Probleme de Mecanica Statica

7/27/2019 Probleme de Mecanica Statica

1/164

Teodor HUIDU Alexandru POPA Cornel MARIN

CULEGERE

DE PROBLEME I TEMEAPLICATIVE DE MECANIC

STATICASTATICASTATICASTATICA

EDITURA MACARIE

TRGOVITE - 2001


2/164

CULEGERE DE PROBLEME I TEME

APLICATIVE DE MECANIC

STATICA


3/164

Aceast lucrare a aprut datoritajutorului acordat de urmtorii sponsori:

CONPET Ploieti

UZTEL S. A. Ploieti

INTEROIL Brila


4/164

Teodor HUIDU Alexandru POPA Cornel MARIN

CULEGERE

DE PROBLEME

I TEME

APLICATIVE DE MECANIC

STATICA

EDITURA MACARIE TRGOVITE

- 2001 -


5/164

Refereni tiinifici:

Prof. dr. ing. Constantin MANEA

Prof. dr. ing. Ion ROCA

Descrierea CIP a Bibliotecii nationale a Romniei

HUIDU, TEODOR

Culegere de probleme i teme aplicative de mecanic: statica /

Teodor HUIDU, Alexandru POPA, Cornel MARIN - Trgovite: Editura Macarie, 2001

162p; 25cm - (Universitaria)

Bibliogr.

ISBN 973 - 8135 - 61 - 3

I. Popa, AlexandruII. Marin, Cornel

531(076)

Tehnoredactare coputerizat:

Conf. dr. ing. Cornel MARIN

2001 Toate drepturile sunt rezervate autorilor


6/164

PREFA

Lucrarea este rezultatul experienei autorilor n predarea cursuluide Mecanica teoretic studenilor din cele dou centre universitare:Universitatea Petrol-Gaze Ploietii Universitatea Valahia Trgovite.

Lucrarea cuprinde urmtoarele apte capitole: Statica punctuluimaterial, Reducerea forelor aplicate solidului rigid, Centrul maselor(centrul de greutate), Statica solidului rigid, Statica sistemelor de corpuri,Grinzi cu zbrele i Echilibrul firului omogen greu.

Unele aplicaii sunt inspirate din practica inginereasc, altele aufost create de autori de-a lungul anilor, ca probleme de seminar sausubiecte de examen. Aceste probleme au un grad de dificultate mediu,fiind accesibile studenilor din anii I i II de la profilurile mecanic, electrici metalurgic.

Toate capitolele conin cte un scurt rezumat de teorie. Suntprezentate n cadrul fiecrui capitol probleme tip rezolvate precum i

probleme propuse sau un set de teme aplicative nsoite de rezultatelecorespunztoare. Aceste capitole sunt cuprinse n Programa Analitic acursului de Mecanic predat studenilor n anul I i II de la facultiletehnice.

S-au prezentat de asemenea n cadrul capitolelor 1, 2, 4 i 5algoritmii de rezolvare al unor probleme tip cu ajutorul programuluiMicrosoft-EXCEL iar n Anexele 1-5 s-au prezentat rezultatele obinutepentru temele aplicative propuse .

Forma de prezentare a problemelori temelor aplicative, pune neviden experiena autorilor n activitatea cu studenii, fiecare capitolfiind bine fundamentat i uor de asimilat. Autorii i exprim sperana cprezentarea sub aceast form va fi util att studenilor pentrupregtirea examenului de Mecanic ct i pentru toi cei interesai nrezolvarea unor aplicaii practice de Mecanic.

Autorii doresc s mulumeasc tuturor colegilor i studenilor

pentru observaiile, sugestiile, adugirile pe care le-au adus, precum isponsorilor care au contribuit la apariia lucrrii sub aceast form.

Trgovite Autorii

decembrie, 2001


7/164

CUPRINSCUPRINSCUPRINSCUPRINS

CAPITOLUL I - STATICA PUNCTULUI MATERIALElemente de calcul vectorial- Teorie 9

1.1. Elemente de calcul vectorial 12Probleme rezolvate

Algoritm de calcul realizat cu ajutorul programului Excel - problema 1.1.1 13


Probleme propuse 14

1.2. Reducerea unui sistem de fore concurente coplanare 15Probleme rezolvate 15


Problem propus 16

1.3. Reducerea unui sistem de fore concurente spaiale. 17

Problem rezolvat 17Probleme propuse 18


1.4 Statica punctului material liber 20Teorie 20

Probleme rezolvate 22

Probleme propuse 24

1.5 Statica punctului material supus la legturi 25Teorie 25


CAPITOLUL II - REDUCEREA FORELOR APLICATESOLIDULUI RIGIDTeorie 35

2.1. Reducerea sistemelor de fore spaiale 39Probleme rezolvate 39

Teme aplicative propuse 44

Algoritm de calcul realizat cu ajutorul programului Excel - problema 2.1.4 522.2. Reducerea sistemelor de fore coplanare 54Probleme rezolvate 54



2.3. Reducerea sistemelor de fore paralele 65Problem rezolvat 65




8/164

CAPITOLUL III - CENTRUL MASELOR (CENTRUL DE GREUTATE)Teorie 69

3.1. Centrul maselor pentru bare omogene. Probleme rezolvate 713.2. Centrul maselor pentru plci omogene. Probleme rezolvate 743.3. Centrul maselor pentru corpuri omogene. Probleme rezolvate 78

Teme aplicative propuse (plci omogene) 80

CAPITOLUL IV. STATICA SOLIDULUI RIGIDTeorie 85

4.1. Echilibrul solidului rigid liber 88Problem rezolvat 88

4.2. Echilibrul solidului rigid supus la legturi 89Probleme rezolvate 89

Probleme propuse 98

Algoritm de calcul realizat cu ajutorul programului Excel-problema 4.2.19 102

CAPITOLUL V. STATICA SISTEMELOR DE CORPURITeorie 103

5.1. Statica sistemelor de corpuri formate din bare articulate 104Probleme rezolvate 104


Algoritm de calcul realizat cu ajutorul programului Excel- problema 5.1.4 1115.2. Statica sistemelor plane de corpuri cu frecare. 113

Probleme rezolvate 113Teme aplicative propuse 123

CAPITOLUL VI SISTEM DE BARE ARTICULATE (GRINZI CUZBRELE)Teorie 127

Grinzi cu zbrele plane 129Probleme rezolvate 129


CAPITOLUL VII - ECHILIBRUL FIRULUI OMOGEN GREUTeorie 143


ANEXELE I - V 149

BIBLIOGRAFIE 165


9/164CULEGERE DE PROBLEME I TEME APLICATIVE DE MECANIC - STATICA

9

CAPITOLUL I

STATICA PUNCTULUI MATERIAL

ELEMENTE DE CALCUL VECTORIAL - TEORIEa. Mrimi scalare i vectoriale

n Mecanica teoretic se opereaz cu mrimi scalare (cum ar fi:masa, timpul, lungimea, etc) i cu mrimi vectoriale (cum ar fi: fora,momentul unei fore n raport cu un punct, momentul unui cuplu de fore,viteza, acceleraia, impulsul, momentul cinetic, etc).

Vectorul este o entitate matematic caracterizat prin punct deaplicaie, direcie (suport), sens (orientare) i mrime (scalar, modul)

n funcie de punctul de aplicaie se deosebesc:! vectori liberi care au punctul de aplicaie oriunde n spaiu i sunt

caracterizai prin trei parametri scalari independeni (respectiv,proieciile vectorului pe cele trei axe de coordonate);

! vectori alunectori -au punctul de aplicaie situat pe o dreapt dinspaiu i sunt caracterizai prin cinci parametri scalari independeni(respectiv, proieciile vectorului pe cele trei axe de coordonate icoordonatele punctului de intersecie al suportului su cu planul Oxy);

! vectori legai - au punctul de aplicaie fix n spaiu i sunt caracterizaiprin ase parametri scalari independeni (respectiv proieciilevectorului pe cele trei axe i coordonatele punctului de aplicaie).

b.Expresia analitic a unui vector liberi a unui versor

Se consider un sistem de referin cartezian Oxyz avnd versoriik,j,i pentru care se cunosc proieciile ax, ay, az , ale vectorului pe cele

trei axe (fig. 1.1.a,b). Expresia analitic a vectorului a este:

kajaiaa zyx ++= . (1)Mrimea vectorului a este prin definiie numrul pozitiv notat cu :

2

z

2

y

2

xaaaaa ++== (2)

Cosinuii directori ai unghiurilor vectorului a cu direciile celor 3 axe sunt:

a

a)k,acos(;

a

a)j,acos(;

aaa

a

a

a)i,acos( z

y

2

z

2

y

2

x

xx ==++

== (3)



10

Versorul vectorului a este prin definiie un vector unitar, avndmrimea egal cu 1, aceeai direcie i sens cu vectora (fig. 1.1.b):

ka

aj

a

ai

a

a

a

auavers z

yx

a++=== (4)

Un vector poate fi definit prin cele dou extremiti ale sale (fig. 1.1.c)avnd coordonatele A(xA,yA,zA) i B(xB,yB,zB), i are expresia analitic:

k)zz(j)yy(i)xx(ABABABAB

++= (5)

Expresia analitic a versorului vectorului AB conform (4) este:

222 )zz()yy()xx(

k)zz(j)yy(i)xx(

AB

ABABvers

ABABAB

ABABAB

++

++== (6)

Observaie: n cazul rigidului supus la legturi, componenteleforelor de legtur sunt necunoscute ale problemei (deoarece nu secunoate mrimea i sensul lor): pentru rezolvarea problemei se alegeun sens oarecare al componentelor forelor de legtur; dac din calculrezult un numr pozitiv, atunci sensul ales este corect.

c. Produsul scalar a doi vectori. Proiecia unui vector pe o axi pe un alt vector

Dndu-se un sistem de referin cartezian Oxyz i vectorii a i bavnd expresiile analitice: kajaiaazyx

++= , kbjbibbzyx

++= , se

definete produsul scalar al celor doi vectori , numrul (pozitiv saunegativ):

)b,acos(baba = (7)

Expresia analitica produsului scalar este:

yzyyxxbabababa ++= (8)

z

O y

x

a

k

j

i

a)

z

A

O

y

x

k a

jiax

ay

az

b)Fig.1.1

z

O y

x

a

k

ji

c)

A(xA,yA,zA)

B(xB,yB,zB)



11

Cu ajutorul produsului scalar se poate exprima cosinusul unghiuluidintre cei doi vectori ; din relaiile (7) i (8) rezult:

2

z

2

y

2

x

2

z

2

y

2

x

zzyyxx

bbbaaa

bababa

ab

ba)b,acos(

++++

++=

= (9)

Cu ajutorul produsului scalar se poate exprima analitic proiecia

unui vectora , pe o direcie orientat

avnd versorul:kcosjcosicosu ++=

, (10)

++===

cosacosacosauaaprazyx

(11)

innd seama de expresia (11), proiecia vectorului a pe direciavectorului b se scrie :

b

bababauaapra

zzyyxx

bbb

++=== (12)

d. Produsul vectorial a doi vectori, produsul mixt

i produsul dublu vectorial a trei vectori

Se consider un sistem de referin cartezian Oxyz i vectorii a ib avnd expresiile analitice: kajaiaa

zyx++= i respectiv

kbjbibbzyx

++= .

