Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

  • Upload
    mirel67

  • View
    241

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    1/39

    DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL. PRINCIPIILE DINAMICII.

    APLICAII72

    5.Trei corpuri A, Bi Csunt legate prin doufire : corpul Ase aflpeplanul orizontal, corpul Bpe planul nclinat i corpul Catrnliber (vezi figura

    2.14). Coeficientul de frecare la

    alunecare al corpurilor cu suprafaa de

    contact este . Corpurile A i B augreutile GAi GB.Stiind c C coboar cu vitez

    constantsse determine :a) diagramele forelor ce

    acioneazasupra corpurilor A i B ;b) tensiunea din firul care leagcorpurile A i B ;c) greutatea corpului C (GC) .

    Rezolvarea)Desf

    cnd corpurile din leg

    turi se ob

    in for

    ele ce ac

    ioneaz

    asupra

    corpurilor A i B (vezi figura 2.15).Forele care acioneaz

    asupra corpului A sunt :r

    - greutatea G orientatvertical n jos i de modulcunoscut GA;

    A

    - reaciunea normal aplanului pe care st corpul,

    orientat perpendicular pe acest plan, adic vertical n sus i de mrimenecunoscut(r

    ) ;AN

    - tensiunea n firul de legtur 1Tr

    exercitatde corpul B, care are direciafirului de legtur, adiceste orizontal, cu sensul de antrenare al corpului A ide mrime necunoscut;

    - fora de frecare orientatpe direcia de deplasare a corpului A (adicorizontal) i n sens contrar micrii ; modulul ei este egal cu produsul dintrereaciunea normalla plan NAi coeficientul de frecare.

    Forele care acioneazasupra corpului B sunt :

    - greutatea G Br

    verticaln jos, de modul cunoscut GB;

    - reaciunea normal perpendicularpe plan, deci formnd unghiul

    cu verticala ;BN

    r

    - tensiunea T exercitat prin intermediul firului de ctre corpul C,orientatn lungul planului nclinat ;

    r

    2

    r

    - tensiunea T exercitat de primul fir n sens contrar cu T i avnd

    modulul T ;

    '1 2

    r

    1'

    1 T=

    - fora de frecare de aceeai direcie i sens cu TfBF

    r'

    1

    r

    i de modul.BfB NF =

    A

    B

    C

    A

    fAFr

    ANr

    1Tr

    AGr

    2TrB

    Nr

    BGr

    fBFr

    '1T

    r

    Figura 2.14

    Figura 2.15

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    2/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 73

    b)Tensiunea din firul ce leag corpurile A i B este i rezultdin ecuaiile dinamicii scrise pentru cele doucorpuri :

    1'

    1 TT =

    0FNTG fAA1A =+++ rrrr

    (1)

    0FTNTG fB'

    1B2B =++++

    rrrrr

    (2)unde s-a inut seama de faptul ccele doucorpuri aluneccu vitezconstant.

    Proiectnd cele douecuaii vectoriale pe 2 axe : Ox - orizontali Oyvertical, se obine :

    (Ox) AfA1 NFT == Figura 2.16(Oy) AA GN = A1 GT =

    '2T

    r

    CGr

    c) Ecuaia dinamicii pentru corpul C este (figura 2.16) :

    0GT C'2 =+

    rr

    unde s-a inut seama ca 0=r C , care - proiectatpe axa Oy - conduce

    la egalitatea .C'2 GT =

    De remarcat cdei 0 , FfC= 0 pentru cNC= 0.Dar , care rezult din ecuaia vectorial (2) rescris pe

    componente :2

    '2 TT =

    ( ) =++ cosTsinNcosFT 2BfB1 ( ) +=++ cosNsinTGsinFT B2BfB1

    de unde rezultT2i FfB, utiliznd i ecuaia =fBB

    FN .

    Cele douecuaii sunt complicate i conin ambele necunoscute.Pentru a simplifica rezolvarea problemei, se pot alege alte axe : Ox' pe

    direcia lui 2fB'

    1 T,F,Trrr

    i Oy' pe direcia lui BNr

    ; ecuaiile anterioare devin :

    =

    ++=

    cosGN

    sinGFTT

    BB

    BfB'

    12

    obinnd direct :

    ++=++== sinGcosGGsinGNTTT BBABB12'2

    6. Un ascensor are masa m1= 900 kg ; n interiorul su este atrnat un

    corp de masm = 100 kg, la nlimea d = 2,6 mfade podea.2a) S se determine tensiunea T din cablul de susinere al ascensorului,

    atunci cnd acesta, dup ce se mic iniial n jos cu viteza constant v0= 10m/s, este frnat pe o distande h = 25 m(acceleraia de frnare fiind constant)i se oprete.

    b) Dup oprire, ascensorul urc n micare uniform accelerat subaciunea unei fore constante F = 13 kN exercitat de ctre cablu. S se

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    3/39

    DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL. PRINCIPIILE DINAMICII.

    APLICAII74

    determine acceleraia ascensorului la urcare i tensiunea n firul de susinere acorpului de masm2.

    c) Dacn cazul tratat la punctul b) firul se rupe brusc, dupct timpajunge corpul de masm2pe podeaua ascensorului ?

    Rezolvarea) Forele care acioneazasupra liftului sunt :

    - greutatea Gr

    verticaln jos, avnd mrimea :x

    Gr

    Tr

    ar

    ( ) gmmG 21 += - fora exercitat de cablu, care este n lungul

    acestuia (deci vertical), orientat n sens de tragere (nsus), cu modul necunoscut.

    Oprirea liftului se face printr-o micare uniform decelerat (ncetinit),deci corpul are acceleraia vertical, orientatn sus ; mrimea sa rezultdin

    ecuaia Galilei :1a

    r

    Figura 2.17

    ( ) ( ) ha21h1a2ha2vv 1xx112i2f =+== rrrr

    unde vf este viteza ascensorului n momentul opririi (vf = 0 ) , vi este viteza

    ascensorului n momentul nceperii frnrii (vi= v0) iar h este distana dintrecele doupoziii ; rezult:

    2

    20

    1 s

    m

    2h2

    v

    a == Ecuaia dinamicii scrispentru ascensor are forma :

    ( ) 121 ammGT +=+ rr

    care, proiectatpe axa Ox, conduce la ecuaia scalar:

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) kN12kg10s

    m210gammammGT

    ammGT

    3

    2121121

    121

    =+++=++=

    +=+

    b)Ecuaia dinamicii se scrie n acest caz (vezi figura 2.18):

    ( ) 221 ammGF rrr

    +=+

    deci :

    223

    44

    21

    2s

    m3

    s

    m

    10

    100,1103,1

    mm

    GFa =

    =

    +

    = m2

    d

    Fr

    2ar

    Figura 2.18

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    4/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 75

    Corpul m2legat de tavanul ascensorului prin fir inextensibil are aceeaiacceleraie cu ascensorul, deci fora 'T

    rexercitatde ctre fir este asupra lui este

    legatde acceleraia sa 2ar

    prin relaia :

    2Gr

    Tr

    'Tr

    m2

    ( ) ( ) kN1,3N103100gam'TamgT'-mamgm'TamG'T

    22

    222222222

    =++= ==+=+

    rrrrrr

    Din figura 2.19 se observctensiunea n fir este :

    'TTrr

    =

    Deoarece tensiunea n fir (fora cu care corpul trage de fir) i fora cucare firul trage de corp sunt perechi de fore de tip "aciune - reaciune",modulele lor sunt ntotdeauna egale.

    Figura 2.19

    c) Dup ruperea firului fora 'Tr

    devine egal cu zero iar corpul m2ncepe scadliber cu acceleraia gravitaional"g" ; ntr-un interval de timp el atinge podeaua, deci parcurge distana "d" . Deoarece :

    2

    gvy

    2

    in2

    =

    unde vin este viteza corpului (i a ascensorului) n momentul ruperii firului.In acelai timp, ascensorul (asupra cruia nu mai acioneaz fora T

    r,

    deci pentru care "nu mai exist" corpul de masm2) i continuurcarea, cu oacceleraie mai mare :

    222

    3

    11

    1'2

    s

    m4,4

    s

    m10

    109

    1013g

    m

    F

    m

    gmFa =

    ==

    =

    deci n acelai interval de timp urcpe distana :

    2

    avy

    2'2

    in1

    +=

    Deoarece dupintervalul corpul m2atinge podeaua, ntre distanele y1i y2existrelaia :

    y1- y2= d

    s0,6s4,14

    6,22

    ga

    2d

    d2

    gv

    2

    av

    '2

    2

    in

    2'2

    in

    =

    =+

    =

    =

    +

    7. Un vopsitor avnd masa m1= 80 kg lucreaz la faada unei cldiri,stnd pe un scaun suspendat de un scripete. Dorind s se urce mai repede, el

    trage cablul n jos cu o asemenea forF1nct apasasupra scaunului cu foraF2= 300 N. Scaunul are masa m2= 30 kg.

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    5/39

    DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL. PRINCIPIILE DINAMICII.

    APLICAII76

    a) Care este acceleraia ar

    a vopsitorului i a scaunului ?b) Care este tensiunea T n firul de fixare a scripetelui ?

    Rezolvarea) Separm corpurile din sistemul dat.

    Pentru scaun avem (figura 2.21) :- greutatea scaunului gmG 22

    rr= ;

    - fora de traciune exercitatde cablu,care trebuie s fie 1F

    r, ntruct tensiunea este

    aceeai n toate seciunile cablului ;- fora exercitatde vopsitor F2

    r.

    Deci :

    amGFF 2221rrrr

    =++

    sau : ( gamFF 221 += ) (1)Pentru vopsitor care - stnd pe scaun - are aceeai acceleraie cu acesta

    , forele care acioneazasupra lui sunt (figura 2.22) :ar

    - greutatea lui G gm11rr

    = ;

    - fora pe care cablul o exercitasupra omului 1'

    1 FFrr

    += ;- fora pe care scaunul o exercitasupra omului :

    2'2 FF

    rr= .

