PROBLEMEPENTRU ETAPA JUDE�EAN�

ABSTRACT. În vederea particip rii cu succes la concursurile ³colareprezent m câteva probleme de concurs însoµite de rezolv ri ³i comentarii.

Lecµia se adreseaz  clasei a VI-a

Data: martie 2011

Autor: Ion Cicu, Profesor, �coala nr. 96, Bucure³ti

Problema 1: A�aµi numerele naturale a ³i b ³tiind c  cel mai micmultiplu comun al lor este de 12 ori mai mare decât cel mai mare divizorcomun al lor ³i c  6a + b = 330.

Etapa pe municipiu, Bucure³ti, 2002

Soluµie: Fie d = (a, b) cel mai mare divizor comun ³i m = [a, b] celmai mic multiplu comun al numerelor a ³i b.

Din enunµ avem m = 12d. (*)

Se ³tie, de asemenea c  md = ab, de unde m =ab

d. (**)

Din cele dou  relaµii deducemab

d= 12d sau ab = 12d2. (***)

Acum, d = (a, b) implic  a = dx, b = dy ³i (x, y) = 1.

Înlocuind în (***) obµinem d2xy = 12d2, de unde xy = 12.

Cum (x, y) = 1 distingem cazurile x = 1, y = 12; x = 3, y = 4; x =12, y = 1 ³i x = 4, y = 3.

Pentru x = 1, y = 12 avem a = d, b = 12d ³i înlocuind în 6a + b = 330obµinem 18d = 330 care nu are soluµie natural .

Pentru x = 3, y = 4 avem a = 3d, b = 4d ³i înlocuind în 6a + b = 330obµinem 22d = 330 care are soluµia d = 15, de unde a = 45 ³i b = 60.

Pentru x = 12, y = 1 avem a = 12d, b = d ³i înlocuind în 6a + b = 330obµinem 73d = 330 care nu are soluµie natural .

În sfâr³it, pentru x = 4, y = 3 avem a = 4d, b = 3d ³i înlocuind în6a + b = 330 obµinem 27d = 330 care nu are soluµie natural .

În concluzie a = 45 ³i b = 60.

1

Problema 2: Fie numerele naturale a, b, c astfel încâta + b

bc=

b + c

ca=

c + a

ab.

Demonstraµi c  a = b = c.

Etapa pe municipiu, Bucure³ti, 2002

Soluµie: Este evident c  a, b, c sunt numere naturale nenule.

Dina + b

bc=

b + c

ca=

c + a

ab= p deducem

a + b = pbc (1)

b + c = pca (2)

c + a = pab (3).

Sc zând (2) din (1), (3) din (2) ³i (3) din (1) obµinem

a− c = pc(b− a) (4)

b− a = pa(c− b) (5)

b− c = pb(c− a) (6).

Acum s  presupunem c  a, b, c nu sunt toate egale.

Putem avea numai dou  egale (alegem a = b 6= c f r  a pierde dingeneralitatea problemei) sau toate diferite.

Dac  a = b, din (5) rezult  c− b = 0, de unde c = b, contradicµie.

Dac  toate sunt diferite, f r  a restrânge generalitatea, putem pre-supune a < b < c.

În aceste condiµii a− c < 0 ³i b− a > 0 ceea ce presupune c  în relaµia(4) membrul stâng este negativ, iar membrul drept este pozitiv; contradicµie.

Cum pentru a = b = c relaµia din enunµ este veri�cat  rezult  c  singuravariant  posibil  este a = b = c.

2

Problema 3: Fie triunghiul ABC cu AB = 3 cm. Mediatoarea seg-

mentului AB intersecteaz  dreapta BC în punctul D astfel încât BD =15·BC

³i AC = 4 ·AD. �tiind c  raportul perimetrelor triunghiurilor ADC ³i ABC

este67, calculaµi lungimea segmentului AD.

Etapa pe municipiu, Bucure³ti, 2000

Soluµie: Pentru rezolvarea problemei vom folosi urm torul rezultat:

Dac  M este un punct pe mediatoarea lui [AB], atunci [MA] ≡ [MB].

Deoarece mediatoarea segmentului AB trebuie s  intersecteze dreaptaBC vom distinge dou  cazuri, a³a cum se vede în imaginea de mai jos.