Se defineteprodusul vectorial al celor doi vectori bac = , un vectoravnd urmtoarele caracteristici (fig. 1.2):

! mrimea sau modulul egal cu aria paralelogramului format din cei doivectori a i b : )b,asin(bac =

! direcia - perpendicular pe planul paralelogramului format din ceidoi vectori a ib : )b,a(c

! sensul - dat de regula urubului drept sau triedrul format din cei treivectori a , b i c s fie triedru drept.

Fig.1.2

bc

a

O

Fig.1.3

bc

a

O



12

Produsul vectoriala doi vectoria i b are expresia analitic:

k)baba(j)baba(i)baba(c

:sau,

bbb

aaa

kji

bac

xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

++=

==(13)

Produsul mixta trei vectoria , b i c este prin definiie o mrimescalar dat de produsul scalar dintre vectorul a i vectorul ( cb )reprezentnd volumul paralelipipedului avnd ca laturi concurente cei treivectori (fig. 1.3):

( ) ( )

zyx

zyx

xxx

ccc

bbb

aaa

c,b,acba == (14)

Produsul mixt respect urmtoarea regul (a permutrilorcirculare):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b,a,ca,c,bc,b,asau

bacacbcba

==

==(15)

Produsul dublu vectorial a trei vectoria , b i c este prin definiieprodusul vectorial dintre vectorul a i vectorul ( cb ) i se determin cu

ajutorul relaiei: ( ) )ba(c)ca(bcba = (16)

1.1. ELEMENTE DE CALCUL VECTORIAL

PROBLEME REZOLVATE

1.1.1. Fiind dai vectorii :

jic;kjb;kjia +=+=+= 24532S se calculeze:

)ba(c);ba(c);b,acos(;ba;ba;apr;bab

Problema s-a rezolvat utiliznd urmtorul algoritm pentru Excel:



13

ALGORITMUL DE CALCUL REALIZAT CU AJUTORULPROGRAMULUIEXCEL I REZULTATELE OBINUTE PENTRU

PROBLEMA 1.1.1

DATE DE INTRARE DATE DE IEIRE

A B C D E F G H I J K L M

Nr. ax ay az bx by bz cx cy cz a b c ba

0 SQRT(A1^2+B1^2+C1^2)

SQRT(D1^2+E1^2+F1^2)

SQRT(G1^2+H1^2+I1^2)

1*D1+B1*E1+ C1*F1

1 2 -1 3 0 5 4 -2 1 0 3,7416 6,4031 2,2361 7

N O P R S

aprb ( )xba ( )yba ( )zba ba

1*D1/K1+B1*E1/K1+C1*F1/K1=M1/K1 B1*F1-C1*E1 C1*D1-A1*F1 A1*E1-B1*D1 SQRT(O

1^2+P1^2+R1^2)

1,0932 -19 -8 10 22,9129

T U V W X

)b,acos( ( )bac ( )xbac ( ) ybac ( ) zbac

M1/(J1*K1) G1*O1+H1*P1+I1*R1 H1*R1-I1*P1 I1*O1-G1*R1 G1*P1-H1*O1

0,2922 30 10 20 35

Deci mrimile cerute, conform rezultatelor din tabel sunt:

( ) kjibac

;)ba(c

;,)b,acos(

;,ba

;kjiba

;,apr;bab

352010

30

29220

912922

10819

093217

++=

=

=

=

+=

==

1.1.2. Se consider punctele A1(1,-2,3), A2(2,4,1), A3(4,5,6). Se cere:

s se exprime analitic vectorii ,AAsiAA 3221

produsul scalar al vectorilor ,AAsiAA 3221

s se calculeze unghiul dintre cei doi vectori.



14

ALGORITMUL DE CALCUL REALIZAT CU AJUTORULPROGRAMULUI EXCEL I REZULTATELE OBINUTE PENTRU

PROBLEMA 1.1.2

DATE DE INTRARE DATE DE IEIRE

A B C D E F G H I J K L

Nr. xA1 yA1 zA1 xA2 yA2 zA2 xA3 yA3 zA3 x)AA( 21 y)AA( 21 z)AA( 21

0 D1-A1 E1-B1 F1-C1

1 1 -2 3 2 4 1 4 5 6 1 6 -2

M N O P R S T

x)AA( 32 y)AA( 32 z)AA( 32 21AA 32AA 3221 AAAA

COS

G1-D1 H1-E1 I1-F1 SQRT(J1^2+K1^2+ L1^2)

SQRT(M1^2+N1^2+ O1^2)

J1*M1+K1*N1+L1*O1

S1/(P1*R1)

2 1 5 6,4031 5,4772 -2 -0,057

Expresiile analitice ale celor doi vectori , produsul lor scalar iunghiul dintre vectori, conform rezultatelor din tabel sunt:

057,0cos;2

52;26

3221

3221

==

++=+=

AAAA

kjiAAkjiAA

PROBLEME PROPUSE

Acelai enunca la problema 1.1 pentru vectorii:

1.1.3. jic;kjb;kjia =+=+= 2432

1.1.4. kjic;kjib;kjia 22432 ++=++==

1.1.5. jic;kjb;kia 4253 +=+=+=1.1.6. kjic;kjib;ia +=++== 24542

1.1.7. jic;kjb;kjia ==++= 24532

1.1.8. kjic;kjb;kjia 4626392 +=+=+=



15

1.2 REDUCEREA UNUI SISTEM DE FORECONCURENTE COPLANARE

PROBLEME REZOLVATE

1.2.1. Asupra unui punct material acioneaz un sistem de 4 fore

coplanare { }4,..1ii

F = ( fig. 1.2.1.a) avnd modulele i direciile fa de Ox:

332

232

428 44332211

==

====

== ,FF;,FF;,FF;,FF

S se determine rezultanta celor patru fore (mrimea, direcia i sensul).

Rezolvare:

Pentru sistemul de referinOxyales se aplic teorema proieciilor:proiecia rezultantei dup o direcie este suma proieciilor forelor dupacea direcie:

FFFFFYY

FFFFFXX

ii

ii

23

sin2

sinsin4

sin

)36(3

cos2

coscos4

cos

4321

4

1

4321

4

1

=

+

++

==

+=

+

++

==

=

=(a)

Rezultanta forelori mrimea ei sunt:

jFiF)(jYiXR 236 ++=+= ; (b)

3124322 +=+== FYXRR

Rezultanta face cu axa Oxunghiul R (fig 1.2.1.b) dat de :

050214258036

2,;,

X

Ytg

RR==

+== (c)

F1R

y

R

F3

b.

F2

F4

O x

F1

y

4

1

F3

Fig.1.2.

F2

F4

O x

a.



16

ALGORITMUL DE CALCUL REALIZAT CU AJUTORUL

PROGRAMULUI EXCEL PENTRU REZOLVAREA

PROBLEMEI 1.2.1

Problema 1.2.1 poate fi rezolvat conform modelului prezentat cu

ajutorul programului Excell prin aplicarea algoritmului de mai jos.

DATE DE INTRARE

A B C D E F G H

Nr. F1/F F2/F F3/F F4/F 1 2 3 40

1 6,9292 2 6 2,8284 /6 3/2 -/4

DATE DE IESIRE

J K L M N

X/F Y/F R/F tg R R (rad)

A1*cosE1+B1*cosF1+C1*cosG1+D1*cosH1

A1*sinE1+B1*sinF1+C1*sinG1+D1*sinH1

SQRT(J1^2+K1^2)

K1/J1 arctgM1

3,4641 -2 4 -0,5773 -0,5236 (- /6)

PROBLEM PROPUS

1.2.2 Asupra unui punct material Oacioneaz forele concurente i coplanare

{ }4,..1ii

F = avnd mrimile, direciile i sensurile

din fig. 1.2.2.

Se cunosc:

4222

3

6

26

34

4433

2211

==

==

==

==

;FF;,FF

,FF;,FF

Se cere expresia analitic a rezultanteiforelori unghiul pe care l face aceasta cuaxa Ox .

Rspuns:6

11232

==

R;jPiPR

F1y

4

1

F3

Fig. 1.2.2

F2

F4

O

x



17

1.3 REDUCEREA UNUI SISTEM DE FORECONCURENTE SPAIALE

PROBLEM REZOLVAT1.3.1. Asupra unui punct O acioneaz un sistem de 4 fore concurente

{ }4,..1ii

F=

avnd modulele: F54F,F373F,F5F,F102F4321 ====

i

direciile date de muchiile sau diagonalele unui paralelipiped dreptunghicca n fig. 1.3.1 ; se cunosc: OA=a, OC=2a, OO=6a.

Se cere s se determine rezultanta forelor (mrimea, direcia i sensul).

Rezolvare:

Expresiile analitice ale celor patrufore fa de sistemul de referinOxyzsunt:

COversFFversFF == 1111 (a)

kFjFzyx

kzjyixFF

ccc

ccc 321022221

+=++++

==

kFOOversFF 522 == (b)

kFiF)a(a

kaiaFAOversFFversFF 183

6

6373

223333+=

++

=== (c)

jFiF)a(a

jaiaFOBversFFversFF 842

254224444

+=++=== (d)

Expresia analitic a rezultantei este:

kF29jF10iF7FRi

4

1i

++== =

(e)

Proieciile rezultantei pe axele de coordonate sunt:

X=7F, Y=10F, Z=29F. (f)

Mrimea rezultantei este:

FFZYXRR 110329107 222222 =++=++== . (g)

Direcia rezultantei este dat de unghiurile:

0

0

0

827229210

469713180

145772220

,;,cos

,;,cos

,;,cos

RR

RR

RR

==

==

==

(h)

C

z

B

F2

F3F1

F4

Fig.1.3.1

A

A

C

O

O y

xB



18

PROBLEME PROPUSE

1.3.2. Asupra unui punct material O acioneaz forele concurente{ }

4,..1iiF = avnd mrimile: F6F,F734F,F132F,F683F 4321 ==== .

direciile i sensurile date de muchiile sau diagonalele paralelipipeduluidreptunghic din fig. 1.3.2; se cunosc: OA=3a, OC=8a, OO'=2a.

Se cere s se determine expresia analitic a rezultantei forelor iunghiurile pe care l face aceasta cu axele de coordonate.

;,;,;,;F,R;kFjFiFR RRR000 78374270238257295960165618 ====++=

1.3.3. Acelai enunca la problema 1.3.2 cu urmtoarele date (fig.1.3.3):

F13F,F34F,F4F,F29F4321==== , OA=3a, OC=2a, OO'=5a.