    Deci :

    ( )gamFFamGFF 12111'2

    '1 +=+=++

    rrrr (2)

    Scznd din ecuaia (1) ecuaia (2) se obine :

    ( ) ( )2

    21

    2212

    s

    m210

    50

    3002g

    mm

    2FagammF2 =

    =

    =+=

    b)Pentru scripete, ecuaia dinamicii are forma (figura 2.23) :

    111

    2FT0FFT ==++ rrr

    Imprind ecuaia (2) la ecuaia (1) rezult:

    2

    1

    21

    21

    m

    m

    FF

    FF=

    +

    de unde rezult:

    N660N30050

    110F

    mm

    mmF 2

    21

    211 ==

    +=

    Deci :

    T = 2F1= 1320 N

    1Fr

    2Gr

    2Fr

    ar

    Scaun

    ar

    1Gr

    '1F

    r

    '2F

    r

    Om

    Tr

    1Fr

    1Fr

    Scripete

    Figura 2.20

    Figura 2.21

    Figura 2.22

    Figura 2.23

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    6/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 77

    8.Fie o barABde greutate neglijabilfixatde un perete vertical prinintermediul unei mbinri mobile n punctul A, care i permite sse roteasc. Easusine o greutate G

    rprin intermediul unui fir fixat de asemenea de perete (vezi

    figura corespunztoare).

    a) S se determine forele exercitate de perete asupra barei i respectivasupra firului.

    b) Care este poziia barei dac firul care susine bara nu este fixat deextremitatea Ba acesteia ?

    Rezolvare

    Metoda 1a) Bara este supus

    urmtoarelor fore : 1F

    r este fora exercitat de

    firul vertical n punctul B ; 2F

    r este fora exercitatde

    firul nclinat ;

    3Fr

    este fora exercitat deperete.

    Fora 1Fr

    are direciavertical (ea trebuie s fie pedirecia firului) i este egal cu

    greutatea G

    r

    : 1FG

    rr

    =r (F1= G).

    1

    1

    2

    d

    A

    B

    Gr

    1Fr

    2Fr

    3Fr

    l

    Figura 2.24

    Fora rezultdin condiia ca firul sfie ntins : ea are direcia firului,sensul astfel nct s determine tragerea (ntinderea) firului iar modulul(mrimea) este necunoscut.

    2F

    Fora 3Fr

    rezult din condiia ca bara s fie nechilibru, adic(figura 2.25) :

    1

    2 1

    x

    y

    z

    1Fr

    2Fr

    3Fr

    Figura 2.25

    0FFF 321 =++ rrr

    Pentru ca rezultanta celor trei fore s fie nulcele trei fore trebuie s fie concurente, adic dreaptasuport a forei 3F

    r trebuie s treac prin punctul de

    intersecie al celorlalte doufore, anume punctul B.

    Pe axa Ox: 1322 cosFcosF =

    iar pe axa Oy: 13221 sinFsinFF +=

    Deci :

    ( ) ( )G

    coscosF

    coscosF

    21

    11

    21

    12 + =+ =

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    7/39

    DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL. PRINCIPIILE DINAMICII.

    APLICAII78

    ( ) ( )G

    cos

    cosF

    cos

    cosF

    21

    21

    21

    23 +

    =

    +

    =

    Prin urmare peretele mpinge bara cu fora 3Fr

    i trage de fir cu fora 2Fr

    .

    b) Dacfirul poate aluneca pe captul B al barei, F2= F1= T, deoarecen caz contrar firul se rupe. Deci :

    10320

    10320

    sinFsinTT

    cosFcosT

    =

    =

    unde 10i 20definesc poziia particulara barei :

    ( )

    ==+

    =

    10102010

    1020101020

    2

    sincossin

    cossincossincos

    de unde :

    =

    =+=

    ++

    +

    +

    0sau2

    20

    2

    2cos2

    2sin2

    20

    2010102010102010

    Metoda 2.Se folosete i ecuaia momentelor forelor ce acioneaz asupra barei.

    Din condiia de echilibru a acesteia se poate scrie :0)F(M)F(M)F(M 2A1A3A =++

    rrrrrr

    r

    Momentul forei este nul, iar celelalte au direcie perpendicularpeplanul xOy, astfel nct proiectnd aceast ecuaie vectorial pe axa Oz seobine :

    3F

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    +

    =+=

    =

    =

    z21

    1

    2z2122

    z1z111

    1sincos

    F1sindFFd

    1F12

    sindFFd

    rlrrr

    rl

    rrr

    ( )

    1

    2121

    cos

    sinFF

    +

    = ll

    unde este distana de la captul B al barei la perete. De aici rezult:l

    ( ) ( )G

    sin

    cosF

    sin

    cosF

    21

    11

    21

    12 +

    =

    +

    =

    iar F3trebuie sfie egali de sens contrar cu rezultanta dintre F1i F2:

    ( ) Gcoscos

    2cosFF2FFF

    21

    122122213 +

    = +++=

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    8/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 79

    A

    B

    Figura 2.269.O scaromogende lungime i greutate

    G1 este sprijinit fr frecare de un perete vertical,fcnd un unghi cu planul orizontal (figura 2.26).

    Pe aceast scar st un om cu greutatea G2 la onlime h fa de pmnt. S se determine foraexercitatde scarasupra podelei, tiind caceastase afl n echilibru ; care este valoarea minim aunghiului pentru care scara rmne nemicat?

    l

    RezolvareMetoda 1. Sistemul celor trei corpuri n contact om - scar - reazem

    poate fi descompus n componente separate, n locul legturilor introducndforele exercitate asupra corpurilor respective prin intermediul legturilor.

    Asupra omului acioneazfora de greutate i scara. Condiia de echilibru al omului, considerat corp punctiform,

    este dat de ecuaia fundamental a dinamicii

    2G

    r

    1Fr

    (1F

    r

    2Gr Om

    Figura 2.27

    )amFkrr

    0

    = ,adic:

    FG 12 =+rr

    Rezultcscara exercitasupra omului o forverticalorientatn susi avnd mrimea : F1= G2 .

    Asupra scrii acioneazurmtoarele fore :

    - fora de greutate a scrii G1r

    ;- fora '1F

    r exercitat de om care -

    conform principiului aciunii i reaciunii -are acceai direcie, sens contrar i modulegal cu fora exercitat de scar asupraomului :

    21'

    1 GFF ==

    - fora 2Fr

    exercitatde perete, care

    are direcie perpendicular pe perete(adic orizontal) deoarece nu existmalea are sensul spre exteriorul peretelui

    i modulul nedeterminat ;r

    2Fr

    1Gr

    2Gr

    3Fr

    2l

    2l

    x

    y

    z

    h

    Scara

    Figura 2.28

    frecare ; fiind o forde reaciune nor

    - fora exercitatde podea este - la rndul su - constituitdin dou

    componente : = fora de reaciune normal a podelei, avnd direciavertical, sensul n sus i modulul necunoscut i fora de frecare, avnd direciatangenial la planul de contact (adic orizontal), sensul spre dreapta (adicinvers celui n care scara tinde sse deplaseze) i modulul necunoscut (Ff3N3unde este coeficientul de frecare ntre scari podea).

    3F

    Nr

    3

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    9/39

    DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL. PRINCIPIILE DINAMICII.

    APLICAII80

    Pentru acest corp se pot scrie ambele ecuaii vectoriale determinate decondiia de echilibru (fore i momente) deoarece scara nu este punctiform,forele avnd puncte de aplicaie diferite :

    0FFFG 32'

    11 =+++ rrrr

    ( ) ( ) ( ) ( ) 0FMFMFMGM 3O2O'1O1O =+++ rrrrrrrr

    unde O este un punct arbitrar de pe scar.Alegnd un sistem de axe rectangular xyz adecvat putem obine din

    prima ecuaie vectorial dou ecuaii scalare reprezentnd proieciile pe axeleOx i Oy :

    (Ox) -F2+ Ff3= 0

    (Oy) 0NFG 3'

    11 =+

    cu trei necunoscute : F2, Ff3i N3.Ecuaia de momente furnizeaz o singur ecuaie scalar deoarece toi

    vectorii implicai sunt colineari (de-a lungul axei Oz). Se observtotodatcsepoate simplifica rezolvarea propriu zis alegnd drept pol pentru momenteleforelor punctul A, ntruct n acest caz forele necunoscute Ff3 i N3 prezintmomente nule ; rezultecuaia :

    0sinFctghFcos2

    G 2'

    11 =+ ll

    Rezult:

    +

    = ctgsin2

    hG2sinG

    F21

    2 l

    l

    213 GGN +=

    += ctg

    sin2

    hG2sinGF 213f

    l

    l

    Fora exercitat de scar asupra podelei se obine prin aplicareaprincipiului aciunii i reaciunii, conform figurii 2.29,unde :

    2'2

    3'3

    3f'3f

    FF

    NN

    FF

    =

    ==

    Aceast for are deci componentele i

    , deci are direcia, sensul i modulul date deexpresia :

    '3fF

    '3N

    ' 3f'33 FNF

    rrr+=

    adicare direcia definitde unghiul format cu verticala :

    '2Fr

    '3fF

    r

    3Fr

    '3N

    r

    Figura 2.29

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    10/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 81

    ( )

    +

    += ctg

    sinGG2

    hG2sinGarctg

    21

    21

    l

    l

    i mrimea :

    ++

    ++

    += 3

    2

    214

    2

    2

    2

    22

    2

    213

    sincosh2GG

    sincosh1G

    4ctg1GF

    ll

    Metoda 2.

    Conform figurii 2.28 scara este supusaciunii a patru fore : ,1

    Gr

    '1F

    r, 2F

    r

    i . Scara este n echilibru numai dac cele patru fore sunt concurente, ocondiie necesarpentru ca rezultanta lor sfie nul.

    3Fr

    Cele doufore cunoscute de altfel1

    Gr

    i '1Fr

    sunt paralele, deci nu pot fi

    concurente. Ele pot fi nsechivalate cu o for Rr paraleli de acelai sens cuaceste doufore, avnd mrimea :

    1'

    1 GFR += i punctul de aplicaie C ntre cele dou fore, la o distan "b" de mijloculscrii :

    +=

    +=

    sin

    h

    2GG

    G

    sin

    h

    2GF

    Fb

    21

    2

    1'

    1

    '1 ll

    Se obine astfel configuraia din figura 2.30 ; din condiia ca aceste treifore sfie concurente rezultdirect unghiul format de 3F

    r cu axa Oy :

    +

    =

    ==

    cossin

    h

    2GG

    G

    2

    sinarctg

    AD

    ODarctg

    21

    2 ll

    l

    O B

    A

    Rr

    2Fr

    3Fr

    2Fr

    Rr

    O

    3Fr

    i respectiv mrimea :

    Figura 2.30 2223 RFF +=

    10. Pe suprafaa exterioar a unui con cu deschiderea3

    22

    = este

    aezat orizontal un lnior cu masa m = 0,5 kgi lungimea = 1 m, cu capetelelegate ntre ele, astfel nct el se rotete odat cu conul, cu viteza unghiular

    l

    srad5= n jurul axei sale verticale. S se determine tensiunea n lnioratunci cnd conul sti respectiv se rotete cu viteza unghiular.