Dac  D aparµine mediatoarei segmentului AB, atunci [AD] ≡ [DB].

Notând AD = x rezult  BD = x ³i avem BC = 5x (din BD =15·BC)

³i AC = 4x (din AC = 4 ·AD).Pentru Fig 1 avem CD = 4x ³i P4ADC = 9x, iar P4ABC = 9x + 3.

Atunci, dinP4ADC

P4ABC=

67obµinem

9x

9x + 3=

67, de unde x = 2.

Deci AD = 2 cm.Pentru Fig 2 avem CD = 6x ³i P4ADC = 11x, iar P4ABC = 9x + 3.

Atunci, dinP4ADC

P4ABC=

67obµinem

11x

9x + 3=

67, de unde x =

1823

.

Deci AD =1823

cm.

3

Problemele care urmeaz  reprezint  subiectul propus de organizatori laconcursul interjudeµean de matematic  ³i informatic  "Gr. C. Moisil", SatuMare, 2009.

Problema 4: Scrieµi num rul natural 252008 ca o sum  de cinci numerenaturale consecutive.

Traian T mâian

Soluµie: Fie x cel mai mic dintre cele cinci numere consecutive. Cele-lalte numere vor � x + 1, x + 2, x + 3, x + 4. Trebuie s  avem

x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 252008

sau5x + 10 = 54016

de undex = 54015 − 2.

Rezult  c  cele cinci numere consecutive având suma 252008 sunt

54015 − 2; 54015 − 1; 54015; 54015 + 1; 54015 + 2.

Problema 5: Ar taµi c , pentru orice num r natural n > 5 mulµimea

A = {n, 2n + 1, 3n + 2, 4n + 3, 6n + 1}

conµine cel puµin un num r compus.Vasile Berinde

Soluµie: S  observ m c  pentru n > 5 toate elementele mulµimii Asunt mai mari decât 5.

Ne folosim de faptul c  orice num r natural are una dintre formele5k; 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4.

Dac  n = 5k atunci elementul n din mulµimea A este num r compus.Dac  n = 5k + 1 atunci elementul 3n + 2 din mulµimea A devine

3(5k + 1) + 2 = 15k + 5

care se divide cu 5, deci este num r compus.Dac  n = 5k + 2 atunci elementul 2n + 1 din mulµimea A devine

2(5k + 2) + 1 = 10k + 5

care se divide cu 5, deci este num r compus.

4

Dac  n = 5k + 3 atunci elementul 4n + 3 din mulµimea A devine

4(5k + 3) + 3 = 20k + 15

care se divide cu 5, deci este num r compus.Dac  n = 5k + 4 atunci elementul 6n + 1 din mulµimea A devine

6(5k + 4) + 1 = 30k + 25

care se divide cu 5, deci este num r compus.În concluzie, pentru orice num r natural n > 5 în mulµimea A exist 

cel puµin un num r compus.

Problema 6: Se consider  un triunghi ABC echilateral cu lungimealaturii de 10 cm. Pe (AB), (BC), (CA) se iau punctele D,E, M astfel încâtAD = BE = CM = 3 cm. Dac  AE ∩ BM = {Q}, BM ∩ CD = {R} ³iCD ∩AE = {P}, s  se arate c  triunghiul PQR este echilateral.

* * *

Soluµie:

Vom ar ta c  laturile triunghiului PQR sunt congruente.În primul rând

4ABE ≡ 4BCM ≡ 4CAD

deoarece [AB] ≡ [BC] ≡ [CA], [BE] ≡ [CM ] ≡ [AD](= 3 cm) ³i ABE ≡BCM ≡ CAD(= 600).

De aici deducem [AE] ≡ [BM ] ≡ [CD] (1)Acum

4ADP ≡ 4BEQ ≡ 4CMR

deoarece [AD] ≡ [BE] ≡ [CM ], ADP ≡ BEQ ≡ CMR (din congruenµaanterioar ) ³i DAP ≡ EBQ ≡ MCR (din congruenµa anterioar ).