0004

1

252272857560467748151446 ,,,,,;F,R;kFjFiFFR RRRii

====++===

Problema 1.3.2 poate fi rezolvat prin aplicarea modeluluiprezentat la problema 1.3.1 cu ajutorul programului EXCEL conformalgoritmului ce urmeaz.

Cz

B

F2

F3

F1

F4

Fig. 1.3.3

A

A

C

O

O

y

xB

Cz

B

F4F2

F1

F3

Fig. 1.3.2

A

A C

O

O

y

x B



19

ALGORITM DE CALCUL REALIZAT CU AJUTORUL


PROBLEMEI 1.3.2

DATE DE INTRARE

A B C D E F G H I J K L MNr. x1/a y1/a z1/a x2/a y2/a z2/a x3/a y3/a z3/a x4/a y4/a z4/a F1/F

1 0 8 2 3 0 2 3 8 0 0 0 2 24,74

DATE DE IESIRE

N O P Q R S

F2/F F3/F F4/F (versF1)x (versF1)y (versF1)z

A1/[SQRT(A1^2+

B1^2+C1^2)]

B1/[SQRT(A1^2+

B1^2+C1^2)]

C1/[SQRT(A1^2+

B1^2+C1^2)]7,2111 34,1760 6 0 0,9701 0,2425

T U V W X Y

(versF2)x (versF2)y (versF2)z (versF3)x (versF3)y (versF3)z

D1/SQRT(D1^2+E1^2+F1^2)

E1/SQRT(D1^2+E1^2+F1^2)

F1/SQRT(D1^2+E1^2+F1^2)

G1/[SQRT(G1^2+H1^2+I1^2)]

H1/[SQRT(G1^2+H1^2+I1^2)]

I1/[SQRT(G1^2+H1^2+I1^2)]

0,8320 0 0,5547 0,3511 0,9363 0

Z AA AB AC AD AE

(versF4)x (versF4)y (versF4)z X/F Y/F Z/F1/SQRT(J1^2+K1^2+L1^2)

K1/SQRT(J1^2+K1^2+L1^2)

L1/SQRT(J1^2+K1^2+L1^2)

M1*Q1+N1*T1+O1*W1+P1*Z1

M1*R1+N1*U1+O1*X1+P1*AA1

M1*S1+N1*V1+O1*Y1+P1*AB1

0 0 1 18 56 16

AF AG AH AI

R/F R R RSQRT(AC1^2+AD1^2+

AE1^2)arccos(AC1/AF1) arccos(AD1/AF1) arccos(AE1/AF1)

60,959 72,8250 23,2700 74,7830



20

1.4. STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER

TEORIE

a. Principiul paralelogramului

Fiind date dou fore 21 FsiF care acioneaz asupra unui punctmaterial A, conformprincipiului paralelogramului,efectul celor dou foreeste acelai cu al unei fore rezultante R , care este diagonala mare a

paralelogramului avnd ca laturi forele 21 FsiF (fig.1.4.0)

Sunt valabile urmtoarele relaii:

=

=

+

=

++=+=

sin

F

)sin(

F

sin

R;

cosFF

sinFtg

;cosFFFFR;FFR

21

21

2

21

2

2

2

121 2(17)

b. Teorema proieciilor

Fiind dat un sistem de fore,concurente ntr-un punct O din spaiu,{ }

niiF ,...2.1= acesta se reduce (sau este

echivalent) n punctul O cu o forrezultant R, care se obine aplicnd

succesiv principiul paralelogramuluienunat mai sus:

=

=n

ii

FR1

. (18)

Dac se noteaz cuXi, Yi , Zi, proieciile unei fore oarecare iF a

sistemului de fore i cuX, Y, Zproieciile forei rezultante R pe axeletriedrului triortogonal drept Oxyz, atunci sunt valabile urmtoarele relaii:

.ZZ;YY;XXn

i

i

n

i

i

n

i

i

======

111

(19)

Aceste relaii reprezint teorema proieciilor care se enun astfel:proiecia rezultantei pe o direcie oarecare este egal cu sumaproieciilor tuturor forelor sistemului dup acea direcie. Sunt valabileurmtoarele relaii:

( ) ( ) ( )222222 ++=++=

++=

iiiZYXZYXR

kZjYiXR(20)

A F1

F2

R

Fig. 1.4.0



21

c. Condiia de echilibru a punctului material liber

Punctul material M este liber dac poate ocupa orice poziie nspaiu (fr nici o restricie de ordin geometric), sub aciunea unui sistemde fore { }

niiF ,...2.1= , corespunztor poziiei cerute. Poziia punctului este

determinat fa de un sistem de referin prin trei parametri reciprocindependeni (coordonatele punctului fa de sistemul de referin ales).

Punctul material poate avea deci trei grade de libertate n spaiumaterializate prin coordonatele lui.

Dac sistemul de fore este plan sau uniaxial i sistemul dereferin ales este format din dou axe situate n planul forelor sau cu oax confundat cu suportul forelor, pentru poziia de echilibru suntnecesare dou respectiv o coordonat care s determine poziiapunctului material.

Condiia necesar i suficient ca un punct material s fie nechilibru este ca rezultanta forelor ce acioneaz asupra punctului s fie

un vector nul. Aceast condiie este echivalent cu ecuaia vectorial:0=++= kZjYiXR (21)

care n baza teoremei proieciilor este echivalent cu trei ecuaii scalare:

)c(ZZ

)b(YY

)a(XX

n

i i

n

ii

n

ii

=

=

=

==

==

==

1

1

1

0

0

0

(22)

Se pot pune n eviden trei probleme (cazuri).

Problema direct

n acest caz este precizat sistemul de fore ce acioneaz asuprapunctului material i se cere s se determine poziia de echilibru. Seobine un sistem de 3 ecuaii cu 3 necunoscute, care poate fi compatibildeterminat, incompatibil sau compatibil nedeterminat. n primul cazexist o singur poziie de echilibru, n cel de-al doilea caz (incompatibil)nu exist nici o poziiie de echilibru, iar n al treilea caz (compatibilnedeterminat) exist o infinitate de poziii de echilibru.

Observaii:

1. Dac sistemul de fore este coplanar i sistemul de referin esteastfel ales nct planul Oxy s coincid cu planul forelor, ecuaia(22.c) devine o identitate (0=0). n acest caz sunt necesare doar doucoordonate pentru stabilirea poziiei de echilibru a punctului i suntdisponibile celelalte dou ecuaii pentru determinarea acestei poziiide echilibru.



22

2. Dac sistemul de fore este uniaxial i se alege axa Ox a sistemuluide referin s coincid cu direcia forelor, cele dou ecuaii (22. b,c)devin identiti. Rmne o singur coordonat i o singur ecuaiepentru stabilirea poziiei de echilibru.

Problema invers

n acest caz este precizat poziia de echilibru i se cere s se

determine sistemul de fore ce acioneaz asupra punctului material idetermin aceast poziie. n general problema este nedeterminat(admite o infinitate de soluii). Dac numrul parametrilor cecaracterizeaz sistemul de fore este limitat astfel nct s se obin unsistem de ecuaii compatibil determinat, problema are soluie unic.

Problema mixt

n acest caz este cunoscut o parte din sistemul de fore ceacioneaz asupra punctului material i o parte din parametrii ce definescpoziia de echilibru i sistemul de fore corespunztor. n general

problema este nedeterminat (admite o infinitate de soluii).

PROBLEME REZOLVATE

1.4.1. Punctul material M de mas m, se afl ntr-un plan vertical, ncmp gravitaional este atras de vrfurile unui triunghi echilateral delatur 2 ! , situat n acelai plan vertical, cu fore proporionale cudistana de la punct la cele trei puncte A, B, C, factorii de

proporionalitate fiind k1, k2, respectiv k3 (fig. 1.4.1).Se cere s sedetermine poziia de echilibru a punctului M .

Rezolvare:

Acesta este cazul problemei directe a echilibrului punctului, cndeste cunoscut sistemul de fore care acineaz asupra punctului i secere s se determine poziia de echilibru. Alegnd convenabil sistemulde referin (ca n figura 1.4.1), se pot scrie expresiile analitice aleforelor ce acioneaz asupra punctului M:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]jy0ixkBMkF

;jy0ixkjyyixxkAMkF222

1MAMA111

+== +=+== !

!

( ) ( ).jmggmF

;jyixkCMkF

==

+==

4

33330 !

(a)

Condiia necesari suficient de echilibru a punctului M, este carezultanta forelor ce acioneaz, s fi nul:

0jYiXFFFFR4321

=+=+++= (b)



23

Ecuaiile scalare se scriu:

( ) ( )

( )

=+=

=+=

0mgy3kykykY

0xkxkxkX

321

321

!

!!(c)

Rezult poziia de echilibrucerut:

++

=

++=

321

3

321

12

3

kkk

mgky

kkkkkx

M

M

!

!

(d)

1.4.2. Un punct material avnd greutatea G, este meninut n echilibru npoziia M de coordonate: xM = ! , yM = 2! , zM= 3 ! , prin intermediul a treifire trecute peste scripei de dimensiuni neglijabile (fr frecare), situaten punctele A, B, O din planul orizontal xOy, de trei greuti G1, G2i G3(fig.1.4.2). Se cere s se determine mrimile acestor greuti careasigur aceast poziie de echilibru.

Rezolvare:

Acesta este cazul problemei inverse a echilibrului punctului, cndeste precizat poziia de echilibru i se cere s se determine forele careasigur aceast poziie. Punctul M este meninut n echilibru prinintermediul forelor din fire orientate dup direciile MO,BM,AM

(tensiunile din fire au aceleai module cu ale greutilor: P1=G1, P2=G2iP3=G3). Fa de sistemul de referin Oxyz forele au expresiile analitice:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )22211

2

MA

2

MA

2

MA

MAMAMA

111

94

k30j20il2PP

zzyyxx

kzzjyyixxP

MA

AMPP

!!!

!!!

++++

=

++

++==

(a)

;kP

jP

iP

P

14

3

14

2

14

1111 =

Analog se obine:

.k14

P3j

14

P2i

14

P

MO

OMPP

;k19

P3j

19

P3i

19

P

MB

BMPP

333

33

222

22

==

+==(b)

y

C(0, ! 3)

F3

F1 F2M(x,y)

O(0,0)

x

F4=m gB( ! ,0)A(- ! ,0)

Fig. 1.4.1

y

Fig.1.4.2.a

G1G3

G2G

M( ! ,2 ! ,3 ! )

A(2 ! ,0,0)O(0,0,0)

B(0,5 ! ,0)

z

x



24

Condiia de echilibru este: 0321 =+++ PPPG (c)

Ecuaiile de proiecii pe axe sunt:

=++

=+

=

G14

P3

19

P3

14

P3

0

14

P2

19

P3

14

P2

014

P

19

P

14

P

321

321

321

GG

;GG

;GG

30

1415

192

6

14

3

2

1

=

=

=

(d)

PROBLEME PROPUSE

1.4.3. Punctul M de mas m, situat n cmp gravitaional, este atras devrfurile Ai (i=1,..6) ale unui hexagon regulat de latur 2a situat n planulvertical Oxy, avnd centrul n originea sistemului de referin, cu fore

proporionale cu distanele de la punct la vrfuri: 6,...1i,MAkF iii ==ca n fig. 1.4.3. Se cere s se determine poziia de echilibru a punctului .