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    11/39

    DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL. PRINCIPIILE DINAMICII.

    APLICAII82

    RezolvareLniorul se aeaz pe con ntr-o poziie

    determinat de lungimea sa. Datorit greutii, eltinde s coboare ct mai mult dar - nefiind

    extensibil - se oprete la o anumitdistanfadevrf, astfel nct formeaz un cerc orizontal curaza :

    =

    2r

    l

    Se mparte lniorulntr-un numr "n" de

    elemente i se aplicprincipiul fundamental al dinamiciiunui element arbitrar (vezi figura 2.32).

    Conform figurii alturate acest element este unarc de cerc de lungime

    n

    ls= i subntinde unghiul la

    centru 2; el are masa :

    mmr2

    n

    mm

    sm

    =

    ===ll

    Asupra sa acioneazurmtoarele fore :

    - greutatea Gr

    orientatvertical n jos, avnd mrimea :

    mggmG

    == - reaciunea normal a suportului conic N

    r, orientat perpendicular pe

    planul tangent la con n punctul la care se reduce elementul de lancnd n i de mrime necunoscut;

    - tensiunea n lnior care, pentru elementul considerat, se manifestprin doufore

    ri

    r, situate n planul orizontal i orientate perpendicular pe

    cele doucapete ale elementului, adictangent la cercul ce definete lniorul,spre exteriorul acestuia i de mrimi egale : T1 = T2 = T , fiindc altfel

    lniorul se rupe.

    1T 2T

    In primul caz, atunci cnd conul i lniorul stau, ecuaia dinamiciieste :

    0NGTT 21 =+++ rrrr

    Considerm un sistem rectangular de axe xyz cu axa Oz de-a lungul axeiconului, Ox de-a lungul razei cercului lniorului (care trece prin mijloculelementului de lan) i axa Oy tangentla cerc n acest punct.

    Deoarece forele nu sunt coplanare se obin trei ecuaii scalareindependente :

    (Ox) 0cosNsinTsinT 21 =+ (Oy) 0cosTcosT 21 =

    z

    xy

    Nr

    Gr

    r

    x

    y

    z

    1Tr

    2Tr

    r

    Figura 2.31

    Figura 2.32

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    12/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 83

    (Oz) 0sinNG =+ Rezultastfel :

    mgsinsin2

    cosN

    sin2

    cosTTT 21

    =

    ===

    Dacelementul este foarte mic, n i 0 , deci sin i :mg

    2

    ctgT

    =

    Dac lanul este n micare circular cu viteza unghiular ecuaiadinamicii se scrie :

    cp'2

    '1 amNGTT

    rrrrr=+++

    unde este acceleraia centripeta elementului de lan, orientat radial spre

    centrul cercului i avnd mrimea .

    cpar

    ra 2cp =

    Se modific deci ecuaia scalar corespunztoare proieciei pe axa Ox,de-a lungul creia este orientat cpa

    r:

    rmcosNsinTsinT 2'2'

    1 =+ deci :

    msin4

    sincosg2msinsin4

    sincosg2

    sin2

    2mcos

    sin

    gm

    sin2

    rmcosN'TTT

    2

    22

    22

    '2

    '1

    +

    +

    =

    =

    +

    =

    +===

    ll

    l

    Prin urmare :

    2

    2'2

    '1

    4

    m

    2

    ctgmg'TTT

    +

    ===

    l

    Se observcT' > T.

    11. Fie un corp de masm = 10 kg, situat ntr-un punct Ade pe o curb

    de ecuaie x4y l= , de abscisxA= .l

    Sse determine valoarea minimi maxima unei fore Fr

    ce acioneazasupra corpului, orientat de-a lungul axeiorizontale Ox, pentru a menine corpul nechilibru n punctul A. N

    r

    fFr

    Gr

    Fr

    x

    y

    O

    A

    l

    l2

    Figura 2.33

    Se dau : g = 10 m/s2i .Rezolvare

    Starea de repaus a corpului de masmeste determinatde ecuaia dinamica forelorce acioneaz:

    0FFNG f=+++ rrrr

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    13/39

    DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL. PRINCIPIILE DINAMICII.

    APLICAII84

    Fora este orientatvertical n jos i are mrimea constantG.Gr

    rFora este reaciunea normal a suportului, fiind orientat

    perpendicular pe planul tangent la suprafaa de sprijin spre exterior, de mrimenecunoscut. Unghiul pe care l formeaz planul tangent n punctul A, de

    coordonate ( l ), se calculeazdin expresia suprafeei de sprijin :

    N

    l2;

    x4)x(fy l== i anume :

    [ ]4

    1x2

    14)x('ftg

    x

    x

    ==

    ==

    ==

    l

    l l

    Direcia i sensul forei de frecare fFr

    sunt impuse de tendina de micare

    a corpului. Dacfora orizontal Fr

    este mic, corpul tinde scoboare, avnd

    direcia i sensul din figur iar modulul

    fFr

    NFf . In acest caz, proiectndecuaia vectorialpe cele douaxe, se obine :

    (Ox) 0cosFFsinN f =++

    (Oy) 0sinFcosNG f =++

    ( )

    +=

    =++

    =

    ++

    =

    cosGsinFN

    sinFsincosNcosG

    0cos

    sin)FsinN(cosNG

    cosFFsinN

    22

    f

    +=

    +=

    =

    +=

    sinGcosFF

    cosFcosFsinFsinG

    sinFGcosN

    cosFFsinN

    f

    2f

    2f

    f

    f

    Observaie: expresiile lui N i Ffse puteau obine direct alegnd pentruproiecii cele douaxe astfel : una pe direcia lui N, cealaltpe direcia lui Ff.

    Condiia : ( )+= cosGsinFNcosFsinGadic:

    ( ) ( ) FcossincossinG + conduce la inegalitatea :

    ( )( )

    Gsin

    sinG

    cossin

    cossinF

    +

    =+

    unde = unghiul de frecare :

    = arctg In cazul n care fora F este mare corpul are tendina surce, astfel nct

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    14/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 85

    fora de frecare Ffi schimbi ea sensul ; astfel rezultecuaiile :

    =

    +=

    sinGcosFF

    sinFcosGN

    f

    Impunnd condiia : FfN rezult:

    + sinFcosGsinGcosFsau :

    ( )( )

    Gsin

    sinG

    sincos

    sincosF

    +

    =+

    Deci :

    ( )( )

    N28100865,0

    25,0100

    60sin

    15sinG

    sin

    sinF

    0

    0

    min ==+

    =

    ( )

    ( ) N35610025,0

    865,0

    10015sin

    60sin

    Gsin

    sin

    F 0

    0

    max ==

    +

    = unde :

    25,027,02

    1

    2

    2

    73,1

    12

    6cos1

    12sin ==

    =

    Prin urmare :

    28 N F 356 N

    2.7.Teoreme de conservare n mecanica vectorialDeoarece legile fizicii (care au un caracter obiectiv, reprezentnd un

    rezultat al experimentrilor repetate) trebuie s rmnneschimbate la trecereade la un grup de convenii la altul, exprimarea lor matematic trebuie s fieinvariant

    1. Aceastinvarianse manifestn raport cu :

    - schimbarea sistemelor de uniti folosite : invariana este asiguratderespectarea condiiei de omogenitate a relaiilor care exprimlegile fizicii (vezi& 1.4, elemente de analizdimensional) ;

    - schimbarea sistemului de referin inerial la care se raporteaz starea(de micare sau de repaus) a corpurilor : invariana este asiguratde principiulrelativitii galileene.

    Alte transformri fa de care trebuie respectat invariana sunt :translaiile, rotaiile, simetria n raport cu schimbarea semnului timpului, etc.

    Studiul invarianei legilor fizicii pune n evidenexistena unor mrimifizice care au att proprietatea de aditivitate (exemplu : volumulVtotal = V1 + V2 ) ct i cea de conservativitate (rmn constante n cursulanumitor procese).

    1 vezi G.C. Moisil, Fizica pentru ingineri , Ed. Tehnic, Bucuresti, 1967

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    15/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII86

    Legile care afirmcaracterul aditiv - conservativ al unor mrimi senumesc legi de conservare.

    Observaie. Datorit faptului c legile de conservare formulate n

    mecanica vectorialsunt independente de particularitile forelor i de detaliileunei anumite traiectorii, ele permit rezolvarea unei probleme de micare pe ocale mult mai lejer. Astfel, muli fizicieni abordeaz pentru rezolvarea unei

    probleme necunoscute un algoritm de tipul :- nti se apliclegile de conservare cunoscute, una cte una ;- apoi - numai daceste cazul - se identificnumrul de mrimi rmase

    necunoscute i se stabilete numrul rmas de ecuaii necesare, pentru care sefolosesc ecuaii difereniale de micare (legea forei). Aceste ecuaii sunt (deregul) mult mai greu de rezolvat.

    Legile de conservare ale dinamicii vectoriale au o dublvalen: ele sepot formula att pentru un singur punct material ct i pentru un sistem de Npuncte materiale.

    Prin sistem de puncte materiale ntelegem un ansamblu de N puncte

    materiale asupra crora pot acionafore interioare(fore care se manifestntrepunctele ce intrn componena sistemului) ifore exterioare(interaciuni ntresistemul considerat i alte sisteme de puncte materiale).

