
ADRIANA DRAGOMIR OVIDIU BADESCU
PROBLEME DE MATEMATICAPENTRU
CLASA a Xl-a
Edi[ia a lV*a
Edilura Paralela 45
Cuprins
Prefold
Capitolul I. Elemente de calcul matriceal gi sisteme de ecuafii liniare1.1. Permutdri ............... ........................71.2. Matrice ..................... 15
I "3. Teste de evaluare ...... 301.4. Determinanli, aplicafii in geometrie ..............321.5. Rangul unei matrice, matrice inversabile ......511.6" Teste de evaluare ......631.7. Sisteme de ecualii liniare ............651.8. Exercilii qi probleme recapitulative ............. ......................731.9. Teste de evaluare ...... 781.10. Probleme de matematicd aplicatd ............."...80
Capitolul II. Elemente de analizf, matematicl2.1. Limite de funclii ....... 89
2,1.1. Mullimi de puncte pe dreapta real6 .......... ................. 892.l.2.Fwc!ii reale de variabili rea16........... ..... 952.1.3. $iruri (monotonie, mirginire, limite, convergen
Capitolul III. Modele de teste3.1, Lucrlri scrise semestriale ......,... "..................2013.2. Teste de pregltire pentru Concursul de matematicd aplicat[
,,Adolf Haimovici" ...2083.3. Teste de preg6tire pentru Olimpiada nalionali de matematic[ .............,...........,..,212
SolufiiCapitolul I. Elemente de calcul matriceal gi sisteme de ecuafii liniare .,,.,219Capitolul II. Elemente de analizl matematicE ...,.247capitolul'Ill. Modele de teste ,..,,,,.,..299
Bibliografie selectivd ..,.315
CAPITOLUT I. ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAT
$r srsTEME DE ECUAIil LINIARE
1.1. Permutiri
Breviar teoretic
o 0 permutare de ordinul z este o func{ie bijectiv[ o:{1, 2,..., n} +{1, 2, ..., n} .
Pentru a putea opera mai ugor cu aceste funclii bijective, ele se scriu sub forma unuitabel cu doul linii, de forma celui de mai jos:
o=( ' 2 3 '.).
[o(l) o(2) o(3) ... o(n))o Observalia /: Exist6 o permutare special5, numit[ permutarea identici:
"=(' 2 3"' ') '(l 2 3... n)
o Observalia 2: Mulfimea tuturor permutlrilor de gradul n se noteaz[ cu &.
o Compunerea (inmul{irea) a doufl permutiri: se folosegte compunerea funcfiilor,adicl pentru o1, or e S, , avem (o, . or)(ft) = o, (or(ft)), V k =l,n .
o Observalie.' Compunerea permut[rilor se poate efectua doar dac6 aceste permutlri suntde acelagi tip.
r Proprietifile compunerii permutirilor:(1) este asociativi;(2) are element neutru, anume permutarea identic[ e;
(3) toate permut[rile au o permutare invers5: V oe ^1,, f o-r e ,S, astfel inc0t
o.o-'=o-'.o=e.o Observalie.' compunerea permutiirilor nu este comutativ[.
o Inversa unei permutlri: se permutii cea de-a doua linie din o cu prima linie a lui o,p[sh6ndu-se perechile corespunzStoare gi scriind in ordine cresc6toare elementele primei
liniitnor,deexemplu, au"ao=(1. : : 1l.t-,atunci o-'=('^ '. 1 il' (4 3 I 2) [3 4 2 t)
o Calcularea puterilor naturale ale unei permutflri: aa = e, o' = g.o;,..o, n € N* .
o Observalia 1l Voe,S,, !fte N*,k( n, cuor =e.o Obserttayia2: Voe Sna6nt =s.
o Inversiune a unei permutiri oe,S,, n)2: pentru orice pereche ordonati (i,7), cu
i,j e {1,2,3, ..., n} pentru care i < j,rezaltf o(r) > o(t).o Observalie: NumIrul inversiunilor unei permut5ri o e Sn, n 2 2, se noteazi cu m(o) sau
inv(o).