Rspuns: ;)22(

;)(3

654321

654321

654321

6431

kkkkkk

kkkkkkamgy

kkkkkk

kkkkax

++++++++

=+++++

+=

1.4.4. S se determine poziia de echilibru a punctului M de mas m,situat n planul vertical xOy este respins de vrfurile O, A, B, C ale unuidreptunghi de laturi 2a i 4a cu fore proporionale cu distanele de la

punct la vrfuri: .CMkF;BMkF;AMkF;OMkF44332211

==== (fig. 1.4.4).

Rspuns :4321

43

4321

32 )(2;)(4

kkkk

kkamgy

kkkk

kkax

+++++

=+++

+=

Fig. 1.4.2.b

G

P1P3

P2

F3

y

F2

Fig. 1.4.3

F1

F6

F5

F4 G

M(x,y)

A2(0,2a)

A3(-a 3,a) A1(a 3,a)

A6(a 3,-a)A4(-a 3,-a)

A5(0,-2a)

O

x

F1

y

F4

Fig. 1.4.4

F2

F3

G

B C

M(x,y)

O

x

A


25/164

CULEGERE DE PROBLEME I TEME APLICATIVE DE MECANIC - STATICA

25

1.5. STATICA PUNCTULUI MATERIAL

SUPUS LA LEGTURI

TEORIE

a. Axioma legturilor

Dac asupra unui punct Mdin spaiu supus la legturi acioneazun sistem de fore { }

n,....iiF 21= (a crui rezultant este notat cu

aR ),

conform axiomei legturilororice legturi geometrice pot fi ntotdeaunanlocuite cu echivalentul lor mecanic fore de legtur a crorrezultant este notat cu legR ).

Din punct de vedere geometricpunctul material poate fi consideratca un punct material liber, iar din punct de vedere mecanicconstrngerile au fost nlocuite cu fore de legtur.

Teorema echilibrului punctului material supus la legturi devine:condiia necesari suficient pentru ca un punct material s rmn nechilibru sub aciunea forelor exterioare i de legtur este ca rezultantalor s fie nul:

;ZZ;YY;XX

RRlegalegalega

lega

000

0

=+=+=+

=+(23)

Din punct de vedere al naturii forelor de legtur, legturilepunctului material pot fi legturi fr frecare(ideale)i legturi cu frecare(reale).

b. Echilibrul punctului material supus la legturi cu frecare

n cazul legturilor cu frecare, pe lng reaciunea normalN maiintervine o for de frecare Tcare se opune tendinei de micare i careeste situat n planul tangent, n cazul punctului material legat de osuprafa cu frecare, sau n lungul tangentei n cazul punctului materiallegat de o curb.

n Mecanica teoretic sunt admise urmtoarele legi ale frecriiuscate (legile AMONTONS - COULOMB):

a. fora de frecare T este limitat superior la o valoaremax

T care nu

depinde de mrimea suprafeelor n contact;

b. valoarea foreimax

T depinde de natura corpurilor i de starea

suprafeelor de contact:


26/164


26

c. valoarea foreimax

T este proporional cu modulul reaciunii N;

Aceste legi pot fi sintetizate n relaia: NTTmax

= unde este

coeficientul de frecare care se determin experimental;

Dac se noteaz = tg sau = arctg, unde este unghiulde frecare, atunci condiia de echilibru a punctului material poate cpta

urmtoarea interpretare geometric:Punctul legat de o suprafa rmne n echilibru dac rezultanta

forelor aplicate aR se g sete n interiorul (la limit pe pnza) conuluifrecrii (un con cu dou pnze avnd vrful n punctul de pe suprafa,axa de revoluie perpendicular pe planul tangent la suprafa iunghiul la vrf 2).

Punctul legat de o curb rmne n echilibru dac rezultanta

forelor aplicate aR se g sete n exteriorul (la limit pe pnza) unui concu dou pnze avnd vrful n punctul de pe curb, axa de revoluietangent la curbi unghiul la vrf1800-2.

PROBLEME REZOLVATE

1.5.1. O sfer M de greutate G se reazem fr frecare pe un plannclinat cu unghiuli este prins printr-un fir de un punct A ; firul face

cu verticala unghiul( vezi fig.1.5.1.a).

Se cer : mrimea reaciunii normale N i a tensiunii din fir S .

Rezolvare:

Ecuaia vectorial de echilibru dup introducerea forelor delegtur (conform axiomei legturilor) se scrie :

0NSG =++ (a)

Alegem axele Ox i Oy n mod convenabil (fig.1.5.1.b) i proiectmpe acestea ecuaia vectorial de echilibru, se obin ecuaiile:

=+=

==

0GcosSsinN

0sinScosN

0Y

0X

i

i

(b)

Dac nmulim prima ecuaie cu cos i a doua cu sin i lensumm membru cu membru, apoi dac nmulim prima ecuaie cu(-sin)i a doua cu (cos) i le nsumm membru cu membru se obine:

G)cos(

sinN

= ; G)cos(

cosS

=

(c)


27/164


27

1.5.2. O bil de greutate G se reazem fr frecare pe suprafaa uneisfere de raz r fiind prins cu un fir de lungime AM= ! de punctul fix Aaflat la distana AB =d, fa de suprafaa sferei (fig.1.5.2.a).

Se cere mrimea tensiunii din fir S i a reaciunii N.

Rezolvare:

Ecuaia vectorial de echilibru se scrie:

0NSG =++ (a)

Dac se introduc unghiurile i i se aleg convenabil axeleOxi Oy(ca n fig.1.5.2.b) condiia de echilibru se scrie:

0Y

0X

i

i

=

=

=+=+

0GcosNcosS

0sinNsinS

(b)

Dac se multiplic prima ecuaie cu cos i a doua cu sin,respectiv cu (- cos) i sin i se nsumeaz membru cu membru seobine:

)sin(

sin

GS;)sin(

sin

GN +

=+

= (c)Din teorema sinusurilor aplicat n triunghiul OAM, avem:

rd)sin(

sin;

rd

r

)sin(

sin

)sin(

rd

sin

r

sin +=

++=

+

++

==!!

(d)

deci se obine:

rd

GS;rd

rGN

+=

+= ! (e)

Fig. 1.5.2

A

d

B

rr

O

M

A

y

S N

x

GO

b)a)

A

M

Fig. 1.5.1

b.

y

SN

x

GOM

a.


28/164


28

1.5.3. Un inel M de greutate neglijabil se reazem cu frecare(coeficientul de frecare fiind) pe un semicerc de raz R. De inel sunt

prinse dou fire care trec fr frecare prin inelele fixe A1 i A2(fig.1.5.3.a). La capetele firelor acioneaz greutile G1 i G2 . S sedetermine raportul greutilor

21G/G pentru ca inelul s rmn n

repaus pentru un unghi dat.

Rezolvare:a) Se consider mai nti c inelul M are

tendina de alunecare spre punctul A1 ;se aleg ca axe de coordonate tangentai normala la cerc n punctul M (fig.1.5.3.b), i innd seama c tensiunile dinfir pentru cele dou ramuri ale firului aumrimile: S1=G1, S2=G2,

ecuaia de echilibru se scrie:

021 =+++ NTSS (a)

sau n proiecii pe axe:

0N2

cosG2

sinG0Y

0T2

sinG2

cosG0X

21i

21i

=+=

==

(b)

Condiia fizic a frecrii este: NT . (c)

Din primele dou ecuaii rezult:

2222 2121

+

=

= cosGsinGN;sinGcosGT (d)

care introduse n ultima relaie conduc la:

22

22

2

1

+

sincos

cossin

G

G(e)

Fig. 1.5.3

b.

x

y

r

/2

O

S1

S2

T N

c.

x

y

r

/2

O

S1

S2 T

N

A1A2

r

O

G1G2

M

a.


29/164


29

b. Considernd acum cealalt tendin de alunecare a inelului M sprepunctul A2 (fig. 1.5.3.c), ecuaiile de echilibru se scriu analog cu celedin primul caz, schimbnd semnul din faa lui i sensul inegalitii (e)

22

22

2

1

+

sincos

cossin

G

G(f)

Deci:

22

22

22

22

2

1

+

+

sincos

cossin

G

G

sincos

cossin, (g)

sau:

+

22 2

1 tgG

Gtg (h)

1.5.4 Un inel M de greutate neglijabil se reazem cu frecare pe uncerc de raz r. De inel sunt prinse dou fire care trec prin dou inele fixen A1i A2 fr frecare. La capetele firelor sunt prinse greutile G1i G2(ca n fig.1.5.4.a). Se cere raportul 21 G/G pentru ca punctul M s

rmn n repaus n poziia dat de unghiul , dac se cunoate

coeficientul de frecare i unghiul pentru poziia de echilibru .

Rezolvare:

a. Considerm mai nti tendina dealunecare a inelului M spre A1 : inndseama c tensiunile din fir pentru celedou ramuri ale firului au mrimile:S1=G1, S2=G2 (fig.1.5.4.b) i alegndconvenabil sistemul de axe Oxy, seobin urmtoarele ecuaii de echilibru:a.

A1

A2

r

O

G1

G2

M

c.

x

y

r

/2

/4-/2

O

S1

S2A2

A1

T

N

b.

x

y

r

/2

/4-/2

O

S1

S2A2

A1

T N

OM

Fig. 1.5.4


30/164


30

0242

0

0242

0

21

21

=+

=

=

=

N)sin(GsinGY

T)cos(GcosGX

i

i

(a)

condiia fizic a frecrii: NT , (b)

nlocuind n inecuaie expresiile lui N i T rezulatate din primeledou ecuaii avem:

+

)sin(GsinG)cos(GcosG

242242 2121(c)

22

2424

2

1

+

sincos

)sin()cos(

G

G(d)

b) Considernd cealalt tendin de alunecare a inelului M (spre A2,fig.1.5.4.c), ecuaiile de echilibru se scriu analog cu cele din primul caz,schimbnd semnul din faa lui i sensul inegalitii (d) . Rezult:

22

2424

2

1

+

sincos

)sin()cos(

G

G(e)

Condiia final de echilibru se scrie:

22

2424

22

2424

2

1

+

+

sincos

)sin()cos(

G

G

sincos

)sin()cos((f)

sau:

+

+

2

24

2

24

2

1

cos

cos

G

G

cos

cos(g)


31/164


31

1.5.5. Culisa M de greutate G1 se poate deplasa cu frecare pe bara

vertical OB, coeficientul de frecare de alunecare fiind cunoscut: Culisa este legat de greutatea G2prin intermediul unui fir i a unuiscripete fr frecare A. Se cunosc: AB = a i BM = h (fig.1.5.5.a). Secere greutatea G2pentru ca echilibrul s aib loc n poziia din figur.