    I. Pentru un punct material definim urmtoarele mrimi

    importante, care sunt folosite n formularea teoremelor de conservare : m - este masa punctului material ;

    - este raza vectoare (vectorul de poziie al punctului material) n raport cuS.R.I. ales ;

    rr

    r

    rr

    vdr

    dtr= =& - este viteza punctului material (viteza instantanee) ;

    - este impulsul punctului material (produsul dintre masi viteza

    acestuia / "cantitatea de micare") ; impulsul este o mrime de stare caremsoar capacitatea micrii mecanice de a se transforma ntr-o altmicare mecanic;

    rp

    defm v=

    . r

    r

    r ra v r= =& && - este acceleraia punctului material (acceleraia instantanee) ;

    r r

    r rr

    F m a mdv

    dtm

    d r

    dtm v m r = = = = =

    2& r&& -este fora care se manifest

    asupra punctului material ;

    - este momentul cinetic al punctului material (produs vectorial

    ntre vectorul de poziie i impulsul particulei / se mai numete imomentul cantitii de micare) ;

    r r rL r p=

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    16/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 87

    r r rM r F= - este (prin definiie) momentul forei (caracterizeazefectul de

    rotaie).

    II. Pentru un sistem cu N puncte materiale se definesc mrimile :

    M mkk

    N==

    1 - este masa total a sistemului de N puncte materiale (un

    exemplu de mrime aditivi conservativ) ;

    r

    r

    rR

    m r

    mM

    m rk k

    k

    N

    kk

    N k kk

    N

    =

    = =

    =

    =

    1

    1

    1

    1 - este (prin definiie) raza vectoare a

    centrului de mas al sistemului ; centrul de mas al sistemului de N

    puncte materiale este un punct geometric fictiv, care nmagazineaztoatinformaia global referitoare la starea mecanic a sistemului (ntotalitatea lui )

    2;

    r r rV R

    Mm r

    Mm vk k

    r

    k

    N

    k kk

    N

    = = = = = & &1 1

    1 1 - este (prin definiie) viteza centrului

    de masal sistemului ;

    r rP p m vk

    r

    k

    N

    k kk

    N

    = = = =

    1 1- este impulsul total al sistemului de particule (suma

    vectoriala impulsurilor punctelor materiale componente) ;

    r r ra R

    Mm rk k

    k

    N

    = = =&& &&1

    1- este (prin definiie) acceleraia centrului de mas;

    ====

    =+==N

    1kkk

    N

    1k

    )ext(k

    N

    1k

    (int)k

    N

    1kk rmFFFF

    &&rrrrr

    , underFk

    (int)este rezultanta

    forelor exercitate de toate celelalte N-1 puncte materiale asupra

    punctului material k (rezultanta forelor interioare) iarrFk

    ext( )

    este

    2Datorit faptului cprin centru de greutate al unui sistem se nelege un punct ncare este aplicat rezultanta forelor gravitaionale care acioneaz asupra tuturor punctelormateriale care compun sistemul, avnd masele mi , folosind definiia momentului forei seobservcse obine :

    ( )

    =

    =

    =

    ==

    ==

    kk

    kkk

    total

    kkk

    totalgreutate

    decentru

    N

    1kkk

    N

    1kkk

    m

    mr

    G

    Gr

    R

    1GR1GrGrM

    rrr

    rrrrrrr

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    17/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII88

    rezultanta forelor exterioare care acioneaz asupra aceluiai punctmaterial.

    Intruct n privina forelor interioare apare observaia dat de principiulaciunii i reaciunii (

    r rF Fik ki= ) rezult c - n nsumarea vectorial a

    acestora, la nivelul ntregului sistem- forele interioare se elimindoucte dou; prin urmare :r r r r rF F F Fk

    k

    N

    kext ext(int) (int) ( ) ( )

    = = = =

    10 F =

    k=1

    N

    r r r rL l r pk

    k

    N

    k kk

    N

    = = = =

    1 1- este momentul cinetic total al sistemului de puncte

    materiale (suma vectorial a momentelor cinetice individuale aleparticulelor ce compun sistemul) ;

    r r r r r r r r rM r F r F r F M Mk k

    k

    N

    k kk

    N

    k kext

    k

    Next= = + = +

    = = =

    1 1 1

    (int) ( ) (int) ( ) - este

    suma vectoriala momentelor forelor care acioneazasupra sistemului(att interioare ct i exterioare).

    2.7.1. Teorema de conservare a impulsului (mecanic total)2.7.1.a.Pentru un punct material , deoarece :

    r r r r

    F mdv

    dt

    d mv

    dt

    dp

    dt

    = = =( )

    rezultcderivata n raport cu timpul a impulsului particulei este egalcu foratotalce se exercitasupra acesteia.

    Atunci cndr

    rr r

    F c= = =0 0 onstdp

    dt p(t) = p(t0) . (2.14.a)

    Prin urmare putem exprima teorema de conservare a impulsului pentru

    un punct material n forma :Atunci cnd fora (rezultanta forelor) care

    acioneaz asupra unui punct material ntre momentele t0 i t este nul,impulsul total al punctului material se conserv la valoarea iniial aacestuia rp t( )0 .

    Aceastteoremare douformulri matematice echivalente :

    =

    =

    ladiferentiaformareprezinta0dt

    pd

    integralaformaeste.const)(tp=(t)p 0r

    rr

    Teorema se aplic i atunci cnd se au n vedere numai proiecii aleforei pe o direcie oarecare, caracterizatde versorul

    r1 :u

    .]const)t(p)t(p[,.const)t(p1)t(p10FF1 0uu0uuuu ====== rrrrrr

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    18/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 89

    2.7.1.b.Pentru un sistem de N puncte materiale, teorema de conservare a

    impulsului mecanic total este un rezultat al urmtoarelor observaii :

    Pdt

    dFF

    ____________________________________________________

    FFFFF

    Pdt

    dp

    dt

    d

    dt

    pd

    dt

    )vm(d

    dt

    vdmF

    N

    1k

    )ext(k

    N

    1k

    )ext(k

    )ext()ext((int)

    N

    1kk

    N

    1k

    kN

    1k

    kkN

    1k

    kk

    rrr

    rrrrr

    rrrrrr

    ==

    ==+=

    ===

    ==

    =

    =

    ====

    Atunci cnd :

    (2.14.b)teoremeiaintegralaforma,.const)(tP=(t)P

    teoremeialadiferentiaforma,0

    dt

    Pd

    0F0

    N

    1k

    )ext(

    k

    =

    =

    == rr

    r

    r

    Condiia 0FN

    1k

    )ext(k =

    =

    r nseamn c sistemul mecanic este izolat (asupra

    acestuia nu se manifestfore exterioare) .

    Prin urmare : Impulsul total al unui sistem izolat de N puncte

    materiale ntre care nu existdect interaciuni mecanice se conserv.

    De asemenea :

    r r r r r r

    F F P t constu u u = = = =1 0 10 P(t) 1u ( ) . under

    1u este versorul direciei oarecare pe care proiecia rezultantei forelor exterioarecare se manifestasupra sistemului este nul.

    2.7.2. Teorema de conservare a momentului cinetic (total)2.7.2.a.Pentru un punct material :

    MFrdt

    LdFr

    0

    vmvdt

    pdrp

    dt

    rd)pr(

    dt

    dL

    dt

    d rrrr

    rr321

    rrr

    rrr

    rrr==+

    ==+==

    adic derivata n raport cu timpul a momentului cinetic al unei particule esteegalcu momentul forei ce se exercitasupra particulei.

    Atunci cnd :

    ==

    integralaformaeste,.const)(tL=(t)L

    ladiferentiaformaeste,0=dt

    Ld

    0M

    0

    rr

    r

    r

    (2.15.a)

    a teoremei de conservare a momentului cinetic. De asemenea, dac:

    .const)t(L1)t(L101M 0uuu === rrrrrr

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    19/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII90

    2.7.2.b.Pentru un sistem de N puncte materiale :

    )ext((int)

    N

    1k

    )ext(kk

    N

    1k

    (int)kk

    N

    1kkk

    N

    1kkk

    N

    1kkk

    MMFrFr

    Frpdt

    drpr

    dt

    d

    dt

    Ld

    rrrr

    rr

    rrrrrrr

    +=+=

    ====

    ==

    ===

    se observ cmomentul cinetic totalrL se conserv n timp numai dac suma

    momentelor forelorr rM este nul.M ext(int) ( )+

    Atunci cnd sistemul mecanic este izolat :r rFk

    ext( ) = =0 0 M(ext) Dacforele interioare sunt centrale3, adic:

    0Fr kk = llrr

    {

    0M0Fr

    F)rr(

    -

    FrFrM

    (int)

    k,,kkk

    k,,kkk

    k,F

    (int)k

    k,k

    (int)kk

    (int)

    (int)k

    ===

    ===

    +=

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    20/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 91

    ctre Johann Bernoulli care a vorbit n repetate rnduri despre "conservatiovirium vivarum" i a artat c, atunci cnd dispare fora vie, facultatea de aefectua o aciune nu se pierde, ci doar trece n alte forme.

    Dupunii autori, anii de referinpentru cristalizarea corecta noiunilor

    pe care le utilizm astzi ar fi :1748 - momentul n care savantul rus Mihail Vasilievici Lomonosovformuleazlegile de conservare a masei i a energiei (n domeniul chimiei) ;

    1829 - anul n care Gustave - Gaspard Coriolis inventeaz termenul deenergie cinetic (pe care l folosete n lucrarea "Despre calcularea aciuniimecanice") ;

    1842 - medicul i fizicianul german Robert Mayer este primul careformuleazde o manierexplicitlegea conservrii energiei, preciznd totodatcenergia mecanici cldura sunt douaspecte ale aceluiai lucru :

    "Energia nu poate fi nici creatnici distrus; ea poate nstrece dintr-

    o formde energie n alta."1847 - James Prescott Joule (independent de Julius Mayer, fcnd

    cercetri referitoare la efectele chimice i termice ale curentului electric)descoper la rndul lui legea conservrii energiei, pe care o consider a fitransformarea energiei mecanice n clduri invers.

    Istoria fizicii a reinut, drept fiind semnificativ, i formularea luiWilliam Thomson, n 1853 :

    "Numim energie a unui sistem material ntr-o stare determinat

    contribuia, msurat n uniti de lucru, a tuturor aciunilor produse n

    exteriorul sistemului, dacacesta trece, indiferent n ce mod, din starea sa ntr-o stare fixatarbitrar".