o Semnul unei permuttrri: num[rul intreg e(o)= (-t;'t'l = 11 o(;)-gU)
.
t<i<si I - Jo Observalio 1: dacd numirul de inversiuni ale unei permutilri este numlr par, afunci
aceasta este o permutare pafr, iu dac[ m(o) este impar, atunci permutarea o este imparl.o Observalia 2: e(o.r)=e(o)e(t), Vo,t€ S, 9i e(o)=e(o-'), Voe q.o Observalia 3; numirul permutlrilor pare de grad z este egal cu numlru] permutiirilor
impare de grad n, adice ! .2
o Transpozifie: o permutare ,Yr- I1y). Sn, n)2 , pentru care t(i) : j,T(i: i gi t(&):6dacdk* i,k*j.o Observalia /.' orice transpozifie este o permutare imparl.o Observalia 2: (i): Ui), (iiz : e, (i\t : (i).o Observalia 3; orice permutare o e &, n22, se descompune in produs de transpozifii.
Exercifii gi prohleme de consolidare
1. Calculafi num[ru] funcfiilor bijective definite pe {1, 2,3} ctrvalori in {1, 2, 3}.2. Stabilifi care dintre urm[toarele tablouri reprezintil permutiri:
(tz3 4\ (t23 4\ (t234 s\')[r4rr)t o'[r4tr)' ')[rtztr)'
(t23r2 3) (t23 4\ (t234 s\o'[r z4 r6 t)' ')[o 4rr)t '[r 3z4tl3. Calculafi cdte permutiiri de gradul4 existi. Da{i un exemplu de astfel de doul permu-tlri o gi t pentru care o(l) * t(l).
4. Determinali in fiecare dintre cazurile urmltoare numirul natural 7 pentru care tabloul
respectiv este o permutare:(t234 s\ (t234s 6\ (t23 4\
")[r 4 i 2 r)' o)[0 6 j t 2 t)' ")[, i r r)'(tz3 4) (t23 4s) (t23 4s\o)[, i r r)' ")[r 4 j r r)''[r 2 i s t]
I
5. Calculafi cflte permutlri de gradul 5 exist[. Da[i un exemplu de astfel de dou[ per.
mutiri o gi t pentru care o(1) : t(l) 9i o(2) * r(2).
6. Calcula{i c6te permutiiri o € S+ satisfac egalitatea o(2):2.
7. Calculafi cdte permutlri o e Ss verific[ egalitE{ile o(1): I 9i o(4):4.
8. Calculati cdte permutiri o e ,Ss satisfac egalitatea o(1) + o(2):4.
9. Calculafi cdte permutlri r e 55,7€ ,S5 verific[ egalitatea r(l) ' t(3) : a.
10. in mullimea ^S3
a permutirilor de gradul 3 se considerI permutlrile
o=f ' ') ,i ,=[l ' ').- u 3 2) ' (2 t 3)
Calcula{i o.t qi t.o.
11. in mullimea,Sa a permutiirilor de gradul 4 se consider6 permutlrile(r23 4\-(t23 4) (t23 4)
"=[; ; ; rJ'F=[, 3 I o.J''=[, z 4 t]Calculafi:
a) crp, Fx, xo.;d) (a0X3);
12. in mullimea,Sa a permut[rilor de gradul4 se considerl permutirile(r23 4\ (t23 4\ (t23 4)
"=[, 4 2 3)"=[, l 3 oJ''=[3 4 2 t]Calculali:
a) uv,wt,vnt;d) (waX3);
Calcula{i:a) a(l) + u(3);d) g';
b) cr(l) + a(3) ;
e) (pcr)(2);
b) a(1) + u(4);e) (wu)(Z);
b) (06x2);e) 6a;
c) 0(2)+0(3);f) (apxxt).
c) w(1) + w(3);
| (uvw)(z).