Rezolvare:

a) Fa de sistemul de axe Oxy, pentru tendina de deplasare a culisei njos (fig. 1.5.5.b) forele care acioneaz asupra culisei sunt indicate nfigur; innd seama c tensiunea din fir este S2=G2, ecuaiile deechilibru se scriu:

=+=

=

=

0

0

0

0

12

2

GcosGT

sinGN

Y

X

i

i (a)

NT , condiia fizic a frecrii

Deci:

=

=

NT

cosGGT

sinGN

21

2

(b)

rezult:

+

sincos

GG 12 (c)

b) Pentru tendina de deplasare n sus a culisei (fig. 1.5.5.c) fora defrecare Tacioneaz n sens invers fa de primul caz, ecuaiile deechilibru se scriu analog cu cele din primul caz, schimbnd semnuldin faa lui i sensul inegalitii (c):

sincos

GG 12 (d)

Condiia final de echilibru este:

BA

G1

G2

M

Fig. 1.5.5

Tendina de

alunecare

G1

S2

N

T

M

b.

y

x

c.

G1

S2

NT

M

y

x

O O

Tendina de

alunecare

a.


32/164


32

+ sincosG

Gsincos

G 12

1 (e)

sau 122

21

22

Gah

haGG

ah

ha

+

++

. (f)

1.5.6. Corpul M de mas m, asimilat cu un punct material, este legatbilateral de o cicloid situat ntr-un plan vertical i este acionat de

propria greutate G i de o for orizontal Fo, ca n fig. 1.5.6.a. Se cere:

a. poziia de echilibru a punctului pe cicloid, dac se neglijeazfrecarea i mrimea reaciunii nornale N.

b. domeniul de variaie al forei orizontale Fo, pentru o poziie deechilibru dat ( fixat), dac nu se neglijeaz frecarea (0 )

Rezolvare

Ecuaiile parametrice ale cicloidei se scriu astfel (Fig. 1.5.6.b):

==)cos(Ry

)sin(Rx

1(a)

Se determin versorul tangentei lacicloid, ntr-un punct curent M(x,y)astfel:

,

yx

jyix

v

v22

""

""

+

+== unde: (b)

==

==

222

221 2

cossinRsinRy

sinR)cos(Rx

"""

"""

(c)

jcosisin,sinRyxv222

222

+

=

=+= """ (d)

M(x,y)

y

x

G=mgjFo

Fig. 1.5.6.a

O

M(x,y)

y

x

G

N

Fig. 1.5.6.b

Mo

FO

/2/2

I


33/164


33

Rezultatul obinut confirm faptul c unghiul dintre tangenta lacicloidi axa Oy este /2 (conform fig.1.5.6.b).

Pentru determinarea poziiei de echilibru se aplic axiomalegturilori se scrie ecuaia de echilibru vectorial:

0=++ NGFO

(e)

Proiectnd ecuaia (e) pe axele sistemului de coordonate Frenet,

se obin urmtoarele ecuaii de proiecii dup, respectiv dup:

022

022

=+

=

+

NsinmgcosF;cosmgsinFOO

(f)

Interpretarea geometric a derivatei unei funcii pentru cicloidadat, conduce la:

211

=

=

== ctg

cos

sin

d)cos(R

dsinR

dx

dytg (g)

Din ecuaiile (f) se obine:

OF

mgtg =

2 ,

)mg(F

)mg(Fcos,

)mg(F

mgFsin

O

O

O

O

22

22

22

2+=

+= (h)

nlocuind n ecuaia (e) rezult poziia de echilibru cerut:

+

=

+

=

22

22

22

1

22

)mg(F

)mg(FRy

)mg(F

mgF

F

mgarctgRx

O

O

O

O

O(i)

Din ecuaia (f) rezult reaciunea normal cerut:22 )mg(FN

O+= (j)

b) n condiiile existenei frecrii se poate observa c exist doutendine de micare (vezi fig.1.5.6.c,d)

y

G

N

Fig. 1.5.6.c

FO

/2/2

T

x

y

x

G

NFO

/2/2

Fig. 1.5.6.d

T

Tendina

de micareTendina

de micare


34/164


34

Pentru determinarea poziiei de echilibru n primul caz (fig.1.5.6.c)se aplic axioma legturilori se scrie ecuaia de echilibru vectorial:

0=+++ TNGFO

(k)

Proiecia ecuaiei (k) pe axele sistemului de coordonate Frenet,conduce la ecuaiile:

Proiecie dup:

022

=

+

TcosmgsinFO

(l)

Proiecie dup:

022

=+

NsinmgcosFO

(m)

Dac se ine seama i de legea frecrii uscate NT

Se obine astfel valoarea minim a forei F0pentru echilibru:

22

22

/cos/sin

/sin/cosmgF

O +

(n)

Analog se obine i valoarea maxim a forei F0pentru echilibru:

22

22

/cos/sin

/sin/cosmgF

O +

(o)



35

CAPITOLUL II

REDUCEREA FORELOR

APLICATE SOLIDULUI RIGID

TEORIE

a. Momentul unei fore n raport cu un punct

O noiune foarte important utilizatn Mecanica corpului rigid este aceeade moment al unei fore Ffa de un

punct oarecare O (fora F esteaplicat ntr-un punct oarecare A din

spaiu O A) care se definete prin :

FOA)F(MO

=

Din definiia produsului vectorial dat n capitolul I , rezultc momentul unei fore F fa de un punct O, este un vector aplicat npunctul O, perpendicular pe vectorii FsiOA , sensul su fiind

determinat de sensul de rotaie al lui F, dup regula urubului drept iarmrimea sa dat de:

dFsinFOA)F(MO ==

unde: este unghiul dintre FsiOA iar d este distana de la

punctul O la suportul forei F (sau braul forei, ca n figura 2.1).

Dac punctul O este originea sistemului de referin cartezian,punctul A are coordonatele A(x,y,z) iar expresia analitic a forei este:

kZjYiXF ++= , atunci expresia analitic a momentului forei Ffa deO este:

k)yXxY(j)xZzX(i)zYyZ(

ZYX

zyxkji

FOA)F(MO

++===

Componentele lui )F(MO

:

yXxYN;xZzXM;zYyZL === , reprezint momentele forei

F fa de cele trei axe Ox, Oy, Oz (aa cum se va vedea din paragrafulurmtor).

AO

d

)F(MO F

Fig. 2.1



36b. Momentul unei fore n raport cu o ax

O alt noiune important utilizat n Mecanica corpului rigid esteaceea de moment al unei fore F fa de o ax , care sedefinete ca proiecia momentului forei Ffa de un punct, careaparine axei, pe direcia axei:

ZYX

zyx

cba

)FOA()F(M

)F(M)F(Mpr)F(MOO

==

==

unde: kcjbiavers ++==

Se observ c dac coincide cu

axa Ox: iversOx== atunci momentul forei F n raport cu axa Ox

este: LzYyZMOx == .

c. Torsorul de reducere al unui sistem de fore ntr- un punct

Dac se consider o fori

Faplicat ntr-un punct Aial unui rigid,efectul acestei fore este acelai cu efectul celor dou elemente dereducere a forei ntr-un punct O: fora

iFi momentul forei n raport

cu punctul O )F(MiO

: Oinaplicate)F(M

FAinaplicataF

iO

i

ii

Dac se consider un sistem de fore

iF aplicate n punctele (Ai)i=1,2,n i seface reducerea pentru fiecare for asistemului n punctul O , prin

nsumarea forelor i momentelorconcurente rezultate se obine unsistem echivalent cu sistemul datformat din dou elemente (fig.2.3):

- Vectorul rezultant: =

=n

ii

FR1

- Momentul rezultant:

==

==n

iii

n

iiOO

FOA)F(MM11

.

Perechea format dinO

MsiR se numete torsorul de reducere

n punctul O al sistemului de fore: O.

AO

)F(MO F

Fig. 2.2

)F(M

AnO

OM

1F

Fig.2.3

A1

2F

iF

nF

AiA2

R



37d. Torsor minimal. Axa central

Dac se consider un alt punct O' ncare se face reducerea sistemului defore (O'O) vectorul rezultant

=

=n

ii

FR1

nu se modific (primul

invariant) iar momentul rezultant semodific conform relaiei:

R'OOMRO'OMMOO'O

=+=

Deci torsorii de reducere n O i O'se scriu:

=

R'OOMM

R:;

M

R:

O'O

'O

O

O

Dac se nmulete scalar relaia de mai sus cu R, se obine:ctRMRMO'O

== ; aceast a doua mrime constant se numetetrinomul invariant (scalarul torsorului sau al doilea invariant). Dac seface raportul dintre trinomul invariant i modulul vectorului rezultant seobine proiecia momentului rezultantpe direcia vectorului rezultant:

R

RMM O

R

=

Pentru anumite puncte din spaiu, torsorul de reducere este formatdin doi vectori coliniari )M;R(

R

care se numete torsor minimal:

=R

R

R

RMM;R: O

Rmin

Ax central reprezint locul geometric al punctelor din spaiuunde fcnd reducerea sistemului de fore se obine torsorul minimal(vectorul rezultant i momentul rezultant sunt coliniari, sau momentulrezultant este nul pentru forele ce se pot reduce la un vector rezultantunic, aa cum rezulti din paragraful urmtor). Axa central este dat

de ecuaiile:

Z

yXxYN

Y

xZzXM

X

zYyZL +=

+=

+

sau sub forma vectorial (parametric):

+=

+=

+=

+

=2

2

2

2

R/)YLXM(Zz

R/)XNZL(Yy

R/)ZMYN(Xx

RR

MRo

An

OOM

1F

Fig.2.4

A1

2F

iF

nF

AiA2

R

OM

R



38e. Clasificarea sistemelor de fore

Problema nlocuirii unui sistem de forei

Faplicate n punctele Aicu un alt sistem echivalent avnd o form mai simpl ne conduce laideea clasificrii sistemelor de fore dup criteriul enunat mai sus(torsorul echivalent avnd forma cea mai simpl). Clasificarea se poateface pornind de la invarianii sistemului:

I. Cazul 000 OO M,RMR

Sistemul cel mai simplu poart numele de dinami este compusdintr-o for Fegal cu vectorul rezultant, avnd punctul de aplicaie peaxa central i un cuplu (un sistem format din dou fore egale camrime, avnd direcii opuse i situate pe dou suporturi paralele) situat

ntr-un plan normal la direcia axei centrale i avnd momentul egal cumomentul minim

RM :

== R

R

R

RMM;RF: ORmin

II. Cazul 0=O

MR

cu urmtoarele 4 subcazuri:

II.a. 00 O

M,R

II.b. 00 =O

M,R

II.c. 00 = OM,RII.d. 00 ==

OM,R

n primele dou subcazuri (II.a, II.b.) sistemul de fore poate finlocuit cu o for F egal cu vectorul rezultant, avnd punctul deaplicaie pe axa central. Dac n primul subcaz punctul O nu aparineaxei centrale, n cel de-al doilea subcaz punctul O se afl pe axacentral.

n subcazul al treilea (II.c) sistemul de fore este echivalent cu un

cuplu situat ntr-un plan normal la direcia momentului rezultant OM ,avnd aceeai mrime, direcie i sens cu momentul rezultant. Axacentral nu este definit n acest subcaz, momentul rezultant avndcaracterul unui vector liber (

OO'OMRO'OMM =+= ).

n subcazul al patrulea (II.d) sistemul de fore este n echilibru(sistem de fore de efect nul). Axa central nu este definit nici n acestsubcaz. Aceste sisteme fac obiectul Staticii n special.