    Legea naturii creia i spunem principiul conservrii energiei esteexprimatde cuvintele "indiferent n ce mod".

    Orice discuie despre energia mecanicimplicclarificarea noiunilorde energie cinetic, energie poteniali lucru mecanic.

    Dupcum se tie (din liceu) existdoutipuri de energie mecanic, dupcum starea staionara corpurilor poate sfie staticsau dinamic:

    - energie potenial(sau energie de poziie/ energie de configuraie) ;- energie cinetic(sau energie de micare).In ceea ce privete lucrul mecanic, acesta este o mrime fizic scalar,

    egalcu produsul scalar dintre vectorul fori vectorul deplasare a punctului deaplicaie al forei : const.)Fa(dacrFL ==

    r(rr.

    Energia potenial sau de poziie este capacitatea unui corp sau a unuisistem fizic de a efectua lucru mecanic ca urmare a poziiei lui fade Pmntsau ca urmare a poziiei relative a prilor sale componente. Ea este funcie doarde poziie, adicde coordonatele corpului sau sistemului.

    Energia cineticsau de micare este capacitatea unui corp sau sistem dea efectua lucru mecanic ca urmare a strii de micare n care se gsete.

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    21/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII92

    Energia cinetici energia potenialsunt mrimi relative :- viteza v depinde de S.R.I. la care se face raportarea ;

    - nlimea h depinde de nivelul de referinh = 0, ales arbitrar.

    Tot n liceu s-a artat c ntre energie i lucru mecanic (chiar dacaparent, n cadrul unei formule, ntre ele se stabilete un semn de egalitate)existimportante deosebiri calitative.

    a. Energia este o mrime de stare, care caracterizeaz sistemul fizicntr-o stare staionar.

    b. Lucrul mecanic este o mrime de proces, care caracterizeazcomportarea sistemului fizic atunci cnd acesta ia parte la un proces n

    desfurare.Lucrul mecanic depinde nu de starea sistemului fizic la un moment dat ci

    de evoluia lui, de transformrile succesive pe care le sufersistemul fizic. Cazul n care fora (sau rezultanta forelor) care acioneaz asupra

    sistemului este constant, reprezint un caz particular. Prin urmare, n cele ceurmeaz, vom recurge la un grad de generalizare ceva mai ridicat.

    2.7.3.a. Cazul unui punct material

    Pentru un punct material, expresia (nerelativista) energiei cinetice este :

    vvm2

    1mv

    2

    1.defE 2cin

    rr==

    Dac se studiaz variaia energiei cinetice n timp prin intermediulderivatei se observc:

    PvFvamdt

    vdvm

    dt

    dEcin ==== rrrr

    rr

    unde mrimea scalarP se numete putereaforei.Mrimea fizic :

    rdFLd rr

    =

    este, prin definiie, lucrul mecanic elementar.

    Convenia de semne afirm c atunci cnd Ld este pozitiv ( Ld > 0) ,lucrul mecanic este primit de ctre particul (i este lucru mecanic motor), ntimp ce atunci cnd Ld < 0 (negativ) lucrul mecanic este cedat de ctre particul(este lucru mecanic rezistent).

    Notaia Ld arat faptul c - nu ntotdeauna - avem de a face cu odiferenialtotalexact. Vom reveni asupra acestei observaii.

    In general, lucrul mecanic al foreirF , corespunztor deplasrii particulei

    ntre punctele P1i P2se exprimprin intermediul unei integrale :

    LP

    P

    121

    2

    = r r r rF(r, r, t) dr (curba )

    &

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    22/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 93

    i depinde de drum (curba ).O exprimare echivalent n calculul lucrului mecanic se obine atunci

    cnd se au n vedere dependenele de timp :

    [ ] [ ]

    r r r r r r r r r r r

    F F r t r t t F r t r t t v tt

    t

    = = ( ),&( ), ( ),

    &( ), ( ) si dr = dr(t) = v(t) dt L dt

    (integrala Riemann)12

    1

    2

    Puterea forei este, prin definiie, viteza de producere a lucruluimecanic(lucrul mecanic efectuat n unitatea de timp) :

    =particulacatredecedataesteputerea,0PvF

    .defP

    rr

    Tinnd cont de aceste definiii , se observc:

    (2.16.c)LLd)t(E)t(E

    sau

    (2.16.b)LdrdFdtvFdE

    (2.16.a)PvFdt

    dE

    12

    t

    t

    1cin2cin

    cin

    cin

    2

    1

    ==

    ===

    ==

    rrrr

    rr

    Expresiile (2.16.a) i (2.16.b) reprezintforme difereniale ale teoremei

    variaiei energiei cinetice. Ele spun c:

    Derivata energiei cinetice n raport cu timpul este egal cu putereaforei care acioneazasupra punctului material.

    Variaia energiei cinetice n intervalul de timp (t , t+dt) este egal culucrul mecanic elementar efectuat n acest interval de timp de ctrefora ce se exercitasupra particulei.

    n timp ce expresia (2.16.c) corespunde formei integrale a acestei teoreme :

    Variaia energiei cinetice n intervalul de timp (t1 , t2 ) este egal culucrul mecanic integral efectuat de fora care acioneaz asupra

    punctului material n acest interval de timp.

    Dintre toate tipurile de fore ntlnite n natur, o categorie foarteimportanto reprezintforele statice i conservative.

    Prin definiie :)r(F=)t,r,r(F:staticefortele

    rr&rrr

    // sunt constante n timp (nu depind detimp)

    forele conservative ndeplinesc condiia :

    )rU(-rd

    )rdU(

    -=)r(F

    r

    r

    rrr

    =

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    23/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII94

    unde )r(U r

    reprezint energia potenial ; aceast relaie afirm c foreleconservative suntfore care derivdintr-un potenial.

    In cazul forelor statice i conservative :

    )r(dUrdrd

    )rdU(-=rd)r(F=dL

    rrr

    rrrr

    =

    lucrul mecanic elementar este diferenialtotalexact;

    )r(U)r(U)r(dUrd)r(FL 12

    2

    1

    2

    1

    12

    rrrrrr+===

    lucrul mecanic nu depinde de drum ci doar de poziia iniiali finalapunctului material.

    Mrimea U r U x z( ) ( , , )r

    = este chiar energia potenial n punctul decoordonate (x, y, z). (Energia potentialeste energia nmagazinatde particula

    material, valoarea acesteia rezultnd numai din poziia pe care aceasta o ocupntr-un cmp conservativ.)In cazul forelor statice i conservative se observc:

    0rd)r(Frd)r(Frd)r(FLL1

    2

    2

    1

    2112 ==+=+ rrrrrrrrr

    decilucrul mecanic efectuat de-a lungul unei curbe nchise este zero.

    Condiiile :

    =

    aexactatotalaldiferentiaestenuLd0dr)r(F

    aexactatotalaldiferentiaestedL0dr)r(F

    (((rr

    (((rr

    fac diferena calitativ ntre fore conservative i / sau fore neconservative(disipative).

    Exemple de fore conservative : forele elastice, forele gravitaionale ;pentru fore neconservative este bine cunoscutfora de frecare.

    Recapitulare. Lucrul mecanic al unei fore conservative are urmtoareleproprieti :

    - lucrul mecanic elementar este diferenialtotalexact;- lucrul mecanic este independent de drum ; el este egal cu diferena

    dintre valorile final i iniial ale unei funcii scalare, numitenergie potenial;

    - lucrul mecanic este recuperabil (odatprimit se reflectn modificareavalorii energiei poteniale dar poate fi cedat la aceeai valoare ntr-un proces invers celui iniial).

    In cazul forelor conservative, putem observa faptul c:

    0)Ud(E-dU=rdF=dL

    dLdE)b.16.2(cin

    cin

    =+

    =rr

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    24/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 95

    Mrimea E = Ecin+ U, reprezentnd suma dintre energia cinetici ceapotenial, se numete energia mecanictotala particulei.

    Prin urmare avem setul de relaii :

    d E U dE

    const

    E U E U

    cin mec tot

    cin t cin t

    ( )

    .

    ( ) ( )

    .+ = =

    =

    + = +

    0

    1 2

    (2.17.a), forma diferentiala

    E(2.17.b), forma integralamec.tot

    care reprezint, n fapt,teorema de conservare a energiei mecanice totale:

    In cursul micrii unei particule ntr-un cmp de fore static, al crui

    lucru mecanic ntre doupuncte oarecare nu depinde de drumul urmat, energiamecanictotala particulei nu variazn timp.

    Observaie : Legea conservrii energiei mecanice totale face parte dintr-o lege foarte generalde conservare a energiei, care aratcenergia total-

    indiferent de natura ei (suma energiilor mecanic, caloric, chimic, electric,

    .a.) - se conservntotdeauna (rmne constantntr-un sistem fizic izolat)4.

    2.7.3.b. Pentru un sistem de N puncte materiale :

    ===

    ==

    ===

    ==

    N

    1kkk

    N

    1kkkk

    N

    1k

    kkk

    cin.tot

    N

    1k

    kkk

    N

    1k

    2k

    ktot.cin

    vFvamdt

    vdvm

    dt

    dE

    2

    vvm

    2

    vmE

    rrrrr

    r

    rrr

    Deoarece :

    FFF (int)k)ext(

    kk

    rrr+=

    ==+=

    N

    1kk

    (int)k

    N

    1kk

    )ext(k

    cin.tot vFvFdt

    dE rrrr

    Definim lucrul mecanic elementar :(int))ext(

    N

    1kk

    (int)k

    N

    1kk

    )ext(k LdLdrdFrdFLd +=+=

    ==

    rrrr

    4 Einstein extinde i mai mult aplicabilitatea legii conservrii energiei pe baza

    echivalenei dintre energie i mas( 2cmE = ). Conform acestei relaii, orice variaie de

    mas este echivalent cu o variaie de energie i, prin urmare, forma general a legii

    conservrii energiei captforma :"Cantitatea totalde energie i masdin Univers rmne constant."

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    25/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII96

    i puterea forelor (interioare i exterioare) care acioneazasupra sistemului depuncte materiale :

    r r r rF v P F v Pk

    extk

    k

    Next

    k k

    k

    N( ) ( ) (int) (int) = =

    = =

    1 1

    ;

    Conveniile de semn rmn identice cazului precedent (un punctmaterial).