Oo3;0 6'*'.
13. in mullimea 53 a permutirilor de gradul 3 se consider[ permut[rile:
"=[l 1 ',)'u=(: : lu' u=(l ? ])
14. in mul1imea,S3 a permutirilor de gradul 3 se consider[ permut2lrile:
,=[l : "),,=(l
: i) ",=(l " )
I
Calculafi:a) u(t) + u(2);d) w';
b) (uw)(2);e) va;
c) u2;
0 r''o
15. Studiali dacl exist6 o € & pentru care o(l) + o(2) + o(3) = 4.
16. in mullimea rsa a pennutlrilor de gradul 4 se consider[ permutar* ,=(l '^ : i)Determinali u2, u3, ur23.
I 7. Determinafi inversele urmltoarelor permutlri :
(t 2 3\,)o=[, I rJes,;(t 2 3 4\
c) ?c=[: 2 4 rJ€ so;
eie=fl 2 3 4 s\' \4 3 2 r s.J€s';
(t 2 3\a1 o=[r r z.Je
s,; ut s=[1 2 3
' [231
o) p=(l
or u=(l
o '=(l
2342234523L2
+\3)e
s';
+s\r rJ€
s';
+\,J"''
18. Rezolvafi ecuafia crr = 0 in fiecare dintre cazurile urmltoare:
') "=[l 3 i),u=(l i 1)-0,
,,=(l i'r),u=(l 3 i)-0,cr o=[r z 3
i),r=(l : t,
1)-*,' \4t2,.=(l i:, i),,=[i ;i 1).o,ero=[, z 3 i i),u=(] :i i i).0,' \3 2s
,,=[l :i i i),u-[i :: i i)-o19. Determinafi oel mai mio numlr nntural nenul m pentru care d = e lu fiecare dintreurm[toarele cazuril
+\+)*
s,;
10
20. Determina[i cdte elemente are mulfimea M ={o, G', d, ..., d,...} io fiecare dintre
urmltoarele caz.ti:(t 2 3\ (t 2 3 4
a) o=l - - - le ^S": b) o=l[2 3 1)--" \4 2 3 I
(t23 4s\ (t 23\c) o=[+ s 2 l r,J€
s'; o1 o=[z t ,)'(t23 4\ (t234
e)o=l - leS.: flo=l' [2413) q' (12s4
21. Determinali ol00ln fiecare dintre urmltoarele cazuri:(t 2 3\ (r 2 3 4\ o=(' 2 3 a').s.
u) o=[, i i.1t t, u) o=[+ z 3 ,,Jt
to; c) \2 4 t 3) 4'
, "=(l ? l)'o , '=(l i ', i)'o; o "=(l i ', i)'o22, ln mulf imea t, u r'fruf,Tru""t, r, *
;i":,u"t ff TTi.,'=[, 3 z)" =[, I 3i e''=l., t 2l
a) Determinali uu.
b) Determinali w'.c) Rezolvafi ecuafia ux = v.
23, ln mulfimea ^ia
a permuttrrilor de gradul 3 se oonsider[ permutlrile:
'=(l ','r)'u=(: ? l) u''=[l ; i)a) Determinali Dc.
b) Doterminali a6.
c) Rezolvati ecuafia axb = c.24. In multimea ,Sr a pennut[rilor do gradul 3 se oonsiderl pormut[rilol
'=(l ?l)''=(l i)u"=(l ii)n) Detpnmiuali ba,
1 l
(t z s\a) o=[z r l.J€ &;
(t234s\Do=[, z s 4,Jt&'
(t 2 3 + s\")o=[o 2 s: rJ€s';
(t z 3 +\.; o=[+ 2 1 t). s,;
)".'
s,;
s\,.J't''
b) Determinali ct2.c) Rezolva{i ecuafia ax: cb.