39

2.1. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORE

SPAIALE

PROBLEME REZOLVATE

2.1.1. Asupra unui cub rigid de latur a, acioneaz forele: 4321 F,F,F,F ,

ca n figura 2.1.1.a. Mrimile acestor fore sunt cunoscute:FF,FFF,FF 23 4321 ==== . Se cer:

1) Torsorul de reducere n punctul O; 2) Torsorul n punctul B';3) S se determine ecuaia axei centrale;4) La ce se reduce sistemul?

Rezolvare:

1) Expresiile analitice ale vectorilor for i a vectorului rezultant se scriuastfel:

)kji(Fa

kajaiaF

OB

OBFFversFF +=

+=

==

331111 (a)

FZ,YXkFFR

kFFversFF;jFFversFF;iFFversFF

ii 303

24

1

444333222

=====

======

=(b)

i expresiile analitice ale vectorilor moment i a vectorului momentrezultant sunt:

022

2

0

4321

4

100

====

++++=

=+++===

N,aFM,aFL)ji(FaM

kF)kaja(jFkaiF)jaia(

FCOFOOFOAFOB)F(MMi

i

(c)

F4C

z

B

F2

F3

F1

Fig. 2.1.1. a

A

A

C

O

O

y

x

B

a

aa

C

Axa

centrala

z

B

R

M0

Fig. 2.1.1.b

A

A

C

O

O

y

xB

D(a/3, 2a/3,0)

R



40

2) Momentul rezultant n punctul Bse calculeaz cu ajutorul relaiei:

)ji(aFkF)kajaia(jaFiaFROBMM OB 232 +=+=+= (d)

3) Ecuaia axei centrale devine:

Z

yXxYN

Y

xZzXM

X

zYyZL +=

+=

+(e)

zz,ay,axF

FxaFFyaF ====+=32

330

03

032 (f)

Axa central este o dreapt perpendicular pe planul Oxy (paralelcu axa Oz) care intersecteazOxyn punctul D(a/3, 2a/3, 0).

4) ntruct 00 ==Roo

MsauRMRM , sistemul se poate reduce

la o for Fegal cu vectorul rezultant R, situat pe axa central.Prin urmare exist urmtoarele situaii echivalente:

a. ( 4321 F,F,F,F ) aplicate nA1,A2,A3,A4;b. )M,RF(

o= aplicate n O;

c. ),RF( 0= aplicat ntr-un punct oarecare de pe axa central.

2.1.2. Se consider paralelipipedul dreptunghic rigid cu laturile: OA=3a ,OC=4a , OO'=12a asupra cruia acioneaz forele (fig.2.1.2.a.) avnd

mrimile: 173124 4231 FFF,FFF ====Se cere: 1) Torsorul de reducere n O;

2) Ecuaia axei centrale;

3) La ce se reduce sistemul?

C

z

B

F1F4

F2F3

Fig. 2.1.2.a

A

A

C

O

Oy

xB

12a

3a

4a

C

z

Axa

central

B

R

M0

Fig. 2.1.2.b

A

A

C

O

O y

x

B

D(3a/2, 2a, 0)

R



41Rezolvare:

1) Expresiile analitice ale celor patru fore sunt:

);ki(Fa

kajaF

BA

BAFFversFF 34

104

1241041111 +=

+=

== (a)

);ki(Fa

kaia

FBC

BC

FFversFF 43173

1231732222 +=

+

=

== (b)

);kj(Fa

kajaF

OC

OCFFversFF 34

104

1241043333 +=

+=

== (c)

).ki(Fa

kaaiF

OA

OAFFversFF 43

173

1231734444 +=

+=

== (d)

Expresiile vectorului rezultant i momentului rezultant n punctul O sunt:

;FZ,YXkFFRi

i48048

4

1=====

=(e)

.N,aFM,aFL

;jaFiaFM

FF

a

kji

FF

a

kji

FF

a

kji

FF

a

kji

M

FxOAFxOCFxOCFxOA)F(MMi

i

07296

7296

1203

003

1240

040

403

040

1204

003

0

0

43210

4

10

=== =

+

++=

+++===

(f)

2) Ecuaia axei centrale se scrie:

F

FxaFFyaF

48

0

0

4872

0

4896=

+=

(g)

arbitrarz,ay,a

x === 22

3; (h)

axa central este paralel cu Oz fiind chiar axa de simetrie aparalelipipedului (vezi fig. 2.1.2.b).

3) ntruct RMRM oo = 0 ,sistemul se reduce la o for F egal cu

vectorul rezultant R situat pe axa central (vezi fig. 2.1.2.b).



422.1.3. Asupra paralelipipeduluidreptunghic rigid cu muchiile (3a, 5a,4a) acioneaz trei fore i un cupluavnd mrimile cunoscute:

,FF,FF 526 21 == aFM;FF 423 == ,

direciile i sensurile ca n figura

2.1.3.Se cere:

1) Torsorul de reduceren O;

2) Torsorul minimal;

3) Ecuaia axei centrale;

4) Punctul de intersecie al axeicentrale cu planele ABEi yOz.

Rezolvare:

1) Expresiile analitice ale celor patru fore sunt:

);kji(FAB

ABFFversFF 431111 +=== (a)

);ki(FCD

CDFFversFF 431222 +=== (b)

;kFkFOzversFF 2333 === (c)

.iaF)i(MxOversMM 4111 === (d)

Vectorul rezultant al forelori momentul rezultant n punctul O sunt:

.aFN,aFM,aFLdeci

;kaFjaFaFiM

;

F

aa

kji

FF

aa

kji

FFF

aa

kji

iaFM

);kji(FFR

O

O

ss

13142

13142200

033

403

053

43

4204

2323

1

===

+=

+

++

+=

++== =

(e)

Deci torsorul O are urmtoarele componente:

O :

+=

++=

)kji(aFM

)kji(FR

o13142

232(f)

z

Fig. 2.1.3

CE

DA 3a2a

4a

a

2a

2a3a

O

yx B

F2

F1

F3

M1

I

G



43

2) Torsorul minim (innd seama de: ,aFMRO

220= 22

17FR = ):

este dat de

min::

=

=

++=

)kji(aFR

R

MRM

)kji(FR

omin 232

17

20

232

2

(g)

3) Ecuaia axei centrale sub form vectorial se scrie vectorial ianalitic astfel:

).kji(F

aFaFaF

FFF

kji

F

kzjyix

;RR

MRo

232

13142

232

17

12

2

+++

=++

+

=

(h)

deci ecuaiile parametrice corespunztoare se scriu:

.Faz;Fay;Fax +=+== 217

223

17

302

17

67(i)

4) Ecuaia planuluiABEeste:

.azyx;azyx:sau

;

aa

aa

aa

zyx

;

zyx

zyx

zyx

zyx

EEE

BBB

AAA

620481688

0

1033

105

1420

1

0

1

1

1

1

=++=+

== (j)

Pentru determinarea coordonatelor punctului P de intersecie alaxei centrale, cu planul ABE, se introduc ecuaiile parametrice ale axei

centrale n ecuaia planului de mai sus i se determin parametrul P:

a,az;a,ay;a,ax

F/a,F

a

PPP

P

6390119

7678150

119

935974

119

547

3280119

39

======

==(k)

Pentru determinarea coordonatelor punctului Q de intersecie alaxei centrale cu planul yOz se introduc ecuaiile parametrice ale axei

centrale n ecuaia planului yOz(x=0) i se determin parametrul Q:

a,az;a,ay;xF

aQQQQ

235517

896767

34

2610

34

67====== (l)



44

TEME APLICATIVE PROPUSE

2.1.4. . . 2.1.20. Se consider sistemele formate din trei fore

321 F,F,F i dou cupluri )M(,M 21 ce acioneaz asupra unui

paralelipiped avnd forma i dimensiunile precizate n fig. 2.1.4. ...

2.1.20. Mrimile i orientarea forelor321 F,F,F i ale cuplurilor de fore

)M(,M21

sunt precizate n figurile corespunztoare. S

se determine:

a) Torsorul de reducere al sistemului, n punctul O;

b) Torsorul minim;

c) Ecuaia axei centrale;

d) Coordonatele punctului de intersecie al axei centrale cu planulspecificat.

2. 1. 4.Date:

D(4a, 4a,3a)

02

2

5

22

21

3

2

1

==

=

=

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralyOz.

2. 1. 5.

Date:

E(4a, 7a, 3a)

02

529

21

3

2

1

==

=

==

M;aFM

FF

;FF;FF

Axa centralxOz.

z

Fig. 2.1.4

C

ID

A

3aa

a2a

2a

2a

a

3aa3a

O

yx

BF2

F1

F3

M1

E

G

z

Fig. 2.1.5

C

I

D

A

2aa

2a3a

3a

4a

4a 3a

3a

O y

x

BF2

F1

F3

M1

E

G



45

2. 1. 6.

Date:

I(3a, 5a, 4a)

03

10

22

21

3

2

1

==

=

=

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralyOz.

2. 1. 7.

Date:E(3a, 6a,2a)

04

54

14

21

3

2

1

==

=

=

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralxOz.

2.1.8.

Date:

C(4a, 5a,3a)

05

2

29

21

3

2

1

==

==

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralxOy.

z

Fig. 2.1.6

C

E

D

A

2a

2a

3a

4a

2a

3a

O y

x

B

F2F1

F3

M1

I

G

z

Fig. 2.1.7

C

G

D

A

2a4a

3a

2a

3aa

a

2a

2a

Oy

x

EF2

F1

F3

M1

B

I

z

Fig. 2.1.8

CIE

D

A

3a

4a

2a

2a

a

a

3a

O y

x B

F2F1F3

M1G



46

2.1.9

Date:

H (4a,6a,3a)

04

4

5

22

21

3

2

1

==

=

=

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralxOy.