    In acest caz, cele trei forme echivalente pentru teorema variaieienergiei cinetice totalesunt :

    (2.18.b)LdLddE

    (2.18.a)PPdt

    dE

    (int))ext(cin.tot

    (int))ext(tot.cin

    +=

    += forme difereniale

    ( ) ( ) [ ] [ ] (2.18.c)LLEE(int)

    t,t

    )ext(

    t,ttcin.tottcin.tot 212112+= forma integral

    Dacsistemul este static i conservativ :

    dUdL)r(Urd

    dFF (int)(int)k

    (int)

    k, kk,

    (int)kl

    (int)k ===

    rr

    rr

    llll

    adic:

    [ ] [ ](int)

    t

    (int)

    t

    (int)12 12

    UUL +=

    Cu alte cuvinte , lucrul mecanic al forelor interne nu depinde dect de

    configuraia iniiali finala sistemului de puncte materiale.

    Prin urmare, ecuaia (2.18.b) se poate scrie :

    interna.mecanicaenergiaesteE

    (2.19)LddEdL)UE(d

    int.

    )ext(int)ext(

    definitie)(prinE

    (int)tot.cin

    .int

    ==+

    =44 344 21

    Dacsistemul este izolat :

    ( ) ( )dL constext t t( ) .= = = =0 0 1 2 dE sau E Eint. int. int.

    ceea ce, ca teorem de conservare a energiei mecanice interne , captformularea :

    Energia mecanic intern a unui sistem mecanic conservativ izolat seconserv(este constantn timp) .

    Atunci cnd i forele exterioare sunt statice i conservative :

    dL dUext ext( ) ( )= ceea ce - introdus n formula (2.19) - conduce la relaiile :

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    26/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 97

    ==

    =

    =

    ++

    (2.20.b)integralaforma,.const)t(E)E(t

    (2.20.a)ladiferentiaforma,0=dE

    0)UUE(d

    21

    totala)mecanica(energieE.def

    )ext((int)tot.cin 444 3444 21

    Teorema conservrii energiei mecanice totale capt, n acest caz,formularea :

    Energia mecanic total a unui sistem mecanic conservativ asupracruia se exercit fore exterioare conservative este constant n timp (seconserv).

    2.7.4. Probleme rezolvate1.Un corp de masm ncepe sse mite sub aciunea forei :

    r r rF t tx y= + 2 1 3 1

    2

    Determinai puterea dezvoltatde aceastforla momentul t.RezolvareDeoarece :

    dE

    dt

    d

    dt

    mvmv

    dv

    dtF v P (puterea

    cin =

    = = =

    rr

    rr r2

    2fortei)

    i :

    F t deci at

    m mt dt

    t

    mv

    t

    mx x

    t

    xo

    vxo= = = = + =

    =2

    2 12

    0

    2 0 2

    vx

    m

    tdtt3

    m

    1v

    m

    t3adecit3F

    3t

    0

    2y

    2

    y2

    y ====

    rezult:

    ( )533

    22

    yyxx t3t2m

    1

    m

    tt3

    m

    tt2vFvF=P +=+=+

    2.O particul de mas m aflat n repaus se mic sub aciunea foreiconservative

    r r r rF x y= + + z1 2 1 3 1 (N) din punctul de coordonate (3, 6, 9) n

    punctul de coordonate (6, 7, 10).

    Verificai dac fora dat este - ntr-adevr - conservativ i calculaienergia cinetica particulei n starea final.

    RezolvareOrice forconservativderivdintr-un potenial, deci poate fi exprimat

    sub forma gradientului cu semn schimbat al energiei poteniale :UF =r

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    27/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII98

    Dar n ceea ce privete proprietile importante ale operatorilor, s-a artatc : (un cmp de vectori care admite un potenial nu are rotor).Prin urmare, ar urma sverificm c:

    ( ) 0U =

    0

    321zyx

    111

    F

    zyx

    =

    =

    rrr

    r q.e.d.

    In condiii conservative :

    12

    t

    t

    1cin2cincin LdL)t(E)t(EdLdE2

    1

    ===

    Dacse consider: E tcin ( )1 0=

    ( )E t F dr F dx F dy F dz dx dy dzcint

    t

    x y zP

    P

    ( )( , , )

    ( , , )

    23 6 9

    6 7 1 0

    3

    6

    6

    7

    9

    10

    1

    2

    1

    2

    2 3= = + + = + + r r

    J

    =

    = + + =3 2 3 8

    3.Calculai lucrul mecanic al forei conservativerF de componente :

    Fx= 2xy ; Fy= yz i z2

    yxF

    22

    z

    +=

    de-a lungul elipsei de ecuaii parametrice: = h=z,Rsin=y,cosRx ,ntre punctele M1(= 0) i M2(= ).RezolvareReamintim cn condiii conservative :

    ===2

    1

    21

    M

    M

    MM dLLsidUrdFdL rr

    r r r r

    r r r rF xy yz x

    yz

    dr dx dy dz

    xy xy

    z dzx y z

    x y z

    = + +

    = + +

    = +

    2 1 1

    21

    1 1 1

    22

    22

    22

    dL dx + yz dy -

    i :

    x R= cos dx = -Rsin d ; y = Rsin dy = Rcos d ; z = h dz = h d

    Rezult, prin nlocuire, lucrul mecanic elementar :

    ( )

    dL R R R h R R h

    h R

    = +

    +

    22

    1

    2

    1

    22 2 2

    2 2

    cos sin ( )sin cossin

    cos

    cos sin cos

    d + Rsin d -R

    d

    L= -2R sin d + R cos d - h d

    2

    2 2 2 2

    =0

    =

    Dar , efectund pe rnd integralele implicate, rezult:

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    28/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 99

    ( )a) cos sinsin

    sin d sin d2

    =0

    =2

    =0

    =

    = =

    3

    30

    0=

    {bdu v

    d) sin sin cos cos

    cos cos cos sin

    cos d d

    d

    =0

    =

    =0

    =

    = = = =

    =

    =

    = + = + 2 =

    1

    2 2

    1

    2 2 20

    1

    2

    1

    2 2

    1

    42

    0

    1

    42

    1

    42

    0

    1

    80

    1

    4

    0

    0

    1 24 34

    ( )c) cos cos cos

    sin sin

    cos

    d d d d

    d cos2 d=dv d

    =0

    =

    =0

    =

    =0

    =

    =0

    =

    =0

    =

    =0

    =

    =0

    =

    12

    0

    1 2

    2

    2

    1

    2

    1

    2 2 4

    1

    2 2 2 0

    1

    2 2

    3

    40

    1

    42

    0

    3

    2 22

    2 2 2

    2

    + = + = + +

    =

    = + + = + +

    =

    = + + =

    1 24 342

    4

    Rezult:

    += h2

    31hR

    4

    1L 2

    4.Fie un pendul matematic de lungime i de masm, care oscileazliber (n plan vertical) n jurul unui punct fix 0. Sse scrie ecuaia diferenialamicrii acestuia pentru cazul particular al micilor oscilaii (unghiul foartemic, astfel nct

    l

    sin ).Rezolvare

    x0

    y

    AB

    y1mgr

    v

    r

    0vr

    ),(M)y,x(M = l

    l

    Figura 2.25

    Aplicnd teorema variaiei energieicinetice se poate scrie :

    mv mvmg

    202

    2 21 = l( cos)

    Deoarece micarea are loc pe o traiectoriecircular( l = const.) :

    v=l &prin urmare ecuaia anterioardevine :

    (a)mgcosmg2

    mv

    2

    m 2022

    ll&l

    =

    Dacse deriveazecuaia (a) n raport cu timpul , se obine :m

    mgl

    l2 2

    2

    & &&& sin

    =

    Pentru a simplifica scrierea acestei ecuaii se aplic condiia miciloroscilaii, valabilatunci cnd unghiul este foarte mic (

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    29/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII100

    Se obine ecuaia difereniala unei micri oscilatorii :

    && + =g

    l0 , ecuatie liniara, omogena, de ordinul doi in .

    5. Un om ine n mn o minge cu masa m = 0,2 kg, aflat iniial nrepaus. El aruncapoi mingea vertical n sus. In acest proces, mna se ridiccu0,5 mi mingea prsete mna cu o vitezde 20 m/s, ndreptatn sus.

    S se analizeze micarea mingii din punctul de vedere al lucruluimecanic i energiei, dacse consideracceleraia gravitaionalg 10 m/s2.

    RezolvareSe alege drept reper (poziie

    de referin a mingii) poziia iniiala acesteia (1) .

    Deoarece mingea este n

    repaus :

    Ecin1= 0, Ep1= 0

    In momentul n care mingea

    prsete mna, punctul (2), energiapotenialare valoarea :

    Ep2= mgh2= 0,2 kg10 m/s20,5 m =

    = 1,0 J

    iar energia cineticeste :

    J40s

    m20kg2,0

    2

    1

    mv2

    1E

    2

    202cin

    =

    =

    ==

    Lucrul mecanic al forei externe pe care o exercitomul asupra mingii,pentru a o ridica cu 0,5 m (ntre poziia h1i h2) este egal cu suma variaiilorenergiei poteniale i cinetice ale mingii :

    ( ) N82m0,5

    J41FJ41EEhhFL anampcin12anam ===+== ()()

    (n acest caz s-a presupus comul acioneazasupra mingii cu o forconstant,dar neconservativ, deoarece aceast for nu deriv din potenial iar lucrulmecanic nu este recuperabil !).

    Dup ce mingea prsete mna omului, asupra ei acioneaz numaigreutatea ei, care este o forconservativ.

    Prin urmare, energia mecanictotala mingii (care se constituie ntr-unsistem mecanic izolat) se conservla valoarea : Ecin2+ Ep2= 41 J.

    h1=0

    0E;0E p11cin ==

    h2=0,5 ms

    m20v0 =

    r

    1

    2

    3

    4hmax

    Figura 2.26

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    30/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 101

    La o nlime oarecare h3= 15,5 m fade nivelul ales drept referin(h1)mingea va avea o energie potenialegalcu :

    Ep3= mgh3= 0,2 kg10 m/s215,5 m = 31 J

    Prin urmare :

    m/s10v2

    mvJ10J31-J41EEE 3

    23

    3ptotala.mec3cin =====

    Dubla soluie v3 este justificatde faptul cmingea trece de douoriprin aceeai poziie ; atunci cnd urc semnul vitezei este "+", iar atunci cndcoboar semnul este "-". Valorile energiilor potenial i cinetic nu suntinfluenate de sensul n care corpul parcurge traiectoria.