25. tn mullimea Sa a permutiirilor de gradul4 se considerd permutlrile:(t23 4\ (tz3 4\ (tz3 4\
'=[, 4 2 r|'=1, l3 o)'*=lr 4 2 t]a) Determina[i uw.b) Determinali ur5.
c) Rezolvafi ecuafia uxw: v.
26. Determinafi care dintre urm[toarele perechi sunt inversiuni ale permutirii(t 2 3 4 s 6\o=[, 5 r 6 2 o)ttu'
a) (1,4);d) (2,4);
fie pare:(t234\
a)1. IeS+;'u i 2 j)(t 2 3 4 5\
")[o i s i ,)'(t 2 3 4 s 6)
')[u i s 3 i z)'se;
12
b) (1, 5);e) (3,4);
c) (4, 6);f) (2,6).
27. Determinafi num[ru] inversiunilor fieclreia dintre urmltoarele permutiri din .Ss:
,ro=[r2 3:'^), ')B=(i ii:), .,u=(l '^:^,;),' u3s
(t 2 ? 4 s\ (t 2 3 4 5) ,_(t 2 3 4 5)a1 o=[r 2 s, o)' ')'=[r r; ,;)' o(=[+;; ,;]
28. Stabilifi care dintre urmitoarele permutiri din ^So
sunt impare:(t234 56) ^(tz34s 6) fi234 s6\o=l., z 5 6 t 4)'F=[r 2 4 613)''=[; ) t u r;)
6=fl234 'u).r=('234s u). *=('234s 6)
[2 6 s 3 4 t)' [6 4 s 3 I 2)' ' (+ 6 I s 3 z)'
29. Determinali perechile (i,7) de numere naturale astfel inc6t urmltoarele permut[ri si
(tz34so\o'[r i 4 j r :.Jesu;(t 2 3\
o) [z i i)e
st;
(t23+s\
'[, 4 j t 3l
30. Determinafi perechile (i,7) de numere naturale astfel incit urmltoarele permrit[ri s[fie impare:
(tz3 4\ (t234 s6)'[; ;; jfto' D[u i z i r s.J€so;
(t 23\ (t234 s6\,[; i-,yx, ,[,i63 j sJ'su;
(t234s\')[, , r j ,)t
(tz34s\D[, z j s 3]
31. Stabilili care dintre urm[toarele permutiri este imparl:(t234 242s2627 so)
a) 61=l l:*'*-(.2 4 6 8 48 50 I 3 49)'
-fi234 242s2627 5o).ulfi=l.r 3 s 7 ...47 4s 2 4 so)'
(t z 3 4 ...24 2s 26 27 so).c)?[=[so4s 4847 27262s24 t)'
- (t 2 3 4 24 25 26 27 50\d) 6=l l:-'- [s0 48 46 44 4 2 49 47 r)'
(t234 24252627 50\e) E=l r'-"-[2 | 4 3 ... 23 26 25 28 49)'
(t234 242s2627 48)fl d=l l.-'a
\4 3 2l ... 21 28 27 26 45)
32. Permutarea 0 e ^9s
se descompune in produs de hanspozifii astfel:
0 = (l3x3s)(24)(14).a) Calculafi 0(2) + 0(3).b) Calculafi 0(1) + e(2) + ... + e(s).
33. Permutarea 0 e ^S6
se descompune in produs de hanspozilii astfel:
e = (1sx26)(34)(24).a) Calculafi e(3) + e(s).b) Calculafi e(1) + 0(2) + ... + e(6).