5

De aici obµinem [DP ] ≡ [EQ] ≡ [MR] ³i [AP ] ≡ [BQ] ≡ [CR]. (2)Acum,

PQ = AE − (EQ + AP )

RQ = BM − (RM + BQ)

PR = DC − (DP + CR)

³i µinând seama de (1) ³i (2) rezult 

[PQ] ≡ [QR] ≡ [RP ]

³i deci triunghiul PQR este echilateral.

Problema 7: În triunghiul ABC, [BC] este cea mai mare latur  ³i arelungimea a, iar [AB], [AC] au respectiv lungimile b, c. Bisectoarea unghiuluiB intersecteaz  AC în D, iar bisectoarea unghiului C intersecteaz  AB în E.Fie M piciorul perpendicularei din A pe BD, iar N piciorul perpendicularei

din A pe CE. Demonstraµi c  MN =b + c− a

2.

Maria Miheµ

Pentru a putea înµelege rezolvarea acestei probleme trebuie s  ne asig-ur m de cunoa³terea urm toarelor teoreme:

Teorema 1 Triunghiul în care o bisectoare ester ³i în lµime este un

truiunghi isoscel.Soluµie: În conformitate cu �gura de mai jos [AD] este bisectoarea

unghiului A ³i în lµimea din A a triunghiului ABC.Vom demonstra c  [AB] ≡ [AC].

Avem 4ABD ≡ 4ACD deoarece sunt triunghiuri dreptunghice (din[AD] - în lµime), [AD] este latur  comun , iar BAD ≡ CAD (din [AD] -bisectoare). Din congruenµa celor dou  triunghiuri deducem [AB] ≡ [AC] ³ideci 4ABC este isoscel.

Teorema 2 Linia mijlocie în triunghi este paralel  cu a treia latur  ³iare lungimea egal  cu jum tate din lungimea acesteia.

6

(De�niµie: Linia mijlocie în triunghi este segmentul care une³te mi-

jloacele a dou  laturi ale triunghiului.)

Soluµie:

În �gura de mai sus M este mijlocul laturii AB, N este mijlocul laturiiAC, iar P este simetricul lui M faµ  de N .

În primul rând 4AMN ≡ 4CPN ([AN ] ≡ [CN ], [MN ] ≡ [PN ],ANM ≡ CNP ).

De aici deducem (1) [AM ] ≡ [CP ] ³i (2) AMN ≡ CPN .Din (2) deducem c  (3) AM ‖ CP (unghiurile de la (2) sunt unghiuri

alterne interne pentru dreptele AB ³i CP ³i secanta PM).Acum, 4BCM ≡ 4PMC ([BM ] ≡ [AM ] ≡ [PC], [MC] este latur 

comun , BMC ≡ MCP ca unghiuri alterne interne)De aici obµinem [MP ] ≡ [BC]

Cum MN =MP

2, rezult  MN =

BC

2Pe de alt  parte BCM ≡ CMP ³i de aici MN ‖ BC.Cu aceasta teorema este demonstrat .Acestea �ind spuse ne putem întoarce la problema noastr .

Soluµia problemei:

7

Not m {P} = AM ∩BC ³i {Q} = AN ∩BC.În 4BAP , [BM ] este bisectoare (din ipotez ) ³i în lµime (AM ⊥ BD),

rezult  din teorema 1 c  4BAP este isoscel cu [AB] ≡ [BP ] (*). Mai multM este mijlocul lui [AP ].

În 4CAQ, [CN ] este bisectoare (din ipotez ) ³i în lµime (AN ⊥ CE),rezult  din teorema 1 c  4CAQ este isoscel cu [AC] ≡ [CQ] (**). Mai multN este mijlocul lui [AQ].

Din M este mijlocul lui [AP ] ³i N este mijlocul lui [AQ] deducem c 

MN este linie mijlocie în triunghiul APQ ³i din teorema 2 MN =PQ

2.

Lungimea lui [PQ] este PQ = BC − (CP + BQ).Dar CP = BC −BP = BC −AB (din (*)), deci CP = a− c.Analog BQ = BC − CQ = BC −AC (din(**)), deci BQ = a− b.Atunci PQ = a− (a− c + a− b) = a− a + c− a + b = b + c− a ³i de

aici MN =b + c− a

2.

8