    Dacdorim scalculm cea mai mare nlime, punem condiia :

    Ecin4= 0 Ep4= 41 J = mghmax

    de unde se obine :

    m5,20m/s10kg0,2

    J41h

    2max =

    =

    6.Un avion de masm = 103kg, cu motorul oprit, planeaz cu vitezav = 50 m/s, cobornd de la o nlime h1= 5 kmpnla o nlime h2= 3 km,

    parcurgnd o distand = 20 km.Ce putere trebuie s dezvolte motorul pentru a se ntoarce napoi cu

    aceeai vitez?Rezolvare

    Bd

    fFr

    Nr

    Gr

    vr

    A

    h

    Nr

    Gr'

    fFr

    mFr'v

    r

    B

    A

    Figura 2.27

    La coborrea pe distana AB, asupra avionului acioneaz fora de

    greutate , reaciunea aeruluiGr

    Nr

    i fora de frecare fFr

    , care dau rezultantnul- determinnd deplasarea cu vitez constant a avionului. In acest cazcomponenta tangeniala greutii neutralizeazfrecarea :

    fFsinG = Lucrul mecanic al rezultantei este nul :

    0EEEdR cinAcinBcin ===rr

    Dar :dFdsinGdR f =

    rr

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    31/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII102

    deci lucrul mecanic al forei de frecare este egal cu lucrul mecanic al greutii :)G(L)F(L ABfAB =

    Dar :

    hmg)UE()UE(E)F(L BcinAcin.tot.mecfAB =++==

    unde .21 hhh =La revenirea pe distana BA (cu viteza v'v

    rr= ) fora de frecare i

    schimb sensul, astfel nct este nevoie de o for de traciune , rezultndecuaia :

    mFr

    0FGNF 'fm =+++ rrrr

    de unde, prin proiectarea ecuaiei vectoriale de-a lungul deplasrii, se obine :

    += sinGFF 'fm

    Dar :=== sinG2F2FFF fmf

    'f

    Puterea dezvoltatde motor astfel nct avionul sse deplaseze cu vitezconstanteste :

    vd

    hG2vsinG2vF'vFP mm

    ====

    rr

    Numeric :

    kW10050

    1020

    10210102P

    3

    33 =

    =

    7.O cabinde greutate G = 1000 N este ridicatcu ajutorul unui cablude greutate liniara = 20 N/mdintr-o minde adncime h = 200 m. Ce lucrumecanic se efectueaz? Care este randamentul de ridicare a cabinei ?

    RezolvareConsidernd cridicarea se face lent,

    astfel nct cabina s nu capete vitez, forade tragere F

    r este orientat vertical n sus i

    de mrime variabil:- n cazul n care cabina se afl n

    punctul A : haGFA += - n cazul n care cabina se afl n

    punctul B : GFB= Introducnd o ax vertical Oy, cu

    originea n punctul A, definim foravariabil:

    ayG)y(F += astfel nct lucrul mecanic efectuat este :

    0

    h

    h/2

    A

    C

    h

    'Gr

    Fr

    B

    Figura 2.28

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    32/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 103

    ( ) ( )2

    ahGh

    2

    ayGydyayGdy)y(FFL

    2h

    0

    2h

    0

    h

    0

    AB +=

    +=+==

    r

    Se observ c LAB(F) poate fi evaluat fr calculul efectiv (integrare)folosind legea :

    initialfinalAB UUU)F(L =+=r

    Energia potenialn starea finaleste :2

    final ahGhhahGhU +=+=

    unde Gh este energia potenial gravitic a cabinei n poziia C (considerndoriginea A pentru energie potenial nul) iar ah2 este energia potenial antregului cablu folosit la ridicarea cabinei (de lungime h).

    Similar :

    2

    hahUU Ainitial ==

    deoarece n punctul A cabina are energie potenialnuliar cablul are centrul de

    masla mijlocul lungimii sale :2

    hyB = .

    Deci :

    ( )2

    ahGh

    2

    ahahGh)F(L

    222

    AB +=+=r

    Randamentul de ridicare a cabinei se calculeaztiind clucrul mecanicutil este cel necesar pentru ridicarea cabinei :

    Gh)G(LutilAB =

    Prin urmare :

    33,0

    10002

    200201

    1

    G2

    ah1

    1

    2

    ahGh

    Gh

    L

    L2

    c

    util =

    +=

    +=

    +

    ==

    8. a)De la ce nlime minimtrebuie salunece liber frfrecare o bilpentru a putea descrie bucla circulara unui jgheab de razR = 0,5 mtangent lasol ?

    b)Dacobiectul de masm = 1 kgalunecde la o nlime h' = 2 mcufrecare i apsarea n punctul superior al buclei este nul, ce lucru mecanicefectueazforele de frecare ?

    Rezolvarea)Condiia ca un corp sexecute o micare circulareste ca sexiste o

    forcentripetcare soblige corpul snu se ndeprteze la o distanmai maredect raza cercului.

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    33/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII104

    In cazul de fa rolul foreicentripete l joac reaciunea normalexercitat de jgheab care, conformdefiniiei, are direcie normal la planul

    tangent la suprafaa de contact.Conform ecuaiei fundamentale adinamicii :

    NGamrrr

    += care, proiectat pe direcia radial i

    respectiv tangeniala cercului, conduce la :

    =

    +=

    cosGma

    NsinGma

    t

    cp

    deci bila , atunci cnd intr n jgheab, ncepe s execute o micare circularncetinitneuniform.

    Pe msur ce urc, viteza bilei scade micorndu-se i acceleraiacentripet (dac acp = 0 bila prsete suportul). Situaia cea mai defavorabilcorespunde poziiei C, unde viteza i acpsunt minime ; n acest caz :

    (C) GR

    mvma

    2C

    cp ==

    Rezult: RgvC =

    Micarea pe semicercul BC este dificil de analizat deoarece atvariazcu

    poziia (), n timp ce determinarea directa vitezei n punctul B se face pe bazadependenei de timp a acceleraiei liniare :

    +=0

    tBC dtavv

    Mult mai uor poate fi calculat vC din considerente energetice. Inabsena frecrii energia mecanictotalse conserv:

    ( ) ( )2

    mvR2mg

    2

    mvUEUE

    2B

    2C

    BcinCcin =++=+

    de unde :Rg5vgR4v

    2CB =+=

    Prin aceeai metodse poate calcula nlimea "h" de la care trebuie sporneasc(frviteziniial) bila pentru a ajunge cu viteza vBn punctul B :

    )B(E)A(E .tot.mec.tot.mec =

    m25,1R2

    5

    g2

    Rg5

    2g

    vh

    2

    mvmgh

    2B

    2B =====

    b)Dacexistfrecare ntre bili substrat lucrul mecanic este dificil decalculat direct din cauza forei de frecare ; acest calcul poate fi evitat aplicndconsiderente energetice :

    Figura 2.29

    h

    A

    B

    C

    r1r1

    r

    Nr

    G

    rR

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    34/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 105

    J5,7)25,12(10

    2

    R5'hmgR2mgRg

    2

    mmgh'-

    R2mg2

    mv'mgh)C(E)A(E)F(L

    2C

    .tot.mec.tot.mecfABC

    ==

    =

    +=

    =

    +==

    9. O tijomogende lungime i masmse poate roti n jurul unei axeorizontale perpendiculare pe ea, plasat la jumtatea distanei dintre cele doucapete. La capetele tijei sunt fixate doubile mici, avnd masele m1i m2.

    Tija este meninutiniial n poziie orizontal, dupcare i se ddrumul,astfel nct ea ncepe sse roteascn jurul axei orizontale.

    Sse determine :a) fora verticalcare acioneazn m2pentru a menine tija n echilibru ;

    b) viteza unghiular a tijei atunci cnd aceasta trece prin poziia deechilibru ;

    c) tensiunea maximn axul de rotaie.Rezolvare

    4l 4l 4l 4lA B O C D

    m1m2

    1G

    r

    sG

    r

    dG

    r

    2G

    r

    y

    O

    Figura 3.30 a) In poziia orizontalasupra tijei acioneazurmtoarele fore :

    - greutatea primei bile

    1Gr

    , avnd punctul de aplicaie

    n A, orientat vertical n jos iavnd modulul : G1= m1g ;

    - greutatea a jumtate de tij, plasat n stnga punctului O(corespunztor axei de rotaie a tijei), care are punctul de aplicaie B (mijlocul

    poriunii de tijAO) i modulul :2

    mgG s = ;

    - reaciunea axei de rotaie 0Nr

    care acioneazn punctul O ;- greutatea tijei din dreapta punctului O, care are punctul de aplicaie n

    mijlocul C al poriunii de tijOD : 2

    mgG d = ;

    - greutatea bilei de mas m2 cu punctul de aplicaie n D, orientatvertical n jos, de modul : ;gmG 22 =

    - fora verticalnecesarechilibrrii Fr

    .

    Aceste fore trebuie s asigure echilibrul tijei, deci trebuie s satisfaccel de-al doilea principiu al dinamicii :

    0FGNGG dOs1 =++++ rrrrr

    Proiectnd ecuaia vectorialpe axa verticalOy rezult:0FGGNGG 2dys1 =++

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    35/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII106

    Totodat: 0Nx=Lipsa micrii de rotaie a tijei n punctul axei O impune ca momentul

    forelor existente fade punctul O sfie nul :

    0Fri

    ii =

    rr

    Toate momentele au direcia de-a lungul axei de rotaie, astfel nctproiectnd ecuaia vectorialde mai sus pe aceastaxrezult:

    iMr

    02

    F2

    gm4

    g2

    m

    4g

    2

    mgm

    221 =++

    lllll

    ( ) gmmgm4

    mg

    4

    mggmF 1221 =++=

    Deci fora necesarechilibrrii poate fi orientat n sus dacm2> m1 ,sau n jos dacm2< m1.

    b) Prin anularea forei Fr

    tija ncepe s execute o micare de rotaieneuniform, deoarece momentul de rotaie este nenul :

    ( )2

    gmmM 12l

    =

    Dacm2> m1tija ncepe sse roteascn sensul acelor de ceasornic (can figur), iar dacm2< m1tija se rotete n sens contrar(trigonometric).