2.1.10.

Date:C(5a,7a,2a)

06

2

13

53

21

3

2

1

==

=

=

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralxOz.

2.1.11

Date:

G(2a,5a,2a)

04

2

22

14

21

3

2

1

==

==

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralxOy.

z

Fig. 2.1.9

C

E D

A 3a2a4a

a

3a

O y

xB

F2F1

F3

M1

I H

z

Fig. 2.1.10

C

E

D

A

2a

a

2a 5a

6a

2a

3a

O

y

xB

F2

F1

F3

M1

I

z

Fig.2.1.11

C

EA

2a

2a 3a

aa

O y

x

B

F2F1

F

M1

I

D

G



47

2.1.12.

Date:

E (3a,5a,3a)

02

2

23

33

21

3

2

1

==

=

=

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralyOz.

2.1.13.

Date:F (3a,4a,3a)

03

3

22

14

21

3

2

1

==

=

=

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralxOy.

2.1.14.

Date:

J(4a,5a,3a)

04

29

5

17

21

3

2

1

==

==

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralyOz.

z

Fig. 2.1.12

C

E

D

A 3a

5a

2a

a

2a

a

O=G y

x

B

F2

F1

F3

M1

I

z

Fig. 2.1.13

C

ED

A 2a2a

3a

a

2aa3a

O

y

x

B

F2

F1

F3M1

I

G

z

Fig. 2.1.14

C

E DA

3aI

3a

2a

2a

a2a

O

y

x

B

F2

F1F3 M1

G

2a

2a

J



48

2.1.15

Date:

I(3a,5a,3a)

03

4

5

22

21

3

2

1

==

=

=

=

M;aFM

FF

;FF

;FF

Axa centralxOy.

2.1.16 Date:

J(a,3a,2a)

aFM

;aFM

FF

;FF

;FF

2

5

14

10

2

1

3

2

1

=

=

=

=

=

Axa centralxOz.

2.1.17 Date:

J(a,4a,3a)

.aFM

;aFM

FF

;FF

;FF

3

10

26

17

2

1

3

2

1

=

=

=

=

=

Axa centralyOz.

z

Fig. 2.1.15

C

ED

A a2a

3a

2a a2a

O

y

xB

F2F1

F3

M1

I

G

z

Fig. 2.1.16

C

DE

A

3a

a

2a

O

y

x

BI

F2F1

F3M2

M1G

H

J

z

Fig. 2.1.17

C

H

DE

A

4aa

3a

O

y

x

BI

F2F1

F3M2

M1

G

J



49

2.1.18 Date:I(a, a,a)

.aFM

;aFM

FF

;FF

;FF

2

2

3

2

2

1

3

2

1

=

=

=

=

=

Axa centralyOz.

2.1.19 Date:

I(a,2a,a)

.aFM

;aFM

FF

;FF

;FF

2

2

2

6

5

2

1

3

2

1

=

=

=

=

=

Axa centralxOz.

2.1.20

Date:

J(a,2a,a)

aFM

;aFM

FF

;FF

;FF

2

52

6

5

2

1

3

2

1

=

=

=

=

=

Axa centralyOz

z

Fig. 2.1.19

C

H

DE

A

2a

a

a

O

y

x

BF

F2F1

F3M2

M1

I

G

z

Fig. 2.1.20

C

H

DE

A

2a

a

a

B

y

x

OI

F2F1

F3

M2

M1

J

G

z

Fig. 2.1.18

C

G

DE

A

a

a

a

O

yx

BFF2F1

F3

M2

M1H

I



50

RSPUNSURI

Nr.

pr.

Torsorul n O

OTorsorul minimal

minAxa central Punctul de

intersecie2.1.4

=

++=

)ki(aFM

)kji(FR:

OO

64

322

++=

++=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

32217

26322

+=

=

+=

Faz

Fy

Fax

3178

2

217

12

=

=

=

az

ay

x

17

2617

120

.1.5

++=

++=

kji(aFM

)kji(FR:

OO

2810

28

++=

++=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

2823

1828

+=

+=

+=

Faz

Fay

Fax

269

81

869

4869

222

=

=

=

az

y

ax

23

310

23

76

2.1.6

+=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

OO

181550

643

+=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

64361

18643

=

+=

+=

Faz

Fay

Fax

661

245

461

354

361

18

=

=

=

az

ay

x

61

28161

3300

2.1.7

++=

++=

)kji(aFM

)kji(FR:

OO

1196

53

++=

++=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

5335

3853

+=

+=

+=

Faz

Fay

Fax

35

57

535

39

335

46

=

=

=

az

y

ax

175

3240

175

347

2.1.8

++=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

O

O171820

45

+=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

4521

145

=+=

+=

Faz

Fay

Fax

421

5952

6342

157

==

=

084

42184

373

zay

ax

2.1.9

+=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

OO

4336

22

+=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

229

2222

=

+=

+=

Faz

Fay

Fax

29

75

29

769

2

=

=

=

09

15118

71

z

ay

ax

2.1.10

++=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

OO

111026

242

+=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

242

24

22242

=

+=

+=

Faz

Fay

Fax

224

124424

30

224

64

=

=

=

az

y

ax

48

278

048

98

2.1.11

=

+=

)kj(aFM

)kji(FR:

OO

142

233

+=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

233

233

+=

=

+=

Faz

Fay

Fax

211

3

311

21

311

23

=

=

=

02

32

5

z

ay

ax



51Nr.

pr.

Torsorul n O

OTorsorul minimal

minAxa central Punctul de

intersecie2.1.12

+=

++=

)kji(aFM

)kji(FR:

OO

959

3

=

++=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

311

153

+=

+=

=

Faz

Fay

Fax

2

311

1811

32

=

=

=

az

ay

x

11

1011

1140

2.1.13

+= += )ki(aFM)kji(FR:

OO

4324

+=+=

)kji(aFM)kji(FR:

minmin

2421

11 24

=

+=

+=

Faz

Fay

Fax

221

12

421

821

16

=

=

=

021

3221

22

z

ay

ax

2.1.14

=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

OO

1683

342

+=

+=

)kji(aFM

)kji(FR:

minmin

34229

22342

+=

=

=

Faz

Fay

Fax

329

28

429

23

229

88

=

=

=

az

ay

x

29

16029

1990

2.1.

15

+=+=

)kji(aFM)kji(FR:

OO

9222

+=+=

)kji(aFM)kji(FR:

minmin

223

522

=

+=

+=

Faz

Fay

Fax

29

169

2

2917

=

=

=

03

2311

z

ay

ax

2.1.16

+=

+=

)kji(aFM

)ji(FR:

OO

86

6

=

+=

0

6

minmin

M

)ji(FR:

=

+=

=

az

Fay

Fax

637

837

48

=

=

=

az

y

ax

0111

148

2.1.17

+=

+=kji(aFM

)ji(FR:O

O11212

8

+=+=

)ji(aF

M

)ji(FR:

minmin

865

48

=

+=

=

65

98

865

116588

az

Fay

Fax

=

=

=

65

9811

0

az

ay

x

2.1.18

+=

+=

)ki(aFM

)ji(FR:

OO

4

2

+=

+=

)ji(aF

M

)ji(FR:

minmin

25

2

=

+=

=

a.z

Fa.y

Fa,x

40

280

61

a.z

ay

x

40

4

0

=

=

=

2.1.19

++=

+=

)kji(aFM

)ji(FR:

O

O

62

4

+=

+=

)ji(aF

M

)ji(FR:

minmin

417

64

=

+=

=

17

7

417

617

24

az

Fay

Fax

==

=

0

034

45

z

y

ax

2.1.20

++=

=

)kji(aFM

)ki(FR:

OO

44

2

=

=

)ki(aF

M

)ki(FR:

minmin

25

42

=

=

=

Fa

z

ay

Fa

x

5

25

12

25

=

=

=

2

5

120

az

ay

x



52

ALGORITM DE CALCUL REALIZAT CU AJUTORUL


PROBLEMEI 2.1.4

Pentru crearea algoritmului de calcul s-au utilizat urmtoarele relaii:

! Expresiile analitice ale celor patru vectori:

1113322

2221111

MversMM;EFversFF;CDversFF

;)zz()yy()xx(

k)zz(j)yy(i)xx(F

AB

ABFABversFF

ABABAB

ABABAB

===

++

++===

! Expresiile analitice ale momentelor celor 3 fore n raport cu O:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )iXyYxiZxXziYzZyFOE)F(M

iXyYxiZxXziYzZyFOC)F(M

iXyYxiZxXziYzZyFOA)F(M

EEEEEEO

CCCCCCO

AAAAAAO

33333333

22222222

11111111

++==

++==

++==

! Componentele torsorului de reducere al sistemului n punctul O:

kNjMiLM;kZjYiXRO

++=++=

! Componentele torsorului minimal:

kZR

MRjY

R

MRiX

R

MRM OOO

min 222

+

+

=

! Componentele produsului vectorial :

k)YLXM(j)XNZL(i)ZNYN(MRO

++=

din ecuaia vectorial a axei centrale:

( ) RR/MRkzjyixO

+=++= 2

DATE DE INTRARE

A B C D E F G H I J K L

Nr. xA/a yA/a zA/a xB/a yB/a zB/a xC/a yC/a zC/a xD/a yD/a zD/a

1 4 3 0 2 0 3 0 1 3 1 0 2

M N O P Q R S T U V X Y Z

xE/a yE/a zE/a xF/a yF/a zF/a F1/F F2/F F3/F M1/aF vers M1x vers

M1y

vers

M1z

4 4 3 1 4 2 4,6904 5 2 2 0 0 1



53

DATE DE IEIREAA AB AC

(versF1)x (versF1)y (versF1)z

(D1-A1)/SQRT((D1-A1)^2+

(E1-B1)^2+(F1-C1)^2)

(E1-B1)/SQRT((D1-A1)^2+

(E1-B1)^2+(F1-C1)^2)

(F1-C1)/SQRT((D1-A1)^2+

(E1-B1)^2+(F1-C1)^2)

-0,4264 -0,6396 0,6396

AE AF AG


(J1-G1)/SQRT((J1-G1)^2+

(K1-H1)^2+(L1-I1)^2)

(K1-H1)/SQRT((J1-G1)^2+

(K1-H1)^2+(L1-I1)^2)

(L1-I1)/SQRT((J1-G1)^2+

(K1-H1)^2+(L1-I1)^2)

0,8 0,6 0

AH AI AJ


(P1-M1)/SQRT((P1-M1)^2+

(Q1-N1)^2+(R1-O1)^2)

(Q1-N1)/SQRT((P1-M1)^2+

(Q1-N1)^2+(R1-O1)^2)

(R1-O1)/SQRT((P1-M1)^2+

(Q1-N1)^2+(R1-O1)^2)