34. Scriefi ca produs de transpozifii urmltoarele permutiri:
', "=[l ? 1), o)P=[l i ', : l,"6=fl
2 3 +\ (r 2 3 4 t').' [2 3 l o)' e;e=[r 4 t t ,)'
(t234\c)x=[r 4 , ,),
(t 2 3 4 5 6\fl 6=l l.-'a [6 3 2 4 5 l)
13
35. Rezolvafi ln mulfimea ^S3
urmltoarele ecualii:
* *2 =(t ' '), o) ,, =[] i ,r), "t ,, =(l : )' (3 t2
36. Rezolvafi ln multimea ^S4
urmdtoarele ecuafii:
^t *2 =(' z 3 i), qr =(l : i i), o* =(I i I )' u23
Matemeticd de *celenld
37. Determinali neN' pentru caf,e permutarea(t234 n ntln+2 2n \o=[, 4 6 8 2n l 3 ,r-t)estePar['
38. Determinali ne N* penffu care permutarea(t234... n n+tn+Z 2n\o=[, 3 5 7 ... 2n'r z 4 2r)"""impar4'
39" Determinali ne N* penfru care permutarea(t z 3 n\r=t . Ie S, estepard.\z n-l n-2 l) n L
40. Ar[tati c6 numlnrl permuttrrilor pare de gradul n este egal cu 4.2
41. Determinafi permutirile o e ,S, penku .*. g1)- =
o!2) = ... = 4).
12n
42. Ardtali ci pentru orice perrnutare o e ^s,
exist[ te N* astfel inc6t 6o = e.
43.Dac[ H cSn, H *A areproprietatea: Vo,Te H +oreH,arhtalicd:Yoe H =>o-re 11.
4(.Dacdoe &, n)3,satisfaceegalitateaor:Topentruoricepermutarere &, ar6ta[icdo: e.
45. Aritati c[ func{ia f : S, + Sr, .f (x)=.r' nu este injectivl gi nici surjectivE.
14
46. Rezolvati tn 55 ecuafia ox = xo, unde
41, Ardtali c[ dac[ permutarea o E & satisface, pentru orice 1<i<i3n, egalitatea
o(i)+o(7) 'i+ j, atunci o este permutarea identicl.
48. Determinafi toate permutirile o € &, n 2 3, astfel incdt numerele I + o(l),2 + o(2), ..., fl * o(r) s[ formeze o progresie aritmeticl.
49. Ar[tafi cd pentru orice o e 5,, n ] 2, este adev[rat[ inegalitatea:
$oJt),$rL ,-2 'L r'r;i t( 1=1 t1
50. Se considerl numerele reale a, < a2 <...14,. Determinafi pentru ce permutare O e
n 2 2, suma S(o)-= to,.o^, este maximl.l=l
1.2. Matrice
Breviar teoretic
o 0 matrlce cu n linli gi z coloane (ssu matrice de tip (m, n)) este o funcfie
f : {1,2,3,,..,m}x{1,2,3,...,n]1-, A, /((r,i))=a,;. Schematic, eapoate fi sqisl
( or, 42 ,,,l. Io1 azz a2n|
sub formaunui tablou cuz linii gi n coloane de forma:I=I't "'" |'
t;;; ;;:, :::::::::: ;_.)unde ai;, cu i = W, j =fr,se numesc elementele matriceil.o Obserttalie: Mullimea matricelor de tip (2, n) peste C (cu elemente numere complexe)
se noteaz[ st M^,,(C). Avem astfel: A e M.n(C) sau ,4 =(aii), l< i< m, l< i < n.
r Tipuri de matrice:- Matrice linie sasde tip (1, n) - matrice cu o singur[ linie;
- Matrice coloand sau de tip (*,1) - matrice cu o singurl coloan[;
- Matricea nuld O*,o- toate elementele sunt egale cu 0;
- Matrice pdtraticd de ordinn sau de tip (n, n) - numlrul de linii este egal cu numlrul de
coloane; in cazul de fa1[, mullimea matricelor se noteazi w M,(C);
15
(t 2 3 4 s\o=l l.\23ls4)
&,
![Analiza matematica - Notiuni teoretice si probleme rezolvate... [Romana]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5571f3d149795947648ea102/analiza-matematica-notiuni-teoretice-si-probleme-rezolvate-romana.jpg)