    Acceleraia unghiular este constant, astfelnct viteza unghiularvariazn timp duplegea :

    tt)t( 0 =+=

    Se poate folosi ns, n locul analizei cinematice,principiul conservrii energiei mecanice, innd seamacsistemul considerat este conservaiv. Energia cinetica punctelor materiale echivalente tijei, corespunztor

    poziiei verticale a tijei este determinatde faptul c n

    acest moment (al trecerii tijei prin poziie vertical)viteza unghiular a tuturor punctelor este aceeai cu atijei, adic.

    Deci aplicnd principiul de conservare a energiei

    mecanice obinem ecuaia :

    0

    22

    m

    44

    m

    44

    m

    22

    m

    2gm

    4g

    2

    m

    4g

    2

    m

    2gm

    222

    2222

    221

    21

    =

    +

    +

    +

    +

    ++

    lll

    lllll

    m2

    m1

    1Gr

    sGr

    dGr

    2Gr

    Nr

    Ep=0

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    36/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 107

    ( ) ( )g

    2

    mmm

    mm2

    2

    4

    m

    42

    m

    4

    m

    gmm

    21

    12

    21

    122 ++

    =

    ++

    =

    l

    lll

    O

    C

    D

    2Tr

    1cfFr

    dGr

    2Gr

    2cfFr

    de unde :

    ( ) g2mmm

    mm2

    21

    12 ++

    =

    c) Tensiunea maxim n axul de rotaie estedeterminatde forele care acioneazn poriunea OCD detij, corespunztor trecerii prin poziia vertical. In sistemulde referin neinerial al tijei forele care i fac echilibrulsunt cele din figura 2.31 :

    0FGFGT 2cf21cfd2 =++++ rrrrr

    Figura 2.31

    ++

    +=+++=

    2gm

    4g

    2

    mFGFGT 22

    22cf21cfd2

    ll

    Probleme date ca tem

    10.Forele constante :( )

    r r r rF Nx y z1 1 2 1 3 1= + + i ( )

    r r r rF Nx y z2 4 1 5 1 2 1=

    acioneaz mpreun asupra unei particule, n timpul deplasrii acesteia dinpunctul A(20, 15, 0) (m) n punctul B(0, 0, 7) (m). Care este lucrul mecanic

    efectuat asupra particulei ?

    11. Se consider fora ( )r r r rF Nx y z= + + 3 1 1 5 1

    1 3 1 1

    , acionnd n

    punctul specificat de vectorul de poziie : 7 + +r r rx y z (m).

    a) Calculai momentul forei fade origine.b) Care este momentul forei fade punctul (0, 10, 0) ?

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    37/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII108

    SISTEMATIZARE (PRO MEMORIA)

    I. Mrimi importante1 punct material N puncte materiale

    m - masa punctului material M mkk

    N

    ==

    1

    - este masa totala sistemului

    - este raza vectoarerr

    r

    r

    rR

    m r

    mM

    m r

    k kk

    N

    kk

    N k kk

    N

    =

    = =

    =

    =

    1

    1

    1

    1

    este razavectoare a

    centrului de masa

    r

    rr

    vdr

    dtr= = & - este viteza punctului material

    r r r rV R

    Mm r

    Mm vk k

    k

    N

    k kk

    N

    = = = = = & &

    1 1

    1 1

    - este

    viteza centrului de masal sistemului

    r

    p m rv= - este impulsul punctului material

    r rP p m vk

    r

    k

    N

    k k

    k

    N

    = =

    = =

    1 1

    - este impulsul total

    r r ra v r= =& && - este acceleraia punctului

    material

    r r ra R

    Mm rk k

    k

    N

    = = =&& &&

    1

    1

    este acceleratia centrului

    de masa

    r r

    r rr r

    F m a mdv

    dtm

    d r

    dtm v m r = = = = =

    2& && r-

    este fora care se manifestasupra punctuluimaterial

    r r r r rF F F F mk

    k

    N

    kk i

    N

    kext

    k

    N

    k kk

    N

    = = + = = = = =

    1 1

    (int) ( ) &&

    1

    r r r r rF F F Fk

    k

    N

    kext ext(int) (int) ( ) ( )

    = = = =

    1

    0 F =k=1

    N

    - este momentul cinetic al punctului

    material

    r r rL r p=

    r r r rL l r pk

    k

    N

    k k

    k

    N

    = =

    = =

    1 1

    este momentul

    cinetic total

    r r rM r F= - este momentul forei

    r r r r r

    1 244 344

    r r

    1 244 344r r

    M r F r F r Fk kk

    N

    k kk

    N

    M

    k kext

    k

    N

    M ext

    = =

    =

    +

    =

    = = =

    1 1 1

    (int) ( )

    (int) ( )

    - este suma vectoriala momentelor forelor careacioneazasupra sistemului

    Edef

    mv mv vcin = =. 1

    2

    1

    22 r r - este energia

    cinetica punctului material

    E mv

    mv v

    cin.tot k k

    k

    N

    kk k

    k

    N

    = =

    = =

    r r r2

    1 12 2 este

    energia cinetictotala sistemului

    rdF=Ld rr

    - este lucru mecanic elementar

    LP

    P

    12

    1

    2

    = r r r rF(r, r , t) dr &

    r r r

    = [ ]r r r rF r t r t t v t

    t

    t

    ( ), &( ), ( )

    1

    2

    dtr r

    Ptr. forte statice F si conservative(r, r,t) = F(r)&/ /r r

    r

    rF(r) = -dU(r)

    dr: dL = F(r) dr

    rr r r = dU r( )

    )r(U)r(U)r(dUrd)r(FL 21

    2

    1

    2

    1

    12

    rrrrrr===

    (int))ext(N

    1kk

    (int)k

    N

    1kk

    )ext(k LdLdrdFrdFLd +=+=

    ==

    rrrr

    P F v= r r - este puterea fortei P F v P Fext

    kext

    k vk

    N

    k kk

    N

    ( )( )

    (int)(int)

    = = = =

    r r r r

    1 1;

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    38/39

    MECANICA CLASICNERELATIVIST(NEWTONIAN) 109

    II. Teorema de conservare a impulsului (mecanic total)

    r r r r

    F mdv

    dt

    d mv

    dt

    dp

    dt= = =

    ( )

    r r r rF const= = =0 0

    dp

    dt p(t) = p(t0 ) .

    r r

    r r

    r r

    r rFd m v

    dt

    d

    dtp

    d

    dtP

    F F

    Fd

    dtP

    k k

    k

    N

    k

    k

    N

    ext

    ext=

    = =

    =

    =

    = =

    ( )

    ( )

    ( )

    1 1

    rr

    r rF constk

    ext

    k

    N( )

    ) .= = = =

    1

    0 0dP

    dt , P(t) = P(t0

    III. Teorema de conservare a momentului cinetic (total)

    d

    dtL

    d

    dtr p r F

    r r r r r r= = ( ) = M

    rr

    r rM const= =0

    dL

    dt

    = 0 , L(t) = L(t0 ) .

    dL

    dt

    d

    dtr p r F

    r F r F M M

    k kk

    N

    k kk

    N

    k k

    k

    N

    k kext

    k

    Next

    rr r r r

    r r r r r r

    = = =

    = + = +

    = =

    = =

    1 1

    1 1

    (int) ( ) (int) ( )

    = =

    =

    =sistem izolat : Mforte centrale : M

    (ext)

    (int)

    r r

    rrFMk

    ext( )0 0

    00

    r rL t L t const( ) ( ) .= =0

    IV. Teorema variaiei energiei cinetice (totale)

    LLd)t(E)t(E

    LdrdFdtvFdE;PvFdt

    dE

    12

    t

    t1cin2cin

    cincin

    2

    1==

    =====

    rrrrrr dE

    dt

    cin.tot = + = =

    r r r rF v Fk

    extk v

    k

    N

    k kk

    N( ) (int)

    1 1

    ( ) ( ) [ ] [ ]LLEE

    LdLddE;PPdt

    dE

    (int)

    t,t

    )ext(

    t,ttcin.tottcin.tot

    (int))ext(cin.tot

    (int))ext(tot.cin

    212112+=

    +=+=

    V. Teorema conservrii energiei mecanice (totale)

    In cazul forelor conservative :

    dE

    dL = F dr = -dUd(E

    =E

    cincin

    mec.tot

    =

    + = =dL

    U dEmec totr r

    1 24 34) . 0

    E ,mec.tot= + = +const E U E Ucin t cin t. ( ) ( )1 2

    Dacsistemul este static i conservativ :

    dL(int) = dU(int)

    d E U dL dLcin.tot

    defE

    ext ext( )(int)

    .

    ( ) ( )

    int.

    +

    =

    = =1 244 344

    dEint

    Dacsistemul este i izolat :

    ( ) ( )dL extt t

    ( ) = = =0 01 2

    dE ; E Eint. int. int.

    Cnd i forele exterioare sunt statice i

    conservative : dL dUext ext( ) ( )= , deci :

    d E U U

    E t const

    cin.totext

    defE (energie

    ( )

    ) ( ) .

    (int) ( )

    .

    + +

    =

    =

    = =

    mecanica totala)

    1

    dE = 0E(t

    1 24444 344440

    2

  • 7/26/2019 Probleme Rezolvate - Foarte Bun - Mecanica_vectoriala2

    39/39

    TEOREME DE CONSERVARE I APLICAII110

    Bibliografie capitol II[1] Popescu, I.M., Fizica (I) , Editura Didactici Pedagogic, Bucureti,

    1982

    [2] Sterian P., Stan M., Fizica , Editura Didactici Pedagogic, Bucureti,1985

    [3] Moisil G.C., Fizica pentru ingineri , vol. I, Editura Tehnic, Bucureti,1967

    [4] Vasiu M., Fizica teoretic, Editura Didactici Pedagogic, Bucureti,1965

    [5] * * * . Dicionar de fizic , Editura EncicliopedicRomn, Bucureti,1972

    [6] * * *, Manualul inginerului 1. Matematica. Fizica. Cldura. , EdituraTehnic, Bucureti, 1954