0 1 0

AK AL AM AN AO AP

X/F Y/F Z/F R2/F

2(MOF1/aF)x (MO F1/aF)y

AA1*S1+AE1*T1+ AH1*U1

AB1*S1+AF1*T1+AI1*U1

AC1*S1+AG1*T1+ AJ1*U1

AK^2+AL^2+AM^2

S1(B1*AC1-C1*AB1)

S1(C1*AA1-A1*AC1)

2 2 3 17 9 -12

AQ AR AS AT AU AV

(MOF1/aF)Z (MO F2/aF)x (MOF2/aF)y (MO F2/aF)z (MOF3/aF)x (MO F3/aF)y

S1(A1*AB1-B1*AA1)

T1(H1*AG1-I1*AF1)

T1(I1*AE1-G1*AG1)

T1(G1*AF1-H1*AE1)

U1(N1*AJ1-O1*AI1)

U1(O1*AH1-M1*AJ1)

-6 -9 12 -4 -4 0

AW AX AY AZ BA

(MOF3/aF)z L/aF = (MO /aF)x M/aF = (MO/aF)y N/aF = (MO /aF)z R.MO/aF2

U1(M1*AI1-N1*AH1)

AO1+AR1+AU1+X1*V1

AP1+AS1+AV1+Y1*V1

AQ1+AT1+AW1+Z1*V1

AK1*AX1+AL1*AY1+AM1*AZ1

2 -4 0 -6 -26

BB BC BD BE BF BG

(Mmin/aF)x (Mmin/aF)y (Mmin/aF)z ( 2aF/MR O )x (2aF/MR O )y (

2aF/MR O )z

BA1*AK1/AN1 BA1*AL1/AN1 BA1*AM1/AN1 AL1*AZ1-AM1*AY1

AM1*AX1-AK1*AZ1

AK1*AY1-AL1*AX1

-3,0588 -3,0588 -4,5882 -12 0 8



54

2.2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FORECOPLANARE

PROBLEME REZOLVATE

2.2.1. Asupra cadrului dreptunghiular din figura 2.2.1.a avnd laturile

OA=a, OC=2a, acioneaz forele coplanare: F1=F2= F2 nclinate cuunghiul 4/= i F3 = 2F ca n fig. 2.2.1.a.

Se cer : 1) Torsorulul de reducere n punctul O.

2) Ecuaia axei centrale (suportul lui R) prin tieturi.

Rezolvare :

1) Se scriu expresiile analitice ale vectorilor for:

iFiFF

)ji(Fj)sinF(i)cosF(F

)ji(Fj)sinF(i)cosF(F

233

222

111

==

+=+=

+=+=

(a)

Vectorul rezultant al sistemului este: jFiFRFRi

i22

3

1+==

=(b)

Momentul rezultant fa de O este:

kaFM)iF()jaia(

FF

aa

kji

)ji(FjaM

FOBFODFOC)F(MMi

i

32

0

02200

3210

3

10

=++

++=

++===

(c)

Torsorulul de reducere n punctul O este deci:

F1

y

DC

F2

B

x

O

A

Fig. 2.2.1

F3

a

a

a

y

DC

xOMO

A

R

F=R

b.

Axa central

Q (0, 3a/2)

P (3a/2,0)

a.



55

====

===+=

aFN;MLkaFM

Z,FY;FXjFiFR

303

02222

0

(d)

1) Ecuaia axei centrale:Z

yXxYN

Y

xZzXM

X

zYyZL +=

+=

+(e)

pentru valorile de mai sus se scrie:

=

=+

==

0

23

0

223

2

2

2

2

z

ayxFyFxaF

F

Fz

F

Fz(f)

Axa central este o dreapt definit prin tieturile: P(3a/2,0)iQ(0,3a/2).

Sistemul de fore este echivalent cu torsorul )M,R(O

de reducere n

punctul O, sau cu o forF egal cu vectorul rezultant R situat pe

axa central (ntruct n acest caz: 00 00==

MRsau,MR ).

2.2.2. Asupra plcii dreptunghiulare din fig. 2.2.2.a, avnd laturile OA

=2a, OC=4a acioneaz un cuplu 1M i 4 fore coplanare respectiv n

punctele A1, A2, A3, A4 avnd modulele date: aFM 41 = ;

;FF;FF 2221 == ;FF 233 = FF 44 = , nclinate cu:

==== 4321 440 ;/;/; .

Se cere :

1) Torsorul de reducere n punctul O.

2) Ecuaia axei centrale prin tieturi (xP, yQ)

Rezolvare

1. Expresiile analitice ale forelor, cuplului

1Mi momentelor fa de O sunt:

( )kXyYx)F(M

;kMM

j)sinF(i)cosF(F;jYiXF

iiiiiO

iiiii

iii

=

=

+=

+=

11

(a)

Introducnd valorile rezult:

2

3

F1

y

C

F2

B

xO A

Fig. 2.2.2.a

F3

a

2a

2a

a

F4A4

A1

A2

2a

2a

A3

M1



56

kaFM;kaF)F(M;kaF)F(M;)F(M;)F(M

iFF;jFiFF;jFiFF;iFF

OOOO481500

43322

14321

4321

=====

==+==(b)

Vectorul rezultant al sistemului este:

FsinFYFcosFXFRii

iii

ii

i=====

===

4

1

4

1

4

12 (c)

Momentul rezultant fa de O este: kaFM)F(MM

iOi

O31

4

1=+=

=(d)

2. Ecuaia axei centrale pentru sistemul de fore dat este:

0=+ yXxYN : x+2y=3a (e)

Axa central este definit prin tieturile (fig 2.2.2.a):

P(N/Y,0) xM=3a; yM=0 si Q(0,-N/X) xN=0; yN=3a/2; (f)

Sistemul de fore este echivalent cu torsorul de reducere n punctulO: )M,R(O

sau cu o for F egal cu vectorul rezultant R situat peaxa central (fig. 2.2.2.b) ntruct n cazul unui sistem coplanar de fore:

00 00 == MRsau,MR .

2.2.3. Asupra plcii dreptunghiulare rigide din fig. 2.2.3.a. avnd laturileOA =4a, OD=6a, acioneaz 2 fore concentrate n punctele A i C

avnd modulele date: paF;paF 510 21 == fiind dirijate dup direciile

AB respectiv BCi 4 sarcini distribuite uniform sau neuniform ca n fig.S2.2.3a . Se cer :

1) Torsorul de reducere al sistemului de fore n punctul O.

y

D C

xO

A

Fig. 2.2.3.a

F2

2a

3a

F1

BJ

2a

p

p

E a

3a

3a

2p

p

y

CB

xO A

Fig. 2.2.2.b

2a

4a

MO

P(3a,0)

Q(0,3a/2) F=R

Axa central

R



57

2) Torsorul de reducere al sistemului de fore n punctul J (JB).

3) Ecuaia axei centrale i tieturile ei (xP, yQ).

Rezolvare

Se nlocuiesc sarcinile distribuite prin fore echivalente acionndn centrele forelor paralele distribuite respective. Aceste fore aumrimile:

.pa/)pa(F;pa/)pa(F;paFF 32233262 6543 ======

Sistemul de fore echivalent esteprezentat n fig. 2.2.3.b.

Se observ c unghiurile formate dedireciile forelor F1 i F2 cu axa Oxsunt egale i se noteaz cu :

tg=3/4 , sin=3/5 cos=4/5.

Expresiile analitice ale vectorilor foresunt:

jpaipaF

jsinFicosFF

jpaipaF

j)sin(Fi)cos(FF

34

68

2

222

1

111

+=

+=

+=

+=

jpaF;ipaF

;jpaF;jpaF

33

22

65

43

==

==

(a)

Vectorul rezultant al sistemului este deci:

jpaipaRFRi

i6

3

1+==

=(b)

Momentul rezultant fa de O este:

k)FyFx()Fr()F(MMi

xiiyiiiii

iOi

O

===

===

6

1

6

1

6

1(c)

unde: jyixr iii += este vectorul de poziie al punctului de aplicaieal forei

iF.

nlocuind valorile corespunztoare rezult: kpaMO

24= (d)

Deci torsorul de reducere al sistemului n punctul O este:

====

===+=

22

0 404

066

paN;MLkpaM

Z,paY;paXjpaipaR:

O(e)

y

C

xO A

Fig. 2.2.3.b

F2

a

2a

F1

BJ

2a a

2a

3a

F4

F3

C 2a

F6

F5

180o-

a



58Momentul rezultant n punctul J se calculeaz conform relaiei:

kpa)jpaipa()ja(kpaM

RJOMM

J

OJ

22 634 =++=

+=(f)

Deci torsorul de reducere al sistemului n punctul J este:

=

+=

kpaM

jpaipaR

:J 20

6

(g)

3. Ecuaia axei centrale pentru sisteme coplanare de fore este:

0=+ yXxYN (h)

care, particularizat pentru aceast problem, devine: 6x + y = 4a

Axa central este definit prin tieturile ei: P(2a/3, 0) , Q(0, 4a)

n fig. 2.2.3.c este prezentat torsorul de reducere al sistemului defore dat n punctul O, iar n fig. 2.2.3.d este prezentat torsorul dereducere al sistemului de fore dat ntr-un punct situat pe axa central:acesta este cel mai simplu sistem echivalent cu sistemul de fore dat (ofor egal cu vectorul rezultant avnd punctul de aplicaie pe axacentral).

TEME APLICATIVE PROPUSE

2.2.4 ... 2.2.18 Asupra plcii rigide plane avnd forma din din figuracioneaz un numr de fore i cupluri de fore concentrate avndmodulele date i un numr de sarcini distribuite uniform sau neuniform.Se cer :

y

Q(0,4a)

xO P(2a/3,0)

Axa central

6x+y=4a

RF=

y

xO

jpaipaR 6+=

kpaMO 24=

c. Fig. 2.2.3 d.



591. Torsorul de reducere al sistemului de fore n punctul O.

2. Torsorul de reducere al sistemului de fore n punctul J.

3. Ecuaia axei centrale i tieturile ei (xP, yQ).

y

xO

Fig. 2.2.4

M1

CJ

3a

A

B

F2

F1

3a4a

4a

E

F3

2a

3a

D

Date:

aFM;FF

FFF

43

5

13

21

==

==

Fig. 2.2.6y

xO

M1

DJ

3a

B

F1

F2

2a

4a E

F3A

8a

Date:

aFM;FFFF;FF

2451013

13

21

==

==

y Fig. 2.2.5

2p

p

C

BA

3a

2aa

3a

J D xO

Date:

apF 21 =

F1

(F2e)

(F3e)



60

Fig. 2.2.7y

x

DJ

3a

F4

4a

4a 3a

4a

A

O

F2 F3

F1

E

C B

4a

Date:

FF;FF

FFF

24

5

43

21

==

==

Fig. 2.2.8

A

Documents

Probleme de Mecanica Statica